高中数学联赛平面几何重点——梅涅劳斯定理
平面几何地几个重要地定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE//BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ ''''''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆ C BA1A 1B 1C 三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习Z Y X 2ABC Z Y X 1ZBAZYA CY XC BX BDEAZB AZ AF DC YA CY CEFBXC BX AF AE 1FBAFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆∆ =⋅⋅==⋅⋅共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VBUC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆MQRACPB；相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’‘M CR BQ AP R R AB R R RB ARB R AR BR AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB ARQA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCMACMABMBCMACM ABMCMP BMP ACP ABP 111=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1交于一点；成立，即而显然有：我们只须证明，，，的中线证明：记ABC AB CBC A BA B C AC A B CB C A BA B C AC AB CBC A BA B C AC CC BB AA ABC ∆∴=⋅⋅====⋅⋅∆1,,1111111111111111111111分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2ABCP P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ⊥∠∆，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2CB A1A 1B 1C CBA1A 1B 1CABCP P AN BM CK BLBCAC AL BLBCAC AL BLBCNB BK BKC BNL ACALAK AM AKC AML NBBKAK AM CNMC AKBKNB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK ABCK ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒∆≅∆=⇒∆≅∆=⋅==⋅⋅⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1111FDAEDA ANAM BF BD AF CE CD AE FBAFEA CE DC BD P CF BE AD BFBDAF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF ANF CDE AME BC MN BCAD ∠=∠∴=∴⋅=⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴∆≅∆∆≅∆⊥1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故三线共点；、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=∠=∠=∠=∠=∠∆,,3K LNMCBAFDAEDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3ANAM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。
高二数学竞赛讲义11平面几何中的几个重要定理0平面几何知识点总结
平面几何的几个重要定理4.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：1PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l .1=⋅⋅∆∆RBAR QA CQ ，则、、长线分别交于或它们的延、、的三边并且与的顶点，不经过梅涅劳斯定理：若直线三点共线；、、，则，这时若或数为边上的点的个三点中，位于、、并且三点，上或它们的延长线上的、、三边的分别是、、梅涅劳斯逆定理：设R Q P 1PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P .2=⋅⋅∆∆RB AR QA CQ 1:.3=⋅⋅∆RBAR QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 条件是三线共点的充要、、边上的点，则、、的分别是、、塞瓦定理：设M Q R A CP B ；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BDAC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅三点共线；、、则，、、的垂线，垂足分别为、、作外接圆上一点西姆松定理：若从F E D F E D AC AB BC P ABC ∆.5的外接圆上；在则在同一直线上，、、若其垂足作垂线，的延长线或它们的三边向点西姆松的逆定理：从一ABC P N M L ABC P ∆∆)(.6；，则、于分别交和，连接和弦任意引的中点蝴蝶定理：一个圆的弦NP MP N M AB CF DE EF CD P AB =.7 ;2.8GH OG H G O H G O ABC =∆且三点共线，、、，则、、分别为的外心、重心、垂心欧拉定理：设 三线共点。
、、则，、、外面，做三个正三角形的的小于费马点：在每个内角都''''''120.9CC BB AA ABC CAB BCA ABC ∆︒三角形。
平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理（一）梅涅劳斯定理一、基础知识梅涅劳斯定理 若直线l 不经过△ABC 的顶点，并且与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线分别交于P 、Q 、R ，则1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅= 梅涅劳斯定理的逆定理 设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线上的三点（并且P 、Q 、R 三点中，位于△ABC 边上的点的个数为0或2），若1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅=，则P 、Q 、R 三点共线.由和分比定理可得R R '∴与重合 ∴P 、Q 、R 三点共线二、典型例题与基本方法1. 恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1 如图，在四边形ABCD 中，△ABD 、△BCD 、△ABC 的面积之比是3∶4∶1，点M 、N 分别在AC 、CD 上，满足AM ∶AC =CN ∶CD ，且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点.A BC DM N1A B C C B A C A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：BP 1PC CQ AR PQ AB R QA R B ''⋅⋅='证：设直线与直线交于，于是由梅氏定理得：BP 1PC CQ AR AR AR QA RB R B RB '⋅⋅='又，则：＝AR AR AB AB'＝2. 梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2 点P 位于△ABC 的外接圆上，111A B C 、、是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足，证明点111A B C 、、共线.三、解题思维策略分析1. 寻求线段倍分的一座桥梁例3 △ABC 是等腰三角形，AB=AC ，M 是BC 的中点；O 是AM 延长线上的一点，使得OB ⊥AB ； Q 为线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 、F 分别在直线AB 、AC 上使得E 、Q 、F 是不同的和共线的．求证：（1）若OQ EF ⊥，则QE QF =；（2）若QE QF =，则OQ EF ⊥.111111*********|cos |,|cos ||cos ||cos ||cos ||cos |,,1801BA BP PBC CA CP PCB CB CP PCA AB AP PAC AC AP PAB BC PB PBA PAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC CA AB BC A B C ⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=︒⋅⋅证：易得：将上面三个式子相乘，且可得＝依梅涅劳斯定理可知、、三点共线.2. 导出线段比例式的重要途径例4 直角△ABC 中，CK 是斜边上的高，CE 是∠ACK 的平分线，E 点在AK 上，D 是AC的中点，F 是DE 与CK 的交点. 求证：//BF CE .3. 论证点共线的重要方法例5 设不等腰△ABC 的内切圆在三边BC CA AB 、、上的切点分别为D E F 、、，证明：EF 与CB ，FD 与AC ，ED 与AB 的交点X Y Z 、、在同一条直线上.X Y Z ABC X Y Z ∆又、、都不在的边上，由梅氏定理的逆定理可得、、三点共线 例6 如图，△ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，点X 是△ABC 的一个内点，△XBC 的内切圆也在点D 处与BC 边相切，并与CX 、XB 分别相切于点Y 、 Z. 证明：EFZY 是圆内接四边形.11BX CE AF ABC XFE XC EA FB ∆⋅⋅=证：被直线所截，由定理可得：BX FB AE AF XC CE=又代人上式可得：＝CY DC AZ EA YA AF ZB BD同理可得：＝＝1BX CY AZ XC YA ZB⋅⋅=将上面三条式子相乘可得：。
四个重要定理(梅涅劳斯_塞瓦_托勒密_西姆松)
B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF 2ED AE =。
【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1FACFEA BE =+。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MDAG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。
求S △【分析】【评注】梅氏定理4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、△ABG 。
求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
竞赛辅导22平面几何的四个重要定理
竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5．已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F三点共线，则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABCj MQGAC BXY P【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1=••PACPNCBNMBAM塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1=••PACPNCBNMBAM，则AN、BP、CM相交于一点.【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：△LMN为正三角形.GCLMEDFN【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点DC BD =31，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F 求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G 是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：∠BPF=∠CPE【练习2】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均为锐角.D 是BC 边BC 上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 作垂线DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，CP 于BQ 相交于K. 求证：AK ⊥BCCCC托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.求证：OP 1+OQ1为定值HABCEFAXYPOQ【例3】 解方程42-x+12-x=x 7【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=∣PE-PF ∣西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作P D ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.求证：PF 1+PD 1=PE1【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.CABPEFD HABP1P2CP三角形的五心内心【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求证：AE 等于内切圆半径r【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200求∠MBA 的度数.B外心【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、⊙O 1与⊙O 2相交于P ，Q ，⊙O 1的弦PA 与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切.设△PAB 的外心为O ，求证：OQ ⊥PQ重心【例1】在△ABC 中，G 为重心，P 是形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于F ，E ，D.求证：FG FP +EG EP +DGDP=3【例2】已知△ABC 的重心G 和内心I 的连线GI ∥BC ，求证：AB+AC=2BCC【练习】1、设M 为△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC 的面积.2、设O 是△ABC 的外心，AB=AC ，D 是AB 的中点，G 是△ACD 的重心，求证：OG ⊥CD垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.BCB【例1】△ABC 的外接圆为⊙O ，∠C=600，M 是弧AB 的中点，H 是△ABC 的垂心.求证：OM ⊥OH【例2】已知AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点.证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M.旁心【例1】在锐角∠XAY 内部取一点，使得∠ABC=∠XBD ，∠ACB=∠YCD.证明：△ABC 的外心在线段AD 上.CD【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高（AB<AC），I1，I2分别是△ABD，△ACD的内心，△A I1 I2的外接圆⊙O分别交AB，AC于E，F，直线FE与CB的延长线交于点M.证明：I1，I2分别是△ODM的内心与旁心.相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE，∠AEC=∠ADB. 证明：∠BAC=∠DAEE【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M，N，P 是线段MN的中点，Q1，Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点，∠AO1Q1=∠AO2Q2求证：PQ1=PQ2【练习】梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKBA其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+2、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有ACABDC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，则有ACABDC BD =3、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P4、 正弦定理、在△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理： a 、b 、c 为△ABC 的边，则有： a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA;b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;5、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.。
数学竞赛--梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理16/3/5梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。
任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
中文名梅涅劳斯定理外文名Menelaus别称梅氏定理表达式(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1提出者梅涅劳斯提出时间1678年应用学科数学，物理适用领域范围平面几何学适用领域范围射影几何学定理内容定理证明证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。
AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF (3)（1）×（2）×（3）得证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵2∴有CE/EA=CE'/E'A ，两点重合。
所以共线推论 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点，又分比是λ=BL/LC 、塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E ，F ，D 三点共线，则 (sin ∠ACF/sin ∠FCB)(sin ∠BAD/sin ∠DAC)(sin ∠CBE/sin ∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
数学竞赛中几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ∙∙=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ∙∙=1，则D 、E 、F 三点共线。
3、 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则1=∙∙PA CP NC BN MB AM4、 塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足1=∙∙PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
5、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+6、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有AC AB DC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，则有AC AB DC BD =7、 托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P9、正弦定理、在△ABC中有RCcBbAa2sinsinsin===（R为△ABC外接圆半径）余弦定理：a、b、c为△ABC的边，则有：a2=b2+c2-2bc·cosA; b2=a2+c2-2ac·cosB; c2=a2+b2-2ab·cosC;10、西姆松定理：点P是△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线。
高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)
HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE
AB
A'
F
=
1 2
s
in
A
EF
A
C
A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
数学竞赛平面几何定理
EDCB A平面几何一、知识点金1.梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅=注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2.塞瓦定理：设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅=注：塞瓦定理的逆定理也成立3.托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD ()ABCD E BAE CAD ABE ACDAB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BDE BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅ 证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；注：托勒密定理的逆定理也成立4.西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。
若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。
5．蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。
证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，连接OX ，OY ，OM ，SM ，MT 。
平几竞赛中三个重要定理：梅氏、塞瓦、托勒密
平面几何几个重要定理 1.ZA YC = 根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上。
证明（1）必要性：即若X 、Y 、Z 三点共线，则1.CX BZ AY XB ZA YC =设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ，则,,CX c BZ b AY a XB b ZA a YC c === 三式相乘即得 1.CX BZ AY c b a XB ZA YC b a c== （2）充分性：即若 1.CX BZ AY XB ZA YC =则X 、Y 、Z 三点共线。
设直线XZ 交AC 于Y'，由已证必要性得' 1.'CX BZ AY XB ZA Y C =又已知1CX BZ AY XB ZA YC =，所以'.'AY AY Y C YC=因为Y'和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，且能分得比值相等，所以Y'和Y 必重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线。
梅内劳斯定理的应用：一是求共线线段的比，即已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。
1.YA ZB=（连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）证明(1)必要性：即设△ABC 中，AX 、BY 、CZ 是三条塞瓦线，如果 1.XC YA ZB =则AX 、BY 、CZ 三线共点。
（如图）假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连结CP 交AB 于Z'，则CZ'也是一条过P 点的△ABC 的塞瓦线。
根据已证充分性命题，可得' 1.'BX CY AZ XC YA Z B =但已知 1.BX CY AZ XC YA ZB =比较两式可知''AZ AZ Z B ZB=，因此AZ' = AZ .所以Z'点与Z 点重合，从而CZ'与CZ 重合，于是得出AX 、BY 、CZ 共点。
高中数学联赛平面几何重点梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明定理证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
amc 梅涅劳斯定理
amc 梅涅劳斯定理
【原创实用版】
目录
1.AMC 梅涅劳斯定理简介
2.梅涅劳斯定理的证明方法
3.梅涅劳斯定理的应用领域
4.梅涅劳斯定理在我国的发展和研究
正文
【1】AMC 梅涅劳斯定理简介
AMC 梅涅劳斯定理，全称为“美国数学竞赛梅涅劳斯定理”，是数学领域中的一个著名定理。
该定理的表述为：若三角形 ABC 的三边满足 a^2 + b^2 = c^2，则三角形 ABC 是一个直角三角形。
该定理在我国也被称为勾股定理，是数学竞赛中的一个重要考点。
【2】梅涅劳斯定理的证明方法
梅涅劳斯定理的证明方法有多种，其中最著名的是欧几里得证明法。
欧几里得证明法的基本思路是：以三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以适当的半径作圆，将三个圆相交于一点 D、E、F，然后证明四边形 AFDB 是一个矩形，从而得出 AF=BD，再根据勾股定理得出结论。
【3】梅涅劳斯定理的应用领域
梅涅劳斯定理在数学领域有着广泛的应用，除了在数学竞赛中作为一个基本考点外，它还在物理、工程、计算机科学等领域有着重要的应用。
例如，在解决一些与直角三角形相关的实际问题时，梅涅劳斯定理可以提供重要的理论支持。
【4】梅涅劳斯定理在我国的发展和研究
梅涅劳斯定理在我国的发展和研究历史悠久。
在我国古代数学中，已经有了关于直角三角形的认识和研究，但是直到 20 世纪初，我国才引进了梅涅劳斯定理这个概念，并开始对其进行研究和应用。
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F三点共线,则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点,过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P 。
证明：△MPQ ∽△ABCjMQGACBXYP【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆,分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线,垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB,DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线,切点分别为E,F。
求证:P,E，F三点共线。
【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M,过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD于点E ，F ，交BC 的延长线于点O,P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点。
求证：∠OPF=∠OEP【练习2】 在△ABC 中,∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F 。
若BE:ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则1=••PACPNCBN MBAM塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PACP NCBN MBAM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
【例1】B E 是△ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长AG ,CG 交BC ，AB 于点D,F ， 过D 作DN ∥CG 交BG 于N ，△DGL 及△FGM 是正三角形.求证:△LMN 为正三角形。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座06平面几何四个重要定理
比赛专题讲座06－平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯 (Menelaus) 定理（梅氏线）△ABC的三边 BC、CA、AB或其延伸线上有点P、Q、R，则 P、Q、R 共线的充要条件是。
塞瓦 (Ceva) 定理（塞瓦点）△ABC的三边 BC、CA、AB上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密 (Ptolemy) 定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松 (Simson) 定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1．设AD是△ ABC的边BC上的中线，直线CF交 AD于 F。
求证：。
【剖析】 CEF截△ ABD→（梅氏定理）【评注】也能够增添协助线证明：过A、 B、D之一作 CF的平行线。
2．过△ ABC的重心G的直线分别交A B、AC于 E、F，交 CB于 D。
求证：。
【剖析】连接并延伸 AG交 BC于 M，则 M为 BC的中点。
DEG截△ ABM→（梅氏定理）DGF截△ ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D 、 E、 F 分别在△ ABC的 BC、CA、 AB边上，，AD、BE、CF交成△ LMN。
求 S△LMN。
【剖析】【评注】梅氏定理4．以△ ABC各边为底边向外作相像的等腰△ BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG订交于一点。
【剖析】【评注】塞瓦定理225．已知△ ABC中，∠ B=2∠C。
求证： AC=AB+AB·BC。
【剖析】过 A 作 BC的平行线交△ ABC的外接圆于 D，连接 BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第 21 届全苏数学比赛）【剖析】【评注】托勒密定理7．△ABC的 BC边上的高 AD的延伸线交外接圆于 P，作 PE⊥AB于 E，延伸 ED交AC延伸线于 F。
数学竞赛梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理梅涅劳斯〔Menelaus〕定理〔简称梅氏定理〕最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作?球面学?〔Sphaerica〕。
任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
中文名梅涅劳斯定理外文名Menelaus别称梅氏定理表达式(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA )=1提出者梅涅劳斯提出时间1678年应用学科数学，物理适用领域范围平面几何学适用领域范围射影几何学定理内容定理证明证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.那么证明二过点C作CP∥DF交AB于P，那么两式相乘得证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比〞的性质有。
AF：FB =S △ADF：S△BDF…………〔1〕，BD：DC=S△BDF：S△CDF…………〔2〕，CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=〔S△CDE+S△FEC〕：〔S△ADE+S△FEA〕=S△CDF：S△ADF (3)〔1〕×〔2〕×〔3〕得证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，那么由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。
所以共线推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N 三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。
〔注意及塞瓦定理相区分，那里是λμν=1〕此外，用该定理可使其容易理解与记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：假设E，F，D三点共线，那么(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
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梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明定理
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理
证明三
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
证明四
连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则
（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。
(O不与点A、B、C重合)
记忆
ABC为三个顶点，DEF为三个分点
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
数学意义
使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。
梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。
实际应用
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。
我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。
我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。
只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。
另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E 经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
方案② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。
从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
方案③ ——A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。
从A出发还有最后一个方案：方案④ ——A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。
当直升机降落在B点时，就会有四项因式。
而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。
公式为四项时，有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。
还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。
那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。