博弈论与数学模型
数学建模博弈模型
博弈模型在实际问题中的应用前景
政策制定
01
利用博弈模型分析政策制定中的利益关系和策略选择，为政策
制定提供科学依据。
企业竞争策略
02
利用博弈模型分析企业竞争中的策略选择和预期行为，为企业
制定合理的竞争策略。
国际关系
03
利用博弈模型分析国际关系中的利益关系和冲突解决机制，为
国际关系管理提供理论支持。
THANKS
猎鹿博弈
总结词
描述两个猎人合作与竞争的关系，揭示了合作与背叛的平衡。
详细描述
在猎鹿博弈中，两个猎人一起打猎，猎物可以平分。如果一个猎人选择合作而另一个选择背叛，则背叛者可以独 吞猎物。但如果两个猎人都不合作，则都没有猎物可吃。最佳策略是合作，但个体理性可能导致两个猎人都不合 作，造成双输的结果。
03
智猪博弈
总结词
描述大猪与小猪在食槽竞争中的策略，揭示了合作与竞 争的平衡。
详细描述
在智猪博弈中，一个大猪和一个小猪共同生活在一个猪 圈里。每天都有一桶食物放在食槽中，大猪和小猪需要 竞争才能吃到食物。如果大猪和小猪同时到达食槽，大 猪会因为体型优势占据更多食物。但如果小猪先到食槽 等待，大猪到来时已经没有食物可吃。最佳策略是小猪 等待，大猪先吃，然后小猪再吃剩下的食物。
博弈模型的基本要素
参与者
在博弈中作出决策和行动的个体或组织。
策略
参与者为达到目标而采取的行动或决策。
支付
参与者从博弈中获得的收益或损失。
均衡
在博弈中，当所有参与者都选择最优策略时，达到的一种稳定状态。
博弈模型的建立过程
策略空间
确定每个参与者的所有可能采 取的策略。
均衡分析
通过分析收益函数和策略空间 ，找出博弈的均衡点。
博弈的基本要素名词解释
博弈的基本要素名词解释引言：博弈论作为一门应用数学分支，用于研究决策制定者在面对不确定的情况下，如何做出最优决策的一种理论。
在博弈理论中，有一些基本概念和要素是必须理解的。
本文将对博弈的基本要素名词进行解释，使读者能够更好地理解和应用博弈论。
正文：第一部分：博弈博弈是指在一定规则和限制下进行的相互作用，涉及多个参与者，每个参与者通过采取策略来追求自身利益。
博弈的目标是找到最佳决策，并通过合理的策略选择获得最大利益。
第二部分：参与者（博弈人）参与者是指在博弈过程中有决策权和参与权的个体或组织。
他们通过制定和执行策略来实现自身的目标。
参与者可以是个人、企业、政府等，其利益冲突和合作构成了博弈论的基础。
第三部分：策略策略是参与者在博弈中制定的一系列行动方案，旨在最大化其利益。
策略可以是单一的，也可以是复杂的组合。
参与者根据对其他参与者的预测和判断，选择相应的策略以应对不同情况。
第四部分：收益收益是指参与者在博弈过程中获得的实际利益或报酬。
收益可以是经济利益、声誉、满足感等多方面的回报。
在博弈论中，收益通常被量化，以数字或数学模型表示参与者所获得的利益。
第五部分：信息信息是博弈论中至关重要的要素之一。
它涉及参与者对博弈环境和其他参与者的了解程度。
信息的不对称性会对博弈结果产生重要影响。
全面了解信息并能够准确预测对手行为的参与者通常具有较大的优势。
第六部分：博弈论的模型博弈论的模型是描述博弈过程和参与者决策的数学框架。
常见的博弈模型包括零和博弈、合作博弈、非合作博弈等。
博弈论的模型提供了分析和求解博弈问题的工具和方法，帮助参与者做出最佳决策。
结论：博弈论作为一门重要的决策理论，涉及诸多概念和要素的解释和应用。
通过理解博弈、参与者、策略、收益、信息以及博弈模型等基本要素，我们能够更好地应用博弈论，从而在面对不确定的情况下做出最优决策。
参考文献：1. Nalebuff, B.J., & Dixit, A.K. (2020).《Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life》. W. W. Norton & Company.2. Myerson, R.B. (2013).《Game Theory: Analysis of Conflict》. Harvard University Press.3. Osborne, M.J., & Rubinstein, A. (1994).《A Course in Game Theory》. MIT Press.。
数学与博弈论中的数学模型与博弈策略的研究
核心对称解的概念
01 核心对称解的定义
明确定义多人博弈中的核心解概念
02 多人博弈中的核心对称解计算
介绍计算核心对称解的方法和技巧
03 核心对称解的应用案例
展示核心对称解在实际情况中的应用场景
多人博弈中的数学建模
多人博弈树的构建 方法
构建多人博弈树是分析多 人博弈策略的重要手段之 一
多人博弈中的策略 空间定义
数学与博弈论中的数学模型 与博弈策略的研究
汇报人：XX
2024年X月
目录
第1章 简介 第2章 数学模型在零和博弈中的应用 第3章 数学模型在合作博弈中的应用 第4章 博弈中的均衡概念及求解方法 第5章 数学模型在多人博弈中的应用 第6章 总结与展望
● 01
第一章 简介
数学与博弈论的 关系
数学与博弈论有着密 切的关系。数学模型 在博弈论中扮演着重 要角色，帮助我们理 解博弈的规律。同时， 博弈策略的制定也依 赖于数学基础，通过 数学模型分析和预测 对手的策略，从而制 定最佳的决策。本研 究旨在探索数学与博
在数学与博弈论中， 数学模型的应用起着 至关重要的作用。通 过建立合适的数学模 型，可以更好地分析 博弈情境，预测可能 的结果，指导决策制 定。数学模型为博弈 策略的制定提供了理 论支持，为博弈参与 者提供决策依据。
博弈策略的数学基础回顾
01 博弈理论
博弈模型的基本概念
02 最优策略
博弈参与者的最佳选择
效用函数的建立
通过效用函数描述参与者 的收益偏好 有助于分析博弈结果
合作博弈中的最优 解求解
寻找使得各方收益最大化 的最优解 需要考虑协作策略和收益 分配
数学规划在合作博弈 中的应用
利用数学规划方法解决合 作博弈中的优化问题 提高合作博弈的效率与公 平性
数学建模博弈论
博弈论的概念博弈论又被称为对策论（Games Theory),是研究具有斗争或竞争性质现象的理论和方法，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。
博弈论是指某个个人或是组织，面对一定的环境条件，在一定的规则约束下，依靠所掌握的信息，从各自选择的行为或是策略进行选择并加以实施，并从各自取得相应结果或收益的过程，在经济学上博弈论是个非常重要的理论概念。
博弈论的发展博弈论思想古已有之，我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。
博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。
1928年冯·诺意曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。
1944年，冯·诺意曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。
谈到博弈论就不能忽略博弈论天才纳什，纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。
此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。
今天博弈论已发展成一门较完善的的学科。
博弈论的基本概念博弈要素(1)局中人：在一场竞赛或博弈中，每一个有决策权的参与者成为一个局中人。
只有两个局中人的博弈现象称为“两人博弈”,而多于两个局中人的博弈称为“多人博弈”。
(2)策略：一局博弈中，每个局中人都有选择实际可行的完整的行动方案，即方案不是某阶段的行动方案，而是指导整个行动的一个方案，一个局中人的一个可行的自始至终全局筹划的一个行动方案，称为这个局中人的一个策略。
如果在一个博弈中局中人都总共有有限个策略，则称为“有限博弈”，否则称为“无限博弈”。
(3)得失：一局博弈结局时的结果称为得失。
每个局中人在一局博弈结束时的得失，不仅与该局中人自身所选择的策略有关，而且与全局中人所取定的一组策略有关。
数学博弈中的博弈模型及其数学分析方法
数学博弈中的博弈模型及其数学分析方法在现代游戏中，数学博弈是一个重要的研究领域。
它既是游戏理论的一个分支，也是数学、计算机科学等多学科交叉的领域。
本文将介绍数学博弈中的博弈模型以及对其进行数学分析的方法。
博弈模型首先，我们需要了解什么是博弈模型。
博弈模型是游戏规则的数学表达式。
它描述了博弈参与者的策略、收益和行为。
在博弈模型中，博弈参与者根据对手的行为和自己的策略来做出决策。
最终的目标是获得最大的收益。
在博弈理论中，最常见的博弈模型是标准博弈模型。
它是指两个参与者在同时做决策的情况下，根据对手的行为，来获得不同的收益。
标准博弈模型中最常见的是囚徒困境和纳什均衡。
囚徒困境是指两个罪犯在没有相互通信的情况下，被警察分别审讯。
如果两人都保持沉默，则两个人都会得到轻判。
但如果一方供出另一方，则供出者将获得无罪释放，而被供出者将面临重判。
如果两人都供出了对方，那么两人都面临重罚。
在囚徒困境中，最优策略是相互合作，即使对方供出自己也要坚持保持沉默。
因为只有这样，双方才可以得到最小化的惩罚。
纳什均衡是指一个博弈中，所有参与者根据对手的策略来选择自己的策略时，出现的稳定状态。
也就是说，每个参与者在所处的状态不会改变策略，因为他们均认为自己的选择是最优的。
在标准博弈模型中，纳什均衡是博弈参与者达到收益最大化的一种稳定状态。
数学分析方法在博弈模型中，博弈参与者的策略和收益是数学函数。
因此，数学方法也可以应用于博弈模型的分析和解决。
例如， Nash提出的博弈论的主要工具是纳什均衡的存在性定理，计算量子博弈中纳什均衡解的算法主要是基于无限迭代和收敛方法等数学方法的。
将博弈模型转化为数学问题的主要方法是建立数学模型和求解方程组。
因此，数学分析方法需要涉及概率论、线性代数、微积分等数学领域。
在具体的分析过程中，则需要运用游戏理论、最优化理论、动态规划等方法，来找到最优的策略。
结语数学博弈模型的研究，不仅只有理论意义，更具有广泛的应用前景。
合作与冲突数学模型
合作与冲突数学模型
合作和冲突是人类社会交往中常见的行为模式。
数学模型可以用来描述和分析这些行为。
以下是一些主要的合作和冲突数学模型。
1. 合作博弈模型：合作博弈模型研究合作参与者如何在共同利益下分配资源。
最著名的合作博弈模型是合作博弈的核（core）概念，即一组策略组合，对于任何联盟中的参与者，他们无法通过自己单独行动来获得更好的回报。
合作博弈模型还包括合作稳定性概念，即在一个联盟中，没有参与者有动机离开联盟加入其他联盟。
2. 零和博弈模型：零和博弈模型描述的是一种互相对立的情况，其中一个参与者的利益的增加必然导致另一个参与者的利益减少。
在零和博弈模型中，冲突是不可避免的，参与者的目标是最大化自身利益。
著名的零和博弈模型包括囚徒困境、斯塔格亚博弈等。
3. 博弈论模型：博弈论是研究决策者如何在相互依赖的环境中做出决策的数学模型。
博弈论模型可以用来描述合作和冲突的情况。
博弈论模型包括非合作博弈模型和合作博弈模型。
非合作博弈模型研究个体决策者如何在没有互相协商的情况下做出理性决策。
合作博弈模型研究个体如何通过协商和合作来达到共同目标。
这些数学模型可以用来研究合作和冲突的策略，分析参与者的
收益和决策，从而更好地理解和解决实际生活中的合作和冲突问题。
博弈模型-数模
* * * s s ( s , s 优战略是 ＝坦白。因此，囚徒困境问题的解是 1 2 ) ＝(坦白,坦白)。
* 2
注释：这正是囚徒困境的“困境”两个字的体现，如果用经济学中的“有效” 的术语的意思来讲，（沉默，沉默）是一个有效结局。有效结局并不是囚 徒问题的博弈解。这体现了个人利益和全体利益的矛盾。
现在，让我们试问一下，这个传教徒告诉了这些丈夫们他们所不知 道的什么？每个丈夫都已经知道了99个不贞的妻子，故这对任何人来 说都不是新闻。但“这个传教徒对所有男人做了一个声明”是共同知 识，从而这个传教徒所声明的内容，即有一个不贞的妻子，也就成了 所有男人中间的共同知识。在传教徒宣告之前，每个形如“（每个丈 夫知道）有一个不贞的妻子”的判断对于99都是正确的，但对100就 不正确了。
（3）收益函数
在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到的确定效 用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中输赢、得失、盈亏。效用必 须能用数值刻画其大小。收益是博弈参与者真正关心的问题 。 注释：博弈论的一个基本特征是一个参与者的收益不仅取决于自己的战略选 择，而且取决于所有参与者的战略选择。或者说，收益是所有参与者各选 定一个战略形成的战略组合的函数。 在博弈论中，通常用ui表示参与者i的收益，一个战略组合是，每个参与者 的收益可以表示为
* * * * s ( s , , s , , s 的解，则战略组合 1 i n ) 称为博弈 G 的一个解或纳什均
衡。
注释：研究博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用
信息
博弈论的数学模型
博弈论的数学模型作者：竺可桢学院01混合班王大方何霈邹铭摘要博弈论现在得到了广泛的应用，涉及到人的决策问题都可以用博弈论的模型加以解释。
本文首先用数学的方法表述实际生活中的博弈行为，并导出一般情况下的博弈的结果，进而讨论一些不同的外部约束条件对博弈过程的影响。
我们用经济学中的垄断竞争现象作为博弈问题的一个实例，讨论生产者在不同状态下的决策，进而分析双方共谋的动机和可能性。
（一）基本博弈模型的建立一, 博弈行为的表述博弈的标准式包括：1．1．博弈的参与者。
2．2．每一个参与者可供选择的战略集。
3．3．针对所有参与者可能选择的战略组合，每一个参与者获得的利益在n人博弈中，用Si为参与者i的可以选择战略空间，其中任意一个特定的纯战略为s i，其中任意特定的纯战略为s i，s i∈Si，n元函数u i（s1，s2，……s n）, 当n个博弈者的决策为s1，s2，……s n时,表示第I各参与者的收益函数。
二, 博弈的解当博弈进入一个稳定状态时，参与者选择的战略必然是针对其他参与者既定战略的最优反应，在此状态下没有人愿意单独背离当前的局势。
这个局势叫纳什均衡：在n个参与者标准式博弈，G={ S1，S2，……S n；u1，u2，……u n}中，若战略组合{s1*，s2*，……s n*}满足对每一个参与者i，s i*是针对{ s1*，s2*，……s i-1*，s i+1*……s n*}的最优反应战略，，目标战略组合{s1*，s2*，……s n*}为该博弈的纳什均衡。
即：u i { s1*，s2*，……s i-1*，s i*，s i+1*……s n*}≥u i { s1*，s2*，……s i-1*，s i，s i+1*……s n*}，对一切s i∈Si均成立。
纳什于1950年证明在任何有限个参与者，且每个参与者可选择的纯战略为有限个的博弈中，均存在纳什均衡。
（包括混合战略）混合战略指认某种概率分布来取一个战略空间中的战略，在本文中不加讨论。
博弈论单人决策模型
博弈论单人决策模型博弈论是研究决策者之间相互影响关系的数学理论。
在博弈论中，单人决策模型是一种研究单个决策者在面对不同情况下如何做出最优决策的数学模型。
在这种模型中，决策者通常被称为“玩家”，他们的目标是最大化自身利益或最小化损失。
单人决策模型在实际生活中有着广泛的应用。
人们在面临各种选择时，往往需要进行思考和决策。
通过建立数学模型，可以帮助人们更好地理解自己的决策行为，并找到最优的解决方案。
在单人决策模型中，通常会涉及到对不同的决策情况进行分析，以及对不同决策结果的评估。
决策者需要根据不同情况下的各种选择权衡利弊，最终做出最优的决策。
在博弈论中，囚徒困境是一个经典的例子。
在这个例子中，两名囚徒分别被关押在不同的监狱，他们可以选择合作或者背叛对方。
如果两人都合作，则各自判刑3年；如果两人都背叛，则各自判刑5年；如果一人合作一人背叛，则合作的人判刑1年，背叛的人判刑8年。
在这种情况下，每个囚徒都需要考虑对方的选择，以便做出最优的决策。
除了囚徒困境之外，还有很多其他的单人决策模型。
例如，投资者在面临不同的投资项目时，需要考虑每个项目的风险和回报，以便选择最佳的投资组合；公司在面对市场竞争时，需要考虑定价策略、市场份额等因素，以制定最佳的营销策略。
单人决策模型的研究可以帮助人们更好地理解决策过程中的各种复杂因素，并帮助他们做出更好的决策。
通过建立数学模型，可以将抽象的决策问题转化为具体的计算问题，从而找到最优的解决方案。
在实际应用中，单人决策模型也被广泛应用于经济学、管理学、金融学等领域。
通过分析各种决策情况和结果，可以帮助人们更好地理解复杂的决策过程，并提高决策的效率和准确性。
总的来说，单人决策模型是博弈论中的重要内容，它可以帮助人们更好地理解决策过程中的各种因素，并帮助他们做出最优的决策。
通过建立数学模型，可以将复杂的决策问题转化为具体的计算问题，从而找到最佳的解决方案。
在实际应用中，单人决策模型有着广泛的应用前景，可以帮助人们在各种决策情况下做出更好的选择。
基本数学模型-博弈论概述
Spring Lake, 1946 Press, 1944
1
田忌赛马
局 齐王 田忌 结果 1 A A 齐王胜 2 B B 齐王胜 3 C C 齐王胜
3:0
局 齐王 田忌 结果 1 A C 齐王胜 2 B A 田忌胜
3 C B 田忌胜 1: 2
——《史记•孙子吴起列传》
2
破产清偿
• 甲、乙两人共同犯罪，警方掌握了 一部分犯罪事实，将他们带到警局 分别讯问
• 若两人均承认所有罪行，则各被判处6 个月徒刑
• 若一人认罪，一人不认罪，前者被轻 判1个月徒刑，后者被重判9个月徒刑
• 若两人均不认罪，则以部分罪行各被 判处2个月徒刑
Tucker, A.W., A two-person dilemma, Unpublished Manuscript, 1950. Reprint, On jargon: The prisoner's dilemma. UMAP Journal, 1, 101, 1980.
债务
数额 资产
100
200
300
余额
100
100 3
100 3
100 3
200 50 75 75
300 50 100 150
Aumann, R. J., Maschler, M., Game theoretic analysis of a bankruptcy problem from the Talmud, Journal of Economic Theory, 36, 195-213, 1985
Talmud（塔木德）Robert John Aumann
犹太教口传律法汇
（1930－ ）
编，仅次于《圣经》 以色列经济学家
博弈模型-数模
* * * s s ( s , s 优战略是 ＝坦白。因此，囚徒困境问题的解是 1 2 ) ＝(坦白,坦白)。
* 2
注释：这正是囚徒困境的“困境”两个字的体现，如果用经济学中的“有效” 的术语的意思来讲，（沉默，沉默）是一个有效结局。有效结局并不是囚 徒问题的博弈解。这体现了个人利益和全体利益的矛盾。
* * * * s ( s , , s , , s 的解，则战略组合 1 i n ) 称为博弈 G 的一个解或纳什均
衡。
注释：研究博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用
信息
信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。这些知识包括 “自然”的选择，其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要 的，因为一个参与者在每一次进行决策之前，必须根据观察到的其他参与 者的行动和了解的有关情况作出自己的最佳选择。 由于信息内涵的不同，派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的 类型，因此寻求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个基本的、 重要的概念进行讨论。 首先，关于“共同知识”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同 选择、参与者的行动以及相应产生的效用（效果、收益）都是一种知识（ 信息）。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参与者知道，所有参与者知 道所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道所有参与者知道 ……”的知识。
（1）参与者
参与者指的是一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局中 人。 参与者参加博弈的目的是通过合理选择自己的行动，以期取得最大化自己的收 益（或效用）水平。参与者可以是自然人，也可以是企业、团体、国家，甚至 是国家组成的集团（如欧盟、OPEC等）。对参与者而言，在博弈过程中，他 必须有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中，他能知道或计算出各参与 者不同的行动组合产生的效益（或效用）。 博弈参与者集合一般表示为 {1, 2,, n}
数模-博弈论
• 从应用数学的发展趋势来说，应用数学正迅速地从 传统的应用数学进入现代应用数学的阶段。现代应 用数学的一个突出的标志是应用范围的空前扩展， 从传统的力学、物理等领域扩展到生物、化学、经 济。金融、信息、材料、环境、能源……等各个学 科和种种高科技乃至社会领域。传统应用数学领域 的数学模型大都是清楚的，且已经是力学、物理等 学科的重要内容，而很多新领域的规律仍不清楚， 数学建模面临实质性的困难。因此，数学建模不仅 凸现出其重要性，而且已成为现代应用数学的一个 重要组成部分。同学们接受数学建模的训练，和你 们学习数学知识一样，对于今后用数学方法解决种 种实际问题，是一个必要的训练和准备，这是你们 成为社会需要的优秀人才必不可少的能力和素养。
怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
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博弈模型
第一部分、博弈论基本概念
一、引言
宇宙间处处存在矛盾、冲突、争斗、合作、共生等 现象，这些现象很很早就引起各类学者的重视。哲学家 们对此作过深刻讨论，毛泽东的《矛盾论》便是其中的 代表。另一方面，数学被认为是科学的语言，能否用数 学语言描述各种带有矛盾因素的模型或现象？博弈论便 是这样一种处理各类带有矛盾因素的模型的数学工具， 现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专 家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、 进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复 杂系统与作重大决策时的有力工具。
2、什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起 数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技 术进行求解。
数学建模博弈论
数学建模博弈论在前一讲中，我们讨论了决策论，其中决策者面对的结果和支付只依赖于他本人的决策，而不依赖一个或者多个其他参与者的决策。
决策论最后决定的结果可能存在机会和风险，但不会与另一个参与者的决策有关系。
比如假定两个国家在军备竞赛而希望裁军，如果一方裁军，这个国家的结果不仅依赖于该国的决策，也依赖于第二个国家的决策。
如果只依赖于一个参与者，我们把这类决策模型称为决策论；如果结果依赖于多于一个参与者的决策，我们把这类决策模型称为博弈论；10.1：博弈论：完全冲突：按照参与者之间的冲突是完全冲突还是部分冲突对博弈论进行分类。
进一步把完全冲突的博弈按照最优策略是纯策略还是混合策略进行分类。
举例1：一个有纯策略的完全冲突博弈：例如有两家连锁店，都同时想在两个城市开连锁店，假设为A,B两地，如图所示是两个连锁店所占的市场份额：从上图可以发现两家连锁店其中一家每得到一点份额都是需要另一家失去一点份额，而市场总额是1，并且两家连锁店的决策结果不仅取决于自身还取决与对手的策略。
这个博弈是完全冲突的。
定义：纯策略是参与者可采取的行动的集合，每个参与者选定的策略共同决定博弈的结果以及每个参与者的花费。
通过图中数据我们也可以发现，无论甲连锁店开在何处，乙连锁店只需要开在A地就可以始终占优。
占优策略：定义：策略A占优与策略B，是指策略A的每一个结果至少和B的对应结果一样好，并且至少A的某一个结果严格优于B的对应结果。
占优原理：在严格冲突博弈中，一个理性的参与者应该永远不要采用被占优的策略。
同时也可以发现结果(A,A)即两个连锁店都开在A地时，此时没有任何一个参与者可以单方面改变策略而使得自己获得改善，这种情况我们称为纳什均衡：表示这样一个结果，任何一个参与者都不能通过单方面更改策略而获得好处。
同时由于这些每个结果和是1，完全冲突博弈也称作常数和博弈：如果对每一个可能的结果，每个参与者的支付之和是同一个常数，这个博弈称为完全冲突博弈。
数理模型 博弈模型
数理模型博弈模型标题：人生的博弈：选择与决策第一段：引言人生如同一场博弈，我们每个人都是参与者，每个选择都是一次决策。
在这个博弈中，我们要面对各种选择和机遇，而这些选择和机遇又会影响我们未来的发展和命运。
本文将从数理模型和博弈模型的角度，探讨人生中的选择与决策，并带领读者一起思考如何做出最优的决策，以及如何在博弈中取得更好的结果。
第二段：决策的背后在博弈模型中，决策往往涉及到利益的最大化与风险的最小化。
我们常常面临困扰的问题是，如何在利益和风险之间找到平衡点。
比如，职场中的升职与稳定性之间的抉择，或者投资中的高收益与高风险之间的选择。
在这个过程中，我们需要权衡各种因素，进行全面的思考和分析，以做出最佳的决策。
第三段：博弈的策略在博弈模型中，选择合适的策略是取胜的关键。
就像在国际关系中，各国通过制定合理的外交政策来维护自身利益，而在个人生活中，我们也需要制定适合自己的策略来实现自己的目标。
例如，在人际关系中，我们可以选择合作或竞争的策略，来获得更好的结果。
同时，我们还需要灵活地调整策略，根据不同的情境和对手做出相应的调整，以提高成功的几率。
第四段：信息的重要性在博弈模型中，信息的获取和利用是至关重要的。
信息的不对称可能导致博弈结果的失衡。
在现实生活中，我们也面临着信息的不完全性和不对称性的问题。
因此，我们需要通过各种途径来获取更多的信息，以便做出更明智的决策。
同时，我们还需要学会分析和利用已有的信息，以提高自己在博弈中的优势。
第五段：风险与收益的权衡在博弈模型中，风险与收益往往是相互关联的。
高风险往往伴随着高收益，而低风险则对应着低收益。
人生也是如此，追求高收益往往需要承担更大的风险。
我们需要根据自身的情况和目标来进行权衡，决定是否愿意承担更大的风险来追求更高的收益。
这需要我们有清晰的目标和理性的思考，以做出明智的选择。
第六段：结语人生是一场博弈，每个人都在这个博弈中做出选择和决策。
通过数理模型和博弈模型的分析，我们可以更加理性地思考和决策，以达到最优的结果。
博弈模型计算
博弈模型计算
博弈模型计算是一种对决策问题进行数学建模和计算的方法。
在现实生活中，人们常常需要面对各种决策问题，比如投资决策、定价决策、资源分配等。
博弈模型计算可以帮助人们更好地理解问题的本质，找到最优的决策方案。
博弈模型计算主要包括两个部分：博弈模型和计算方法。
博弈模型是对决策问题进行数学建模的过程，它需要考虑参与决策的各方的利益、策略和行为，以及他们之间的相互影响。
博弈模型可以是简化的数学模型，也可以是复杂的博弈论模型。
计算方法则是使用数学工具对博弈模型进行求解的过程，它可以是数值计算方法、优化算法等。
在实际应用中，博弈模型计算可以帮助企业进行市场定价决策。
比如一个公司需要确定产品的售价，以最大化自己的利润。
这个问题可以用博弈模型来建模，考虑市场竞争对手的定价策略和消费者的购买行为，然后使用数学工具来计算出最优的定价方案。
博弈模型计算也可以帮助政府进行资源分配决策。
比如一个政府需要确定某
项资源的分配方案，以最大化社会效益。
这个问题可以用博弈模型来建模，考虑各方的利益和影响，然后使用数学工具来计算出最优的资源分配方案。
总的来说，博弈模型计算是一个强大的工具，可以帮助人们更好地理解和解决决策问题。
通过对决策问题进行数学建模和计算，可以找到最优的决策方案，提高决策的科学性和有效性。
随着计算机技术的发展，博弈模型计算在各个领域的应用也会更加广泛。
数学中的博弈理论
数学中的博弈理论博弈理论是数学中一个非常有趣且实用的分支，它研究的是决策制定者在特定情景下的最佳策略选择。
博弈理论在经济学、生物学、社会科学等领域有广泛的应用，它帮助我们理解人类行为背后的动机和智慧，并提供了指导决策的工具和方法。
一、博弈模型的构建在博弈理论中，我们通过博弈模型来描述博弈的参与者、策略和效用。
博弈模型通常由以下要素构成：1. 参与者：博弈中的决策制定者，也称为玩家。
2. 策略：每个玩家可选择的行动方式或决策方案。
3. 支付函数：用于评估博弈结果的函数，用于量化每个玩家在不同策略选择下的效用或收益。
4. 信息：决策制定者在博弈过程中所拥有的信息。
通过构建合适的博弈模型，我们可以解析决策制定者之间的相互作用和策略选择。
二、零和博弈与非零和博弈基于博弈结果对玩家效用的影响，博弈可以分为零和博弈和非零和博弈。
1. 零和博弈：零和博弈是指博弈中玩家的收益之和为固定值。
在零和博弈中，一个玩家的收益增加必然伴随着其他玩家的损失，反之亦然。
典型的零和博弈是赌博游戏，例如扑克牌、国际象棋等。
2. 非零和博弈：非零和博弈是指博弈中玩家的收益之和不为固定值。
在非零和博弈中，一个玩家的收益增加或减少不一定伴随着其他玩家的损失或收益。
典型的非零和博弈是商业竞争、谈判等情景。
三、最优策略的确定博弈理论的核心问题之一是确定最优策略。
最优策略是指在特定的博弈模型中，使得玩家能够获得最大效用或收益的策略选择。
在零和博弈中，最优策略通常是纳什均衡。
纳什均衡是指在双方玩家都采取最佳应对策略的情况下，博弈达到的一种平衡状态。
纳什均衡是博弈理论中的重要概念，它帮助我们理解博弈的稳定状态和策略选择。
在非零和博弈中，最优策略的确定更加复杂，通常需要借助博弈论中的其他概念和方法，例如马尔可夫决策过程、序列博弈等。
最优策略的确定可以通过数学建模和计算机模拟等方法进行。
四、应用领域博弈理论在许多领域中都有广泛的应用。
在经济学中，博弈理论被用于研究市场竞争、拍卖、价格形成等问题。
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Hotelling 模型
Hotelling 模型
Hotelling 模型
Hotelling 模型
最优反应函数
Nash均衡
(1/2,1/2)是Nash均衡，两家快餐店开在 同一地点，平分所有的客源。
该模型可推广为居民住址服从任意连续 分布的情形。若分布的中位数m为，则 Nash均衡为（m,m）。
Nash均衡的数学定义
最优反应函数
不动点定理
Nash 定理
（Nash 定理）设参与者数目有限，每位参与 者策略集均有限，收益函数为实值函数，则博 弈必存在混合策略意义下的Nash均衡。
Nash 定理的证明只是一个存在性证明，并没 有给出Nash均衡的求法。Nash均衡（或近似 Nash均衡）的算法与复杂性问题是近年来理 论计算机科学的关注热点。
Hotelling 模型
现有两家快餐连锁店拟在一条街道上开设分店。 居民住宅在街道上均匀分布，每人都会选择距
他住址较近的一家快餐店就餐（若距离相等则 随机选择一家）。 两家连锁店应分别在何处选址才能吸引较多的 顾客。 Harold Hotelling（1895-1973）美国数学 家、经济学家、统计学家
0 ② 美国妥协苏联妥协 ② 0
美苏冷战
研究博弈的重要内容之一是分析每个局 势是否会出现、是否会稳定。
当参与者只有两个时，博弈可以用简洁 的形式表示。
美苏冷战
美国强硬、苏联妥协是稳定点 美国妥协、苏联强硬是稳定点
美苏冷战
美国强硬、苏联强硬不会出现，美国妥协、苏联妥协 不会出现
冷战时期，美苏在世界各地争夺霸权，曾多次出现紧 张局势，但最后都以一方的妥协而告终，上述模型较 好地解释了这一现象。
一头鹿需要所有人协力才能捕获，一只兔只要 单人努力即可捕获，所有人协力获得的猎物收 益由所有人平分。
所有人捕鹿或所有人捕兔是两个Nash均衡。
Nash 均衡的性质
Nash 均衡是理性参与者在动态决策过程 中可以预见的终极局势。
Nash 均衡具有稳定性，一经形成后不用 外力即可维持。
Nash 均衡从整体而言未必是最优局势， 也未必是每个参与者的最优选择。
申请式学校录取 用人单位与求职者双向选择 选择不同类型的算法可满足保护不同群
体利益制（算法），能鼓励参与者真 实表达意愿，即参与者不会因为虚假表达意愿 而获益。
给定任何一稳定婚姻问题的算法，参与者都可 以通过提供虚假偏好顺序而获得更好的一组稳 定婚姻。
稳定婚姻问题
稳定婚姻问题
算法
“男士选择，女士决定” 每位男士都选择他最钟爱的女士。 如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这
几位男士中除了她最喜欢的之外，对其他男士 都表示拒绝。 被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒 绝之外的最满意女士。如果存在冲突（包括和 之前选择某女士的男士发生冲突），则再由相 应的女士决定拒绝哪些男士。 以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。
三方竞争
选举
候选人政纲和选民主张均可抽象为一实 数。选举时选民投票给政纲距本人主张 最接近的候选人。获得最多选民支持的 候选人当选。
实行两党制的国家在竞选时两党的政纲 区别不大，旨在争取中间选民。实行多 党制的国家政党分分合合，政府更迭频 繁。
竞争上岗
每位选民都可以自荐为候选人，其政纲即为本 人主张。
Borel等数学家相继给出了若干博弈论结论。 • 1944年，von Neumann和Morgenstern著作
《Theory of Games and EconomicBehavior》出 版，这是博弈论正式形成的标志。 Princeton Press，1944
博弈论的发展简史
1950-1953年，Nash先后发表四篇论文，提 出了Nash均衡，讨价还价等一系列重要概念。
博弈论与数学模型
主要内容
• 上篇：数学理论 • 博弈论概说 • 矩阵博弈 • Nash均衡和
Nash定理
• 下篇：数学模型 • Hotelling模型 • Cournot和Bertrand
模型
• 稳定婚姻问题
博弈与博弈论
• 博弈论（game theory）：研究利益存 在冲突的决策主体在相互依赖的条件下， 如何选择适当的策略实施以获得最大利 益。
两家企业应如何选择各自的产量可使自 身获益最大。
Antoine Augustin Cournot（1801－ 1877）法国数学家、经济学家、哲学家
Cournot 双头垄断
最优反应函数
Nash均衡
联合
欺骗
Bertrand双寡头垄断
Bertrand双寡头垄断
最优反应函数
Nash均衡
二十世纪六七十年代起，经济学、社会学和生 物学领域开始大量应用博弈论，并逐渐在经济 学界取得重要地位。
• 1994年，三位博弈论研究者Nash， Harsanyi，Selten获诺贝尔经济学奖，博弈 论开始走入大众视野。
博弈的要素
参与者（player） ：参与博弈的决策主体。 行动（actions）：参与者可以采取的行动
矩阵博弈的解即为Nash 均衡，因此 Nash 均衡可视作矩阵博弈解的概念向非 零和、无限策略集、多人博弈的推广。
囚徒困境（Prisoner’s Dilemma)
双人博弈
Stag or Hare
n个猎人相约去打猎，猎场中有鹿和兔两种动 物，鹿的价值远大于兔的价值。每个猎人在打 猎时只能专注于一种猎物，猎到某猎物后他即 中止打猎。
参选需要支付成本b，当选可获得收益c。若未 当选或未参选另有损失d， d表示其主张与当 选人政纲的距离。
Nash均衡为何？是否应该自荐为候选人？
（和b，c大小以及本人观点与m 距离有关）
Cournot 双头垄断
两家垄断企业生产同一产品，生产单位 产品的成本为常数C。
若市场上该产品供应量为Q，则产品销售 价格为a-Q，其中a为一常数。
对给出男（女）方最优稳定婚姻的算法，男 （女）方不可能通过提供虚假偏好顺序获得更 好的一组稳定婚姻。
谢谢
算法
最优性
称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在 该组婚姻中，每位男士都认为其配偶不 比任何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。
男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必 是女方最劣的。
“男士选择，女士决定”算法给出的总 是一组“男方最优” 的稳定婚姻。
稳定婚姻问题的应用
稳定婚姻（stable marriage）及衍生 问题在理论上具有重要的意义，在实践 中发挥了巨大的作用。
矩阵博弈的混合策略
甲、乙的混合策略集分别为
设甲、乙采用的混合策略分别为， 甲的期望收益为
Von Neumann定理
线性规划
历史回眸
双矩阵博弈
零和的要求限制了矩阵博弈在经济学中的应用， 也阻碍了非合作博弈向多人推广。
对两人非零和有限博弈，双方收益需用两个矩 阵表示，称为双矩阵博弈（bimatrix game）。
Braess悖论
Braess悖论
Shapley 网络设计问题
现有一由若干节点和线路组成的通讯网 络，每个使用者可借此网络建立两点之 间的通讯联系，为此需向网络所有商购 买线路使用权。
每条线路价格不同。若多个使用者共同 使用某线路，费用由这些使用者分摊。
Shapley 网络设计问题
Shapley 网络设计问题
阵A来表示，乙的收益矩阵为-A。
极大极小原则
鞍点
矩阵博弈
纯策略和混合策略
若参与者每次行动都选择某个确定的策 略，我们称之为纯策略（pure strategy）。
若参与者行动时可以以一定的概率分布 选择若干个不同的策略，这样的策略称 为混合策略（mixed strategy）。
• 在混合策略意义下，参与者的收益实质 上表现为期望。
两败俱伤、同归于尽 美国得益、苏联受损 苏联得益、美国受损 互不侵犯、和平共处
美苏冷战
收益：由于实际情况的复杂性，参与者的收益 很
难精确量化，因此收益多表现为偏好或序关系。
美方偏好排序
苏方偏好排序
负无穷④ 美国强硬苏联强硬 ④负无穷
1 ① 美国强硬苏联妥协 ③ -1
-1 ③ 美国妥协苏联强硬 ① 1
（策略）方案的全体；所有参与者采取各自的 行动后形成的状态称为局势（outcome）。 收益（payoff）：各个参与者在不同局势下获 得的利益。 规则（rule）：对参与者行动的先后顺序、参 与者获知信息的多少等内容的具体规定。
美苏冷战
参与者：美国，苏联 行动集
美国：强硬、妥协 苏联：强硬、妥协 局势 美国强硬、苏联强硬 美国强硬、苏联妥协 美国妥协、苏联强硬 美国妥协、苏联妥协
• 研究对象不是客观规律，而是带有主动 性的人的活动。
• 最优不是绝对的，而是现有主客观条件 下的理想结果。
博弈论的发展简史
• 古代文献中的朴素博弈论思想 • 田忌赛马（中国，春秋时代） • Talmud中的债务分摊原则（以色列，公元6世 纪前） • 自二十世纪二十年代起，von Neumann，Zermelo，
非合作博弈的分类
根据参与者是否同时行动：静态博弈， 动态博弈
根据参与者掌握信息的多少：完全信息 博弈，不完全信息博弈
对策论v.s. 博弈论
数学v.s. 经济学
博弈论和数学建模
矩阵博弈
• 参与者为两人：甲、乙 • 每人的可行策略集为有限集： • 两人收益之和为零，博弈可用一矩阵、即甲的收益矩
1960年，Lemke和Howson给出了求解双矩 阵博弈解的算法，但该算法是指数时间的。
John Forbes Nash
Nash 均衡
完全信息静态博弈的某个局势称为Nash 均衡（Nash equilibrium），若每一个 理性的参与者都不会单独偏离它。即在 其他参与者的策略不变情况下，单独采 取其他策略，收益不会增加。