DSP6-2

s=K
1− z −1 1+ z −1
K +s z= K −s
其中K(或者 为常数 其中 或者C)为常数 ， 可根据设计要 或者 为常数， 求选取。 求选取。 由于从S→Z 和从 和从Z→S 的映射规则都是分 由于从 式线性变换，因此称其为双线性变换。 式线性变换，因此称其为双线性变换。 双线性变换完成S平面和 平面的单值映射 双线性变换完成 平面和Z平面的单值映射，这种映 平面和 平面的单值映射， 射是简单的代数关系， 射是简单的代数关系，因此用双线性变换法可以方便地 设计数字滤波器。注意， 设计数字滤波器。注意，它同冲激响应不变法和阶跃响 应不变法映射关系的区别。 应不变法映射关系的区别。
1−z−1 s=2 −1 1+z
0.0007378(1+ z−1)6 = (1−1.268z−1 + 0.7051z−2 )(1−1.010z−1 + 0.358z−2 ) 1 1− 0.9044z−1 + 0.2155z−2
例题二
用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
例题二
用冲激响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性
例题二
(2) 用双线性变换法设计数字低通 滤波器。 滤波器。 ① 数字低通技术指标仍为 ωp=0.2π,αp=1dB; dB; ωs=0.3π,αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为 T=1s, p=0.2πrad/s,αp=1dB; s=0.3πrad/s,αs=15dB
例题一
(4)利用双线性变换公式，得到数字滤波器系统函数H(z) 利用双线性变换公式，得到数字滤波器系统函数H(z)
H(z) = Ha (s) s= 2 −1+z
T 1+z
0.1908(1+ z−1)4 = (1− 0.9679z−1 − 0.7886z−2 )(1−1.25787z−1 − 0.4909z−2 )
例题一
对数字滤波器的边界频率点预畸， ( 2 ) 对数字滤波器的边界频率点预畸， 得中间模拟滤波器的 设计指标
Ω 据双线性变换频率变换公式： 据双线性变换频率变换公式： = K tan
ω
2
，得到模拟滤波器
性能指标(我们取K＝1)。 性能指标(我们取K 通 带： 0
tan(0 16π) -- tan(0.16 )，1dB 波 动
例题二
③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶 设计巴特沃斯低通滤波器。 dB截止频率 数N及3dB截止频率 c。
N ≥ l 1 g[ 0
01 p . α
=5.884 N取 6
Ωc = (10
−1 ] 01 s . α 1 0 −1 Ωp 2l g( ) Ωs
Ωp
0.1 P α 1 −1) 2N
= (10
例题一
用双线性变换法设计一滤波器滤除心电信号的50Hz的干扰。 用双线性变换法设计一滤波器滤除心电信号的50Hz的干扰。 50Hz的干扰 已知：fs=250 250Hz 已知：fs=250Hz 设计要求： 设计要求： 通 带：0 ～40HZ，1dB 波 动 40HZ， HZ 50HZ HZ～ 15dB 阻 带：50HZ～ 无 穷，≥15dB 衰 减 15 解答： 解答： (1) 确定数字滤波器性能指标 由数字频率和模拟频率的关系ω＝ΩT=2πf / fs， 由数字频率和模拟频率的关系ω ΩT=2 fs， 2π × 40 2π ×50 ωp = = 0.32π ωs = = 0.4π 250 250 数字滤波器性能指标： 32π， 数字滤波器性能指标： 通 带：0 ～0.32 ，1dB 波 动 15dB 阻 带：0.4 ～π，15dB 衰 减
例题二
设计低通数字滤波器， 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率 低于0 容许幅度误差在1dB以内 以内； 低于0.2π时，容许幅度误差在1dB以内；在频 之间的阻带衰减大于15dB。 率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模 拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。 拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器 。 试分别 用冲激响应不变法和双线性变换法设计滤波 器。
tan(0.2π) 阻 带： tan(0.2 ) -- ∞ )，15dB 衰 减 (3) 模拟滤波器设计，我们用切贝雪夫滤波器逼近。 模拟滤波器设计，我们用切贝雪夫滤波器逼近。
Ha (s) =
0.02517 (s 2 + 0.15234 s + 0.2981)(s 2 + 0.3704 s + 0.08445 )
Ωs
0.1 s α 1 −1) 2N
c=0.7032rad/s
例题二
根据阶数N=6 根据阶数N=6，查表得到归一化传输函数为
1 Ha ( p) = 1+ 3.8637 p + 7.4641p2 + 9.1416p3 + 7.4641p4 + 3.8637 p5 + p6
为去归一化， 为去归一化，将p=s/
例题二
③ 设计巴特沃斯低通滤波器。计算阶数N： 设计巴特沃斯低通滤波器。计算阶数N N≥5.306 取N=6
由 N=6、 c、 s、αs 计 算 出 c=0.7662rad/s。 这 样 、 。 阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。 阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。
根 据 N=6， 查 表 得 到 的 归 一 化 传 输 函 数 N=6 Ha(p) 与脉冲响应不变法得到的相同 。 为去归 (p)与脉冲响应不变法得到的相同 与脉冲响应不变法得到的相同。 一化， 代入H (p)，得实际的H (s)， 一化，将p=s/ c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，
Ω = K tan Ω1T 2
如上图所示。 如上图所示。
因此， 双线性变换法避免了混叠失真， 因此 ， 双线性变换法避免了混叠失真 ， 却带来了非线性的频率失真。 却带来了非线性的频率失真。
所以这种方法 不适于设计线性相位的数字滤波器。 ① 不适于设计线性相位的数字滤波器。 ② 它要求模拟滤波器的幅频响应是分段常数型一 般的低通、 般的低通、 高通、带通、带阻型滤波器的频率响应特性） 高通、带通、带阻型滤波器的频率响应特性）。 对于分段常数型滤波器，由于双线性变换法带来的频率失真， 对于分段常数型滤波器，由于双线性变换法带来的频率失真， 各分段边缘的临界频率点产生畸变， 各分段边缘的临界频率点产生畸变，我们要通过频率预畸加以 校正。 校正。 频率预畸是为了保证模拟原型滤波器经过双线性变换后的数 字滤波器，在分段边缘的频率点上与所要求的保持一致， 字滤波器，在分段边缘的频率点上与所要求的保持一致，而将 模拟原型滤波器临界频率点提前加以畸变的过程。 模拟原型滤波器临界频率点提前加以畸变的过程。 预畸公式： 预畸公式：Ω = K tan 为常数。 为常数。
ω
2
为模拟频率， 为数字频率 为数字频率， 其中 为模拟频率， ω为数字频率， K
6.3.2 K值的确定
1 ） 模拟滤波器和数字滤波器的频率特性在低 频部分有较确切的对应关系，即当Ω 较小时有： 频部分有较确切的对应关系，即当Ω1较小时有：
ΩT ΩT Ω = K tan 1 = K 1 2 2
2 =Ω1 Ω =Ω1即： K = T
H(z) = Ha (s) s= 2 −1+z
T 1+z
通常给定的参数为：低通数字滤波器通带边界频率 ωp(或 1p=2πfp) 、阻带边界频率 (或 1s=2πfs)和对应的通 阻带边界频率ωs 或 或 和对应的通 带衰减函数αp、阻带衰减函数αs 其中s 带衰减函数 、阻带衰减函数 ，其中s1平面中的模拟角频 与数字角频率ω的关系 的关系ω= 1T 率 1与数字角频率 的关系
2）在某一特定频率两者有严格对应 例如： 例如：截止频率 ωc
= Ω1cT 即：
Ω1cT ω = K tan c 2 2
Ωc = K tan
双线性变换法设计IIR IIR低通数字滤波 6.3.3 双线性变换法设计IIR低通数字滤波 器的基本原理和算法
对于低通数字滤波器 s = K T为抽样周期
1− z −1 1+ z −1 2 1− z −1 2 −1+ z = = −1 T 1+ z T 1+ z
Ω1T 2 2πTf 2 2 ω Ω = tan = tan = t定指标。 根据要求，设定指标。 2、将各分段频率临界点预畸。 将各分段频率临界点预畸。 3、将数字滤波器性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。 将数字滤波器性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。 4、根据设计要求，选定双线性变换常数K（或者C）。 根据设计要求，选定双线性变换常数K 或者C 5、设计中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 设计中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 Ha(s) 6、将代入Ha(s)中，得到数字滤波器系统函数。 将代入Ha(s)中 得到数字滤波器系统函数。 Ha(s)
例题二
解 (1) 用冲激响应不变法设计数字低通 滤波器。 滤波器。 ① 数字低通的技术指标为 ωp=0.2π,αp=1dB; dB; ωs=0.3π,αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为 T=1s, p=0.2πrad/s,αp=1dB; T=1 p=0 dB; 15dB s=0.3πrad/s,αs=15dB
Ha (s) = 0.2024 (s2 + 0.396s + 0.5871)(s2 +1.083s + 0.5871)(s2 +1.480s + 0.5871)
例题二
④ 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)： 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器 转换成数字滤波器H(z)：
H(z) = Ha (s)
代入H 中 得到实际的传输函数H c代入 a(p)中，得到实际的传输函数 a(s),
Ω6 2 Ha (s) = 6 s + 3.8637Ωcs5 + 7.4641Ω2s4 + 9.1416Ω3s3 + 7.4641Ω4s2 + 3.8637Ω5s +Ω6 c c c c c = 0.1209 s6 + 2.716s5 + 3.691s4 + 3.179s3 +1.825s2 + 0.121s + 0.1209