第一讲经典计量经济学模型1

( ei2 )
bˆ j
0
11
数量分析方法
即
((bbˆˆ00(bˆb0bˆˆ11XXb1ˆ1i1i Xb1bˆiˆ22i XXbˆ222ii
X 2i bˆk bˆk X ki bˆk X ki
百度文库
X ki ) ) X 1i ) X 2i
Yi Yi X 1i Yi X 2i
(bˆ0 bˆ1 X 1i bˆ2 X 2i bˆk X ki ) X ki Yi X ki
Yn
1
X1n
X k1 β0 u1
X
k
2
β1
u2
X
kn
βk
un
Y
βu
n1 n k +1 k 11 n1
总体回归函数 E Y X = Xβ 或
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ
或 Y = Xβˆ + e
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数量分析方法
多元线性回归模型的基本假定
假定1：零均值假定 E(ui Xi ) 0, i 1, 2, , n 假定2：同方差假定
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数量分析方法
多元样本回归函数
Y的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
Yˆi bˆ0 bˆ1X1i bˆ2 X2i ... bˆk Xki 或 Yi bˆ0 bˆ1X1i bˆ2 X2i ... bˆk Xki ei
其中，ei为残差项：
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数量分析方法
多元线性回归模型的矩阵表示
k个解释变量的多元线性回归模型的n个观测 样本，可表示为
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数量分析方法
1、多元回归的拟合优度检验
总变差的分解
分析Y 的观测值、估计值与平均值的关系
Yi Y (Yˆi Y ) (Yi Yˆi )
将上式两边平方加总，可证得
(Yi Y )2 (Yˆi Y )2 (Yi Yˆi )2
的方差和标准误差：
可以证明 的方差-协方差矩阵为
Var - Cov(βˆ) σ2(X X )-1
Var( βˆ j ) σ 2cjj
SE(
βˆ
j
)
σ
c jj
其中 c jj 是矩阵 ( X X )-1 中第j行第j列的元素
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数量分析方法
4、随机扰动项方差 2的估计
多元回归中 σ 2的无偏估计为：
4
数量分析方法
多元总体回归函数
Y的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
E(Yi X1i , X 2i ,..., X ki ) b0 b1X1i b2 X 2i ... bk X ki
总体回归函数也可表示为:
Yi b0 b1X1i b2 X2i ... bk Xki ui
其中，ui是随机误差项，代表排除在模型以外的 所有因素对Y的影响。
用矩阵表示
n
X 1i
X ki
X 1i
X
2 1i
X ki X 1i
X ki
X 1i X
X
2 ki
ki
bˆ 0 bˆ1
bˆ k
1 X 11
X k1
1 X 12
X k2
1 Y1 X 1n Y2 X kn Yn
X Xβˆ = X Y
bˆ ( X X )-1 X Y
Y1 b0 b1X11 b2 X 21 ... bk X k1 u1 Y2 b0 b1X12 b2 X 22 ... bk X k2 u2
Yn b0 b1X1n b2 X 2n ... bk X kn un
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数量分析方法
矩阵形式
Y1 1 X11
Y2
1
X12
σˆ2
ei2
n - k -1
小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标准 化变换，所得的统计量服从t分布：
t
βˆk - βk
SE(
βˆk
)
~
t(n
-
k -1)
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数量分析方法
三、多元线性回归模型的检验
1、多元回归的拟合优度检验（R2检验） 2、回归方程的显著性检验（F检验） 3、各回归系数的显著性检验（t检验）
条件？
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数量分析方法
i
ei 0
Xijei 0 j 1, 2, , k
i
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数量分析方法
2、OLS估计式的性质
（1）线性特征: βˆ = X X -1 X Y
βˆ 是Y 的线性函数，因 X X -1 X 是非随机的
（2）无偏特性: E( βˆk ) βk
（3）最小方差特性
在 βk 所有的线性无偏估计中，OLS估计βˆk 具有最小方差
数量分析方法
专题一 经典计量经济学模型
1
数量分析方法
专题一 经典计量经济学模型
第一节 经典多元线性回归模型 第二节 异方差性 第三节 序列相关性 第四节 多重共线性 第五节 虚拟变量模型 第六节 滞后变量模型
2
数量分析方法
第一节 经典多元线性回归模型
一、多元线性回归模型的基本假定 二、多元线性回归模型参数的最小二乘估计 三、多元线性回归模型的检验
假定6：正态性假定 ui ~ N (0, σ 2 )
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数量分析方法
二、普通最小二乘法（OLS）
1、普通最小二乘法
残差平方和最小： min ei2 (Yi -Yˆi )2
min ei2 Yi - (bˆ0 bˆ1X1i bˆ2 X2i ... bˆk X ki )2
上式对bj求偏导,令其为0:
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估计式是最佳线 性无偏估计式（BLUE）。
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数量分析方法
3、OLS估计的分布性质
基本思想
ui~N(0,s2)
Yi~N(b0+b1X1i…+bkXki,s2)
bˆk 是Y的线性函数 bˆk 服从正态分布
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数量分析方法
bˆ 的期望 E(bˆ) b (由无偏性)
3
数量分析方法
一、多元线性回归模型的基本假定
对于有k个解释变量的线性回归模型
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i ... bk X ki ui
模型中 b j ( j 0,1,..., k) 是偏回归系数，i=1,2, …n
偏回归系数bj：在其它解释量不变的条件下，第j
个解释变量的单位变化对被解释变量平均值的影 响。
Var(ui Xi ) 2 , i 1, 2, , n
假定3：无自相关假定 Cov(ui ,u j Xi , X j ) 0, i, j 1, 2, , n, i j
假定4：随机扰动项与解释变量不相关 Cov( Xi , ui ) 0, i 1, 2, , n
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数量分析方法
假定5：无多重共线性假定 假定各解释变量之间不存在线性关系（线性无 关），亦即解释变量观测值矩阵X列满秩。 Rank( X X ) k 1