高中数学必修5正余弦定理教案

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高中数学余弦定理教案5篇

高中数学余弦定理教案5篇

高中数学余弦定理教案5篇作为一位杰出的老师,时常要开展教案准备工作,编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点,进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢?这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案,方便大家学习。

高中数学余弦定理教案篇1一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。

本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明,以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。

余弦定理的学习有充分的基础,初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础,同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。

其次,余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位,是解决各种解三角形问题的常用方法,余弦定理也经常运用于空间几何中,所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。

二、教学目标知识与技能:1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。

过程与方法:1、通过从实际问题中抽象出数学问题,培养学生知识的迁移能力。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡,培养学生归纳总结能力。

3、通过余弦定理推导证明的过程,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观:1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神,体验解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感,培养数学学习的兴趣。

三、教学重难点重点:余弦定理及其推论和余弦定理的运用。

难点:余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。

四、教学用具普通教学工具、多媒体工具 (以上均为命题教学的准备)高中数学余弦定理教案篇2一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第2版)第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理,正确理解其结构特征和表现形式,解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,初步体会余弦定理解决“边、边、角”,体会方程思想,激发学生探究数学,应用数学的潜能。

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容,能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题,如判断三角形的形状,证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点:熟练运用定理.教学难点:应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备:1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课:1. 教学三角形的解的讨论:① 出示例1:在△ABC中,已知下列条件,解三角形.分两组练习→ 讨论:解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)② 练习:在△ABC中,已知下列条件,判断三角形的解的情况.2. 教学正弦定理与余弦定理的活用:① 出示例2:在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,求最大角的余弦.分析:已知条件可以如何转化?→ 引入参数k,设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3:在ΔABC中,已知a=7,b=10,c=6,判断三角形的类型.分析:由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦,由符号进行判断③ 出示例4:已知△ABC中,,试判断△ABC的形状.分析:如何将边角关系中的边化为角? →再思考:又如何将角化为边?3. 小结:三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习:3. 作业:教材P11 B组1、2题.高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性:正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理,运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题,是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点:正余弦定理的证明和应用难点:利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标:①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。

人教版高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案

人教版高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案

教案【一】教學準備教學目標進一步熟悉正、余弦定理內容,能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關問題,如判斷三角形的形狀,證明三角形中的三角恒等式.教學重難點教學重點:熟練運用定理.教學難點:應用正、余弦定理進行邊角關係的相互轉化.教學過程一、復習準備:1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課:1.教學三角形的解的討論:①出示例1:在△ABC中,已知下列條件,解三角形.分兩組練習→討論:解的個數情況為何會發生變化?②用如下圖示分析解的情況.(A為銳角時)②練習:在△ABC中,已知下列條件,判斷三角形的解的情況.2.教學正弦定理與余弦定理的活用:①出示例2:在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,求角的余弦.分析:已知條件可以如何轉化?→引入參數k,設三邊後利用余弦定理求角.②出示例3:在ΔABC中,已知a=7,b=10,c=6,判斷三角形的類型.分析:由三角形的什麼知識可以判別?→求角余弦,由符號進行判斷③出示例4:已知△ABC中,,試判斷△ABC的形狀.分析:如何將邊角關係中的邊化為角?→再思考:又如何將角化為邊?3.小結:三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關係如何互化.三、鞏固練習:3.作業:教材P11B組1、2題.教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性:正、余弦定理是學生學習了平面向量之後要掌握的兩個重要定理,運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業測量等實際問題,是解決有關三角形問題的有力工具。

(2)重點、難點。

重點:正余弦定理的證明和應用難點:利用向量知識證明定理(二)教學目標(1)知識目標:①要學生掌握正余弦定理的推導過程和內容;②能夠運用正余弦定理解三角形;③瞭解向量知識的應用。

(2)能力目標:提高學生分析問題、解決問題的能力。

(3)情感目標:使學生領悟到數學來源於實踐而又作用於實踐,培養學生的學習數學的興趣。

(三)教學過程教師的主要作用是調控課堂,適時引導,引導學生自主發現,自主探究。

高中数学余弦定理 教案(新人教A版必修5)

高中数学余弦定理 教案(新人教A版必修5)

数学:1.1《正弦定理与余弦定理》教案(新人教版必修5)(原创)余弦定理一、教材依据:人民教育出版社(A版)数学必修5第一章第二节二、设计思想:1、教材分析:余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓,是解三角形这一章知识的一个重要定理,揭示了任意三角形边角之间的关系,是解三角形的重要工具,余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。

因此,做好“余弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析:这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上,转入对余弦定理的学习,此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程,具备了一定的分析能力。

3、设计理念:由于余弦定理有较强的实践性,所以在设计本节课时,创设了一些数学情景,让学生从已有的几何知识出发,自己去分析、探索和证明。

激发学生浓厚的学习兴趣,提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想:根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点,我采用的是“问题教学法”,精心设计教学内容,提出探究性问题,经过启发、引导,从不同的途径让学生自己去分析、探索,从而找到解决问题的方法。

三、教学目标:1、知识与技能:理解并掌握余弦定理的内容,会用向量法证明余弦定理,能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题2.过程与方法:通过实例,体会余弦定理的内容,经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法,发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3.情感、态度与价值观:探索利用直观图形理解抽象概念,体会“数形结合”的思想。

通过余弦定理的应用,感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点:通过对三角形边角关系的探索,证明余弦定理及其推论,并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点:余弦定理的灵活应用六、教学流程:(一)创设情境,课题导入:1、复习:已知A=045,b=16解三角形。

最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇

最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇

最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

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余弦定理的教案(通用3篇)

余弦定理的教案(通用3篇)

余弦定理的教案(通用3篇)余弦定理的篇1一、单元教学内容运算定律P——P二、单元教学目标1、探索和理解加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律和分配律,能运用运算定律进行一些简便计算。

2、理解和掌握减法和除法的运算性质,并能应用这些运算性质进行简便计算。

3、会应用运算律进行一些简便运算,掌握运算技巧,提高计算能力。

4、在经历运算定律和运算性质的发现过程中,体验归纳、总结和抽象的数学思维方法。

5、在经历运算定律的字母公式形成过程中,能进行有条理地思考,并表达自己的思考结果。

6、经历简便计算过程,感受数的运算与日常生活的密切联系,并在活动中学会与他人合作。

7、在经历解决问题的过程中,体验运算律的价值,增强应用数学的意识。

三、单元教学重、难点1、理解加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律和分配律,能运用运算定律进行一些简便计算。

2、理解和掌握减法和除法的运算性质,并能应用这些运算性质进行简便计算。

四、单元教学安排运算定律10课时第1课时加法交换律和结合律一、教学内容:加法交换律和结合律P17——P18二、教学目标:1、在解决实际问题的过程中,发现并掌握加法交换律和结合律,学会用字母表示加法交换律和结合律。

2、在探索运算律的过程中,发展分析、比较、抽象、概括能力,培养学生的符号感。

3、培养学生的观察能力和概括能力。

三、教学重难点重点:发现并掌握加法交换律、结合律。

难点:由具体上升到抽象,概括出加法交换律和加法结合律。

四、教学准备多媒体五、教学过程(一)导入新授1、出示教材第17页情境图。

师:在我们班里,有多少同学会骑自行车?你最远骑到什么地方?师生交流后,课件出示李叔叔骑车旅行的场景:骑车是一项有益健康的运动,你看,这位李叔叔正在骑车旅行呢!2、获取信息。

师:从中你知道了哪些数学信息?(学生回答)3、师小结信息,引出课题:加法交换律和结合律。

(二)探索发现第一环节探索加法交换律1、课件继续出示:“李叔叔今天上午骑了40km,下午骑了56km,一共骑了多少千米?”学生口头列式,教师板书出示: 40+56=96(千米) 56+40=96(千米)你能用等号把这两道算式写成一个等式吗? 40+56=56+40 你还能再写出几个这样的等式吗?学生独自写出几个这样的等式,并在小组内交流各自写出的等式,互相检验写出的等式是否符合要求。

高中数学正弦定理教案5篇

高中数学正弦定理教案5篇

高中数学正弦定理教案5篇高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容,也是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。

在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数,知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标根据上述教材内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平,制定如下教学目标:知识目标:理解并掌握正弦定理的证明,运用正弦定理解三角形。

能力目标:探索正弦定理的证明过程,用归纳法得出结论,并能掌握多种证明方法。

情感目标:通过推导得出正弦定理,让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点教学重点:正弦定理的内容,正弦定理的证明及基本应用。

教学难点:正弦定理的探索及证明,已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法分析依据本节课内容的特点,学生的认识规律,本节知识遵循以教师为主导,以学生为主体的指导思想,采用与学生共同探索的教学方法,命题教学的发生型模式,以问题实际为参照对象,激发学生学习数学的好奇心和求知欲,让学生的思维由问题开始,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推导,并逐步得到深化,并且运用例题和习题来强化内容的掌握,突破重难点。

即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。

学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法,这样能使学生积极参与数学学习活动,培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程本节知识教学采用发生型模式:1、问题情境有一个旅游景点,为了吸引更多的游客,想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。

已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米,在山脚测得两座山顶之间的夹角是450,在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容:本节课主要通过对实际问题的探索,构建数学模型,利用数学实验猜想发现正弦定理,并从理论上加以证实,最后进行简单的应用。

二、教材分析:1、教材地位与作用:本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》(A 版)第一章中,是在高二学生学习了三角等知识之后安排的,显然是对三角知识的应用;同时,作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,而定理本身的应用(定理应用放在下一节专门研究)又十分广泛,因此做好该节内容的教学,使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实,感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法,体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点:重点是正弦定理的发现和证实;难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标:1、知识目标:把握正弦定理,理解证实过程。

2、能力目标:(1)通过对实际问题的探索,培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

(2)增强学生的协作能力和数学交流能力。

(3)发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观:(1)通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数学的爱好。

(2)通过实例的社会意义,培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想:本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。

「高中数学必修5正余弦定理教案」

「高中数学必修5正余弦定理教案」

「高中数学必修5正余弦定理教案」教案:高中数学必修5正余弦定理教学目标:1.了解正弦定理和余弦定理的概念和公式。

2.能够根据给定的边长和角度,求解三角形的其他边长和角度。

3.能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

教学重点:1.理解正弦定理和余弦定理的概念和原理。

2.掌握正弦定理和余弦定理的应用方法。

教学难点:1.将实际问题转化为三角形求解问题。

2.独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

教学准备:1.教科书《高中数学必修5》。

2.教具:直尺、三角板。

3. PowerPoint课件和多媒体设备。

教学过程:一、导入(10分钟)1.引入三角形的概念,复习三角形的基本性质。

2.引出正弦定理和余弦定理的背景和重要性。

二、系统学习(30分钟)1.正弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出正弦定理的公式:a/sinA = b/sinB = c/sinC。

b.通过示例和图示讲解正弦定理的应用方法。

c.引导学生推导正弦定理的公式。

2.余弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出余弦定理的公式:c² = a² + b² - 2abcosC。

b.通过示例和图示讲解余弦定理的应用方法。

c.引导学生推导余弦定理的公式。

三、案例分析与练习(40分钟)1.结合教科书上的例题,解析应用正弦定理和余弦定理解决问题的步骤和方法。

2.给学生提供一些练习题,让他们独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

a.从实际生活中选取一些与角度和边长相关的问题。

b.引导学生分析问题,设计求解方案。

c.学生独立解答问题,并讲解自己的解题思路和方法。

d.教师给予指导和点评,纠正错误。

四、总结与拓展(10分钟)1.总结正弦定理和余弦定理的概念及其应用方法。

2.引导学生思考其他情境中可以应用正弦定理和余弦定理的问题。

五、课堂小结(5分钟)1.学生回答课堂小结问题,检查掌握程度。

2.教师对本节课的教学进行总结,评价学生的表现。

六、作业布置(5分钟)1.布置练习题目,要求学生通过应用正弦定理和余弦定理计算求解。

高中数学必修5第一章《余弦定理》教案

高中数学必修5第一章《余弦定理》教案

课题: §1.1.2余弦定理(第1课时)授课教师:惠来第二中学陈金利教材:人教A版必修5第一章第一节一、教学目标1.知识与技能(1)能选用适当的方法证明余弦定理(主要是向量法);(2)能从余弦定理得到它的推论;(3)能利用余弦定理及推论解三角形(两类).2.过程与方法(1)经历利用向量的方法证明余弦定理的过程,体会向量与三角之间的关系;(2)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力.3.情感态度与价值观(1)通过余弦定理与勾股定理的对比,体会特殊与一般的关系.(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,理解事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点重点:余弦定理及推论证明和其基本应用;难点:余弦定理证明的方法的选用以及必要性的体会.三、教学方法和手段教学方法:启发式教学(讲练相结合)教学手段:运用多媒体进行教学四、教学过程1.情景设置:隧道工程设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,最后通过计算求出山脚的长度BC.2.讲授新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求,发现因∠C 、∠B 均未知,所以较难求边a .提问:我们可以从哪些角度来研究这个问题,得到一个关系式或计算公式?(老师引导学生从向量法及三角法得出关系式)引导学生用向量方法来研究这个问题,由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题.如图1.1-3,设=,=,=,那么-=,则)()(b a b a c c -⋅-=⋅= ⋅-⋅+⋅=2C ab b a cos 222-+=从而 C ab b a c cos 2222-+= (图1.1-3)同理可证 A bc c b acos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= 于是得到以下定理余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即A bc c b acos 2222-+= B ac c a bcos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 引导学生解决情景问题:若测得:AB =1千米,AC = 千米,∠060=A ,求山脚BC 的长度 .解: 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:23A AC AB AC AB BC cos |||2||||222⋅⋅-+=47212312)23(122=⨯⨯⨯-+=27=∴BC222cos 2+-=b c a A bc222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为:①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;②已知三角形的三条边就可以求出其它角.思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?(由学生总结)若ABC ∆中,090=c ,则0cos =c ,这时222b a c +=由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.[例题分析]例1.在△ABC 中,已知 ,求角A 、B 、C.例2.在△ABC 中,已知 ,求b 及A.例3.在△ABC 中, ,那么A 是( )A 、钝角B 、直角C 、锐角D 、不能确定提出问题:若222c b a +<呢?由学生回答,老师再进行总结.总结:设a 是最长的边,则 △ ABC 是钝角三角形 △ABC 是锐角三角形 △ABC 是直角角三角形例4.在三角形ABC 中,已知1413cos ,8,7===c b a ,求最大角的余弦值. [课堂练习](1)在ABC ∆中,已知4:3:2sin :sin :sin=C B A求 C cos 的值.13,2,6+===c b a OB c a 45,26,32=+==222cb a +>222c b a +>⇔222c b a +<⇔222c b a +=⇔(2)已知13,34,7===c b a ,求最小的内角.(3)在ABC ∆中,若bc c b a++=222,求角A3.课堂小结: (1)余弦定理适用于任何三角形(2)余弦定理的作用:a 、已知三边,求三个角b 、已知两边及这两边的夹角,求第三边,进而可求出其它两个角c 、判断三角形的形状(3)由余弦定理可知:4.课后作业(1)课后阅读:课本第8页[探究与发现](2)课时作业:第10页[习题1.1]A 组第3(1),4(1)题。

高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新

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高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)作为一位杰出的老师,时常要开展教案准备工作,编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点,进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢?这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案,方便大家学习。

下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》,希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理,本节内容共分3课时,今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节,在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识,这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广,它描述了三角形重要的边角关系,将三角形的“边”与“角”有机的联系起来,实现边角关系的互化,为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具,同时也为在日后学习中判断三角形形状,证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握,余弦定理在三角形边角计算中的运用;教学难点是余弦定理的发现及证明;教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识,根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我认为本节课的教学目标有:1、知识与技能:熟练掌握余弦定理的内容及公式,能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题;2、过程与方法:掌握余弦定理的两种证明方法,通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法,提高运用已有知识分析、解决问题的能力;3、情感态度与价值观:在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识,形成严谨的数学思维方式,培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学,根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论,我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发,发现无法使用刚学习的正弦定理解决,造成学生在认知上的冲突,产生疑惑,从而激发学生的探索新知的欲望,之后进一步启发诱导学生分析,综合,概括从而得出原理解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力。

数学必修五余弦定理教案(可编辑

数学必修五余弦定理教案(可编辑

数学必修五余弦定理教案(可编辑教案:数学必修五,余弦定理一、教学目标:1.理解余弦定理的概念及原理;2.学会运用余弦定理解决三角形中的实际问题;3.培养学生的逻辑思维和推理能力。

二、教学重点:1.理解余弦定理的概念及原理;2.运用余弦定理解决三角形中的实际问题。

三、教学难点:1.运用余弦定理解决具体问题。

四、教学过程:Step 1 引入与导入(5分钟)1.利用平面上两点间距离公式引入余弦定理;2.通过几个具体实例让学生感触余弦定理的作用。

Step 2 定理说明与证明(10分钟)1.介绍余弦定理的概念和原理;2.利用几何图示证明余弦定理。

Step 3 理解与运用(20分钟)1.引导学生理解余弦定理;2.利用余弦定理计算未知角度的大小;3.利用余弦定理计算未知边长的长度。

Step 4 实际问题的应用(25分钟)1.给出一些实际生活中的问题,如解决航海、测距等问题;2.分组讨论,利用余弦定理解决问题;3.学生进行展示,互相评价讨论,找出最佳解决方案。

Step 5 拓展与应用(15分钟)1.将余弦定理与三角函数的其他定理进行对比;2.引导学生思考余弦定理在其他数学领域的应用。

五、教学辅助手段及教学资源1.平面图示,辅助教学;2.三角量角器,用于演示与实践;3.教学PPT,展示定理证明与解题方法;4.实际问题的示例。

六、教学评估及反馈1.课堂练习,检测学生对概念和原理的理解程度;2.实际问题的解答,评价学生的应用能力;3.学生互相评价讨论,提供解决方案改进的建议。

七、教学延伸1.学生通过解决实际问题,培养分析和解决问题的能力;2.鼓励学生进一步探索余弦定理在其他数学领域的应用。

八、教学反思通过本节课的教学,学生对余弦定理有了更深入的理解,尤其是在解决实际问题的过程中,学生能够灵活运用余弦定理解决问题。

同时,在教学中引入实例和思考问题的环节,激发了学生的学习兴趣和思辨能力,培养了他们的创新思维和问题解决能力。

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容,前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换,为后面学习三角函数奠定了基础,因此本节课有承上启下的作用。

本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,实现了边与角的互化,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量提供了理论依据,同时也为判断三角形形状,证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准,考虑到学生已有的认知结构,心理特征及原有知识水平,我将本课的教学目标定为:⒈知识与技能:掌握余弦定理的内容及公式;能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法:在探究学习的过程中,认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题,帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

⒈情感、态度与价值观:培养学生的探索精神和创新意识;在运用余弦定理的过程中,让学生逐步养成实事求是,扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题,认识世界;通过本节的运用实践,体会数学的科学价值,应用价值;(三)本节课的重难点教学重点是:运用余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之有关的计算问题,运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

教学难点是:灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。

教学关键是:熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。

下面为了讲清重点、难点,使学生能达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上谈谈:二、说学情从知识层面上看,高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程;从能力层面上看,学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能;从情感层面上看,学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性,但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

高中数学必修5《正弦定理与余弦定理》教学设计

高中数学必修5《正弦定理与余弦定理》教学设计

2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2aa R A A R bb R B B R cc R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩《正弦定理与余弦定理》教学设计教材分析: 这是高三一轮复习,内容是必修5第一章解三角形。

本章内容准备复习两课时。

本节课是第一课时。

标要求本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后应落实在解三角形的应用上。

作为复习课一方面将本章知识作一个梳理,另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。

学情分析: 学生通过必修5的学习,对正弦定理、余弦定理的内容已经了解,怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形问题,学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。

教学目标 知识目标:(1)学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法;会运用正、余弦定理与三角形内角和定理,面积公式解斜三角形的两类基本问题。

(2)学生学会分析问题,合理选用定理解决三角形综合问题。

能力目标:培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力,培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

情感目标:通过正余弦定理应用,激发学生学习数学的兴趣,在教学过程中激发学生的探索精神。

教学方法 探究式教学、讲练结合重点难点 1、正、余弦定理的对于解三角形的合理选择; 2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

教学策略 1、重视多种教学方法有效整合; 2、重视提出问题、解决问题策略的指导。

3、重视加强前后知识的密切联系。

4、教学过程体现“实践→认识→实践”。

设计意图:学生通过必修5的学习,对正弦定理、余弦定理的内容已经了解,但对于如何灵活运用定理解决问题,怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形问题,学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。

人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计

人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计

名师示范课第一章 解三角形1.1.2 余弦定理(名师:王历权)一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标(1)了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;(2)能证明余弦定理;(3)应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务阅读教材P5-P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .(二)课堂设计1.知识回顾(1)在三角形中大边对大角,大角对大边.(2)三角形的面积:C ab S sin 21=. (3)正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一 另一类解三角形问题●活动一 回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角;(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二 整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二 发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三 利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一 初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B =180°-(A +C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a =2.730,b =3.696,C =82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B =180°-(A +C)=58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】(1)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.(2)在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.(3)解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为( )A.-41B.41C.- 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为( )A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+(成立的充要条件是( )A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A(三)课后作业基础型 自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为( )A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =,,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型 师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:(1)0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边=)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型 多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:(1)略 ;(2)3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.(1)求最大角;(2)求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:(1) 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . (2)设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】 解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =( )C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:(1)120︒;(2)15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:59。

高中数学必修五11正弦定理和余弦定理教案

高中数学必修五11正弦定理和余弦定理教案

编号191.1正弦定理和余弦定理**学习目标**1.掌握正余弦定理的推导过程;2.理解正余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用;3.能应用正余弦定理解斜三角形;4.能灵活运用正余弦定理判断三角形的形状及三角形面积的计算。

一、重点知识梳理:1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 。

正弦定理的变式:(1)(2)(3)2、一般地,把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。

3、余弦定理:_________________________________222===c b a余弦定理的变式: .________________cos ______;__________cos ______;__________cos ===C B A4、用正弦定理和余弦定理可分别解决下列那种问题 ①已知三角形三边;②已知三角形两边与其中一边的对角;③已知三角形两边与第三边的对角;④已知三角形三个内角;⑤已知三角形两角与任一边;⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、三角形常用的面积公式:(1)(2)(3)二、基础检测:引入:在任一个直角三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即 A a sin =B b sin =Cc sin ,那么这个等式是否适合其他的任意三角形? 例(1)已知:在ABC ∆中, 45=∠A , 30=∠C ,10=c ,解此三角形。

(2)已知:在ABC ∆中, 45=∠A ,6=AB ,2=BC ,解此三角形。

引入:在任一个直角三角形中,三边满足勾股定理,那么对于一般三角形的三边是否具有什么关系?例(1)在△ABC 中,若︒===120,1,1C b a ,求c ;(2)△ABC 三边的长37,4,3===c b a ,求最大角;三、合作探究1、根据下列条件,判断解三角形时是否有解,若有解,有几个解(1)120a b A === (2)60,48,60a b B ===(3)7,5,80a b A === (4)14,16,45a b A ===2、根据下列条件,判断三角形形状(1)在ABC ∆中,cos 4cos 3A bB a ==; (2)在ABC ∆中,sin 2sin cos A C B =; (3)在ABC ∆中,已知cos cos cos a A b B C +=,试判断ABC ∆的形状3、已知钝角ABC ∆中,90B >,25,1,4a x b x c =-=+=,求x 的取值范围4、已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD 的面积四、课堂小结1.正余弦定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系。

最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》教案

最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》教案

《正弦定理和余弦定理》教案教学目标1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用.2.通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.3.通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系.教学重点难点1.重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用;2.难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.教法与学法1.教法选择:启发引导,讲练结合,归纳总结;2.学法指导:通过一些典型的例题来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法.教学过程一、设置情境,激发学生探索的兴趣三、思维拓展,课堂交流四、归纳小结,课堂延展1.教材地位分析“正余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第三节课,其主要任务是在课型上属于“习题教学课”.布鲁纳指出,学生不是被动的、消极的知识的接受者,而是主动的、积极的知识的探究者.因此,做好“正余弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.2.学生现实状况分析学生已经了解正余弦定理,但是应用不熟练,容易出现的误区:(1)在已知两边及其中一边对角的条件下,求其它边角问题,对于这类问题利用正弦定理和余弦定理都可解决.解题时,一定要根据问题的具体情况,恰当的选用定理运用好的方法解题.同时,使用正弦定理求角时,要特别小心,不能出现漏解或是增解的情况.(2)在利用正、余弦定理解与三角形有关的问题时,必须注意“三角形内角和为0180”、“在一个三角形中,大边对大角”等三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系对角范围的制约,以免产生错解.。

正余弦定理完美教案

正余弦定理完美教案

正余弦定理完美教案第一章:正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论,发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念,引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例,讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题,巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章:余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论,发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念,引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例,讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题,巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章:正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论,发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例,讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题,巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章:正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论,发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例,讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题,巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章:正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论,发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例,讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题,巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章:正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题,涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题,引导学生独立解答分析解题思路,讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题,要求学生独立解答2. 分析解题思路,引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法,总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章:正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学,通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题,展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具,直观理解定理的应用过程3. 安排练习题,巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章:正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法,引导学生思考和探讨提供练习题,让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题,引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题,让学生独立解决3. 讨论解题策略,引导学生总结解题技巧第九章:正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学,通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作,理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例,展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作,理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题,巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章:总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点,为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题,引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂,鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义,让学生提前预习2. 组织复习课堂,引导学生复习重点知识点3. 提供练习题,让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章:正弦定理和余弦定理的综合练习环节:分析解题思路和方法重点和难点解析:此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。

人教课标版高中数学必修五《正弦定理和余弦定理(第1课时)》教案(1)-新版

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第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教学目标1.核心素养通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标(1)通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系.(2)能证明正弦定理.(3)应用正弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题.4.学习难点正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务1阅读教材P1-P4.思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用?任务2默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理.2.预习自测1.在一个三角形中,各边和它对角的()的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形 外接圆的直径长度.2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是( ) A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.ab sin C 答案:C.3.在正弦定理中asin A 的值表示△ABC 的( ) A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D.解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. (二)课堂设计 1.知识回顾(1)三角形内角和为180o .(2)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (3)在三角形中大边对大角.(4)三角形的面积:S =111222a b c ah bh ch ==(其中h a ,h b ,h c 分别为边a ,b ,c 上的高). (5)我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C 为直角,锐角A 的正弦sin A ==ac对边斜边.同理,sin B =b c .●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有:sin a A c =,sin b B c =,sin 1C =,即sin a c A =,sin b c B =,sin c c C=. ∴sin sin sin a b cA B C==.问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有sin a A =sin bB =sin c C. 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算,,sin sin sin a b cA B C的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,sin a A =sin bB =sin c C. ●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明sin a A =sin b B =sin c C这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出a sin B ,b sin A 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?在锐角△ABC 中,sin ,sin a B b A 表示的线段都是AB 边上的高CD . 因而,有a sin B =b sin A ,则sin sin a b A B=,同理,我们可以得到sin a A =sin bB =sin cC . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,()sin 180sin CD a B b A =-=o ,因而,有sin sin a B b A =,则sin aA =sin b B, 同理,我们可以得到sin a A =sin bB =sin c C. 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有sin a A =sin bB =sin c C. ●活动三 反思过程,发现面积新公式结合a sin B ,b sin A 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,a sin B ,b sin A 的几何意义为AB 边上的高CD ,则由三角形面积111222a b c S ah bh ch ===, 有11sin 22c S ch ac B ==,或11sin 22c S ch bc A ==,以此类推,还有1sin 2S ab C =.所以111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===.●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC 的外接圆,试探究sin aA的几何意义.设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接CO 并延长交⊙O 于点A ′,连接A ′B ,则∠A =∠A ′, 在△A ′BC 中,A ′C 为直径,则∠A ′BC 为直角,2sin a A C R A '==',故2sin aR A=,其中R 为三角形外接圆的半径.通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A ′,最关键的是将一般三角形中a 与∠A 的关系转化为直角三角形中的a 与∠A ′的关系,不难得到sin aA=2R ,则2sin sin sin a b cR A B C===. 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法?结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到21sin 2sin sin sin 24abc S ab C R A B C R===等形式. 问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?●活动一 初步运用,运用定理解三角形一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1 在△ABC 中,已知A =30°,B =45°,a =2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 详解:根据三角形内角和定理,C =180°-(A +B )=105°,根据正弦定理,b =sin sin a B A =c =sin sin a CA. 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用.在解三角形时,我们在知道三角形的三个元素(至少有一边)时,可以求出另三个元素,称“知三求三”.例2 在△ABC 中,已知A =60°,a =3,b 解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:根据正弦定理,sin sin b A B a ==,且b <a ,则B <A ,故B =45°,所以C =75°,sin sin a C c A ==. 点拨:在已知一角和两边(其中一边为该角的对边)的条件下,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然可以两者结合使用.例3在△ABC 中,已知A =45°,a =2,b 解三角形.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:分类讨论、数形结合】详解:根据正弦定理,sin B =sin b Aa,且b >a ,则B >A ,故B =60°或120°,当B =60°时,C =75°,解得sin c=1sin a CA;当B =120°时,C =15°,解得sinc=1sin a CA. 点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B =60°而造成漏解.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形的解的个数?在△ABC 中,已知a ,b ,A ,结合例2、例3分析,在求出sin B 后,B 的解的个数决定了三角形解的个数.不难看到,当A 为直角或钝角时,a >b ,B 必为锐角,有唯一解;a ≤b ,无解. 当A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数.A以C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c 边相交,(1)当a <b sin A 时,无解; (2)当a =b sin A 时,一解; (3)当b sin A <a <b 时,两解; (4)当a≥b 时,一解.通过这个方法,我们进一步可以验证当A 为直角或钝角时的情形,(1)当a ≤b 时,无解; (2)当a >b 时,一解.●活动三 归纳提升,综合应用新知识利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角; 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.例4 在△ABC 中,已知A=60°,b =2,c =3,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理】 详解:1sin 2S bc A ==. 点拨:直接应用三角形的面积公式即可.例5在△ABC 中,已知A =120°,a =3,b 判断三角形的解的个数,如有解,求△ABC 的面积S .【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 详解:由A 为钝角,且a >b ,故此三角形有唯一解.根据正弦定理,sin 1sin 2b A B a ==,则B =30°,C =180°-(A +B )=30°,所以1sin 2S ab C ==. 点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此要先通过正弦定理求B ,再用内角和定理求C ,再用公式即可.例6 已知△ABC 的外接圆半径为1,41sin ,cos 53A B ==-,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理,两角和的正弦公式;数学思想:转化与化归】详解:由()113sin sin sin cos cos sin 535C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⋅-+= ⎪⎝⎭则242sin sin sin 25S R A B C ==⋅=点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a =2R sin A ,b =2R sin B 求出C 的两条夹边再求面积,是一样的道理. 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)在△ABC 中,2sin sin sin a b c R A B C===(R 为△ABC 的外接圆半径). (2)在△ABC 中,111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===. (3)设A 为△ABC 的最大角,已知a ,b ,A ,解三角形时解的个数判定为:若A 为锐角,①a <b sin A ,无解;②a =b sin A ,一解;③b sin A <a <b ,两解;④a ≥b ,一解.若A 为直角或钝角,①a ≤b ,无解;②a >b ,一解. 【重难点突破】(1)运用正弦定理时,有时需对它进行变形,如::sin :sin :sin a b c A B C =等,不论怎么变形,最终都需要将2R 约去.(2)运用正弦定理求解三角形时,若已知条件是两边和其中一边的对角,则可能无解、一解或两解,判断方法是三角形中大角对大边,大边对大角.(3)用正弦定理来解边角关系问题时,基本思路是统一角或统一边,这是三角形的变形问题常用的方法. 4.随堂检测1.在△ABC 中,A =45°,a =则sin sin sin a b cA B C++++等于( )A.1C.2D.4【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】 解:D 根据s i n a A =sin b B =sin cC=2R ,a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,则sin sin sin a b c A B C ++++=2R =sin aA=4,故选D.2.在△ABC 中,已知b c =1,B =45°,则a =( )11【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】 解:B 根据正弦定理,sin C =sin c B b =12,因为c <b ,则C <B ,故C =30°,则A =105°,所以a =sin sin c AC,故选B.3.在△ABC 中,已知b cos A =a cos B ,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【知识点:正弦定理的应用,两角差的正弦公式;数学思想:数形结合】 解:B 根据sin a A =sin b B=2R ,a =2R sin A ,b =2R sin B ,则2R sin B cos A =2R sin A cos B ,即sin(A -B )=0,得A =B ,故△ABC 为等腰三角形,故选B.4.在△ABC 中,A =30°,B =105°,c =4,则△ABC 的外接圆的面积为( ) A.4πB.8πC.16πD.32π【知识点:正弦定理的应用;数学思想:数形结合】解:B 由C =180°-(A +B )=45°,得2R =sin cC=R =圆面积S =πR 2=8π,故选B.5.在△ABC 中,若a =C =13,S △ABC =则b =_________ . 【知识点:正弦定理的应用;数学思想:数形结合】解 由cos C =13,得sin C ,根据S =12ab sin C =得b =(三)课后作业基础型 自主突破1.已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆==︒=︒中,求和. 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 解:由A a sin =B b sin =sin cC,180()105B A C =︒-+=︒,解得210=a ,2565+=b .2.在60,1,ABC b B c a ∆=︒=中,求.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 解:由B b sin =sin cC,得sin C =12,因为c <b ,所以C <B ,则C =30°,则A =90°,故△ABC 为直角三角形,所以222=+=c b a .3.45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=中,求和.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:sin ,sin sin sin a c c A C A C a =∴===Qsin ,60c A a c C <<∴=︒Q 或120︒.sin6075,1sin c BC B b C ∴=︒=︒===当时,,sin12015,1sin c B C B b C ∴=︒=︒===当时,,1,75,60b B C ∴==︒=︒或1,15,120b B C =︒=︒.4.ABC ∆中,222sin sin sin A B C =+,则ABC ∆为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【知识点:正弦定理;数学思想:转化与化归】解:A 由正弦定理得a 2=b 2+c 2,则故△ABC 为直角三角形,故选A.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A =b sin B ,则sin A cos A +cos 2B =( )A.-12B.12C.-1D.1【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:D 由正弦定理及a cos A =b sin B ,得sin A cos A =sin 2B .则sin A cos A +cos 2B =sin 2B +cos 2B =1.6.在△ABC 中,C =120°,c 2-c 2cos 2A =3,则a =________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:2 由c 2-c 2cos 2A =c 2sin 2A =3,故c sin A ,由正弦定理,a =sin sin c A C=2. 能力型 师生共研7.在ABC ∆中,B A sin sin >是B A >的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:必要条件、充分条件与充要条件的判断,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2R sin A >2R sin C ,故a >c ,由大边对大角,有A >C ;其次,由A >C ,得a >c ,即2R sin A >2R sin C ,故sin A >sin C .故选C.8.在锐角ABC ∆中,若2,1==b a ,则边c 的取值范围是( ) A.)5,0( B.)5,1( C.)5,3(D.(1,3)【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:C 应用极端原理,当B 为直角时,c = 3 ,当C 为直角时,c =5,因△ABC 为锐角三角形,故 3 <c <5,故选C.9.在ABC ∆中,已知︒===45,2,B b x a ,如果利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是( ) A.222<<x B.222≤<xC.2>xD.2<x【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:A 因三角形有两解,则a sin B <b <a ,x <2<x ,解得2<x <故选A. 10.在ABC ∆中,求证:2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:二倍角的余弦,正弦定理;数学思想:转化与化归】解:sin sin a b A B =⇒sin sin A B a b =⇒22sin sin ()()A B a b= ⇒2222sin sin A B a b =⇒221cos 21cos 2A B a b --=⇒2222cos 2cos 211A B a b a b-=-. 探究型 多维突破11.已知ABC ∆,B ∠的平分线交AC 于点D ,求证:DC AD BC AB ::=.【知识点:正弦定理的应用;数学思想:数形结合】证明:在ABD ∆内,利用正弦定理得:sin sin sin sin AB AD AB ADB ADB ABD AD ABD∠==∠∠∠即 在BCD ∆内,利用正弦定理得:sin ,.sin sin sin BC DC BC BDC BDC DBC DC DBC∠==∠∠∠即 ∵BD 是B 的平分线,∴sin sin ABD DBC ∠=∠.∵sin sin ADB BDC ∠=∠, ∴sin sin sin sin AB ADB BDC BC AD ABD DBC CD ∠∠===∠∠,∴AB AD BC DC =. 12.在ABC ∆中,已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=,求证:222,,c b a 成等差数列. 【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列;数学思想:转化与化归】证明:由已知得sin()sin()B C B C +-sin()sin()A B A B =+-,cos 2cos 2cos 2cos 2B C A B -=-,1cos 21cos 21cos 22222B A B ---⋅=+, ∴2222sin sin sin B AC =+,由正弦定理可得2b 2=a 2+c 2,故a 2,b 2,c 2成等差数列.自助餐1.在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 为( )A.233ππ或 B.3πC.566ππ或 D.6π 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合、分类讨论】 解:A 由sin a A =sin b B,得sin A,则A =60°或120°,故选A. 2.在ABC ∆中,2sin b A =,则B =( )A.3πB.6πC.233ππ或 D.566ππ或【知识点:正弦定理】解:C 由sin aA =sin bB ,得sin B ,故选C.3.在ABC ∆中,已知2,60a b A ==︒,则符合条件的三角形的个数有() A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:B 由a >b ,故A >B ,则三角形只有一解,故选B.4.在△ABC 中,cos A =-13,a =3,b ,则符合条件的三角形的个数有()A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:C 由cos A <0,得A 为钝角,又a <b ,故此三角形无解,故选C.5.在ABC ∆中,45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于( )C.12【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:A 由三角形内角和为180°知A =75°,故B 角最小,从而b 为最小边,由正弦定理,b故选A. 6.在△ABC 中,a cos A =b cos B ,则△ABC 的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知识点:正弦定理】解:D 由a cos A =b cos B 及正弦定理,得sin A cos A =sin B cos B ,即sin2A =sin2B , 则2A =2B 或2A +2B =180°,则A =B 或A +B =90°,△ABC 为等腰或直角三角形,故选D.7.在△ABC 中,若b =10,B =π4,tan A =2,则a =________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:410 由tan A =sin A cos A =2,得sin A =255,又∵b =10,B =π4,根据正弦定理,得a =b sin A sin B =10×25522=410. 8.已知函数()sin()6f x x π=+,ABC △三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f B C +=,a =3,b =1,则ABC △的面积S =__________.【知识点:正弦定理】解:34 由()1f B C +=,得()sin 1B C π++=,又()7,666B C πππ++∈,所以62B C ππ++=, 得23A π=,由正弦定理sin sin B A b a =,得1sin 2B =,则6B π=,6C π=,则面积1s i n 2S ab C =9.如图所示,扇形AOB 中,∠AOB =60°,OB =1,在弧AB 上有一动点P ,过P 作平行于OB 的直线和OA 交于点C ,则△POC 面积的最大值为______________.【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换;数学思想:数形结合】解:312 设∠AOP =θ,∵CP ∥OB ,∴∠CPO =∠POB =60°-θ,∴∠OCP =120°.在△POC 中,由正弦定理,得1sin120°=CP sin θ,有CP =23sin θ. 又OC sin(60°-θ)=1sin120°,有OC =23sin(60°-θ). 因此△POC 的面积为S =12CP ·OC sin120°=12·23sin θ·23sin(60°-θ)×32=13sin θsin(60°-θ)=13sin θ(32cos θ-12sin θ)=123[cos(2θ-60°)-12],θ∈(0°,60°). 故当θ=30°时,S 取得最大值为312.10.已知在ABC ∆中,452A a c ∠=︒==,,,解此三角形.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:分类讨论】解:由sin a A =sin c C,得sin C C =60°或120°,sin6075,1sin c B C B b C =︒=︒===+当时,,sin12015,1sin c B C B b C =︒=︒===当时,,所以16075b C B =+=︒=︒,,或112015b C B =︒=︒,,. 11.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin a c B -==-且B 为锐角,试判定三角形的形状.【知识点:对数的运算性质,正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:由条件有sin B 及c ,因为B 为锐角,则B =45°,A =135°-C ,由c ,得sin C A -C )=cos C +sin C ,则cos C =0,C =90°,A =45°,故△ABC 为等腰直角三角形.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2cos A cos C (tan A tan C -1)=1.(1)求B 的大小;(2)若b =3,求△ABC 的周长l 的最大值.【知识点:正弦定理,三角恒等变换,正弦函数的值域;数学思想:转化与化归】解:(1)由2cos A cos C (tan A tan C -1)=1,得2cos A cos C (sin A sin C cos A cos C -1)=1.∴2(sin A sin C -cos A cos C )=1,∴cos(A +C )=-12,∴cos B =12.又0<B <π,∴B =π3.(2)由正弦定理,得2R =b sin B =2,则a =2R sin A =2sin A ,c =2R sin C =2sin(2π3-A ),∴l =a +b +c =2sin A +2sin(2π3-A )+3=2sin A +3cos A +sin A + 3=3sin A +3cos A +3=23sin(A +π6)+ 3.∵A ∈[0,2π3],且A ≠π6,A ≠π2,∴当A =π3时,l max =3 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.。

新人教A版必修5高中数学1.1正弦定理和余弦定理学案

新人教A版必修5高中数学1.1正弦定理和余弦定理学案

高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容;2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形. 学习重难点1. 重点:正、余弦定理内容2. 难点:已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论一、知识链接问题1:在解三角形时,已知三边求角,用 定理;已知两边和夹角,求第三边,用 定理;已知两角和一边,用 定理.问题2:在△ABC 中,已知 A =6π,a =252,b =502,解此三角形.二、试一试探究1:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形.① A =6π,a =25,b =502;② A =6π,a =5063,b =502;③ A =6π,a =50,b=502.思考:解的个数情况为何会发生变化?探究2:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时).babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH试试:1. 用图示分析(A 为直角时)解的情况? 2.用图示分析(A 为钝角时)解的情况?※ 模仿练习例1. 在∆ABC 中,已知80a =,100b =,45A ∠=︒,试判断此三角形的解的情况.变式:在∆ABC 中,若1a =,12c =,40C ∠=︒,则符合题意的b 的值有_____个.例2. 在∆ABC 中,60A =︒,1b =,2c =,求sin sin sin a b cA B C++++的值.变式:在∆ABC 中,若55a =,16b =,且1sin 22032ab C =,求角C .三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决);2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决);3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决);4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理,可能有一解、两解和无解三种情况).※ 知识拓展在∆ABC 中,已知,,a b A ,讨论三角形解的情况 :①当A 为钝角或直角时,必须a b >才能有且只有一解;否则无解; ②当A 为锐角时,如果a ≥b ,那么只有一解; 如果a b <,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若sin a b A >,则有两解;(2)若sin a b A =,则只有一解;(3)若sin a b A <,则无解.当堂检测1. 已知a 、b 为△ABC 的边,A 、B 分别是a 、b 的对角,且sin 2sin 3A B =,则a bb +的值=( ). A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( ). A .135° B .90° C .120° D .150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加长度决定4. 在△ABC 中,sin A :sin B :sin C =4:5:6,则cos B = .5. 已知△ABC 中,cos cos b C c B =,试判断△ABC 的形状 .课后作业1. 在∆ABC中,a xcm=,2b cm=,45B∠=︒,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x 的取值范围.2. 在∆ABC中,其三边分别为a、b、c,且满足2221sin24a b cab C+-=,求角C.课后反思。

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高中数学必修5正余弦定理教案●教学目标(一)知识目标1.三角形的有关性质;2.正、余弦定理综合运用.(二)能力目标1.熟练掌握正、余弦定理应用;2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质;3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.(三)德育目标通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能,反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.●教学重点正、余弦定理的综合运用.●教学难点1.正、余弦定理与三角形性质的结合;2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.●教学方法启发式1.启发学生在求解三角形问题时,注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系,从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的;2.在题设条件不是三角形基本元素时,启发学生利用正、余弦建立方程,通过解方程组达到解三角形目的.●教具准备投影仪、幻灯片第二张:例题1、2(记作§5.9.4 B)Ⅰ.复习回顾师:上一节课,我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用,这一节,我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先,我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.4 A).Ⅱ.讲授新课师:下面,我们通过屏幕看例题.(给出投影片§5.9.4 B)[例1]分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cos α,可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的.解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N*,又设最小角为α,则 ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x xx 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1)(x+2)cos α② 将①代入②整理得:x2-3x-4=0解之得x1=4,x2=-1(舍)所以此三角形三边长为4,5,6.评述: (1)此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程;(2)在求解过程中,用到了正弦二倍角公式,由此,要向学生强调三角公式的工具性作用,以引起学生对三角公式的重视.[例2]分析:由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式S△ABC =21AB ·AC ·sin A ,需求出sin A ,而△ABC 面积可以转化为S△ADC +S△ADB ,而S△ADC =21AC ·AD sin 2A ,S△ADB =21AB ·AD ·sin 2A ,因此通过S△ABC =S△ADC +S△ADB 建立关于含有sin A ,sin 2A 的方程,而sin A =2sin 2A cos 2A ,sin 22A +cos 22A =1,故sin A 可求,从而三角形面积可求. 解:在△ABC 中,S△ABC =S△ADB +S△ADC , ∴21AB ·AC sin A =21·AC ·AD sin 2A +21·AB ·AD sin 2A ∴21·4·3sin A =21·3·2sin 2A ∴6sin A =7sin 2A ∴12sin 2A cos 2A =7sin 2A ∵sin 2A ≠0 ∴cos 2A =127 又0<A <π ∴0<2A <2π ∴sin 2A =12952cos 12=-A , ∴sin A =2sin2A cos 2A =72957, ∴S△ABC =21·4·3sin A =12957(c m2). 评述:面积等式的建立是求sin A 的突破口,而sin A 的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时,要熟练应用三角函数的公式.另外,在应用同角的平方关系sin 2α+cos 2α=1时,应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.(给出幻灯片§5.9.4 C )[例3]分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦,其二可用面积公式S△ABC =21ab sin C 表示面积,其三是周长条件应用. 解:设三角形的三边长分别为a 、b 、c ,B =60°,则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a由①式得:b 2=[20-(a +c )]2=400+a 2+c 2+2ac -40(a +c ) ④将②代入④得400+3ac -40(a +c )=0再将③代入得a +c =13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1=7,b 2=7所以,此三角形三边长分别为5c m,7c m,8c m.评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公式的应用.(2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路,以提高自己的解方程及运算能力.[例4]分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC 为x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D 为BC 中点,所以BD 、DC 可表示为2x ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解:设BC 边为x,则由D 为BC 中点,可得BD =DC =2x , 在△ADB 中,cos ADB =,2425)2(42222222x x BD AD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 在△ADC 中,cos ADC =.2423)2(42222222x x DC AD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 又∠ADB +∠ADC =180°∴cos ADB =cos (180°-∠ADC )=-cos ADC . ∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得,x=2所以,BC 边长为2.评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.另外,对于本节的例2,也可考虑上述性质的应用来求解sin A ,思路如下:① ② ③由三角形内角平分线性质可得35==DC BD AC AB ,设BD =5k,DC =3k,则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出BC 后,再结合余弦定理求出cos A ,再由同角平方关系求出sin A .师:为巩固本节所学的解题方法,下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.半径为1的圆内接三角形的面积为0.25,求此三角形三边长的乘积.解:设△ABC 三边为a ,b ,c .则S△ABC =B ac sin 21 ∴bB abc B ac abc S ABC 2sin 2sin ==∆ 又R Bb 2sin =,其中R 为三角形外接圆半径 ∴R abc S ABC 41=∆ ∴abc =4RS △ABC =4×1×0.25=1所以三角形三边长的乘积为1.评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:R C c B b A a 2s i ns i n s i n ===,其中R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式S△ABC =B ac sin 21发生联系,对abc 进行整体求解.2.在△ABC 中,已知角B =45°,D 是BC 边上一点,AD =5,AC =7,DC =3,求AB .解:在△ADC 中,cos C =,14113725372222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC AC AD DC AC 又0<C <180°,∴sin C =1435 在△ABC 中,CAB B AC sin sin = ∴AB =.265721435sin sin =⋅⋅=AC B C 评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦定理的综合运用.3.在△ABC 中,已知cos A =53,sin B =135,求cos C 的值.解:∵cos A =53<22=cos45°,0<A <π ∴45°<A <90°∴sin A =54 ∵sin B =135<21=sin30°,0<B <π ∴0°<B <30°或150°<B <180°若B >150°,则B +A >180°与题意不符.∴0°<B <30° cos B =1312 ∴cos (A +B )=cos A ·cos B -sin A ·sin B =651613554131253=⋅-⋅ 又C =180°-(A +B ). ∴cos C =cos [180°-(A +B )]=-cos (A +B )=-6516. 评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体确定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较.Ⅳ.课时小结师:通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力.Ⅴ.课后作业(一)书面作业1.课本P132习题5.9 5.2.在三角形中,三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的三边长分别为 .答案:2,3,43.已知方程a (1-x2)+2b x+c (1+x2)=0没有实数根,如果a 、b 、c 是△ABC 的三条边的长,求证△ABC 是钝角三角形.(二)1.预习内容课本P132~P133解斜三角形应用举例.2.预习提纲(1)解斜三角形在实际中有哪些应用?(2)实际中的解斜三角形问题如何转化为纯数学问题?1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得:sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A .这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,下面举例说明之.[例1]在△ABC 中,已知sin 2B -sin 2C -sin 2A =3sin A sin C ,求B 的度数. 解:由定理得sin 2B =sin 2A +sin 2C -2sin A sin C cos B ,∴-2sin A sin C cos B =3sin A sin C∵sin A sin C ≠0∴cos Β=-23 ∴B =150°[例2]求sin 210°+cos 240°+sin10°cos40°的值.解:原式=sin 210°+sin 250°+sin10°sin50° 在sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A 中,令B =10°,C =50°,则A =120°. sin 2120°=sin 210°+sin 250°-2sin10°sin50°cos120°=sin 210°+sin 250°+sin10°sin50°=(23)2=43. [例3]在△ABC 中,已知2cos B sin C =sin A ,试判定△ABC 的形状.解:在原等式两边同乘以sin A 得:2cos B sin A sin C =sin 2A ,由定理得sin 2A +sin 2C -sin 2Β=sin 2A ,∴sin 2C =sin 2B∴B =C故△ABC 是等腰三角形.2.一题多证[例4]在△ABC 中已知a =2b cos C ,求证:△ABC 为等腰三角形.证法一:欲证△ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a =B A b sin sin ∴2b cosC =BA b sin sin ,即2cos C ·sinB =sin A =sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C . ∴sin B cos C -cos B sin C =0即sin (B -C )=0,∴B -C =nπ(n∈Z).∵B 、C 是三角形的内角,∴B =C ,即三角形为等腰三角形.证法二:根据射影定理,有a =b cos C +c c os B ,又∵a =2b cos C∴2b cos C =b cos C +c cos B∴b cos C =c cos B ,即.cos cos C B c b = 又∵.sin sin CB c b = ∴,cos cos sin sin CB C B =即tan B =tan C ∵B 、C 在△ABC 中,∴B =C∴△ABC 为等腰三角形.证法三:∵cos C =,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222ba abc b a =-+化简后得b 2=c 2.∴b =c∴△ABC 是等腰三角形.。

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