高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版4解析
2021学年高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式课件北师大版必修4.ppt
sin 53π＝－sin π3；cos 53π＝cos π3；
sin π6＝cos π3；cos π6＝sin π3；
sin
56π＝cos
π3；cos
56π＝－sin
π 3.
[走进教材] 1．根据单位圆理解正、余弦函数的基本性质 根据正弦函数 y＝sin x 和余弦函数 y＝cos x 的定义，我们不难从单位圆看出 它们具有以下性质： (1)定义域是_R__； (2)最大值是_1__，最小值是_－__1__，值域是_[_－__1_,_1_] ____； (3)它们是_周__期__函__数___，其周期是__2_k_π_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_)__，最小正周期为 2π.
(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π－α)＝_c_o_s_α__.(1.10) (4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－__c_o_s_α_.(1.11) (5)sin(π＋α)＝_－__s_in__α_，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12) (6)sinπ2＋α＝_c_o_s_α__，cosπ2＋α＝－sin α.(1.13) (7)sinπ2－α＝cos α，cosπ2－α＝__s_in__α_.(1.14)
[自主练习]
1．sin 210°＝( )
3 A. 2
B．－
3 2
1 C.2
D．－12
解析： sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.
答案： D
2．已知 sin x＝13，则 cosx－π2＝(
)
1 A.3
B．2 3 2
2 C.3
解析：
cosx－π2＝cos－π2＝π＋π3；④53π＝2π－π3；⑤π6＝π2－ π3；⑥56π＝π2＋π3.
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件
-10-
4.3 单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 2】 求满足不等式 sin α≥ 2 的角������的范围.
3
解:
如图所示,作直线 y=
π π
π 2π 2
,
3
的递增区间是 - ,
π 6 2
π π
,
3
. 当x = 时,ymax=1;当 x=− 时,ymin=− .
2
π
6 2 1
,
-8-
4.3 单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型二
利用单位圆确定角的范围
1 2
【例 2】 求满足不等式 2cos α-1≥0 的角 α 的范围.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
根据单位圆理解正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的性质 根据正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义,我们不难从单 位圆中看出函数y=sin x,y=cos x有以下性质:
函数 y=sin x 性质 定义域 R y∈[-1,1]; 值域与 当 x=2k π+ π (������∈Z)时, ymax=1; 2 最值 π 当 x=2k π− 2 (������∈Z)时, ymin =-1 周期 单调 区间 2π 递增区间:
π 3 π 3 π 3 π 3
1
2
= .
1 2
-9-
4.3 单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质
题型一 题型二 题型三
高中数学第一章1.4.3_1.4.4单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版必修4
一二三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程 任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数 上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了 化未知为已知的数学思想.
一二三
【做一做3】 cos 330°等于( )
A.12
B.-12
π 3
-������
+
π 6
+
������
=
π 2
,
π 6
-������
+
5π 6
+
������
=π,然后运用诱导公式可以将问题顺
利地解决.
解:(1)∵
π 3
-������
+
π 6
+
������
= π2,
∴cos
π 6
+
������
=cos
π 2
-
π 3
-������
=sin
π 3
-������
= 12.
【做一做 2】 (1)角π6与角-π6的终边关于
(2)角π3
与角2π的终边关于
3
对称;
(3)角π5
与角6π的终边关于
5
对称;
(4)角π4与角-34π的终边关于
对称.
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
对称;
一二三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α. (1.8)
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材 北师大版必修4(2021年整理)
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1.4。
3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形(关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称)，sin y x =的对称中心是(π0)k ，,k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ,对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用 １．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式,求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选(Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+,转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例 2 由函数2sin3y x =,π5π66x ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明:此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求,体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值． 例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=( ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解:∵函数图象关于原点中心对称,且x ∈R ， ∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=,即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ)． 3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称,且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数,y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称, 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>,3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式北师大版4讲解
1.4.3 单位圆与诱导公式整体设计教学分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.三维目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课.或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21；sin32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3π＝-23,等等.教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、65π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择. 推进新课 新知探究 提出问题①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ ④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3π、32π，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，∠MOP=3π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sin32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3π.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b)和点P′(-a,b)关于y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(π-α)=sin α, cos （π-α)=-cos α.图2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x 轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α)=-sin α,sin(2π-α)=-sin α, cos(-α)=cos α,cos(2π-α)=cos α.图3图4同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(π+α)=-sinα,cos（π+α)=-cosα.图5图6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性. 讨论结果:略. 应用示例例1 求下列各角的三角函数值：(1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导. 解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23.点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22. 变式训练利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′) =cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(-317π)=sin(3π-3³2π)=sin 3π=23例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--∙--+∙+活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n 或奇数n 或整数(此时需要分类讨论)n ；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-α-180°)=sin［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sin α)=sin α, cos(-180°-α)=cos ［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cos α, cos(180°+α)=-cos α, sin(360°+α)=sin α. 所以，原式=)cos (sin sin cos αααα-∙∙-=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos (360°+120°) =cos(-45°)-21-sin45°+cos120° =cos45°-21-22+cos(180°-60°)=22-21-22-cos60°=-1. 3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asin α-bcos β =-(asin α+bcos β),∵f(2 003)=-1,∴asin α+bcos β=1.∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β) =asin α+bcos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asin α+bcos β=1，它是联系已知和未知的纽带. 知能训练课本练习1、2. 课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力. 作业课本习题1—4 4、5、6.设计感想本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题. 本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.第2课时导入新课思路 1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与2π+α或2π-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题.思路 2.通过计算猜想引入，让学生计算3π，32π，6π，65π的正弦、余弦值，并引导学生观察结果. sin 3π=23,cos 65π=-23,这里65π＝2π+3π,sin 6π=21,cos 2132-=π,这里32π＝2π+6π. sin65π=21,cos 3π=21,这里65π＝2π+3π，sin 3 2π=23,cos 6 π=23,这里32π＝2π+6π.猜想：sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sin α.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. 推进新课 新知探究 提出问题以下按两种思路来探究α与2π+α或2π-α的关系.思路1.先得出α与2π-α的关系.①先计算sin3π、cos6π、sin3π、cos6π的值(23、21、23,21)，你有什么猜想结论？ ②怎样验证探究α与2π-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？ ③如何由α与2π-α的关系，得到α与2π+α的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(2π-α)=sin α,sin(2π-α)=cos α.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、2π、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角2π-α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，由于角α的终边与角2π-α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是(y,x)，于是，我们有sin α=y, cos α=x, cos （2π-α)=y, sin(2π-α)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式： sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sin α. 教师进一步引导学生，因为2π+α可以转化为π-(2π-α).所以求2π+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得 sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sin α.讨论结果:①—③略. 思路2.先得出α与2π+α的关系.图8教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角2π+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识,可知Rt△OPM≌Rt△P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a)，且a=cos α, b=sin α.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(2π+α)相等，即sin(2π+α)＝cos α.点P 的纵坐标sin α与点P 1的横坐标cos （2π+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式 sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sin α.教师进一步引导学生，因为2π-α=π-(2π+α)，所以求2π-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得 sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sin α.至此，我们得到了任意角α的三角函数公式sin(k²2π+α)=sin α，cos （k²2π+α)=cos α. sin(-α)=-sin α，cos （-α)=cos α. sin(π-α)=sin α，cos （π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sin α，cos （π+α)=-cos α. sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sin αsin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sin α.以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2k π+α(k∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；2π±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：2π∙k ±α(k∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例1.求下列函数值：(1)sin(25π+4π);(2)sin(-655π);(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π.活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处. 解:(1)sin(25π+4π)＝sin(2π+4π)=cos 4π=22.(2)sin(-655π)=-sin 655π=-sin(8π+67π)＝-sin 67π=-sin(π+6π)=sin6π=21(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π=sin(π6π-)cos 4π+sin(2π-6π)cos(π+4π) =sin 6πcos4π+(-sin6π)(-cos4π)=21³22+21³22＝22.点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-655π)=sin(-10π+65π).以此活化学生的思路. 例2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--∙-∙+-+∙+∙-活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. 解:原式＝[][])(cos )sin()(sin )cos()cos(sin)(απαπαπαπαπ+-∙-∙--+∙+∙-a=)cos (sin 1)sin ()2cos()cos ()sin (ααααπαα-∙∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∙-∙-=ααsin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练1.求sin(-870°)的值. 解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2²360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二:sin(-870°)=sin(-10²90°+30°)=-sin30°＝-21 点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：sin(-870°)=sin(-9²90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-21 2.已知cos(6π-α)=m(|m|≤1),求sin(32π-α)的值. 解:∵-32πα-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［6π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m. 点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?(1)证明:f(sinx)=f ［cos(2π-x)］=cos ［17(2π-x)］=cos(8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f ［sin(2π-x)］=sin ［n(2π-x)］=sin(2πn -nx) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-).,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx故所求的整数n=4k+1(k∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.知能训练课本练习2 1—4.课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”.作业1.课本习题1—4 A 组7、8.2.B 组1、2、3.设计感想根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法.这种设计模式符合本册课程标准的教学要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点.通过课件的演示，为教学内容的鲜活注入了新的活力.使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身心得以健康发展.首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行问题类比、方法迁移，猜想任意角α与2π±α的数量关系，进而借助单位圆探求出严格的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.最后师生一起总结、归纳寻找公式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展.本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来，开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次.备课资料一、备用习题 1.sin(-619π)的值等于( ) A.21 B-21 C.23 D.-23 2.已知sin(π+α)=53，α是第四象限角，则cos(α-2π)的值是( ) A.54 B-54 C±54 D.53 3.cos(-660°)+sin(-330°)的值是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.34.已知f(cos x )=cos3x ，则f(sin30°)的值为____________.5.若α是三角形的一个内角，且cos(23π+α)=21，则α=____________. 6.化简(1)[][])cos()1(sin )1(cos )sin(απαπαπαπ+∙+---∙-k k k k (k∈Z ); (2)sin ［a n --4)14(π］+cos ［4)14(π+n -α］(n∈Z ). 7.若函数f(n)=sin 6πn (n∈Z )，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=___________. 8.已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，且α为第三象限角， 求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2απαπαπαπαππα+∙--∙-∙-∙+的值.参考答案:1.A2.A3.C4.-15.30°或150°6.解:(1)当k 为偶数时，原式=αααcos sin )cos (sin --∙-=-1；当k 为奇数时,同理可得，原式=-1，故当k∈Z 时，原式=-1.(2)原式=sin ［n π-(4π+α)］+cos ［n π+(4π-α)］. ①当n 为奇数时，设n=2k+1(k∈Z )，则原式=sin ［2k π+π-(4π+α)］+cos ［2k π+π+(4π-α)］ =sin(4π+α)-cos(4π-α)=cos(4π-α)-cos(4π-α)=0. ②当n 为偶数时，设n=2k(k∈Z )，同理可得原式=0.7.解析:∵sin 6πn =sin(6πn +2π)=sin 6)12(π+n , ∴f(n)=f(n+12),从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0.∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］ =2+3.答案:2+38.解:∵5x 2-7x-6=0的两根x=2或x=-53, ∵-1≤x≤1,∴sin α=-53, 又∵α为第三象限角，∴cos α=-α2sin 1--=-54.∴tan α=43. ∴原式=43tan )sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2==-∙-∙∙-∙-ααααααa 点评:综合运用相关知识解决综合问题.二、关于数学公式的变形与数学公式的记忆1.数学公式变形学习数学，很多同学都对数学公式感到头痛，一是公式繁多，二是有些公式容易混杂，三是有的公式带有限制条件.要解决这些问题,最根本的一条，就是要通过对公式形式上形象化解读和公式内在含义的理解，从中发现记忆的规律，从而达到记忆的熟练和持续程度.对于数学公式,除简单加以应用之外,还应在深刻理解其内涵的基础上会进行适当的公式变形.数学公式变形是中学数学教学的重要组成部分,是不可缺少的内容.数学公式变形应做到三有：即:变之有用,变之有规,变之有益.公式变形的目的最终应体现在其实用的价值,一个公式的等价变形往往有多种,教学中应择其有用的变形,以提高应用公式的效能.数学公式变形的方法多种多样,揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义.由于公式中的字母可以代表数、式、函数等数学意义的式子,因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理,或代换,或迭代,或取特殊值等等.公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽,而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点,充分体现数学公式的转化和简化功能,使学生深刻理解数学公式的本质.数学公式的学习方法是：书写公式，记住公式中字母间的关系；懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程；用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律；将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式；将公式中的字母想象成抽象的框架，达到自如地应用公式.2.数学公式的记忆确切的说应该是数学的记忆，数学记忆方法及相应的记忆能力应该是制约学习成功的重要因素之一.掌握科学而有效的数学记忆方法，尽快提升自己的数学记忆方法及相应能力已经成为众多学子们梦寐以求的理想及目标.譬如：本册的《三角函数》，内容多且易混淆，记忆负担重，学完新课之后，可以借助表格形式，将正、余弦及正切等函数的主要性质,如定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性、图像等整理成条理分明的图式，进而形成了一个明晰的三角公式的记忆系统.实践证明这种方法特别有效，同时节省了大量的学习时间，可以说，对于高中数学每章内容均可采用这种方法加以复习及记忆——这叫分类归纳，系统记忆法——这是指大的方面——数学记忆.关于数学公式的记忆，可采用以下几种方法进行记忆：①串联记忆法.把一系列内容相关、相近的公式串联在一起进行记忆.②类比记忆法.如等差数列和等比数列中有许多公式，只要记住等差数列的一组，搞清等差等比的异同点，另一组也就容易记住了.③图形记忆法.如三角函数定义等.④形象记忆法.⑤歌诀记忆法.如本节的三角函数的诱导公式有好几组，学生很容易混淆.这些公式就可以用一句口诀来概括：“奇变偶不变，符号看象限.”在这句口诀中，有个前提必须牢记：将α视为锐角.。
北师大版高中数学必修四课件1.4.3单位圆与诱导公式(二)
tan α sin α . cos α
典例剖析 题型一
已知sin 3 ,求 cos , tan的值.
5
解:因为sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得
cos2 1 sin2
1
3 2 5 Nhomakorabea16 25
(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295，
∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
y
P(x,y) α
1
MO
x A(1,0)
自主探究
在Rt△OMP中,由勾股定理有
MP2+OM2= y2+x2=1
OP2=1
sin2α+cos2α=1
y
P(x,y) α
1 MO
x A(1,0)
预习测评
已知：sina=0.8，填空：cosa=__±__0_._6
哈哈~~~~~~~~ 我换了个马甲！
小样！别以为你 换了个马甲我就
＝sin2θsi＋n cθos2θ＋sin2θco＋s cθos2θ
＝sin1 θ＋co1s θ＝右边．∴原式成立．
已知－π<x<0，sin x＋cos x＝15. (1)求 sin xcos x 的值并指出角 x 所处的象限； (2)求 tan x 的值．
详细解析：
【解】 (1)由 sin x＋cos x＝15，两边平方，得 cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝215， ∴1＋2cos xsin x＝215，即 cos xsin x＝－1225. ∵sin xcos x<0，且－π<x<0， ∴x 为第四象限角．
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导
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4。
3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题（重点）。
2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用。
3.理解诱导公式的推导过程(重点）.4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点）．知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1］周期2π在［0,2π]上的单调性在错误!，错误!上是增加的；在错误!上是减少的在［π,2π］上是增加的；在[0,π］上是减少的（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R。
（√）(2）函数y＝sin x在［0，π］上是单调减函数．(×)（3）函数y＝cos x在［0，π］上的值域是[0，1］．(×)（4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√）知识点2 2kπ±α，－α，π±α（k∈Z)的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin（2kπ＋α)＝sin α,cos(2kπ＋α）＝cos α.（1。
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性
4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式知识点一 正弦线与利用单位圆看y ＝sin x 性质[填一填］1．根据单位圆理解正弦函数y ＝sin x 的性质（1)定义域是全体实数; （2）最大值是1，最小值是－1,值域是[－1，1］；（3）它是周期函数，其最小正周期是2π；（4）在［0,2π］上的单调性：在［0，错误!］上是增加的；在[错误!，π］上是减少的；在［π，3π2]上是减少的；在［错误!,2π]上是增加的． 2．正弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M .线段MP 叫作角α的正弦线．当角α的终边在x 轴上时,M 与P 重合，此时正弦线变成一个点．［答一答]1．正弦线的长度等于y ＝sin x 的函数值吗?提示：不等于，正弦线的长度等于y ＝sin x 的函数值的绝对值．知识点二余弦线与利用单位圆看y＝cos x性质［填一填］3．根据单位圆理解余弦函数y＝cos x性质（1）定义域是全体实数;（2)最大值是1，最小值是－1，值域是［－1,1]；（3)它是周期函数,其最小正周期是2π；(4）在［0,2π］上的单调性：在［0,错误!]上是减少的；在[错误!,π]上是减少的；在[π,错误!π]上是增加的；在[错误!π,2π］上是增加的．4．余弦线如图所示,角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.线段OM叫做α的余弦线．与角α的终边在y轴上时，M与O重合，此时余弦线变成一个点．［答一答］2．余弦线的长度等于y＝cos x的函数值吗?提示：不等于,余弦线的长度等于y＝cos x的函数值的绝对值．知识点三诱导公式[填一填］5．诱导公式(函数名称不变）sin（－α）＝－sinα，cos(－α）＝cosα.sin(2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα。
sin（π－α）＝sinα，cos(π－α)＝－cosα。
高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件3北师大版必修4
【解题(jiě tí)探究】1.题1中的 π如何转化才能运用诱导公式?
提示:先把 公式.
2π0化15为整数与分数的和的形式,再选择合适的诱导 3
2.题2中的角如何选择诱导公式?
提示:按负化正、大化小的顺序选择.
第十三页，共37页。
【解析( jiě xī)】1.选D.
第十四页，共37页。
2.原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°·sin1050° =-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) =-sin 120°·cos210°-cos300°·sin330° =-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos30°+cos 60°sin 30°=
答案:2sinα
第二十九页，共37页。
【补偿训练】(2015·渭南高一检测)已知角α的终边在第一象限且与单位(dānwèi)
圆的交点为
(1)求m的值.
(2)求
的值.
第三十页，共37页。
【解析】(1)角α的终边在第一(dìyī)象限且与单位圆的交点为 故 (2)由点 原式=
第三十一页，共37页。
易错案例 利用(lìyòng)诱导公式求值 【典例】(2015·九江高一检测)已知sin(α+75°)= ,则cos(α15°)等于 ( )
第三十二页，共37页。
【失误(shīwù)案例】
第三十三页，共37页。
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因是在利用诱导公式(gōngshì)求值时符号错误,导致结果错误.
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
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【变式训练 1】 化简: π 11π sin(2π-������)cos(π + ������)cos 2 + ������ cos 2 -������ . 9π cos(π-������)sin(3π-������)sin(-������-π)sin 2 + ������
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
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【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
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题型一
利用诱导公式化简
sin (������π -������ )cos [(������ -1)π -������ ] sin [(������ +1)π +������ ]cos (������π +������ )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
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2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式
1.4.3单位圆与诱导公式(一) 课件高中数学必修4(北师大版)
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.3（一）
探究点四 诱导公式 1.12 (1)公式内容： sinπ＋α＝－ sin α， cos π＋ α＝－ cos α. (2)公式推导：
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如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x，y)，则角 π＋ α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函 数定义推导公式的过程，请你补充完整：
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1.4.3（一）
探究点三 诱导公式 1.11 (1)公式内容： sinπ－α＝ sin α， cos
如图，设角 α 的终边与单位圆相交于 P1(x，y)，由于角 π－ α 与 α 的终边关于 y 轴对称，因此角 π－α 的终边与单位圆 相交于 P2 (－x，y) ，
1 －2，－
1.4.3（一）
探究点二 诱导公式 1.9 (1)公式内容： sin－ α＝－ sin α， cos－α＝ cos α.) (2)公式推导：
本 课 时 栏 目 开 关
如图，设角α的终边与单位圆的交点为 P1(x，y)，
1.4.3（一）
由于角－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称，因此角－α 与 单位圆的交点为 P2 (x，－y) ， 则 sin α＝ y， cos α＝ x； sin(－ α)＝－y ＝ －sin α ； cos(－ α)＝ x ＝ cos α . (3)公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数. 1 1 π －2 例如， sin(－ 390° )＝ ， cos－ ＝ 2 . 3
2.诱导公式 1.8～1.12. 公式 1.8：sin(2kπ＋α)＝ sin α ，cos(2kπ＋α)＝ cos α ； 公式 1.9：sin(－α)＝ －sin α ，cos(－α)＝ cos α ； 公式 1.10：sin(2π－α)＝ －sin α ，cos(2π－α)＝ cos α ； 公式 1.11：sin(π－α)＝ sin α ，cos(π－α)＝ －cos α ； 公式 1.12：sin(π＋α)＝ －sin α ，cos(π＋α)＝ －cos α .
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1
2
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3
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5
(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
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3
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5
2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
)
-14-
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1 2 3 4
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式学案 北师大版必修
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y＝sin x y＝cos x基本性质定义域R值域[－1,1]最大(小)值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1基本性质周期性周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π单调性在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π上的最大值为1.( ) (3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( )【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，故(2)正确．(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误．【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导(1)π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．(2)公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( )(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]． 当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值(1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3.【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解． 【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝32·32·22＝34·22＝328. (2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34；当n 为偶数时，原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.给值求值已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－α. 【精彩点拨】 解答本题要注意到⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∵⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－13×13＝－19.1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.[探究共研型]三角函数式的化简探究1 【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数． 探究2 怎样处理含有k π±α的角？【提示】 含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．化简下列各式．(1)cos2π－αsin 3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos α－3πsin －π－α；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z )．【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】 (1)原式＝cos α·－sin α·－sin αsin α·－cos αsin α＝－1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．[再练一题] 4．化简：cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z .【解】cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α.①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α； ②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α.综上可知，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为奇数.[构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】 由诱导公式知D 正确．【答案】 D2．cos 2π3的值是( ) 【导学号：66470011】A ．－32 B ．32 C.12 D ．－12【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______． 【解析】 在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2 4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12. 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 【答案】 125．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4. 【解】 原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π ＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4 ＝sin π4·⎝⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π42 2·⎝⎛⎭⎪⎫－32·⎝⎛⎭⎪⎫－22＝＝3 4 .我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！。
【精准解析】北师大版必修4一课三测：1.4.3+单位圆与诱导公式
＝ cos 225° sin 225°－sin 210°
＝
cos180°＋45°
sin180°＋45°－sin180°＋30°
＝
－cos 45°
－2 ＝ 2＝
－sin 45°＋sin 30° － 2＋1
2＋2.
22
-8-
答案： 2＋2 6．解析：原式
sinθ－π·cos
π＋θ 2
·cos－θ
＝
sin
答案：B
4．解析：由
π3－x
＋
x＋π6
＝π， 2
故
x＋π6＝π2－
π－x 3
，
有
cos
x＋π 6
＝cos
π－ 2
π－x 3
＝sin
π－x 3
＝3. 5
答案：A
5．解析：∵sin(π＋α)＋cos
π＋α 2
＝－sin
α－sin
α＝－m，
∴sin α＝m2 ，
∴cos
3π－α 2
＋2sin(6π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3m，故选 2
B.
答案：B
6．解析：由 cos(α－9π)＝－cos α＝－3，所以 cos α＝3，因为α∈(π，
5
5
2π)，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－4， 5
cos
α－11π 2
＝－sin
α＝4. 5
答案：D
7．解析：因为
sin
α＋π 3
＝1， 3
所以
cos
π－α 6
sin
π3－x
＝3，则 5
cos
x＋π6
＝(
)
A.3
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ） Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ， Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ， 解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ， Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，． 故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， (0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当1k =时，2ω=， π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数． 综上所述，23ω=或π22ωϕ==，． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
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1.4.3 单位圆与诱导公式
一、结论
１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图
形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2
x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．
2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，k ∈Z ． 二、应用
１．正向应用
所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．
例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的对称轴方程是（ ） Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，
Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3
x k k =+∈Z ， Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ， 解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212
k x k =+∈Z ，． 故选（Ａ）．
说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．
例2 由函数2sin 3y x =，π5π6
6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．
解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形
ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭
． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称
性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，
等价转化等数学思想．
２．逆向应用
所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．
例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ） Ａ．π3 Ｂ．ππ2k k +∈Z ， Ｃ．πk k ∈Z ，
Ｄ．π2π2k k -∈Z ， 解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，
∴函数图象过原点，即(0)0f =．
cos 0ϕ∴=，即ππ2
k k ϕ=+∈Z ，． 故选（Ｂ）．
3．综合运用
例４ 已知函数()sin(
)(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 解：()f x 是偶函数，
y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， (0)sin 1f ϕ∴==±，
又0πϕ ≤≤，π2
ϕ∴=
． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭ ， 又0ω>，3πππ01242k k ω∴
=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3
k k ω∴=+= 当0k =时，23
ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是减函数； 当1k =时，2ω=，
π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是减函数； 当2k ≥时，103
ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上不是单调函数． 综上所述，23
ω=或π22ωϕ==，． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．。