概率论与数理统计第一章
概率第一章
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
概率论与数理统计第一章 刘建亚 吴臻主编
1. 随机试验与样本空间
试验E中的每一个可能结果称为基本事件， 或称为样本点，常记为 所有基本事件组成的集合称为试验E的样 本空间，记为 Ω = {}
例1.1.1 在抛掷一枚硬币试验中，有两个可能 的结果：出现正面，出现反面.。若分别用 “正”、“反”来表示，即有两个基本事件， 这个试验的样本空间为 Ω = {正，反}
A
B
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
(6) 对立事件 在一次试验中，若事件 A 与事
件 B 二者必有一个且仅有一个发生，则称 A 与 B 为对立事件(互逆事件)，A 的对立事件记为 A
A B
A
B
(3) 事件的交 由事件 A 与事件 B 同时发生
而构成的事件称为事件 A 与事件 B 的交事件 （积事件），记为 A B或AB
A1 , A2 ,, An 的积事件
B
Ａ∩Ｂ
Ai A
i 1
i 1
n
n
i
A
A1 , A2 ,, An , 的积事件
Ai A
f n ( A1 A2 An ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( An )
频率的稳定性
大量经验表明，当试验的次数相当大时， 频率总是稳定于某一常数附近，即它以 某一常数为中心作微小的摆动，而发生 较大偏离的可能性不大。这一性质称为 频率的稳定性
A B A B 且 B A
A
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论与数理统计
主讲：
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率及性质 1.3 概率的计算 1.4 事件的独立性 1.5 独立事件概型
1.1.1 随机事件
手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。 结果唯一
种瓜得瓜，种豆得豆。
太阳每天从东方升起。
确定性现象
概率统计的 硬币落下时哪一面向上？
4040 验
10000
次 数
12000 不
24000
断 增
30000 大
正面出现的频数 1061 2048 4979 6019 12012 14994
频率 0.5181频 0.5069率稳 0.4979定 0.5016在 0.5005附 0.4998近
0.5
频率的特点
（1）波动性 （2）稳定性
当试验次数n增大时，(A) 逐渐趋向一个稳定 值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的 概率。称为统计概率。
问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数 量确定但未知的情况下计算？
1.2.1 概率的统计定义
定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为 随机事件A在n次重复试验中发生的频率，记做 ( A) ，即
频率的性质：
( A) m
n
（1）对如何事件A，0 (A) 1;
A63
0.4762
A3 {从中有放回地连取三件都是正品}
P( A3)
63 103
0.216
思考 A1, A2 的概率相等是否巧合？
1.2.2 概率的古典定义
例2.3的推广
一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,从中取出n个，记A={取出
概率论与数理统计第一章期末复习
概率论与数理统计第一章期末复习(一)随机事件1.随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．定义2只有一个结果的现象称为确定性现象．2.样本空间定义3一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．就称这样的试验是一个随机试验，记作E．定义4随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记作ω．3.随机事件定义5随机试验的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C，…表示．定义6由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．而样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件，样本空间Ω的最小子集(即空集∅)称为不可能事件．4.事件的关系与运算下面的讨论总是假设在同一个样本空间Ω中进行．1)包含关系⊂如果属于A的样本点必属于B，则称A包含于B或称B包含A，记作A B ⊃．用概率的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．或B A对任一事件A，必有∅Ω⊂A．⊂2)相等关系如果属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，即BA⊂且=．AB⊂，则称事件A与B相等，记作A B3)互不相容(互斥)如果A 与B 没有相同的样本点，则称A 与B 互不相容(互斥)．即事件A 与事件B 不可能同时发生．4)两事件的和事件“事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的和(或并)，记作B A ．5)两事件的积事件“事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积(或交)，记作B A (或AB )．6)两事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”，这样的事件称为事件A 对B 的差，记作A B -．7)对立事件或逆事件若=AB ∅且Ω=B A ，则称A 与B 为对立事件或互为逆事件，事件A 的对立事件记作A ．【例1】设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则(1)事件{A 发生且B 与C 至少有一个发生}可表示为：)(C B A ；(2)事件{A 与B 发生而C 不发生}可表示为：C AB ；(3)事件{A 、B 、C 中至少有两个发生}可表示为：BC AC AB ；(4)事件{A 、B 、C 中至多有两个发生}可表示为：ABC ；(5)事件{A 、B 、C 中不多于一个发生}可表示为：AB BC AC ；(6)事件{A 、B 、C 中恰有一个发生}可表示为：ABC ABC ABC ．【例2】关系()成立，则事件A 与B 为对立事件．A ．=AB ∅B ．Ω=B AC ．=AB ∅，Ω=B AD ．=AB ∅，Ω≠B A 【解析】由对立事件的概念可知选项C 正确．【例3】甲、乙两人谈判，设事件A ，B 分别表示甲、乙无诚意，则B A 表示()A ．两人都无诚意B ．两人都有诚意C ．两人至少有一人无诚意D ．两人至少有一人有诚意【解析】由题可知A 与B 分别表示甲、乙有诚意，则B A 表示甲、乙两人至少有一人有诚意，故选项D 正确．5.事件的运算性质(1)交换律：A B B A =，BA AB =；(2)结合律：C B A C B A )()(=，)()(BC A C AB =；(3)分配律：()()()A B C AB AC = ，()()()A B C A C B C = ；(4)对偶律：B A B A = ，B A AB =．一些有用的等式：A A A = ，A Ω=Ω ，A A ∅= AA A =，A A Ω=，A ∅=∅A B A AB AB -=-=，A B A B A =【例4】化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．【解】(1) A B B A B A B A ==)())((ØA =；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3)))(())((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．(二)随机事件的概率1.概率的公理化定义定义1设E 是随机试验，Ω是它的样本空间．对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为)(A P ，称为事件A 的概率，如果集合函数)(⋅P 满足下列条件：(1)非负性0)(≥A P ，对Ω∈A ；(2)规范性()1P Ω=；(3)可列可加性若=j i A A ∅，j i ≠， ,2,1,=j i ，有∑+∞=+∞==11)()(i i i i A P A P ．2.概率的性质性质1不可能事件的概率为0，即()0P ∅=．性质2概率具有有限可加性，即若=j i A A ∅(n j i ≤<≤1)，则∑===ni i n i i A P A P 11)()( ．性质3对任一随机事件A ，有()1()P A P A =-．性质4若A B ⊂，则)()()(B P A P B A P -=-．推论若A B ⊂，则)()(B P A P ≥．性质5对任意的两个事件A ，B ，有)()()(AB P A P B A P -=-．性质6对任意的两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB =+- ．对任意三个事件A ，B ，C ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= ．推论对任意的两个事件A ，B ，有)()()(B P A P B A P +≤ ．【例1】设A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是()A ．A 与B 为对立事件B ．A 与B 互不相容C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()(A P B A P =-【解析】因为A 与B 互不相容，所以AB =∅，0)(=AB P ，故选项A ：互不相容不一定对立，故选项A 错误；选项B ：互不相容不一定对立，故B A 不一定等于Ω，所以B A B A =不一定等于∅，即A 与B 不一定互不相容，故选项B 错误；选项C ：)()()()(A P AB P A P B A P =-=-，故选项C 错误，进而选项D 正确．【例2】已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．【解】(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．【注】事件的概率的计算常常需要结合对偶律，应用性质3．【例3】已知事件A ，B ，B A 的概率分别是0.4，0.3，0.6，求(B A P ．【解】)()()()(AB P B P A P B A P -+= )(3.04.06.0AB P -+=所以1.0)(=AB P ，则3.0)()()((=-=-=AB P A P B A P B A P ．【例4】已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ．求：(1)A ，B ，C 中至少发生一个的概率；(2)A ，B ，C 都不发生的概率．【解】(1)因为0)(=AB P ，且AB ABC ⊂，所以由概率的单调性知0)(=ABC P ；再由加法公式，得A ，B ，C 中至少发生一个的概率为)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8516243=-=．(2)因为{A ，B ，C 都不发生}的对立事件为{A ，B ，C 中至少发生一个}，所以A ，B ，C 都不发生的概率为83851(=-=C B A P ．3.古典概型定义2若随机试验E 具有下述特征：(1)样本空间的元素(即样本点)只有有限个，不妨设为n 个，并记它们为12,,,n ωωω ．(2)每个样本点出现的可能性相等(等可能性)，即有12()()()n P P P ωωω=== ．则称这种等可能性的概率模型为古典概型．对任意一个随机事件Ω∈A ，有nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含有样本点的个数事件)(．【例5】袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，从中任取3个至少有2个白球的概率为．【解析】袋中共有7个球，从中任取3个，共有37C 中取法，即样本空间Ω中共有37C 个样本点．取出的3个球中至少有2个白球，分为2个白球1个黑球和3个白球两种情况．当取出的3个球中有2个白球1个黑球时，共有1324C C 中取法；当取出的3个球中有3个白球时，共有0334C C 中取法．记=A {从中任取3个至少有2个白球}，则事件A 中共有03341324C C C C +个样本点．因此3522)(3703341324=+=C C C C C A P ．(三)条件概率1.条件概率定义1设A 与B 是样本空间Ω中的两个事件，若0)(>B P ，则称)()()(B P AB P B A P =为“在事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率”，简称条件概率．【例1】已知31)()(==B P A P ，61)(=B A P ，求(B A P ．【解】∵61)()()(==B P AB P B A P ，∴181)(=AB P ，)(1)()()()(B P B A P B P B A P B A P -== )(1)]()()([1B P AB P B P A P --+-=127=．【注】条件概率的计算通常与概率的性质结合使用．【技巧】在计算过程中，只要有概率的性质可以用，就一直用概率的性质计算，直到没有概率的性质可用时，对得到的式子进行化简整理，代入已知数据计算．2.乘法公式定理1(乘法公式)(1)若0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P =．(2)若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．【例2】一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取得合格品的概率．【解】设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ．由题意知，所求概率为)(321A A A P ，易知10010)(1=A P ，999)(12=A A P ，9890)(213=A A A P ．由此得)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =0083.0989099910010≈⋅⋅=．3.全概率公式定义2设Ω为试验E 的样本空间，1B ，2B ，…，n B 为E 的一组事件．如果=j i B B ∅，j i ≠，n j i ,,2,1, =且Ω=n B B B 21，则称1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分．定理2(全概率公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任一事件A 有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==．4.贝叶斯公式定理3(贝叶斯公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则∑==n i j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()(，n i ,,2,1 =．【例3】一批同型号的零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的零件占这批零件的比例分别为35%、40%和25%，各台机器生产的零件的次品率分别为3%、2%和1%．(1)求该批零件的次品率；(2)现从该批零件中抽到一颗次品，试问这颗零件由Ⅰ号机器生产的概率是多少？【解】设=A {零件是次品}，=1B {零件由Ⅰ号机器生产}，=2B {零件由Ⅱ号机器生产}，=3B {零件由Ⅲ号机器生产}，则由题设知35.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，25.0)(3=B P ，03.0)(1=B A P ，02.0)(2=B A P ，01.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 021.0=．(2)题目要求的是)(1A B P ，由贝叶斯公式，得21)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．【例4】有甲、乙、丙三厂同时生产某种产品．甲、乙、丙三厂的产量之比为1：1：3，次品率分别为4%，3%，2%．(1)若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率．(2)若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问哪个厂最该为此事负责，为什么？【解】设=A {产品为次品}，=1B {产品由甲厂生产}，=2B {产品由乙厂生产}，=3B {产品由丙厂生产}，则由题设知，2.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，6.0)(3=B P ，04.0)(1=B A P ，03.0)(2=B A P ，02.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 026.0=．(2)由贝叶斯公式，得134)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，133)|()()|()()(31222==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，136)|()()|()()(31333==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．所以在产品为次品的情况下，产品来自丙厂的可能性最大，丙厂最该负责．【注】全概率公式与贝叶斯公式通常一起考试．(四)独立性1.两个事件的独立性定义1若)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称A 与B 独立．否则称A 与B 不独立或相依．定理1若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立．【例1】甲、乙两人彼此独立的向同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率．【解】设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，则=B A {目标被击中}．则)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=98.0=．【例2】若事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：)(B A P 和)|(B A A P ．【解】∵A 与B 相互独立，∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=92.0=．)())(()|(B A P B A A P B A A P =)()()()()(B A P B P A P B A P B A P ==13.0=．【例3】设)()(B A P B A P =，证明：A 与B 相互独立．【证】因为)()(B A P B A P =，所以有)(1)()()(1)()()()()(B P AB P A P B P B A P B P B A P B P AB P --=--==，即有)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=-，整理得)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 相互独立．2.多个事件的相互独立性定义2设A ，B ，C 是三个事件，若有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P (1)第11页共11页则称A ，B ，C 两两独立．若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，(2)则称A ，B ，C 相互独立．注意：只有(1)式与(2)式同时成立，事件A ，B ，C 才相互独立．(1)式成立不能保证(2)式成立；反过来，(2)式成立也不能保证(1)式成立．定义3设有n 个事件1A ，2A ，…，n A ，对任意的n k j i ≤<<<≤ 1，若以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()(2121n n k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立．定理2如果n (2≥n )个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则其中任何m (n m ≤≤1)个事件换成相应的对立事件，形成的n 个新的事件仍相互独立．【例4】三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？【解】设A ，B ，C 分别表示三人独立译出密码，则51)(=A P ，31)(=B P ，41)(=C P ，且A ，B ，C 相互独立，有方法1：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=6.0=．方法2：)(1)(C B A P C B A P -=(1C B A P -=()()(1C P B P A P -=53411)(311)(511(1=----=．。
概率论与数理统计 第一章
故n lg 0.01 1150 lg 0.996
1.8伯努利概型
例1
某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。
10
解：设A表示至少有6人治愈
P(A) P10 (k)
k 6
＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
故 P(A) 1
C
7 35
1 0.000000148 6724520
若B表示中一等奖(对6个号码) B的样本点数为
1 1
CC
7
6
1 28
故 P(B) C7C28 0.0000292 7
C
35
例3
生日问题：随机地选取n个人，他们的生日各不 相同的概率有多大？
解：相当于从365个数字中有放回地随机抽取n个 样本点总数为 365n
P(A)P(B | A)P(C | AB) P( A)P( B | A)P(C | AB) 4 3 2 4 6 3 6 4 3 6 4 3 6 5 4 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8
288 0 .4 720
解法一： 每局双方获胜的可能性均为
1 2
应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注， 即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。 甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4)
11 1 1 1 1 1 C2 C3 4 4 2 2 2 2 2 16
A1 U A2 U A3
解： 三次全部取到合格品：1 A2 A3 A
概率论与数理统计第1-3章复习资料
其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求： （1）A=“点数和为奇数的概率”； （2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件， 求下列事件的概率： （1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880） （2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描 述 r, v 的概分布的主要方法之一。 （二）分布函数的性质： 一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型 所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式 如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足： （1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随 机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率： （1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105） （2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。 例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个， 共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率： （1）A=“两次都取到新球”； （2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”； （3）C=“至少有一次取到新球”。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第一章 随机事件与概率
(3) 设A1，A何2，…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件，即AiAj＝
，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足 条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材：
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形 ；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计1
第一章事件与概率§1.1 随机事件与样本空间教学目的要求：掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解.教材分析：1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,了解事件之间的关系和事件之间的一些运算.2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关系和事件之间的一些运算.3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明.教学过程：我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意.一、几个基本概念：1．随机试验：一个试验如果满足下述条件：⑪试验可以在相同的情形下重复进行；⑫试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个；⑬每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现那一个结果.就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验.2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件.3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示.4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示.[例]1.1在前述试验中,令ω1={取得白球}, ω2={取得黑球}则Ω={ω1,ω2}[例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球,令i ={取得球的号码为i}则Ω={1,2, (10)·３·[例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令i={收到的呼唤次数为i}则Ω={1,2,…}[例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为t℃}则Ω=[0,100]5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性,所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母A,B,C等表示事件.在试验中,如果出现A中所包含的某一个基本事件ω,则称作A发生,并记作ω∈A.我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已.又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算.二、事件之间的关系和运算：1．如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款,并记作A⊂B或B⊃A.如图1.1.因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定Φ⊂A.2．如果有A⊂B,B⊂A同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2.3．“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并记作A∪B.如图1.3.4．“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).如图1.4.5．“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差,记作A－B.如图1.5.6．若事件A与B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=Φ,则称事件A与B互不相容.如图1.6.7．若A是一个事件,令A=Ω－A,称A是A的对立事件或逆事件.如图1.7.·４··５·显然有： A A =Φ, A ∪A =Ω, A =A8．若有n 个事件：A 1,A 2,…,A n ,则“A 1,A 2,…,A n 中至少发生其中的一个”这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的并,并记作A 1∪A 2∪…∪A n 或n i i A 1=；若“A 1,A 2,…,A n 同时发生”,这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的交,记作A 1A 2…A n 或 n i iA 1=.大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们.[例] 1.5 设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,则·６·1) 事件“A 与B 发生,C 不发生”可以表示成：C AB 或AB －C 或AB －ABC.2) 事件“A 、B 、C 中至少有二个发生”可以表示成：AB ∪AC ∪BC 或ABC BC A C B A C AB .3) 事件“A 、B 、C 中恰好发生二个”可以表示成： BC A C B A C AB .4) 事件“A 、B 、C 中有不多于一个事件发生”可以表示成：C B A C B A C B A C B A .5) 事件“A 发生而B 与C 都不发生”可以表示成：C B A 或A －B －C 或A －(B ∪C).6) 事件“A 、B 、C 恰好发生一个”可以表示成：C B A C B A C B A .7) 事件“A 、B 、C 中至少发生一个”可以表示成：C B A 或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A .三、事件的运算规则：1. 交换律：A ∪B=B ∪A AB=BA2. 结合律：(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (AB)C=A(BC)3. 分配律：(A ∪B)C=AC ∪BC (AB)∪C=(A ∪C)(B ∪C)4. 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)：n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11=== 四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一个类,记作ℱ,称作事件域,即ℱ={A ：A ⊂Ω,Ω是事件}在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈ℱ,Φ∈ℱ.又讨论了事件间的运算“∪” 、·７·“∩”和“－”,如果A 与B 都是事件,即A ∈ℱ,B ∈ℱ,非常自然地要求A ∪B 、AB 、A －B 也是事件.因此,如果有A ∈ℱ、B ∈ℱ,就要求A ∪B ∈ℱ、AB ∈ℱ、A －B ∈ℱ用集合论的语言来说,就是事件域ℱ关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过归纳与整理,事件域ℱ应该满足下述要求：⑪ Ω∈ℱ；⑫ 若A ∈ℱ,则A ∈ℱ；⑬ 若i A ∈ℱ,i=1,2, …,n,则 ni iA 1 ∈ℱ. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔代数.对于样本空间Ω,如果ℱ是Ω的一切子集的全体,那么显然ℱ是一个布尔代数.§1.2 概率和频率教学目的要求：通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ：1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义.2．教学重点：概率的性质及公理化定义.3．教学难点：概率的公理化定义.教 学 过 程 ：回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其中ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可·８·以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是½,因为我们知道盒子中白球数和黑球数都是5个.现在引入一个定义如下：一、频率和概率的定义：定义1.1 随机事件A 发生可能性大小的度量(数值),称为A 发生的概率,记作P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》,人民出版社,1972年,第38页)．人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正面的频率,,其结果如下:又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母. 在进行了更深入的研究之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是十分有用的．对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存在的．就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性．一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能性大小的度量—一概率,究竟是多大呢？在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球和黑球都是5个,才得以断定)(1 p =1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢？在引言中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数n 的增大,比值n n 白会逐渐稳定到1/2(n 白表示出现白球的次数),记·９· nn 白=试验总次数的次数出现1ω=)(1ωn f 称)(1ωn f 为事件ω1在n 次试验中出现的频率．频率当然也在一定程度上反映了发生可能性的大小．尽管每作—串(n 次)试验,所得到的频率)(1ωn f 可以各不相同,但是只要n 相当大,)(1ωn f 与)(1ωp 是会非常“靠近”的．因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似．在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率)(1ωn f 逐渐稳定到1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步即可得到)(1ωp =1／2这个结论.这件事情其实质与测量长度和面积—样的平常,给定一根木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”．这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释．二、频率和概率的性质：1.频率的性质:现在让我们比较仔细地考察一下频率．如果随机事件A 在n 次反复试验中发生了n 白次,称 )(A f n =n n 白为A 的频率．易知频率具有下述性质．(1)．非负性：即)(A f n ≥0； (2)．规范性,即若Ω是必然事件,则)(Ωn f ＝1；(3)．有限可加性：即若A 、B 互不相容(即AB=Φ),则)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n这三条性质的论证是很直观的,因为(1). A n ≥0,所以nn A ≥0；·１０·(2). Ω是必然事件,所以n n =Ω,从而nn Ω=1； (3). 若A ∪B 发生,意味着A 、B 中至少发生其中之一,又因为A 与B 互不相容(即不能同时发生),所以A ∪B 发生的次数一定是A 发生次数与B 发生次数之和,即B A B A n n n += ,从而有)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n成立．频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推出．作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质：(1) 不可能事件的频率为零,即)(Φn f =0；(2) 若A ⊂B,则)(A f n ≤)(B f n ,由此还可推得对任一事件A,有)(A f n ≤1；(3) 对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若A i A j =Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n A f A f 112. 概率的性质:因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有的．因为对每一个随机事件A,都有一个概率P(A)与之对应,而在§1中我们已经知道事件域ℱ是一个布尔代数,所以概P 实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数(因为ℱ中的元素是集合),它应该具有下述性质：(1)．非负性：P(A)≥0,对A ∈ℱ；(2)．规范性：P(Ω)＝1；(3)．有限可加性：若A i ∈ℱ,i ＝1,2,…,n,且A i A j ＝Φ(i ≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i A f A P 11由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域ℱ和概率P,其中ℱ是一个布尔代数,P 是定义在ℱ上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了．§1.3 古典概型教学目的要求：通过本节的学习,使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公式,并能灵活运用它们解决实际问题.教材分析：1．概括分析：古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的.2．教学重点：古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法.3．教学难点：古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用.教学过程：在§2中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域ℱ和概率P来描述的．对一个随机事件A,如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本的课题. 我们先讨论一类最简单的随机试验.一、古典概型的定义与计算公式:1.古典概型的定义:有一类最简单的随机试验,它具有下述特征：(1) 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为n个,并记它们为ω1、ω2、…、ωn.(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 P(ω1)=P(ω2)=…P(ωn)这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用.2.古典概型的计算公式:对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域ℱ为Ω的所有子集的全体．这时,连同Φ、Ω在内,ℱ中含有2n个事件,并且从概率的有限可加性知:1＝P(Ω)＝P(ω1)+P(ω2)+…+P(ωn)于是 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)=1/n·１１··１２· 对任意一个随机事件A ∈ℱ,如果A 是k 个基本事件的和,即A ＝k i i i ωωω 21,则基本事件总数的有利事件数基本事件总数中所含的基本事件数A A n k A P ===)( (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A 的有利事件数),不难验证,上述的概率P(·)的确具有非负性、规范性和有限可加性.事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此.前节例1.1及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事件的概率计算都这么容易．事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目．在这些计算中,经常要用到一些排列与组合公式．二、基本的组合分析公式1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理与加法原理．为说明这两条原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏.王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火车,还可以坐船；从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法？图 2.1的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道,王经理共有6种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法．把上海—天津,再从天津—北京看作相继进行的两个过程,分别记为A 1与A 2．一般地,假设完成过程A 1共有n 1种方法(在我们的游戏中n 1＝3),完成A 2共有n 2种方法(本例中n 2＝2),那末,完成整个过程一共有n 1×n 2种方法(这里3×2＝6)．这就是所谓的乘法原理．现在把游戏的条件稍微改变一下．假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的一地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种呢？直接采用类似图2.1(b)的表示方法,便知此时共有5种走法,如图2.2所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法．这样,进行过程A 1或A 2的方法一共有n 1+n 2种.这就是加法原理．容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况．利用上述原理,可以导出排列与组合的公式.2．排列：所谓排列,是从共有n 个元素的总体中取出r 个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地取出r 个元素).这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中；另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有r ≤n ．(1)在有放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有n r 种．(2)在不放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,其总数为rn A ＝n(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)这种排列称为选排列.特别当r ＝n 时,称为全排列．(3)n 个元素的全排列数为P n ＝n(n －1)…3·2·1＝n ！3．组合:(1)从n 个元素中取出r 个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:)!(!!!)1()1(!r n r n r r n n n r A r n C r n r n-=+--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 是二项展开式的系数,(a+b)n =∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n r r n r b a r n 0 (2)若r 1＋r 2＋…＋r k ＝n,把n 个不同的元素分成k 个部分,第一部分r 1个,第二部分r 2个,……,第k 部分r k 个,则不同的分法有:!!!!21k r r r n 种,上式中的数称为多项系数,因为它是(x 1＋x 2＋…＋x k )n 展开式中k rk r r x x x 2121的系数,当k ＝2时,即为组合数．(3)若n 个元素中有n 1个带足标“1”,n 2个带足标“2”,……,n k 个带足标“k ”,且n 1＋n 2＋…＋n k =n,从这n 个元素中取出r 个,使得带有足标“i ”的元素有r i 个(1≤i ≤k),而r 1＋r 2＋…＋r k =r,这时不同取法的总数为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k r n r n r n 2211这里当然要求r i ≤n i .4．一些常用等式:把排列公式推广到r 是正整数而n 是任意实数x 的场合,有时是需要的,这时记r x A ＝x(x-1)(x-2)…(x-r ＋1)同样定义!)1()2)(1(!r r x x x x r A r x r x +---==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 及 0!=1, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0x =1. 对于正整数n,若r>n,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n =0.这样一来二项系数有性质: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k n , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k a k a k 1)1( 由于 ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r n x r n x 0)1(故 n n n n n n 2210=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 利用幂级数乘法又可以证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110 特别地 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n 210222 现在举一些求A ∈ℱ的概率P(A)的例子.在下面的讨论中,如无特别需要,常常把事件域ℱ略去.三、概率直接计算的例子：[例1]一部四本头的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?[解] 若以a,b,c,d,分别表示自左向右排列的书的卷号,则上述文集放置的方式可与向量(a,b,c,d)建立一一对应,因为a,b,c,d 取值于1,2,3,4,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数4!=24,由于文集按“任意的”次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为：2/24=1/12[例2] 有10个电阻,其电阻值分别为1Ω,2Ω,…,10Ω,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于5Ω,一个等于5Ω,另一个大于5Ω,问取一次就能达到要求的概率．[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310310C ,有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114. 故所求概率为P=61310151114=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛[例3]某城有N 部卡车,车牌号从1到N,有一个外地人到该城去,把遇到的n 部车子的牌号抄下(可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码正好为k 的概率．(1≤k ≤N)[解]这种抄法可以看作是对N 个车牌号进行n 次有放回的抽样．所有可能的抽法共有N n 种,以它为样本点全体．由于每部卡车被遇到的机会可以认为相同,因此这是一个古典概型概率的计算问题,有利场合数可以这样考虑：先考虑最大车牌号不大于k 的取法,这样取法共有k n 种,再考虑最大车牌号不大于k-1的取法,其数目有(k-1)n 种,因此有k n -(k-1)n 种取法其最大车牌号正好为k,这就是有利场合的数目,因而所求概率为 P=n nn Nk k )1(-- [例4]设有n 个球,每个都能以同样的概率1/N 落到N 个格子(N ≥n)的每一个格子中,试求:(1)某指定的n 个格子中各有一个球的概率;(2)任何n 个格子中各有一个球的概率．[解]这是一个古典概型问题,由于每个球可落入N 个格子中的任一个,所以n 个球在N个格子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列,故共有N n 种可能分布.在第一个问题中,有利场合相当于n 个球在那指定的n 个格子中全排列,总数为n!,因而所求概率为 P 1=n!/N n .在第二个问题中,n 个房间可以任意,即可以从N 个房间中任意选出n 个来,这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种,对于每种选定的n 个房间,有利场合正如第一个问题一样为n!,故所求概率为nN n n N P !2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这个例子是古典概型中一个很典型的问题,不少实际问题可以归结为它．例如,若把球解释为粒子,把格子解释为相空间中的小区域,则这个问题便相应于统计物理学中的马克斯威尔—波尔茨曼(MaxWell-Boltzmann)统计．概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n 个人看作上面问题中的n 个球,而把一年的365天作为格子,则N=365,这时P 2就给出所求的概率.例如当n=40时,P 2=0.109,这个概率是意外的小.[例5] (抽签问题)袋中有a 只黑球,b 只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只摸出来,求第k 次摸出的一只球是黑球的概率(1≤k ≤a+b).[第一种解法] 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,则可能的排列法相当于把a+b 个元素进行全排列,总数为(a+b)!,把它们作为样本点全体．有利场合数为a ×(a+b-1)!,这是因为第k 次摸得黑球有a 种取法,而另外(a+b-1)次摸球相当于a+b-1只球进行全排列,有(a+b-1)!种构成法,故所求概率为ba ab a b a a P k +=+-+⨯=)!()!1( 这个结果与k 无关．回想—下,就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.[第二种解法] 把a 只黑球看作是没有区别的,把b 只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球,而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a 种放法,以这种放法作为样本点.这时有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a ,这是由于第k 次取得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任取a-1个位置,因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为 b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11 两种不同的解法答案相同,注意考察一下两种解法的不同,就会发现主要在于选取的样本空间不同．在前—种解法中把球看作是“有个性的”,而在后一种解法中则对同色球不加区别,因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列,第二种解法则不注意顺序而用组合,但最后还是得出了相同的答案.这种情况的产生并不奇怪,这说明对于同一随机现象,可以用不同的模型来描述,只要方法正确,结论总是一致的.在这个例子中,第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的a!·b!个样本点合并而成的．这个例子告诉我们,在计算样本点总数及有利场合数时,必须对同一个确定的样本空间考虑,因此其中一个考虑顺序,另一个也必须考虑顺序,否则结果一定不正确．既然同一个随机现象可用不同的样本空间来描述,因此对同一个概率也常常有多种不同的求法,我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题,为此熟悉同一问题的多种不同解法是重要的.例如,对例5就存在着多种不同的解法,上面提供的只是比较自然的两种.注意到在这两种解法中,我们对不同的k 用的是同一个样本空间,也就是说：我们构造了一个可以描述a 十b 次摸球的样本空间,并利用它一举解决了“第k(1≤k ≤a+b)次摸得黑球”这一概率的计算．假如允许对不同的k 用不同的样本空间,则我们完全可以构造一个只包含前k 次试验,甚至只包含第k 次试验的样本空间,这时也能求得有关概率.特别是选用最后一种样本空间简直马上可以看出正确答案,不过这种做法对初学者或许不那么容易理解． 四、古典概率的计算方法:求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现豹可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题.二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n,事件A 包含的样本点数(即A 的有利场合的数目)为k,那么事件A 的概率是 P(A)=nk =样本点总数包含的样本点数事件A =样本点总数的有利场合数A 三是根据公式要求,确定n 和k 的数值.这是解题的关键性一步,计算方法灵活多变,没有一个固定的模式.古典概率一种解法,大体都是围绕n 和k 的计算而展开的.五、几类基本问题:抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.。
概率论与数理统计(完整版)
实用文档
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表 示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E21,.E无2等穷.样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
可列个事件A1 , A2 ,的和事件记为 Ak .
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与
B的积，即事件A与A B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
实用文档S
9
4.差事件:
交换律: A B B A；A B B A.
结合律: A (B C) (A B) C ; A (B C) (A B) C.
分配律: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C).
对偶律: A B A B;
概率论与数理统计
实用文档
第一章 概率论的基本概
念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
实用文档
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结
2018考研数学（三）：概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
2.难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。
3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。
事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。
注意事件与概率之间的关系。
本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。
近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。
相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。
大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。
考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。
应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。
【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型，这类题型一直都是考查的重点。
三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
概率论与数理统计知识总结之第一章
n
P(Bi|A)=P(A|BJP(Bi)/、P(A|Bj)P(Bj)
1
先验概率：
根据以往数据分析得到的概率
后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率
设代B,C为事件，则有
交换律：
A B=B A; A ' B=B * A.
结合律：
A （B C）= （A B） C;
A' （B ~C） =（A一B厂C.
分配律：
A （B一C） =（A B厂（A C）;
A一（B C）=（A一B） （A一C）.
德摩根律：
A一B = A「B;
A B = A _ B.
频率与概率
生、B不发生时事件A-B发生
5.若^8=,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的。这指的是事件A与
事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
6.若A一B=S且^8=，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发性质：
1.非负性:P(B| A) M)
2.规范性：对于必然事件S,有P(S|A)=1
3.可列可加性：设B，B2,••是两两互不相容的事件,则有
P(UBiI 2、P(Bi|A)
i4
对于任意事件B,C,有
P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)
乘法定理：
设P(A)>0,则有P(AB)=P(B|A)P(A)
P(A -A2-…一An)=P(A1) + P(A2)+…+P(An)
3.设A,B是两个事件，若A B，则有
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B) >P(A)
第一章 条件概率(概率论与数理统计)
由于 A2 A1A2 由乘法公式
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1)
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未
抽到，
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
3的证明：对任意事件A1和A2 ,互不相容，有
P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B）
证
P(( A1
A2 )
|
B)
P( A1 U A2
P(B)
B)
P( A1 B) U( A2 B)
P(B)
P A1 B) P( A2 B
P(B)
P A1 | B) P(A2 | B
AB的样本数
对于古典概型
P(A|B)
AB的样本数 B的样本数
Ω样本数 B的样本数
P( AB )。 P( B )
2. 条件概率的性质
设B是一事件，且P(B)>0,则
B ABA
1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(S|B)=1；
S C
3. 设A1,…,An ,…两两互不相容，则 P[(A1+…+An +…)| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)+…
请思考！！
二、 乘法定理(乘法公式) 由条件概率的定义：
P(A | B)
P( AB) P(B)
在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。
即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考题: 设A、B、C为任意三个事件,试用它们 表示下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现.
解答: (1) ABC .
(2) AB C A BC A B C (3) A B C AB C A BC A B C
《概率论与数理统计》
前 言
概率统计是研究随机现象数量规律的数学
学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不
仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从
上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为
本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真 学好这门不易学好又不得不学的重要课程.
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
n
n
n
n
6
A B AB.
课堂练习
1.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}， 则A的对立事件为（ ④ ） ①甲种产品滞销，乙种产品畅销； ②甲、乙两种产品均畅销； ③甲种产品滞销； ④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 B A ①A={|x-a|＜σ },B={x-a＜σ }(σ >0） ②A={x＞20}，B={x≤20} A与B对立 ③A={x＞22}，B={x＜19} A与B互斥
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数
学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
若随机事件A在 n 次试验中发生了m 0 m n 次，则量 m / n 称为事件A在n 次试验中 发生的 m f f 频率，记作 n ，即： n .
m 它满足不等式：0 1 n
n
m f n A 1 n
f n A
如果A是必然事件,有m=n,则
第一章
随机事件及其概率
概率论是研究随机现象的规律性的数学 分支，为了对随机现象的有关问题作出明确 的数学描述，像其它数学学科一样，概率论 具有自己的严格的体系和结构。本章重点介 绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率。
1.1 基本概念
1.1.1 随机现象
客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件 下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定 的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现 象。
事件A与B至少有一个发生
事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生 事件A与B互不相容（互斥）
_
集合A与B没有公共元素
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B)∪CA∪(B∪C)A∪B∪C (结合律) 2 关于求交运算 (1) A∩BB∩A (交换律) (2) (A∩B)∩CA∩(B∩C)A∩B∩C (结合律) 3 关于求和与求交运算的混合 (1) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) (第一分配律) (2) A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) (第二分配律)
1.1.4
随机事件及其运算
我们时常会关心试验的某一部分可能结果是 否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为 随机事件，简称事件。通常用大写的字母 , , 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样 本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本 点，那么事件A发生当且仅当 时发生。由于 样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次 试验中 都会发生，故称 为必然事件。相反， 空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生， 故称 为不可能事件。
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射
都离不开 可靠性估计;
5. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列 分析方法非常有用; 6. 研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫 过程 来描述; 7. 在生物学中研究群体的增长问题时 提出
了生灭型 随机模型，传染病流行问题要用到多 变量非线性生灭过程；
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、
符号
集合论
全集 空集
概率论
样本空间：必然事件 不可能事件
中的点（或称元素）
样本点
基本事件 事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等
单点集
的子集A
集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等
集合A与集合B的并
集合A与集合B的交 集合A的余集 集合A与集合B的差
1.1.3
样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点， 因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们 的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与 表示 样本点与样本空间。
例1.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的 情况。其样本空间由四个样本点组成。即 ={（正， 正），（正，反），（反，正），（反，反）}。这里， 比如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面 而第二枚抛得反面。 例1.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫 次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2, , 样本空间为={0次，1次，2次, }
基本事件：由一个可能结果，即单个样本点构成的事件
例在投掷一枚骰子的试验中 分别记 “点数是6”为A “点数小于5”为B “点数小于5的偶数”为C 则A B C均为事件 其中事件A为基本事件 事件B和C均不是 基本事件 它们分别可以由一些基本事件复合而成 比如事件 C可由“点数为2”和“点数为4”两个基本事件复合而成
4. 事件的交 “ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B 的交, 记作 或 。 5. 事件的差 “ 事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A 与 B 的差 , 记作 A-B . 6. 互不相容事件 事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可 能事件,即 ，则称A与B是互不相容事件.
; ;
如果A是不 可能事件，有m=0,则 就是说：
m 0 n
必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。
由于随机现象的结果事先无法预知，初看起 来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一 随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果 出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也 有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试 验所证明。
随机事件的运算律
4 关于求对立事件的运算
( A) A (自反律)
5 关于和及交事件的对立事件
(1) A B A B (第一对偶律) (2) A B A B (第二对偶律)
推广:
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1 i 1
7. 对立事件
“事件A不发生”这一事件称作事件 A的对立事件， _ _ 记作 ，易见， .
8.完备事件组 设1，2， ，n 是有限或可数个事件， 如果其满足：
1 i j , 2 i
i
i j, i, j 1,2,
_
则称 1 , 2 ,n , 是一个完备事件组。显然，A与 构成一个完备事件组。 为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结 论与事件的关系和运算的对应情况列举如下： 表1.2
注：事件可以看成由基本事件复合而成的。而基本事件是最 小的 ，不能分割的事件！基本事件是事件的子集！
1.事件的包含 如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一 个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或 称事件A包含于事件B。记作 或
2.事件相等 如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则 称事件A与B相等。记作 A=B。 3.事件的并 “事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事 件A与B的并，记作 ．
在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数 x(t)， x " 来描述，其中 t g 由二阶微分方程 g为 重力加速度，这是确定的，必然的。
确定性现象 ⒈抛一石块,观察结局; ⒉导体通电,考察温度; ⒊异性电菏放臵一起,观察其关系; ……
随机现象 ⒈掷一枚硬币,观察向上的面; ⒉下一个交易日观察股市的指数上升情况; ⒊某人射击一次,考察命中环数; ⒋从一批产品中抽取一件,考察其质量; ……
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有
科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个
部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预 测都与 概率论 紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在 临床中应用，均需要用到 假设检验；
3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和 数据处理；
例1.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写 出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中， 而以“1”表示命中。则样本空间 ={1，01，001 ， 0001， } 例1.1.4 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有 0 t , 样本空间为： 无穷多个：t小时， t小时 | 0 t
第一章
1.1
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4
随机事件及其概率
基本概念
随机现象 随机现象的统计规律性 样本空间 随机事件及其运算
我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢， 力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未 必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的， 是在乎当时的机会. ---------传道书
王梓坤著
陈希儒著 科学出版社 1976 年版 科学出版社 1981年版
概率统计专业
2.《数理统计引论》
首位中科院院士