基础算法教案

基础算法教案目录第一课算法简介 (1)第二课多精度数值处理 (1)第三课排列与组合 (6)第四课枚举法 (9)第五课递归与回溯法 (25)第六课递推法 (42)第七课贪心法 (50)第八课分治法 (64)第九课模拟法 (70)习题 (79)第一课算法简介算法是一组（有限个）规则，它为某个特定问题提供了解决问题的运算序列。

在信息学竞赛中，就是计算机解题的过程。

在这个过程中，无论是形成解题思路还是编写算法，都是在实施某种算法。

前者是推理实现的算法，后者是操作实现的算法。

计算机解题的核心是算法设计。

一个算法应该具有以下五个重要特征：①有穷性：一个算法必须能在执行有限步之后结束；②确切性：算法的每一步骤必须确切定义；③输入：一个算法有零个或多个输入，以描述运算对象的初始情况。

所谓0个输入是指算法本身给出了初始条件；④输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据处理后的结果。

没有输出的算法是毫无意义的；⑤可行性：算法原则上能够精确的运行，而且其运算规模是可以承受的。

为了获得一个既有效又优美的算法，必须首先了解一些基本的常用算法设计思路。

下面，我们就对构成算法所依据的一些基本方法展开讨论，如递推法，递归法，枚举法，分治法，模拟法，贪心法等。

第二课多精度数值处理课题：多精度数值的处理目标：知识目标：多精度值的加、减、乘、除能力目标：多精度值的处理，优化！重点：多精度的加、减、乘难点：进位与借位处理板书示意：1）输入两个正整数，求它们的和2）输入两个正整数，求它们的差3）输入两个正整数，求它们的积4）输入两个正整数，求它们的商授课过程：所谓多精度值处理，就是在对给定的数据范围，用语言本身提供的数据类型无法直接进行处理（主要指加减乘除运算），而需要采用特殊的处理办法进行。

看看下面的例子。

例1 从键盘读入两个正整数，求它们的和。

分析：从键盘读入两个数到两个变量中，然后用赋值语句求它们的和，输出。

但是，我们知道，在pascal语言中任何数据类型都有一定的表示范围。

而当两个被加数据大时，上述算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另外一种方法。

在读小学时，我们做加法都采用竖式方法，如图1。

这样，我们方便写出两个整数相加的算法。

如果我们用数组A 、B 分别存储加数和被加数，用数组C 存储结果。

则上例有A[1]=6, A[2]=5, A[3]=8, B[1]=5,B[2]=5, B[3]=2, C[4]=1,C[3]=1, C[2]=1,C[1]=1,两数相加如图2所示。

由上图可以看出：C[i]:= A[i]+B[i];if C[i]>10 then begin C[i]:= C[i] mod 10; C[i+1]:= C[i+1]+1 end;因此，算法描述如下：procedure add(a,b;var c);{ a,b,c 都为数组，a 存储被加数，b 存储加数，c 存储结果 }var i,x:integer;begini:=1while (i<=a 数组长度>0) or(i<=b 数组的长度) do beginx := a[i] + b[i] + x div 10; {第i 位相加并加上次的进位}c[i] := x mod 10; {存储第i 位的值}i := i + 1 {位置指针变量}endend;通常，读入的两个整数用可用字符串来存储，程序设计如下：program exam1;constmax=200;vara,b,c:array[1..max] of 0..9;n:string;lena,lenb,lenc,i,x:integer;beginwrite('Input augend:'); readln(n);lena:=length(n); {加数放入a 数组}for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n[i])-ord('0');write('Input addend:'); readln(n);lenb:=length(n); {被加数放入b 数组}for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n[i])-ord('0');i:=1;while (i<=lena) or(i<=lenb) do begin8 5 6+ 2 5 51 1 1 1 图1 A 3 A2 A 1 + B3 B 2 B 1 C4 C 3 C 2 C 1图2x := a[i] + b[i] + x div 10; {两数相加，然后加前次进位}c[i] := x mod 10; {保存第i位的值}i := i + 1end;if x>=10 then {处理最高进位}begin lenc:=i;c[i]:=1 endelse lenc:=i-1;for i:=lenc downto 1 do write(c[i]); {输出结果}writelnend.例2 高精度减法。

从键盘读入两个正整数，求它们的差。

分析：类似加法，可以用竖式求减法。

在做减法运算时，需要注意的是：被减数必须比减数大，同时需要处理借位。

因此，可以写出如下关系式if a[i]<b[i] then begin a[i+1]:=a[i+1]-1;a[i]:=a[i]+10 endc[i]:=a[i]-b[i]类似，高精度减法的参考程序：program exam2;constmax=200;vara,b,c:array[1..max] of 0..9;n,n1,n2:string;lena,lenb,lenc,i,x:integer;beginwrite('Input minuend:'); readln(n1);write('Input subtrahend:'); readln(n2);{处理被减数和减数}if (length(n1)<length(n2)) or (length(n1)=length(n2)) and (n1<n2) thenbeginn:=n1;n1:=n2;n2:=n;write('-') {n1<n2,结果为负数}end;lena:=length(n1); lenb:=length(n2);for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n1[i])-ord('0');for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n2[i])-ord('0');i:=1;while (i<=lena) or(i<=lenb) do beginx := a[i] - b[i] + 10 + x; {不考虑大小问题，先往高位借10}c[i] := x mod 10 ; {保存第i 位的值}x := x div 10 - 1; {将高位借掉的1减去}i := i + 1end;lenc:=i;while (c[lenc]=0) and (lenc>1) do dec(lenc); {最高位的0不输出}for i:=lenc downto 1 do write(c[i]);writelnend.例3 高精度乘法。

从键盘读入两个正整数，求它们的积。

分析：类似加法，可以用竖式求乘法。

在做乘法运算时，同样也有进位，同时对每一位进乘法运算时，必须进行错位相加，如图3, 图4。

分析C 数组下标的变化规律，可以写出如下关系式C i = C ’ i +C ”i +…由此可见，C i 跟A[i]*B[j]乘积有关，跟上次的进位有关，还跟原C i 的值有关，分析下标规律，有x:= A[i]*B[j]+ x DIV 10+ C[i+j-1];C[i+j-1] := x mod 10;类似，高精度乘法的参考程序：program exam3;constmax=200;vara,b,c:array[1..max] of 0..9;n1,n2:string;lena,lenb,lenc,i,j,x:integer;begin8 5 6× 2 54 2 8 01 7 1 22 1 4 0 0 图3A 3 A 2 A 1 ×B 3 B 2 B 1C ’4C ’3 C ’2 C ’1C ”5C ”4C ”3C ”2C 6 C 5 C 4 C 3 C 2 C 1图4write('Input multiplier:'); readln(n1);write('Input multiplicand:'); readln(n2);lena:=length(n1); lenb:=length(n2);for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n1[i])-ord('0');for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n2[i])-ord('0');for i:=1 to lena do beginx:=0;for j:=1 to lenb do begin {对乘数的每一位进行处理}x := a[i]*b[j] + x div 10 + c[i+j-1]; {当前乘积+上次乘积进位+原数}c[i+j-1] := x mod 10;end;c[i+j]:= x div 10; {进位}end;lenc:=i+j;while (c[lenc]=0) and (lenc>1) do dec(lenc);for i:=lenc downto 1 do write(c[i]);writelnend.例４高精度除法。

从键盘读入两个正整数，求它们的商（做整除）。

分析：做除法时，每一次上商的值都在０～９，每次求得的余数连接以后的若干位得到新的被除数，继续做除法。

因此，在做高精度除法时，要涉及到乘法运算和减法运算，还有移位处理。

当然，为了程序简洁，可以避免高精度乘法，用0～9次循环减法取代得到商的值。

这里，我们讨论一下高精度数除以单精度数的结果，采取的方法是按位相除法。

参考程序：program exam4;constmax=200;vara,c:array[1..max] of 0..9;x,b:longint;n1,n2:string;lena:integer;code,i,j:integer;beginwrite('Input dividend:'); readln(n1);write('Input divisor:'); readln(n2);lena:=length(n1);for i:=1 to lena do a[i] := ord(n1[i]) - ord('0');val(n2,b,code);{按位相除}x:=0;for i:=1 to lena do beginc[i]:=(x*10+a[i]) div b;x:=(x*10+a[i]) mod b;end;{显示商}j:=1;while (c[j]=0) and (j<lena) do inc(j); {去除高位的0}for i:=j to lena do write(c[i]) ;writelnend.实质上，在做两个高精度运算时候，存储高精度数的数组元素可以不仅仅只保留一个数字，而采取保留多位数（例如一个整型或长整型数据等），这样，在做运算（特别是乘法运算）时，可以减少很多操作次数。