【教育专用】四川省叙州区第一中学2018_2019学年高一数学下学期开学考试试题

2019年春四川省叙州区第一中学高一开学考试数学试题数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题.( 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则AB =A.{2}-B.{2}C.{2,2}-D.∅2.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,12)(-+=x x x f ,则=-)1(f A.2 B.-2 C.0 D.13.已知α是第四象限的角，若53cos =α，则=αtan A.43 B.43- C.34 D. 34- 4.下列说法中一定正确的是 A 、若a b >，则11a b< B 、若22ac bc >，则a b >C 、若a b >，则ac bc >D 、若a b >，则1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.设3log 2,cos3x y z ==，则 A.z y x << B.z x y <<C.y z x <<D.x z y <<6.若函数cos(2)3y x π=+的图像向左平移ϕ个单位后关于原点对称（||4πϕ<），则实数ϕ可以为A.π-B.π-C.π D.πA ．①③B ．①④C ．②④D ．②③8．(改编)函数[]ππ,,4)(cos -∈⋅=x x x f x 的图象大致是（ ）9．函数22()log (3)f x x ax a =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ． 4a ≤B ．44a -<≤C ．2a ≤D ．24a -≤≤10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12⨯（弦×矢+矢2），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角23π，半径为4米的弧田，则按上述经验公式计算所得弧田的面积约是 平方米（注： 1.73, 3.14π≈≈） A ．6 B ． 9 C ．10 D ．1211．已知)(x f 在R 上是以3为周期的偶函数,3)2(=-f ，若2tan =α，则)2sin 10(αf 的值是A. 1B. 1-C. 3D.8 12．设函数()f x 是R 上的偶函数,在()0,+∞上为增函数，又()10f =，则函数()()F x f x x =⋅ 的图象在x 轴上方时x 的取值范围是A.),1()0,1(+∞-B. )1,0()1,( --∞ .C.)1,0()0,1( -D. ),1()1,(+∞--∞第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13．计算：1032264()log 43--+= ▲ ．14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=1 ),2(210 ,41)(x xf x x x f ，则)23(f 的值为 ▲ . 15．若()122xf x a =++是奇函数，则a = ▲ . 16. 设()1g x x =-，已知⎩⎨⎧>-≤--=)()2(),()()()2(),1()(2)(22x g x g x g x g x g x g x g x g x f ，若关于x 的方程m x f =)(恰有三个互不相等的实根123,,x x x ，则222123x x x ++的取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知集合2{|(1)(1)0},{|log 1}A x x a x B x x =-+-<=≤ （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若A B A =，求实数a 的取值范围；18．(本小题满分12分)已知函数2+4()=ax f x x，且(1)=5f ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；（III ）判断函数()f x 在[3，+∞)上的单调性，并加以证明.19． (本小题满分12分)已知A 、B 是单位圆O 上的点，且点B 在第二象限， 点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为)54,53(，若△AOB 为正三角形.（Ⅰ）若设θ=∠COA ，求θ2sin 的值； （Ⅱ）求COB ∠cos 的值．20．（本小题12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时,()13x f x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当[]2,8x ∈时，不等式222(log )(5log )0f x f a x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围．21.（本题共12分）已知函数2*()cos sin sin cos cos (,||)4f x x x x N πωϕωωϕωϕ=+∈<且，(0)()6f f π= （Ⅰ）若ω=4，求ϕ的值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在[0,]6π内有且仅有一条对称轴但没有对称中心，求关于x 的方程()0f x =则区间[0,]π内的解；22．（本题共12分）已知a R ∈，函数()21log ()f x a x=+． （Ⅰ）当5a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程()[]2log (4)250f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（III ）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．2019年春四川省叙州区第一中学高一开学考试数学试题答案一．选择题： 1-5：ABDBA6-10 CDBBB 11-12:CB二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13． 5 14．-4 15．13- 16.)1,836(- 三．解答题17.解：（Ⅰ）x 2log ≤1x <⇒0≤2，即]2,0(=B ； ……5分（Ⅱ）B A A B A ⊆⇒= 而集合A 中的不等式所对应的方程0)1)(1(=-+-x a x 的两根为1-a 和1，0∴≤1-a ≤2即1≤a ≤3．……10分 18.解：（1）依条件有(1)45f a =+=，所以1a = …………2分 （2）()f x 为奇函数. 证明如下：由（1）可知24()x f x x+=，显然()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ …………4分对于任意的(,0)(0,)x ∈-∞+∞，有(,0)(0,)x -∈-∞+∞，所以22()44()()x x f x f x x x-++-==-=--…………5分 故函数()f x 为奇函数. …………6分（3）()f x 在[3，+∞)上是增函数. ………………7分 证明如下： 任取12,[3,)x x ∈+∞且12x x <因为2222121212211212121212124444()(4)()()x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ++-+----=-==…10分123x x ≤<，124x x ∴>，120x x -<. 故12()()0f x f x -< ……11分所以12()()f x f x <，故在[3，+∞)上是增函数. …………12分19. 解：（1）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知 54sin ,53cos ==θθ, …………………（3）分 ∴252453542cos sin 22sin =⨯⨯==θθθ . …………………（6）分 （2）因为三角形AOB 为正三角形，所以060AOB ∠=，4sin 5COA ∠=，3cos 5COA ∠=， 所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠=314525⋅-=. …………………（12）分 20. （本小题12分） （1）当0x <时，0x ->,()13xf x --=-，又()f x 是奇函数， ()()f x f x -=-， 故()13xf x -=-+……………3分当0x =时， ()00f =故()01313,0,xx x f x x -⎧≥⎪=⎨-+<-⎪⎩ ……………5分（2）222(log )(5log )0f x f a x +-≥得222(log )(5log )f x f a x ≥--.∵ ()f x 是奇函数，∴222(log )(log 5)f x f a x ≥-. ……………7分 又()f x 是减函数，所以222log log 50x a x -+≤. []2,8x ∈恒成立. ……………9分令2[1,3]log ,[2,8] t t x x ∈=∈∴得 250t at -+≤对[1,3]t ∀∈恒成立.解法一：令2()5g t t at =-+，[1,3]t ∈上max ()max{(1),(3)}0g t g g =≤∴ (1)0(3)}0g g ≤⎧⎨≤⎩∴ 6a ≥ ……………12分 解法二：2550,[1,3]t at a t t -+≤⇒≥∈t+恒成立，5(),g x t t t t =+∈∈单调递减；单调递增.max ()(1)6g x g ==∴max ()6a g x ≥= ……………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）ϕϕωϕωϕωsin 21)2sin(21cos 2sin 21sin 22cos 1)(++=++=x x x x f ϕϕsin 21)8sin(21++=x 由)6()0(πf f =知，)34s i n (21s i n 21ϕπϕ+=，即ϕϕc o s s i n 3-=，即33t a n -=ϕ 又4||πϕ<，6πϕ-=∴；……6分（Ⅱ）由题知12π=x 是)(x f 的一条对称轴且62π>T ，即2122ππϕπω+=+⋅k 且322πωπ> 26ππϕπω+=+∴k 其中Z k ∈且3<ω 故1=ω或2当1=ω时，3ππϕ+=k 与4||πϕ<矛盾，舍 当2=ω时，6ππϕ+=k 6πϕ=∴ 41)64sin(21)(++=∴πx x f 21)64sin(0)(-=+⇒=πx x f 6264πππ-=+∴k x 或652ππ-k ，即122ππ-=k x 或42ππ-=k x ，其中Z k ∈， 又],0[π∈x 125π=∴x 或1211π或4π或43π．……12分22．解：（1）由21log (5)0x +>，得151x+>， 解得1(,)(0,)4x ∈-∞-+∞．………………………… 3分（2）由题得1(4)25a a x a x+=-+-， 2(4)(5)10a x a x -+--=，当4a =时，1x =-， 经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．………………………… 8分（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+， 221211log ()log ()a a x x +>+， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +．2211()(1)log ()log ()11f t f t a a t t -+=+-+≤+，即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数2(1)1y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，教育学习+K12教育学习+K12 y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,)3⎡+∞⎢⎣． ………………………… 12分。