2018年人教版九年级数学上册《第24章圆》单元测试卷(含答案解析)

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(2021年整理)2018人教版九年级数学上册《第24章圆》单元测试含答案

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其中不正确的有（)个.A、1B、2C、3D、43、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°,则∠AOC的大小是（）A、80°B、100°C、60°D、40°4、已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I为内心，CI交AB于D，BD=， AD=，则S△ACB=（）A、12B、6C、3D、7。

2018-2019学年人教版数学九年级上册第24章圆单元测试含答案

人教版数学九年级上册《第24章圆》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（）A．B．C．D．2．一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A．4 B．5 C．6 D．103．在半径为10cm圆中，两条平行弦分别长为12cm，16cm，则这两条平行弦之间的距离为（）A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm4．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD 交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为485．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.56．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D（mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×1027．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B D．无法确定8．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（）A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸9．⊙O的半径为10cm，圆心角∠AOB=60°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．10cm B．cm C．5cm D．cm10．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）A．24°B．28°C．33°D．48°二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，四边形ABCD内接于半圆O，其中点A，D在直径上，点B，C在半圆弧上，AB∥CD，∠B=90°，若AO=3，∠BAD=120°，则BC=．12．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为．13．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是．14．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，重复上述过程，经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍．15．在一个圆中，如果60°的圆心角所对弧长为6πcm，那么这个圆所对的半径为cm．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分图形的面积为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）已知，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角时90°的扇形ABC（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？18．（8分）现将一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？19．（8分）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，过点C分别作半径OA、OB的垂线，交⊙O于E、F两点，垂足分别为M、N，求证：ME=NF．20．（8分）如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．21．（10分）如图在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=8：5，BC=3，求BD的长．22．（8分）如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为（2，3），⊙A的半径为1，过A作直线l平行于x轴，点P在l上运动．（1）当点P运动到圆上时，求线段OP的长．（2）当点P的坐标为（4，3）时，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．23．（10分）已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．24．（12分）如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC 是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．参考答案一．选择题1．D．2．C．3．B．4．A．5．C．6．D．7．C．8．D．9．C．10．A．二．填空题11．3．12．＜r≤3．13．相切．14．243．15．1816．．三．解答题17．解：连接BC，AO，∵∠BAC=90°，OB=OC，∴BC是圆0的直径，AO⊥BC，∵圆的直径为1，∴AO=OC=，则AC==m，弧BC的长l==πm，则2πR=π，解得：R=．故该圆锥的底面圆的半径是m．18．解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4=36πcm3．绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：π×42×3=48πcm3．19．证明：连接OC，∵OA⊥CE，OB⊥CF，∴EM=CM，NF=CN，∠CMO=∠CNO=90°，∵C为的中点，∴∠AOC=∠BOC，在△CNO与△CNO中，∵，∴△CNO≌△CNO，∴CM=CN，∴EM=NF．20．解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m．21．解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．证明：连结OD，DE．∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°．∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°．∵OD=OA，∴∠A=∠ADO．∴∠ADO+∠CDB=90°．∴∠ODB=180°﹣90°=90°．∴OD⊥BD．∵OD为半径，∴BD是⊙O的切线．（2）∵AD：AO=8：5，∴，∴由勾股定理得AD：DE：AE=8：6：10．∵∠C=90°，∠CBD=∠A．∴△BCD∽△ADE．∴DC：BC：BD=DE：AD：AE=6：8：10．∵BC=3，∴BD=22．解：（1）如图，设l与y轴交点为C．当点P运动到圆上时，有P1、P2两个位置，∴；．（2）连接OP，过点A作AM⊥OP，垂足为M．∵P（4，3），∴CP=4，AP=2．在Rt△OCP中．∵∠APM=∠OPC，∠PMA=∠PCO=90°，∴△PAM∽△POC．∴，，∴，∴直线OP与⊙A相离．23．（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．24．解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠A=∠C=60°．又∵EF∥AC，∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，∴△BFE是等边三角形，PE=EB，∴EF=BE=PE=BF；（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；∵E是BC的中点，∴EC=BE，∵PE=BE，∴PE=EC，∵∠C=60°，∴△PEC是等边三角形，∴PC=EC=PE，∵EF=BE，∴EF=PC，又∵EF∥CP，∴四边形EFPC是平行四边形，∵EC=PC=EF，∴平行四边形EFPC是菱形；（3）如图所示：当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=，当0＜r＜时，有两个交点；当r=时，有四个交点；当＜r＜1时，有六个交点；当r=1时，有三个交点；当r＞1时，有0个交点．。

2017-2018学年人教版九年级上《第24章圆》单元检测试题有答案

2017-2018学年度第一学期人教版九年级数学上册第24章圆单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列语句中，正确的有（）①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等 ②垂直于弦的直径平分该弦③长度相等的两条弧是等弧 ④经过圆心的每一条直径都是圆的对称轴．A.个1 B.个2 C.个3 D.个4 2.下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（）A.个1 B.个2 C.个3 D.个4 3.如图，在中，，，则的度数是（）⊙O ∠CBO =45∘∠CAO =15∘∠AOBA.75∘B.60∘C.45∘D.30∘4.我们把弧长等于半径的扇形叫等边扇形．如图，扇形是等边扇形，设OAB ，下列结论中：①；②扇形的周长为；③扇形的面积为OA =R ∠AOB =60∘3R ；④点与半径中点的连线垂直；⑤设、的垂直平分线交于点，12R 2A OB OB OA OB P 以为圆心，为半径作圆，则该圆一定会经过扇形的弧的中点．其中正确P PA AB 的个数为（）A.个1B.个2C.个3D.个45.一根水平放置的圆柱形输水管道的横截面如图所示，其中有水部分水面宽米，最深处水深米，则此输水管道的直径等于（）0.40.1A.米0.2B.米0.25C.米0.4D.米0.5 6.已知，以为直径作圆，那么在此圆上到的距离等于的点AB =10cm AB AB 5cm 共有（）A.无数个 B.个1 C.个2 D.个47.如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的侧面积等于（）3cm 4cm A.24πcm2B.12πcm2C.12cm2D.6πcm28.一圆的半径为，圆心到直线的距离为，则该直线与圆的位置关系是（）34A.相切 B.相交C.相离D.以上都不对9.如图，点为弧所在圆的圆心，，点在弧上，的延长线与O AB OA ⊥OB P AB AP 的延长线交于点，过点作于．若，则的长为（ OB C C CD ⊥OP D OB =BC =1PD ）A.25B.12C.35D.4510.如图，在中，弦，若，则等于（）⊙O AB // CD ∠ABC =36∘∠BODA.18∘B.36∘C.54∘D.72∘二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.把半径为的圆周按分割为三段．则最短的弧所对的圆心角为________，21:2:3该弧和半径围成的扇形的面积为________，最长的弧所对的圆周角为________，最长的弧长是________．12.如图所示，中，弦，为圆上一点，，则⊙O AB // CD E ∠BOD =40∘________度．∠AEC =13.已知圆的半径是，点到直线的距离为，则圆与直线的位置关O 3cm O l 4cm O l 系是________．14.如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________8cm 2cm S 扇形=．cm 215.如图，的直径过弦的中点，若，则________．⊙O AB CD E ∠C =25∘∠D = 16.灯具厂准备用铁皮加工成圆锥形灯罩，其中圆锥底面圆的半径为，母线6πcm长为，已知在加工灯罩的过程中，材料损耗率为，那么加工个这15cm 10%100样的灯罩，实际需要的铁皮面积为（不计接缝）________．cm 217.如果圆内接正六边形的边长为，则它的边心距为________，正六边形10cm cm 的一边在圆上截得的弓形面积是________．cm 218.圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的侧面积为________．3cm 4cm cm 219.一个扇形的圆心角为，它所对的孤长为，则这个扇形的半径为60∘2πcm ________．cm 20.如图，已知圆的半径，为半径的中点，若，则图中O OA =2C OB ∠AOB =90∘阴影部分的面积为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.(1)O请找出该残片所在圆的圆心的位置（保留画图痕迹，不必写画法）；(2)A B C AB=AC BC=33∠ABC=30∘若此圆上的三点、、满足，，且，求此圆的半径长．ABCDEF6cm22.已知，如图，正六边形的边长为，求这个正六边形的外接圆半R r6S6径、边心距、面积．90∘23.如图，一个圆锥的侧面展开图是的扇形．求圆锥的母线长与底面半径之比；(1)l r 若底面半径，求圆锥的高及侧面积（结果保留）．(2)r =2π 24.如图，已知是的直径，弦，垂足为，，AB ⊙O CD ⊥AB E ∠AOC =60∘．OC =2求和的长；(1)OE CD 求弧的长及图中阴影部分的面积．(2)BD25.如图，，是的直径，是上的一点，且．AB DE ⊙O C ⊙O ^AD =^CE(1)BE=CE求证：；(2)∠B=50∘∠AOC若，求的度数．AB⊙O C⊙O C AB26.已知，是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点P．(1)∠COB=2∠PCB PC⊙O如图①，若，求证：直线是的切线；(2)M AB CM AB N MN⋅MC=36BM如图②，若点是的中点，交于点，，求的值．答案1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.B8.C9.C 10.D 11.60∘23π90∘2π12.2013.相离14.415.65∘16.1000017.53503π‒25318.24π19.620.π‒121.解：如图所示，点就是所求的圆心；(1)O分别连结、，设交于点，(2)OA OB OA BC D ∵，AB =AC ∴，，0A ⊥BC DB =DC =12BC =332∵，∠ABC =30∘∴，AD =332tan 30∘=32设半径，则，根据勾股定理，得OB =r OD =2‒r ，(332)2+(32‒r )2=r 2解得，即半径为．r =3322.解：连接，，过点作于，OA OB O OG ⊥AB G ∵，，∠AOB =60∘OA =OB∴是等边三角形，△AOB ∴，即，OA =OB =6R =6∵，，OA =OB =6OG ⊥AB ∴，AG =12AB =12×6=3∴在中，，Rt △AOG r 6=OG =OA 2‒AG 2=33cm ∴．S 6=12×6×6×33=543cm 223.解：由已知得：(1)，2πr =90πl 180∴．l r=4设此圆锥的高为，在中，(2)ℎRt △AOC ∵，l r=4r =2∴，l =8，ℎ=l 2‒r 2=82‒22=215∴圆锥的侧面积为．πrl =π×2×8=16π24.解：在中，(1)△OCE ∵，，，∠CEO =90∘∠EOC =60∘OC =2∴，OE =12OC =1∴，CE =32OC =3∵，OA ⊥CD ∴，CE =DE ∴；∵，CD =23(2)CD ⊥AB ∴，^BD =^BC ∵，∠EOC =60∘∴，∠BOC =120∘∴弧的长，BD =120⋅π×2360=2π3∵，S △ABC =12AB ⋅EC =12×4×3=23∴．S 阴影=12π×22‒23=2π‒2325.证明：∵，(1)∠AOD =∠BOE ∴．^AD =^BE ∵，^AD =^CE ∴，^BE =^CE ∴；解：∵，，BE =CE (2)∠B =50∘OB =OE ∴．∠BOE =180∘‒50∘‒50∘=80∘∵由知，，(1)BE =CE ∴，∠COE =∠BOE =80∘∴．∠AOC =180∘‒80∘‒80∘=20∘26.证明：∵，(1)OA =OC ∴．∠A =∠ACO ∴．∠COB =2∠ACO 又∵，∠COB =2∠PCB ∴．∠ACO =∠PCB ∵是的直径，AB ⊙O ∴．∠ACO +∠OCB =90∘∴，即．∠PCB +∠OCB =90∘OC ⊥CP ∵是的半径，OC ⊙O ∴是的切线．PC ⊙O解：连接、．（如图）(2)MA MB ∵点是弧的中点，M AB ∴，^AM =^BM ∴．∠ACM =∠BAM ∵，∠AMC =∠AMN ∴．△AMC ∽△NMA ∴．AM NM=CMAM∴．AM 2=MC ⋅MN ∵，MC ⋅MN =36∴，AM =6∴．BM =AM =6。

2018-2019学年人教版初三上《第24章圆》单元测试题(含答案)

单元测试(四) 圆(满分：120分考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 等于(C)A. 2B. 3 C ．2 2 D ．2 33．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OB ，OC.若OB ＝BC ，则∠BAC 等于(C)A ．60°B ．45°C ．30°D ．20°4．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AE ︵＝BD ︵.若∠AOE ＝32°，则∠COE 的度数是(D)A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°5．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点．若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝(B)A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°6．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，则AC ︵的长(B)A ．2πB ．Π C.π2 D.π37．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm ，则这块扇形铁皮的半径是(A)A ．40 cmB ．50 cmC ．60 cmD ．80 cm8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，连接OD ，CB ，AC ，∠DOB ＝60°，EB ＝2，那么CD 的长为(D)A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 39．如图，△ABC 是一张三角形纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 、E 是其中的两个切点，已知AD ＝6 cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的一条直线MN 剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN 的周长是(B)A ．9 cmB ．12 cmC ．15 cmD ．18 cm10．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是(D)A ．Π B.5π4C ．3＋πD ．8－π二、填空题(每大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4.若以点A 为圆心，4为半径作⊙A ，则点A ，点B ，点C ，点D 四点中在⊙A 外的是点C ．12．已知△ABC 的三边长分别是6，8，10，则△ABC 外接圆的直径是10．13．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为14.如图，AP 为⊙O 的切线，P 为切点．若∠A ＝20°，C ，D 为圆周上的两点，且∠PDC ＝60°，则∠OBC 等于65°．15．如图，四边形OABC 是菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的弧EF 上，且∠1＝∠2.若扇形OEF 的面积为3π，则菱形OABC 的边长为3．三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(本大题共2小题，每小题5分，共10分)(1)如图，在△AOC 中，∠AOC ＝90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点B ，且OB ＝BC ，求∠A 的度数．解：∵OA ＝OB ，OB ＝BC ，∴∠A ＝∠OBA ，∠BOC ＝∠C ，又∵∠OBA ＝∠BOC ＋∠C ，∴∠A ＝2∠C.∵△AOC 中，∠AOC ＝90°，∴∠A ＋∠C ＝90°，即3∠C ＝90°. ∴∠C ＝30°，∠A ＝60°.(2)如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°， ∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.17．(本题6分)如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，求证：AD ＝BE. 证明：连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC.∵CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)． ∴OD ＝OE. ∵AO ＝BO ， ∴AD ＝BE.18．(本题7分)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如果CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，那么直径CD 的长为多少寸？”请你求出CD 的长．解：设直径CD 的长为2x ，则半径OC ＝x ，OE ＝x －1. ∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，AB ＝10， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×10＝5.连接OB ，则OB ＝x ，根据勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13，CD ＝2x ＝2×13＝26(寸)．19．(本题9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2)． (1)请在图中作出经过A ，B ，C 三点的⊙M ，并写出圆心M 的坐标； (2)若D(1，4)，则直线BD 与⊙M 的位置关系是相切．解：如图所示，圆心M 的坐标为(2，1)．20．(本题9分)如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC ＝3，∠A ＝30°，求DE ︵的长．解：(1)如图，⊙C 为所求．(2)∵⊙C 切AB 于D ，∴CD ⊥AB.∴∠ADC ＝90°.∴∠DCE ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝30°. 在Rt △BCD 中，BC ＝3，∴BD ＝12BC ＝32，CD ＝BC 2－BD 2＝332.∴DE ︵的长为60·π·332180＝32π.21．(本题9分)如图，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，C 为AB 延长线上一点，CP 与⊙O 相切于点P ，过点B 作弦BD ∥CP ，连接PD. (1)求证：点P 为BD ︵的中点；(2)若∠C ＝∠D ，求四边形BCPD 的面积．解：(1)证明：连接OP ，交BD 于E.∵CP 与⊙O 相切于点P ，∴PC ⊥OP.∴∠OPC ＝90°. ∵BD ∥CP ，∴∠OEB ＝∠OPC ＝90°. ∴BD ⊥OP.∴点P 为BD ︵的中点．(2)∵∠C ＝∠D ，∠POB ＝2∠D ，∴∠POB ＝2∠C. ∵∠CPO ＝90°，∴∠C ＝30°.∵BD ∥CP ，∴∠C ＝∠DBA.∴∠D ＝∠DBA. ∴BC ∥PD.∴四边形BCPD 是平行四边形． ∵PO ＝12AB ＝6，∴PC ＝6 3.∵∠ABD ＝∠C ＝30°，∴OE ＝12OB ＝3.∴PE ＝3.∴四边形BCPD 的面积为PC·PE ＝63×3＝183(cm 2)．22．(本题12分)如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC ＝∠A ，连接OE 并延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C. (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为6，BC ＝8，求弦BD 的长．解：(1)证明：连接OB ，∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE ⊥BD, BF ︵＝DF ︵＝12BD ︵.∴∠BOE ＝∠A ，∠OBE ＋∠BOE ＝90°.∵∠DBC ＝∠A ，∴∠BOE ＝∠DBC.∴∠OBE ＋∠DBC ＝90°.∴∠OBC ＝90°，即BC ⊥OB. ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线．(2)∵OB ＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，∴OC ＝OB 2＋BC 2＝10.∵△OBC 的面积为12OC·BE ＝12OB·BC ，∴BE ＝OB·BC OC ＝6×810＝4.8.∴BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6.23．(本题13分)先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图，点A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，则有∠C ＝∠D.小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧，则有∠D>∠E. 请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，7)，点B 的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)．①在图1中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB ＝∠ADB ，则点D 的坐标为(7，0)；(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，m)，点B 的坐标为(0，n)，其中m>n>0，点P 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．解：(1)①如图．(2)当以AB 为弦的圆与x 轴正半轴相切时，作CD ⊥y 轴，连接CP ，CB. ∵点A 的坐标为(0，m)，点B 的坐标为(0，n)， ∴点D 的坐标是(0，m ＋n 2)，即BC ＝PC ＝m ＋n2.在Rt △BCD 中，BC ＝m ＋n 2，BD ＝m －n2，∴则CD ＝BC 2－BD 2＝mn. ∴OP ＝CD ＝mn.∴点P 的坐标是(mn ，0)．。

第24章圆单元测试卷(解析卷)

第24章圆单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（）cm．A．2B．4C．8D．16解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A．10B．8C．5D．3解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．3．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（）A．B．C．D．解：连接OC．∵∠DOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∵＝，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴＝，∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，∴OA＝2，∴AE＝＝，故选：A．4．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4解：扇形的弧长＝＝2π，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：∵∠BOD＝130°，∴∠AOD＝50°，又∵AC∥OD，∴∠A＝∠AOD＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°．故选：B．6．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）弧的度数指弧所对圆周角的度数；（3）三角形的内心是三边中垂线交点，它到三角形各边的距离相等；（4）同圆或等圆中，弦相等则弦所对的弧相等．其中正确的个数有（）A．0B．1C．3D．2解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；（2）弧的度数指弧所对圆心角的度数；故不符合题意；（3）三角形的内心是三角平分线交点，它到三角形各边的距离相等；故不符合题意；（4）同圆或等圆中，弦相等则弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；故选：A．7．圆柱底面半径为3cm，高为2cm，则它的体积为（）A．97πcm3B．18πcm3C．3πcm3D．18π2cm3解：圆柱的体积＝9π×2＝18π（cm3）．故选：B．8．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．9．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（）A．都大于B．都小于C．没有一个小于D．没有一个大于解：已知五个正数的和等于1，用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数都小于，故选：B．10．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（）A．3B．4C．3或4D．不确定解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4．综上所述，BP的长为3或4．故选：C．二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦BC于点D，那么OD 的长是1．解：∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∠BOD＝∠COD＝BOC，∵由圆周角定理得：∠BAC＝BOC，∴∠BOD＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOD＝60°，∵∠BDO＝90°，∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB，∵OB＝2，∴OD＝1，故答案为：1．12．如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于12度．解：相邻两齿间的圆心角α＝＝12°，故答案为：12．13．如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF ⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为6．解：AB是半圆O的直径，AB＝12，∴OB＝OA＝6，∵BF＝3，∴OF＝OB﹣BF＝3，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴AD＝OF＝3，∴AC＝2AD＝6；故答案为：6．14．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角∠FMG的大小为度120°．解：在优弧FG上取一点T，连接TF，TG．∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOE＝120°∵∠T＝∠FOG，∴∠T＝60°，∵∠FMG+∠T＝180°，∴∠FMG＝120°，故答案为120°．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为π．解：连接OG，DF，∵BC＝2，E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∵AB＝3，AF＝1，∴BF＝2，由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，在Rt△DAF和Rt△FBE中，，∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）∴∠ADF＝∠BFE，∵∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，∵FD＝FE，∴∠FED＝45°，∵OG＝OE，∴∠GOE＝90°，∴劣弧的长＝＝π，故答案为：π．16．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的半径为2cm，则此时M、N两点间的距离是2 cm．解：根据题意得：EF＝BC，MN＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段BC形成一半径为2cm的圆，线段BC 是圆的周长，BC＝EF＝2π×2＝4π，∴的长＝EF＝＝，∴n＝120°，即∠MON＝120°，∵OM＝ON，∴∠M＝30°，过O作OG⊥MN于G，∵OM＝2，∴OG＝1，MG＝，∴MN＝2MG＝2，故答案为：2．三．解答题（共10小题，计102分）17．（10分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．18．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．解：连接OC，∵AB＝5cm，∴OC＝OA＝AB＝cm，Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝＝cm，∴AD＝﹣＝1cm，由勾股定理得：AC＝＝，则AD的长为1cm，AC的长为cm．19．（10分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm。

人教版九年级上册数学第24章质量检测(含答案)

人教版九年级上册数学第24章质量检测（含答案）24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题） 1. 2018·衢州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是( )A ．75°B ．70°C ．65°D ．35°2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的度数为 ( )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°4. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 35. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.86.如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( ) A . 3 3 B . 4 3 C . 5 3 D . 6 37. 如图，△ABC 的内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于点D ，则线段DI 与DB 的关系是( )A ．DI ＝DB B ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A．56°B．62°C．68°D．78°9. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°10. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝________．12. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．13. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．14. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.15. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．16. 将量角器按图所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为________°.17. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．19.如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF ＝12BD.20. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.21. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．6.【答案】B【解析】如解图，延长CO 交⊙O 于点A ′，连接A ′B .设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA ′C ＝∠BAC ＝60°，∵CA ′为直径，∴∠A ′BC ＝90°，则在Rt △A ′BC 中，BC ＝A ′C ·sin ∠BA ′C＝2×4×32＝4 3.7. 【答案】A[解析] 连接BI ，如图．∵△ABC 的内心为I ， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI ＝∠3＋∠5， ∴∠4＝∠DBI ，∴DI ＝DB. 故选A.8. 【答案】C[解析] ∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA . ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA )＝180°－2(180°－∠AIC )＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDE ＝∠B ＝68°.9. 【答案】D[解析] ∵∠BOC ＝110°，∴∠AOC ＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠D ＝∠A ＝70°.在△OAD 中，∠AOD ＝180°－(∠A ＋∠D)＝40°.10. 【答案】D二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.12. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.13. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.14. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.15. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.16. 【答案】25[解析] 设量角器的中心为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.17. 【答案】70[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.19. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点， ∴BF 是△EAC 的中位线， ∴BF ＝12AC. ∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵， ∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.20. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD. ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ， ∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD . ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列直线中，一定是圆的切线的是()A ．与圆有公共点的直线B ．垂直于圆的半径的直线C ．到圆心的距离等于半径的直线D ．经过圆的直径一端的直线2. 下列说法中，正确的是()A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C ．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D ．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线3. 如图，P是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A ，OA ＝AP .甲、乙两人想作一条经过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：甲：以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交⊙O 于点B ，则直线BP 即为所求．乙：过点A 作直线MN ⊥OP ，以点O 为圆心，OP 长为半径画弧，交射线AM 于点B ，连接OB ，交⊙O 于点C ，直线CP 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．两人都正确D ．两人都错误4. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定5. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°6. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD7.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠A OD的度数为( )A. 70°B. 35°C．20°D. 40°8. 2020·黄石模拟如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(8，2)，C(6，6)，点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)9. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在()图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C10. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.8二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.12. 如图，∠APB ＝30°，⊙O 的半径为1 cm ，圆心O 在直线PB 上，OP ＝3 cm ，若⊙O 沿BP 方向移动，当⊙O 与直线PA 相切时，圆心O 移动的距离为__________．13. 如图，半圆的圆心O 与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l 的解析式为y ＝x ＋t .若直线l 与半圆只有一个公共点，则t 的取值范围是________．14. 如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 的对角线长为6，OA ＝4.若将⊙O 绕点A 按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( )A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．17. 如图，⊙M的圆心为M(－2，2)，半径为2，直线AB过点A(0，－2)，B(2，0)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．19.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．20. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.(1)以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；(3)以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．21. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】C[解析] 对于甲的作法：连接OB ，如图①.∵OA ＝AP ，∴OP 为⊙A 的直径， ∴∠OBP ＝90°，即OB ⊥PB ， ∴PB 为⊙O 的切线，∴甲的作法正确．对于乙的作法：如图②，∵MN ⊥OP ，∴∠OAB ＝90°.在△OAB 和△OCP 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COP ，OB ＝OP ，∴△OAB ≌△OCP ，∴∠OAB ＝∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 为⊙O 的切线， ∴乙的作法正确．4. 【答案】B5. 【答案】D[解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.6. 【答案】A7.【答案】D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠B＝20°，∴∠AOD＝∠B＋∠BDO＝2∠B＝2×20°＝40°.8. 【答案】A9. 【答案】C[解析] 如图．10. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB 的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.12. 【答案】1 cm或5 cm[解析] 当⊙O与直线PA相切时，点O到直线PA的距离为1 cm.∵∠APB＝30°，∴PO＝2 cm，∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm)．13. 【答案】t＝2或－1≤t＜1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.当点O 到直线l 的距离OC ＝1时，直线l 与半圆O 相切，设直线l 与y 轴交于点D ，则OD ＝2，即t ＝ 2.当直线过点A 时，把A (－1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝1. 当直线过点B 时，把B (1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝－1. 即当t ＝2或－1≤t ＜1时，直线和半圆只有一个公共点．故答案为t ＝2或－1≤t ＜1.14. 【答案】B[解析] ∵正方形ABCD 的对角线长为6，∴它的边长为3 2.如图，⊙O 与正方形ABCD 的边AB ，AD 只有一个公共点的情况各有1次，与边BC ，CD 只有一个公共点的情况各有1次，∴在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现4次．15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P为Rt△ACQ的外心，故③正确．16. 【答案】3或4 3[解析] 如图①，当⊙P与CD边相切时，设PC＝PM＝x. 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋BP2，∴x2＝42＋(8－x)2，∴x＝5，∴PC＝5，∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.如图②，当⊙P与AD边相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，BP＝82－42＝4 3.综上所述，BP的长为3或4 3.17. 【答案】相交[解析] ∵⊙M的圆心为M(－2，2)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′的圆心为M′(2，2)．因为M′B＝2>点M′到直线AB的距离，所以直线AB与⊙M′相交．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB于点D.∵⊙O与P A相切于点C，∴OC⊥P A.∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥P A，OD⊥PB，∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】解：(1)∵AC ⊥BC ，而AC ＞4，∴以点A 为圆心，4为半径的⊙A 与直线BC 相离．故答案为相离．(2)BC ＝AB 2－AC 2＝12.∵BC ⊥AC ，∴当⊙B 的半径大于BC 的长时，以点B 为圆心的⊙B 与直线AC 相交，即r ＞12.(3)如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵12CD ·AB ＝12AC ·BC ，∴CD ＝5×1213＝6013.即当R ＝6013时，以点C 为圆心，R 为半径的⊙C 与直线AB 相切．21. 【答案】证明：如图，作直径DG ，连接BG .∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠G ＝∠BAD ，∠BDM ＝∠DAC ，∴∠BDM ＝∠G .∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°，∴∠BDM ＋∠BDG ＝90°，即∠MDG ＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线DM 是⊙O 的切线．24.3正多边形和圆一．选择题1．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．下列说法，错误的是（）A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根C．一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限D．正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C 重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5 B．6 C．8 D．105．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣7．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S正八边形ABCDEFGH＝AEDF．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A．B．C．D．29．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（）A．12°B．15°C．30°D．48°10．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题11．正六边形的边长为2，则边心距为．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是．13．中心角为36°的正多边形边数为．14．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．19．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D 两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；故选：A．2．【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；B、一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；C、一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；D、正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，∴组成的正多边形为正n边形，则＝120°，解得：n＝6，故选：B．5．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．6．【解答】解：连接AC交EF于M，连接OF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝4，∴OA＝OC＝2，∵△AEF是等边三角形，∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，∴OM＝OF＝，∴CM＝，∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，∴∠CGM＝45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴GH＝2CM＝2．故选：A．7．【解答】解：设圆心为O ，连接OD ，OF ， ∵∠DOE ＝∠EOF ＝＝45°，∴∠DOF ＝90°，∴弧DF 的度数为90°，∴①正确；∵∠DOF ＝90°，OD ＝OF ，∴2OD 2＝DF 2，∴OD ＝， ∵AE ＝2OD ，∴AE ＝DF ，∴②正确；∵S 四边形ODEF ＝DFOE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝4S 四边形ODEF ＝2DFOE ， ∵OE ＝AE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝AEDF ，∴③正确；故选：D ．8．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OF A＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故选：C．9．【解答】解：连接OA、OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠AOC＝72°×2＝144°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．故选：A．10．【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图所示：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OC＝AC＝；故答案为：．12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC＝＝．∴正方形的边长是，故答案为：．13．【解答】解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．14．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故答案为：36°．15．【解答】解：如图2所示：将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，则MN＝PM＝AM，∵AM+MN+BN＝AB＝4，∴AM+AM+AM＝4，解得：AM＝4﹣2，则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；故答案为：（），32﹣32．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．【解答】解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．19．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36：24.4《弧长和扇形面积》一．选择题1．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（）A．9B．3C．D．2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．B．C．4D．2+4．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（）A．πB．πC．D．5．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（）A．πB．πC．2πD．3π6．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm27．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm28．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3B．6C．3πD．6π9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1 10．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是（）m．（结果用含π的式子表示）A．6πB．8πC．10πD．12π二．填空题11．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．13．如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．15．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中的长是cm（计算结果保留π）．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．三．解答题17．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：（1）点B'的坐标为．（2）点A经过的路径的长度为π．（友情提示：已经有π）20．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DP A＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．22．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，8）、B（﹣8，8）、C（﹣12，4），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为（保留根号）．∠ADC的度数为°；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）参考答案一．选择题1．解：设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，∴＝3π，∴r＝，故选：C．2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr＝，r＝cm．3．解：如图：BC＝AB＝AC＝1，∠BCB′＝120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，故选：B．4．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，在四边形APBO中，∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长l＝＝π，故选：C．5．解：连接OO′，∴OO′＝OA，∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，∴OA＝O′A，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOO′＝30°，∴的长＝＝π，故选：B．6．解：∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（﹣）＝2×175π故选：B．7．解：设底面圆的半径为R，则πR2＝25π，解得R＝5，圆锥的母线长＝＝，所以圆锥的侧面积＝•2π•5•＝5π；圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π，所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）m2．故选：A．8．解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr＝×2π×10，解得r＝6．故选：B．9．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．10．解：∠AOB＝360°﹣270°＝90°，则∠ABO＝45°，则∠OBC＝45°，O旋转的长度是：2×＝π，O移动的距离是：＝π，则圆心O所经过的路线长是：π+π＝6π．故选：A．二．填空题11．解：根据l＝＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．12．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°×＝60°，的长为＝．故答案为：．13．解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，故答案为：12π．14．解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．15．解：∵圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，∴圆锥的底面半径为＝5cm，∴圆锥的底面周长为10πcm，∴扇形AOC中的长是10πcm，故答案为：10π．16．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．三．解答题17．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．18．（1）证明：如图，连接AE．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是边BC上的中线，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴的长为：＝．19．解：如图所示：∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．∴A'的坐标为（0，4），B'的坐标为（2，1），∴OA＝OA'＝4，∴点A经过的路径的长度＝＝2π．20．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，．∴．∴图中阴影部分的面积为：．21．解：（1）连接OF，∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝1．∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE．设CO＝x，则OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x＝．∴OE＝2x＝．即⊙O的半径为．（2）在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF＝＝π．∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝S Rt△OEF＝＝．∴S阴影＝S扇形OEF﹣S Rt△OEF＝π﹣．22．解：（1）点D的坐标为（﹣4，0）；（2）如图，AD＝＝4，即⊙D的半径长为4；∵AD＝CD＝4，AC＝＝4，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°；故答案为（﹣4，0）；4；90；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径长为．。

2018年人教版数学九年级上册《第24章圆》测试题(含答案)

圆测试题时间：120分钟分数：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知⊙O 的半径为4cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=7cm 时，点A 与⊙O 的位置关系是（）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外D ．不能确定2．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm413．在△ABC 中，I 是内心，∠BIC=130°，则∠A 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．65°D ．80°4．如图24—B —1，⊙O 的直径AB 与AC 的夹角为30°，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为（）A ．6 B ．3C ．3 D ．335．如图24—B —2，若等边△A 1B 1C 1内接于等边△ABC 的内切圆，则AB B A 11的值为（）A ．21B ．22C ．31D ．336．如图24—B —3，⊙M 与x 轴相切于原点，平行于y 轴的直线交圆于P 、Q 两点，P 点在Q 点的下方，若P 点的坐标是（2，1），则圆心M 的坐标是（）A ．（0，3）B ．（0，25）C ．（0，2）D ．（0，23）7．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为（）A ．cm 23B ．3cmC ．4cmD ．6cm8．如图24—B —4，⊙O 1和⊙O 2内切，它们的半径分别为3和1，过O 1作⊙O 2的切线，切点为A，则O1A的长是（）A．2 B．4 C．3D．59．如图24—B—5，⊙O的直径为AB，周长为P1，在⊙O内的n个圆心在AB上且依次相外切的等圆，且其中左、右两侧的等圆分别与⊙O内切于A、B，若这n个等圆的周长之和为P2，则P1和P2的大小关系是（）A．P1< P2 B．P1= P2 C．P1> P2 D．不能确定10．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S1、S2、S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1>S2>S3 C．S1<S2<S3 D．S2>S3>S1二、填空题（每小题3分，共30分）⌒⌒11．如图24—B—6，AB是⊙O的直径，BC=BD，∠A=25°，则∠BOD=。

2018年秋人教版九年级数学上《第24章圆》单元检测题含答案

九年级数学（上）第24章《圆》单元检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1．若⊙O的半径为8cm，点A到圆心O的距离为6cm，那么点A与⊙O的位置关系是（A）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定2．如图在⊙O中，圆心角∠BOC＝60°，则圆周角∠BAC等于（D）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD的度数是（B）A．90°B．50°C．45°D．30°4．已知⊙O的半径为5，圆心到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（A）A．相交B．相离C．相切D．相交或相切5．在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（C）A．100πcm²B．15πcm²C．25πcm²D．50πcm²6．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（C）A．10πB．15πC．20πD．25π7．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（C）A．10πB CπD．π8．半径为R的圆内接正三角形的面积是（D）A ．22RB ．2R πC ．22RD ．24R 9．（2015临沂改）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，AC ⊥CD 交⊙O 于点E ，若∠BAC＝60°，AB ＝4，则阴影部分的面积是（A ）A ．23πB ． 3πC ． 4πD ．25π10．如图，点C 在以AB 为半径的半圆上，AB ＝8，∠CBA ＝30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线与点F ．下列结论：①CE ＝CF ；②线段EF的最小值为AD ＝2时，EF 与半圆相切；④当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于．（50°）12．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于．（5）13．正六边形的半径为2，则该正六边形的边长是．（2）14．如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B两点，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为．（3）15．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六变形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是________．（解：过O做OM⊥AB于M，利用垂径定理．18．（本题8分）如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．解：连OC，利用等腰三角形的三线合一性质证OC⊥AB．19．（本题8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．⑴求证：四边形CFDE是正方形；⑵若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径．解：⑴过D作DG⊥AB交AB于G点，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DF＝DG，同理可证DE＝DG，∴DE＝DF，∵∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°，∴四边形CFDE是正方形；⑵∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，由⑴知AF＝AG，BE＝BG，∴AF＋BE＝AB，∵四边CFDE是正方形，∴2CE＝AC＋CB－AB＝2，即CE＝1，△ABC的内切圆半径为1．20．（本题8分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后的到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；⑶如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过⑴、⑵变换的路径总长．解：⑴25°⑵设OC交AD于M，证OC⊥AD，AM＝DM，△ACM≌△BAD，∴BD＝AM＝DM，设2x=24，∴，∴AD．BD＝x，则AD＝2x，在△ABD中，2x+()2。

人教版九年级数学上《第二十四章圆》单元测试题含答案

第二十四章圆一、填空题(每题3分，共18分)1．如图24－Z －1所示，在⊙O 中，若∠A ＝60°，AB ＝3 cm ，则OB ＝________ cm.图24－Z －12．如图24－Z －2，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°，则∠D ＝________°.图24－Z －23．如图24－Z －3所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．图24－Z －34.如图24－Z －4，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，C 是AB ︵上的一点，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为________．图24－Z－45．如图24－Z－5，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是________cm(结果保留根号)．图24－Z－56.如图24－Z－6，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长为________．图24－Z－6二、选择题(每题4分，共32分)7．如图24－Z－7，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为()图24－Z－7A．40°B．50°C．80°D．100°8．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．不能确定9．如图24－Z －8，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC .若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的度数为( )图24－Z －8A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为( ) A.8π15 B.4π15 C.16π15 D.π211．已知圆锥的底面积为9π cm 2，母线长为6 cm ，则圆锥的侧面积是( ) A ．18π cm 2 B ．27π cm 2 C ．18 cm 2 D ．27 cm 212．一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A ．12 mmB ．12 3 mmC ．6 mmD ．6 3 mm13．如图24－Z －9，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合，若BC ＝4，则图中阴影部分的面积是( )图24－Z －9A ．2＋πB ．2＋2πC ．4＋πD ．2＋4π12.如图24－Z －10，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( )图24－Z －10A.252π B ．13π C ．25π D ．25 2 三、解答题(共50分)15．(10分)如图24－Z －11，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°.求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .图24－Z －1116．(12分)如图24－Z－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．图24－Z－1217．(12分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图24－Z－13①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图24－Z －1318．(16分)如图24－Z －14，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E .(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ； (3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．图24－Z －14教师详解详析【作者说卷】本试卷的重点是圆的基本概念、与圆有关的位置关系及应用．难点是如何构建垂径定理模型解决问题，切线的判定与性质的综合应用，亮点是既注重解决生活中的实际问题，又培养学生认真读题的习惯.知识与技能圆的相关性质垂径定理及其应用与圆有关的位置关系题号1，2，4，7，9，153，168知识与技能扇形、弧长、圆锥综合运用题号 5，6，10，11，13，1417，181.32．25 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°， ∴∠BOC ＝180°－∠AOC ＝50°， ∴∠D ＝12∠BOC ＝25°.故答案为25. 3.134[解析] 如图所示，设该圆的半径为x 厘米，已知弦长为6厘米，根据垂径定理，得AB ＝3厘米．根据勾股定理，得OA 2－OB 2＝AB 2，即x 2－(x －2)2＝32，解得x ＝134.4．110° [解析] 如图所示，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是切线， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－40°＝ 140°， ∴∠ADB ＝70°.又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝180°－70°＝110°.5．2 3 [解析] 设圆锥的底面圆半径为r cm ，高为h cm ，则2πr ＝4π，r ＝2，根据勾股定理，得h ＝16－4＝2 3.故答案是2 3.6．4π [解析] lCD ︵＝120π×1180＝2π3，lDE ︵＝120π×2180＝4π3，lEF ︵＝120π×3180＝2π，所以曲线CDEF 的长＝2π3＋4π3＋2π＝4π.7．D8．A [解析] ∵⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为2，又∵3＞2，即d ＜r ，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．9．C [解析] ∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°. ∵∠BCD ＝50°，∴∠OCB ＝40°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝40°， ∴∠AOC ＝2∠OBC ＝80°.故选C .10．A [解析] 根据扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝48π×4360＝8π15.故选A .11．A [解析] 因为圆锥的底面积为9π cm 2，所以圆锥的底面圆的半径为3 cm ，圆锥的底面周长为6π cm ，根据扇形面积公式得S ＝12lR ＝12×6π×6＝18π(cm 2)．12．A [解析] 如图，已知圆的半径r 为12 mm ，△OBC 是等边三角形，所以BC ＝12 mm ，所以正六边形的边长最大不超过12 mm .故选A .13．A [解析] 如图，连接DO.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠CBA ＝45°，∴∠DOC ＝90°.利用分割的方法，得到阴影部分的面积等于三角形BOD 的面积加扇形COD 的面积，所以阴影部分的面积＝12×2×2＋90360π×22＝2＋π.14．A [解析] 如图，连接BD ，B ′D.∵AB ＝5，AD ＝12， ∴BD ＝52＋122＝13， ∴BB′︵的长l ＝90×π×13180＝132π.∵BB″︵的长l′＝90×π×12180＝6π，∴点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是132π＋6π＝252π.故选A . 15．证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD ＝16，∴DE ＝12CD ＝8. ∵BE ＝4，∴OE ＝OB －BE ＝OD －4.在Rt △OED 中，OE 2＋DE 2＝OD 2，即(OD －4)2＋82＝OD 2，解得OD ＝10.∴⊙O 的直径是20.(2)∵弦CD ⊥AB ，∴∠OED ＝90°，∴∠EOD ＋∠D ＝90°.∵∠M ＝∠D ，∠EOD ＝2∠M ，∴∠EOD ＋∠D ＝2∠M ＋∠D ＝3∠D ＝90°，∴∠D ＝30°.17．解：(1)如图①，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB ，即∠TAB ＝90°.∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.(2)如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.18．解：(1)证明：连接OD，BD.∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，即∠ABO ＝∠ADO ＝90°.又∵OD 是半圆O 的半径，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ＝∠DOC. ∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE.(3)∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°.∵OB ＝2，∴BD ︵的长＝126×π×2180＝75π.。

人教版九年级数学(上)第二十四章《圆》单元检测卷含答案

人教版九年级数学（上）第二十四章《圆》单元检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列说法错误的是A.直径是弦B.最长的弦是直径C.垂直于弦的直径平分弦D.经过三点可以确定一个圆2.如图,已知☉O的半径为7,弦AB的长为12,则圆心O到AB的距离为A.√5B.2√5C.2√7D.√133.已知☉O的半径为5,且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根,则直线l与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.无法确定4.如图,☉O的半径OC=5 cm,直线l⊥OC,垂足为点H,且l交☉O于A,B两点,AB=8 cm,当l与☉O相切时,l需沿OC所在直线向下平移A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm5.如图,在△ABC中,已知AB=AC=5 cm,BC=8 cm,点D是BC的中点,以点D为圆心作一个半径为3 cm的圆,则下列说法正确的是A.点A在☉D外B.点A在☉D上C.点A在☉D内D.无法确定6.如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切☉O于点Q,则PQ的最小值为A.√13B.√5C.3D.27.阅读理解:如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定,有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用:在图2的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为A.(60°,4)B.(45°,4)C.(60°,2√2)D.(50°,2√2)8.如图,Rt△ABC的内切圆☉O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作☉O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N,若☉O的半径为r,则Rt△MBN 的周长为A.rB.3r2rC.2rD.529.如图,正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为A.13π cmB.14π cmC.15π cmD.16π cm10.如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=4 cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)面积是A.20π cm2B.(20π+8) cm2C.16π cm2D.(16π+8) cm2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.一个直角三角形的两边长分别为3,4,则这个三角形外接圆的半径长为2或2.5.12.如图是考古学家发现的古代钱币的一部分,合肥一中的小明正好学习了圆的知识,他想求其外圆半径,连接外圆上的两点A,B,并使AB与内圆相切于点D,作CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10 cm,AB=60 cm,则这个钱币的外圆半径为50cm.13.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是2√3.14.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=4,∠CBA=30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为√3;③当AD=1时,EF与半圆相切;④当点D从点A运动到点O时,线段EF扫过的面积是4√3.其中正确的序号是①③.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.AB=24 cm,CD=8 cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);(2)求(1)中所作圆的半径.解:(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点,以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆,如图.(2)连接OA,设OA=x,AD=12,OD=x-8,根据勾股定理,得x2=122+(x-8)2,解得x=13.∴圆的半径为13 cm.⏜上一点,且∠BPC=60°.试16.如图,已知CD是☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点M,点P是AB判断△ABC的形状,并说明你的理由.解:△ABC为等边三角形.⏜=BC⏜,∴AC=BC,理由如下:∵AB⊥CD,CD为☉O的直径,∴AC又∵∠BPC=∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ABC中,∠C=90°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.⏜的度数;(1)若∠A=25°,求BD(2)若BC=9,AC=12,求BD的长.解:(1)延长BC交☉O于点N,∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,∴∠B=65°,∴∠B所对的弧BDN的度数是130°,⏜的度数是180°-130°=50°.∴BD(2)延长AC交☉O于点M,在Rt△BCA中,由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√122+92=15,∵BC=9,AC=12,∴CM=CE=BC=9,AM=AC+CM=21,AE=AC-CE=3,由割线定理得AD×AB=AE×AM,∴(15-BD)×15=21×3,解得BD=54.518.如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.(1)求证:BF=CE;(2)若∠C=30°,CE=2√3,求AC.解:(1)∵AF,AE是☉O的切线,∴AF=AE.又∵AB=AC,∴AB-AF=AC-AE,即BF=CE.(2)连接AO,OD.∵O是△ABC的内心,∴OA平分∠BAC.∵☉O是△ABC的内切圆,D是切点,∴OD⊥BC.又∵AC=AB,∴A,O,D三点共线,即AD⊥BC.∵CD,CE是☉O的切线,∴CD=CE=2√3.在Rt△ACD中,由∠C=30°,设AD=x,则AC=2x,由勾股定理得CD2+AD2=AC2,即(2√3)2+x2=(2x)2,解得x=2.∴AC=2x=2×2=4.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,已知ED为☉O的直径且ED=4,点A(不与点E,D重合)为☉O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为☉O上一点,∠FEB=90°,BF的延长线交AD的延长线于点C.(1)求证:△EFB≌△ADE;(2)当点A在☉O上移动时,直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.解:(1)连接FA ,∵∠FEB=90°,∴EF ⊥AB , ∵BE=AE ,∴BF=AF ,∵∠FEA=∠FEB=90°,∴AF 是☉O 的直径,∴AF=DE , ∴BF=ED ,在Rt △EFB 与Rt △ADE 中,{BE =AE ,BF =DE ,∴Rt △EFB ≌Rt △ADE.(2)∵Rt △EFB ≌Rt △ADE ,∴∠B=∠AED ,∴DE ∥BC ,∵ED 为☉O 的直径,∴AC ⊥AB ,∵EF ⊥AB ,∴EF ∥CD ,∴四边形FCDE 是平行四边形,∴E 到BC 的距离最大时,四边形FCDE 的面积最大,即点A 到DE 的距离最大,∴当A 为ED ⏜的中点时,点A 到DE 的距离最大是2,∴四边形FCDE 的最大面积=4×2=8.20.如图,点P 是正方形ABCD 内的一点,连接PA ,PB ,PC.将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.(1)设AB 的长为a ,PB 的长为b (b<a ),求△PAB 旋转到△P'CB 的过程中边PA 所扫过区域(图中阴影部分)的面积;(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC 的长.解:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置,∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP'=π(a2-b2).4(2)连接PP',根据旋转的性质可知△APB≌△CP'B,∴BP=BP'=4,P'C=PA=2,∠PBP'=90°,∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32.又∵∠BP'C=∠BPA=135°,∴∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,即△PP'C是直角三角形,PC=√P'P2+P'C2=6.六、(本题满分12分)21.已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.(1)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数;(2)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC.①AE与OD的大小有什么关系?为什么?②求∠ODC的度数.解:(1)如图①,连接OC ,∵OC=OA ,CD=OA ,∴OC=CD ,∴∠ODC=∠COD , ∵CD 是☉O 的切线,∴∠OCD=90°,∴∠ODC=45°.(2)如图②,连接OE.∵CD=OA ,∴CD=OC=OE=OA ,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵AE ∥OC ,∴∠2=∠3.设∠ODC=∠1=x ,则∠2=∠3=∠4=x ,∴∠AOE=∠OCD=180°-2x.①AE=OD.理由如下:在△AOE 与△OCD 中,{OA =OC ,∠AOE =∠OCD ,OE =CD ,∴△AOE ≌△OCD (SAS),∴AE=OD.②∠6=∠1+∠2=2x. ∵OE=OC ,∴∠5=∠6=2x.∵AE ∥OC ,∴∠4+∠5+∠6=180°,即x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠ODC=36°.七、(本题满分12分)22.如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A 在Oy 上滑动,点B 随着线段AB 在射线Ox 上滑动(A ,B 与O 不重合),Rt △AOB 的内切圆☉K 分别与OA ,OB ,AB 切于点E ,F ,P.(1)在上述变化过程中,Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由.(2)当AE=4时,求☉K的半径r.(3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长.解:(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径.理由如下:∵∠AOB=90°,∴AB是△AOB的外接圆的直径.∵AB的长不变,∴△AOB的外接圆半径不变.(2)设☉K的半径为r,☉K与Rt△AOB相切于点E,F,P,连接EK,KF,∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,∴四边形EOFK是矩形.又∵OE=OF,∴四边形EOFK是正方形,∴OE=OF=r,∵☉K是Rt△AOB的内切圆,切点分别为点E,F,P,∴AE=AP=4,PB=BF=6,∴(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合题意),r=2.(3)设AO=b,OB=a,∵☉K与Rt△AOB三边相切于点E,F,P,∴OE=r=a+b-10,即2(b-x)+10=a+b,∴10-2x=a-b,∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.2∵S=1ab,∴ab=2S,∵a2+b2=102,∴100-40x+4x2=100-4S,2∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.∴当x=5时,S最大,即AE=BF=5,∴OA==5√2.√2八、(本题满分14分)23.如图,点P在射线AB的上方,且∠PAB=45°,PA=2,点M是射线AB上的动点(点M不与点A重合),现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N,连接AQ,PM,PN,作直线QN.(1)求证:AM=QN.(2)直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在,请求出此时AM的长,若不存在,请说明理由.(3)当以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q时,直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积.解:(1)如图1,连接PQ,由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,可得AP=AQ,∠PAQ=60°,∴△APQ为等边三角形,∴PA=PQ,∠APQ=60°,由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N,可得PM=PN,∠MPN=60°,∴∠APM=∠QPN,则△APM≌△QPN(SAS),∴AM=QN.(2)存在.理由如下:如图2,由(1)中的证明可知△APM≌△QPN,∴∠AMP=∠QNP,∵直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆相切,∴∠AMP=∠QNP=90°,即PN⊥QN.在Rt△APM中,∠PAB=45°,PA=2,∴AM=√2.(3)由(1)知△APQ是等边三角形,∴PA=PQ,∠APQ=60°.∵以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q,∴PN=PQ=PA.∵PM=PN,∴PA=PM,∵∠PAB=45°,∴∠APM=90°,∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°.∵∠MPN=60°,∴∠QPN=90°,∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积,而此扇形的圆心角∠QPN=90°,半径为PN=PM=PA=2.∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积=90π·22360=π.。

人教版九年级数学上册《第24章圆》单元测试题(含答案)

人教版九年级数学上册《第24章圆》单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．122．如图，已知⊙C的半径为2，圆外一点O满足OC＝3.5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为（）A．2B．2.5C．3D．3.53．⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为3，直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切4．如果圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么它的侧面积等于（）A．9πB．18πC．24πD．36π5．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1的值是（）A．15°B．18°C．20D．9°6．如图，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF，…圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是（）A．8πB．6πC．4πD．2π7．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．10C．D．8．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C的位置，……，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（，﹣）9．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．26B．24C．22D．2010．已知扇形的半径为3，圆心角为60°，则扇形的面积等于（）A．B．πC．D．二．填空题（共8小题）11．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（2﹣a，0），C（2+a，0）（a＞0），若点P在以D（5，6）为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的取值范围是．13．若半径为6cm的圆中，一段弧长为3πcm，则这段弧所对的圆心角度数为．14．如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，则△ABC的面积为．15．如图，有一座石拱桥，上部拱顶部分是圆弧形，跨度BC＝10m，拱高为（10﹣5）m，那么弧BC所在圆的半径等于．16．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．17．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．18．一个边长为4的正四边形的半径是．三．解答题（共8小题）19．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD 能通过这个隧道吗？请说明理由．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，若EC＝BC，且∠1＝∠2．求证：DC ＝BC．21．如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值．22．如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．23．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB＝CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1＝∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．24．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝75°，D是⊙O上的点．（Ⅰ）如图①，求∠ADC和∠BDC的大小；（Ⅱ）如图②，OD⊥AC，垂足为E，求∠ODC的大小．25．如图，已知OA、OB是⊙O的两条半径，C、D为OA、OB上的两点，且AC＝BD．求证：AD ＝BC．26．Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，BE＝AE＝2，以AE为直径作⊙O交AC于点F，交BC于点D，且点D为切点，连接AD、EF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求阴影部分面积．（结果保留π）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选：D．2．解：连接OP，PC，OC，∵OP≥OC﹣PC＝3.5﹣2＝1.5，∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为1.5，∵OA＝OB，∠APB＝90°，∴AB＝2OP，当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP＝3，故选：C．3．解：∵圆心到直线的距离＝圆的半径，∴直线与圆的位置关系为相切．故选：B．4．解：圆锥的侧面积＝×2π×3×6＝18π．故选：B．5．解：正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，正方形的内角是90°，则∠1＝108°﹣90°＝18°．故选：B．6．解：∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°AC＝1∴BD＝2，CE＝3∴弧CD 的长＝×2π×1弧DE 的长＝×2π×2弧EF 的长＝×2π×3∴曲线CDEF ＝×2π×1+×2π×2+×2π×3＝4π．故选：C ．7．解：连接OB ，∵AO ⊥BC ，AO 过O ，BC ＝8，∴BD ＝CD ＝4，∠BDO ＝90°，由勾股定理得：OD ＝＝＝3， ∴AD ＝OA +OD ＝5+3＝8，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AB ＝＝4，故选：D ．8．解：作PE ⊥OA 于E ，∵OP ＝1，∠POE ＝45°，∴OE ＝PE ＝，即点P 的坐标为（，），则第2秒P 点为（0，1），根据题意可知，第3秒P 点为（﹣，），第4秒P 点为（﹣1，0），第5秒P 点为（﹣，﹣），第6秒P 点为（0，﹣1），第7秒P 点为（，﹣），第8秒P 点为（1，0）， 2018÷8＝252……2，∴第2018秒点P 所在位置的坐标为（0，1），故选：B ．9．解：过D作DM⊥AB于M，连接BD，如图，由题意：B（8，0），C（0，﹣6），∴OB＝8，OC＝6，BC＝10，则由三角形面积公式得，×BC×DM＝×OB×DC，∴10×DM＝64，∴DM＝6.4，∴圆D上点到直线y＝x﹣6的最小距离是6.4﹣2＝4.4，∴△ABC面积的最小值是×10×4.4＝22，故选：C．10．解：扇形的面积＝＝，故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．12．解：∵A（2，0），B（2﹣a，0），C（2+a，0），∴AB＝AC＝a，∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝BC＝a，∵DA＝＝3，∴点P为直线AD与圆的交点重合时，a取最大和最小值，即3﹣2≤a≤3+2．故答案为3﹣2≤a≤3+2．13．解：圆心角的度数为3π×180°÷6π＝90°．故答案为：90°．14．解：设CE＝x．根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．整理，得x2+7x＝12．＝AC•BC∴S△ABC＝（x+3）（x+4）＝（x2+7x+12）＝×（12+12）＝12；故答案为：12．15．解：设圆弧所在圆的圆心为O，半径为r，连接OB，过O作OA⊥BC于D交于A，则BD＝BC＝5，AD＝10﹣5，∴OD＝r﹣10+5，∵OB2＝BD2+OD2，∴r2＝52+（r﹣10+5）2，解得：r＝10，故答案为：10．16．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°17．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．18．解：连接OA、OB，如图所示，∵四边形ABCD是正四边形，∴∠AOB＝＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝2；故答案为：2．三．解答题（共8小题）19．解：如图所示：连接OC，∵OA＝AE＝0.5m，∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，∴BC＝＝＝3.2＞3m∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．20．证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠1+∠CBD＝∠2+∠BAC，∵∠1＝∠2，∴∠CBD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠BDC，∴BC＝CD．21．（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON，∴AB＝CD；（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，∴∠BEO＝∠BED＝30°，∵OM⊥AB，∴∠OME＝90°，∵OE＝2，∴∴＝1，∴＝＝，∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．22．（Ⅰ）证明：连接OD，OB．∵D为的中点，∴∠BOD＝∠COD．∵OB＝OC，∴OD⊥BC，∴∠OGC＝90°．∵EF∥BC，∴∠ODF＝∠OGC＝90°，即OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（Ⅱ）解：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，又∵∠BDC＝2∠A，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB等边三角形，∵OB＝AB＝2，又∵∠BOC＝2∠A＝120°，∴＝．23．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠PAC，∴△BEC≌△APC，∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴．（4分）（3）答：；证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴∴（7分）24．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝75°，∴∠ADC＝105°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BD，∵OD⊥AC，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD＝×75°＝37.5°，∴∠ACD＝∠ABD＝37.5°，∵∠DEC＝90°，∴∠ODC＝90°﹣37.5°＝52.5°．25．解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO，∵AC＝BD，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．26．（1）证明：连接OD交EF于M．∵BC切⊙O于D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠DAC＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠DAC，∴AD平分∠ABC．（2）连接OF．∵AE是直径，∴∠AFE ＝90°，∵EF ∥BC ，∴＝＝，∵∠C ＝∠AFE ＝∠ODC ＝90°， ∴四边形DMFC 是矩形，∴DM ＝CF ＝AF ，∵OM ＝DM ＝OD ＝OE ， ∴∠OEM ＝30°，∴∠EOF ＝120°，∵BE ＝AE ＝2，∴OE ＝2，∴OM ＝1，EM ＝，EF ﹣2，∴S 阴＝S 扇形OEF ﹣S △OEF ＝﹣×2×1＝﹣．。

精品解析：2018-2019学年度人教版数学九年级上册第24章《圆》单元测试卷(解析版)

2018-2019学年度人教版数学九年级上册第24章《圆》单元测试卷一、选择题1.下列说法中不正确的是( )A. 圆是对称图形B. 三点确定一个圆C. 半径相等的两个圆是等圆D. 每个圆都有无数条对称轴【答案】B【解析】【分析】根据圆有关定义和性质分析.【详解】圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，所以A、D选项正确，不符合题意；不共线的三点确定一个圆，所以B选项错误，符合题意；由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故C选项正确，不符合题意；故选：B.【点睛】考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义和性质是解题关键．2.如图所示，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC＝24，则线段OA的长为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由垂径定理得出AB=BC=12，∠OAB=90°，由勾股定理求出OA即可．【详解】连接OB，如图所示：∵OA⊥BC，∴AB=BC=12，∠OAB=90°，由勾股定理得：OA=.故选：A.【点睛】考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出OA是解题的关键．3.如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )A. 22°B. 26°C. 32°D. 68°【答案】A【解析】试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.考点：圆周角的计算视频4.若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为( )A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O内D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】先计算出⊙O的半径R=5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】∵⊙O的面积为25π，∴⊙O的半径R=5，∵OP=4.9，OP＜R，所以点P在⊙O内；故选：C．【点睛】考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d＜r．5.如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )A. 25°B. 50°C. 60°D. 80°【答案】B【解析】【分析】由AC∥OB，∠BAO=25°，可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°，又由圆周角定理，即可求得答案．【详解】∵OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∴∠BOC=2∠BAC=50°．故选：B．【点睛】考查了圆周角定理以及平行线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．6.如图，⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )A. 65°B. 75°C. 50°D. 55°【答案】A【解析】试题分析：由等腰三角形的性质，求得∠B的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠B=∠ACB=65°，∴∠AEC=∠B=65°.故选A.7.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是( )A. 52°B. 76°C. 26°D. 128°【答案】B【解析】试题分析：连接OD、OF；由圆周角定理可求得∠DOF的度数；在四边形ADOF中，∠ODA=∠OFA=90°，因此∠A和∠DOF互补，由此可求出∠A的度数．解：连接OD，OF，则∠ADO=∠AFO=90°；由圆周角定理知，∠DOF=2∠E=104°；∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．故选B．考点：三角形的内切圆与内心；圆周角定理；切线的性质．8.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )A. B. 2 C. 2 D. 2【答案】B【解析】解：连接OB，OC．∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC．∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2．故选B．9.如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．故选D．10.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )A. 5B. 5C. 5D.【答案】A【解析】解：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD=AO=2.5，∴AD==，∴AC=2AD=，故选A．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．11.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )A. 40cmB. 50cmC. 60cmD. 80cm【答案】A【解析】试题解析：∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm设扇形的半径为r，则，解得：r=40cm，故选A．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．12.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是( )A. 4B. 3＋C. 3D. 3＋【答案】B【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．视频二、填空题13.如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=_____。

人教新版九年级上学期第24章《圆》单元测试卷(含详解)

人教新版九年级上学期第24章《圆》单元测试卷（含详解）一．选择题1．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cmC．5.5cm D．2.5cm或5.5cm4．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO ＝（）A．90°B．110°C． 120°D．165°5．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．πB． +C．D． +6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）A．1 B．C．D．7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm8．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB ＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°10．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝3，则的弧长为（）A．B．πC．D．312．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定二．填空题13．把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是．14．（1）已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．（2）等边△ABC的边长为10cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．15．在圆内接四边形ABCD中，弦AB＝AD，AC＝2016，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为．16．已知⊙O的半径为1cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝．17．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为．三．解答题18．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°．（1）求∠B的度数；（2）若PC＝2，求BC的长．19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D 作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．21．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．（1）求直径AB的长；（2）求阴影部分图形的周长和面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．（1）求证：BE∥AF；（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．参考答案一．选择题1．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．2．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D＝∠BOC＝20°，故选：A．3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选：D．4．解：∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝65°＝∠ABO+∠OBC，∴∠BAO+∠BCO＝65°，∵∠ADC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝360°﹣（∠ADC+∠BAO+∠BCO+∠ABC）＝360°﹣（65°+65°+65°）＝165°，故选：D．5．解：∵AB为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝BC ＝，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥AB ，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S △AOC ＝S △BOC ，OA ＝，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝＝π．故选：A ． 6．解：∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠1＝30°（如图），∴a ＝2cos ∠1＝，∴a ＝2．故选：D ．7．解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠PAO ＝90°，在直角△APO 中，OA ＝＝2，∵AB ⊥OP ，∴AD ＝BD ，∠ADO ＝90°，∴∠ADO ＝∠PAO ＝90°，∵∠AOP ＝∠DOA ，∴△APO ∽△DAO ，∴＝，即＝，解得：AD ＝3（cm ），∴BD ＝3cm ．故选：B ．8．解：如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OF ． ∵AB 是直径，∴∠AFB ＝90°，∴AF ⊥BF ，∵CF ＝BF ，∴AC ＝AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，易证△CEF ≌△BOF ，∴S 阴＝S 扇形OBF ＝＝，故选：D ．9．解：连接AC ，如图，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵∠ACB ＝∠ADB ＝70°，∴∠ABC ＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选：A ．10．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°，故选：C．11．解：∵四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，∵AB＝BE＝CD＝3，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴的弧长为＝π，故选：B．12．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5，所以圆锥的高＝＝．故答案为．14．解：（1）如果设这个直角三角形的直角边是a，b，斜边是c，那么由题意得：S＝ab＝12，a+b+c＝12，△∴ab＝24，a+b＝12﹣c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2，（12﹣c）2﹣48＝c2，解得c＝，所以直角三角形外接圆的半径是cm；设内切圆的半径是r，则×12r＝12，解得：r＝cm．故答案是：，；（2）连接OC和OD，如图：由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点所以OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即为圆的半径．又由BC＝10cm，则CD＝5cm在直角三角形OCD中：＝tan30°代入解得：OD＝CD＝，则CO＝×10＝；故答案为：，．15．解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，∴∠ADF＝∠ABE．∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，∴△AEB≌△AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）．∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF ＝30°，∴CF ＝1008，AF ＝，∴四边形ABCD 的面积＝2S △ACF ＝2×CF ×AF ＝88144．故答案为：88144．16．解：当圆心O 在弦AC 与AB 之间时，如图（1）所示，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，连接OA ，由垂径定理得到：D 为AB 中点，E 为AC 中点，∴AE ＝AC ＝cm ，AD ＝AB ＝cm ，∴cos ∠CAO ＝，cos ∠BAO ＝＝， ∴∠CAO ＝45°，∠BAO ＝30°，此时∠BAC ＝∠CAO +∠BAO ＝45°+30°＝75°；当圆心在弦AC 与AB 一侧时，如图（2）所示，同理得：∠BAC ＝∠CAO ﹣∠BAO ＝45°﹣30°＝15°，综上，∠BAC ＝15°或75°．故答案为：15°或75°．17．解：作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，交CD 于点P ，则PA +PB 最小，连接OA ′，AA ′．∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，又∵OA＝OA′＝3，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．故答案为：3．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠P＝30°，∴∠POA＝60°，∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°，（2）如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°且∠B＝30°，∴BC＝AC，设OA＝OB＝OC＝x，在Rt△AOP中，∠P＝30°，∴PO＝2OA，∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2．又在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．19．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴＝＝，∵FC＝1，∴EC＝2，∵OD＝AC＝2，∴AC＝4，∴AE＝EC＝2，∴AB＝BC，∵AB＝AC＝4，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∴的长：＝．20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．21．解：如图所示：连接OC，∵OA＝AE＝0.5m，∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，∴BC＝＝＝3.2＞3m ∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．22．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影23．解：（1）设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝2，∴CE＝ED＝，∴OC＝EC÷os30°＝2，∴AB＝2OC＝4．（2）连接BC，OD，∵∠CBO＝∠BOD＝60°，∴BC∥OD，∴S△BCD ＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝π，阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．24．（1）证明：∵AH＝AC，AF平分线∠CAH∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，∴∠HAF+∠ACH＝90°∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，∵E为的中点，∴，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠HAF＝∠E BD，∴BE∥AF；（2）解：连接OH、CD．∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AH＝AC＝6∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB∴△EBH∽△ECB，∴，EB＝2EH，由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，即（2EH）2+EH2＝42，∴EH＝．25．证明：（1）∵AC平分∠BCD∴∠ACB＝∠ACD，∵AE∥BC∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD∴AE＝CE，且AE＝EF∴AE＝CE＝EF∴△CAF是直角三角形∴∠CAF＝90°∴AF是⊙O的切线（2）连接AD，∵AC是直径∴∠ABC＝90°＝∠ADC∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD＝12，BC＝CD在Rt△AED中，DE＝＝5∵AE＝CE＝EF＝13∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，∵AE∥BC∴＝∴EG＝9∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(1)一、知识梳理（一）点、直线与圆的位置关系：（可用什么方法判断？） 1．2．已知圆O 的半径为8cm ，若圆心O 到直线l 的距离为8cm ，那么直线l 和圆O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相离（二）圆心角、弧、弦之间的关系 1．下列说法中，正确的是( )A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等 2．（三）圆周角定理及其推理1．如图，若AB 是⊙O 的直径，AB=10cm ，∠CAB=30°，则BC= cm 。

人教版九年级数学上册第24章圆单元测试(含解析)

第24章圆单元测试(时间120分钟,总分值120分)一、选择题(每题3分,共30分)1.如图,在☉O中,弦的条数是()A.2B.3C.4D.以上均不正确2.如图,△ABC为☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,点D在☉O上,∠ADC=55°,那么∠BAC的大小等于()A.55°B.45°C.35°D.30°(第1题图)(第2题图)3.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角〞时,假设正确的选项是()A.假设三个外角都是锐角B.假设至少有一个钝角C.假设三个外角都是钝角D.假设三个外角中至多有一个钝角4.如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),那么所得扇形DAB的面积为()A.6B.7C.8D.95.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE,那么AE的值是()ACA.1B.√2C.2D.√36.圆锥的侧面展开图的面积是15π,母线长是5,那么圆锥的底面半径为()B.3C.4D.6A.32⏜的7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为2,∠B=135°,那么AC长为()A.2π B .πC.π2D.π38.在△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C 为圆心r 为半径画☉C ,使☉C 与线段AB 有且只有两个公共点,那么r 的取值范围是( ) A.6≤r ≤8 B.6≤r<8 C.245<r ≤6D.245<r ≤89.如图,在半径为2,圆心角为90°的扇形ACB 内,以BC 为直径作半圆,交弦AB 于点D ,连接CD ,那么阴影局部的面积为( ) A .π-1 B.2π-1 C.12π-1D.12π-210.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ,点B 经过的途径为BD ⏜,那么图中阴影局部的面积为( ) A.2512πB.43πC.34π D.512π(第9题图) (第10题图)二、填空题(每题4分,共24分)11.如下图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的☉P 的圆心P 的坐标为(-3,0),将☉P 沿x 轴正方向平移,使☉P 与y 轴相切,那么平移的间隔为 . 12.将量角器按如下图的方式放置在三角形纸板上,使顶点C 在半圆上,点A ,B 的读数分别为100°,150°,那么∠ACB 的大小为度.(第11题图) (第12题图)13.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,以顶点D 为圆心作半径为r 的圆,假设要求另外三个顶点A ,B ,C 中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,那么r 的取值范围是 .14.(2021·贵阳)如图,四边形ABCD 是☉O 的内接正方形,假设正方形的面积等于4,那么☉O 的面积等于 .15.如下图,☉M 与x 轴相交于点A (2,0),B (8,0),与y 轴相切于点C ,那么圆心M 的坐标是 .⏜于点E,以点16.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交AB⏜交OB于点D.假设OA=2,那么阴影局部的面积O为圆心,OC的长为半径作CD为.(第14题图)(第15题图)(第16题图)三、解答题(共66分)17.⏜的中点,CD⊥OA,CE⊥OB,求证:AD=BE.(6分)如图,☉O中,C为AB18.(6分)如图,在△ABC中,点D是AC边上一点,以AD为直径的☉O与边BC相切于点E,且AB=BE.求证:AB是☉O的切线.19. (8分)圆柱的底面直径是60毫米,高为100毫米,圆锥的底面直径是120毫米,且圆柱的体积比圆锥的体积多一半,求圆锥的高是多少?20.(8分)如图,AB,CD是☉O中互相垂直的两条直径,以A为圆心,OA为半径画弧,与☉O交于E,F两点.(1)求证:AE是☉O的内接正六边形的一边;(2)请在图上继续画出这个正六边形.21.(8分)如图,在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC,顶点A,B,C及点O 均在格点上,请按要求完成以下操作或运算:(1)将△ABC向上平移4个单位,得到△A1B1C1(不写作法,但要标出字母);(2)将△ABC绕点O旋转180°,得到△A2B2C2(不写作法,但要标出字母);(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的途径长.22.(8分)如图,AB是☉O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.23.(10分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,直径HF交AC于D,HF,BC的延长线交于点E.(1)假设HF⊥AB,求证:∠OAD=∠E.(2)假设A点是下半圆上一动点,当点A运动到什么位置时,△CDE的外心在△CDE 一边上?请简述理由.24.(12分)如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=√2 cm,P在BC上,以C为圆心,PC为半径画弧交边AC于D,以B为圆心,PB为半径画弧交边AB于E.设PB=x cm,图中阴影局部的面积为y cm2(π取3).(1)求y关于x的函数解析式;(2)写出自变量x的取值范围;(3)当P在什么位置时,y有最大值?最大值是多少?参考答案1.C解析:在☉O中,有弦AB,弦DB,弦CB,弦CD.共有4条弦.2.C解析:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠B=∠ADC=55°,∴∠BAC=90°-∠B=35°.3.D4.D解析:∵正方形的边长为3,∴BD⏜的弧长=6,∴S扇形DAB =12lr=12×6×3=9.5.B解析:如下图,连接AG,GE,EC,那么四边形ACEG为正方形,故AEAC=√2.6.B解析:设底面半径为R,那么底面周长=2πR,圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5=15π,∴R=3.7.B 解析:如下图,连接OA ,OC.∵∠B=135°,∴∠D=180°-135°=45°, ∴∠AOC=90°, 那么AC ⏜的长=90π×2180=π.8.C9.A 解析:在Rt △ACB 中,AB=√22+22=2√2,∵BC 是半圆的直径,∴∠CDB=90°,在等腰Rt △ACB 中,CD 垂直平分AB ,CD=BD=√2,∴D 为半圆的中点,S 阴影局部=S 扇形ACB-S △ADC =14π×22-12×(√2)2=π-1.10.A 解析:∵AB=5,AC=3,BC=4,∴△ABC 为直角三角形,由题意得,△AED 的面积=△ABC 的面积,由图形可知,阴影局部的面积=△AED 的面积+扇形ADB 的面积-△ABC 的面积,∴阴影局部的面积=扇形ADB 的面积=30π×52360=2512π.11.1或5 解析:当☉P 位于y 轴的左侧且与y 轴相切时,平移的间隔为1;当☉P 位于y 轴的右侧且与y 轴相切时,平移的间隔为5.12.25 解析:设量角器的半圆圆心为O ,连接OA ,OB ,由题意得∠AOB=50°,∵∠ACB 与∠AOB 都对应AB⏜,∴∠ACB=12∠AOB=25°. 13.3<r<5 解析:在直角△ABD 中,CD=AB=4,AD=3,那么BD=√32+42=5.由图可知3<r<5.14.2π 解析:正方形的边长AB=2,那么☉O 的半径是2×√22=√2,那么☉O 的面积是π(√2)2=2π.15.(5,4) 解析:如下图,连接AM ,作MN ⊥x 轴于点N ,那么AN=BN.∵点A (2,0),B (8,0), ∴OA=2,OB=8, ∴AB=OB-OA=6. ∴AN=BN=3.∴ON=OA+AN=2+3=5,那么M的横坐标是5,圆的半径是5.在直角△AMN 中,MN=√AM2-AN2=√52-32=4,那么M的纵坐标是4.故M的坐标是(5,4).16.π12+32解析:如下图,连接OE,AE.∵点C为OA的中点,∴∠CEO=30°,∠EOC=60°,∴△AEO为等边三角形,∴S扇形AOE =60π×22360=23π,∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-(S扇形AOE-S△COE)=90π×22360−90π×12360−(2 3π−12×1×√3)=34π-23π+√32=π12+32.17.分析:此题需先证出∠AOC=∠BOC,再根据CD⊥OA,CE⊥OB,得出∠ODC=∠OEC,从而证出△COD≌△COE,得出OD=OE,再根据OA=OB,即可得出AD=BE.证明:∵点C是AB⏜的中点,∴∠AOC=∠BOC.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC,又∵OC=OC,∴△COD≌△COE(AAS).∴OD=OE.∵OA=OB,∴AD=BE.18.分析:连接OB,OE,由AD为圆O的直径得到OA=OE,由BC为圆O的切线,得到OE垂直于BC,利用SSS得出三角形ABO与三角形BEO全等,由全等三角形的对应角相等得到∠BAO=∠BEO=90°,即OA垂直于AB,即可得证.证明:如下图,连接OE,OB.∵AD是圆O的直径,圆O与BC相切于点E,∴OA=OE,OE⊥BC,∵OA=OE,OB=OB,AB=BE,∴△ABO≌△EBO(SSS),∴∠BAO=∠BEO=90°,即OA⊥AB,那么AB为圆O的切线.19.分析:圆柱的体积=底面积×高;圆锥的体积=13底面积×高.关系式为圆柱的体积=圆锥的体积×1.5,把相应数值代入即可.解:设圆锥高为x 毫米,13π×(1202)2·x ×(1+12)=π×(602)2×100,解得x=50.答:圆锥高为50毫米.20.分析:(1)连接OE ,OF ,AF ,得到△AOE 是等边三角形,从而得到AE 是正六边形的一边;(2)用以AE 的长为圆规两脚间的间隔 ,分别在圆上截得相等的弧长. 解:(1)证明:如下图,连接OE ,OF ,AF.∵AE=OA=OE ,∴△AOE 是等边三角形,∠OAE=60°, 同理可证△OAF 是等边三角形,∴∠OAF=60°,∴AE=AF ,且∠EAF=∠OAE+∠OAF=120°,∴AE 是☉O 的内接正六边形的一边. (2)用圆规截取AE 弧的弧长,然后以B 点为圆心,在圆上截得相等的弧长,获得G ,H 点,然后顺次将A ,E ,G ,B ,H 和F 连接起来就得到正六边形. 21.分析:(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A 1B 1C 1即可;(2)根据图形旋转的性质画出△ABC 绕点O 旋转180°后得到的△A 2B 2C 2; (3)根据弧长的计算公式列式即可求解. 解:(1)△A 1B 1C 1如下图.(2)△A 2B 2C 2如下图.(3)∵OA=4,∠AOA 2=180°,∴点A 绕着点O 旋转到点A 2所经过的途径长为180π×4180=4π.22.分析:(1)连接AC ,由题意得AD ⏜=CD ⏜=CB ⏜,∠DAC=∠CAB ,即可证明AE ∥OC ,从而得出∠OCE=90°,即可证得结论;(2)四边形AOCD 为菱形.由AD⏜=CB ⏜,那么∠DCA=∠CAB 可证明四边形AOCD 是平行四边形,再由OA=OC ,即可证明平行四边形AOCD 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形). 解:(1)如下图,连接AC ,∵点C ,D 是半圆O 的三等分点, ∴AD⏜=CD ⏜=CB ⏜,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC,∴∠OCE+∠E=180°.∵CE⊥AD,∴∠OCE=90°,∴OC⊥CE,∴CE是☉O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由是:⏜=CB⏜,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA;∵AD又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形.∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形.23.分析:(1)首先连接OB,由HF⊥AB,根据垂径定理与圆周角定理,即可求得∠AOH=∠ACB,继而可得∠AOD=∠ECD,又由∠ODA=∠CDE,即可证得∠OAD=∠E;(2)当AB是直径或AC⊥DF时,△CDE的外心在△CDE的一边上.因为直径所对的圆周角是直角,直角三角形的外心在其一边上.解:(1)证明:如下图,连接OB.⏜=AH⏜,∵HF⊥AB,∴BH∴∠AOH=∠ACB=1∠AOB.2∵∠AOD+∠AOH=180°,∠ECD+∠ACB=180°,∴∠AOD=∠ECD.∵∠ODA=∠CDE,∴∠OAD=∠E.(2)当AB是直径或AC⊥DF时,△CDE的外心在△CDE的一边上.理由:①当AB是直径时,△CDE的外心在△CDE一边上.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠DCE=90°,即△CDE是直角三角形,∴△CDE的外心在△CDE边DE上;②当A 运动到使AC ⊥HF 时,△CDE 是直角三角形.此时△CDE 的外心在△CDE 边CE 上.综上两种情况下,当AB 是直径或AC ⊥DF 时,△CDE 的外心在△CDE 的一边上. 24.分析:(1)利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可;(2)利用三角形边长得出自变量x 的取值范围; (3)利用(1)中所求求出面积最值即可. 解:(1)∵AB=AC=√2 cm,∴BC=2 cm .∵设PB=x cm,∴PC=(2-x )cm, ∴y=12×√2×√2−45π·x 2360−45π·(2-x )2360=1-πx 28−π(2-x )28=1-π(2-2x+x 2)4=-34x 2+32x-12.(2)∵以B 为圆心,PB 为半径画弧交边AB 于E ,∴0≤x ≤√2.(3)∵y=-34x 2+32x-12,∴当x=1时,y 最大=14,∴当PB=1 cm 时,即P 为BC 的中点时,y 有最大值,最大值是14cm 2.。

2018-2019九年级数学上册第24章圆测试题(带答案新人教版)

2018-2019九年级数学上册第24章圆测试题（带答案新人教版）第二十四章测评 (时间:45分钟,满分:100分) 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3√5,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( ) A.点B,C均在圆P 外 B.点B在圆P外、点C在圆P内 C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.(2017•海南中考)如图,点A,B,C在�O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( ) A.25° B.50° C.60° D.80° 3.(2017•江苏苏州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的�O交AB于点D,E是�O上一点,且⏜CE=⏜CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F=() A.92° B.108° C.112° D.124° (第2题图) (第3题图)4.(2017•内蒙古呼和浩特中考)如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为( ) A.26π B.13πC.96π/5 D.(39√10 π)/55.如图,圆锥形的烟囱帽底面半径为15 cm,母线长为20 cm,制作这样的一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( ) A.150π cm2 B.300π cm2 C.600π cm2 D.150 cm26.(2017•吉林长春中考)如图,点A,B,C在�O上,∠ABC=29°,过点C作�O的切线交OA的延长线于点D,则∠D的大小为( ) A.29° B.32° C.42° D.58°7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆�O上的点,在下列判断中,不正确的是( ) A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形 B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC C.当PO⊥AC时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F 作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( ) A.4 B.3√3 C.6 D.2√3 二、填空题(每小题4分,共20分)9.�O的圆心到直线l的距离为d,�O的半径为r,若d,r是关于x的方程x2-4x+m=0的两根,当直线l和�O相切时,m的值为. 10.如图,点A,B,C在半径为9的�O上,⏜AB的长为2π,则∠ACB的大小是. 11.如图,在�O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°. (第10题图) (第11题图)12.如图,AB为�O的直径,C为�O外一点,过C作�O的切线,切点为B,连接AC交�O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为. 13.如图,AB,AC分别是�O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD= . (第12题图) (第13题图)三、解答题(共48分) 14.(10分)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3). (1)画出△ABC的外接圆�P,并指出点D与�P的位置关系; (2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与�P的位置关系.15.(12分)如图,AB为�O的直径,点C在�O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与�O的另一个交点为点E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.16.(12分)如图,已知在�O中,AB=4√3,AC是�O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积; (2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.(14分)如图,△ABC内接于�O,AB是�O的直径,�O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,且交AC于点E,交PC于点F,连接AF. (1)判断AF与�O的位置关系并说明理由; (2)若�O的半径为4,AF=3,求AC的长.参考答案第二十四章测评一、选择题 1.C 2.B ∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°.∵AC∥OB, ∴∠B=∠CAB=25°, ∴∠BOC=2∠CAB=50°. 故选B. 3.C ∵∠ACB=90°,∠A=56°, ∴∠B=34°. 在�O中,∵⏜CE=⏜CD, ∴∠COE=2∠B=68°, ∴∠F=112°,故选C. 4.B 连接OA, 设OM=5x,MD=8x, 则OA=OD=13x. 又AB=12,由垂径定理可得AM=6, ∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=1/2, ∴半径OA=13/2.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π. 5.B 6.B 作直径B'C,交�O于B',连接AB',则∠AB'C=∠ABC=29°. ∵OA=OB',∴∠AB'C=∠OAB'=29°. ∴∠DOC=∠AB'C+∠OAB'=58°. ∵CD是�的切线, ∴∠OCD=90°. ∴∠D=90°-58°=32°.故选B. 7.C 对于选项A:当弦PB最长时,PB是�O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,⏜PA=⏜PC,所以PA=PC;对于选项B:当△APC是等腰三角形时,点P是⏜AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C:当PO⊥AC时,由点P是⏜AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D:当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是⏜AC 或⏜AB的中点,都可以得到△BPC是直角三角形. 8.B 连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF. 因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°. 因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形. 所以OD∥AB.所以DF⊥AB. 又O为BC的中点, 所以D为AC的中点. 在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8. 所以FB=AB-AF=8-2=6. 在Rt△BFG中,∠BFG=30°, 所以BG=3,则根据勾股定理得FG=3√3,故选B. 二、填空题 9.4 当直线l和�O相切时,d=r,方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,此时(-4)2-4×1×m=0,m=4. 10.20°连接OA,OB.设∠AOB=n°. ∵⏜AB的长为2π,∴(nπ×9)/180=2π.∴n=40,∴∠AOB=40°.∴∠ACB=1/2∠AOB=20°. 11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=1 80°+∠CAD=180°+35°=215°. 12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是�O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.√13由垂径定理,得CD=2,由AB是�O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=√13. 三、解答题14.解 (1)所画�P如图所示.由图可知,�P的半径为√5. 连接PD,∵PD=√(1^2+2^2 )=√5,∴点D在�P上. (2)直线l与�P相切.理由如下:连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3), 所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2. 所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与�P相切. 15.(1)证明∵AB为�O的直径, ∴∠ACB=90°,即AC⊥BC. ∵DC=CB,∴AD=AB. ∴∠B=∠D. (2)解设BC=x,则AC=x-2. 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42.解得x1=1+√7,x2=1-√7(舍去). ∵∠B=∠E,∠B=∠D, ∴∠D=∠E.∴CD=CE. ∵CD=CB,∴CE=CB=1+√7.16.解 (1)在Rt△ABF中,∠A=30°,则BF=1/2AB=2√3,于是AF=√("(" 4√3 ")" ^2 "-(" 2√3 ")" ^2 )=6. 在Rt△BOF中,OB2=OF2+BF2=(AF-OA)2+BF2, 又OB=OA,∴OA2=(6-OA)2+(2√3)2. ∴OA=4.∵∠BAO=30°, ∴∠BOF=2∠BAO=60°. 又OB=OD,OC⊥BD, ∴∠BOD=2∠BOF=120°. ∴S阴影=(120π×4^2)/360=16π/3. (2)设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=(120×4π)/180,解得r=4/3. 17.解 (1)AF是�O的切线.理由如下: 连接OC,∵AB是�O的直径,∴∠BCA=90°. ∵OF∥BC,∴∠AEO=90°, 即OF⊥AC.∵OC=OA, ∴∠COF=∠AOF, ∴△OCF≌△OAF. ∴∠OAF=∠OCF=90°, ∴FA⊥OA, 即AF是�O的切线. (2)∵�O的半径为4,AF=3,FA⊥OA,∴OF=√(AF^2+OA^2 )=√(3^2+4^2 )=5.∵FA⊥OA,OF⊥AC, ∴AF•OA=OF•EA, ∴3×4=5×EA, 解得AE=12/5,AC=2AE=24/5.。

人教版九年级数学上册《第24章圆》单元测试含答案解析

《第24章圆》一、填空题1．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．80° C．160°D．120°2．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A．1cm B．2cm C． cm D． cm3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定4．如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切6．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（）A．2 B．4 C．2 D．47．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65 C．72 D．758．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（）A．πB．1.5πC．2πD．2.5π二、选择题9．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长为cm．11．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y 的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式．12．如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC= cm．14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是．三、解答题（7+7+8+8）15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．17．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．18．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE ⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．《第24章圆》（北京市西城区重点中学）参考答案与试题解析一、填空题1．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．80° C．160°D．120°【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=160°．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A=80°，∴∠BOC=2∠A=160°．故选C．【点评】熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A．1cm B．2cm C． cm D． cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解Rt△OPA，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度．【解答】解：过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最短弦长，由垂径定理可得：AP=PB已知OA=3，OP=2在Rt△OPA中，由勾股定理可得：AP2=OA2﹣OP2∴AP==cm∴AB=2AP=2cm故此题选D．【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用．3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上，也可能在圆内，所以无法确定．【解答】解：∵PA=，⊙O的直径为2∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．故选D．【点评】本题考查了圆的认识，做题时注意多种情况的考虑．4．如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故①③都是线段，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OC之间，∠APB逐渐减小，到C点时，为45°，②P在CD之间，∠APB保持45°，大小不变，③P在DO之间，∠APB逐渐增大，到O点时，为90°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．5．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，如图所示：∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．故选A．【点评】直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．6．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OC，BC，AB是直径，CD是切线，先求得∠OCD=90°再求∠COB=2∠A=60°，利用三角函数即可求得CD的值．【解答】解：连接OC，BC，AB是直径，则∠ACB=90°，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，CD=OC•tan∠COD=2．故选A．【点评】本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角求解．7．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65 C．72 D．75【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求．【解答】解：连结OD，如图，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ=PR=QR，∴∠POR=×360°=120°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠AOD=90°，∴∠DOP=×90°=45°，∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．8．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（）A．πB．1.5πC．2πD．2.5π【考点】扇形面积的计算；多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．【解答】解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是=1.5π故选B．【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．二、选择题9．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质．【专题】网格型．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长为cm．【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】连接AD，则有AD是△ABC的斜边上的高，可判定△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=2，利用点D是斜边的中点，可求AD=BC=cm．【解答】解：连接AD；∵∠A=90°，AB=AC=2cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=2；∵点D是斜边的中点，∴AD=BC=cm．【点评】本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质求解．11．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y 的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式．【考点】垂径定理的应用．【专题】数形结合．【分析】此题中隐含的不等关系：直径是圆中最长的弦，所以AB≥CD．首先可以表示出AB=x+y，再根据相交弦定理的推论和垂径定理，得CD=2CE=2．【解答】解：∵直径AB⊥弦CD于点E，∴CE=DE，根据相交弦定理的推论，得CE2=AE•BE，则CE=，∴CD=2CE=2．又∵AB=x+y，且AB≥CD，∴x+y≥2．【点评】本题考查：直径是圆中最长的弦；相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用．12．如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．【解答】解：过点M作MD⊥AO于点D，∵∠AOB=30°，OM=6，∴MD=3，∴MD＜r∴以点m为圆心，半径为34的圆与OA的位置关系是：相交．故答案为：相交．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC= 8cm．【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．又∵∠B=∠OAC=∠AOC，∴∠AOC=90°．∴AC=OA=8cm．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理．14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是垂径定理．【考点】垂径定理的应用；作图—复杂作图．【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．故答案是：垂径定理．【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．三、解答题（7+7+8+8）15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．【考点】等边三角形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；∴∠BDO=∠A；又OB=OD，∴∠OBD=∠ODB；∴∠OBD=∠A；∴BC=AC；又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形；（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；∴D是AB中点；∵AE=AD=AB，∴EC=3AE；∴AE=CE．【点评】本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB= 1 寸，CD= 10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA 的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直径为26寸．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．17．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP′D+∠COB=180°．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．18．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE ⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．【考点】切线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．人教版九年级数学【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．。

2018—2019学年人教版九年级数学上册第24章《圆》单元测试与解析

2018—2019学年人教版九年级数学上册第24章《圆》单元测试与解析一．选择题（共10小题）1．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧2．如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则∠CPD的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．60°3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°4．AB是⊙O的弦，OQ⊥AB于Q，再以QO为半径作同心圆，称作小⊙O，点P是AB 上异于A，B，Q的任意一点，则P点位置是（）A．在大⊙O上B．在大⊙O外部C．在小⊙O内部D．在小⊙O外而大⊙O内5．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O （0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的值为（）A．22.5°B．45° C.30° D.60°6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B cm C．2.5cm D7．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°8．如果两条弦相等，则（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条弦所对的弧相等C．这两条弦所对的弦心距相等D．以上说法都不对9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．B．C．5D．10．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A ．85B ．2C ．125D ．145二．填空题（共8小题）11．有一张矩形的纸片，AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 为圆心作圆，并且要使点D 在⊙A 内，而点C 在⊙A 外，⊙A 的半径r 的取值范围是．12．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12cm ，OA=13cm ，则扇形AOC 中的长是 cm （计算结果保留π）．13．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 的斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ．B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为，则图中阴影部分的面积为．14．一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2，则这个扇形的圆心角是度．15．如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=8，AC=4．以点C 为圆心作圆，当⊙C 与边AB 只有一个交点时，则⊙C 的半径的取值范围是．16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为．17．如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为．18．扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm，那么这个扇形的面积为cm2．三．解答题（共6小题）19．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长；（3）题干不变，问题（1）变为：若点P是弦AC的中点，求PA的长；（4）题干不变，问题（2）变为：若点P是弧BAC的中点，求PA的长．20．已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．（1）求DE的长；（2）求图中阴影部分的面积．21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BF=2，求⊙O 的半径．22．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF=BF ；（2）若CD=6，AC=8，求⊙O 的半径及CE 的长．23．如图，⊙O 的半径为6，点A ，B ，C 为⊙O 上三点，BA 平分∠OBC ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）当sin ∠OBC=23时，求BC 的长；（3）连结AC ，当AC ∥OB 时，求图中阴影部分的面积．24．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB=EF；（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．2018—2019学年人教版九年级数学上册第24章《圆》单元测试解析一．选择题（共10小题）1．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【学会思考】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．【解】：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．2．如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则∠CPD的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．60°【学会思考】连AC，由四边形ABCD为正方形，得到∠CAD=45°，由∠CPD=∠CAD=45°．【解】：连接AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，又∵∠CPD=∠CAD，∴∠CPD=45°．故选：C．3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°【学会思考】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【解】：圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×12=30°或180°﹣30°=150°．故选：D ．4．AB 是⊙O 的弦，OQ ⊥AB 于Q ，再以QO 为半径作同心圆，称作小⊙O ，点P 是AB 上异于A ，B ，Q 的任意一点，则P 点位置是（）A ．在大⊙O 上B ．在大⊙O 外部C ．在小⊙O 内部D ．在小⊙O 外而大⊙O 内【学会思考】画出图形，根据大角对大边，比较OP 与OQ ，OB 的大小，确定点P 的位置．【解】：如图：因为OQ ⊥AB ，所以∠OQP=90°，得：OP ＞OQ ，因此点P 在小⊙O 外．由图可知，∠OPB 是一个大于90°的角，所以OP ＜OB ，因此点P 在大⊙O 内．故选：D ．5．如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的值为（）A．22.5°B．45° C.30° D.60°【学会思考】首先设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠OBC=∠ODC，继而可求得答案．【解】：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD=∴∠OBC=∠ODC=30°．故选：C．6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B cm C．2.5cm D【学会思考】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解】：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：故选：D．7．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【学会思考】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解】：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．8．如果两条弦相等，则（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条弦所对的弧相等C．这两条弦所对的弦心距相等D．以上说法都不对【学会思考】由于题中缺乏前提“在等圆或同圆中”，所以注定错误．【解】：A，B，C，均错误，都应强调在等圆或同圆中．故选：D．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．B．C．5D．【学会思考】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解】：过点O 作OD ⊥BC 于D ，则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补，∴∠BOC=2∠A ，∠BOC +∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4，∴BD=OB•cos ∠OBC=4×∴故选：B ．10．如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE=3．若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（）A ．85B ．2C ．125D ．145【学会思考】根据题意有C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小，MN 最大，根据勾股定理求得AB ，根据三角形面积求得CF ，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN 的最大值．【解】：取DE 的中点O ，过O 作OG ⊥AB 于G ，连接OC ，又∵CO=1.5，∴只有C 、O 、G 三点一线时G 到圆心O 的距离最小，∴此时OG 达到最小．∴MN 达到最大．作CF ⊥AB 于F ，∴G 和F 重合时，MN 有最大值，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5， ∵12AC•BC=12AB•CF ， ∴CF=125， ∴OG=125﹣32=910， ∴MG==65， ∴MN=2MG=125，故选：C ．二．填空题（共8小题）11．有一张矩形的纸片，AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 为圆心作圆，并且要使点D 在⊙A 内，而点C 在⊙A 外，⊙A 的半径r 的取值范围是 4cm ＜r ＜5cm ．【学会思考】先利用勾股数得到AC=5cm ，然后根据点与圆的位置关系，要使点D 在⊙A 内，则r ＞4；要使点C 在⊙A 外，则r ＜5，然后写出它们的公共部分即可．【解】：∵矩形的纸片，AB=3cm ，AD=4cm ，∴AC=5cm ，∴以A 为圆心作圆，并且要使点D 在⊙A 内，而点C 在⊙A 外，⊙A 的半径r 的取值范围为4cm ＜r ＜5cm ．故答案为4cm ＜r ＜5cm ．12．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12cm ，OA=13cm ，则扇形AOC 中的长是 10π cm （计算结果保留π）．【学会思考】根据AC 的长就是圆锥的底面周长即可求解．【解】：∵圆锥的高h 为12cm ，OA=13cm ， ∴圆锥的底面半径为=5cm ，∴圆锥的底面周长为10πcm ，∴扇形AOC 中AC 的长是10πcm ，故答案为：10π．13．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 的斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ．B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为，则图中阴影部分的面积为．【学会思考】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC ，AC 的长，利用S △ABC ﹣S 扇形BOE =图中阴影部分的面积求出即可．【解】：连接BD ，BE ，BO ，EO ，∵B ，E 是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE ∥AD ，∵BE 的长为23π， ∴60180R π⨯=23π，解得：R=2，∴AB=ADcos30°∴BC=12∴=，∴S △ABC =12×BC ×AC=123=，∵△BOE 和△ABE 同底等高，∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE =﹣=﹣23π．故答案为：．14．一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2，则这个扇形的圆心角是 150 度．【学会思考】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．【解】：扇形的面积公式=12lr=240πcm 2，解得：r=24cm ，又∵l==20πcm ， ∴n=150°．故答案为：150．15．如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=8，AC=4．以点C 为圆心作圆，当⊙C 与边AB 只有一个交点时，则⊙C【学会思考】作CD ⊥AB 于D ，如图，利用勾股定理计算出算出C 与AB 相切时得到AB 与⊙C 相交，且边AB 与⊙O 只有一个交点时，CA ＜r ≤CB ．【解】：作CD ⊥AB 于D ，如图，在Rt △ABC 中，BC=∵12CD•AB=12AC•BC ，∴CD=当⊙C 与AB 相切时，当直线AB 与⊙C 相交，且边AB 与⊙O 只有一个交点时，4＜r ≤综上所述，当4＜r ≤C 与边AB 只有一个公共点．故答案为4＜r ≤16．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ，若AB=4，CD=1，则EC【学会思考】首先连接BE ，由⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB=4，CD=1，根据垂径定理可求得AC=BC=2，然后设OA=x ，利用勾股定理可得方程：22+（x ﹣1）2=x 2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE 的长，又由AE 是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．【解】：连接BE ，∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB=2，∴AC=BC=2，设OA=x ，∵CD=1，∴OC=x ﹣1，在Rt △AOC 中，AC 2+OC 2=OA 2，∴22+（x ﹣1）2=x 2，解得：x=52， ∴OA=OE=52，OC=32， ∴BE=2OC=3，∵AE 是直径，∴∠B=90°，∴CE==．17．如图，⊙O 直径CD=20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，若OM ：OC=3：5，则弦AB 的长为 16 ．【学会思考】由于⊙O的直径CD=20，则⊙O的半径为10，又已知OM：OC=3：5，则可以求出OM=6，OC=10，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．【解】：如图所示，连接OA．⊙O的直径CD=20，则⊙O的半径为10，即OA=OC=10，又∵OM：OC=3：5，∴OM=6，∵AB⊥CD，垂足为M，∴AM=BM，在Rt△AOM中，AM==8，∴AB=2AM=2×8=16，故答案为：16．18．扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm，那么这个扇形的面积为27πcm2．【学会思考】利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积=弧长×半径÷2．【解】：∵，∴r=9cm，∴扇形的面积=6π×9÷2=27πcm2．三．解答题（共6小题）19．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长；（3）题干不变，问题（1）变为：若点P是弦AC的中点，求PA的长；（4）题干不变，问题（2）变为：若点P是弧BAC的中点，求PA的长．【学会思考】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p 是弧AB 的中点，所以三角形APB 是等腰三角形，利用特殊角的三角函数即可求得；（2）根据垂径定理得出OP 垂直平分BC ，得出OP ∥AC ，从而得出△ACB ∽△0NP ，根据对应边成比例求得ON 、AN 的长，利用勾股定理求得NP 的长，进而求得PA ；（3）利用勾股定理可得BC 长，根据中位线性质，可得OP=12BC ，利用勾股定理得AP ；（4）如图4，连接AP ，BP ，BC ，OP ，延长OP 与BC 交于点D ，利用勾股定理和垂径定理可得结果．【解】：（1）如图（1）所示，连接PB ，∵AB 是⊙O 的直径且P 是AB 的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB 中有AB=13，∴=；（2）如图（2）所示：连接BC ．OP 相交于M 点，作PN ⊥AB 于点N ，∵P 点为弧BC 的中点，∴OP ⊥BC ，∠OMB=90°，又因为AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB ，∴OP ∥AC ，∴∠CAB=∠POB ，又因为∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB ∽△0NP ∴AB AC OP ON，又∵AB=13 AC=5 OP=132，代入得 ON=52， ∴AN=OA +ON=9∴在Rt △OPN 中，有NP 2=0P 2﹣ON 2=36在Rt △ANP 中有PA==∴（3）如图3，取AC 中点P ，连接OP ，∵AB 是⊙O 的直径，AB=13，AC=5∴BC==12，∴OP 为△ABC 的中位线∴OP==6， ∴AP===52；（4）如图4，连接AP ，BP ，BC ，OP ，延长OP 与BC 交于点D ， ∵点P 是弧BAC 的中点，AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠APB=90°，BP=CP ，OD=，BC=12，∴PD=PO =172， ∴PB 2=BD 2+PD 2=∴AP==．20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，OC ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ，设⊙O 的半径为6cm ．（1）求DE 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【学会思考】（1）连接OE ，根据中点的性质出去OD ，根据勾股定理求出DE ；（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．【解】：（1）连接OE ，∵D 是CO 的中点，⊙O 的半径为6cm ，∴OD=12OC=3cm ， ∵OC ⊥AB ，DE ∥AB ，∴∠ODE=90°，∴DE=（2）∵OD=12OC ，∠ODE=90°， ∴∠OED=30°，∴∠DOE=60°，∴图中阴影部分的面积=﹣12×3=6π﹣（cm 2）．21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BF=2，求⊙O 的半径．【学会思考】（1）求出OD ∥AC ，求出OD ⊥BC ，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解】：（1）线BC 与⊙O 的位置关系是相切，理由是：连接OD ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠OAD=∠CAD ，∴∠ODA=∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD=OF=R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2=BD2+OD2，即（R+2）2=（2+R2，解得：R=2，即⊙O的半径是2．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．【学会思考】（1）要证明CF﹦BF，可以证明∠1=∠2；AB是⊙O的直径，则∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，则∠CEB﹦90°，则∠2﹦90°﹣∠ACE﹦∠A，∠1﹦∠A，则∠1=∠2；（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE的长．【解】：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∴∠ECB=∠A．（2分）又∵C是的中点，∴CD BC，∴∠DBC=∠A ，∴∠ECB=∠DBC ，∴CF=BF ；（2）解：∵CD BC =，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，∴=，∴⊙O 的半径为5，∵S △ABC =12AB•CE=12BC•AC ，∴CE===．23．如图，⊙O 的半径为6，点A ，B ，C 为⊙O 上三点，BA 平分∠OBC ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）当sin ∠OBC=23时，求BC 的长；（3）连结AC ，当AC ∥OB 时，求图中阴影部分的面积．【学会思考】（1）根据切线的判定证明即可；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，利用勾股定理和三角函数解答；（3）连结OC ，利用菱形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解】：（1）∵BA 平分∠OBC ，∴∠OBA=∠CBA ．∵OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB ．∴∠OAB=∠CBA ．∴AO ∥BC ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥AO ，∴直线AD 是⊙O 切线；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，得BC=2BE ，在Rt △OBE 中，∵sin ∠OBC=23， ∴，OB=6．∴OE=4，∴BE=∴；（3）连结OC ，∵AO ∥BC ，AC ∥OB ，OA=OB ，∴四边形OACB 是菱形．∴OA=AC=OC=6．∴∠AOC=∠OAC=60°，∴∠DAC=30°，∴在Rt △ADC 中，CD=6sin30°=3，∴AD=∴．24．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB=EF；（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．【学会思考】（1）根据正多边形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解】：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=AE，∠BAE=108°，∴∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴∠FAE=∠AFE=72°，∴AE=EF，∴AB=EF；（2）设AB=x，由（1）知；∠BAF=∠AEB，∵∠ABF=∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，解得：（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1。

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第24章圆单元测试卷数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．25cm B．45cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm2．（4分）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°3．（4分）已知⊙O的半径为5cm，直线1上有一点P，OP=5cm，则直线1与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．相交或相切4．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）A ．27°B ．32°C ．36°D ．54°5．（4分）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（）A ．10B ．219C ．34D ．106．（4分）某同学以一个边长为1的正六边形的三个顶点为圆心，边长为半径，向外画了三段圆弧，设计了如图所示的图案．则图案外围轮廓的周长为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π7．（4分）若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（4分）如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（）A ．23cmB ．3cmC ．332cmD ．1cm9．（4分）如图，已知圆O 的半径为a ，点A ，B ，C 均在圆O 上，且OB ⊥AC ，则图中阴影部分的面积是（）A ．（61+π）a 2B ．21πa 2C ．（2 +1）a 2D ．34πa 2 10．（4分）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，是图中阴影部分的面积为（）A ．314π﹣6 B ．925π C ．833π﹣3 D ．33+π二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）已知⊙O 的半径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=16cm ，CD=12cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是 cm ．12．（5分）如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD=DC ，则∠C= 度．13．（5分）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．求证：∠1=∠2．16．（8分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．17．（8分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．=S1+S2+S3=2，S4=，S5=，S6=+ ，S阴影证明：S矩形ABCD=S1+S6=S1+S2+S3=．18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．19．（10分）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED=EC；（2）若CD=3，EC=23，求AB的长．20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：（1）DE⊥AE；（2）AE+CE=AB．21．（12分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．（1）求证：∠CBP=∠ADB．（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．22．（12分）如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）求证：AE=FB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．23．（14分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2，AC=3．（1）求∠A的度数．（2）求弧CBD的长．（3）求弓形CBD的面积．2018年秋九年级上学期第24章圆单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【分析】先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=21AB=21×8=4cm ，OD=OC=5cm ，当C 点位置如图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴OM=22AM OA -=2245-=3cm ，∴CM=OC +OM=5+3=8cm ，∴AC=22CM AM +=2284+=45cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ，∵OC=5cm ，∴MC=5﹣3=2cm ，在Rt △AMC 中，AC=22CM AM +=2224+=25cm ．故选：C ．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．3．【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O 相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=5cm=r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜5cm=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．4．【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°，∵∠P=36°，∴∠AOP=54°，∴∠B=27°．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP 的度数是解题关键．5．【分析】设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN ，则MN 、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP 的最小值，再利用PF 2+PG 2=2PN 2+2FN 2即可求出结论．【解答】解：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN 交半圆于点P ，此时PN 取最小值．∵DE=4，四边形DEFG 为矩形，∴GF=DE ，MN=EF ，∴MP=FN=21DE=2， ∴NP=MN ﹣MP=EF ﹣MP=1，∴PF 2+PG 2=2PN 2+2FN 2=2×12+2×22=10．故选：D ．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN 的最小值是解题的关键．6．【分析】图案外围轮廓的周长=三条弧长之和，利用函数公式计算即可；【解答】解：正六边形的内角=()618026⨯-=120°， ∴扇形的圆心角=360°﹣120°=240°，∴图案外围轮廓的周长=3×1801240∙∙π=4π，故选：C ．【点评】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角，记住弧长公式：l=180r n π．7．【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360°÷n 进行计算即可得到答案．【解答】解：360°÷n=()nn1802⨯-．故这个正多边形的边数为4．故选：B ．【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．8．【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1=30°，再通过解直角三角形即可得出21a 的值，进而可求出a 的值，此题得解．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图）， ∴21a=2cos ∠1=3， ∴a=23．故选：A ．【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．9．【分析】根据阴影部分的面积=半圆面积+△ABC 的面积，计算即可；【解答】解：如图连接OB ．∵OA=OC ，OB ⊥AC ，∴S △ABC =a 2，S 半圆=21πa 2， ∴S 阴=a 2+21πa 2=（2π+1）a 2，故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积；10．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积=△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积=ππ9253605402=⨯，故选：B ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．12．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．13．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB=∠ABC=()518025⨯-=108°，∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=36°，同理∠ABE=36°，∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°，故答案为：72°．【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键【分析】连接半径和弦AE ，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，可得AE 和BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为OA=OB ，所以△OBE 的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．【解答】解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=21AB=2，BE=2224-=23， ∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ， =36021202⨯π﹣21×BE AE ∙21， =34π﹣32241⨯⨯， =34π﹣3，故答案为：34π﹣3．【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中30度角等知识点，能求出扇形OBE 的面积和△ABE 的面积是解此题的关键．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【分析】已知AB=AC ，又OC=OB ，OA=OA ，则△AOB ≌△AOC ，根据全等三角形的性质知，∠1=∠2．【解答】证明：连接OB 、OC ．∵AB=AC ，OC=OB ，OA=OA ，∴△AOB ≌△AOC （SSS ）．∴∠1=∠2．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．16．【分析】利用等边三角形的性质得出点O 既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD ，再利用锐角函数关系得出BO 即可．【解答】解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接BO ，∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴点O 即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=21BC=21AB=3， ∴cos30°=BO BD =BO 3=23，解得：BO=2，即⊙O 的半径为2cm ．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD 是解题关键．17．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S 矩形ABCD =S 1+S 2+S 3=2，S 4=S 2，S 5=S 3，S 6=S 4+S 5，S 阴影面积=S 1+S 6=S 1+S 2+S 3=2．故答案为：S 2，S 3，S 4，S 5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】连接OD ，求出四边形ABCD 是平行四边形，关键平行四边形的性质求出DC 长，再根据梯形面积公式和扇形面积公式求出即可．【解答】解：连接OD ，∵OA=OD ，∠A=45°，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠DOB=90°，即OD ⊥AB ，∵BC ∥AD ，CD ∥AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=2∴S 梯形OBCD =()()2321212=⨯+=⨯+OD CD OB ， ∴图中阴影部分的面积S=S 梯形OBCD ﹣S 扇形OBD =23﹣3601902⨯π=23﹣4π．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能分别求出梯形OBCD 的面积和扇形DOB 的面积是解此题的关键．19．【分析】（1）由圆内接四边形的性质知∠B=∠EDC，根据AB=AC即∠B=∠C得∠EDC=∠C，即可得证；（2）连接AE，得AE⊥BC，结合AB=AC知BC=2EC=43，证△ABC∽△EDC即可得．【解答】解：（1）∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC；（2）连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，又∵AB=AC，∴BC=2EC=43，∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，∴△ABC∽△EDC，∴AB：EC=BC：CD，又∵EC=23、BC=43、CD=3，∴AB=8．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．20．【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA ，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE ∥OD ，结合切线的性质即可证出DE ⊥AE ；（2）过点D 作DM ⊥AB 于点M ，连接CD 、DB ，根据角平分线的性质可得出DE=DM ，结合AD=AD 、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE ≌△DAM （SAS ），根据全等三角形的性质可得出AE=AM ，由∠EAD=∠MAD 可得出，进而可得出CD=BD ，结合DE=DM 可证出Rt △DEC ≌Rt △DMB （HL ），根据全等三角形的性质可得出CE=BM ，结合AB=AM +BM 即可证出AE +CE=AB ．【解答】证明：（1）连接OD ，如图1所示．∵OA=OD ，AD 平分∠BAC ，∴∠OAD=∠ODA ，∠CAD=∠OAD ，∴∠CAD=∠ODA ，∴AE ∥OD ．∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE=90°，∴OD ⊥DE ，∴DE ⊥AE ．（2）过点D 作DM ⊥AB 于点M ，连接CD 、DB ，如图2所示．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AE ，DM ⊥AB ，∴DE=DM ．在△DAE 和△DAM 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=AD AD AMD AED DM DE 90，∴△DAE ≌△DAM （SAS ），∴AE=AM ．∵∠EAD=∠MAD ， ∴，∴CD=BD ．在Rt △DEC 和Rt △DMB 中，⎩⎨⎧==BD CD DM DE ，∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），∴CE=BM，∴AE+CE=AM+BM=AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）利用平行线的判定定理找出AE∥OD；（2）利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．21．【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA ，∴∠CBP=∠ADB ；（2）解：∵OP ⊥AD ，∴∠POA=90°，∴∠P +∠A=90°，∴∠P=∠D ，∴△AOP ∽△ABD ， ∴AB AO AD AP =，即1241=+BP ， ∴BP=7．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．22．【分析】（1）证明△AFE 与△BAF 全等，利用全等三角形的性质证明即可；（2）先证明△ABM ≌△DEN ，同理得出△ABM ≌△FEM ≌△CBN ，【解答】证明：（1）∵正六边形ABCDEF ，∴AF=EF=AB ，∠AFE=∠FAB ，在△AFE 与△BAF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=FE AB FAB AFE AF AF ，∴△AFE ≌△BAF （SAS ），∴AE=FB ；（2）与△ABM 全等的三角形有△DEN ，△FEM ，△CBN ；∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB=DE ，∠BAF=120°，∴∠ABM=30°，∴∠BAM=90°，同理∠DEN=30°，∠EDN=90°，∴∠ABM=∠DEN ，∠BAM=∠EDN ，在△ABM 和△DEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DEN ABM DEAB EDN BAM ， ∴△ABM ≌△DEN （ASA ）．同理利用ASA 证明△FEM ≌△ABM ，△CBN ≌△ABM ．【点评】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．23．【分析】（1）根据题意可以求得BC 的长和∠ACB 的度数，从而可以求得∠A 的度数；（2）根据（1）中的结果可以求得∠COD 的度数，从而可以求得弧CBD 的长；（3）根据图形可知，弓形CBD 的面积等于扇形CBD 与△COD 的面积之差，从而可以解答本题．【解答】解：（1）连接BC ，BD ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=2， AC=3，∴BC=1，∴∠A=30°；（2）连接OC ，OD ，∵CD ⊥AB 、AB 是直径，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠COD=120°，∴弧CBD 的长是：321801120ππ=⨯⨯；（3）∵OC=OA=1，∠BOC=60°，∴CP=OC•sin60°=1×23=23，OP=OC•cos60°=21， ∴CD=2CP=3， ∴弓形CBD 的面积是：433221336011202-=⨯-⨯⨯ππ．【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、弧长计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。