2018-2019学年山西省运城市盐湖区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年山西省运城市盐湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每个小题3分，共30分）1．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．（3分）如图所示的几何体是将一个长方体截去一部分后得到的，小明画出了该几何体的三种视图，其中正确的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图3．（3分）某农场去年的粮食总产量为1500吨，设该农场有耕地x亩，平均亩产量为y吨，则y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．4．（3分）小明在太阳光下观察矩形窗框的影子，不可能是（）A．平行四边形B．长方形C．线段D．梯形5．（3分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣2x+6＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．5B．6C．7D．86．（3分）如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他判断BP平分∠ABC的依据是（）A．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上D．以上均不正确7．（3分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，且BE＝2AE，已知AD＝3，tan∠BCE＝，那么CE等于（）A．2B．3﹣2C．5D．48．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝k2x2+x﹣2k的图象大致为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则AF 的长为（）A．4B．3C．2.5D．210．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3+．其中，正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为m2．12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E，则的值等于．13．（3分）将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为．14．（3分）如图是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A，B．若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果∠CFE＝90°，那么AD的长为．三、解答题（本题有8个小题共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（8分）（1）计算：6tan30°﹣2sin60°+cos245°（2）用适当方法解方程：3x2﹣6x+1＝217．（9分）在如图所示的方格中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．（3）△OA2B2的面积是．18．（8分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是；（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．19．（7分）如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（BC＝20米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A、B、C、D、E均在同一个平面内）．若DE＝4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），试求出大楼AB的高．（其中，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）20．（9分）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台，这种彩电每台降价100x（x为整数且0＜x＜9）元，每天可以多销售出3x台．（1）降价后每台彩电的利润是元，每天销售彩电台，设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）为了使顾客得到实惠，每台彩电的销售价定为多少时，销售该品牌彩电每天获得的利润最大，最大利润是多少？21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1的图象与反比例函数y2的图象交于第二、四象限内的A，B 两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．22．（10分）【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段F A绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C 重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F 分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F 分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段F A绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG （如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）23．（14分）如图，抛物线y＝与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧，）与y轴交于点C，作直线AC．（1）点B的坐标为，直线AC的关系式为．（2）设在直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E，当CE平分∠OEP 时求点P的坐标．（3）点M在x轴上，点N在抛物线上，试问以点A、C、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若存在，直接写出所有点M的坐标；若不存在，请简述你的理由．2018-2019学年山西省运城市盐湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每个小题3分，共30分）1．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，∴∠B＝30°，∠A＝60°．∴sin A＝sin60°＝．故选：B．2．【解答】解：从正面看是一个梯形，故A符合题意；故选：A．3．【解答】解：∵xy＝1500∴y＝（x＞0，y＞0）故选：B．4．【解答】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合，故D不可能，即不会是梯形．故选：D．5．【解答】解：当a﹣6＝0，即a＝6时，原方程为﹣2x+6，解得：x＝3，∴a＝6符合题意；当a﹣6≠0，即a≠6时，原方程为一元二次方程，∵△＝（﹣2）2﹣4×6×（a﹣6）≥0，∴a≤且a≠6．综上所述，a≤．又∵a为整数，∴a的最大值为6．故选：B．6．【解答】解：利用直角等宽，则点P点AB和BC的距离相等，所以根据“在一个角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线线上”判断BP平分∠ABC．故选：C．7．【解答】解：∵tan∠BCE＝，∴∠BCE＝30°，∴∠B＝60°，又∵在Rt△ABD中，AD＝3，∴BD＝3，AB＝6，∵BE＝2AE，∴BE＝4，AE＝2，在Rt△BEC中，BE＝4，∠BCE＝30°∴CE＝4，故选：D．8．【解答】解：∵反比例函数图象位于第一三象限，∴k＞0，∴k2＞0，∴﹣2k＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，∵k2＞0，∴二次函数图象开口向上，∵对称轴为直线x＝＜0，∴对称轴在y轴左边，纵观各选项，只有A选项符合．故选：A．9．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝9﹣x．在Rt△AEF中，由勾股定理得：（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4．故选：A．10．【解答】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确，∵抛物线的对称轴x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确，当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣2，2），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入得到a＝﹣，故④正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+P A+BD ＝AD+BD，∵AD＝＝3，BD＝＝，∴△△PBD周长最小值为3+，故⑤正确．故选：D．二、填空题（每题3分，共15分）11．【解答】解：长方形的面积＝3×2＝6（m2），∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的40%，∴世界杯图案的面积约为：6×40%＝2.4m2，故答案为：2.4．12．【解答】解：设AB＝AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝，∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝1，∠D＝30°，∴AD＝2AC＝2，由勾股定理得：DC＝＝，∵∠BAC+∠ACD＝90°+90°＝180°，∴AB∥CD，∴△AEB∽△DEC，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．【解答】解：如图所示：连接BC，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴sin∠BAC＝．故答案为：．14．【解答】解：设C（0，b），∵直线AB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y＝的图象上，∴当y＝b，x＝，即A点坐标为（，b），又∵点B在反比例函数y＝﹣的图象上，∴当y＝b，x＝﹣，即B点坐标为（﹣，b），∴AB＝﹣（﹣）＝，∴S△ABC＝•AB•OC＝••b＝5．故答案为：5．15．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠A+∠B＝90°，∴AB＝＝＝10，∵将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F，∴∠A＝∠EFD，AE＝EF，∵∠CFE＝90°，∴∠EFD+∠CFB＝90°，且∠A+∠B＝90°，∴∠CFB＝∠B，∴CF＝BC＝6，∵CE2＝EF2+CF2，∴（8﹣AE）2＝AE2+36，∴AE＝，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴，∴AD＝＝，故答案为：．三、解答题（本题有8个小题共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．【解答】解：（1）原式＝6×﹣2×+＝2﹣+＝+；（2）∵3x2﹣6x+1＝2，∴3x2﹣6x﹣3＝0，∴x2﹣2x＝1，∴（x﹣1）2＝2，∴x＝1±17．【解答】解：（1）如图所示，连接OO1并延长，交AA1的延长线于P，点P即为所求；△O1A1B1与△OAB的相似比＝＝2；（2）如图所示，△OA2B2即为所求；点B2的坐标为（﹣2，﹣6）．（3）△OA2B2的面积为：×2×2＝10．故答案为：10．18．【解答】解：（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，∴若随机选择其中一个正确的概率＝，故答案为：；（2）画树形图得：由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率＝．19．【解答】解：延长ED交AB于F，DH⊥BF于H，∵DE∥BF，∴四边形DHBG是矩形，∴DG＝BH，DH＝BG，∵＝，CD＝10，∴DH＝8，CH＝6，∴GE＝20+4+6＝30，∵tan24°＝＝＝0.45，∴AG＝13.5，∴AB＝AG+BG＝13.5+8＝21.5．答：大楼AB的高为21.5米．20．【解答】解：（1）由题意得：每台彩电的利润是（3900﹣100x﹣3000）元，即（900﹣100x）元，每天销售（6+3x）台，则y＝（900﹣100x）（6+3x）＝﹣300x2+2100x+5400故答案为：（900﹣100x），（6+3x）；y与x之间的函数关系式为：y＝﹣300x2+2100x+5400．（2）y＝﹣300x2+2100x+5400．＝﹣300（x﹣3.5）2+9075当x＝3或x＝4时，y最大值＝9000．当x＝3时，彩电销售单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15＝54000元，当x＝4时，彩电销售单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18＝63000元，∴为了使顾客得到实惠，每台彩电的销售价定为3500元时，销售该品牌彩电每天获得的利润最大，最大利润是9000元．21．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E设反比例函数的解析式为∵AE⊥x∴∠AEO＝90°在Rt△AEO中，AO＝5，sin∠AOC＝，∴AE＝3，OE＝4，∴A（﹣4，3）．∵点A在反比例函数上∴k＝﹣12∴y2＝﹣；（2）∵B（m，﹣4）在反比例函数y2＝﹣的图象上，∴m＝3，∴B（3，﹣4），设直线AB的解析式为y1＝ax+b（a≠0）将点A（﹣4，3），B（3，﹣4）代入y1＝ax+b，得解得∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣1．令y1＝﹣x﹣1中y＝0解得：x＝﹣1∴C（﹣1，0），∴；（3）由函数图象知：当y1＜y2时，x的取值范围是：﹣4＜x＜0，x＞3．22．【解答】【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BF A+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BF A+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BF A+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．23．【解答】解：（1）y＝，令y＝0，则x＝2或﹣8，令x＝0，则y＝﹣4，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣8，0）、（2，0）、（0，﹣4），将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣4，故答案为：（2，0），y＝﹣2x﹣4；（2）如图，左侧图是局部放大图，∵CE平分∠OEP时，∴∠OEC＝∠CEP，∵PD∥y轴，∴∠CEP＝∠ECO＝∠OEC＝α，则△OEC为等腰三角形，tan∠ECO＝＝2＝tanα，则sinα＝，过点E作y轴的垂线交于点F，过点O作OH⊥EC于点H，设：OH＝2x，则CH＝x，而OH2+HC2＝OC2，即x2+4x2＝16，解得：x＝，EF＝EC sinα＝2××，故m＝﹣，则点P（﹣，﹣）；（3）设：点N（m，n），n＝m2+m﹣4，点M（s，0），①当AC是平行四边形的边时，则点A向右平移8个单位向下平移4个单位得到C，同理N（M）向右平移8个单位向下平移4个单位得到M（N），即m+8＝s，n﹣4＝0或m﹣8＝s，n+4＝0，而n＝m2+m﹣4，解得：s＝5±或﹣14，②当AC是平行四边形的对角线时，利用中点公式得：﹣8＝m+s，﹣4＝n，而n＝m2+m﹣4，解得：s＝﹣2；故点M的坐标为：（5+，0）或（5﹣）或（﹣14，0）或（﹣2，0）．。