江苏专用2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分6第6讲矩阵与变换刷好题练能力文

第6讲 矩阵与变换
1．(2019·扬州期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 2，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
23)，求A 2.
解：由条件，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤
23)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋3a ＝8，2b ＋6＝12，解得⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝2，b ＝3，
所以A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 23 2，所以A 2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤7 69 10.
2．(2019·江苏省四校联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并且矩阵
A 对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A.
解：设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
ab cd ，则⎩⎪⎨⎪
⎧Ae ＝6e ，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
84，
所以⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤66，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，c ＋d ＝6，a ＋2b ＝8，c ＋2d ＝4，
解方程组得A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
4 28 －2.
3．已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a 1b
0，点A (1，0)在矩阵M 对应变换作用下变为A ′(1，2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1
.
解：因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 1b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，所以a ＝1，b ＝2.
所以M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
12
0，所以M －1＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤0 121 －12.
4．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M ＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 23
4对应的变换下得到点Q (y －2，y )，求M －1
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y .
解：依题意，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
23
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 5＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤y －2y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝y －2，3x ＋20＝y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝8.
由逆矩阵公式知，矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
23
4的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
－2 132
－12，
所以M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132
－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 8＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 16－10.
5．(2019·镇江模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12 00 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式．
解：MN ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 2，
即在矩阵MN 变换下
⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12x 2y ，
x ′＝1
2x ，y ′＝2y ，
代入得：12
y ′＝sin 2x ′，
即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .
6．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))已知矩阵M 的逆矩阵是M
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－14 3
4 12 －12，
向量α＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5y ，若M α＝β，求x ＋y 的值．
解：设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
ab cd ，则由MM －1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 00 1，
可得⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－14 3412 －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，
所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－14a ＋34
c ＝1－14b ＋3
4d ＝012a －12c ＝0
12b －12d ＝1
，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3c ＝2d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 32 1.
由M α＝β，得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
32
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6＝52x ＋2＝y ，解得⎩⎪
⎨⎪⎧x ＝－1
2y ＝1
，则x ＋y ＝12.
7．(2019·南京六校联考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 120 1.若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．
解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
1 120 1，
所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1 120 2.
在直线l ′上任取一点P (x ，y )，它是由l 上的点P 0(x 0，y 0)经矩阵AB 所对应的变换所得，
则一方面，因为点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －2＝0上，
所以x 0＋y 0－2＝0.①
AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x0y0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y )，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0
y0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ) ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＋12y0＝x ，2y0＝y ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x －14y ，y0＝12y ，
②
将②代入①得x －1
4y ＋12
y －2＝0，即4x ＋y －8＝0，
所以直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.
8．(2019·南京、盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
3
02
a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
13 0b 1.
(1)求a ，b 的值； (2)求A 的特征值．
解：(1)因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 023＋aba ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00 1.所以⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，23＋ab ＝0.
解得a ＝1，b ＝－2
3
.
(2)由(1)得A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3 02
1，
则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－3 0－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．
令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3.
9．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，
2)变换成(－2，4)． (1)求矩阵M ；
(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；
(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 对应的变换作用下的直线l ′的方程．
解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤88，
故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩
⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.
联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，
故M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6
24
4.
(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M
的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ，解得2x ＋y ＝0.
(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 对应的变换作用下得到的点的坐标为(x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6
24
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x′y′，
即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38
y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝
0.。