第三章 稳定性分析

第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性

主要内容： 1、 李亚普诺夫稳定性概念 2、 稳定性定理 3、 系统稳定性分析 4、 非线性系统稳定性分析

难点：李亚普诺夫函数的构造

§3.l 李亚普诺夫第二法的概述

3.1.1物理基础

系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是 ε≤∆∞

→)(lim t x t

式中)(t x ∆为系统被调量偏离其平衡位置的大小；ε为任意小的规定量。

物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即

e t X X =∞

→lim ，那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间增长而

衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。

基本思想：李亚普诺夫引入了“广义能量”函数，称之为李亚普诺夫函数，表示为 V(x,t)，它是状态n x x x ,,,21 和时间t 的函数。对定常系统，“广义能量”函数则为V(X)。

如果考察的动态系统是稳定的，当存在),,,()(21n x x x V X V =对

任意e X X ≠（平衡点）时，0V 0)(<>）（、X X V 成立，且对e X X =时，才有0V

)(==）（X X V 。 关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数。 数学基础:二次型及其定号性。 3.1.2二次型及其定号性

1．二次型

n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式为

222112222222121112112211121),,,(n

nn n n n n n n n n n x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x V ++++++++++++= 称为二次型。式中，),,2,1,(n k i a ik +是二次型的系数。 设ki ik a a =，既对称且均为实数。 用矩阵表示二次型较为方便，即

[]PX X x x x a a a a a a a a a x x x X V T n nn n n n n n =⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡= 212

1

22221

11211

21,,,)( 必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。 (1)正定性

当且仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X ，恒有V(X)>0，则V(X)为正定。 (2)负定性

如果V(X)是负定的,或仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X ，恒有V(X)<0,则V(X)为负定。 (3)正半定性与负半定性 如果对任意0≠X ，恒有0)(≥X V ，则V(X)为正半定或称准正定。 如果对任意0≠X ，恒有0)(≤X V ，则V(X)为负半定或称准负定。 (4) 不定性

如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定。 2. 赛尔维斯特准则

①二次型PX X X V T =)(或对称矩阵P 为正定的充要条件是P 的主子行列式均为正，即

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a P 2

1

22221

11211 如果

,0,,0,022

2112

112111>=∆>=

∆>=∆P a a a a a n

则P 为正定，即V(X)正定。

②二次型PX X X V T =)(或对称阵P 为负定的充要条件是P 的主子行列式满足)(0为奇数i i <∆；n ,,2,1i )0(i i =>∆为偶数。

§3．2 李亚普诺夫意义下的稳定性

3.2.1平衡点的概念 系统描述为

),(t X f X

= 式中 X 为n 维状态向量。

当在任意时间都能满足 0),(=t X f e （3.1）

时称为系统的平衡状态。凡满足式(3．1)的一切值均是系统的平衡点，

对于线性定常系统,),(AX t X f X == A 为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态；对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。

由式(3．1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。

任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 0),0(=t f

3.2.2李亚普诺夫定义下的稳定性

下面用二维空间图3．1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。

稳 定

渐近稳定

不稳定

图 3.1

)(εS

1．稳定与一致稳定

设e X 为动力学系统),(t X f X

= 的一个孤立平衡状态。如果对球域)(εS 或任意正实数0>ε，都可找到另一个正实数),(0t εδ或球域

)(δS ，当初始状态X 0满足),(00t X X e εδ≤-时，对由此出发的X

的运动轨迹有ε≤-∞

→e t X X lim ，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。

如果δ与初始时刻t 0无关，则称平衡状态e X 为一致稳定。 2．渐近稳定和一致渐近稳定

设e X 为动力学系统),(t X f X

= 的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近e X 的任一初始状态X 0出发的运动轨迹有

0lim =-∞

→e t X X 或),,2,1(0)(lim n i x x ie i t ==-∞

→，即收敛用于平衡状态

e X ，则称平衡状态e X 为渐近稳定。如果δ与初始时刻t 0无关，则称

平衡状态e X 为一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。

如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即),,2,1(0)(lim n i x x ie i t ==-∞

→对所有点都成立，称平衡状态

为大范围渐近稳定。可见，这样的系统只能有一个平衡状态。由于线