数学有限元基础PPT课件
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
有限元课件ppt
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
有限元基本概念ppt课件
i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为： 位移法：以位移为基本未知量 力法：应力为基本未知量 混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
《有限元基本原理》课件
这些有限元在节点处相互连接，形成 一个离散化的模型，用于模拟真实结 构的力学行为、热传导、电磁场分布 等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元基础知识介绍PPT课件
18
二、有限元模型的一般知识
1、离散化结构描述 坐标系（笛卡尔、柱坐标、球坐标） 节点（X、Y、Z） 单元（弹性单元、线单元、面单元、体 单元、约束元、质量单元） 载荷—集中力、力矩、梁上的分布载荷、 板和体面上的压力载荷、重量载荷、加 速度载荷、强迫位移
19
边界条件—固支、铰支、弹性、自由
无约束
L
F2EA(U2U1) L
12
既
F F1 2 E LA1 , 1,1 1 U U1 2
FKU
[K]单元刚度阵，{F}载荷，{U}位移向量
每一种类型单元都有自己的单元刚度 矩阵，对于复杂的单元是基于能量原理 来确定的。
13
3）总刚度矩阵 结构有限元是用有限个基本单元来
逼近结构模型，把有限个基本单元的单 元刚度矩阵组装到一起，形成总刚度矩 阵。
GRID 5 0 0. 2. 0.
GRID 6 0 2. 2. 0.
GRID 7 0 4. 2. 0.
GRID 8 0 6. 2. 0.
GRID 9 0 0. 4. 0.
27
GRID 10 0 2. 4. 0. GRID 11 0 4. 4. 0. GRID 12 0 6. 4. 0. GRID 13 0 0. 6. 0. GRID 14 0 2. 6. 0. GRID 15 0 4. 6. 0. GRID 16 0 6. 6. 0.
材料性质—各向同性、各向异性、复合 材料、流体材料、温度相关材料
20
2、单元 弹簧元（拉伸或扭转）CELAS1、CELAS2、 CELAS3、CELAS4
线单元 杆元 CROD CONROD 直梁元 CBAR CBEAM 曲梁元 CBEND
21
面单元 三或六节点的三角形板元 CTRIA3、CTRIA6
二、有限元模型的一般知识
1、离散化结构描述 坐标系（笛卡尔、柱坐标、球坐标） 节点（X、Y、Z） 单元（弹性单元、线单元、面单元、体 单元、约束元、质量单元） 载荷—集中力、力矩、梁上的分布载荷、 板和体面上的压力载荷、重量载荷、加 速度载荷、强迫位移
19
边界条件—固支、铰支、弹性、自由
无约束
L
F2EA(U2U1) L
12
既
F F1 2 E LA1 , 1,1 1 U U1 2
FKU
[K]单元刚度阵，{F}载荷，{U}位移向量
每一种类型单元都有自己的单元刚度 矩阵，对于复杂的单元是基于能量原理 来确定的。
13
3）总刚度矩阵 结构有限元是用有限个基本单元来
逼近结构模型，把有限个基本单元的单 元刚度矩阵组装到一起，形成总刚度矩 阵。
GRID 5 0 0. 2. 0.
GRID 6 0 2. 2. 0.
GRID 7 0 4. 2. 0.
GRID 8 0 6. 2. 0.
GRID 9 0 0. 4. 0.
27
GRID 10 0 2. 4. 0. GRID 11 0 4. 4. 0. GRID 12 0 6. 4. 0. GRID 13 0 0. 6. 0. GRID 14 0 2. 6. 0. GRID 15 0 4. 6. 0. GRID 16 0 6. 6. 0.
材料性质—各向同性、各向异性、复合 材料、流体材料、温度相关材料
20
2、单元 弹簧元（拉伸或扭转）CELAS1、CELAS2、 CELAS3、CELAS4
线单元 杆元 CROD CONROD 直梁元 CBAR CBEAM 曲梁元 CBEND
21
面单元 三或六节点的三角形板元 CTRIA3、CTRIA6
有限元法基础.ppt
{} u1 u2 u3 u4 T
总体节点 位移列阵
R R1 R2 R3 R4 T
总体节点 载荷列阵
总体刚度矩阵[K]
总体刚度矩阵可由各单元刚度矩阵计算：[K]=∑[K]e
因各单元长度均等于L/3，故由 Krs =±EA(xj-xi)， 得
Krs =±3EA/L
(r, s =1,2,3,4。r＝s 时，取“＋”；r≠s 时，取 “－”)
此即有限元法的计算结果，与
解析解相同。
u3
利用节点位移可求得单元应变和应力。
x
有限元法解题步骤
• 连续体离散化 把连续弹性体分割成许多小单元， 并把单元载荷等效移置到节点成为节点载荷；
• 单元特征分析 以节点位移δe为基本未知量，选一单元位移函数，
并用节点位移表示单元位移 f =Nδe ； 通过几何方程用节点位移表示单元应变ε=Bδe ； 通过物理方程用节点位移表示单元应力σ=Gδe， 通过虚功方程用节点位移表示节点力Fe=Keδe。
[K]—总体刚度矩阵
以节点位移为未知量的 [K] KK12((1111)) 线性方程组。 0
0
K (1) 12
K (1) 22
K (2) 22
K (2) 32
0
0
K (2) 23
K (2) 33
K (3) 33
K (3) 43
0
0
K (3) 34
K (3) 44
解析法：
任一x截面
O
轴向位移
u(x) q (2Lx x2) 2EA
几何方程 物理方程
x
du(x) dx
x E x
有限元的核心思想和基本概念ppt课件(共17张PPT)
内力：在外力作用下，物体内部不同部分 应力=内力/横截面面积
➢ 内力：在外力作用下，物体内部不同部分之间的相互作用力。
MSC-NASTRAN软件在航空航天领域有着很高的位置，目前世界上规模最大的有限元分析系统。
之间的相互作用力。物体横截面上的合力。 4、由单一构造场求解开展到耦合场问题的求解
构造力学：研讨有许多杆件组成的杆系的内力，位移。 许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件〔例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、
第14页，共17页。
➢ 4、由单一构造场求解开展到耦合场问题的 求解
➢ 如今用于求解构造线性问题的有限元方法 和软件曾经比较成熟，开展方向是构造非 线性、流体动力学和耦合场问题的求解。 例如当流体在弯管中流动时，流体压力会 使弯管产生变形，而管的变形又反过来影 响到流体的流动……这就需求对构造场和 流场的有限元分析结果交叉迭代求解，即 所谓\"流固耦合\"的问题。
3、由求解线性问题开展到求解非线性问题 弹塑性阶段：去除外力物体不能恢复到外力作用前的外形。
用户自定义流场边境条件、用户自定义构 2、更为强大的网格处置才干 (技术难题，关键步骤)
给用户一个开放的环境，允许用户根据本人的实践情况对软件进展扩展，包括用户自定义单元特性、用户自定义资料、用户自定义流场
造断裂判据和裂纹扩展规律等等。 边境条件、用户自定义构造断裂判据和裂纹扩展规律等等。
杆件：长度远远大于横截面高度的构件。
内力，位移。
第4页，共17页。
➢ 应力：物体横截面上单位面积上的内力。 ➢ 应力=内力/横截面面积 ➢ 应变：单位长度上的位移。 ➢ 应变=位移/构件长度 ➢ 弹性阶段：去除外力物体还能恢复到外力
➢ 内力：在外力作用下，物体内部不同部分之间的相互作用力。
MSC-NASTRAN软件在航空航天领域有着很高的位置，目前世界上规模最大的有限元分析系统。
之间的相互作用力。物体横截面上的合力。 4、由单一构造场求解开展到耦合场问题的求解
构造力学：研讨有许多杆件组成的杆系的内力，位移。 许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件〔例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、
第14页，共17页。
➢ 4、由单一构造场求解开展到耦合场问题的 求解
➢ 如今用于求解构造线性问题的有限元方法 和软件曾经比较成熟，开展方向是构造非 线性、流体动力学和耦合场问题的求解。 例如当流体在弯管中流动时，流体压力会 使弯管产生变形，而管的变形又反过来影 响到流体的流动……这就需求对构造场和 流场的有限元分析结果交叉迭代求解，即 所谓\"流固耦合\"的问题。
3、由求解线性问题开展到求解非线性问题 弹塑性阶段：去除外力物体不能恢复到外力作用前的外形。
用户自定义流场边境条件、用户自定义构 2、更为强大的网格处置才干 (技术难题，关键步骤)
给用户一个开放的环境，允许用户根据本人的实践情况对软件进展扩展，包括用户自定义单元特性、用户自定义资料、用户自定义流场
造断裂判据和裂纹扩展规律等等。 边境条件、用户自定义构造断裂判据和裂纹扩展规律等等。
杆件：长度远远大于横截面高度的构件。
内力，位移。
第4页，共17页。
➢ 应力：物体横截面上单位面积上的内力。 ➢ 应力=内力/横截面面积 ➢ 应变：单位长度上的位移。 ➢ 应变=位移/构件长度 ➢ 弹性阶段：去除外力物体还能恢复到外力
相关主题
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 有限元方法的思想最早可以追溯到古人的 “化整为零”、“化圆为直”的作法，如 “曹冲称象”的典故，我国古代数学家刘徽 采用割圆法来对圆周长进行计算；这些实际 上都体现了离散逼近的思想，即采用大量的 简单小物体来“冲填”出复杂的大物体。
5
• 1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的 “试函数”来求解复杂的微分方程，1909年 Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为 现代有限元方法打下坚实基础。
二、有限元分析过程的概要
• 本章先通过一个简单的实例，采用直接的推 导方法，逐步展示有限元分析的基本流程， 从中可以了解有限元方法的思路形成过程， 以及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用 的标准求解方法。
18
2.1有限元分析的目的和概念
• 任何具有一定使用功能的构件(称为变形体 (deformed body))都是由满足要求的材料所 制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可 能的外力作用下的内部状态进行分析，以便 核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成 重大安全事故。描述可承力构件的力学信息 一般有三类：
7
• ；目前，专业的著名有限元分析软件公司有 几十家，国际上著名的通用有限元分析软件 有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC， ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还 有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPERFORGE等；
• 1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次 提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名称
• 6]；1955年德国的Argyris出版了第一本关 于
6
• 结构分析中的能量原理和矩阵方法的书[7]， 为后续的有限元研究奠定了重要的基础， 1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本 有关有限元分析的专著；1970年以后，有限 元方法开始应用于处理非线性和大变形问题。
13
• 如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析， 以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日 成功地完成了整体钢结构施工的最后卸载。 （图1）
14
图2 列车车厢整体结构的有限元模型
15
图3空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
16
图4人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果
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• 一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函 数(base function)的组合来“近似”，也 就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1) 基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)， 以及(2)基于子域(sub-domain)的分段函数 (pieces function)组合(如采用分段线性函 数的连接)；下面，仅以一个一维函数的展 开为例说明全域逼近与分段逼近的特点。
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• 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表 1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也 不计其数，学术活动非常活跃，表1-2 列出 的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
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1.3有限元分析的作用
• 据有关资料，一个新产品的问题有60％以上 可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工 过程也需要进行精细的设计，要做到这一点， 就需要类似有限元分析这样的分析手段。
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• (1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移 动(称为位移(displacement))；
• (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变 形状态(称为应变(strain))；
• (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受 力状态(称为应力(stress))；
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• 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何 形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它 内部的准确力学信息，即求取该变形体的三 类力学信息(位移、应变、应力)。
有限元分析基础（一）
青岛兰石技术部 2013.2.25
目录
一、 有限元简介 1.概况
2.有限元方法历史
3.有限元分析的作用 二、 有限元分析过程概要
1.有限元分析的目的和概念 2.一维阶梯杆结构问题的求解 3.有限元分析的基本流Байду номын сангаас 4.有限元分析的特点
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1.1概况
• 有限元方法(finite element method)或有 限元分析(finite element analysis)是求 取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工 具，是现代数字化科技的一种重要基础性原 理。严格来说，有限元分析必须包含三个方 面：(1)有限元方法的基本数学力学原理， (2)基于原理所形成的实用软件，(3)使用时 的计算机硬件。
• 下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航 空工程以及生物工程的实例。
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• 北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓 组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图 1，也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的 枝蔓总重达42000吨，其中，顶盖以及周边 悬空部位重量为14000吨，在施工时，采用 了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受 力区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓 慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠自身 结构支撑；因而，支撑塔架的卸载，实际上 就是对整个钢结构的加载，
• 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可 以对所设计对象进行强度(strength)、刚度 (stiffness)等方面的评判，以便对不合理 的
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• 设计参数进行修改，以得到较优化的设计方 案；然后，再次进行方案修改后的有限元分 析，以进行最后的力学评判和校核，确定出 最后的设计方案。
• 有限元方法是基于“离散逼近(discretized approximation)”的基本策略，可以采用较 多数量的简单函数的组合来“近似”代替非 常复杂的原函数。
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• 随着现代计算机技术的发展，一般的个人计 算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本 课程的重点将在以上的第(1)和第(2)方面， 将通过一些典型的实例来深入浅出地系统阐 述有限元分析的基本原理，并强调原理的工 程背景和物理概念通过ANSYS分析平台来展 示具体应用有限元方法的建模过程。
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1.2有限元方法的历史
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• 1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的 “试函数”来求解复杂的微分方程，1909年 Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为 现代有限元方法打下坚实基础。
二、有限元分析过程的概要
• 本章先通过一个简单的实例，采用直接的推 导方法，逐步展示有限元分析的基本流程， 从中可以了解有限元方法的思路形成过程， 以及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用 的标准求解方法。
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2.1有限元分析的目的和概念
• 任何具有一定使用功能的构件(称为变形体 (deformed body))都是由满足要求的材料所 制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可 能的外力作用下的内部状态进行分析，以便 核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成 重大安全事故。描述可承力构件的力学信息 一般有三类：
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• ；目前，专业的著名有限元分析软件公司有 几十家，国际上著名的通用有限元分析软件 有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC， ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还 有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPERFORGE等；
• 1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次 提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名称
• 6]；1955年德国的Argyris出版了第一本关 于
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• 结构分析中的能量原理和矩阵方法的书[7]， 为后续的有限元研究奠定了重要的基础， 1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本 有关有限元分析的专著；1970年以后，有限 元方法开始应用于处理非线性和大变形问题。
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• 如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析， 以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日 成功地完成了整体钢结构施工的最后卸载。 （图1）
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图2 列车车厢整体结构的有限元模型
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图3空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
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图4人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果
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• 一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函 数(base function)的组合来“近似”，也 就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1) 基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)， 以及(2)基于子域(sub-domain)的分段函数 (pieces function)组合(如采用分段线性函 数的连接)；下面，仅以一个一维函数的展 开为例说明全域逼近与分段逼近的特点。
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• 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表 1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也 不计其数，学术活动非常活跃，表1-2 列出 的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
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1.3有限元分析的作用
• 据有关资料，一个新产品的问题有60％以上 可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工 过程也需要进行精细的设计，要做到这一点， 就需要类似有限元分析这样的分析手段。
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• (1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移 动(称为位移(displacement))；
• (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变 形状态(称为应变(strain))；
• (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受 力状态(称为应力(stress))；
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• 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何 形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它 内部的准确力学信息，即求取该变形体的三 类力学信息(位移、应变、应力)。
有限元分析基础（一）
青岛兰石技术部 2013.2.25
目录
一、 有限元简介 1.概况
2.有限元方法历史
3.有限元分析的作用 二、 有限元分析过程概要
1.有限元分析的目的和概念 2.一维阶梯杆结构问题的求解 3.有限元分析的基本流Байду номын сангаас 4.有限元分析的特点
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1.1概况
• 有限元方法(finite element method)或有 限元分析(finite element analysis)是求 取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工 具，是现代数字化科技的一种重要基础性原 理。严格来说，有限元分析必须包含三个方 面：(1)有限元方法的基本数学力学原理， (2)基于原理所形成的实用软件，(3)使用时 的计算机硬件。
• 下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航 空工程以及生物工程的实例。
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• 北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓 组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图 1，也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的 枝蔓总重达42000吨，其中，顶盖以及周边 悬空部位重量为14000吨，在施工时，采用 了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受 力区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓 慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠自身 结构支撑；因而，支撑塔架的卸载，实际上 就是对整个钢结构的加载，
• 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可 以对所设计对象进行强度(strength)、刚度 (stiffness)等方面的评判，以便对不合理 的
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• 设计参数进行修改，以得到较优化的设计方 案；然后，再次进行方案修改后的有限元分 析，以进行最后的力学评判和校核，确定出 最后的设计方案。
• 有限元方法是基于“离散逼近(discretized approximation)”的基本策略，可以采用较 多数量的简单函数的组合来“近似”代替非 常复杂的原函数。
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• 随着现代计算机技术的发展，一般的个人计 算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本 课程的重点将在以上的第(1)和第(2)方面， 将通过一些典型的实例来深入浅出地系统阐 述有限元分析的基本原理，并强调原理的工 程背景和物理概念通过ANSYS分析平台来展 示具体应用有限元方法的建模过程。
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1.2有限元方法的历史