博弈论与数学模型
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阵A来表示，乙的收益矩阵为-A。
极大极小原则
鞍点
矩阵博弈
纯策略和混合策略
若参与者每次行动都选择某个确定的策 略，我们称之为纯策略（pure strategy）。
若参与者行动时可以以一定的概率分布 选择若干个不同的策略，这样的策略称 为混合策略（mixed strategy）。
• 在混合策略意义下，参与者的收益实质 上表现为期望。
算法
最优性
称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在 该组婚姻中，每位男士都认为其配偶不 比任何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。
男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必 是女方最劣的。
“男士选择，女士决定”算法给出的总 是一组“男方最优” 的稳定婚姻。
稳定婚姻问题的应用
稳定婚姻（stable marriage）及衍生 问题在理论上具有重要的意义，在实践 中发挥了巨大的作用。
稳定婚姻问题
稳定婚姻问题
算法
“男士选择，女士决定” 每位男士都选择他最钟爱的女士。 如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这
几位男士中除了她最喜欢的之外，对其他男士 都表示拒绝。 被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒 绝之外的最满意女士。如果存在冲突（包括和 之前选择某女士的男士发生冲突），则再由相 应的女士决定拒绝哪些男士。 以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。
1960年，Lemke和Howson给出了求解双矩 阵博弈解的算法，但该算法是指数时间的。
John Forbes Nash
Nash 均衡
完全信息静态博弈的某个局势称为Nash 均衡（Nash equilibrium），若每一个 理性的参与者都不会单独偏离它。即在 其他参与者的策略不变情况下，单独采 取其他策略，收益不会增加。
二十世纪六七十年代起，经济学、社会学和生 物学领域开始大量应用博弈论，并逐渐在经济 学界取得重要地位。
• 1994年，三位博弈论研究者Nash， Harsanyi，Selten获诺贝尔经济学奖，博弈 论开始走入大众视野。
博弈的要素
参与者（player） ：参与博弈的决策主体。 行动（actions）：参与者可以采取的行动
Nash均衡的数学定义
最优反应函数
不动点定理
Nash 定理
（Nash 定理）设参与者数目有限，每位参与 者策略集均有限，收益函数为实值函数，则博 弈必存在混合策略意义下的Nash均衡。
Nash 定理的证明只是一个存在性证明，并没 有给出Nash均衡的求法。Nash均衡（或近似 Nash均衡）的算法与复杂性问题是近年来理 论计算机科学的关注热点。
一头鹿需要所有人协力才能捕获，一只兔只要 单人努力即可捕获，所有人协力获得的猎物收 益由所有人平分。
所有人捕鹿或所有人捕兔是两个Nash均衡。
Nash 均衡的性质
Nash 均衡是理性参与者在动态决策过程 中可以预见的终极局势。
Nash 均衡具有稳定性，一经形成后不用 外力即可维持。
Nash 均衡从整体而言未必是最优局势， 也未必是每个参与者的最优选择。
Braess悖论
Braess悖论
Shapley 网络设计问题
现有一由若干节点和线路组成的通讯网 络，每个使用者可借此网络建立两点之 间的通讯联系，为此需向网络所有商购 买线路使用权。
每条线路价格不同。若多个使用者共同 使用某线路，费用由这些使用者分摊。
Shapleቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 网络设计问题
Shapley 网络设计问题
矩阵博弈的解即为Nash 均衡，因此 Nash 均衡可视作矩阵博弈解的概念向非 零和、无限策略集、多人博弈的推广。
囚徒困境（Prisoner’s Dilemma)
双人博弈
Stag or Hare
n个猎人相约去打猎，猎场中有鹿和兔两种动 物，鹿的价值远大于兔的价值。每个猎人在打 猎时只能专注于一种猎物，猎到某猎物后他即 中止打猎。
参选需要支付成本b，当选可获得收益c。若未 当选或未参选另有损失d， d表示其主张与当 选人政纲的距离。
Nash均衡为何？是否应该自荐为候选人？
（和b，c大小以及本人观点与m 距离有关）
Cournot 双头垄断
两家垄断企业生产同一产品，生产单位 产品的成本为常数C。
若市场上该产品供应量为Q，则产品销售 价格为a-Q，其中a为一常数。
两败俱伤、同归于尽 美国得益、苏联受损 苏联得益、美国受损 互不侵犯、和平共处
美苏冷战
收益：由于实际情况的复杂性，参与者的收益 很
难精确量化，因此收益多表现为偏好或序关系。
美方偏好排序
苏方偏好排序
负无穷④ 美国强硬苏联强硬 ④负无穷
1 ① 美国强硬苏联妥协 ③ -1
-1 ③ 美国妥协苏联强硬 ① 1
对给出男（女）方最优稳定婚姻的算法，男 （女）方不可能通过提供虚假偏好顺序获得更 好的一组稳定婚姻。
谢谢
两家企业应如何选择各自的产量可使自 身获益最大。
Antoine Augustin Cournot（1801－ 1877）法国数学家、经济学家、哲学家
Cournot 双头垄断
最优反应函数
Nash均衡
联合
欺骗
Bertrand双寡头垄断
Bertrand双寡头垄断
最优反应函数
Nash均衡
（策略）方案的全体；所有参与者采取各自的 行动后形成的状态称为局势（outcome）。 收益（payoff）：各个参与者在不同局势下获 得的利益。 规则（rule）：对参与者行动的先后顺序、参 与者获知信息的多少等内容的具体规定。
美苏冷战
参与者：美国，苏联 行动集
美国：强硬、妥协 苏联：强硬、妥协 局势 美国强硬、苏联强硬 美国强硬、苏联妥协 美国妥协、苏联强硬 美国妥协、苏联妥协
博弈论与数学模型
主要内容
• 上篇：数学理论 • 博弈论概说 • 矩阵博弈 • Nash均衡和
Nash定理
• 下篇：数学模型 • Hotelling模型 • Cournot和Bertrand
模型
• 稳定婚姻问题
博弈与博弈论
• 博弈论（game theory）：研究利益存 在冲突的决策主体在相互依赖的条件下， 如何选择适当的策略实施以获得最大利 益。
Hotelling 模型
现有两家快餐连锁店拟在一条街道上开设分店。 居民住宅在街道上均匀分布，每人都会选择距
他住址较近的一家快餐店就餐（若距离相等则 随机选择一家）。 两家连锁店应分别在何处选址才能吸引较多的 顾客。 Harold Hotelling（1895-1973）美国数学 家、经济学家、统计学家
0 ② 美国妥协苏联妥协 ② 0
美苏冷战
研究博弈的重要内容之一是分析每个局 势是否会出现、是否会稳定。
当参与者只有两个时，博弈可以用简洁 的形式表示。
美苏冷战
美国强硬、苏联妥协是稳定点 美国妥协、苏联强硬是稳定点
美苏冷战
美国强硬、苏联强硬不会出现，美国妥协、苏联妥协 不会出现
冷战时期，美苏在世界各地争夺霸权，曾多次出现紧 张局势，但最后都以一方的妥协而告终，上述模型较 好地解释了这一现象。
Hotelling 模型
Hotelling 模型
Hotelling 模型
Hotelling 模型
最优反应函数
Nash均衡
(1/2,1/2)是Nash均衡，两家快餐店开在 同一地点，平分所有的客源。
该模型可推广为居民住址服从任意连续 分布的情形。若分布的中位数m为，则 Nash均衡为（m,m）。
矩阵博弈的混合策略
甲、乙的混合策略集分别为
设甲、乙采用的混合策略分别为， 甲的期望收益为
Von Neumann定理
线性规划
历史回眸
双矩阵博弈
零和的要求限制了矩阵博弈在经济学中的应用， 也阻碍了非合作博弈向多人推广。
对两人非零和有限博弈，双方收益需用两个矩 阵表示，称为双矩阵博弈（bimatrix game）。
申请式学校录取 用人单位与求职者双向选择 选择不同类型的算法可满足保护不同群
体利益的要求。
欺骗
机制设计
是否存在一种机制（算法），能鼓励参与者真 实表达意愿，即参与者不会因为虚假表达意愿 而获益。
给定任何一稳定婚姻问题的算法，参与者都可 以通过提供虚假偏好顺序而获得更好的一组稳 定婚姻。
Borel等数学家相继给出了若干博弈论结论。 • 1944年，von Neumann和Morgenstern著作
《Theory of Games and EconomicBehavior》出 版，这是博弈论正式形成的标志。 Princeton Press，1944
博弈论的发展简史
1950-1953年，Nash先后发表四篇论文，提 出了Nash均衡，讨价还价等一系列重要概念。
非合作博弈的分类
根据参与者是否同时行动：静态博弈， 动态博弈
根据参与者掌握信息的多少：完全信息 博弈，不完全信息博弈
对策论v.s. 博弈论
数学v.s. 经济学
博弈论和数学建模
矩阵博弈
• 参与者为两人：甲、乙 • 每人的可行策略集为有限集： • 两人收益之和为零，博弈可用一矩阵、即甲的收益矩
三方竞争
选举
候选人政纲和选民主张均可抽象为一实 数。选举时选民投票给政纲距本人主张 最接近的候选人。获得最多选民支持的 候选人当选。
实行两党制的国家在竞选时两党的政纲 区别不大，旨在争取中间选民。实行多 党制的国家政党分分合合，政府更迭频 繁。
竞争上岗
每位选民都可以自荐为候选人，其政纲即为本 人主张。
• 研究对象不是客观规律，而是带有主动 性的人的活动。
• 最优不是绝对的，而是现有主客观条件 下的理想结果。
博弈论的发展简史
• 古代文献中的朴素博弈论思想 • 田忌赛马（中国，春秋时代） • Talmud中的债务分摊原则（以色列，公元6世 纪前） • 自二十世纪二十年代起，von Neumann，Zermelo，
极大极小原则
鞍点
矩阵博弈
纯策略和混合策略
若参与者每次行动都选择某个确定的策 略，我们称之为纯策略（pure strategy）。
若参与者行动时可以以一定的概率分布 选择若干个不同的策略，这样的策略称 为混合策略（mixed strategy）。
• 在混合策略意义下，参与者的收益实质 上表现为期望。
算法
最优性
称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在 该组婚姻中，每位男士都认为其配偶不 比任何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。
男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必 是女方最劣的。
“男士选择，女士决定”算法给出的总 是一组“男方最优” 的稳定婚姻。
稳定婚姻问题的应用
稳定婚姻（stable marriage）及衍生 问题在理论上具有重要的意义，在实践 中发挥了巨大的作用。
稳定婚姻问题
稳定婚姻问题
算法
“男士选择，女士决定” 每位男士都选择他最钟爱的女士。 如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这
几位男士中除了她最喜欢的之外，对其他男士 都表示拒绝。 被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒 绝之外的最满意女士。如果存在冲突（包括和 之前选择某女士的男士发生冲突），则再由相 应的女士决定拒绝哪些男士。 以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。
1960年，Lemke和Howson给出了求解双矩 阵博弈解的算法，但该算法是指数时间的。
John Forbes Nash
Nash 均衡
完全信息静态博弈的某个局势称为Nash 均衡（Nash equilibrium），若每一个 理性的参与者都不会单独偏离它。即在 其他参与者的策略不变情况下，单独采 取其他策略，收益不会增加。
二十世纪六七十年代起，经济学、社会学和生 物学领域开始大量应用博弈论，并逐渐在经济 学界取得重要地位。
• 1994年，三位博弈论研究者Nash， Harsanyi，Selten获诺贝尔经济学奖，博弈 论开始走入大众视野。
博弈的要素
参与者（player） ：参与博弈的决策主体。 行动（actions）：参与者可以采取的行动
Nash均衡的数学定义
最优反应函数
不动点定理
Nash 定理
（Nash 定理）设参与者数目有限，每位参与 者策略集均有限，收益函数为实值函数，则博 弈必存在混合策略意义下的Nash均衡。
Nash 定理的证明只是一个存在性证明，并没 有给出Nash均衡的求法。Nash均衡（或近似 Nash均衡）的算法与复杂性问题是近年来理 论计算机科学的关注热点。
一头鹿需要所有人协力才能捕获，一只兔只要 单人努力即可捕获，所有人协力获得的猎物收 益由所有人平分。
所有人捕鹿或所有人捕兔是两个Nash均衡。
Nash 均衡的性质
Nash 均衡是理性参与者在动态决策过程 中可以预见的终极局势。
Nash 均衡具有稳定性，一经形成后不用 外力即可维持。
Nash 均衡从整体而言未必是最优局势， 也未必是每个参与者的最优选择。
Braess悖论
Braess悖论
Shapley 网络设计问题
现有一由若干节点和线路组成的通讯网 络，每个使用者可借此网络建立两点之 间的通讯联系，为此需向网络所有商购 买线路使用权。
每条线路价格不同。若多个使用者共同 使用某线路，费用由这些使用者分摊。
Shapleቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 网络设计问题
Shapley 网络设计问题
矩阵博弈的解即为Nash 均衡，因此 Nash 均衡可视作矩阵博弈解的概念向非 零和、无限策略集、多人博弈的推广。
囚徒困境（Prisoner’s Dilemma)
双人博弈
Stag or Hare
n个猎人相约去打猎，猎场中有鹿和兔两种动 物，鹿的价值远大于兔的价值。每个猎人在打 猎时只能专注于一种猎物，猎到某猎物后他即 中止打猎。
参选需要支付成本b，当选可获得收益c。若未 当选或未参选另有损失d， d表示其主张与当 选人政纲的距离。
Nash均衡为何？是否应该自荐为候选人？
（和b，c大小以及本人观点与m 距离有关）
Cournot 双头垄断
两家垄断企业生产同一产品，生产单位 产品的成本为常数C。
若市场上该产品供应量为Q，则产品销售 价格为a-Q，其中a为一常数。
两败俱伤、同归于尽 美国得益、苏联受损 苏联得益、美国受损 互不侵犯、和平共处
美苏冷战
收益：由于实际情况的复杂性，参与者的收益 很
难精确量化，因此收益多表现为偏好或序关系。
美方偏好排序
苏方偏好排序
负无穷④ 美国强硬苏联强硬 ④负无穷
1 ① 美国强硬苏联妥协 ③ -1
-1 ③ 美国妥协苏联强硬 ① 1
对给出男（女）方最优稳定婚姻的算法，男 （女）方不可能通过提供虚假偏好顺序获得更 好的一组稳定婚姻。
谢谢
两家企业应如何选择各自的产量可使自 身获益最大。
Antoine Augustin Cournot（1801－ 1877）法国数学家、经济学家、哲学家
Cournot 双头垄断
最优反应函数
Nash均衡
联合
欺骗
Bertrand双寡头垄断
Bertrand双寡头垄断
最优反应函数
Nash均衡
（策略）方案的全体；所有参与者采取各自的 行动后形成的状态称为局势（outcome）。 收益（payoff）：各个参与者在不同局势下获 得的利益。 规则（rule）：对参与者行动的先后顺序、参 与者获知信息的多少等内容的具体规定。
美苏冷战
参与者：美国，苏联 行动集
美国：强硬、妥协 苏联：强硬、妥协 局势 美国强硬、苏联强硬 美国强硬、苏联妥协 美国妥协、苏联强硬 美国妥协、苏联妥协
博弈论与数学模型
主要内容
• 上篇：数学理论 • 博弈论概说 • 矩阵博弈 • Nash均衡和
Nash定理
• 下篇：数学模型 • Hotelling模型 • Cournot和Bertrand
模型
• 稳定婚姻问题
博弈与博弈论
• 博弈论（game theory）：研究利益存 在冲突的决策主体在相互依赖的条件下， 如何选择适当的策略实施以获得最大利 益。
Hotelling 模型
现有两家快餐连锁店拟在一条街道上开设分店。 居民住宅在街道上均匀分布，每人都会选择距
他住址较近的一家快餐店就餐（若距离相等则 随机选择一家）。 两家连锁店应分别在何处选址才能吸引较多的 顾客。 Harold Hotelling（1895-1973）美国数学 家、经济学家、统计学家
0 ② 美国妥协苏联妥协 ② 0
美苏冷战
研究博弈的重要内容之一是分析每个局 势是否会出现、是否会稳定。
当参与者只有两个时，博弈可以用简洁 的形式表示。
美苏冷战
美国强硬、苏联妥协是稳定点 美国妥协、苏联强硬是稳定点
美苏冷战
美国强硬、苏联强硬不会出现，美国妥协、苏联妥协 不会出现
冷战时期，美苏在世界各地争夺霸权，曾多次出现紧 张局势，但最后都以一方的妥协而告终，上述模型较 好地解释了这一现象。
Hotelling 模型
Hotelling 模型
Hotelling 模型
Hotelling 模型
最优反应函数
Nash均衡
(1/2,1/2)是Nash均衡，两家快餐店开在 同一地点，平分所有的客源。
该模型可推广为居民住址服从任意连续 分布的情形。若分布的中位数m为，则 Nash均衡为（m,m）。
矩阵博弈的混合策略
甲、乙的混合策略集分别为
设甲、乙采用的混合策略分别为， 甲的期望收益为
Von Neumann定理
线性规划
历史回眸
双矩阵博弈
零和的要求限制了矩阵博弈在经济学中的应用， 也阻碍了非合作博弈向多人推广。
对两人非零和有限博弈，双方收益需用两个矩 阵表示，称为双矩阵博弈（bimatrix game）。
申请式学校录取 用人单位与求职者双向选择 选择不同类型的算法可满足保护不同群
体利益的要求。
欺骗
机制设计
是否存在一种机制（算法），能鼓励参与者真 实表达意愿，即参与者不会因为虚假表达意愿 而获益。
给定任何一稳定婚姻问题的算法，参与者都可 以通过提供虚假偏好顺序而获得更好的一组稳 定婚姻。
Borel等数学家相继给出了若干博弈论结论。 • 1944年，von Neumann和Morgenstern著作
《Theory of Games and EconomicBehavior》出 版，这是博弈论正式形成的标志。 Princeton Press，1944
博弈论的发展简史
1950-1953年，Nash先后发表四篇论文，提 出了Nash均衡，讨价还价等一系列重要概念。
非合作博弈的分类
根据参与者是否同时行动：静态博弈， 动态博弈
根据参与者掌握信息的多少：完全信息 博弈，不完全信息博弈
对策论v.s. 博弈论
数学v.s. 经济学
博弈论和数学建模
矩阵博弈
• 参与者为两人：甲、乙 • 每人的可行策略集为有限集： • 两人收益之和为零，博弈可用一矩阵、即甲的收益矩
三方竞争
选举
候选人政纲和选民主张均可抽象为一实 数。选举时选民投票给政纲距本人主张 最接近的候选人。获得最多选民支持的 候选人当选。
实行两党制的国家在竞选时两党的政纲 区别不大，旨在争取中间选民。实行多 党制的国家政党分分合合，政府更迭频 繁。
竞争上岗
每位选民都可以自荐为候选人，其政纲即为本 人主张。
• 研究对象不是客观规律，而是带有主动 性的人的活动。
• 最优不是绝对的，而是现有主客观条件 下的理想结果。
博弈论的发展简史
• 古代文献中的朴素博弈论思想 • 田忌赛马（中国，春秋时代） • Talmud中的债务分摊原则（以色列，公元6世 纪前） • 自二十世纪二十年代起，von Neumann，Zermelo，