博弈论(轮流讨价还价模型)

Rubinstein 模型
• 两个参与人：参与人1和参与人2 • 两个参与人分割一块蛋糕 参与人1先出价，参与人2可以接受或拒绝。如果参与 人2接受，博弈结束，蛋糕按参与人1的方案分配；如果参 与人2拒绝，再由参与人2出价(还价)，参与人1可以接受 或拒绝；如果参与人1接受，博弈结束，蛋糕按参与人2的 方案分配；如果参与人1拒绝，参与人1再出价„„如此一 直下去，直到一个参与人的出价被另一个参与人接受为止。
• “耐心优势” 有绝对耐心的人总可以通过拖延时间使自己独吞蛋糕 • 一般情况下也是成立的：给定其他情况(如出价次序)，越 有耐心的人得到的份额越大。
• 这在我们的生活中是非常常见的现象： 非常急切想买到物品的买方往往要以高一些的价格购 得所需之物；急切于推销的销售人员往往也是以较低的价 格卖出自己所销售的商品。正是这样，富有购物经验的人 买东西、逛商场时总是不紧不慢，即使内心非常想买下某 种物品都不会在商场店员面前表现出来；而富有销售经验 的店员们总是会劝说顾客，“这件衣服卖得很好，这是最 后一件”之类的陈词滥调。 又例如，在农贸市场买菜时，退休老太太有充分多的 时间去捕捉价格信息和与小贩讨价还价，她们有足够的耐 心与小贩周旋，因而菜贩们一般不会在她们那里赚多少钱。
• 假定T=4，参与人2最后出价。 参与人2在t=2时最大可得（1-δ 1（1-δ 2）），因此， 参与人1在t=1时将出价1- x1=δ 2（1-δ 1（1-δ 2））
• 子博弈精炼均衡结果是x=1-δ 2（1-δ 1（1-δ 2））
• 假定T=5, „„
• 从上面的例子可以看出，如果δ 1=δ 2=0，不论T为多少，子 博弈精炼均衡结果是x=1；就是说，如果两个参与人都是绝 对无耐心的（下阶段的任何支付等价于本阶段的0)，第一 个出价的参与人得到整个蛋糕。 • 如果δ 2=0，不论δ 1为多少，子博弈精炼均衡结果仍然是 x=1 • 但是，如果δ 1=0，δ 2＞0，子博弈精炼均衡结果是x=1-δ
从t-2时开始的博弈与从t开始的博弈完全相同 参与人1在t-2期能得到的最大份额一定与其在t期得到 的最大份额相同，因此我们有： x1=M=1-δ 2（1-δ 1M） 解上式得 1 2 M 1 1 2
• 假定参与人1在t期能得到的最小份额为m t期的m等价于t-1期的δ 1m，参与人2在t-1期最多得到 1-δ 1m。因为t-1期的1-δ 1m等价于t-2期的δ 2（1-δ 1m）， 参与人1在t-2期至少得到x1=1-δ 2（1-δ 1m）。因此我们 有： x1=m=1-δ 2（1-δ 1m） 解上式得： 1
• 无限期完美信息博弈，参与人1在时期1,3,5，„出价，参 与人2在时期2,4,6，„出价。
Rubinstein 模型
• x表示参与人1得到的份额，（1-x）表示参与人2得到的的 份额 • x1和(1- x1)分别是参与人1出价时，参与人1和参与人2的 份额 • x2和（1- x2）分别是参与人2出价时，参与人1和参与人2 的份额。 • 假定参与人1和参与人2的贴现因子分别为δ 1和δ 2。这样， 如果博弈在时期t结束，t是参与人i的出价阶段，参与人1 的支付的贴现值是
2
• 假定δ 1=δ 2=1(即双方都有无限的耐心) 如果T=1,3,5，„，均衡结果是x=1 如果T=2,4,6，„，均衡结果是x=0 • “后动优势” 其原因是，给定δ i=1，如果参与人i最后出价，他将拒 绝任何自己不能得到整个蛋糕的出价，一直等到博弈的最 后阶段得到整个蛋糕。 • 一般来说，如果0＜δ i＜1，i=1,2，均衡结果不仅依赖于 贴现因子的相对比率，而且依赖于博弈时期长度T和谁在 最后阶段出价。
• 假定T=3，在最后阶段，参与人1出价，他可以得到的最大 份额是x1=1。 • 参与人1在t=3时的1单位，等价于t=2时的δ 1单位，如果 参与人2在t=2时出价x2=δ 1，参与人1将会接受。 • 参与人2在t=2时的（1-δ 1）单位，等价于t=1时的δ 2（1δ 1）单位，如果参与人1在t=1时出价1- x1=δ 2（1-δ 1）， 参与人2将会接受。 • 子博弈精炼均衡结果是x=1-δ 2（1-δ 1）
• 假定在时期t≥3参与人1出价，参与人1能得到的最大份额 是M 对参与人l而言，t期的M等价于t-1期的δ 1M，参与人2 知道在t-1期的任何 x2≥δ 1M 的出价将被参与人1接受， 因此参与人2出价x2=δ 1M，自己得到1-δ 1M
对参与人2而言，t-1期的1-δ 1M 等价于t-2期的δ 2 （1-δ 1M），参与人1知道在t-2期的任何1- x1≥δ 2（1δ 1M）出价将被参与人2接受，因此参与人1出价x1=1-δ 2 （1-δ 1M），参与人2得δ 2（1-δ 1M）
m 1 1 2
2
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• 因为参与人1能得到的最大份额与最小份额相同，均衡结 果是唯一的：
1 2 x 1 1 2
• 子博弈精炼均衡结果是参与人贴现因子(耐心程度)的函数 • 特别地，给定δ 2，当δ 1→1时，x=1，即参与人1得到整个 蛋糕；给定δ 1，当δ 2→1时，x=0，参与人2得到整个蛋糕。
轮流出价的讨价还价模型
• 在经济生活中，不管是日常的商品买卖还是到国际贸易乃 至重大政治谈判，都存在着讨价还价的问题。
• 比如中国加入WTO的时候，为了国家或民族利益与许多发 达国家讨价还价，进行了漫长而又艰难的谈判。 比如发达国家首先对中国提出一个要求，中国决定是 接受还是不接受，假如中国不接受，可以提出一个相反的 建议，或者等待发达国家从新调整自己的要求。这样，双 方相继行动，轮流提出谈判要求，形成了一个多阶段的动 态博弈。
感悟
对于任何实际的谈判，谈判者要注意：
首先,采取后发制人的方法，根据对方的行动来行动； 其二，尽量摸清对方的底牌，了解对方的心理，根据对 方的想法来制订自己的谈判策略； 其三，就是耐性，谈判者中能够忍耐的一方将获得利益， 这一点凭借直觉可以判断，越是急于结束谈判的人将会越 早让步妥协，或作出越大的让步。
1 1t 1 xi
t 1 2
参与人2的支付的贴现值是
2 (1 xi )
• 先讨论有限期博弈的情况（逆向归纳法求解） • 首先假定博弈只进行两个时期 T=2时，最后阶段参与人2出价，如果他提出x2=0，参 与人1会接受，因为参与人1不再有出价的机会。
• 参与人2在t=2时得到1单位等价于在t=1时的δ 2单位，如 果参与人1在t=1时出价1- x1≥δ 2，参与人2会接受。 • 子博弈精炼均衡结果是参与人1得到x= x1=1-δ 2，参与人2 得到1-x=δ 2
• 由上述例子可以引申出讨价还价的两种成本 • 贴现率可理解为讨价还价中的一种成本，类似蛋糕随时间 推延而不断缩小，每轮讨价还价的成本与剩余的蛋糕成比 例 • 另一种成本是固定成本 譬如煤电博弈中，2003-2005年的电荒使得电力企业 加大发电机组的投资力度（尤其是火电），面对随之而来 的电煤价格上涨，如果年初的煤炭供销会未达成价格共识 （签约数量极低），企业要承受资产专用性即发电机组空 置的耗损（固定成本）和不能完成发电合同所带来的两种 损失。
无限期轮流出价博弈 • 唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是：
x 1 2 （如果δ 1=δ 2=δ ，x=1/（1+δ ）） 1 1 2
• T=∞，博弈没有最后阶段，我们不可能使用逆向归纳法求 解 • 从参与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等价于从t=1 开始的整个博弈，我们可以应用有限阶段逆向纳归法的逻 辑寻找子博弈精炼均衡