新高考苏教版数学理大一轮复习训练12.4随机变量及概率分布(含答案解析)
高考数学(江苏专用,理科)大一轮复习讲义课件：第12章 概率、随机变量及其概率分布 12.3
失误与防范
1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键； 2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内 不影响所求结果.
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练出高分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1.(2014·湖南改编)在区间 [－2,3]上随机选取一个数 X，则
X≤351的概率为________.
解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，
则 X≤1，即－2≤X≤1 的概率为 P＝35.
解析答案
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2.在区间[－1,4]内取一个数 x，则2x－x2 ≥14的概率是____35____. 解析 不等式 2x－x2 ≥14，可化为 x2－x－2≤0，则－1≤x≤2，
则点P到点O的1距－离1π2大于1的概率为________. 解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，
VV半正球＝82×π3＝1π2， 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 1－1π2.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内
由几何概型的概率公式，得：P(N)＝3705°°＝25.
解析答案
引申探究
1.本例(2)中，若将“cos x 的值介于 0 到12”改为“cos x 的值介于 0 到 23”，则概率如何？ 解 当－π2≤x≤π2时，由 0≤cos x≤ 23，得－π2≤x≤－π6或π6≤x≤π2， 根据几何概型概率公式得所求概率为23.
1 随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率π为________.
解析 设圆的半径为R， 由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，
新高考苏教版数学理大一轮复习训练12.5独立性及二项分布(含答案解析)
12.5 独立性及二项分布一、填空题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为________．解析 甲市为雨天记为A ，乙市为雨天记为B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18， P (AB )＝0.12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.6.即甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为0.6.答案 0.62．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝23×14＋13×34＝512.答案 5123．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 解析 设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”．∴P (A )＝1－P (A )＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98. 答案 0.984．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．解析 A 至少发生一次的概率为6581，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1－6581＝1681＝(23)4，所以A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13.答案 135．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则p 1和p 2的大小关系是________． 解析 p 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110010＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫9910010＝1－⎝⎛⎭⎪⎫9 80110 0005， p 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫C 299C 21005＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫981005，则p 1<p 2. 答案 p 1<p 26．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P ＝24＝12.答案127．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．解析 由题意得该篮球运动员两次罚球都命中的概率为1－1625＝925，∴该队员每次罚球的命中率为35.答案 358．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案0.729．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是1 2，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝55 64 .答案55 6410．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8,P＝P[](A∪A)A AA＝[1－P(A)] P(A) P(A)＝0.128.答案0.12811．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 答案51612．将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析 由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率 P ＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1＋6＋1564＝1132.答案113213.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是______（写出所有正确的结论的序号）. 答案 ①③ 二、解答题14.甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.解析 （1）设甲、乙考试合格分别为事件A 、B ，甲考试合格的概率为P （A ）=32C C C C 310142636=+，乙考试合格的概率为P （B ）=1514C C C C 310122838=+.（2）A 与B 相互独立，且P （A ）=32，P （B ）=1514,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P （AB+B A +A B ）=32×1514+31×1514+32×151=4544.15.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【思路分析】 从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球时，二是当从1号箱取出白球时．解析 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13，(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝49×23＋13×13＝1127. 16．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． [审题视点] 此题第(1)问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和．由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解．(2)第(1)问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n 次独立重复试验发生k 次的概率计算公式求解即可． 解析 记A 表示事件：“该地的1位车主购买甲种保险”；B 表示事件：“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C 表示事件：“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D 表示事件：“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”；E 表示事件：“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则 (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋BP (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，P (E )＝C 23×0.2×0.82＝0.384.17．根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图． (1)求直方图中x 的值；(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率． (结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125＝1239 125，365＝73×5)解析 (1)x ＝150－⎝⎛⎭⎪⎫31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125＝11918 250. (2)⎝⎛⎭⎪⎫11918 250＋2365×50×365＝219.(3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为P ，则P ＝219365＝35，设X 是一周内空气质量为良或轻微污染的天数． 则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫7，35，P (X ＝0)＝C 07⎝ ⎛⎭⎪⎫257，P (X ＝1)＝C 17⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫256，P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫257－7×3×2657＝78 125－128－1 34478 125＝76 65378 125. 18．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率． 解析 (1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件；稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用． 则D ＝A ＋BC .P (A )＝0.5×0.5＝0.25，P (B )＝C 12×0.5×0.5＝0.5， P (C )＝0.3，P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (BC ) ＝P (A )＋P (B )P (C )＝0.25＋0.5×0.3＝0.40. (2)记A 0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；A 1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．A2＝A0＋A1，P(A)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(A1)＝C14×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(A2)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.129 6＋0.345 6＝0.475 2，P(A2)＝1－P(A2)＝1－0.475 2＝0.524 8.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十二章 概
§12.2 古典概型考情考向分析 古典概型每年都会考查，主要考查实际背景下的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查，常以填空题形式出现，属于中低档题．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n .如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( × ) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为nm .( √ )题组二 教材改编2．[P101例3]一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________． 答案 23解析 抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种． ∴所求概率为46＝23.3．[P103练习T4]袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________． 答案 25解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 4．[P103习题T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________． 答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率为P ＝1－66×6＝56.题组三 易错自纠5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________． 答案 23解析 设两本不同的数学书为a 1，a 2，1本语文书为b ，则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种． 因此2本数学书相邻的概率为P ＝46＝23.6．已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为________． 答案 23解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0，又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.题型一 基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，古典概型的个数为________．①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． 答案 1解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型．2．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具出现的点数，y 表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出： (1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件． 解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．3．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 题型二 古典概型的求法典例 (1)(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________． 答案 56解析 设取出的2个球颜色不同为事件A ，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A 包含5种，故P (A )＝56.(3)(2017·无锡模拟)从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为________． 答案 35解析 记3名男生分别为x 1，x 2，x 3，2名女生分别为y 1，y 2，则从3男2女共5名学生中任选2名包含的基本事件为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10个．其中选出的2人恰好为1男1女包含6个基本事件，分别为(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)．故所求事件的概率为610＝35. 引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P (A )＝46＝23.2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种， 故所求概率P ＝616＝38.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．跟踪训练 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.题型三 古典概型与统计的综合应用典例 某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解 (1)由题意知，样本数据的平均数 x ＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种，故所求概率P (M )＝815.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a ，b ，c ，d ，身高在[190,195]的男生有两名，设为A ，B .若x ，y ∈[180,185)，有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况； 若x ，y ∈[190,195]，只有AB 1种情况；若x ，y 分别在[180,185)，[190,195]内，有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB 共8种情况， 所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x －y |≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7， 故所求概率为715.四审细节更完善典例 (14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解 P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第1个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 ↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n ≥m ＋2的概率 ↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓ P 1＝316↓(注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个． 因此所求事件的概率P ＝26＝13.[6分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率P 1＝316.[12分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[14分]。
江苏2018版高考数学复习概率随机变量及其分布12.4离散型随机变量及其概率分布教师用书理苏教版
第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 离散型随机变量及其概率分布教师用书 理 苏教版1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量． 2．离散型随机变量的概率分布及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布表． (2)离散型随机变量的概率分布的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1. 3．常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量服从两点分布． (2)超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么 P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N (r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ )(5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )1．(2016·苏州模拟)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________．①至少取到1个白球； ②至多取到1个白球； ③取到白球的个数； ④取到的球的个数． 答案 ③解析 ①②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)＝________. 答案 13解析 设X 的概率分布为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，由p ＋2p ＝1，得p ＝13.3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有________个．答案 17解析 X 可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为答案 0.1 0.6 0.3解析 ∵X 的所有可能取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.∴X 的概率分布为5.(教材改编)一盒中有123个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 离散型随机变量的概率分布的性质例1 (1)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝____________. 答案 32－336解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－33.6(2)设离散型随机变量X的概率分布为求2X＋1的概率分布．解由概率分布的性质知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为从而2X＋1的概率分布为引申探究1．在本例(2)的条件下，求随机变量η＝|X－1|的概率分布．解由(2)知m＝0.3，列表∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为2.若本例(2)解依题意知η的值为0,1,4,9,16.P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝X2的概率分布为思维升华 (1)以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X ≤710)．解 (1)由概率分布的性质，得P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P (110<X ≤710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝615＝25.题型二 离散型随机变量概率分布的求法 命题点1 与排列、组合有关的概率分布的求法例2 (2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的概率分布．解 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14. (2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的概率分布为命题点2 例3 (2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的概率分布．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ， P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.故X 的概率分布为命题点3 与独立事件(例4 (2016·南京模拟)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的概率分布．解 (1)用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的概率分布为思维升华 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的概率分布． 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的概率分布．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4.A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33(16)3＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23(16)2·16＝5108.(2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝(16)2＋2×C 12×16×16＝536， P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554. 故ξ的概率分布为题型三 超几何分布例5 (2016·连云港模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ， 则P (A )＝C 13·C 27C 310＝2140.(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)． ∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的概率分布为思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的概率分布．解 (1)设“选出的3名同学来自互不相同学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)． ∴P (X ＝0)＝C 04·C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14·C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24·C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34·C 06C 310＝130.故随机变量X 的概率分布是15．离散型随机变量的概率分布典例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的概率分布．错解展示现场纠错解P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9，P(ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.∴ξ的概率分布为纠错心得(1)随机变量的概率分布，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．(2)验证随机变量的概率和是否为1.1．(2016·扬州模拟)某射手射击所得环数X 的概率分布为答案 0.79解析 根据X 的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 2．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝________. 答案 1－22解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，12＋－2q ＋q 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧q ≤12，2q 2－4q ＋1＝0，解得q ＝1－22. 3．(2016·泰州模拟)已知随机变量X 的概率分布为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2<X ≤4)＝________. 答案710解析 由概率分布的性质知， 12a ＋22a ＋32a ＋42a ＝1， 则a ＝5，∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝710.4．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝i )＝a (13)i，i ＝1,2,3，则实数a 的值为________．答案2713解析 ∵随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝i )＝a (13)i，i ＝1,2,3，∴a [13＋(13)2＋(13)3]＝1，解得a ＝2713.5．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________． 答案1235解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．(2016·盐城模拟)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的概率分布是________． 答案解析 ∵5只白鼠任取一只，每只白鼠被取到的概率为5，∴P (Y ＝1)＝15，P (Y ＝2)＝15，P (Y ＝3)＝25，P (Y ＝4)＝15.∴随机变量Y 的概率分布为7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题，X ＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对．8．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P d 的取值范围是________． 答案 23 [－13，13]解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.9．设离散型随机变量X 的概率分布为若随机变量Y ＝|X －2|，则P (Y ＝2)＝________. 答案 0.5解析 由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0) ＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.10．(2016·南通模拟)口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的概率分布为______________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的概率分布为11.(2015·山东改编)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的概率分布．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为0，－1,1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的概率分布为12.(2016·遂宁期末)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片． (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的概率分布．(注：若三个数字a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数) 解 (1)由古典概型的概率计算公式得 P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，则 P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.所以X 的概率分布为*13.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的概率分布． 解 (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A ， 则事件A 发生的概率P (A )＝C 1n －6C 16C 2n ＝n －n n －.依题意n －n n －≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0， ∴9≤n ≤16，故n 的最大值为16.(2)由题意，得ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布， 则P (ξ ＝k )＝C k 6C 2－k6C 212(k ＝0,1,2)，∴P (ξ＝0)＝P (ξ＝2)＝C 06C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611.故ξ的概率分布为。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十二章 概
1.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是________．答案 3π解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π.2．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． 答案 14－12π解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为 P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.3．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 答案 12解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0， 所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.4．已知在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则当点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则当点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， 得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率 P ＝32－02－0＝34.6．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 7．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ，由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8.如图，在面积为S 的矩形ABCD 内任取一点P ，则△PBC 的面积小于S4的概率为________．答案 12解析 如图，设△PBC 的边BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直线交AD 于点E ，当△PBC 的面积等于S 4时，12BC ·PF ＝14BC ·EF ，所以PF ＝12EF .过点P 作GH 平行于BC 交AB 于点G ，交CD 于点H ，则满足条件“△PBC 的面积小于S4”的点P 落在矩形区域GBCH 内．设“△PBC 的面积小于S 4”为事件A ，则构成事件A 的区域的面积为S2，而试验的全部结果所构成的区域面积为S ，所以由几何概型概率的计算公式得P (A )＝S2S ＝12.所以△PBC 的面积小于S 4的概率是12.9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体， 故所求概率为1A A BD V V 长方体＝16.10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.11．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，求函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率．解 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 12．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2) 若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．答案 1－2π解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.14．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a .如图所示，事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83， 故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.15．(2017·江苏阜宁中学质检)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率为________．答案 1－π4解析 由题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4. 16．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部． 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
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§12.1 随机事件的概率考情考向分析 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，试题为简单题，题型为填空题．1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )．2．事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 知识拓展互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)题组二教材改编2．[P96例2]某出版公司对发行的三百多种教辅用书实行跟踪式问卷调查，连续五年的调查结果如表所示：则本公司问卷返回的概率约为________．答案0.95解析949÷1 006≈0.943 34,1 430÷1 500≈0.953 33，1 917÷2 015≈0.951 36,2 890÷3 050≈0.947 54,4 940÷5 200＝0.95.都稳定于0.95，故所求概率约为0.95.3．[P115练习T5]在公交汽车站，等候某条线路车的时间及其概率如下：则至多等候3 min的概率为________，至少等候5 min的概率为________．答案0.550.2解析至多等候3 min的概率P1＝0.1＋0.2＋0.25＝0.55，至少等候5 min的概率P2＝0.15＋0.05＝0.2.题组三易错自纠4．若A，B为对立事件，则P(AB)＝________.答案0解析A，B为对立事件，所以A，B同时发生的概率为0.故P(AB)＝0.5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为________．答案1 5解析由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝4·A33C36·A33＝1 5.6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．答案0.35解析∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.题型一事件关系的判断1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有________组．答案 1解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是________．答案至多有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P (C )． 答案 ①解析 当取出的两个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，③不正确；显然A 与D 是对立事件，①正确；C ∪E 不一定为必然事件，P (C ∪E )≤1，④不正确；P (B )＝45，P (C )＝35，⑤不正确．思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 题型二 随机事件的频率与概率典例 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． (2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．跟踪训练 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．题型三 互斥、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率典例 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率也是512，试求取到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”分别是A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14， 因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又取到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又取到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)，所以黑球有12－4－3－2＝3(个)． 因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率典例 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率． 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2) ＝512＋412＝34. (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4， 所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．跟踪训练 某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.用正难则反思想求对立事件的概率典例 (14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解． 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[14分]。
2019高考数学大一轮复习 12.4随机变量及其概率分布教师用书 理 苏教版.doc
2019高考数学大一轮复习 12.4随机变量及其概率分布教师用书 理苏教版1．随机变量的概率分布(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． (2)一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，分别是x 1，x 2，…，x n ，且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .称此式为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列． 如果用下表X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n来表示，则称为随机变量X 的概率分布表． 具有性质：①p i __≥__0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＝__1__.随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为X 0 1P1－pp其中0<p <1，则称随机变量X 服从两点分布． 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么 P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N (r ＝0,1,2，…，l )．即X 0 1 … lPC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C l M C n －lN －MC n N其中l ＝min{n ，M }，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量的概率分布表具有上表的形式，则称X 服从超几何分布． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (5)随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )1．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有________个． 答案 17解析 X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 2．随机变量X 的概率分布表如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________. 答案 23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.3．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1,2,3,4,5，则P (12<X <52)＝________.答案 15解析 ∵P (X ＝k )＝k15，∴P (X ＝1)＝115，P (X ＝2)＝215，∴P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝315＝15.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得，n ＝10.题型一 随机变量的概率分布的性质 例1 设X 是一个随机变量，其概率分布表为X －1 0 1P121－2qq 2则q ＝________.思维点拨 利用概率分布的性质求解． 答案 1－22解析 由概率分布的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，得，q ＝1－22. 思维升华 (1)任一随机变量所代表的随机事件发生的概率P ≥0； (2)概率分布中各概率之和等于1.设随机变量X 的概率分布表为X 0 1 2 3 4P0.20.10.10.3m求：(1)2X ＋1的概率分布； (2)|X －1|的概率分布． 解 由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为X0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得两个概率分布为 (1)2X ＋1的概率分布2X ＋113 5 7 9P 0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的概率分布|X－1|012 3P 0.10.30.30.3题型二求离散型随机变量的概率分布例2 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．思维点拨先确定随机变量X＝i(i＝0,1,2,3)的取值，由表可计算出P(X＝i)(i＝0,1,2,3)．解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋5 20＝3 10.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝3 4 .所以X的概率分布为X 2 3P 1434思维升华求随机变量X的概率分布的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的概率分布．求随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．(1)从中任取一支，求其标价X 的概率分布；(2)从中任取两支，若以Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y 的概率分布．解 (1)X 的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X 的概率分布为X 10 20 30 40 P14141414(2)根据题意，Y 的可能取值为20,30,40，且P (Y ＝20)＝1C 24＝16，P (Y ＝30)＝2C 24＝13， P (Y ＝40)＝3C 24＝12.所以Y 的概率分布为Y 20 30 40 P161312题型三 超几何分布例3 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个． (2)X 服从超几何分布， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为X 0 1 2 3 P112512512112思维升华 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528；P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的概率分布为ξ0 1 2 3 P5211528314184随机变量取值不全致误典例：(14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ. (1)求随机变量ξ的概率分布； (2)求随机变量ξ的均值．易错分析 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． 规范解答解(1)由题意可得，随机变量ξ的取值是2,3,4,6,7,10.[2分]且P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，P(ξ＝3)＝C12×0.3×0.4＝0.24，P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝6)＝C12×0.3×0.3＝0.18，P(ξ＝7)＝C12×0.4×0.3＝0.24，P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.[8分]故随机变量ξ的概率分布为ξ2346710P 0.090.240.160.180.240.09[10分](2)随机变量ξ的均值E(ξ)＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.[14分]温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.方法与技巧1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．失误与防范掌握随机变量的概率分布表，须注意：(1)概率分布表的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布表的正误.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．随机变量X 的分布列为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为________． 答案 56解析 ∵P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是________． 答案 一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析 ξ＝4即点数之和为4，故试验结果为一颗3点，一颗1点或两颗都是2点． 3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布规律为P (X )，则P (X ＝4)的值为________． 答案27220解析 由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.4．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为________． 答案155解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，若P (X ＝k )＝C 47C 68C 1015，则k ＝________.答案 4解析 X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4.6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)、若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X ＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.8．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________. 答案 16解析 相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)． 所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝136＋236＋336＝16. 9．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． (1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的概率分布． 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， 则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为X 0 5 10 15 20 P1416161614B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为________． 答案 7解析 ∵1＋5＝2＋4,2＋3＝1＋4,3＋4＝2＋5， ∴X 的所有可能值为C 25－3＝7.2．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布表为X 0 1 2 P答案 0.1 0.6 0.3 解析 P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.3．由于电脑故障，使得随机变量X 的概率分布表中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其表如下：X 1 2 3 4 5 6 P0.200.100.x 50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为________． 答案 2,5解析 由于0.20＋0.10＋0.x 5＋0.10＋0.1y ＋0.20＝1，得0.x 5＋0.1y ＝0.40，于是两个数据分别为2,5.4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的概率分布表为__________________________． 答案η0 1 2 P141214解析 η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布表为η0 1 2 P1412145.已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(x ，y ≥0，且x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布． 解 (1)由题意知P ＝C 1x C 1y C 11C 26C 14＝xy 60≤160(x ＋y 2)2＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3. 则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310， P (ξ＝3)＝C 22C 12C 26C 14＝130，所以红球个数ξ的概率分布为ξ012 3P 15715310130。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十二章 概
§12.5二项分布及其应用考情考向分析以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档．1．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．2．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(×)(2)相互独立事件就是互斥事件．(×)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b ＝1－p.(×)(5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( √ ) 题组二 教材改编2．[P66练习T2]天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________． 答案 0.38解析 设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.3．[P67习题T10]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________． 答案 0.648解析 该同学通过测试的概率P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63＝0.432＋0.216＝0.648.题组三 易错自纠4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为________． 答案512解析 因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P ＝23×14＋13×34＝512.5．已知随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (ξ＝2)＝________.(用数字作答) 答案80243解析 P (ξ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫234＝80243. 6．一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为________．答案 23解析 设此射手未命中目标的概率为p ，则1－p 4＝8081，所以p ＝13，故1－p ＝23.题型一 相互独立事件的概率典例 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的概率分布．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220， 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25，故所求的概率分布为思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练 为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确的概率．解 (1)记“甲回答正确”、“乙回答正确”、“丙回答正确”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34， 且有⎩⎨⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎨⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596，有1个家庭回答正确的概率为P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724，所以不少于2个家庭回答正确的概率为P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.题型二 独立重复试验与二项分布命题点1 根据独立重复试验求概率典例 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品． (1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为22，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的概率分布．解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 45150×10＝3，60150×10＝4，30150×10＝2，15150×10＝1. (2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C 44⎝⎛⎭⎫224＝14， 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为 C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫342＝27128.(3)由题意，知X 的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 28C 22C 410＝215，P (X ＝3)＝C 38C 12C 410＝815，P (X ＝4)＝C 48C 02C 410＝13.所以X 的概率分布为命题点2 根据独立重复试验求二项分布典例 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，得P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的概率分布为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．跟踪训练 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的概率分布．解 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫35＝36125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎫253⎝⎛⎫350＝8125. 所以X 的概率分布为独立事件与互斥事件典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是37，乙夺得冠军的概率是14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． (2)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．现场纠错解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14.∵A ，B 是互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则 P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. 答案 (1)1928 (2)881纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”． (2)区分独立事件与n 次独立重复试验．。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十二章 概率、随机变量及其概率分布12.4课时作业
1．某射手射击所得环数X 的概率分布为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________． 答案 0.79解析 根据X 的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)＝________. 答案 45解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.3．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝________. 答案 32－336解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 4．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为________． 答案2738解析 由概率分布的性质得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝m ×23＋m ×⎝⎛⎭⎫232＋m ×⎝⎛⎭⎫233＝38m 27＝1， ∴m ＝2738.5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球、1个红球的概率是________． 答案1235解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为________． 答案 23解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的概率分布为______________________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的概率分布为8.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.9．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.10．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为_______________． 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布为11.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)． P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.所以随机变量X的概率分布为12．若随机变量η的概率分布如下：则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是________．答案(1,2]解析由离散型随机变量的概率分布知P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.13．一只口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X，若P(X＝2)＝730，求：(1)n的值；(2)X的概率分布．解(1)由题意知P(X＝2)＝A13A1nA2n＋3＝3n(n＋3)(n＋2)＝7 30，化简得7n2－55n＋42＝0，即(7n－6)(n－7)＝0，因为n∈N*，所以n＝7.(2)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝A17A110＝710，P(X＝2)＝730，P(X＝3)＝A23A17A310＝7120，P(X＝4)＝1－710－730－7120＝1120，所以X的概率分布为14．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)， 则12(n －6)n (n －1)≥12.化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，所以X 的概率分布为15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的概率分布是________． 答案解析 ξ的可能取值为0,1， 2. P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.16．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的概率分布为。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.1 随机事件的概率 理-人
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.1 随机事件的概率 理1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B )相等关系 若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B )交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B (或AB )互斥事件 若A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝∅)，则称事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件 若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件P (A )＋P (B )＝1(1)概率的取值X 围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ ) (6)两互斥事件的概率和为1.( × )1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． ①至多有一次中靶 ②两次都中靶 ③只有一次中靶 ④两次都不中靶 答案 ④解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为________． 答案 0.3解析 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.3．(2015·某某改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石． 答案 169解析 因为样品中米内夹谷的比为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一 事件关系的判断例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件． (4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生．解①是互斥事件，不是对立事件．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．②不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．③是互斥事件且是对立事件．“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立．题型二随机事件的频率与概率例2 (2015·)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn(1)(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解 (1)依据公式f ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二 设红球有n 个，则n12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是312＝14，212＝16，312＝14.命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1X 奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率0.320.280.180.12(1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，则B 表示事件“射击一次，命中不足8环”． 又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. 故P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.22．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规X解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[8分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[10分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[14分]温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示 (1)对统计表的信息不理解，错求x ，y ，难以用样本平均数估计总体． (2)不能正确地把事件A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )． 2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． [失误与防X]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件；②若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件；③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 互为对立事件；④若事件A 与B 互为对立事件，则事件A ∪B 为必然事件，其中，真命题是________． 答案 ②④解析 对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M 与N 是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A 、B 为对立事件，则一次试验中A 、B 一定有一个要发生，故④正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 答案1735解析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______________．答案0.35解析“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率＝1－P(A)＝0.35. 4．从存放的分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一X卡片并记下，统计结果如下：卡片12345678910取到次数138576131810119则取到为奇数的卡片的频率是________．答案0.53解析取到为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53. 5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案0.45解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A <1，0<P B <1，P A ＋P B ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43.9．(2014·某某)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.10．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解(1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180,185)的人数为4，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，AB ，共15种情况，因事件E ＝{|x －y |≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB ，共7种情况，故P (E )＝715.由于|x －y |max ＝195－180＝15，所以事件F ＝{|x －y |>15}是不可能事件，P (F )＝0. 由于事件E 和事件F 是互斥事件， 所以P (E ∪F )＝P (E )＋P (F )＝715.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是___________．①A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件． 答案 ④解析 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，④正确．12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________． 答案 45解析 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，解得x <8，所以x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________． 答案 9解析 由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋x y )≥9，当且仅当4y x ＝xy，即x＝2y 时等号成立．14.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P (B 1)<P (B 2)， ∴乙应选择L 2.15．(2015·某某)随机抽取一个年份，对某某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期12345678910 11 12 13 14 15(2)某某市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，某某市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.。
新高考苏教版数学理大一轮复习训练12.3几何概型(含答案解析)
12.3 几何概型有 5 根竹竿,度位:m)为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9, 若从中一次 随机抽取2 根竹竿度恰巧相差 0.3 m ________. 分析 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的10,度恰巧相差 0.3 m 的事2,是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9, 所求0.2. 答案 0.2 2．一个靶子上有 10 个，半径1,2 ，⋯ ， 1中由内至外的地区 10,9 ，⋯ 要素一次，在的状况 下成绩为10环的概率为________． 2 π×1 分析 所2＝ π×10 1 100答案 1 100 3. 点等于 3周上的一个定点．圆周上随机取一点 劣弧 A 度小于 1 的_______． 答案 2 3 4.,豆子随机扔到所示桌面上 , 假定豆子不上影地区的_______．分析由几何概型知 : 3 1 P . 9 3答案 1 3 5．如下上挂a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是 a 以正方圆心，弧，某人向此，假定每次中2 木板中木板上每个点的可能性都同中暗影部分的概率是________． a 2－π 2a 2 π 分析 所求概率为P ＝ 2 ＝1－ . a 4π答案 1－ 4πx 16．在区间[ －1,1] 上随机取一个数 x ，则使得 cos 的值介于 0 到22之间的概率 为________． 分析πx 位于2 πx 1 cos 的值位于 0， 2 2，取数－1，－2 3∪ 2，1 内，根 3据几何概 1 2×3 1 ＝ . 3 2答案 1 37．A点，分π 2－2 π P ＝＝1－ . 24π答案 1－48．方程 x2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))根的________． 分析 方程 x2＋x ＋n ＝0，n ∈(0,1)根 ? Δ＝1－4n ≥ 0， 即 n ≤1 4 . 故所求概率为： 14. 答案 1 49．如下图，在直系内O T 落在30°边上，任作一条射线 O O A 落∠ y O T 内的________． 分析图，由O A 系内是等可能散布60 1 概率为＝ . 360 6 答案 1 6 10以方形 A B C D 的正方形内随机投一该点落在暗正2，暗影地区的一半等于正方形π－暗影地区为2π－4， 2π－4 π－2 因此所求P ＝ . 4 2 ＝答案π－2211．[,1] 上任取两个数a ，对于 x 的方程 x 2＋2a x ＋b2＝0数根的________． 分析 由题意得 Δ＝4a 2－4b 2≥ 0， 0≤ a ≤ 1， 0≤ b ≤ 1， ∵a ， b ∈ [0,1] ，∴a ≥ b. ∴ 画出该不等式组表示的可行域 ( 如a ≥b ， 图中暗影部分所示 ) ．故所求概率等于三角与正方之比，即所求概 1 率为 2. 答案 1 2 12．在水平搁为5 c m 的木杆上悬挂点与木杆两头距离都大于 2 cm 的概率是 ________． 分析意，得挂点段 CD 内， C 度 1 故所求P ＝ ＝ . A B 的长度 5 答案1513．已知平面地区 U ＝{( x ，y)| x ＋y ≤ 6，x ≥ 0，y ≥ 0}，A ＝{( x ，y)| x ≤ 4，y ≥ 0， x －2y ≥分析意可在S A 2 由图可知 S U ＝18，S A ＝4，则点 P 落入地区 A 的概率为P ＝ . ＝ S U 9答案29 二、解答题14．如下图O 的某向来径上随机的取一点 Q 点Q 直径 垂直长度不超出1 的概率． 分析 弦长不超出1，即 O Q ≥ 3 ，而 Q 点在直径 AB 上是随机的， 事件 A ＝{ 弦长 2 超出1} ．由几何概型的概率公式得 P ( A) ＝ 3 ×2 2 2 ＝3. 2 ∴弦长不超出1 的概率为1－P( A) ＝1－ 3 . 2 15．已知等腰 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°. (1) 在线段 B C 上任取一点 M ，求使∠ CAM<30°的概率； (2) 在∠ CAB 内任作射线A M ，求使∠ CAM<30°的概率． 分析 (C M ＝0<x <a.(BC ＝a) ． 若∠ CAM<30°，则0＜x ＜ 3 a ， 3 故∠ CAM<30°的概率为 30，a度 3 P ＝＝ ，a33(∠ C A M ＝0°< θ<45°，若∠ CAM<30°，则0°< θ<30°， 故∠ CAM<30°的概率为 P ＝ ， 的长度 2 ＝ . ， 的长度 316．已知对于 x 的一次函数 y ＝mx ＋n.(会合 P＝{－2， 1,1,2,} 和 Q ＝{－2,3} 从会合 P 和 Q 中随机取一个m 和 n ，求函数 y ＝mx ＋n 是增函数的概率； m ＋n －1≤ 0， (数 m 条件 －1≤m ≤ 1， 求函数 y ＝m x ＋n 过一、 二、 －1≤ n ≤ 1， 三象限的概率． 分析 ()抽取的果的基本领件有： ( －2，－ 2)，( －2,3) ，( －1，－2) ，( －1,3) ，(1，－ 2)，(1,3) ，(2，－ 2)， (2,3) ，(3，－ 2)，(3,3，共则A 包括的基本领件有： (1，－2) ，(1,3) ，(2，－2)，(2,3) ，(3，－2) ，(3,3) ， 共 6 个基本领件，因此， P ( A) ＝ 6 3 ＝ .10 5 m ＋n －1≤ 0， －1≤ m ≤ 1， (2) m 条件 的地区如下图： －1≤ n ≤ 1要使函一、二、三象m ＞0，n ＞0，故使一、二、 1 2 1 三象限的 (m ，n ) 的第一象限的暗影部分，∴所求事件的P ＝ . ＝ 7 7 217．已知 | x | ≤ 2， | y | ≤ 2，点 P ( x y ) ，求当x ，y ， ( x －2) 2 ＋( y －2) 2≤ 4 的概率． 思路剖析意象可之比． 分析 2＋( y －2) 2≤ 4 的点的以 1 π×2 4 ∴所求的概率 P 1＝ 4×4 2π ＝ . 16【评论】 解决几何概型的题一般，目，找到区 可好地表现了思想的重要性 . 18．已知会合 A ＝{－2,0,2} ，B ＝{－1,1}合 M 内随机拿出一个元素 ( x ，y) ． (1) 求以 ( x ，的点x 2＋y 2＝1 上的概率； x －y ＋2≥ 0， (2) 求以 ( x ，的点位于地区 D ： x ＋y －2≤ 0， 内() 的概率．y ≥ － 1 分析 (“以 ( x，的点x 2＋y 2＝1 事件 基本领件 6. 因x 2＋y 2＝1 上的点有(2 1 因此 P( A ) ＝ ＝ . 6 3(“以 ( x ，的点位于地区事件 基本6，由图 知位于地区 D 内( ) 的点有： ( －2，－1) ，(2，－ 1)，(0，－1) ，(0,1) 共 4 24个，即 B 包括的基本领4，故 P( B ) ＝3.＝ 6。
高考数学一轮总复习 13.4 随机变量及其概率分布课件 理 苏教版
第三十页，共31页。
若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对， 故 P(X＝ 2)＝C6212＝111 于是 P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝ 2)＝1－141－111＝161， 所以随机变量 X 的分布列是
• 2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布 列的正误．
• 3．求概率分布的常见类型 • (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布
第二十五页，共31页。
• 思想方法12——分类讨论思想在概率中的应用 • 【典例】 在一个盒子(hézi)中，放有标号分别
为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子(hézi)中， 有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y
，记X＝|x－2|＋|y－x|. • (1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取
得最大值”的概率；
第二十六页，共31页。
解 (1)∵x，y 可能的取值为 1,2,3， ∴|x－2|≤1，|y－x|≤2， ∴X≤3，且当 x＝1，y＝3 或 x＝3，y＝1 时，X＝3. 因此，随机变量 X 的最大值为 3. ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3＝9(种)， ∴P(X＝3)＝29. 故随机变量 X 的最大值为 3，事件“X 取得最大值”的概率为29.
第二十三页，共31页。
(2)X 服从超几何分布，其中 N＝10，M＝5，n＝3，
其中 P(X＝k)＝Ck5CC31350－k，k＝0,1,2,3.
于是可得其分布列为
X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
第二十四页，共31页。
• 1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所 有可能(kěnéng)值及对应的概率，要注意避免 分类不全面或计算错误．
高考数学(江苏专用,理科)大一轮复习讲义课件：第12章 概率、随机变量及其概率分布 12.2
，
) 其
和
为
5
的
概
率
是
√ 0.2.( )
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合
A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中
元素个数为m，mn 则√事件A的概率为 .(
)
答案
2 考点自测
1.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值
为2的概13率是________.
所以所求的概率是25.
1 2 3 4 5 解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 基本事件与古典概型的判断
例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有 一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事 件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解 由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不 同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等， 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
球颜5 色不同的概率为________. 6
解析 基本事件共有 C24＝6 种，
设取出两只球颜色不同为事件A.
A 包含的基本事件有 C12C12＋C11C11＝5 种. 故 P(A)＝56.
解析答案
(3)(2014·四 川 ) 一 个 盒 子 里 装 有 三 张 卡 片 ， 分 别 标 记 有 数 字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽 取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b， c. ①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
失误与防范
1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在 计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不 是等可能的. 2.概率的一般加法公式： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 公 式 使 用中 要 注 意： (1) 公 式的 作 用 是求 A∪B的 概 率 ， 当 A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要 的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方 程，知三可求一.
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12.4 随机变量及概率分布
一、填空题
1.下列变量为离散型随机变量的是_______． ①掷10
②
④ 高三（9）班某学生的身高
解析 ①、②、④ 中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X 不是离散型随机变量; ③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量.
答案 ③
2. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为_______．
解析 X 的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种． 答案 7
3.已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝
2k
a
(k ＝1,2,3)，则P(X ＝2)等于_______．
解析 ∵12a +22a +32a ＝1，∴a ＝3，P(X ＝2)＝1
3.
答案 1
3
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．
当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23
C 312＝27220
.
答案
27220
5．设随机变量X 的概念分布P (X ＝k )＝
c k ＋1
，k ＝0、1、2、3，则c ＝________.
解析 由P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1得：c 1＋c 2＋c 3＋c
4＝1，
∴c ＝1225. 答案
1225
6．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________． 解析 设X 的概率分布为：
即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝1
3.
答案
13
7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于________．
解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582
.
答案 C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________．
解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22
C 36＝45
.
答案
45
9．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为3
4，则射
击次数为3的概率为________．
解析 “X ＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件， 则P (X ＝3)＝14×14×34＝3
64.
答案 3
64
10．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝
________.
解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.
答案 3
5
11．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.
解析 法一 由已知，X 的取值为7,8,9,10，
∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12
C 35＝310，
P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11
C 35＝110
，
∴X 的概率分布为
∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝
10＋5＋10＝45
.
法二P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－C2
2
C1
2
C3
5
＝
4
5
.
答案4 5
12．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案－1,0,1,2,3
13．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有
1人是女生的概率是34
35
.则n＝________.
解析三人中没有女生的概率为
C3
3
C3n
＋3
.
∴三人中至少有一人是女生的概率为：1－
C3
3 C3n
＋3
由题意得：1－
C3
3
C3n
＋3
＝
34
35
.解得n＝4.
答案 4
二、解答题
14.设离散型随机变量X的分布列为
(2)|X－1|的分布列．
解析由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为：
(1)2X＋1的分布列：
15.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．
解析容易求出X取1,2,3,4时的概率分别为0.9,0.09,0.009,0.0009，当X＝5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(X＝5)＝0.000 1，从而知耗用子弹数X的分布列为
1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．
解析(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张
或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P ＝C 14C 16＋C 24C 210
＝3045＝23.
⎝
⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26
C 210＝1－1545＝23.
(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 1
6
C 210＝25，
P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16
C 210＝215，
P (X ＝60)＝C 11C 13
C 210＝115
.
所以X 的概率分布为：
17.个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的概率分布． 解析 (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33
C 25A 44＝140，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40
.
(2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 4
4C 25A 44＝1
10，
所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率
P (E )＝1－P (E )＝910
.
(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服
务，则P (X ＝2)＝C 25A 33
C 25A 44＝14
.
所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝3
4
，X的概率分布是
18.4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解析X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的概率分布为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。