高一数学(人教A版)必修1课件：1-2-2-2分段函数与映射

次数 1 2 3 4 5 分数 85 88 93 86 95
新课引入 某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六 张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让 6 位观众每人从 他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌 号数是这样规定的，A 为 1，J 为 11，Q 为 12，K 为 13，其余 的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进 行计算，将自己的牌号乘 2 加 3 后乘 5，再减去 25，把计算 结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地 猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
③唯一性：集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
[分析] 判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映 射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f下 在集合B中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的 对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x 在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映 射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中 无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射； 对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
思路方法技巧
1 分段函数及其应用
学法指导：分段函数的应用 设分段函数f(x)＝ff12xx， ，xx∈ ∈II12， . (1)已知x0，求f(x0)； ①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2； ②代入相应解析式求解．
(2)已知f(x0)＝a，求x0： ①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求x0； ②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去； ③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求x，判断是否属于I2，方法 同上； ④写出结论．
(3)解不等式f(x)＞a： f(x)＞a⇔xf1∈xI＞1，a， 或xf2∈xI＞2，a.
[例1] (2012～2013山东潍坊一中高一月考试题)已知函
数f(x)＝xx2＋＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求f(－5)，f(－ 3)，f(f(－52))的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值； (3)若f(m)>m(m≤－2，或m≥2)，求实数m的取值范围．
(2)理解映射这个概念，应注意以下几点： ①集合A到B的映射，A、B必须是非空集合(可以是数 集，也可以是其他集合)； ②对应关系有“方向性”即强调从集合A到集合B的对 应，它与从B到A的对应关系一般是不同的； ③与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集．
[例2] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f：作圆的内接矩形； (3)A＝{北京奥运会火炬手}，B＝{火炬手的体重}，对应 关系f：每个火炬手对应自己的体重；
[规律总结] 要判断两个集合能否构成映射，一般从映 射的定义入手．若满足映射定义就能构成映射；若不满足映 射定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无 对应元素即可．
探索延拓创新
3 分段函数的应用
学法指导：实际问题应首先读懂题意，抽象出数学模 型，将实际问题转化为相应的数学问题求解．
自主预习 1．当自变量 x 在不同的取值区间(范围)内取值时，函数 的对应法则也不同的函数为 分段函数． 分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的 不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比 较重要的一种函数．
2．设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于 集合 A 中的 任何 一个元素，在集合 B 中有 唯一 确定的元素 和它对应，那么这样的对应(包括 A、B 以及对应关系 f)叫做集 合 A 到 B 的映射，记作 f：A→B .
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是分段函数；②本例是求值问题．
解答本题需确定f(f(－3))的范围，为此又需确定f(－3)的
范围，然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解．
[解析] ∵－3<0， ∴f(－3)＝0， ∴f(f(－3))＝f(0)＝π， 又π>0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1， 即f(f(f(－3)))＝π＋1.
[例3] 上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网 费．以前某“热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分 钟，上网费0.12元/分钟．根据信息产业部调整因特网资费的 要求，自1999年3月1日起，该地区上因特网的费用调整为电 话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过60小时，以4元/时计 算，超过60小时部分，以8元/时计算．
(1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用表示为时 间(小时)的函数(每月按30天计算)；
(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网60小时的 费用开支，因特网资费调整后，若要不超过其家庭经济预算 中上网费支出，则该网民现在每月可上网多少小时，从涨价 和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况．
.
212－x 8<x≤12
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1， 当8<x≤12时，2(12－x)≥2， ∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.
[点评] (3)可以作直线y＝2与函数y＝f(x)的图象交于点 A(1,2)，B(11,2)，要使y≥2，应有1≤x≤11.
课前自主预习
温故知新 1．函数图象的作法： 列表 、 描点 、 连线 成图．
a a≥0 2．实数的绝对值|a|＝ －a a<0 .
3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，
且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个
元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯
一一个元素与之对应，符合映射定义，是映射．
(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝
1 2
x作用下对
应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
[分析]
判断自变量 满足的范围
分―段―函→数
确定适宜 的函数式
字―母―变→量
分类 讨论
―→
求值
[解析]
(1)由－5∈(－∞，－2]，－源自3∈(－2,2)，－
5 2
∈
(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
∵f(－52)＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，
原上网60小时预算费用为9.6×60＝576(元)，由576＝ 11.2x－240得x≈72.85(时)，故该网民现在每月可上网72.85小 时．
当0＜x≤60时，f(x)＜g(x)； 当x＞60时，由f(x)＝g(x)，可得x＝150. 所以，上网小于150小时时，f(x)＜g(x)；上网大于150小 时时，f(x)＞g(x)．
∴f(f(－52))＝f(－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍 去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
[解析] 设调整后上网x小时的费用为f(x)元． (1)当0＜x≤60时，f(x)＝0.16×20x＋4x＝7.2x； 当x＞60时，f(x)＝4×60＋0.16×20x＋(x－60)×8＝11.2x －240. ∴f(x)＝711.2.2xx－2400＜，x≤6x＞0；60.
(2)设调整前上网x小时的费用为g(x)元，则g(x)＝ 0.12×20x＋0.12×60x＝9.6x.
[解析] 对于①，∵0∈A，在对应关系 f 下 0→|0|＝0∉B， ∴该对应不是从集合 A 到集合 B 的映射．
②∵1∈A，在对应关系 f 下 1→|1－1|＝0∉B，∴该对应不 是从集合 A 到集合 B 的映射．
③对于任意 x∈A，依对应关系 f：x→x2∈R，∴该对应是 从集合 A 到集合 B 的映射．
通过以上所学，完成下列练习．
x x≤0
(1)试画出函数 y＝ 1
的图象．
x x>0
[答案]
(2)判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的映射： ①A＝R，B＝{x|x>0 且 x∈R}，f：x→y，y＝|x|； ②A＝N，B＝N*，f：x→y，y＝|x－1|； ③A＝{x|x>0 且 x∈R}，B＝R，f：x→y，y＝x2.
判断下列对应是否构成映射． (1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； (2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数 时，f(n)＝1； (3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1； (4)A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1.
规律总结：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量 的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的 顺序，层层处理.