高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结在高中数学的学习中，归纳数列与排列组合是一类非常重要的概念和方法。
它们不仅在解决实际问题中起着重要作用，还在数学推理和证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍归纳数列与排列组合的重要性质以及解题方法，并总结它们在高中数学中的应用。
一、归纳数列的重要性质及解题方法1. 等差数列和等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
在解决等差数列问题时，可利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
2. 等比数列和等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。
在解决等比数列问题时，可利用等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
3. 斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的叶子排列、螺旋形状等。
求解斐波那契数列问题时，可以利用递推关系式：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示斐波那契数列的第n项，Fn-1表示斐波那契数列的第n-1项，Fn-2表示斐波那契数列的第n-2项。
二、排列组合的重要性质及解题方法1. 排列的计算方法排列是指从一组元素中选取一部分进行排列的方法。
在排列问题中，需要关注选取的元素个数、元素的排列顺序和元素是否可重复选取等因素。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，A(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算方法组合是指从一组元素中选取一部分进行组合的方法。
与排列不同，组合不考虑元素的排列顺序。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数。
高考数学题型归纳：数列题型解题方法
高考数学题型归纳：数列题型解题方法整理了高考数学数列题型解题方法，帮助广大高中学生学习数学知识!高考数学之数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.关于高考数学数列题型解题方法就介绍完了，更多信息请关注高考频道!。
高中数学数列题型及解题方法
高中数学数列题型及解题方法高中数学中，数列是一个非常重要的概念。
对于数列题型的掌握和解题方法的运用，对于学生在数学学习中起到至关重要的作用。
常见的数列题型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
下面将介绍这几种数列的定义和解题方法。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常见的解题方法有：- 求通项公式：通过已知条件求出公差d和首项a1，然后利用通项公式an=a1+(n-1)d来求解。
- 求和公式：通过已知条件求出公差d、首项a1和项数n，然后利用求和公式Sn=n/2(a1+an)来求解。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常见的解题方法有：- 求通项公式：通过已知条件求出公比r和首项a1，然后利用通项公式an=a1*r^(n-1)来求解。
- 求和公式：通过已知条件求出公比r、首项a1和项数n，然后利用求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来求解。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
常见的解题方法有：- 递推公式：利用递推关系an=an-1+an-2来计算斐波那契数列的每一项。
- 通项公式：通过特征方程x^2=x+1，求出两个根φ和1-φ，然后利用通项公式an=Aφ^n+B(1-φ)^n来求解，其中A和B为常数，通过已知条件求解得出。
在解题过程中，可以根据已知条件，选择合适的方法来求解数列问题。
同时，还需要注意理解数列的性质，例如等差数列的公差为常数，等比数列的公比为常数等。
通过对不同类型数列的学习和练习，可以提高对数列问题的理解和解题能力。
高中数学数列经典题型及解析
高中数学数列经典题型及解析1. 求数列的通项公式：题目描述：已知数列的前几项为1，4，9，16，...，求该数列的通项公式。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的平方加1，所以可以得到通项公式为an =n^2 + 1。
2. 求数列的和：题目描述：已知数列的前几项为2，5，8，11，...，求前100项的和。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加3，所以可以得到通项公式为an = 3n - 1。
根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前100项的和为S100 = (100/2)(2 + a100)，代入通项公式，得到S100 = (100/2)(2 + (3*100 - 1)) = 10100。
3. 求等差数列的前n项和：题目描述：已知数列的前几项为3，7，11，15，...，求前20项的和。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加4，所以可以得到通项公式为an = 4n - 1。
根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前20项的和为S20 = (20/2)(3 + (4*20 - 1)) = 820。
4. 求数列的极限：题目描述：已知数列的前几项为1，1/2，1/3，1/4，...，求该数列的极限值。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的倒数，即an = 1/n。
当n趋向于无穷大时，an趋向于0，所以该数列的极限值为0。
5. 求数列的递推关系：题目描述：已知数列的前几项为1，2，4，7，11，...，求该数列的递推关系。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加一个递增的数，递增的数可以依次为1，2，3，4，...，所以可以得到递推关系为an = an-1 + (n-1)。
以上是高中数学中数列的经典题型及解析，希望对你有帮助！。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题是高中数学中的一个重要知识点，对于学生来说，掌握数列的解题方法和技巧是提高数学素养的关键之一。
下面我们将介绍一些常见的数列试题解题方法和技巧。
一、等差数列解题方法和技巧：
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前面的一项之间的差等于同一个常数d（称为公差）。
解等差数列试题时需要注意以下几点：
1. 求等差数列的通项公式，通常用a_n表示第n项，a_1表示第一项，d表示公差。
如果已知首项a_1和公差d，则通项公式为：a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 判断一个数列是否是等差数列，可以计算相邻两项的差，如果差值相等，则说明数列是等差数列。
3. 在求和问题中，可以利用等差数列的性质：n个等差数列的和等于首项和末项的和乘以项数的一半。
总结：解高中数学数列试题的方法和技巧需要掌握数列的基本概念和性质，熟练掌握通项公式、公式的应用以及特殊数列的特点。
在解题过程中，要注意分析题目的要求，灵活运用已掌握的知识和技巧，多加练习和思考，在积累经验的基础上提高解题的效率和准确性。
高中数学数列求解方法 (完整版)
高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B C αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。
数列通项的求法一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法)-高中数学常见题型解法归纳反馈训练
【知识要点】一、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(11≠==-++q q a a d a a nn n n 或常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项.4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nn a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】【例1】在数列{n a }中，16a =，且111n n n a a n n---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值；（2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n = ．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列1{}na 的前n 项和为n S ，证明：42n n S n <+，n *∈N ．【例2】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项. 【反馈检测2】已知等比数列{n a }中，164a =,公比1q ≠,234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求n a ；(2)设2log n n b a =,求数列{||}n b 的前n 项和n T .【例3】数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n ∈N *),求{n a }的通项公式.【点评】（1）已知)()(n f S a f S n n n ==或，一般利用和差法.如果已知1()n n S f a +=1()n f a -或也可 以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验1n =是否满足，能并则并，不并则分. 【例4】已知函数x x x f 63)(2+-= ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S （n N *∈）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和. 试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）因为点(,)n n S 在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=. 当1n =时，311==S a .当1n >时，221(36)[3(1)6(1)]96n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=- 所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为111(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====- ①所以 231111(1)()(3)()(32)(),2222n n T n =+-+-++- ②234111111()(1)()(3)()(32)(),22222n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ， ④方法一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以111111(23)()(21)()[(23)()(21)]()22223111[(21)]()()().2222nn n n n n nT T n n n n n n n ++-=+-+=+-+=+-+=-因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值11.2T =方法三 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以n T 存在最大值211=T . 【反馈检测3】已知数列{n a }的前n 项和14122333n n n S a +=-⨯+(1,2,3,4n =⋅⋅⋅)，求{n a }的通项公式.【例4】已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，111+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nT 为数列{}n S 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：312->n T n . 【解析】（1）法一：112--+=n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- ，122121122221-=--=++++=--n nn n【点评】（1）本题11n n a a n --=-，符合累加法的使用情景1()(2)n n a a f n n --=≥，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是1n -个，不是n 个.【反馈检测4】已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足n n n a a n n a a 求,1,3211+==+【点评】（1）由已知得,11+=+n n a a n n 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出1n -个等式就可以了，不必写n 个等式.【反馈检测5】 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测1答案】33a =，56a =，492a =，68a =.①当1=n 时，21111a a ⨯-==，221222a ⨯==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)2k k k a -+=,22(1)2k k a +=，那么[]22(1)121221(1)(1)1(1)(1)22222k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=⨯-=, [][]2222212(1)2222(1)(2)(1)1(2)222(1)2k k k kk k k a k a a a k ++++++++=====+ ∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立．∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n n n a n ；当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a n ．即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2．（方法2）由（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n nS n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立．②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k k S k ， 那么，当k 为奇数时， 211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k 22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时， )4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ．∴1+=k n 时，不等式也成立． 综上所述：42n n S n <+ 【反馈检测2答案】（1）1164()2n n a -=⨯；(2) n T =⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤-).7(212)6)(7(),7(2)13(n n n n n n .【反馈检测3答案】42n n n a =-【反馈检测4答案】3 1.n n a n =+-【反馈检测4详细解析】由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ 1221(231)(231)(231)(231)3n n --=⨯++⨯+++⨯++⨯++ 12212(3333)(1)3n n n --=+++++-+13(13)2(1)313n n --=+-+-3313n n =-+-+31n n =+- 所以3 1.n n a n =+- 【反馈检测5答案】(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯【反馈检测5详细解析】因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n n a n a +=+， 故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ 1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯ 1(1)(2)212[(1)32]53n n n n n --+-+++=-⋅⋅⨯⨯⨯(1)12325!n n n n --=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
pn2 qn ，则当 n 取最靠近
q 的非零自然数时 Sn 最大；
2p
2、若等差数列 an 的首项 a1 0 ，公差 d 0 ，则前 n 项和 Sn 有最小值
（ⅰ）若已知通项 an ，则 Sn 最小
an
0
；
an 1 0
（ⅱ）若已知 Sn
pn2 qn ，则当 n 取最靠近
q 的非零自然数时 Sn 最小；
an
an 1
可裂项为：
1
an an 1
11 (
d an
1 )，
1
an 1
an
an 1
1
( d
an 1
an )
等差数列前 n 项和的最值问题 ：
1、若等差数列 an 的首项 a1 0 ，公差 d 0 ，则前 n 项和 Sn 有最大值。
（ⅰ）若已知通项 an ，则 Sn 最大
an
0
；
an 1 0
（ⅱ）若已知 Sn
知识框架
数列 的概念
数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系
函数角度理解
两个基 本数列
数列
等差数列
等差数列的定义 an 等差数列的通项公式 等差数列的求和公式 等差数列的性质 an
an 1 d (n 2)
an a1 (n 1)d
Sn n ( a1 an ) na1 n( n 1) d
2
2
am a p aq ( m n p q)
（ n 1时， a1 S1， n 2时， a n Sn Sn 1）
3、求差（商）法
如： a n 满足 1 a1 2
1 22
a2
……
1 2n
an
2n 5
高中数学数列题型及解题方法
高中数学数列题型及解题方法一、基本概念在高中数学中，数列是一个数的有序集合，按照一定的规律排列。
数列中的每一个数称为该数列的项，通常用字母表示。
数列中的项的位置或顺序称为项数。
数列一般通过通项公式或递推式来表示。
通项公式直接给出数列中第n个项与n之间的关系，递推式则通过前一项得出后一项，常见的数列有等差数列和等比数列。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。
若一个等差数列的前n 项和可递推出通项公式，即第n项的表达式。
解题方法1.根据已知条件列出等差数列的性质2.利用通项公式或递推式解决问题3.注意区分公差和项数的不同，避免混淆三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比是一个常数的数列。
等比数列也有通项公式和前n项和的性质。
解题方法1.确定数列是等比数列2.利用通项公式或递推式解决问题，计算项之间的比3.注意等比数列的比值，及时列出通项公式或递推式四、常见题型及解题方法1. 求等差数列第n项或前n项和•要求：已知等差数列的公差和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和2. 求等比数列第n项或前n项和•要求：已知等比数列的比和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和3. 求等差数列或等比数列的一些特殊性质•要求：已知等差数列或等比数列的相关条件，求解一些特殊的性质•解题方法：根据数列的性质列出条件，运用相关知识推导出需要的结果以上是高中数学数列题型及解题方法的简要介绍，希望能对学习数列有所帮助。
如果想深入了解更多数列知识，可以继续深入学习相关内容。
专题23 数列的基本知识与概念 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题23数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N*-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】题型一：数列的周期性题型二：数列的单调性题型三：数列的最大（小）项题型四：数列中的规律问题题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（）A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩ *(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（）A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（）A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（）A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据1n n a a ＋－的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据1(>0<0)n n n na a a a +或与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（）A ．12B ．1C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a =，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（）A ．-1B ．112C ．163D ．274例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____例19．数列，1n =，2， ，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n nn a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =．题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（）；()f n =（）．A ．352331n n +-B ．362331n n -+C ．372331n n -+D ．382331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（）A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下：123456789101112131415……则图中数2020出现在A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（）A ．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n -=+-，则下列说法正确的是（）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a 例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（）A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（）A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（）A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（）A ．[]40,25--B ．[]40,0-C ．[]25,25-D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（）x 12345()f x 51342A ．1B ．2C ．4D ．52．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（）A ．()9,128B ．()10,128C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（）A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（）A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（）A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩ ，则数列{}n a 中的项的值可能为（）A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（）A ．20212a =B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（）A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n a C ．()11221n n a n +=+D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a n=-D ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S 21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2n n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>= ，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8n n a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________.27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}na 中，11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++= ___．。
高中数学数列知识点归纳整理总结
高中数学数列知识点归纳整理总结数列是数学中的重要概念，它是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
在高中数学中，数列是一个重要的考点，掌握数列的性质和求解方法是学好数学的基础。
本文将对高中数学数列知识点进行归纳整理总结，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合，用字母表示一般项，如a₁, a₂, a₃...2. 数列的一般形式：数列可以是有规律的，也可以是无规律的。
有规律的数列可以用以下三种形式表示：- 通项公式：根据数列的规律，得出每一项与项号之间的关系，以求解任意项和通项公式。
- 递推公式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项的关系。
- 递归式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项和初始条件的关系。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项号。
- 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)[2a₁ + (n - 1)d]。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项号。
- 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中|r| < 1。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a₁= 1，a₂ = 1。
三、数列求解方法1. 已知数列的前n项，求通项公式：根据已知的前n项，可以通过构造方程组求解出通项公式。
- 样例：已知等差数列的前n项和Sn = 3n² - 2n，求该数列的通项公式。
高中数列题型及解题方法
高中数列题型及解题方法
在高中数学中，数列是一个常见的题型。
以下是一些常见的数列题型及解题方法：
1. 等差数列：等差数列是指一个数列中，每一项与它的前一项之差都相等。
解题方法包括：
- 判断是否为等差数列，计算公差；
- 求解通项公式；
- 求和公式。
2. 等比数列：等比数列是指一个数列中，每一项与它的前一项之比都相等。
解题方法包括：
- 判断是否为等比数列，计算公比；
- 求解通项公式；
- 求和公式。
3. 递推数列：递推数列是指一个数列中，每一项都是前几项的某种运算规律得到的。
解题方法包括：
- 观察数列的规律，找到递推关系式；
- 求解通项公式；
- 求和公式。
4. 斐波那契数列：斐波那契数列是指一个数列中，每一项都是前两项之和。
解题方法包括：
- 观察数列的规律，找到递推关系式；
- 求解通项公式；
- 求和公式。
5. 其他特殊数列：除了上述常见的数列类型外，还有一些特殊的数列，如等差数列的前n项和等于等差数列的后n项和，等差数列的平方和等等。
对于这些特殊的数列，需要特定的解题方法。
在解决数列题目时，一定要注意观察数列的规律，并运用适当的解题方法进行计算。
熟练掌握数列的性质和公式，可以帮助我们更好地解题。
高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理
数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的公差。
（a>0且a ≠1）.【题型2】 与“前n 项和Sn 与通项an ”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n＋1－b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， …b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析高中数学数列题目是高中数学中的重要内容，也是考试中常出现的题型之一。
解题时需要掌握一定的方法和技巧，下面将从数列的定义、常见数列的特点以及常用的解题方法和技巧等几个方面进行分析。
数列的定义。
数列是由一列按照特定规律排列的数所组成的有序集合，通常用{an}或者{an}表示。
an为数列中的第n项。
常见数列的特点。
常见的数列有等差数列、等比数列以及递推数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中的任意两项之差都相等的数列。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
3. 递推数列：递推数列是指数列中的每一项都由前一项经过特定规律推导而来的数列。
其递推公式为an = f(an-1)，其中f为递推函数。
解题方法和技巧。
1. 确定数列的类型：在解题时，首先要确定数列的类型，即是等差数列、等比数列还是递推数列。
通过观察数列的前几项之间的关系，可以初步判断数列的类型。
2. 求解数列的通项公式：一个数列若有通项公式，可通过求解通项公式来得到数列中的每一项。
对于等差数列和等比数列，可以通过观察数列的前几项之间的关系，运用数列的定义和性质来确定通项公式。
对于递推数列，可以通过观察数列的递推函数的特点，运用递推公式来确定通项公式。
3. 求解数列的前n项和：有时需要求解数列的前n项和。
对于等差数列和等比数列，可以利用数列的性质来求解前n项和的公式。
对于递推数列，可以通过递推公式求前n项的和。
4. 利用数列的性质和性质定理解题：在解题过程中，可以利用数列的性质和性质定理来简化和解决问题。
等差数列的性质定理可以用来判断数列中是否存在某项或某些项。
5. 运用数列的性质和特点进行变形：在解题过程中，有时需要对数列进行变形，运用数列的性质和特点进行变形可以使解题过程更简单。
对等差数列可以进行换元或整理项，对等比数列可以进行对数换元等。
高中数学数列解题技巧
高中数学数列解题技巧数列作为高中数学中的重要概念，经常出现在各类考试中。
掌握数列解题的技巧，不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更好地理解数列的性质和规律。
本文将从常见的数列题型入手，介绍一些解题技巧，帮助高中学生和他们的家长更好地应对数列题。
一、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一。
在解等差数列题目时，我们需要注意以下几个方面。
1. 求通项公式首先，我们需要找到等差数列的通项公式。
对于已知的等差数列，我们可以通过观察数列的规律来推导通项公式。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以发现每一项都比前一项大3，因此通项公式为an=3n-2。
2. 求前n项和在一些题目中，我们需要求等差数列的前n项和。
此时，我们可以利用等差数列的性质，通过求和公式来计算。
对于等差数列1，2，3，4，5，...，前n项和Sn=n(n+1)/2。
举例来说，如果题目给出一个等差数列的前n项和为100，要求求出这个等差数列的通项公式。
我们可以先列出前几项的和，发现n=13时和为91，n=14时和为105，因此可以得出n=14，通项公式为an=n。
二、等比数列等比数列也是高中数学中常见的数列类型之一。
在解等比数列题目时，我们需要注意以下几个方面。
1. 求通项公式首先，我们需要找到等比数列的通项公式。
对于已知的等比数列，我们可以通过观察数列的规律来推导通项公式。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以发现每一项都是前一项的2倍，因此通项公式为an=2^(n-1)。
2. 求前n项和在一些题目中，我们需要求等比数列的前n项和。
此时，我们可以利用等比数列的性质，通过求和公式来计算。
对于等比数列1，2，4，8，16，...，前n项和Sn=a(1-q^n)/(1-q)。
举例来说，如果题目给出一个等比数列的前n项和为63，要求求出这个等比数列的通项公式。
我们可以先列出前几项的和，发现n=4时和为15，n=5时和为31，因此可以得出n=5，通项公式为an=2^(n-1)。
高中数学：数列经典题目集锦及答案经典及题型精选
数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造1、 数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *.(1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列；(3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时， 数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二： 整体构造2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）．(1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,nn b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，求λ的取值范围.四、隔项（分段）数列问题6. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n .7.若{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=(d 为常数)，则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．五、数阵问题8.已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10， b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n .数列经典题目集锦答案1.证明：(1) 设数列{a n }的公差为d ，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－2a n ＋2)－(a n －2a n ＋1)＝(a n ＋1－a n )－2(a n ＋2－a n ＋1)＝d －2d ＝－d ， ∴ 数列{b n }是公差为－d 的等差数列． (4分) (2) 当n ≥2时，c n －1＝a n ＋2a n ＋1－2，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ a n ＝b n ＋c n －12＋1，∴ a n ＋1＝b n ＋1＋c n2＋1，∴ a n ＋1－a n ＝b n ＋1＋c n 2－b n ＋c n －12＝b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12.∵ 数列{b n }，{c n }都是等差数列，∴b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12为常数， ∴ 数列{a n }从第二项起为等差数列． (10分)(3) 结论：数列{a n }成等差数列．证明如下： (证法1)设数列{b n }的公差为d ′， ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ 2n b n ＝2n a n －2n ＋1a n ＋1，∴ 2n －1b n －1＝2n －1a n －1－2n a n ，…，2b 1＝2a 1－22a 2，∴ 2n b n ＋2n －1b n －1＋…＋2b 1＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，设T n ＝2b 1＋22b 2＋…＋2n －1b n －1＋2n b n ，∴ 2T n ＝22b 1＋…＋2n b n －1＋2n ＋1b n ，两式相减得：－T n ＝2b 1＋(22＋…＋2n －1＋2n )d ′－2n ＋1b n ，即T n ＝－2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ， ∴ －2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，∴ 2n ＋1a n ＋1＝2a 1＋2b 1＋4(2n －1－1)d ′－2n ＋1b n ＝2a 1＋2b 1－4d ′－2n ＋1(b n －d ′)， ∴ a n ＋1＝2a 1＋2b 1－4d′2n ＋1－(b n －d ′)． (12分) 令n ＝2，得a 3＝2a 1＋2b 1－4d′23－(b 2－d ′)＝2a 1＋2b 1－4d′23－b 1， ∵ b 1＋a 3＝0，∴2a 1＋2b 1－4d′23＝b 1＋a 3＝0，∴ 2a 1＋2b 1－4d ′＝0，∴ a n ＋1＝－(b n －d ′)，∴ a n ＋2－a n ＋1＝－(b n ＋1－d ′)＋(b n －d ′)＝－d ′，∴ 数列{a n }(n ≥2)是公差为－d ′的等差数列． (14分) ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 数列{a n }是公差为－d ′的等差数列． (16分)(证法2)∵ b n ＝a n －2a n ＋1，b 1＋a 3＝0，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，(12分) ∴ b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＋2，b n ＋2＝a n ＋2－2a n ＋3，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝(2a n ＋1－a n －a n ＋2)－2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)． ∵ 数列{b n }是等差数列，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝0， ∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)．(14分) ∵ a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝0， ∴ 数列{a n }是等差数列．(16分)2.解析：(1) 若λ＝1，则(S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1.∵ a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ＋1＋1S n ＋1＝a n ＋1a n ，(2分) ∴S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1＋1S n ＋1＝a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n ，化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1. ①(4分) ∴ 当n ≥2时，S n ＋1＝2a n . ② ①－②，得a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)．(6分) ∵ 当n ＝1时，a 2＝2，∴ n ＝1时上式也成立，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(8分) (2) 令n ＝1，得a 2＝λ＋1.令n ＝2，得a 3＝(λ＋1)2.(10分) 要使数列{a n }是等差数列，必须有2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝0.(11分) 当λ＝0时，S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，且a 2＝a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＋1(S n －S n －1)＝(S n ＋1)(S n ＋1－S n )，整理，得S 2n ＋S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1，S n ＋1S n －1＋1＝S n ＋1S n ，(13分) 从而S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1S n －1＋1＝S 3S 2·S 4S 3·…·S n ＋1S n ，化简，得S n ＋1＝S n ＋1，∴ a n ＋1＝1.(15分) 综上所述，a n ＝1(n ∈N *)，∴ λ＝0时，数列{a n }是等差数列．(16分)3.解析：(1)由11,6,1321===a a a ，得18,7,1321===S S S ．把2,1=n 分别代入*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，得⎩⎨⎧-=+-=+48228B A B A ， 解得，8,20-=-=B A ．(2)由(1)知，82028)(511--=---++n S S S S n n n n n ，即82028511--=--++n S S na n n n ，① 又8)1(2028)1(5122-+-=--++++n S S a n n n n ． ②②-①得，20285)1(51212-=---+++++n n n n a a na a n ，即20)25()35(12-=+--++n n a n a n ． ③ 又20)75()25(23-=+-+++n n a n a n ．④④-③得，0)2)(25(123=+-++++n n n a a a n ，520n +≠，∴02123=+-+++n n n a a a ，又32215a a a a -=-=，所以32120a a a -+=， 因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． 故45)1(51-=-+=n n a n ．4.解析：(1) 0λ=时,111n n n n naS S a a +++=+∴1n n n na S S a +=∵0n a >，∴0n S > ∴ 1n n a a +=，∵11a =，∴1n a =(2) ∵()11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+ 0n a > ，∴1131nn n n nS S a a λ++-=⋅+ 则212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S a a λ-=⋅+， ，11131n n n n n S S a a λ----=⋅+()2n ≥ 相加，得()2113331n nnS n a λ--=+++-则()3322n n n S n a n λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭，该式对1n =也成立， ∴()*332n n n S n a n N λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭． ③ ∴()1*13312n n n S n a n N λ++⎛⎫-=++⋅≥ ⎪⎝⎭． ④ ④－③，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫--=++⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即11333322n n n n n a n a λλ++⎛⎫⎛⎫--+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵0λ≥，∴133330,022n n n n λλ+--+>+> . ∵112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立， ∴332nn λ-+1133()22n n λ+-<+对一切*n ∈N 恒成立． 即233nnλ>+对一切*n ∈N 恒成立． 记233n n nb =+,则()()()111423622233333333n n n n n n n n n n b b +++-⋅-+-=-=++++ 当1n =时，10n n b b +-=； 当2n ≥时，10n n b b +->∴ 1213b b ==是{}n b 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是13λ>. 5. 解析：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ……4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--， 即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*）∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***）∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =， 71162λ∴<≤. ……………16分 6. 解析：(1) 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ.(2分)若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q (常数)，即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋(q －1)λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，(5分) 此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)(注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分) (2) 由(1)得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32.(8分)由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，(10分)所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2[13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ]－6(1＋2＋…＋n )＋9n＝－2·13[1－⎝⎛⎭⎫13n ]1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3(n －1)2＋2，(12分)显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ， 同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2.(16分) 7.解析：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+=……………………………4分 （Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（1） ， )1(221+=+++n a a n n （2）（1）-（2）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； …8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． ……………………………12分 故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ．所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分8. 解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)。
高考数学题型全归纳：数列要点讲解含答案
得 n≤ 21 , 4
故当 n≤5 时，a n ≥0,
当 n≥6 时， an
0
当 n≤5 时,T n =S n =-2n 2 +19n 当 n≥6 时,T n =2S5-S n =24】 已知等差数列 a n 的第 2 项是 8，前 10 项和是 185，从数列 an 中依次取出第 2 项，第
3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非
常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如 a2a4 2a3a5 a4a6 25 ， 可以利用等比数列的性质进行转化：从而有 a32 2a3a5 a52 25 ，即 (a3 a5 )2 25 .
解：设公差为
d，则
aa11
2d 122d
30 30
或
aa11
2d 122d
30 30
或
aa11
2d 122d
30 30
或
aa11
2d 122d
30 30
解得： da1030 a33 = 30 与已知矛盾
在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、 基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 四、典型例题
【例 1】 已知由正数组成的等比数列 an ，若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍，第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍，求数列 an 的通项公式.
解：∵q=1 时 S2n 2na1 ， S偶数项 na1
又 a1 0 显然 2na1 11na1 ，q≠1
高中数学题型归纳及方法
高中数学题型归纳及方法一、函数题型。
1. 求函数定义域题型。
题目：求函数y = (1)/(√(x 1))+ln(x + 2)的定义域。
解析：对于(1)/(√(x 1))，要使根式有意义，则根号下的数大于0，即x 1>0，解得x>1。
对于ln(x + 2)，对数函数中真数大于0，即x+2>0，解得x > 2。
综合起来，函数的定义域为x>1。
2. 函数单调性判断题型。
题目：判断函数y = x^2-2x + 3在(-∞,1)上的单调性。
解析：对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴为x =-(b)/(2a)。
在函数y = x^2-2x + 3中，a = 1，b=-2，对称轴x = 1。
因为a = 1>0，二次函数开口向上，所以在对称轴左侧(-∞,1)上函数单调递减。
二、三角函数题型。
3. 三角函数化简求值题型。
题目：化简sin(α+β)cosβ-cos(α +β)sinβ并求值（已知α=(π)/(3)）。
解析：根据两角差的正弦公式sin(A B)=sin Acos B-cos Asin B，这里A=α+β，B = β，所以sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα。
当α=(π)/(3)时，sinα=(√(3))/(2)。
4. 三角函数图象平移题型。
题目：将函数y=sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），求得到的函数解析式。
解析：将y = sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，根据“左加右减”原则，得到y=sin(x+(π)/(3))的图象。
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则x的系数变为原来的(1)/(2)，得到y=sin((1)/(2)x+(π)/(3))。
三、数列题型。
5. 等差数列通项公式求题型。
题目：已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d = 3，求其通项公式a_n。
高中数学专题复习-数列与数学归纳法
第六章⎪⎪⎪数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示,这个公式叫做数列的通项公式前n 项和 数列{a n }中,S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ,a n )画在平面直角坐标系中 公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式 使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1,a 2和a n ＋1＝f (a n ,a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为12,34,78,1516,则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －12n (n ∈N *)2．已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝a n2a n ＋3,则a 5等于________．答案：11613．(教材改编题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n ＝3n －1,则a n ＝________. 答案：2×3n －11．数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号． 3．在利用数列的前n 项和求通项时,往往容易忽略先求出a 1,而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式,但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n ＝n 2＋1,则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ,则该数列第________项最大． 答案：4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )A ．2 017×2 024B ．2 017×1 012C ．2 018×2 024D ．2 018×1 012解析：选B 结合图形可知,该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2),所以a 2 018－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝2 017×(2 020＋4)2＝2 017×1 012.2．根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10,…； (2)(易错题)－11×2,12×3,－13×4,14×5,…； (3)－1,7,－13,19, …； (4)9,99,999,9 999,….解：(1)各数都是偶数,且最小为4,所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1),n ∈N *.(3)这个数列,去掉负号,可发现是一个等差数列,其首项为1,公差为6,所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5),n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1,所以它的一个通项公式a n ＝10n －1,n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征,并对此进行归纳、联想,具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ,求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1,而a 1＝2,不满足此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当n ＝1时,S 1＝a 1＝2－a 1,所以a 1＝1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n －a n )－[2(n －1)－a n －1]＝2－a n ＋a n －1, 即a n ＝12a n －1＋1,即a n －2＝12(a n －1－2)．所以{a n －2}是首项为a 1－2＝－1,公比为12的等比数列,所以a n －2＝(－1)·⎝⎛⎭⎫12n －1, 即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写；如果不符合,则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ,求a 5＋a 6及a n ； (2)若a n ＞0,S n ＞1,且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2),求a n . 解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2, 当n ＝1时,a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1), 又a 1也适合此式,所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)当n ＝1时,a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2),即a 21－3a 1＋2＝0. 解得a 1＝1或a 1＝2.因为a 1＝S 1＞1,所以a 1＝2.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝16(a n ＋1)(a n ＋2)－16(a n －1＋1)(a n －1＋2),所以(a n －a n －1－3)(a n ＋a n －1)＝0.因为a n ＞0,所以a n ＋a n －1＞0, 所以a n －a n －1－3＝0,所以数列{a n }是以2为首项,3为公差的等差数列． 所以a n ＝3n －1.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n ),求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n ),求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1),求a n .[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n ),求a n1．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),∴a n －1＝n －2n －1a n －2,a n －2＝n －3n －2a n －3,…,a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时,a 1＝1,上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n ),求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1,且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式． 解：由题意有a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加,得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1,∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式, ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1),求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1,当n ≥2,n ∈N *时,有a n ＝2a n －1－2,求数列{a n }的通项公式． 解：因为a n ＝2a n －1－2, 所以a n －2＝2(a n －1－2)．所以数列{a n －2}是以a 1－2＝－1为首项,2为公比的等比数列． 所以a n －2＝(－1)×2n －1, 即a n ＝2－2n －1.[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件,求数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)； (2)a 1＝1,2na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ∈N *)；(3)a 1＝1,a n ＝3a n －1＋4(n ≥2)． 解：(1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由2na n ＋1＝(n ＋1)a n ,得a n ＋1a n ＝n ＋12n. 所以a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.a n －2a n －3.....a 2a 1.a 1＝n 2(n －1).n －12(n －2).n －22(n －3).. (2)2×1×1＝n 2n －1.(3)因为a n ＝3a n －1＋4(n ≥2), 所以a n ＋2＝3(a n －1＋2)．因为a 1＋2＝3,所以{a n ＋2}是首项与公比都为3的等比数列． 所以a n ＋2＝3n ,即a n ＝3n －2.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(嘉兴七校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n ,则a 5＝( ) A ．25 B ．30 C ．10D ．12解析：选B 因为a n ＝n 2＋n ,所以a 5＝25＋5＝30.2．(浙江三地联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n ＋1)＝n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2n －1－1D.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2 解析：选B 由log 2(S n ＋1)＝n 可得S n ＝2n －1.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1；当n ＝1时,a 1＝S 1＝21－1＝1满足上式．所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.3．(衢州模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1,a n ＋1＝2a na n ＋2,则数列{a n }的通项公式a n 为( ) A.1n ＋1 B.2n ＋1 C.1n D.2n解析：选B 由a n ＋1＝2a n a n ＋2可得1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项,公差为12的等差数列,所以1a n＝n ＋12,即a n ＝2n ＋1.4．(诸暨模拟)已知数列{a n }中,对任意的p ,q ∈N *都满足a p ＋q ＝a p a q ,若a 1＝－1,则a 9＝________.解析：由题可得,因为a 1＝－1,令p ＝q ＝1,则a 2＝a 21＝1；令p ＝q ＝2,则a 4＝a 22＝1；令p ＝q ＝4,则a 8＝a 24＝1,所以a 9＝a 8＋1＝a 1a 8＝－1.答案：－15．(杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2,则a 8＝________,a 2＋a 3＋a 4＝________. 解析：因为S n ＝n 2,所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15,a 2＋a 3＋a 4＝S 4－S 1＝42－1＝15. 答案：15 15二保高考,全练题型做到高考达标1．数列0,1,0,－1,0,1,0,－1,…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确．2．(天台模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ,且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *),则S 6＝( ) A ．192 B ．189 C ．96D ．93解析：选B 因为S n ＝2a n －3,当n ＝1时,S 1＝2a 1－3＝a 1,解得a 1＝3.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－2a n －1＋3＝2a n －2a n －1,解得a na n －1＝2.所以数列{a n }是首项为3,公比为2的等比数列,所以S 6＝3(1－26)1－2＝189.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *),则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析：选C 因为S n ＋S n ＋1＝a n ＋1,所以当n ≥2时,S n －1＋S n ＝a n ,两式相减,得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ,所以有a n ＝0.当n ＝1时,a 1＋a 1＋a 2＝a 2,所以a 1＝0.所以a n ＝0.即数列是常数列．4．(绍兴模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1,若该数列的前n 项和为10,则项数n 的值为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：选C 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ,所以该数列的前n 项和S n ＝n ＋1－1＝10,解得n ＝120.5．(丽水模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝35,则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 由a 1＝35∈⎣⎡⎭⎫12，1,得a 2＝2a 1－1＝15∈⎣⎡⎭⎫0，12,所以a 3＝2a 2＝25∈⎣⎡⎭⎫0，12,所以a 4＝2a 3＝45∈⎣⎡⎭⎫12，1,所以a 5＝2a 4－1＝35＝a 1.由此可知,该数列是一个周期为4的周期数列,所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.6．(镇海模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2,a n ＋1＝a 2n (a n ＞0,n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：对a n ＋1＝a 2n 两边取对数,得log 2a n ＋1＝log 2a 2n ＝2log 2a n .所以数列{log 2a n }是以log 2a 1＝1为首项,2为公比的等比数列,所以log 2a n ＝2n －1,所以a n ＝22n －1.答案：22n －17．(海宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －1,则该数列的前8项和为________． 解析：S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋5＋9＋13＝28. 答案：288．在一个数列中,如果对任意的n ∈N *,都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列,且a 1＝1,a 2＝2,公积为8,则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *)． (1)求a 2,a 3的值； (2)证明：a n ＝3n －12.解：(1)因为a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *), 所以a 2＝32－1＋1＝4, a 3＝33－1＋a 2＝9＋4＝13.(2)证明：因为a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *), 所以a n －a n －1＝3n －1,所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1 ＝3n －12(n ≥2,n ∈N *)．当n ＝1时,a 1＝3－12＝1满足条件．所以当n ∈N *时,an ＝3n －12. 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *,都有a n ＋1＞a n ,求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4＜0, 解得1＜n ＜4.因为n ∈N *,所以n ＝2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94, 由二次函数性质,得当n ＝2或n ＝3时,a n 有最小值,其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1＞a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以－k 2＜32,即得k ＞－3.所以实数k 的取值范围为(－3,＋∞)． 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项,而a 48＝(－1)48×96＋1＝97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案：972．(温州模拟)设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1),数列{a n }的通项公式a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判定数列{a n }的单调性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1),f (2a n )＝2n (n ∈N *) , 所以f (2a n )＝log 22a n －log2a n 4＝a n －2a n ＝2n ,且0＜2a n ＜1, 解得a n ＜0.所以a n ＝n －n 2＋2.(2)因为a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1.因为a n ＜0,所以a n ＋1＞a n . 故数列{a n }是递增数列．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列,且k ＋l ＝m ＋n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k ＋m ,a k ＋2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列． [小题体验]1．在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25,则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＝5,a 5＝3,则a n ＝________；S 7＝________. 答案：－n ＋8 283．(温州十校联考)在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＝12,则S 7＝______. 答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时,需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． [小题纠偏]1．首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3,＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3＝16,a 6＝10,则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列,且a 3＝16,a 6＝10,所以公差d＝a 6－a 36－3＝－2,所以a n ＝－2n ＋22,要使S n能够取到最大值,则需a n ＝－2n ＋22≥0,所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1S 4＝110,则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ,因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且S 1S 4＝110,所以10a 1＝4a 1＋6d ,所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2＝－d ,若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项,则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项, 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2＝－d , 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ], 所以(k －3)2＝3(k ＋3),解得k ＝9或k ＝0(舍去),故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中,a 7＝2a 5,则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 7＝2a 5,∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d ),则a 1＝－2d ,∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ,而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11,故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,满足S 2＝S 6,S 55－S 44＝2,则a 1＝______,公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6,得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0,即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2,得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2,解得d ＝4,所以a 1＝－14. 答案：－14 4等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,a n,S n五个量,可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用,体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](温州模拟)已知数列{a n}中,a1＝12,a n＋1＝1＋a n a n＋12(n∈N*)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：因为对于n∈N*,a n＋1＝1＋a n a n＋12,所以a n＋1＝12－a n,所以1a n＋1－1－1a n－1＝112－a n－1－1a n－1＝2－a n－1a n－1＝－1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是首项为1a1－1＝－2,公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n－1＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1),所以a n－1＝－1n＋1,即a n＝nn＋1.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n}满足a1＝1,a n＝a n－12a n－1＋1(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n＝1a n(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：∵b n＝1a n,且a n＝a n－12a n－1＋1,∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2＋1a n,∴b n＋1－b n＝2＋1a n－1a n＝2.又b1＝1a1＝1,∴数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1,又b n＝1a n,∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(宁波模拟)在等差数列{a n}中,若a9a8＜－1,且其前n项和S n有最小值,则当S n＞0时,n的最小值为()A．14B．15C．16 D．17解析：选C∵数列{a n}是等差数列,它的前n项和S n有最小值,∴公差d＞0,首项a1＜0,{a n} 为递增数列,∵a9a8＜－1,∴a8·a9＜0,a8＋a9＞0,由等差数列的性质知2a8＝a1＋a15＜0,a8＋a9＝a1＋a16＞0.∵S n＝(a1＋a n)n2,∴当S n＞0时,n的最小值为16.2．(嘉兴一中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6＞S7＞S5,则满足a n＞0的最大n的值为______,满足S k S k＋1＜0的正整数k＝______.解析：由题可得a6＝S6－S5＞0,a7＝S7－S6＜0,所以使得a n＞0的最大n的值为6.又a6＋a7＝S7－S5＞0,则S11＝11(a1＋a11)2＝11a6＞0,S12＝12(a1＋a12)2＝6(a6＋a7)＞0,S13＝13(a1＋a13)2＝13a7＜0,因为{a n}是递减的等差数列,所以满足S k S k＋1＜0的正整数k＝12.答案：612[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中,a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0,d ＜0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0,d ＞0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 8＝13,则S 8S 16＝( )A.310B.37C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列,所以S 4,S 8－S 4,S 12－S 8,S 16－S 12成等差数列,因为S 4S 8＝13,所以不妨设S 4＝1,则S 8＝3,所以S 8－S 4＝2,所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10,所以S 8S 16＝310. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知前6项和为36,最后6项的和为180,S n ＝324(n ＞6),则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36,① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180,②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216,∴a 1＋a n ＝36, 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324, ∴18n ＝324,∴n ＝18. 答案：18一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1,a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ,由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4,解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列,所以d ＞0,故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(舟山期末)在等差数列{a n }中,若a 2＝1,a 4＝5,则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1,a 4＝5,所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15. 3．(缙云模拟)已知{a n }为等差数列,其公差d 为－2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1,因为a 7是a 3与a 9的等比中项,所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16),解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里；良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问：________日相逢？解析：由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n },其中a 1＝103,d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n },其中b 1＝97,d 2＝－0.5.设第m 天相逢,则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125,解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中,已知a 5＞0,a 4＋a 7＜0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考,全练题型做到高考达标1．(金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,当n ≥2,n ∈N *时,an ＝a 2n ＋1＋a 2n －12,则a 6＝( )A ．2 2B ．4C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12,所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1,即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1,所以数列{a 2n }是等差数列,公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3,所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2,所以a n ＝3n －2,所以a 6＝18－2＝4.2．(浙江五校联考)等差数列{a n }中,a 1＝0,等差d ≠0,若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7,则实数k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0,且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7, 即(k －1)d ＝21d ,又因为d ≠0,所以k ＝22.3．(河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ,由题意得,S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ,又{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相同,∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45n ＋3,则使得a nb n为整数的正整数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3,可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1,所以要使a n b n 为整数,则需12n ＋1为整数,所以n ＝1,2,3,5,11,共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1,公差不为0,若数列{b n }为“吉祥数列”,则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0),S n S 2n ＝k ,因为b 1＝1,则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ,即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d , 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立, 所以(4k －1)d ＝0,(2k －1)(2－d )＝0,解得d ＝2,k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2＝18,S 18＝54,则a 17＝________,S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为a 2＝18,S 18＝54,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20,d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12,S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n . 答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d ,前 n 项和为S n ,当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________．解析：由题意,当且仅当n ＝8时S n 有最大值,可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(金华浦江适考)设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,其中a n ＝－3n ＋20,b n ＝|a n |,则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________,T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意,数列{a n }中,a n ＝－3n ＋20,则数列{a n }是首项为17,公差为－3的等差数列,且当n ≤6时,a n＞0,当n ≥7时,a n ＜0,又由b n ＝|a n |,当n ≤6时,b n ＝a n ,当n ≥7时,b n ＝－a n ,则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6,T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ,证明：数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a , 由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2, 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0,解得k ＝10或k ＝－11(舍去),故a ＝2,k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1),则b n ＝S nn ＝n ＋1,故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3,且a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,当n ≥5时,a n＞0.(1)求证：当n ≥5时,{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3, 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ,即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 当n ≥5时,a n ＞0,所以a n ＋1－a n ＝2, 所以当n ≥5时,{a n }成等差数列． (2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3,得a 1＝3或a 1＝－1, 又a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5),q ＝－1, 而a 5＞0,所以a 1＞0,从而a 1＝3,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1＝1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1,a 3,a 13成等比数列,所以(1＋2d )2＝1＋12d ,解得d ＝2.所以a n ＝2n －1,S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1,则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2,t ∈N *,所以当t ＝3,即n ＝2时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2)当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列, ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3, ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3, 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3, 解得d ＝2,a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中,由a n ＋1＋a n ＝4n －3, 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1, ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4, ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1, ∴a 1＝－12.(2)由题意,①当n 为奇数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时,S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ,m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *), 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n ＋k ,a n ＋2k ,a n ＋3k ,…为等比数列,公比为q k .[小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1,a 2,a 3,a 4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2,a 2a 3,a 3a 4,….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数,且a 4－2a 2＝4,a 3＝4,则a n ＝________；S 10＝________. 解析：设公比为q ,因为a 4－2a 2＝4,a 3＝4, 所以有4q －8q ＝4,解得q ＝2或q ＝－1. 因为q ＞0,所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1,a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝3a n (n ∈N *),则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时,S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列),但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中,a 3＝2,a 7＝8,则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16,∴a 5＝±4,又∵a 5＝a 3q 2＞0,∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列,前n 项和为S n ,若S 3＝3a 3,则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2,前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3,则a 1＝( ) A .17 B.15 C.13D ．1解析：选C 由题可得,1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1,解得a 1＝13.2．(杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中,若a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0,q ≠1),由a 2,12a 3,a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1,所以有q 2－q －1＝0,解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)1．(浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2,前n 项和为S n ,则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2,所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152.2．(宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14,a 2a 8＝4(a 5－1),则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1),解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝80,S 2＝8,则公比q ＝________,a 5＝________.解析：由题可得,设数列{a n }的公比为q (q ＞0,q ≠1),根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80,a 1(1－q 2)1－q ＝8,解得a 1＝2,q＝3,所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162.答案：3 162考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式； (2)若S 5＝3132,求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1, 故λ≠1,a 1＝11－λ,故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ,S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n , 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ,公比为λλ－1的等比数列,于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132,即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *),若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ,求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2, 所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2,又a 1＝1,所以a 2＝5,b 1＝a 2－2a 1＝3, 当n ≥2时,S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n , 所以当n ≥2时,b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项,2为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0,数列{b n }是等比数列,且b 7＝a 7,则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质,得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0,可得a 7＝2, 所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8. 2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 2＝5,则S 8S 4＝________.解析：由题可得,S 2,S 4－S 2,S 6－S 4,S 8－S 6成等比数列,因为S 4S 2＝5,不妨设S 2＝1,则S 4＝5,所以S 4－S 2＝4, 所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85, 所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类通项公式的变形 根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口等比中项的变形 前n 项和公式的变形[即时应用]1．(诸暨模拟)已知等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝40,a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( ) A ．50 B ．70 C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3,S 6－S 3,S 9－S 6也成等比数列,由S 3＝40,S 6－S 3＝20,知公比为12,故S 9－S 6＝10,S 9＝70.2．(浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列,且a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25,则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25,所以a 3＋a 5＝5,所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4,所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(舟山模拟)已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,由等比数列的性质及等比中项可知,xz ＝3,y 2＝3,且y 与－1,－3符号相同,所以y ＝－3,所以xyz ＝－3 3.2．(湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A ．66 B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列,所以54(S 3n －60)＝36,解得S 3n ＝6023.3．(金华十校联考)在等比数列{a n }中,已知a 7a 12＝5,则a 8a 9a 10a 11的值为( ) A ．10 B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5,所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意的正整数n ,均有S n ＋3＝8S n ＋3,则a 1＝_________,公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3,所以当n ≥2时,S n ＋2＝8S n －1＋3,两式相减,可得a n ＋3＝8a n ,所以q 3＝8,解得q ＝2；当n ＝1时,S 4＝8S 1＋3,即15a 1＝8a 1＋3,解得a 1＝37.答案：3725．(永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ,S n ＝2a n ＋n ,则a 1＝______,数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ,所以当n ＝1时,S 1＝a 1＝2a 1＋1,所以a 1＝－1.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1,即a n ＝2a n －1－1,即a n －1＝2(a n －1－1),所以数列{a n －1}是以－2为首项,2为公比的等比数列,所以a n －1＝－2n ,所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考,全练题型做到高考达标1．(浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *,p ≠－1),则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ,所以当n ≥2时,a n ＝pS n －1＋q ,两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ,即当n ≥2时,a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时,a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时,a 2a 1＝1＋p ,满足上式,故数列{a n }为等比数列,所以是充分条件；当{a n }为等比数列时,有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1,解得a 1＝q ,所以是必要条件,从而选C.2．(乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＝1,a n ＋1＝3S n (n ∈N *),则S 6＝( ) A ．44B ．45C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1,a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ,所以S n ＋1＝4S n ,所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1,公比为4的等比数列,所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *),且a 2＋a 4＋a 6＝9,则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1,∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6),∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何？”意思是：“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺,则x (1－25)1－2＝5,得x ＝531,∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n－1)≥30,得2n ≥187,则n 的最小值为8. 5．(金华模拟)设A n ,B n 分别为等比数列{a n },{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1,则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知,A n B n＝12n ＋1,令A n ＝k (2n －1),k ≠0,则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n －1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ,b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ,所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,a 1,S 2,5成等差数列,则数列{a n }的公比q ＝________,S n ＝_________.解析：由题可得,2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6,所以q ＝2,所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.答案：2 2n －17．(慈溪中学)在正项等比数列{a n }中,若a 1＝1,a 1＋a 3＋a 5＝21,则q ＝________；a 3＋a 5＋a 7的值为________．。
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数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+ 常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn+1a -d k n k n n q a q a a --==11 求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na s n n n中项公式A=2ba+推广：2na=mnmnaa+-+abG=2。
推广：mnmnnaaa+-⨯=2性质1若m+n=p+q则qpnmaaaa+=+若m+n=p+q，则qpnmaaaa=。
2若}{nk成A.P（其中Nkn∈）则}{nka也为A.P。
若}{nk成等比数列（其中Nkn∈），则}{nka成等比数列。
3．nnnnnsssss232,,--成等差数列。
nnnnnsssss232,,--成等比数列。
4)(11nmnmaanaad nmn≠--=--=11aaq nn=-，mnmnaaq=-)(nm≠4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2.小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。
（a>0且a≠1）.【题型2】 与“前n 项和Sn 与通项an ”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n－1a n ＝8n 对任意的n∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．求数列{a n }与{b n }的通项公式。
解：a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n(n∈N *) ①当n≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n∈N *) ②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n(n∈N *)． 由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2，∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， 法一（迭代法）b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝n 2－7n ＋14(n∈N *)． 法二（累加法）即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， …b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 （2009汕头一模）在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，a 3与a s 的等比中项为2。
（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝log 2 a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n 当1212n S S S n++∙∙∙+最大时，求n 的值。
解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +25a ＝25又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，12q =，a 1＝16，所以， 1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1，所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。
所以，(9),2n n n S -=92n S nn -= 所以，当n ≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n Sn＜0， 当n ＝8或9时，1212n S S Sn++∙∙∙+最大。
小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。
二、数列的前n 项和 1.前n 项和公式Sn 的定义：S n =a 1+a 2+…a n 。
2.数列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+ ；21nk k==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++ ；31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++= ；1(21)nk k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。
（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
（3）倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
如：1）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和11n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅；2）1111()n n n n a a da a ++=-+。
（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和） 常见裂项公式：（1）111(1)1n n nn ++=-；（2）1111()()n n k k nn k++=-；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）11(1)!!(1)!n n n n ++=-（5）常见放缩公式：21211112()2()n n n n n nnn n +-+++--=<<=-.3.典型例题分析【题型1】 公式法例1 等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－p ，则2232221na a a a ++++ ＝________. 解：1）当n=1时，p -2a 1=；2）当2n ≥时，1-n 1-n n 1-n n n 2p)-(2-p)-(2S -S a ===。
因为数列{}n a 为等比数列，所以1p 12p -2a 1-11=⇒=== 从而等比数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列。
故等比数列{}2n a 为首项为1，公比为4q 2=的等比数列。
1)-(4314-1)4-1(1nn 2232221==++++na a a a小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。
5）等比数列的性质：若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2n a 及⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也为等比数列，首项分别为21a 、1a 1，公比分别为2q 、q 1。
【题型2】 分组求和法例2 （2010年丰台期末18）数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *∈N 在函数()2f x x =+的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，122n -+，…项，组成新数列{}n b ，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S .解：（Ⅰ）∵点1(, )n n a a +在函数()2f x x =+的图象上，∴12n n a a +=+。
∴12n n a a +-=，即数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-。
（Ⅱ）依题意知：11222(22)123n n n nb a --+==+-=+∴12n n S b b b =+++ =11(23)23nniii i n ==+=+∑∑=1122323212n n n n ++-+=+--. 小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
【题型3】 裂项相消法例 3 （2010年东城二模19改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-．（Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，求1223341n nnT c c cc c c cc +=++++ 。