(整理)参数估计方法.
第三讲 参数估计 (1)
L( x1 , x2 , x3;q ) =ˆ Pq { X1 = x1 , X 2 = x2 , X 3 = x3 }
= Pq { X1 = x1 }Pq { X 2 = x2 }Pq { X 3 = x3 }
= p( x1;q ) p( x2;q ) p( x3;q ) = q x1 (1 − q )1− x1q x2 (1 − q )1− x2 q x3 (1 − q )1− x3
其它
其中 −1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
=
= E(X
( + 1)
)
1
1
= x( 0
x +1dx
+ =
1)
x dx +1
原点矩由矩估计法,
X
=
0
+1
+2
总体矩
样本矩
+2
从中解得 ˆ = 2 X − 1 , 即为 的矩估计.
Gauss
Fisher
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
最大似然估计法就是用使L(q )达到最大值的qˆ去估计q . 称qˆ为q 的最大似然估计（MLE）.
怎样求最大似然估计呢？ 因为lnx是x 的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值点， 故一般只需求lnL的极大值点即可----令其一阶偏导为0，得到 似然方程（组），求解即可。
数理统计： 参数估计方法
引例
设总体 X 服从参数为 的指数分布， 未知，
X1 , X 2 , , X n 是来自X的样本, x1 , x2 , , xn 是
相应的样本值，求 的矩估计量和矩估计值.
解 因为 E( X ) 所以 用样本矩替换总体矩, 得 的矩估计量
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
(
x)
1
e
x
,
x0
0,
其他.
但参数 未知。已知参数的取值范围,记为 。
给出样本的一组观察值，如何推断总体的分布?
【思路】给出 的估计，则得到对总体分布的推断。
【方法】根据一定的原则，从 中找到一个值(点) 作为的 估计。
点估计
2
点估计定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 的形式为已知,
的估计量.
4
二、估计量的评选标准 1. 无偏性
定义 若 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体 X 的分布中的待估参数, 若估计量ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n )的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有
E(ˆ) 则称ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏的.
(2) lim S 2 2 a.s. (强大数定律) n
即样本方差是总体方差2的强相合估计， 也是相合估计.
12
C. 样本标准差
其观察值:
S
S2
1 n1
n i 1
Xi
X
2
;
s
1 n1
n i 1
( xi
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤引言：参数估计是统计学中一项重要的任务，它用于根据样本数据来推断总体参数的值。
参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
本文将详细介绍参数估计的一般步骤，并以人类的视角进行描述，使读者更好地理解和应用这些步骤。
一、确定估计方法在参数估计中，首先需要确定合适的估计方法。
估计方法可以分为点估计和区间估计两种。
点估计方法通过单个数值来估计参数的值，例如最大似然估计和矩估计。
区间估计方法则通过一个区间来估计参数的范围，例如置信区间估计。
选择合适的估计方法是参数估计的第一步。
二、选择样本在确定了估计方法后，接下来需要选择合适的样本进行参数估计。
样本应当具有代表性，能够反映总体的特征。
为了保证样本的代表性，可以使用随机抽样方法来选择样本。
通过合理选择样本，可以减小估计误差，提高参数估计的准确性。
三、计算估计值在选择好样本后，需要计算参数的估计值。
对于点估计方法，可以使用最大似然估计或矩估计等方法来计算参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间估计来计算参数的范围。
计算估计值时，需要根据样本数据和估计方法进行相应的计算，确保估计结果的准确性。
四、进行推断在计算得到估计值后，需要进行推断，即根据估计值对总体参数进行推断。
对于点估计方法，可以直接使用估计值作为总体参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间来表示总体参数的范围。
通过推断可以了解总体参数的可能取值范围，帮助做出正确的决策和预测。
总结：参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
在进行参数估计时，需要选择合适的估计方法和样本，计算出估计值，并进行相应的推断。
参数估计在统计学中扮演着重要的角色，它帮助我们根据样本数据来推断总体参数的值，从而更好地了解和应用统计学。
通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和应用参数估计的一般步骤。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
统计学中的统计模型和参数估计
统计学中的统计模型和参数估计统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科。
在统计学中，统计模型和参数估计是两个核心概念，它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
本文将介绍统计模型和参数估计的概念、应用以及常用方法。
一、统计模型的概念和应用统计模型是一种用来描述数据观察结果和概率论假设之间关系的数学表达式。
它是基于概率论的理论框架，通过建立数学模型来描述现实世界中的随机现象和变量之间的关系。
统计模型可以帮助我们理解和解释观测数据，预测未来事件的可能性，并进行决策制定。
它在各个领域都有广泛的应用，如经济学、医学、社会科学等。
例如，在经济学中，我们可以利用统计模型来预测股票市场的走势；在医学领域，统计模型可以用来研究疾病的发病机制。
二、参数估计的概念和方法参数估计是利用已知数据来估计统计模型中的未知参数的过程。
统计模型中的参数是用来描述总体的特征，而参数估计的目的就是通过样本数据来推断总体参数的取值。
常用的参数估计方法有最大似然估计和最小二乘估计。
最大似然估计是基于样本观察到的数据来选择使样本观察到的数据出现的概率最大的参数值。
最小二乘估计则是通过最小化观测值与预测值之间的差异来估计模型的参数值。
参数估计的结果可以用来进行统计推断，如假设检验和置信区间估计。
假设检验可以用来判断某个参数是否与给定的理论值相等；置信区间估计可以用来估计参数的取值范围。
三、统计模型和参数估计的例子为了更好地理解统计模型和参数估计的应用，以下将给出一个简单的例子：假设我们对一群学生的身高进行调查，并希望利用收集到的数据建立一个统计模型来描述该群体的身高分布。
我们可以选择一个正态分布模型，并利用样本数据来估计正态分布模型的参数，如均值和标准差。
根据收集到的样本数据计算得到样本均值和样本标准差，然后利用最大似然估计方法来估计总体均值和总体标准差。
最后，根据参数估计的结果，我们可以进行统计推断，如判断某个学生是否属于身高异常的范围。
统计基础知识学习之参数估计
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
总体平均数：是总体所研究标志的平均值， 用 表示。 X 例如：研究某县102个行政村的人均纯收入， 那么该县每个村的纯收入之和除以该县常 住人口数得到的平均数就是总体平均数。
X=
∑x
i =1
i
n
其中：xi为每个村的纯收入，n为该县常住人口数。
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
参数估计
二00八年六月 八年六月
主要内容
总体参数 统计量 估计的理论依据 统计误差 点估计 区间估计
一、参数估计的概念
估计就是根据从样本中收集的信息对总 体未知量进行推断的过程。参数估计就是 根据随机抽样调查得来的样本数据，对未 知的总体水平、结构、规模等数量特征进 行估计，即样本指标估计总体指标。
中心极限定理的意义
只要是服从正态分布，我们就有可能 开展抽样调查。 中心极限定理为点估计和区间估计奠 定了理论基础 。 我们就可以用样本代替总体，用样本 值来推断总体数。
二、统计误差
●统计误差是指统计数据与客观实际数量之
间的差异。 间的差异。
（一）登记误差和代表性误差
1、登记误差 登记误差又称工作误差，是指在调查、整理工作 中，由于各种主观原因引起的误差。 例如：由于指标含义不清、口径不同而造成的误 差；在登记、计算、抄写上有差错造成的误差。
2、样本指标
●样本指标是根据样本各单位标志值计算的综合
指标。 ●常用的样本指标有样本平均数、样本成数、样 本方差和样本标准差。
●样本指标一般用小写字母表示。
x
（三）参数估计的理论基础
●大数定律：
它说明：如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素组成，而且 每个因素对总体的影响都相对小，那 么对这些大量因素加以综合平均，因 素的个别影响将相互抵消，而呈现出 其共同作用的影响，使总体具有稳定 的性质。
模型参数的估计和推断方法
模型参数的估计和推断方法模型参数的估计和推断方法是统计学中的重要内容，它通过对样本数据进行分析，从而对总体模型的参数进行估计和推断。
在实际应用中，模型参数的估计和推断方法可以帮助我们更好地了解数据背后的规律，为决策和预测提供依据。
二、模型参数估计模型参数估计是指利用样本数据来估计总体模型参数的方法。
常用的估计方法有：1.点估计：用一个具体的数值来估计参数，如用样本均值来估计总体均值。
2.区间估计：给出参数估计的一个范围，如给出总体均值的95%置信区间。
三、模型参数推断模型参数推断是指利用样本数据对总体模型参数进行假设检验和置信区间的估计。
常用的推断方法有：1.假设检验：通过设定零假设和备择假设，利用样本数据判断总体参数是否显著不同于某个假设值。
2.置信区间：给出总体参数的一个估计范围，并计算出该估计的置信概率。
四、估计和推断方法的选择在进行模型参数的估计和推断时，需要根据具体问题、数据特点和需求来选择合适的估计和推断方法。
常用的方法有：1.最小二乘法：适用于线性回归模型参数的估计。
2.最大似然估计：适用于概率模型参数的估计。
3.贝叶斯估计：根据先验知识和样本数据来估计参数。
模型参数的估计和推断方法是统计学中的重要内容，通过对样本数据进行分析，可以对总体模型的参数进行估计和推断。
在实际应用中，需要根据具体问题、数据特点和需求来选择合适的估计和推断方法。
掌握这些方法可以帮助我们更好地了解数据背后的规律，为决策和预测提供依据。
习题及方法：1.习题：对于一个正态分布的总体，已知均值为10，标准差为2，从该总体中随机抽取一个容量为100的样本，样本均值为12，求样本标准差的最小二乘估计值。
解题方法：首先计算样本方差，样本方差 = (样本均值 - 总体均值)^2 / (样本容量 - 1) = (12 - 10)^2 / (100 - 1) = 4 / 99。
然后求样本标准差，样本标准差= √样本方差= √(4 / 99) ≈ 0.2。
第六章 参数值的估计
第六章 参数值的估计 第一节 参数估计的一般问题一、估计量与估计值参数估计就是用样本统计量去估计总体参数，如用X 估计μ，用S2估计2σ，用p 估计π等。
总体参数可以笼统地用一个符号θ表示。
参数估计中，用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用θ表示，如样本均值、样本比例等就是估计量。
用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，叫做估计值。
二、点估计与区间估计——参数估计的两种方法 1、点估计用样本估计量θ的值直接作为总体参数θ的估计量值。
2、区间估计它是在点估计基础上，给出总体参数估计的一个区间，由此可以衡量点估计值可靠性的度量。
这个区间通常是由样本统计量加减抽样误差而得到。
以样本均值的区间估计来说明区间估计原理：根据样本均值的抽样分布可知，重复抽样或无限总体抽样情况下，样本均值，由此可知，样本均值落在总体均值两侧各为一个标准误差范围内的概率为0.6827，两个标准误差范围0.9545，三个标准误差范围0.9973，并可计算出样本均值落在μ的两侧任何一个标准误差范围内的概率（根据已知的μ，σ计算）。
但实际估计时，μ是未知的，因而不再是估计样本均值落在某一范围内的概率，而只能根据已设定的概率计算这个范围的大小。
例如：约有95%的样本均值会落在距μ的两个标准误差范围内，即约有95%的样本均值所构造的两个标准误差的区间会包括μ。
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，称为置信区间，区间的最小值为置信下限，最大值为置信上限。
例如，抽取了1000个样本，根据每个样本构造一个置信区间，其中有95％的区间包含了真实的总体参数，而5%的没有包括，则称95％为置信水平／置信系数。
构造置信区间时，可以用所希望的值作为置信水平，常用的置信水平是90％，95％，99％，见下表：α称为显著性水平，表示用置信区间估计的不可靠的概率，1-为置信水平。
如何解释置信区间：如用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为（60，80），即在多次抽样中有95%的样本得到的区间包含了总体真实平均成绩，（60，80）这个区间有95%的可能性属于这些包括真实平均成绩的区间内的一个。
经典参数估计方法(3种方法)
经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的值。
它是一个重要的统计推断技术，可以帮助我们了解和描述总体的特征。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定研究对象和目标参数：首先，我们需要明确研究对象是什么，需要估计的是哪个参数。
例如，我们可能希望估计某个产品的平均寿命，那么研究对象是产品，目标参数是平均寿命。
2. 收集样本数据：为了进行参数估计，我们需要收集一定数量的样本数据。
样本应该能够代表总体，并且必须是随机选择的，以避免抽样偏差。
3. 选择合适的估计方法：根据研究对象和目标参数的不同，我们可以选择不同的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
点估计给出一个单一的数值作为参数的估计值，而区间估计给出一个范围，以表明参数估计值的不确定性。
4. 计算估计值：根据选择的估计方法，我们可以使用样本数据计算出参数的估计值。
例如，对于平均寿命的估计，我们可以计算样本的平均值作为总体平均寿命的估计值。
5. 评估估计的准确性：估计值的准确性可以通过计算估计的标准误
差或置信区间来评估。
标准误差反映了估计值与真实参数值之间的差异，而置信区间提供了参数估计值的不确定性范围。
6. 解释和应用估计结果：最后，我们需要解释估计结果并应用于实际问题中。
根据估计结果，我们可以得出结论，做出决策或提出建议。
参数估计是一种重要的统计推断方法，可以帮助我们了解总体特征并做出准确的推断。
通过正确的步骤和方法，我们可以获得可靠的参数估计结果，并将其应用于实际问题中。
教育统计学考试复习 ()
第一章：1、何谓心理与教育统计学？学习它有何意义？教育统计学是专门研究如何运用统计学原理和方法，搜集、整理、分析教育科学研究中获得的随机性数据资料，并根据这些数据资料所传递的信息，进行科学推论找出教育活动规律的一门科学。
具体讲，就是在教育研究中，通过调查、实验、测量等手段有意获取一些数据，并将得到的数据按统计学原理和步骤加以整理、计算、绘制图表、分析、判断、推理，最后得出结论的一种研究方法。
意义：（1）统计学为科学研究提供了一种科学方法。
（2）教育统计学是教育科学研究定量分析的重要重要工具。
（3）广大教育工作者学习教育统计学既可以顺利地阅读国内外先进的研究成果，又可以提高工作的科学性和效率，同时也为学习教育测量打下基础。
2、教育科学研究数据的特点（1）教育科学研究数据与结果多用数字形式呈现；（2）教育科学研究数据具有随机性和变异性；（3）教育科学研究数据具有规律性；（4）教育科学研究的目的是通过部分数据来推测总体特征。
总之，在教育科学实验或调查中，所获得的数据都具有变异性与规律性的特点。
3、思考题：选用统计方法有哪几个步骤?①要分析一下实验设计是否合理，即所获得的数据是否适合用统计方法去处理，正确的数量化是应用统计方法的起步，如果对数量化的过程及其意义没有了解，将一些不着边际的数据加以统计处理是毫无意义的。
②要分析实验数据的类型。
不同数据类型所使用的统计方法有很大差别，了解实验数据的类型和水平，对选用恰当的统计方法至关重要。
③要分析数据的分布规律，如总体方差的情况，确定其是否满足所选用的统计方法的前提条件。
4、教育统计学的分类（1）依研究的问题实质来划分，教育统计学的研究内容可划分为描述一件事物的性质、比较两件事物之间的差异、分析影响事物变化的因素、一件事物两种不同属性之间的相互关系、取样方法等等。
（2）依统计方法的功能进行分类，教育统计学的研究内容可分为描述统计、推论统计和实验设计。
5、描述统计：主要研究如何整理科学实验或调查得来的大量数据，描述一组数据的全貌，表达一件事物的性质。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用，例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤，帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前，首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等，根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来，需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性，从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前，需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性，避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后，可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值，用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量，还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计，表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关，可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值，参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中，需要先提出原假设和备择假设，然后计算检验统计量，最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁，避免使用过于专业的术语，以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一，它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据，并运用适当的统计方法，我们可以得到准确可靠的参数估计结果，为实际问题的决策提供科学依据。
统计学中的参数估计与假设检验
统计学中的参数估计与假设检验统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
参数估计和假设检验是统计学中两个重要的概念和方法，用于推断总体参数和判断假设是否成立。
本文将详细介绍参数估计与假设检验的基本原理和应用。
一、参数估计参数估计是通过样本数据推断总体的未知参数。
在统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的一部分。
参数是总体的特征指标，例如均值、方差、比例等。
参数估计旨在通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计的精度。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本数据计算得到的单个数字，用来估计总体参数的具体数值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
区间估计是通过样本数据计算得到的一个范围，该范围包含总体参数真值的概率较高。
置信区间是区间估计的一种形式，它可以用来描述估计值的不确定性。
二、假设检验假设检验是用于检验研究问题的特定假设是否成立的一种统计推断方法。
在假设检验中，我们提出一个原假设和一个备择假设，并根据样本数据对两个假设进行比较，进而判断原假设是否应该被拒绝。
原假设通常表示一种无关，即不发生预期效应或差异。
备择假设则表示研究者所期望的效应或差异。
在进行假设检验时，我们首先选择一个适当的统计检验方法，例如t检验、F检验或卡方检验等。
然后，计算出样本数据的检验统计量，并根据相关的分布理论和显著性水平进行推论。
最后，比较检验统计量与临界值，以决定是否拒绝原假设。
三、参数估计与假设检验的应用参数估计和假设检验在实际问题中有广泛的应用。
以医学研究为例，研究人员可能希望通过抽样来估计某种药物的有效剂量，并对药效进行假设检验。
在市场调研中，我们可以使用参数估计和假设检验来推断总体的需求曲线和做出市场预测。
在质量控制中，我们可以利用参数估计和假设检验来判断产品是否符合标准。
四、总结参数估计和假设检验是统计学中重要的方法，可以通过样本数据来推断总体参数和判断假设是否成立。
参数估计(二).最大似然估计
最大似然估计可以说是应用非常广泛的一种参数估计的方法。
它的原理也很简单：利用已知的样本，找出最有可能生成该样本的参数。
文章介绍大概从这几方面：最大似然估计中的似然函数是什么？和概率有什么不同？最大似然估计离散型随机变量做最大似然估计连续型随机变量做最大似然估计最后还附有有关贝叶斯估计、矩估计、最大似然估计与最小二乘法的关系的传送门。
1.似然函数似然性（likelihood）与概率（possibility）同样可以表示事件发生的可能性大小，但是二者有着很大的区别：概率 p(x|\theta) 是在已知参数 \theta 的情况下，发生观测结果 x 可能性大小；似然性 L(\theta|x) 则是从观测结果 x 出发，分布函数的参数为\theta 的可能性大小；可能听着不是那么好理解。
我们再详细说明下，似然函数如下：L(\theta|x)=p(x|\theta)\\其中 x 已知， \theta 未知。
若对于两个参数\theta_1 , \theta_2 ，有L(\theta_1|x)=p(x|\theta_1)>p(x|\theta_2)=L(\theta_2|x)\\那么意味着\theta=\theta_1 时，随机变量 X 生成 x 的概率大于当参数 \theta=\theta_2 时。
这也正是似然的意义所在，若观测数据为 x ，那么 \theta_1 是比 \theta_2 更有可能为分布函数的参数。
在不同的时候， p(x|\theta) 可以表示概率也可以用于计算似然，这里给出个人的理解，整理如下：在 \theta 已知，x 为变量的情况下，p(x|\theta) 为概率，表示通过已知的分布函数与参数，随机生成出 x 的概率；在\theta 为变量，x 已知的情况下，p(x|\theta) 为似然函数，它表示对于不同的\theta ，出现 x 的概率是多少。
此时可写成 L(\theta|x)=p(x|\theta) ，更严格地，我们也可写成 L(\theta|x)=p(x;\theta) 。
概率参数估计方法
第一部分 点估计的方法
1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法
4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法 .
第一节 矩 估 计
可能产生样本值X1,X2,…,Xn的一种度量 .
极大似然估计法就是用使L(θ)达到最大
值的ˆ去估计θ.
L(ˆ) max L( )
称ˆ 为θ的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合概率函数(或 (2) 联合密度); (2) 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 θ看作自变量, 得到 似然函数L(θ); (3) 求似然函数L(θ) 的最大值点(常常转化为 求ln L(θ)的最大值点) ，即θ的MLE;
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2
n1
n2
2 1
2 2
n1
n2
正 态
1
2 1
2 未知
2
2 ( X Y t S
2
1 n1
_________
1 1 2 X Y t s
)
n2
1 2 X Y t s
11
n1
n2
11
n1
n2
____
总 体
12
2 2
1, 2
未知
(
S12 S22
1 F /2
,
S12 S22
这个例子所作的推断已经体现了极大似 然法的基本思想 .
极大似然估计原理：
参数估计的方法有
参数估计的方法有
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）：假设模型的参数是未知的，通过寻找最大似然函数值对应的参数值来估计参数。
2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation，LSE）：通过使得实际观测值与模型预测值之间的残差平方和最小化来估计参数。
3. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：将参数看作是随机变量，通过贝叶斯定理来估计后验分布，得到参数的估计值。
4. 矩估计（Method of Moments，MM）：根据样本统计量与理论统计量之间的差异来估计参数。
5. 最优控制估计（Optimum Control Estimation，OCE）：根据系统动态方程和观测方程来估计未知参数。
6. 辅助变量法（Auxiliary Variable Method，AVM）：引入一个辅助变量来简化似然函数，然后再通过最大化辅助变量的似然函数来估计参数。
7. 径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）：通过神经网络模型和训练数据来估计参数。
8. 决策树（Decision Tree）：通过构建决策树来进行参数估计。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是通过从总体中抽取一个样本，利用样本数据对总体未知参数进行估计的过程。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定总体参数：首先需要明确要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例、总体方差等。
2. 选择样本：从总体中抽取一个合适的样本。
样本的选择应该具有代表性，能够反映总体的特征。
3. 收集样本数据：对选择的样本进行观测或测量，收集样本数据。
4. 选择估计方法：根据所收集的样本数据和要估计的总体参数，选择合适的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
5. 计算估计量：使用所选择的估计方法，根据样本数据计算出估计量。
估计量是用于估计总体参数的统计量。
6. 评估估计量的性质：评估所计算出的估计量的性质，如无偏性、有效性、一致性等。
这些性质可以帮助判断估计量的优劣。
7. 计算置信区间或置信水平：如果进行的是区间估计，根据估计量和置信水平，计算出总体参数的置信区间。
8. 解释估计结果：根据估计量或置信区间，对总体参数进行推断和解释。
同时，需要考虑估计结果的统计显著性和实际意义。
9. 分析误差和不确定性：考虑样本大小、抽样方法等因素对估计结果的影响，分析可能存在的误差和不确定性。
10. 结论和应用：根据参数估计的结果，得出结论并将其应用于实际问题中，例如进行决策、预测或进一步的研究。
需要注意的是，参数估计的具体步骤和方法会根据不同的统计问题和数据类型而有所差异。
在进行参数估计时，应根据实际情况选择合适的方法，并结合统计学原理和专业知识进行分析和解释。
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
参数估计[整理版]
![参数估计[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/dcab26f09a89680203d8ce2f0066f5335a816718.png)
选择题：1. 在参数估计中，要求用来估计总体参数的估计量的平均值等于被估计的总体参数。
这种评价标准称为（）A. 无偏性B. 有效性C. 一致性D. 充分性知识点：参数估计难易度：12. 评价估计量的一致性标准是指（）A. 样本统计量的值恰好等于待估的总体参数B. 所有可能样本估计值的期望值等于待估总体参数C. 估计量与总体参数之间的误差最小D. 随着样本量的增大，估计量越来越接近总体参数知识点：参数估计难易度：13. 一项抽样研究表明，客运航班晚点平均时间的95%的置信区间为5分钟～20分钟之间。
这里的95%是指（）A. 航班晚点的概率为95%B. 可以用95%的概率保证航班晚点的平均时间在5分钟～20分钟之间C. 在多次估计中，航班晚点的平均值在5分钟～20分钟之间的频率约为95%D. 100个航班中，有95个航班晚点知识点：参数估计难易度：34. 下面参数估计的陈述中，正确的是（）A. 90%的置信区间将以90%的概率包含总体参数B. 当样本量不变时，置信水平越大得到的置信区间就越窄C. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越窄D. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越宽知识点：参数估计难易度：35. 总体均值的置信区间等于样本均值加减估计误差，其中的估计误差等于所要求置信水平的临界值乘以（）A. 样本均值的标准误差B. 样本标准差C. 样本方差D. 总体标准差知识点：参数估计难易度：16. 从总体中抽取一个样本量为50的简单随机样本，用该样本均值构建总体均值99%的置信置信区间，这里的99%是指（）A. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为99%B. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为99%C. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为1%D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为1%知识点：参数估计难易度：27. 下面关于参数估计的陈述中，哪一个是正确的（）A. 一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数B. 一个小样本给出的估计量比一个大样本给出的估计量更接近总体参数C. 一个大样本给出的总体参数的估计区间一定包含总体参数D. 一个小样本给出的总体参数的估计区间一定不包含总体参数知识点：参数估计难易度：28. 要估计全校学生的平均月生活费支出，从全校学生中随机抽取200人，得到的平均月生活费支出为520元。
对二元var模型进行参数估计
对二元var模型进行参数估计一、引言二元VAR模型（Binary Vector Autoregression Model）是一种多变量时间序列分析方法，用于描述两个变量之间的关系。
在实际应用中，我们常常需要对二元VAR模型的参数进行估计，以获得模型的准确描述和可靠预测。
本文将介绍对二元VAR模型进行参数估计的方法和步骤。
二、参数估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过使观测数据与模型之间的残差平方和最小化来估计参数。
对于二元VAR模型，我们可以通过最小化残差平方和来估计模型的参数。
具体步骤如下：（1）建立二元VAR模型的估计方程；（2）利用观测数据计算残差平方和；（3）通过最小化残差平方和，求解模型的参数。
2. 极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据出现的概率来估计参数。
对于二元VAR模型，我们可以利用极大似然估计来估计模型的参数。
具体步骤如下：（1）建立二元VAR模型的似然函数；（2）利用观测数据计算似然函数的值；（3）通过最大化似然函数，求解模型的参数。
三、参数估计步骤1. 数据准备在进行参数估计之前，我们首先需要准备好观测数据。
观测数据应包括两个变量的时间序列数据，且数据应具有一定的样本量。
2. 模型建立根据观测数据的特点和问题的需求，我们需要建立二元VAR模型。
二元VAR模型包括两个方程，每个方程都是一个关于时间的线性回归方程。
3. 选择估计方法根据实际情况和模型的特点，选择合适的参数估计方法。
最小二乘法估计和极大似然估计是常用的参数估计方法，可以根据模型的特点和要求选择适合的方法。
4. 参数估计根据选择的估计方法，利用观测数据进行参数估计。
最小二乘法估计通过最小化残差平方和来估计参数，而极大似然估计通过最大化似然函数来估计参数。
5. 参数检验和模型评估对估计得到的参数进行显著性检验，判断参数是否具有统计学意义。
同时，对估计得到的模型进行评估，检验模型的拟合度和预测能力。
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第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论例7．1：设总体),(~b a U X ，求对a, b 的矩估计量。
例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证（1）;2110351321x x x ++=∧μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ（3）.12143313213x x x -+=∧μ都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。
例7．3：设n x x x ,,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的样本，试证∑=--=ni i x x n S 122)(11 是2σ的相合估计量。
第二节 重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节 常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设0),,0(~>θθU X ，求θ的最大似然估计量及矩估计量。
例7．5：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--.,0,1)(/)(其他μθθμx e x f x其中θ>0, θ,μ为未知参数，n X X X ,,,21 为取自X 的样本。
试求θ,μ的极大似然估计量。
2、估计量的优劣例7．6：设n 个随机变量n x x x ,,,21 独立同分布，,)(11,1,)(122121∑∑==--===n i i n i i x x n S x n x x D σ 则（A ）S 是σ的无偏估计量；（B ）S 是σ的最大似然估计量； （C ）S 是σ的相合估计量；（D ）x S 与2相互独立。
例7．7：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,0,0),(6)(3其他θθθx x xx fn X X X ,,,21 是取自X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量∧θ；（2） 求∧θ的方差D （∧θ）；（3） 讨论∧θ的无偏性和一致性（相合性）。
3、区间估计例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11假设钉子的长度X 服从正态分布),(2σμN ,在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。
（1） 已知σ=0.01. （2） σ未知.例7．9：为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得x =1500小时，S=20小时。
如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。
例7．10：设总体X ～N （3.4, 62），从中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值x 位于区间[1.4, 5.4]内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？第四节 历年真题数学一：1（97，5分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,010)1()(x x x f θθ其中n X X X ,,,.121 是未知参数->θ是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。
2（99，6分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他）（,00)(63θθθx x xx fn X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量θ；（2） 求D （θ）。
3（00，6分） 设某种元件的使用寿命X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--θθθθx x e x f x ,02);()(2 其中θ>0为未知参数。
又设X x x x n 是,,,21 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。
4（02，7分）设总体X 的概率分别为θθθθθ21)1(2321022--p X其中θ（0<θ<21）是未知参数，利用总体X 的如下样本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3求θ的矩估计值和最大似然估计值。
5（03，4分）已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm ，则μ的置信度为0.95 的置信区间是。
（注：标准正态分布函数值95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ）6（03，8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--θθθx x e x f x ,02)()(2 其中θ>0是未知参数，从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记^θ=min （n X X X ,,,21 ）。
（1） 求总体X 的分布函数F （x ）；（2）（3） 求统计量^θ的分布函数)(^x F θ；如果用^θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。
7（04，9分） 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量；（II ） β的最大似然估计量.8．（06，9分）设总体X 的概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤-<<=其它是未知参数其中0,1021 1100,θθθθx x X Fn X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,,21 中小于1的个数，求θ的最大似然估计。
数学三：1（91，5分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,),(1x x e ax x f x αλαλλ其中0,0>>αλ是未知参数是已知常数。
试根据来自总体X 的简单随机样本n X X X ,,21，求λ的最大似然估计量λ。
2（92，3分）设n 个随机变量n X X X ,,21独立同分布，∑∑==--===n i n i i X Xi n S X n X DX 122121)(11,1,σ，则 （A ）σ是S 的无偏估计量。
（B ）σ是S 的最大似然估计是。
（C ）σ是S 的相合估计量（即一致估计量）。
（D ）X S 与相互独立。
[ ]3（93，3分） 设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5。
则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。
4（96，3分）设由来自正态总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本，得样本均值95.0.5的置信度为则未知参数μ=X 的置信区间是。
5（00，8分）设0.51, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X 的简单随机样本值。
已知Y =ln X 服从正态分布)1,(μN 。
（1） 求X 的数学期望EX （记EX 为b ）； （2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；（3） 利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间。
6（02，3分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=--θθθθx x e x f x 若若,0,);()( 则n X X X ,,21是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为。
7（04，13分） 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本, (Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.8．（05，4分）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知。
现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是 （A ）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-164120,16412005.005.0t t精品文档精品文档 （B ）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-164120,1641201.01.0t t （C ）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-154120,15412005.005.0t t （D ）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-154120,1541201.01.0t t 9．（05，13分）设()2,,,21>n X X X n 为来自总体),0(2σN 的简单随机样本，其样本均值为X 。
记X X Y i i -=，n i ,,2,1 =。
求：（I ）i Y 的方差i DY ，n i ,,2,1 =；（II ）1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov 。
（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c 。
10．（06，13分）设总体X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=其它,021,110,,x x x f θθθ，其中θ是未知参数)10(<<θ，n X X X ,,,21 为来自总体的随机样本，记N 为样本值n X X X ,,,21 中小于1的个数，求：（I ）θ的矩估计；（II ）θ的最大似然估计。