2018版高中数学小问题集中营专题2.6正弦定理余弦定理与不等式

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正弦定理与余弦定理

1.三角形的有关性质(1)在△ABC 中，内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况；(2)a ＋b>c ，a －b<c ；(3)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝π2⇔三角形为等腰或直角三角形；cos2A=cos2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； tan2A=tan2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； (4) sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ，tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2，cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. (5) 三角形中的边角关系:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.2.3.(1) ①S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；②S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B, 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；③S △ABC ＝s (s －a )(s －b )(s －c )(海伦公式)． ④S △ABC ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径, R 是△ABC 外接圆半径)，并可由此计算R 、r. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 4.解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形； (2)已知两边及其中一边的对角解三角形； (3)已知两边及其夹角解三角形；(4)已知三边解三角形；(5)三角形形状的判定； (6)三角形的面积问题； (7)正弦、余弦定理的综合应用． 5.解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．7.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．用正弦定理有解的可分为以下情况，在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝bsin A bsin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解8.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角; 利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例)∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．9.在解有关三角形的题目时，(1)要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 10.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； ②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. 探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c.解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32.∵a>b ，∴A>B ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝a·sin B sin A ＝46，c ＝a·sin C sin A＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若b ＝2asin B ，则角A 的大小为________．2. (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于 ( )A.725B.－725C.±725D.2425(2) (2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．3.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tanC ＝aba 2＋b 2－c 2，则角C 为( )A.π6B.π4C.π3D.3π44.已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4B.π6C.2π3D.π125.(1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 6．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A.4 3 B.23 C. 3 D.327.(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b,且a ＞b,则∠B 等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π61.解析：由正弦定理得sin B ＝2sin Asin B ，∵sin B ≠0，∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.2.解析 (1)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得b sin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin Bcos B，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝asin B b ＝12，又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.3.解析：由已知及余弦定理，得sinC cosC ＝ab 2abcosC ，所以sinC ＝12.因为C 为锐角，所以C ＝π6.4.解析：因为S △ABC ＝12bcsinA ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sinA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cosA ，故A ＝π4.5.解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC·sin C sin A ＝102.(2)由b>a ，得B>A ，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B<180° ∴B ＝60°或B ＝120°.6.解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.7.解析由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12，依正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数（1）5a =，4b =，120A =；（2）5a =，10b =，150A = ；（3）9a =，10b =，60A =；（4）18a =，24b =，44A =.解：（1）a b >，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解；（2）b a >，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；（3）3sin 10532b A =⨯=，∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解；（4）sin 24sin 4424sin 45122b A =<=，又1221824<<，故有两解.方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角()0180有几个，它与已知角的和是否小于180.1.△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2.在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.30°或150°3.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定4.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =（） A. 23 B. 2 C.25.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于（） A.12π B.6π C.4π D.3π6.若==,则△ABC 是( )A.等边三角形B.直角三角形,且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形,且有一个角是30°7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π4，π3 8.在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (1) 求b 的值; (2) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.1.解析：选B ∵asin B ＝102，∴asin B<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．2.解析在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB<BC ，∴∠C<∠A ，故∠C ＝30°.3.解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4.【解析】选B.由A B 2=,则A B 2sin sin =，由正弦定理知Bb Aasin sin =,即A A A B A cos sin 232sin 3sin 3sin 1===, 所以cosA=23，所以A=6π，32π==A B ，所以2ππ=--=A B C ，所以431222=+=+=b a c ，c=2.5.【解题指南】本题先利用正弦定理BbA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选D.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. 6.解析:在△ABC 中,将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入==得==,所以==1.所以tan B=tan C=1,所以B=C=45°.所以△ABC 是等腰直角三角形.故选C.7.[解析] 由条件知bsinA<a ，即22sinA<2，∴sinA<22，∵a<b ，∴A<B ，∴A 为锐角，∴0<A<π4.8.【解题指南】(1)根据正弦定理及sin 3sin b A c B =, a = 3求出a,c 的值，再由余弦定理求b 的值； (2)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos 2B ，sin 2B ，再由两角差的正弦公式求值.【解析】(1) 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a b AB=，即sin sin b A a B =，又由sin 3sin b A c B =，可得，3a c =,又 a =3，故c=1，由2222cos ,b a c ac B =+-且2cos ,3B =可得 6.b =(2)由2cos 3B =，得5sin 3B =，进而得到21cos 22cos 1,9B B =-=-45sin 22sin cos .9B B B ==所以453sin 2sin 2cos cos 2sin .33318B B B +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭πππ 探究点二余弦定理的应用例1.已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a,求tan A 的值．解(1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B<π，∴B ＝π3. (2)方法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A<π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a.由正弦定理，得sin B ＝7sin A.由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a>a ，∴B>A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A.∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B)＝2π3－A ，∴sin(2π3－A)＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.1.(2013年高考北京卷)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .2.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .3.设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA=5sinB,则角C= ( ) A.π3B.2π3C.3π4D.5π64.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a. 5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b)2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B.8－43 C.1 D.236.若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34C.31516D.11167.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sinA －sinB)sinB ，则角C 等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π38. (2013·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sinBsinC ＝0，则tanA 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 9.(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 10.已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.52 C. 75 D.1141.解析:在△ABC 中,由b 2=a 2+c 2-2accos B 及b+c=7知,b 2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×.整理得15b-60=0,∴b=4.2.解π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a3.解由题设条件可得5233573⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩a b b c a a b c b ，由余弦定理得222222257()()133cos 52223+-+-∠===-⨯b b b a b c C ab b，所以2π∠C =3。

2018版高考数学考点18正弦定理与余弦定理试题解读与变式

考点18：正弦定理与余弦定理【考纲要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

【命题规律】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用．题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题．【典型高考试题变式】（一）正弦定理的应用例1 【2017新课标2】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =＿＿＿＿＿＿．【答案】π3【解析】由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=．因为sin 0B ≠，所以1cos 2B =，所以π3B =．【方法技巧归纳】正弦定理的应用技巧：（1）求边：利用公式sin sin sin ,,sin sin sin b A a B a Ca b c B A A===或其他相应变形公式求解；（2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin sin sin sin ,sin ,sin a B b A c AA B C b a a===或其他相应变形公式求解；（3）相同的元素归到等号的一边：即sin sin sin ,,sin sin sin a A b B c Cb Bc C a A===，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题．【变式1】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在ABC ∆2sin b A =，则B ∠为（）A ．3π B ．6π C ．3π或32π D ．6π或65π 【答案】C2sin sin A B A =．因为sin 0A ≠，所以sin B =，则B ∠为3π或32π，故选C ．【变式2】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦及余弦混合等式给出，所求没改变】在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】A（二）余弦定理的应用例2．【2017新课标Ⅰ】ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =＿＿＿＿＿＿．A B C ．2 D ．3【答案】D【解析】由余弦定理得2254223b b =+-⨯⨯⨯，解得3b =或13b =-（舍去），故选D ．【方法技巧归纳】利用余弦定理解三角形主要途径：（1）余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”；（2）已知三边及一角求另两角的两种方法：①利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；②利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断．【变式1】【例题中的条件的相关数据作了改变，另外给出了两边的大小关系，在命题方式基本没有改变】设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（）A B ．2 C ． D ．1 【答案】B【解析】由题意，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(222222b b +-⋅=，即2680b b -+=，解得2b =或4，又bc <=所以2b =，故选B ．【变式2】【例题中的非特殊角改变为特殊解，其它的没有改变】ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若c =120b B ==，则边a 等于（）A B C D. 2 【答案】C【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos ,62,2b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭C ．（三）三角形面积公式的应用例3 【2013新课标2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =，6B π=，C=4π，则ABC ∆的面积为（）A ．2B 1C ．2D 1 【答案】B【方法技巧归纳】（1）由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；（2）如果已知两边及其夹角可以直接求面积，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【变式1】【将例题中的已知两角一边改变为两边一角，所求问题没改变】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,b c ==4C π=，则ABC ∆的面积为（）A ．2B 1C ．2D 1 【答案】B 【解析】由正弦定理sin 1sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，又c b >，且(0,)B π∈，所以6B π=，所以712A π=，所以ABC ∆的面积为117sin 22212S bc A π==⨯⨯＝122⨯⨯1，故选B ．【变式2】【例题中的两个角改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=c ，B A sin 3sin =，则ABC ∆面积的最大值为（）A ．23B ．3C ．2D ．2 【答案】B（四）正、余弦定理的综合的应用例4 【2017新课标1】ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知△ABC的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23（2）3. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =，故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=故ABC ∆的周长为3【方法技巧归纳】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【变式1】【将例题中条件与（2）小题的结论在给出方式上进行换位，两个小问题的解法没改变】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（1）求sin sin CA的值；（2）若1cos ,2,4B b ==求ABC ∆的面积S .【答案】（1）sin 2sin C A =；（2.【变式2】【例题由条件改为边角关系，所求问题均不变化，但均需利用正弦定理与余弦定理解决】在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos a b b C -=.（1）求证：sin tan C B =；（2）若1a =，C 为锐角，求c 的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）(1,.【解析】（1）由cos a b b C -=根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=，即()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+， sin cos sin C B B =，得sin tan C B =．（2）由余弦定理得()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-，由cos a b b C -=知21cos 1cos a b C C==++，由C 为锐角，得0cos 1C <<，所以12b <<，从而有218c <<.所以c 的取值范围是(1,．【数学思想】 1．函数与方程思想在解三角形中求边或角时，除直接利用正弦定理与余弦定理求解外，多数情况下要结合正弦定理或余弦定理、面积公式建立方程（组）来解决．求三角形中的最值时通常要通过建立函数，通过求函数的值域来处理．2．转化与化归的思想在解三角形中转化与化归思想主要体现为：（1）利用正弦定理、余弦定理进行角化边或边化角；（2）与三角函数结合进行三角函数角之间的转化．3．数形结合思想解三角形问题本身就离不开图形，特别是要注意三角形在边与角的特殊性，利用图形的特殊性进行直观处理，常常可达到快速解题的目的．4．分类讨论思想利用正确定理解决三角形的解个数时，如果含有字母参数，常常要用到分类讨论的思想．【处理解三角形问题注意点】1．已知两边及其一边的对角，应当运用正弦定理，从而得到另一角的正弦值，些时要注意对三角形的形状做出判断．2．利用正弦定理与余弦定理求角或边时，不注意挖掘条件的隐含条件，忽视边或角的大小取值范围，进行造成多解或漏解．3．利用正弦定理与余弦定理求三角形的边或边的取值范围时，常常会忽视构造三角形的条件（大边对大角、小边对小角），造成多解或扩大边的取值范围．4．利用正弦定理讨论三角形多解情况时常常会因为弄不清比较对象而致错． 5．利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状时，常常会没有将已知条件用尽，提前对三角形的形状作出判断，或条件过多而没弄清楚其逻辑关系，可能会造成错判．【典例试题演练】1．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）】ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 2a =，b =45A =︒，则B =（）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 【答案】A【解析】由正弦定理可得：1222bsinAsinB a===．又因为a b >，所以A B >，所以30B =︒，故选A ．2．【四川省绵阳中学实验学校2017届高三5月模拟】在△ABC 中，2sin b A =，则B ∠为（）A ．3π B ．6π C ．3π或32π D ．6π或65π【答案】C【解析】2sin sin A B A =，sin B = ，则B ∠为3π或32π，故选C ．3．【湖南省2017届高三考前演练卷（三）】在ABC ∆中，角A B C 、、的对边,,a b c 满足222b c a bc +=+，且8bc =，则ABC ∆的面积等于（）A． B ．4 C． D ．8 【答案】A【解析】因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 3A π= ，三角形面积S=1sin 2bc A =A ． 4．【天津市河西区2017届高三二模】已知a b c ，，分别为ΔABC 的三个内角A B C ，，的对边， ()()()sin sin sin a b A B c b C A ∠+-=-=，则 A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π3【答案】C【解析】利用正弦定理将()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-的角化为边可得222b c a bc +-=,由余弦定理可得2222cos b c a bc A +-=,则1cos 2A =，所以π3A ∠=，故选A ． 5．【广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合】ABC ∆的内角A ， B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，已知1a =，b = 30A =︒， B 为锐角，那么角::A B C 的比值为（）A ．1:1:3B ．1:2:3C ．1:3:2D ．1:4:1 【答案】B【解析】由正弦定理：1sin 2sin 1b AB a===，B 为锐角，则： 30,90B C ==，角::A B C 的比值为 1:2:3，故选B ．6．【四川省雅安市2017届高三下学期第三次诊断】若ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知2sin23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于 A ．32 B ．43C【答案】C【解析】由2sin23sin b A a B =，得4sin sin cos 3sin sin B A A A B =，得3cos 4A =，又2c b =，根据余弦定理得222222232cos 4424a b c bc A b b b b =+-=+-⨯=，得a b=故选C ．7．【河南省息县第一高级中学2017届高三第七次适应性】已知锐角ABC的外接圆半径为BC ，且3AB =， 4AC =，则BC =（） AB ．6C ．5 D【答案】D8．【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第一次适应性】在ABC 中， 60A =︒，1b =，ABCS=sin cC=（） ABC．【答案】B【解析】依题意有1sin603,42S bc c===，由余弦定理得13a ==由正弦定理得sin sin c a C A ===故选B ．9．【2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】已知ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（） A ．23 B ．34 C ．56 D ．710【答案】B【解析】设三边： 1,,1x x x -+，所以：111sin sin22sin cos x x x A A A A-++==，所以： 2221(1)(1)cos 52(1)2(1)x x x x A x x x x +++--==⇒=-+，三边为：4，5，6，所以3cos 4A =，故选B ．10．【甘肃省肃南县第一中学2017届高三4月】已知三角形ABC 的三边长构成公差为2） A ．15 B ．18 C ．21 D ．24 【答案】A【解析】不妨设三边分别为,2,4a a a ++，由题设可知边4a +所对角为0120，则由余弦定理可得()()()222142222a a a a a ⎛⎫+=++-+-⎪⎝⎭，即260a a --=，解之得3,2a a ==-（舍去），故三角形的周长为3615L a =+=，故选A ． 11．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查】在梯形ABCD 中，0//,1,2,60AB CD AB AC BD ACD ===∠=,则AD = ( )A ．2B D ．13-【答案】B12．【湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）】在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若214a cb =， sin sin sin A C p B +=，且B 为锐角，则实数p 的取值范围为（）A ．(B ．⎝C ．⎝D ．( 【答案】B【解析】sin sin sin A C p B += ,a c pb ∴+=．由余弦定理 ,2222cos b a c ac B =+-＝()222cos a c ac ac B +--＝222211cos 22p b b b B --,即231cos 22p B =+． 0cos 1B <<,得23,22p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由题意知 0p > ，2p ⎛∈ ⎝,选B ．13．【北京市丰台区2017届高三5月综合练习（二模）】在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c sin cos B b A =，则角A 的大小为________．【答案】π6sin cos B b A =sin sin cos A B B A =，显然sin 0B ≠，所以tan 3A =6A π=．14．【河南省豫南九校2016-2017学年高三下学期第三次联考】在三角形ABC 中，内角,,A B C 满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=，则C =__________．【答案】23π 【解析】()()222222cos cos sin ,1sin 1sin sin B C A sinAsinB B C A sinAsinB --=-∴----= ,222sin sin C sin B A sinAsinB ∴--= ,22212,cos ,23a b c ab C C π∴+-=-∴=-∴=．15．【河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C的对边， 23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+=__________．【解析】由余弦定理可得： 22221cos 522a cb B b ac ac +-==-⇒=，再有正弦定理角化边可得：()()2sin 5sin 5sin sin sin sin 5sin sin sin sin sin A C B A C A C B A C A CB +=⇒+=⇒==．16．【吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟】在ABC ∆中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 所对的边，若cos 2cos C a cB b-=，则B =__________．【答案】3π【解析】因为cos 2cos C a c B b -=，由正弦定理得cos 2sin sin cos sin C A CB B-=，即cos sin 2sin cos sin cos C B A B C B =-，()2sin cos cos sin sin cos sin sin A B C B C B B C A =+=+=，所以1cos 2B =， 3B π=． 17．【辽宁省葫芦岛市2017届高三第二次模拟考试（5月）】在ABC ∆中，若222sin sin sin sin A B C A B +=，则2sin2tan A B 的最大值是__________．【答案】3-【解析】222a b c += ，由余弦定理得2223cosC 224a b c C ab π+-==-= ，4A B π=-，222A B π=-，()()2222222cos 11cos sin 2?tan cos2?cos cos B B B sin A B B B B --∴==＝22132cos cos B B ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤3-3-2sin2tan A B 的最大值是3- 18．【辽宁省鞍山市第一中学2017届高三下学期最后一次模拟】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ， b ， c ，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC ∆面积的最大值为__________．19．【甘肃省兰州市2017届高三冲刺】已知ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin +sin =sin -sin sin A B C A B ．（1）求角C ；（2）若c =ABC ∆的中线2CD =，求ABC ∆面积S 的值．【答案】（Ⅰ）23π；（Ⅱ）【解析】（I ）由正弦定理得： 222a b c ab +-=-，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==-0C π<<，∴23C π=（II ）由122CD CA CB =+=可得： 22216CA CB CA CB ++⋅=，即2216a b ab +-=，又由余弦定理得2224a b ab ++=，∴4ab =，∴1sin 24S ab C ab === 20．【宁夏石嘴山市2017届高三下学期第三次模拟】,,,,,ABC A B C a b c ∆在中，角所对的边分别为且()212sin 2cos 2C b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求角A 的大小；（2）若4b c ==，D 是BC 的中点，求AD 的长.【答案】（1）A 6π=（2）AD =21．【重庆市第八中学2017届高三适应性月考卷（八）】已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且()222sin cos a b c C C +-=．（1）求角C ；（2）若c =2b a -的取值范围．【答案】（1）π=3C ；（2）()230b a -∈-，．【解析】（1）由余弦定理，可得2222cos a b c ab C +-=，所以2cos sin cos ab C C C =，所以sin C =，又π02C <<，所以π=3C ．（2）由正弦定理，2sin sin sin a b c A B C====，所以2π22sin 4sin 2sin 4sin 3sin 3b a B A A A A A ⎛⎫-=-=--=-⎪⎝⎭，π23b a A ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π02{2ππ032A A <<<-<，，得ππ62A <<，所以ππ5π+236A <<，πcos 032A ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()230b a -∈-，． 22．【湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）】如图，在边长为2的正三角形ABC∆中， D 为BC 的中点， ,E F 分别在边,CA AB 上．（1）若DE CE 的长；（2）若060EDF ∠=，问：当CDE ∠取何值时， DEF ∆的面积最小？并求出面积的最小值．【答案】（1）CE =2）060CDE ∠=时， DEF ∆【解析】（1）在CDE ∆中，060,1,DCE CD DE ∠===，由余弦定理得， 22202cos60DE CD CE CD CE =+-⨯⨯⨯，得210CE CE --=，解得CE =（2）设0,3090CDE αα∠=≤≤，在CDE ∆中，由正弦定理，得sin sin DE DCDCE CED=∠∠，所以()00sin60sin 602sin 60DE α==++，同理2sin DF α=，故1sin 216sin sin 6048sin 230DEF S DE DF EDF ∆=⨯⨯⨯∠==++-，因为000003090,30230150αα≤≤≤-≤，所以当060α=时， ()sin 230α-的最大值为1，此时DEF ∆的面积取到最小值．即060CDE ∠=时， DEF ∆的面积的最小值为4．。

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。

本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。

一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。

1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。

二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。

这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。

2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。

三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。

3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。

3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。

3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。

而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。

解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b =( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 602sin b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 752sin(4530)=+45cos30cos45sin 30)=+1)2==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==，解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是千米。

高中数学必修五-正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

2018版高中数学小问题集中营专题2.5正弦定理和余弦定理的应用20180109356

专题2.5 正弦定理和余弦定理的应用一、问题的提出高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点，基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换的结合，难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合，本文从多角度分析其应用，希望能给学生带来启发。

二、问题的探源1．正弦定理a b c(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2Rsin A sin B sin C．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；a b c②sin A＝，sin B＝，sin C＝；2R2R2R③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 a2＋b2－c2(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝2bc2ca2ab三、问题的佐证1.判断三角形解的个数问题例1. △ABC中，已知a x，b 2 ，B60，如果△ABC有两组解，则x的取值范围（）A. x 2B. x 2C. 2 4 3D. 2 4 3x x3 3【答案】D1∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A＜120°，若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意，3＜sinA＜1，2∵x=4 33s inA，则2＜x＜4 33故选D．2．三角形的面积问题例2.已知A ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b2 ，则A ABC的面积为( )B ，sin2C 1，sin2C 1，6 1cos2CA. 2 3 2B. 2 3 2C. 3 1D. 3 1【答案】Dsin2C【解析】由1C，化简可得2sinCcosC 2cos2C，得tanC1，即1cos2Ca b c由正弦定理：＝＝，sinA sinB sinC．4可得c 2 2，a 6 2A的面积 1 3 1ABC SabsinC．2故选D．1 1 1 【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S△＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，一般情况根2 2 2据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查.cos B b例3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.cos C2a＋c(1)求B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B b解：(1)由余弦定理知，co s B＝，cos C＝，将上式代入＝－得2ac2ab cos C2a＋c a2＋c2－b2 2ab b a2＋c2－b2 －ac ·＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝2ac a2＋b2－c2 2a＋c2ac2ac 1＝－.22 ∵B为三角形的内角，∴B＝π.322 2(2)将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝ π 代入 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 13＝42－2ac －2ac cos π，解 3 3 得 ac ＝3.1 3 3∴S △ABC ＝ ac sin B ＝ .2 4【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 3. 判断三角形形状问题例 4. 在A ABC 中，若则A ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】因为 2cos B sin A ＝sin C ，所以 2×ac b 2222ac·a ＝c ，所以 a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．4.边角转化问题例 5. 已知A ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 3a cos C2c cos A ，1tan A ，则 B____________．3 3【答案】4点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数3基本关系式，两角和差的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用，着重考查了学生推理能力和运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用正弦定理，求得 tan C 的值是解答的关键．四、问题的解决 1．在△ ABC 中，若 B 30 ， AB 2 3 ， AC 2 ，则△ ABC 的面积为（）A. 3B. 2 3 或 2C. 2 3D. 2 3 或 3【答案】D2.在ABC 中，内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，若 6a cos B 0b2.在ABC 中，内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，若 6a cos Bsin45 sinA，则 B（）A.30B. 45C.135D.150【答案】D【解析】因为a cos B6bsin45 sinA所以2sin A cos B6sin B 0 化简得 sin A3tan BB 150o3故选D3．在锐角ABC中，角A，B，C对应的边分别是a、b、c，向量a sin C, tan A，4bA A ，且 a bcos Acos C ，则 c btan , sina的取值范围是（）A.21, 21B. 12,23C. 12,13D.2,3【答案】B【解析】a b cos A cos C ,cos A cos C cos A sinAsin A sin C ,cos Asin Acos A cos C sin A sin C ,cos2Acos A Ccos B ,B 2A ,22因为△ABC 是锐角三角形，所以0 C,0 B 2A, B A3A ,A, A , 2 22664由正弦定理，可得：23A,cos A, 1 2 4cos A 2cos A 1 23.26422本题选择 B 选项. 4．在 ABC 中， a 2c 2b 2 2ac ， 2cos A cos C 的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】因为 a2c2b22ac ，所以cos B a 2 c 2b 2 2，因为 0, 2ac2BB4，所以2 22cos A cos C 2cos A cos A sin A cos A sin A42 24，3时，取最大值 1。

正弦定理和余弦定理-高考理科数学试题

（二十三）正弦定理和余弦定理[小题对点练——点点落实]对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形1．(2018·安徽合肥一模)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝78，c－a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3D.72解析：选A 由题意可得c ＝a ＋2，b ＝3，cos A ＝78，由余弦定理，得cos A ＝12·b 2＋c 2－a2bc ，代入数据，得78＝9＋(a ＋2)2－a22×3(a ＋2)，解方程可得a ＝2.2．(2018·湖北黄冈质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )A.53B.54C.55D.56解析：选B 由正弦定理，得sin A ＝52sin B ，又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝54. 3．(2018·包头学业水平测试)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则a c ＝( )A ．2 B.32 C ．3D ．4解析：选A 由正弦定理可得b 2＝2ac ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－2ac 2ac ＝14，化简得(2a －c )(a －2c )＝0，又a >c ，故a ＝2c ，ac＝2，故选A.4．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab ＝( )A ．2B ．3C. 2D. 3解析：选A 由2b sin 2A ＝a sin B ，得4b sin A ·cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B ·sin A ·cos A ＝sin A ·sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴ab ＝2.故选A.5．(2018·兰州一模)△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( )A.223B.34C.74D.13解析：选C 由正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，所以sin B ＝74. 对点练(二) 正、余弦定理的综合应用1．(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ，整理得sin A cos B <0，又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π.∴△ABC 为钝角三角形．2．(2018·湖南邵阳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选A ∵向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2.∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2，∴sin A 2＝sin B2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，∴A ＝B .同理可得B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．故选A.3．(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎡⎦⎤a 2c 2－⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 C ．3D. 6解析：选A 由正弦定理得a 2c ＝4a ，所以ac ＝4，且a 2＋c 2－b 2＝12－2ac ＝4，代入面积公式得14×(16－22)＝ 3.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A .若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，如图所示，则四边形OACB 面积的最大值是( )A.4＋534B.8＋534C ．3D.4＋52解析：选B 由b a ＝1－cos Bcos A 及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以C ＝A ，又b ＝c ，所以A ＝B ＝C ，△ABC 为等边三角形．设△ABC 的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534. 5．(2018·广东揭阳模拟)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．解析：∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4.设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2.答案：26．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝a 2－(b －c )2，且b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．解析：由题意知12bc sin A ＝a 2－b 2＋2bc －c 2，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得12bc sinA －2bc ＝－2bc cos A ，因为bc ≠0，所以sin A ＝4－4cos A ，则1－cos 2A ＝16(1－cos A )2，得cos A ＝1517，sin A ＝817，b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，因而bc ≤16，那么S ＝12bc sin A ≤6417. 答案：6417对点练(三) 解三角形应用举例1．(2018·山西康杰中学月考)海上有三个小岛A ，B ，C ，测得∠BAC ＝135°，AB ＝6，AC ＝32，若在B ，C 两岛的连线段之间建一座灯塔D ，使得灯塔D 到A ，B 两岛距离相等，则B ，D 间的距离为( )A ．310 B.10 C.13D ．3 2解析：选B 由题意可知，D 为线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，设BD ＝t .由余弦定理可得BC 2＝62＋(32)2－2×6×32cos ∠BAC ＝90，解得BC ＝310.由cos ∠ABC ＝3t ＝62＋(310)2－(32)22×6×310，解得t ＝10.故选B.2．(2018·河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A 岛向正北方向行驶80海里至M 处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N 处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B 岛，则A ，B 两岛之间的距离是________海里．解析：连接AN ，则在△AMN 中，应用余弦定理可得cos 60°＝502＋802－AN 22×50×80，即AN＝70.应用余弦定理可得cos ∠ANM ＝502＋702－8022×50×70＝17，所以sin ∠ANM ＝437. 在△ANB 中，应用余弦定理可得cos ∠ANB ＝(303)2＋702－AB 22×303×70，而cos ∠ANB ＝cos(150°－∠ANM )＝cos 150°cos ∠ANM ＋sin 150°sin ∠ANM ＝3314，所以3314＝(303)2＋702－AB 22×303×70，解得AB ＝70. 答案：703．(2018·贵州遵义第一次联考)某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10 m ，则旗杆的高是________m.解析：由题意得∠DEA ＝45°，∠ADE ＝30°，AE ＝ABcos 15°，所以AD ＝AE sin 45°sin 30°＝2ABcos 15°，因此CD ＝AD sin 60°＝2×10cos (45°－30°)×sin 60°＝10(3－3)．答案：10(3－3)[大题综合练]1．(2018·湖北部分重点中学适应性训练)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足cos(A －B )＝2sin A sin B .(1)判断△ABC 的形状；(2)若a ＝3，c ＝6，CD 为角C 的平分线，求CD 的长．解：(1)由cos(A －B )＝2sin A sin B ，得 cos A cos B ＋sin A sin B ＝2sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＝0， ∴cos(A ＋B )＝0，∴C ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．(2)由(1)知C ＝90°，又a ＝3，c ＝6， ∴b ＝c 2－a 2＝33，A ＝30°， ∠ADC ＝180°－30°－45°＝105°. 由正弦定理得CD sin A ＝ACsin ∠ADC， ∴CD ＝33sin 105°×sin 30°＝336＋24×12＝92－362.2．(2017·云南昆明二模)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos∠BAC ＝－13，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解：(1)因为AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，所以sin ∠BAC ＝223.又sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ＝223，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，即AD 2－8AD ＋15＝0，解得AD ＝5或AD ＝3，由于AB >AD ，所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，又由cos ∠BAD ＝223，得sin ∠BAD ＝13，所以sin ∠ADB ＝63，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝63. 因为∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝π2＋∠C ，所以cos ∠C ＝63. 在R t △ADC 中，cos ∠C ＝63，则tan ∠C ＝22＝AD AC ＝3AC，所以AC ＝3 2.则△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×32×32×223＝6 2.3．(2018·河南郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ，化简得sin A ＝±32，因为A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)因为b ≥a ，所以A ＝π3.由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，则π6≤B －π6<π2，所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)．。

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理课件

2 2 2
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A
a ＋b －c cos C＝ 2ab
2 2
2
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角图形关系式解的个数 a＝bsin A 一解 A为钝角或直角
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
跟踪训练1
(1)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，
2
b asin Asin B＋bcos A＝ 2a，则a等于答案 A.2 3 B.2 2 C. 3
a2 (2)若△ABC 的面积 S＝，求角 A 的大小. 4
解答
思维升华
1 1 1 (1)对于面积公式 S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一个角就 2 2 2 使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
跟踪训练2
解析
D. 2
(边化角)
由 asin Asin B＋bcos2A＝ 2a 及正弦定理，得
sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝ 2sin A，
b sin B 即 sin B＝ 2sin A，所以a＝sin A＝ 2.故选 D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，则b等于答案 A.6 B.4 C.2

高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件

答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13

解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形

2018版高考数学复习三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理试题理北师大版

第四章三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理试题理北师大版1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × )(5)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A. 2．(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6答案 C解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c22，∴c ＝1063.3．(2016·江西吉安一中质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析因为c b <cos A ，由正弦定理得sin Csin B<cos A ，因为B ∈(0，π)，所以sin B >0，所以sin C <sin B cos A ，又C ＝π－(A ＋B )，可得sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin A cos B <0，则cos B <0，所以B ∈(π2，π)，即△ABC 为钝角三角形，故选A.4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝ .答案2π3解析因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5．(2016·济南模拟)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝b12，解得b ＝1.(2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 所以sin A sin B ＝sin C .②解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba等于( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cosA sin C ，则b 等于( )A ．6B ．4C ．2D ．1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A cos C ＝3cos A sin C ，由正弦、余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得2(a 2－c 2)＝b 2，① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2，故选C. 题型二和三角形面积有关的问题例2 (2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B<cos A ，所以sin C <sin B cos A ，即sin(A ＋B )<sin B cos A ，所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0，即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．(2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是．答案 (1)D (2)(6－2，6＋2) 解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE.在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c的长或长度问题-a c →已有利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→求sin A ，cos A ―――――→第问已求出cos A 根据同角关系求sin A规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分]又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°答案 C 解析由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC <AB ，∴A ＝45°. 2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案 D解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D. 3．(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知△ABC 为等腰直角三角形．4．(2016·陕西西安一中模拟)在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33 D.233 答案 D 解析 ∵BC ＝10，CD ＝2，△CBD 的面积为1，∴S △CBD ＝12×2×10sin ∠DCB ＝1， ∴sin ∠DCB ＝55，cos ∠DCB ＝255. 由余弦定理，得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CD ·CB cos ∠DCB ＝4，解得BD ＝2.在△CBD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝－22， ∴∠BDC ＝135°，∠ADC ＝45°，在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin 45°＝2sin 60°， ∴AC ＝233，故选D. 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案 C 解析根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C. 6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为．答案 2 3解析如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3.7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案 2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c＝2，cos A ＝－14，则a 的值为．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8. 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为．答案 12解析由正弦定理a sin A ＝b sin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A .又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3. 由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c 2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11．(2016·陕西千阳中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小．(2)求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解 (1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C ，因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C ，又cos C ≠0，所以tan C ＝1，即C ＝π4. (2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos(B ＋π4) ＝3sin A ＋cos A＝2sin(A ＋π6)．因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12. 从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时， 2sin(A ＋π6)取得最大值2. 综上，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 12．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)方法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 方法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332. 13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sinB ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理名师一号P62知识点一正弦定理其中R 为△ABC 外接圆的半径变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222===a b c A B C R R R变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：补充关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;知识点二余弦定理222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：补充1关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;2勾股定理是余弦定理的特例3在∆ABC 中,222090︒︒<+⇔<<a b c A用于判断三角形形状名师一号P63问题探究问题3判断三角形形状有什么办法判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边, 并常用正弦余弦定理实施边、角转换．知识点三三角形中常见的结论△ABC 的面积公式有：①S ＝错误!a ·hh 表示a 边上的高；②S ＝错误!ab sin C ＝错误!ac sin B ＝错误!bc sin A ＝错误!；--知两边或两边的积及其夹角可求面积③S ＝错误!ra ＋b ＋cr 为内切圆半径．补充1++=A B C π2在三角形中大边对大角,大角对大边．3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．4有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222+=+=-+=-++==B C A B C A B C A B C A B C A 利用++=A B C π及诱导公式可得之5在△ABC 中的几个充要条件:名师一号P63问题探究问题4sin A >sin B 错误!>错误! a >b A >B .补充 cos cos A B A B >⇔<若R ∈、αβ或2k απβπ=-+k Z ∈或2k αβπ=-+k Z ∈45套之7--196锐角△ABC 中的常用结论 ∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π4．解斜三角形的类型名师一号P63问题探究问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题在解三角形时,正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边,求其它边或角；2已知两边及一边的对角,求其它边或角．情况2中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；2已知三边问题．a b A补充已知两边和其中一边的对角如,,用正弦定理或余弦定理均可名师一号P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么若式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.本小题满分12分叙述并证明余弦定理;2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-.证明：证法一如图,2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-即2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,证法二已知ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-,即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,二、例题分析：一利用正、余弦定理解三角形例1．1名师一号P62 对点自测1在△ABC 中,A ＝60°,B ＝75°,a ＝10,则c 等于A ．5错误!B ．10错误! D ．5错误!解析由A ＋B ＋C ＝180°,知C ＝45°,由正弦定理得：错误!＝错误!.即错误!＝错误!. ∴c ＝错误!.注意：已知两角及任一边,求其它边或角----正弦定理,解唯一例1．2名师一号P62 对点自测2在△ABC 中,若a ＝3,b ＝错误!,A ＝错误!,则C 的大小为________．解析由正弦定理可知sin B ＝错误!＝错误!＝错误!,所以B ＝错误!或错误!舍去,因为a >b 即A ＝错误!> B 所以B ＝错误!所以C ＝π－A －B ＝π－错误!－错误!＝错误!.一解变式1: 在△ABC 中,若b ＝3,a ＝错误!,A ＝错误!, 则C 的大小为________．答案: sin B >1无解变式2:在ABC ∆中,已知45︒===a b B , 解ABC ∆.答案：60,75,︒︒+===A C c或120,15,2︒︒-===A C c两解变式3:求边c注意：知道两边和其中一边的对角如，，a b A 解三角形可用正弦定理先求出角B 也可用余弦定理先求出边c 再求解;两种方法均须注意解的个数可能有一解、二解、无解,应注意区分．练习:补充2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cossin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C; 解析 Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1.又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a, 当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或例2．补充若满足条件060=C ,a BC AB ==,3的ABC ∆有两个,求a 的取值范围. 32<<a注意：判断三角形解的个数常用方法：1在ABC ∆中,已知,,A a b ;构造直角三角形判断 2利用余弦定理判断一元二次方程正根个数勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC 中,已知a 、b 和A ,以点C 为圆心,以边长a 为半径画弧,此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表：图示已知a 、b 、A ,△ABC 解的情况．ⅰA 为钝角或直角时解的情况如下：ⅱA 为锐角时,解的情况如下：③运用余弦定理转化为关于一元二次方程正根个数问题练习:已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2, ∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.例3．1名师一号P62 对点自测3在△ABC 中,a ＝错误!,b ＝1,c ＝2,则A 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 解析由余弦定理得：cos A ＝错误!＝错误!＝错误!,∵0＜A ＜π,∴A ＝60°.注意：已知三边,求其它边或角---余弦定理例3．2名师一号P63 高频考点例122014·新课标全国卷Ⅱ钝角三角形ABC的面积是错误!,AB＝1,BC＝错误!,则AC＝A．5 C．2 D．1解:由题意知S＝错误!AB·BC·sin B,△ABC即错误!＝错误!×1×错误!sin B,解得sin B＝错误!,∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝1.此时AC2＋AB2＝BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意；当B＝135°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝5,解得AC＝错误!.符合题意．故选B.注意：已知两边夹角,求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理例4．1名师一号P63 高频考点例112014·江西卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a＝2b,则错误!的值为A．－错误!C．1解:∵3a＝2b,∴由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!.∴错误!＝错误!,∴错误!＝2×错误!－1＝2×错误!－1＝错误!－1＝错误!.例4．2名师一号P62 对点自测已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－错误!ab,则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－错误!ab,∴cos C＝错误!＝－错误!,故C＝150°为三角形的最大内角．注意：1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换练习:2010·天津理在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2－b2＝错误!bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30°B．60°C．120°D．150°解:由余弦定理得：cos A＝错误!,由题知b2－a2＝－错误!bc,c2＝2错误!bc,则cos A＝错误!, 又A∈0°,180°,∴A＝30°,故选A.注意：已知三边比例关系---余弦定理二三角形的面积例1．1名师一号P62 对点自测62014·福建卷在△ABC中,A＝60°,AC＝4,BC＝2错误!,则△ABC的面积等于________．解析由题意及余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!,解得c＝2.所以S＝错误!bc sin A＝错误!×4×2×sin60°＝2错误!.故答案为2错误!.注意：a b A解三角形可用正知道两边和其中一边的对角如，，弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解;两种方法均须注意解的个数本例用余弦求边更快捷.例1．2名师一号P63 高频考点例32014·浙江卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝错误!,cos2A－cos2B＝错误!sin A cos A－错误! sin B cos B.1求角C的大小；2若sin A＝错误!,求△ABC的面积．解:1由题意得错误!－错误!＝错误!sin2A－错误!sin2B,即错误!sin2A－错误!cos2A＝错误!sin2B－错误! cos2B,sin错误!＝sin错误!.由a≠b,得A≠B,又A＋B∈0,π．得2A－错误!＋2B－错误!＝π,即A＋B＝错误!,所以C＝错误!.2由c＝错误!,sin A＝错误!,错误!＝错误!,得a＝错误!.由a<c,得A<C,从而cos A＝错误!,故sin B＝sin A＋C＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!.所以△ABC的面积为S＝错误!ac sin B＝错误!.规律方法三角形面积公式的应用原则1对于面积公式S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误! bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．三三角形形状的判定例1．1名师一号P63 高频考点例2在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A ＝2b＋c sin B＋2c＋b sin C.1求A的大小；2若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．解:1由已知,根据正弦定理得2a2＝2b＋c·b＋2c＋bc,即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A,故cos A＝－错误!,∵0<A<180°,∴A＝120°.2由1得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝错误!.又sin B ＋sin C ＝1,解得sin B ＝sin C ＝错误!.∵0°<B <60°,0°<C <60°,故B ＝C ＝30°,A ＝120°.∴△ABC 是等腰钝角三角形．法二：因为A ＝120°,且A +B ＋C=180°所以sin B ＋sin C ＝1即sin60°-C ＋sin C ＝1 可求得C=30°例1．2补充根据所给条件,判断△ABC 的形状．1若a cos A ＝b cos B ,则△ABC 形状为________． 2若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC 形状为________．解析：1 解法一: 由正弦定理得sinA cos A ＝sinB cos B 即sin2A ＝sin2B22A B ∴= 或 22A B π=-A B ∴= 或 2A B π+= ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二:由余弦定理得a cos A ＝b cos Ba ·错误!＝b ·错误!a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0,∴a 2－b 2c 2－a 2－b 2＝0∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．2由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!即tan A＝tan B＝tan C,∵A、B、C∈0,π,∴A＝B＝C,∴△ABC为等边三角形．注意：利用正、余弦定理进行边角互化1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;规律方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．加加练P9 第6题∆中,已知ABC∆为则ABCA.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：B计时双基练P252 第2题四三角形的综合问题例1．补充在△ABC 中,sinC-A=1,sinB=31. Ⅰ求sinA 的值；Ⅱ设AC=错误!,求△ABC 的面积.解：Ⅰ由2C A π-=,且C A B π+=-,∴42B A π=-,∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-, ∴211sin (1sin )23A B =-=,又sin 0A >,∴sin A = Ⅱ如图,由正弦定理得sin sin AC BC B A=∴sin 31sin 3AC A BC B ===, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴11sin 223ABC S AC BC C ∆=••==注意:关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、知两边夹角求面积公式的选择;例2．补充已知ABC ∆中,角A B C 、、所对的边 A BC分别为a b c 、、,3B π∠=,b =求a c +的取值范围解法一：正弦定理结合三角最值当且仅当62A ππ+=即3A π=时等号成立法二：余弦定理结合不等式由2222cos b a c ac B =+-得2228a c ac =+-即()2283a c ac =+-a c ∴+≤当且仅当a c =时等号成立又三角形两边之和大于第三边注：这是一道好题,刚好都能运用“正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决; 小结：借助正弦定理,转化为角的正弦值,利用三角函数最值求解借助余弦定理,转化为边的关系,利用均值不等式求解余弦定理注意两数和差与这两数的平方和、两数的积的关系的运用练习:加加练P11 第11题已知△ABC 中,外接圆半径是1,且满足()()222sin sin sin sin A C A B b -=-,则△ABC 面积的最大值为答案：4计时双基练P251 第6题补充已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c . Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小；Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =,求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)3sin 2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-ABC ∆为锐角三角形★注意：∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π讲评：1、计时双基练 P252 基础11---多个三角形问题2014·湖南卷如图,在平面四边形ABCD 中,AD ＝1,CD ＝2,AC ＝错误!.1求cos ∠CAD 的值；2若cos ∠BAD ＝－错误!,sin ∠CBA ＝错误!,求BC 的长．解 1由余弦定理可得cos ∠CAD ＝错误!＝错误!＝错误!,∴cos ∠CAD ＝错误!.2∵∠BAD 为四边形内角,∴sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0,则由正余弦的关系可得sin ∠BAD ＝错误!＝错误!,且sin ∠CAD ＝错误!＝错误!,由正弦的和差角公式可得sin ∠BAC ＝sin ∠BAD －∠CAD＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!, 再由△ABC 的正弦定理可得错误!＝错误!BC ＝错误!×错误!＝3.2、45套之7--192---方程的思想课后作业一、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1、3补充练习1、2、3二、计时双基练P251基础7-11；培优1-4课本P63变式思考2三、课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习第七节补充练习:1、2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cos sin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C;解析Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1. 又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a,当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或 2、已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2,∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.3、已知△ABC 中,∠A ＝60°,BC=2错误!,则其外接圆面积为__________．答案：4π★注意：勿忘正弦定理中三角形各边与对角正弦的比为外接圆直径sin sin in 2s a b c A B R C=== R 为三角形外接圆半径 4、在四边形ABCD 中,∠B ＝∠D ＝90°,∠A ＝60°, AB ＝4,AD ＝5,则AC 的长为B ．2错误!解析如图,连结AC ,设∠BAC ＝α,则AC ·cos α＝4,AC ·cos60°－α＝5,两式相除得,错误!＝错误!,展开解得,tan α＝错误!∵α为锐角,∴cos α＝错误!∴AC ＝错误!＝2错误!解法二：补充△ABD 中,由余弦定理得21BD =由∠B ＝∠D ＝90°知AC 为△ABD 的外接圆直径由正弦定理得2127sin sin 620BD AC R A ︒====5、已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c .Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小； Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =, 求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π6、2013年广州二模文数第17题某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上．1求BAC ∠的大小；2求点O 到直线BC 的距离．答案13BAC π∠=23m 课后作业三、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1补充练习1、3、例2四、计时双基练P251基础7-11;培优1-4课本P63变式思考3补充练习2三、课本P63变式思考2课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习第七节。

人教高中数学必修二A版《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用说课复习(余弦定理)

c＝2，cos A＝23，则 b＝( )
A． 2
B． 3
C．2
D．3
栏目导引
第六章平面向量及其应用
【解析】 (1)因为 cos C＝2cos2 C2－1＝2×15－1＝－35，所以由余
弦定理，得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC·BCcos C ＝ 25 ＋ 1 －
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栏目导引
第六章平面向量及其应用
在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
解：根据余弦定理得，课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋
2)×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 又因为 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2（×26＋2×2（）26－＋（22）3）2＝12，
所以 A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
栏目导引
第六章平面向量及其应用
已知三边(三边关系)解三角形
(1)在△ABC 中，已知 a＝3，b＝5，c＝
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2018版高中数学小问题集中营专题2.5 正弦定理和余弦定理的应用

二、问题的探源 1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R．其中R 是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝.若令C ＝90°，则c 2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab三、问题的佐证1.判断三角形解的个数问题例1. △ABC 中，已知a x =， 2b =， 60B =，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围（）A. 2x >B. 2x <C. 2x <≤2x <<【答案】D∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A ＜120°，若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意，＜sinA ＜1，∵x=3sinA ，则2＜x ＜3故选D ．2．三角形的面积问题例2. 已知ABC ，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、， 2b =， 6B π=，sin211cos2CC=+，则ABC 的面积为( )A. 2B. 21 D. 1 【答案】D【解析】由sin211cos2C C =+，化简可得222sinCcosC cos C =，得1tanC =，即4C π=．由正弦定理： a b csinA sinB sinC＝＝，可得c a ==ABC ∴ 的面积112S absinC ==．故选D ．【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，一般情况根据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查. 例3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，co s B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.3∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 3. 判断三角形形状问题例4. 在ABC 中，若则ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×2222a c b ac+-·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．4.边角转化问题例5. 已知ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若3cos 2cos a C c A =， 1tan 3A =，则B = ____________．【答案】34π点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数基本关系式，两角和差的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用，着重考查了学生推理能力和运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用正弦定理，求得tan C 的值是解答的关键．四、问题的解决1．在△ABC 中，若30B ∠=， AB = 2AC =，则△ABC 的面积为（）B. C. 【答案】D2.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos 0sin45sin a BA+=，则B =（）A. 30B. 45C. 135D. 150【答案】Dcos 0sin45sin a BA+=cos 0sin A B B A += 化简得tan 150o B B == 故选D3．在锐角ABC ∆中，角A ， B ， C 对应的边分别是a 、b 、c ，向量()sin ,tan a C A =， ()tan ,sin b A A =，且cos cos a b A C ⋅=+，则c ba+的取值范围是（）A.()21,21-+ B. (1 C. (1+ D.【答案】B 【解析】()()cos cos ,cos cos cos sin sin sin ,a b A C A C A A A C ⋅=+∴+=⋅+5()22cos sin cos cos sin sin ,cos2cos cos ,2,A A A C A C A A C B B A ∴-=-+∴=-+=∴=因为△ABC是锐角三角形，所以0,02,3,,,222664C B A B A AAA ππππππππ<<<=<∴--=-∴∴<<由正弦定理，可得：2,cos 14cos 2cos 126422A A A A ππ<<<<∴+<+-<+ 本题选择B 选项.4．在ABC ∆中，222a cb +=+，cos A C +的最大值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】因为222a cb +=，所以222cos 22ac b B ac+-==，因为()0,4BB ππ∈∴=，所以cos cos cos sin 4224A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，30,,444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当A+=42ππ时，取最大值1。

正弦定理余弦定理(解析版)

考点31 正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【基础知识回顾】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．a 2＝b 2＋c2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1、在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：A 【解析】：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确【答案】：C 【解析】：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3、在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B.3 C ．2 3 D ．2 【答案】：B 【解析】：因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝3.所以BC ＝ 3. 4、在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25【答案】：A 【解析】：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2.故选A.5、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】：B 【解析】：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．6、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】：B 【解析】：∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ， ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．7、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC的面积为．【答案】：233 【解析】：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12×833×12＝233.8、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为__________．【答案】：3 【解析】：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B ，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A ＝3．考向一运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（）ABC ．D ．【答案】DABC3AC =2BC =3cos 4C =tan A =33【解析】由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出. 【解析】由余弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：D ．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈(0，π)，∴tanC ==答案为变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______．【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+=， ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=， ∴111tan tan A B+=，又22265b c a bc +-=，∴由余弦定理得62cos 5A =，∴3cos 5A =，∵A 为ABC ∆的内角，∴4sin 5A =，∴4tan 3A =，∴tan 4B =，故答案为：4．2AB =AB BC =A C =tan A 2222232cos 3223244AB AC BC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=2AB =AB BC =A C =3cos cos 4A C ==tan 3A =变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值：（2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=，因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭，因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin B =由正弦定理得5sin sin 7214c C B b ==⨯=方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( )A ．若tan A ＋tanB ＋tanC >0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是等边三角形【答案】：ACD 【解析】：∵tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C >0， ∴A ，B ，C 均为锐角，∴选项A 正确；由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴选项B 错；由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理，可知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ， ∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B ，∴选项C 正确；由已知和正弦定理，易知tan A ＝tan B ＝tan C ， ∴选项D 正确．变式1、△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∵A ＝120°，∴34＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，与sin B ＋sin C＝1联立方程组解得：sin B ＝sin C ＝12，∵0°＜B ＜60°，0°＜C ＜60°，故B ＝C ＝30°，∴△ABC 是等腰钝角三角形．变式2、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】 (1)B (2)C 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．方法总结：判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ． (1) 求角A 的大小；(2) 若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．【解析】：(1) (解法1)在△ABC 中，由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ，即sin A ＝2sin A cos A ．因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3．(解法2)在△ABC 中，由余弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得b a 2＋b 2－c 22ab ＋c a 2＋c 2－b 22ac ＝2a b 2＋c 2－a 22bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．(2) 由AB →·AC →＝cb cos A ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×23×sin60°＝32变式1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cosA －3sinB cos B ． (1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ＝45，求△ABC 的面积．【解析】：(1) 由题意得 1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6．由a ≠b ，得A ≠B ．又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3． (2) 由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85．由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________．【答案】4【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______．【解析】3b =，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3A =-，∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又sin A ==，11sin 3122ABC S bc A ∆∴==⨯⨯．方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【解析】若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-，所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【解析】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④；（2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B==sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==变式2、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.【解析】cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B = 又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯= 在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈，所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以11sin 4222ABCSac B ==⨯⨯=在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =，由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =. 故选：A ．2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 222ABC S ac B ==⨯=△ 5、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.6、【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B ==由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积. 【解析】（Ⅱ）()2cos cos 0a c B b A ++=,()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ()sin sin A B C +=.1cos 2B ∴=-,20,3B B ππ<<∴=.(Ⅱ)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭， ()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，33,a b c b a c ++=+=∴+= 3ac ∴=，11sin 322ABCSac B ∴==⨯=. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值：（2）求sin C 的值．【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=，因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭，因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin 2B =由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===9、【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．。

高中数学余弦定理和正弦定理专题

余弦定理和正弦定理专题【知识要点归纳】1．三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．2.余弦定理及其变式3．正弦定理及其变式4.利用余弦定理及其变式可以解下面的问题：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角．5. 利用正弦定理及其变式可以解下面的问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．6．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa.若sin B>1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B<1，一解或两解．还需结合“三角形中大边对大角”。

7．三角形形状的判定方法<1>转化为三角形的边来判断：(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2；(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2；(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2；(4)按等腰或等边三角形的定义判断.<2>转化为角的三角函数(值)来判断：(1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；(2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；(3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；(4)若sin2A+sin2B=sin2C，则C=90°，△ABC为直角角形；(5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；(6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.8．三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的面积S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A．9.正弦定理与余弦定理的应用 (1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角，如图所示.(2)方位角指从__正北方向__顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图1所示).(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指从原点O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).题型一已知两边及一角解三角形1.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2D ．2192. 已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，5c =，4s in 5A =，则(b = A 55B 255C 5D 5553．A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2b =，5cos()3A C +则(c = A 5B ．5C 52D 534．在A B C∆中，内角C 为钝角，3s in 5C =，5A C =，35A B ，则B C = ．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为___.题型二已知三边(三边关系)解三角形1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B ．π6 C ．π4 D ．π122.已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b ，c ，则(C = A ．B ．23πC ．34πD ．56π3．在A B C∆中，若()()3a b c c b a b c +++-=，则角(A = A ．23πB ．56π C ．D ．4．已知A B C ∆中，7A B =，5B C =，3C A =，则B C 与C A 的夹角是 A ．56πB ．C ．23π D ．5．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =且224b cb c +=+，则角A = 题型三已知两角及一边解三角形1．A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知105A =︒，45C =︒，c (b =A ．1BC D ．22.在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．46B ．45C ．43D ．2233.在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝60°，b ＝6，那么a ＝．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝____. 题型四利用正、余弦定理实现边角互化1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 2.在△ABC 中，已知A ：B ：C ＝3：4：5，那么a ：b ：c ＝．3.在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝1：√2：1，则C＝4.在△ABC中，若sin A：sin B＝2：3，则a+bb=．5．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝____.6.在△ABC中，边a，b，c所对角分别为A，B，C，且sinAa =cosBb=cosCc，则∠A＝．7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a－cc＝tan Btan C，则角B的大小为____.题型五判断三角形的形状1.在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.2.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状.3.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．4.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．题型六三角形解的个数确定1．(多选)在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则角B的度数可能为() A．15° B．45° C．105° D．135°2．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°3.在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝__ _.4.已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A=题型七正、余弦定理的综合应用1．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD＝____.2.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度为____.3.如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长度为．4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.①求角C；②若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．7.设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且cos B＝35，b＝2.①当A＝30°时，求a的值；②当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．8.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B=512b sin A＝5．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝30，求△ABC的周长．9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；2a＋b＝2c，求sin C.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设sin A cos B＝sin B（2﹣cos A）．（1）若b+c=√3a，求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．题型一测量距离问题典例1(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA ＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是____m.(2)为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为__ _.[归纳提升]测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB【对点练习】❶(1)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为____.(2)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为()A．64a B．3＋34a C．32a D．6a题型二测量高度问题典例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[归纳提升]测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.【对点练习】❷如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.典例3某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.【对点练习】❸甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？典例4某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？【对点练习】❹海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距100 3 n mile，渔船B被困海面，已知B距离基地100 n mile，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是。

高中数学小问题集中营专题2.6 正弦定理、余弦定理与不等式

专题2.6 正弦定理、余弦定理与不等式一、问题的提出正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发. 二、问题的探源 1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理略三、问题的佐证一、面积的范围问题例1ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知cos sin a b C c B =+，且2b =，则ABC ∆面积的最大值是__________．1二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积；（2）求ABC ∆周长的最大值；三、利用消元法确定三角形中的范围问题例3在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o sc o s s i nB C b c +=，cos 2B B =，则a c +的取值范围是( )A. ⎝B. 32⎛ ⎝C. ⎣D. 32⎡⎢⎣ 【答案】B【解析】()cos cos sin sin sin sin 3sin 3sin B C A A c B b C B C b c C C +=∴+==∴+=()sincos 2212sin sin 323sin A bb B B B R ac R A C Bπ∴=+=∴=∴==∴+=+231sin sin sin 032626A A A A A A ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-=+=+<<∴<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2636A A a c πππ⎛⎫+<<+≤<+≤ ⎪⎝⎭B 。

备战2018年高考数学一轮复习热点难点专题25利用正余弦定理破解解三角形问题

专题25 利用正（余）弦定理破解解三角形问题考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题C ab S sin 21=. 基础知识回顾: 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜bsinA a ＝bsinAbsinA ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4.三角形常用的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知ABC ∆中， 3B π=， 2a =（Ⅰ）若3b =A ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为332，求b 的值.【答案】（Ⅰ）4A π=；（Ⅱ） 14b =.【例2】【2017江苏泰兴中学高三月考】在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【答案】10.点评：正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例3】【重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，满足3tan bcA =. （1）若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角A ；（2）若cos 3sin a c b C b C +=+，试判断ABC ∆的形状. 【答案】(1) 3A π=；(2) ABC ∆为正三角形.【解析】试题分析：根据三角函数的余弦定理公式得到2222cos b c a bc A +-=，结合题干中的公式可得（2）cos 3sin a c b C b C +=，由正弦定理有： sin sin sin cos 3sin sin A C B C B C +=，而A B C =+，∴sin cos cos sin B C B C += sin cos 3sin sin B C B C ，即cos sin sin 3sin sin B C C B C +=，而sin 0C ≠，3sin cos 1B B -=，∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,B π∈，∴3B π=，又由（1）知3sin A =，∵()0,A π∈及3B π=，∴3A π=，从而3A B C π===，因此ABC ∆为正三角形.点睛：第一问结合余弦定理，得到角A 的三角函数值；第二问，先由正弦定理的到cos sin sin 3sin sin B C C B C +=，再化一得到角B ，根据第一问A ，得到两角相等，可以知道三角形为等边三角形。

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专题2.6 正弦定理、余弦定理与不等式一、问题的提出正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发. 二、问题的探源 1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤(,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理略三、问题的佐证一、面积的范围问题例1ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C c B =+，且2b =，则ABC ∆面积的最大值是__________．1二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积；（2）求ABC ∆周长的最大值；三、利用消元法确定三角形中的范围问题例3在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o sc o s s i nB C b c +=，cos 2B B =，则a c +的取值范围是( )A. ⎝B. 32⎛ ⎝C. ⎣D. 32⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】()c oscsn 3si BCA c b b cC +=∴()3s ico s 23AbBBBπ=+2331s i n322A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-=+=+<<∴<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦23s i62A aππ⎛⎫+<<+≤<+≤⎪⎝⎭B 。

点睛：解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．四、角或边的范围问题例4在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（） A.(0,]6π B.[,)6ππ C.(0,]3πD.[,)3ππ 解由于C B C B A s i n s i n s i n s i n s i n 222-+≤，根据正弦定理可知bc c b a -+≤222，故212c o s 222≥-+=bc a c b A ．又()π,0∈A ，则A 的范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0π.故本题正确答案为C.例5.在ABC ∆中，3C π=，4BC =，在边AC 上存在一点D ，满足AD DB =，作DE AB ⊥，E 为垂足，若角0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则DE 的取值范围是__________．【答案】四、问题的解决一、单选题1．设向量,,a b c 满足2a b ==，2a b ⋅=-，,60a c b c --=︒，则c 的最大值等于（）D. 1【答案】A2．已知锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2a =，224b c bc +-=，则ABC ∆的面积的取值范围是（）A. ⎝B. (C. ⎝D. ⎝【答案】C3．若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是（） A. ()0,2 B. (]0,2 C. [)1,2 D. (]1,2 【答案】C【解析】不妨设a b c ≤≤，则由三角形内角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+，又180,60A B C B ++=∴=，()120sin sin sin sin A c C m a A A-∴===120cos cos12031sin 2sin A sinA A -==，由60,090B A =<<，090A B C <≤≤<，知)12060,90C A ⎡=-∈⎣，解得3060A <≤，tan 3A ∴<≤1123tan 2tan 2A A ≤<≤+<，即m 的取值范围是[)1,2，故选C. 4．已知I 为ABC ∆的内心，7cos 8A =，若AI x AB y AC =+，则x y +的最大值为（）A.34 B. 12 C. 56 D. 45【答案】D5．已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是（）A.B.)2 C. ( D. ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a A b B =，又因为2A B = ，所以2cos aB b= ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ,2cos 64B B <<∈故选A ．6．一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个公差为1的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍.则该三角形的最大边长为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A7．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理得，又故选B.点睛：本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题. 8．在锐角ABC ∆中,1,2b c ==，则a 的取值范围是（）A. ()1,3B. (C. (D.【答案】D【解析】由已知及余弦定理得 222222{ a b c b c a+>+>，由此解得a <<，选D 。

9．中，角的对边分别为，且满足，，,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】由,得因为,所以.又,得A 为钝角.,由正弦定理,,,所以,选B.10．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足()c o s 1c o s a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是__________．【答案】()8,8 【解析】在锐角△ABC 中,∵a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,满足a cos B =b (1+cos A )， ∴sin A cos B =sin B +sin B cos A ,sin(A −B )=sin B ， ∴A −B =B ,即A =2B <2π,∴B ∈(0, 4π),∴A +B =3B >2π∴B >6π∴6π<B<4π,42C ππ<< 14sin 22sin S ab C ab C==⇒=()()()()22222822cos 21cos sin c a b c b a c a b c a b ab ab C ab C C+-+-=--=--+=-+=-282sin 28tan 22sin cos 22CC C C ⨯== 42C ππ<< 1tan 12C<<()()18c a b c b a +-+-∈（，）,故选A 11．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin ln2:ln4:ln A B C t =，且2•CA CB mc =，有下列结论：①28t <<； ②229m -<<；③4t =，ln2a =时，ABC ∆④当8t <<时，ABC ∆为钝角三角线.其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）【答案】①②④【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为0180来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧。

12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且2ABC S ∆=．则使得sin 2B +s in 2C =m sin B sin C 成立的实数m 的最大值是 ______ ．【答案】4【解析】∵sin 2B +sin 2C =m sin B sin C ， ∴b 2+c 2=bcm ，∴22b c m bc+=，∵21sin 2ABCSbc A ==，∴2a =∴cos A =22222222b c a m a mA bc bc +-=-=，∴m =2cos A A =4sin （A +6π）， ∴当si n （A +6π）=1即A =3π时，m 取得最大值4．故答案为4．13．如图半圆O 的半径为1，P 为直径MN 延长线上一点，且2OP =，R 为半圆上任意一点，以PR 为一边作等边三角形PQR ，则四边形OPQR 面积最大值为___________.【答案】24+故答案为2+：． 14．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为__________．【答案】【解析】依题意，故，则，因为，所以，化简得，由于，故，因为，故，由已知及余弦定理得，即，可得，，即，当且仅当时，取等号，所以，故周长的取值范围为，故答案为. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11sin tan tan B A B-+的取值范围是__________．【答案】⎛ ⎝⎭。