高中数学《余弦定理》公开课PPT课件
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6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
余弦定理PPT优秀课件
∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
余弦定理优质课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
归纳：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
运用余弦定理能够解决下列两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边， 进而还可求其它两个角。
典型例题：
例1：cos A 3 21 , B 150, cos C 5 7
14
14
例2：c 3, A 90 练习：
1、 2 2、A 1200 3、30.5
规定： 1.组长带领小构组员确认需要解说的环节； 2.有展示任务的小组要先完毕本组任务小展示； 3.全部小组由组长、副组长主讲，其它组员补充、
质疑；
规定：
1.每组选派一名组员登场展示； 2.每组展示完毕，由各组自由点评、质疑、 释疑； 3.全部同窗注意听讲并适时做好笔记。
§ 1.1.2 余弦定理
【学习目的】
1、余弦定理的两种表达形式，并会用余弦定理解决解 三角形。
2、培养学生在方程思想指导下解决解三角形问题能力 3、主动参加，合作交流，提高学生的学习爱好和探究精神
【重点难点】 重点：余弦定理的基本应用. 难点：余弦定理的灵活应用.
定理的证明 A
证明：在三角形ABC中，
总结：
余弦定理可解决的几类问题 : (1)已知三边, 解三角形;
(2)已知两边和其中一边对角, 解三角形. (3)已知两边和两边夹角, 解三角形.
巩固练习
7
1.
8
3
2.
4
3.A
4. 2
5. (1) 2 (2) 2
6. (1) 2 (2) B 45
7. (1) 1 (2) 8 7 2
3
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
运用余弦定理能够解决下列两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边， 进而还可求其它两个角。
典型例题：
例1：cos A 3 21 , B 150, cos C 5 7
14
14
例2：c 3, A 90 练习：
1、 2 2、A 1200 3、30.5
规定： 1.组长带领小构组员确认需要解说的环节； 2.有展示任务的小组要先完毕本组任务小展示； 3.全部小组由组长、副组长主讲，其它组员补充、
质疑；
规定：
1.每组选派一名组员登场展示； 2.每组展示完毕，由各组自由点评、质疑、 释疑； 3.全部同窗注意听讲并适时做好笔记。
§ 1.1.2 余弦定理
【学习目的】
1、余弦定理的两种表达形式，并会用余弦定理解决解 三角形。
2、培养学生在方程思想指导下解决解三角形问题能力 3、主动参加，合作交流，提高学生的学习爱好和探究精神
【重点难点】 重点：余弦定理的基本应用. 难点：余弦定理的灵活应用.
定理的证明 A
证明：在三角形ABC中，
总结：
余弦定理可解决的几类问题 : (1)已知三边, 解三角形;
(2)已知两边和其中一边对角, 解三角形. (3)已知两边和两边夹角, 解三角形.
巩固练习
7
1.
8
3
2.
4
3.A
4. 2
5. (1) 2 (2) 2
6. (1) 2 (2) B 45
7. (1) 1 (2) 8 7 2
3
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
高中数学《余弦定理》精品PPT课件
2R
2R
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sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB
c
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
a
a
2
a
b2
b
b
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
第六章6.46.4.3第一课时 余弦定理PPT课件(人教版)
必修第二册·人教数学A版
sin (A－B)＝0. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴A＝B. 又∵C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
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1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思 想解决问题．一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角 之间的数量关系．(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2 或 c2＝a2＋b2 或 b2＝a2＋c2. (2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2>c2 且 b2＋c2>a2 且 c2＋a2>b2. (3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2<c2 或 b2＋c2<a2 或 c2＋a2<b2. (4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝π2.
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16＝12，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角； (2)用三角形内角和定理求出第三个角．
必修第二册·人教数学A版
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二、余弦定理与基本不等式在解三角形中的综合应用 ►逻辑推理、数学运算 在求周长或面积范围时常用余弦定理转化为边的关系，再利用基本不等式求解． [典例 2] 已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m＝(sin B,1 －cos B)与向量 n＝(2,0)的夹角 θ 的余弦值为12. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围．
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
《余弦定理》说课精品PPT课件
2ab
１、已知两条边和夹角，解三角形。
２、已知三条边，解三角形。
3、判断三角形的形状。
12
说课完毕，谢谢！
教材分析
二、教学目标分析
知识与技能 （1）能选用适当的方法证明余弦定理（主要是向量 法）； （2）能从余弦定理得到它的推论； （3）能利用余弦定理及推论解三角形（两类）
教材分析
二、教学目标分析
过程与方法 (1)通过用向量的方法证明余弦定理，体现向量的工 具性，加深对向量知识应用的认识。 (2)通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程， 培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等 逻辑思维能力。
通过引导、分析、讲解和提 问，并及时对各个知识点进 行演练。
学法分析
引导学生利用向量的数量积来获得余弦定理的证明，指导学 生分析三角形中边和角的量化关系，促进学生知识体系的建 构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇 于探索、勤于思考的精神，提高学生分析问题、发现问题的 能力。
教学程序
《余弦定理》
（第一课时） 教材：人教A版必修5
目录
Contents
教材分析 教法分析 学法分析 教学程序
教材分析
一、教材的地位与作用。 《余弦定理》是高中数学人教A版必修5第一章第 一节的内容，其主要内容是余弦定理及其推论。它的 学习是在学生已学习了三角函数、向量的数量积等知 识，研究了它的姊妹定理——正弦定理之后来展开的 ，是解三角形基本问题一个强有力的工具，尤其在研 究角（特别是空间角）、工程技术上有广泛的应用。 因此，本节的学习有着极其重要的作用.
向量法 11
小结：
1.利用余弦定理解三角形
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
１、已知两条边和夹角，解三角形。
２、已知三条边，解三角形。
3、判断三角形的形状。
12
说课完毕，谢谢！
教材分析
二、教学目标分析
知识与技能 （1）能选用适当的方法证明余弦定理（主要是向量 法）； （2）能从余弦定理得到它的推论； （3）能利用余弦定理及推论解三角形（两类）
教材分析
二、教学目标分析
过程与方法 (1)通过用向量的方法证明余弦定理，体现向量的工 具性，加深对向量知识应用的认识。 (2)通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程， 培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等 逻辑思维能力。
通过引导、分析、讲解和提 问，并及时对各个知识点进 行演练。
学法分析
引导学生利用向量的数量积来获得余弦定理的证明，指导学 生分析三角形中边和角的量化关系，促进学生知识体系的建 构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇 于探索、勤于思考的精神，提高学生分析问题、发现问题的 能力。
教学程序
《余弦定理》
（第一课时） 教材：人教A版必修5
目录
Contents
教材分析 教法分析 学法分析 教学程序
教材分析
一、教材的地位与作用。 《余弦定理》是高中数学人教A版必修5第一章第 一节的内容，其主要内容是余弦定理及其推论。它的 学习是在学生已学习了三角函数、向量的数量积等知 识，研究了它的姊妹定理——正弦定理之后来展开的 ，是解三角形基本问题一个强有力的工具，尤其在研 究角（特别是空间角）、工程技术上有广泛的应用。 因此，本节的学习有着极其重要的作用.
向量法 11
小结：
1.利用余弦定理解三角形
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
正弦定理和余弦定理(公开课课件) ppt课件
新课标高考总复习·数学（RJA版）
基础知识回扣
热点考向聚焦
活页作业
(2)(2012·江西高考)(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c.已知 A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.
①求证：B－C＝π2； ②若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
①由已知条件可得 sin(B－C)＝1，故可得 B－C＝π2； ②由已知及①求得 B，C，根据正弦定理求得 b，c，然后求面 积．
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(2)解：①由已知和正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12，A＝120°. ②由①知，a2＝b2＋c2＋bc， ∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C， 即34＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
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(1)解析：由 p∥q 得a＋b c＝bc－－aa， ∴a2＋b2－c2＝ab. ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12. 又 0<C<π， ∴C＝π3. 答案：B
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(2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
cos
A＋2 B＝sin
C 2.
⑤在△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
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人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
6.4.3.1 余弦定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
由推论得： =
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
，所以
2
= 60°，所
以 = 180° − ( + ) = 75°.
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1，∴ 2来自= 60°.又 = ( + ) = + = 2 ，
∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
解：(1)由余弦定理得: 2 = 2 + 2 − 2 = 8，∴ = 2 2.
由 =
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
.
2
∵0° < < 180°，∴ = 60°.
(2)在∆中，若 = 120°， = 7， + = 8，求，.
解：(2)由余弦定理得:2 = 2 + 2 − 2 =( + )2 −2(1 + )，
∴49 = 64 − 2(1 −
由
1
)，即
2
= 15.
+ =8
=3
=5
，解得
或
.
= 15
=5
=3
习题演练
2、在∆中，已知 = 9， = 7， = 8，求边上的中线长.
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
，所以
2
= 60°，所
以 = 180° − ( + ) = 75°.
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1，∴ 2来自= 60°.又 = ( + ) = + = 2 ，
∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
解：(1)由余弦定理得: 2 = 2 + 2 − 2 = 8，∴ = 2 2.
由 =
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
.
2
∵0° < < 180°，∴ = 60°.
(2)在∆中，若 = 120°， = 7， + = 8，求，.
解：(2)由余弦定理得:2 = 2 + 2 − 2 =( + )2 −2(1 + )，
∴49 = 64 − 2(1 −
由
1
)，即
2
= 15.
+ =8
=3
=5
，解得
或
.
= 15
=5
=3
习题演练
2、在∆中，已知 = 9， = 7， = 8，求边上的中线长.
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[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD，在△ABD 中，用余
弦定理求出 BD，在△BCD 中，用正弦定理即可解出 BC.
[解] △ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 设 BD＝x， 则有 142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°， ∴∠CDB＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
[点评] 判断三角形形状的方法 (1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
变式训练2
在△ABC中，已知cos2
A 2
＝
b＋c 2c
(a，b，c分
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中，已知 b＝3，c＝2 3，A＝30°，求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×c 2ac ＝
32×2＋32×322－3 32＝12.
∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
[点评] 1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属 于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值．
解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋2cc得 1＋2cosA＝b2＋cc，∴cosA＝bc. 根据余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
1.1.2 余弦定理
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方
等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍．即
若 a，b，c 分别是△ABC 的顶 点 A，B，C 所对的边长，则
a2＝_b_2_＋__c2_－__2_bc_c_o_sA______， b2＝_a_2_＋__c2_－__2_a_c_co_s_B_____， c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_sC_____.
类型二 判断三角形的形状 [例2] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利 用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．
3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？ 提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反 之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A ＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之， 若90°<A<180°，则a2>b2＋c2.
[点评] 在一些复杂的图形问题中，我们要善于分析 图中哪些三角形的条件足够求解该三角形，哪些三角形的 条件还不够求解该三角形，对那些条件不够的三角形要去 探索它与其他三角形之间的联系，有时也可直接设出其中 的边和角，然后列方程(组)求解．
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分 别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式， 便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求_各__角__； (2)已知两边和它们的夹角，求第__三__边__和__其__他__两___个__角_．
2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
变式训练 1 已知在△ABC 中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，求△ABC 的 各角度数．
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
2．余弦定理的推论
余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与
对边之间的关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2
cosA＝_____2_b_c______， a2＋c2－b2
cosB＝_____2_a_c______， a2＋b2－c2
cosC＝_____2_a_b______.
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定 理的特例．角A为钝角⇔__a_2_>_b_2_＋__c_2___，角A为直角⇔ __a_2_＝__b_2_＋__c_2_，角A为锐角⇔___a_2_<_b_2＋___c2__.
思考感悟
1．已知三角形任意两边与一 角，借助于正、余弦定理是否能求 出其他元素？
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．