非线性模型参数估计方法步骤
非线性参数估计的数值方法
二、遗传算法原理
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）：起源于应用计算机模拟生 物进化系统。
基本原理：
1）将优化问题离散后的各个可行解“编码”成“个体”（或染色 体），一群个体组成“种群”； 2）将参数编码个体（如二进制字符串），各个字符（二进制码0 或1）称为“基因”； 3）父代初始种群随机产生； 4）模拟生物进化，选择“适应度”（如优化问题的目标函数）高 的个体，进行“交叉”和“变异”操作，生成子代种群。“选 择”、“交叉”和“变异”是遗传算法的三个基本操作算子； 5）对子代种群，再进行选择、交叉和变异操作，直至收敛； 6）收敛的最优个体，对应于问题的最优或次优解。
按变异概率005实施变异操作序号交叉生成种群的个体位串随机变量y的计算结果变异生成种群的个体位串实参数适应值201129999683201677998967201194999839201355999949总和平均值最大值新一代的种群3998438999610999949在此基础上再用排序选择结合精英选择确定进入交配池的种群再实施交叉和变异操作直到适应值指标或最大进化代数达到设定的要求
从输入层通过隐层到输出层的传播为： ~ R 1 ~ ~ y y R f R ( z R ) f R (W R ~ y ) f R [W R F R 1 (W R 1 ~ y R 2 )] ~ ~ f R {W R f R 1[ f 1 (W 1 x )]}
， ， ，
( yk d k ) ~ ) E E yk ( y d ) yk E ( w k k k ~ ~ ~ w y w w k k k k f ( zk ) zk f ( zk ) ~ ~ ( y d ) x δ x k k k ~ zk wk zk
非线性混合效应模型参数估计方法分析
算法（ Ｆ ０ ） 和条件一阶线性 化算法 （ Ｆ Ｏ Ｃ Ｅ ） 为 ２种 计 算 非 线 性 混 合 效 应 模 型 参 数 的 常 用 线 性 化 算 法 。本 文 基 于 Ｆ Ｏ Ｃ Ｅ算 法 ， 提 出 一 种 改 进 的 随机 效 应 参 数 计 算 方 法 ， 并 利 用 树 高 生 长 数 据 和 模 拟 数 据 对 ３种 ａ ｒ ｌ ｙ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ（ Ｆ Ｏ） ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｉ ｒ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是⾮线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。
可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。
估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。
计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。
专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有⼀类⾮线性回归模型。
其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。
称此类模型为可线性化的⾮线性模型。
下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。
对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表⽰随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t和y t的关系是⾮线性的。
令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
非线性回归模型的拟合与评估
非线性回归模型的拟合与评估非线性回归是统计学中常用的一种回归分析方法，用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
本文将介绍非线性回归模型的拟合与评估方法。
一、非线性回归模型的拟合方法1. 数据收集与准备拟合非线性回归模型首先需要收集与问题相关的数据。
数据的准备包括数据清洗、变量选择和数据变换等步骤，以确保数据的质量和适应非线性回归模型的要求。
2. 模型选择在准备好数据后，需要选择适合问题的非线性回归模型。
常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型等。
选择合适的模型需要根据问题的特点和理论的支持进行判断。
3. 模型拟合模型拟合是指通过最小化残差平方和或最大似然估计等方法，估计模型的参数。
对于非线性回归模型，常用的拟合方法有最小二乘法、非线性最小二乘法、广义最小二乘法等。
4. 拟合效果评估拟合效果评估是判断非线性回归模型拟合程度好坏的指标。
常用的评估方法有残差分析、决定系数、AIC和BIC等。
残差分析可以检验模型的拟合效果和残差的独立性、常数方差和正态性假设。
二、非线性回归模型的评估方法1. 决定系数（R-squared）决定系数是衡量模型拟合程度的指标，其取值范围为0到1之间。
决定系数越接近1，表示模型对观测数据的解释能力越强。
但需要注意，决定系数无法判断模型是否过拟合。
2. 调整决定系数（Adjusted R-squared）调整决定系数是对决定系数进行修正，考虑了自变量数目的影响。
调整决定系数比决定系数更能有效地评估模型的拟合效果。
3. Akaike信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）AIC和BIC是用于比较不同模型的拟合效果的统计准则。
AIC和BIC数值越小，表示模型越好。
这两个指标在非线性回归模型的选择和评估中广泛应用。
4. 拟合图形分析通过绘制拟合曲线与实际观测数据的对比图，可以直观地评估非线性回归模型的拟合效果。
拟合图形分析可以帮助发现模型的不足之处，从而进行进一步的改进。
非线性回归模型
4.赋值语句一般形式是u=表达式，例如u＝abs（y（sin(a1*x1)＋b2*cos(c+x2)））;用以指定确定性部分 是sin(a1*x1)＋b2*cos(c+x2),abs是绝对值函数.
为了估计未知参数的值．常用的方法是非 线性最小二乘法，有时也用非线性最小一乘法， 即LAD回归。非线性最小二乘法即选择合适的使 残差平方和最小从而估计的值。
由于是非线性形式出现，非线性最小二乘法 的解，一般没有线性情形那样的公式可用，只 能通过一个数学分支“最优化”的方法使SSE达 到极小。最优化的理论和方法非常丰富，有多 种方法使SSE达到极小。
X
ln ln Pr(Y 1) ＝ln 优势＝ln( odds)
1 Pr(Y 0) log it ( ) 0 1X1 p X p
优势＝
Pr(Y Pr(Y
1) 0)
exp( 0
1 X1
p
X
p
)
如果 Pr(Y 1)＝0.7，那么Pr(Y 0)＝0.3， 那么，事件发生Pr(Y 1)是事件不发生Pr(Y 0)比较 的0.7 / 0.3＝2.33倍。
NLIN应用举例
data bb; input x y wc; cards; 0.001 1.7834 0.032 0.01 1.6983 0.021 0.1 1.5536 0.016 1 1.1145 0.019 10 0.5734 0.023 100 0.2814 0.032 1000 0.1443 0.024 10000 0.0862 0.014 ; proc nlin data=bb method=newton; parms a=1.7 to 2 by 0.05
非线性模型参数估计方法步骤
EViews非线性模型参数估计方法步骤1.新建EViews工作区，并将时间序列X、P1和P0导入到工作区；2.设定参数的初始值全部为1，其方法是在工作区中其输入下列命令并按回车键param c(1) 1 c(2) 1 c(3) 1 c(4) 13.估计非线性模型参数，其方法是在工作区中其输入下列命令并按回车键nls q=exp(c(1))*x^c(2)*p1^c(3)*p0^c(4)4.得到结果见table01（91页表3.5.4结果）（案例一结束）Dependent Variable: QMethod: Least SquaresDate: 03/29/15 Time: 21:44Sample: 1985 2006Included observations: 22Convergence achieved after 9 iterationsQ=EXP(C(1))*X^C(2)*P1^C(3)*P0^C(4)Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C(1) 5.567708 0.083537 66.64931 0.0000C(2) 0.555715 0.029067 19.11874 0.0000C(3) -0.190154 0.143823 -1.322146 0.2027C(4) -0.394861 0.159291 -2.478866 0.0233R-squared 0.983631 Mean dependent var 1830.000Adjusted R-squared 0.980903 S.D. dependent var 365.1392S.E. of regression 50.45954 Akaike info criterion 10.84319Sum squared resid 45830.98 Schwarz criterion 11.04156Log likelihood -115.2751 Hannan-Quinn criter. 10.88992Durbin-Watson stat 0.672163（92页表3.5.5结果）（案例二过程）5.新建EViews工作区，并将时间序列X、P1和P0导入到工作区；6.设定参数的初始值全部为1，其方法是在工作区中其输入下列命令并按回车键param c(1) 1 c(2) 1 c(3) 17.估计非线性模型参数，其方法是在工作区中其输入下列命令并按回车键nls q=exp(c(1))*(x/p0)^c(2)*(p1/p0)^c(3)8.得到结果见table02（92页表3.5.5结果）（案例二结束）Dependent Variable: QMethod: Least SquaresDate: 03/29/15 Time: 22:14Sample: 1985 2006Included observations: 22Convergence achieved after 4 iterationsQ=EXP(C(1))*(X/P0)^C(2)*(P1/P0)^C(3)Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C(1) 5.525965 0.072685 76.02666 0.0000C(2) 0.533824 0.019785 26.98163 0.0000C(3) -0.242862 0.134014 -1.812219 0.0858R-squared 0.982669 Mean dependent var 1830.000Adjusted R-squared 0.980845 S.D. dependent var 365.1392S.E. of regression 50.53638 Akaike info criterion 10.80939Sum squared resid 48524.59 Schwarz criterion 10.95817Log likelihood -115.9033 Hannan-Quinn criter. 10.84444Durbin-Watson stat 0.656740。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的值。
它是一个重要的统计推断技术，可以帮助我们了解和描述总体的特征。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定研究对象和目标参数：首先，我们需要明确研究对象是什么，需要估计的是哪个参数。
例如，我们可能希望估计某个产品的平均寿命，那么研究对象是产品，目标参数是平均寿命。
2. 收集样本数据：为了进行参数估计，我们需要收集一定数量的样本数据。
样本应该能够代表总体，并且必须是随机选择的，以避免抽样偏差。
3. 选择合适的估计方法：根据研究对象和目标参数的不同，我们可以选择不同的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
点估计给出一个单一的数值作为参数的估计值，而区间估计给出一个范围，以表明参数估计值的不确定性。
4. 计算估计值：根据选择的估计方法，我们可以使用样本数据计算出参数的估计值。
例如，对于平均寿命的估计，我们可以计算样本的平均值作为总体平均寿命的估计值。
5. 评估估计的准确性：估计值的准确性可以通过计算估计的标准误
差或置信区间来评估。
标准误差反映了估计值与真实参数值之间的差异，而置信区间提供了参数估计值的不确定性范围。
6. 解释和应用估计结果：最后，我们需要解释估计结果并应用于实际问题中。
根据估计结果，我们可以得出结论，做出决策或提出建议。
参数估计是一种重要的统计推断方法，可以帮助我们了解总体特征并做出准确的推断。
通过正确的步骤和方法，我们可以获得可靠的参数估计结果，并将其应用于实际问题中。
非线性系统模型参数估计的算法模型
非线性系统模型参数估计的算法模型摘要：针对非线性系统模型的多样性，提出了适用于多种非线性模型的基于粒子群优化算法的参数估计方法。
计算结果表明，粒子群优化算法是非线性系统模型参数估计的有效工具。
关键词：粒子群优化算法；非线性系统；参数估计；优化abstract： aiming at the diversity of nonlinear system model, it is proposed in this article a parameter estimation method based on particle group optimization algorithm that is applicable to a variety of nonlinear models. the result shows that the particle group optimization algorithm for parameter estimation of nonlinear system model is an effective tool. key words： particle group optimization algorithm；nonlinear system； parameter estimation； optimization0 引言非线性系统广泛地存在于人们的生产生活中，但是，目前我们对非线性系统的认识还不够深入，不能像线性系统那样，把所涉及的模型全部规范化，从而使辩识方法也规范化。
非线性模型的表达方式相对比较复杂，目前还很少有人研究各种表达方式是否存在等效关系，因此，暂时还没有找到对所有非线性模型都适用的参数模型估计方法[1]。
如果能找到一种不依赖于非线性模型的表达方式的参数估计方法，那么，也就找到了对一般非线性模型系统进行参数估计的方法[2]。
粒子群优化算法[3](particle swarm optimaziton，简称pso)是由kennedy博士和eberhart博士于1995年提出的一种基于群体智能的优化算法，它源于对鸟群群体运动行为的研究，即粒子群优化算法模拟鸟群的捕食行为。
非线性回归模型参数估计方法研究——以C-D生产函数为例
线性 回归模 型 ， 些 可 以采用 变量 代 换 将 其 化为 线 有
性 回归模 型进 行 参数 估 计 ， 些 则 不 能通 过 变 量 代 有
其 化为标 准 的线性 模型
ｌ ＝ Ｉ ＋ ａｎ ＋ｆｎ ＋ ｎ ｎ Ａ ＩＫｔ ｌ Ｌ￡ ｌ （） ２
换 化为 线性模 型 。 不论 哪 一 类 非 线性 回归 模 型 ， 根 据 现在 的计算技 术 ， 很 容 易 用 非 线性 最 小 二 乘 法 都
（ Ｓ 进行参 数估 计 。对 可线性 化 的非线 性 回归 模 ＮＬ ）
由于 Ｕ 满 足经典 假设 ， 根据 高斯 一 马 尔可夫 定理 ， 用线 性 最 小 二 乘 法 （ Ｌ ）估 计 式 （）时 ， 计 量 ＬＳ ２ 估 ｌＡ、 服 从 正 态 分 布 ，是 最 优 线 性 无 偏 估 计 ｎ 占、 （Ｌ Ｂ ＵＥ）然 而 ， 的估 计为Ａ ＝ ｅＡ， 服从正 态分 。 Ａ ｌ 不 ｂ
Ａ Ｔｆ即ｆ／Ａ Ｔｆ接近０所以式（） ＫＬ ， Ａ （ ＫＬ ） ｔ ， ６ 中的误差
项展 开推导 如下 ：
１ ／）赢 ～ ＋Ａ ＝ ｔ ＋ ｔ １ ） ｕ
… ≈
ｕ ｔ
（） ７
参数估计量不同， 认为 由式（） １ 到式（ ） ２ 的线性化过 程不成 立 。 际 上 ， 献 ［］４ 实 文 ３ ［ ］的结 论 都基 于 以下
回归分 析 是计 量 经 济学 的基 本 内容 之 一 ， 在各
种实 际问题 中有 广泛应 用 。计 量经 济学对 线性 回归 模型参 数估计 量 的 性 质 已经 进 行 了系统 、 整 的论 完
述， 而对 非 线性 回归模 型 ， 一些 文献 仅对估 计量 的渐 近性质 有些 论述 ｕ ， 它性 质 的论 述很 少 。对 于非 其 Ｊ
非线性系统模型参数估计的算法模型
ｕｏ ） ～ （１ （１， ｕｏ ） ， ，为两个相互独立的随机函数。为了减小
收稿 日期 ：０ 卜１— ５ ２１ ２０ 作者简介 ： 魏振方（９ ３） 男， １ ７一 ， 硕士， 主要研 究方 向： 人工智能及应用 。
计算机 时代 ２ １ 年 第 ４期 ０２
在进化过 程 中粒子离开搜 索空间的可能性 ， ｖ通常限定于一定
到满 意解或达 到最 大的迭代次数 为止（ 的位置 即是要 寻找 粒子 基本相 同 ， 应值很难进一步提高为止 。 适 的解） 。因此 ， 粒子 群优 化算 法具 有多 点 寻优 、 行处 理 等特 并
点。而且粒子群优化算法 的搜 索过程是从初始解群开始 ， 以模 ２ 仿 真研 究 型对 应 的适 应 函数 作为寻优 判据 ， 从而直 接对解群进 行操作 ，
０ 引言
踪两个” 极值” 来更新 自己 ， 第一个就是粒 子本身所找到 的最优
这个解 叫做个体极值 ｐ ｅｔ另一个 极值是整个种群 目前找 Ｂ ｓ， 非线性 系统 广泛地 存在于人 们的生产生 活 中 ， 但是 ， 前 解 ， 目 到的最优 解 ， 这个 极值是全 局极值 ｇ ｅｔ Ｂ ｓ。另外也可 以不 用整 我们对非 线性系统 的认识还不够 深入 ， 不能像 线性系统那 样 ， 那么在所 有邻居 把 所涉及的模型全部规范化 ， 从而使辩识方法也规范化 。非线 个 种群而只是用其 中一部分作 为粒 子的邻居 ， 是模拟 自然 界生物的群 性模型的表达方式相对 比较复杂 ， 前还很少有人研究 各种表 中的极值就是局部极值 。其基本思想 目 即从一 组初 始解 群开始 迭 达方式是 否存在等效 关系 ， 因此 ， 时还 没有找到 对所有非 线 体行 为来构 造解 的随机 优化 算法 ， 暂 代， 逐步 淘汰 较差 的解 ， 生更好 的解 ， 产 直到满 足某 种收敛 指 性模型都适用的参数模型估计方法ｕ 。如果能 找到 一种不依赖 即得到了 问题 的最优 解 。假设在 一个 ｎ 维的 目标搜 索空间 于非线性 模型 的表 达方式 的参数估计方 法 ， 那么 ， 也就找到 了 标 ， 中， ｍ个粒子组 成一个 群落 ， 中第 ｉ 有 其 个粒子在 ｎ 维搜 索空 间 对一般非线性模 型系统进行参数估计的方法 。 粒子群优化算 法 Ｐ ｒｃ ｗ ｒ Ｏ ｔ ｚｔｎ 简称 Ｐ Ｏ） （ａｔ ｌ Ｓ ａｍ ｐｉ ｉ ， ｉｅ ｍａ ｏ Ｓ 中的位置表 示为一个 ｎ 向量 ， 维 每个粒 子的位置代表一个 潜在 是由 Ｋ ｎ ｅ ｙ ｅ ｎｄ 博士和 Ｅ ｅｈｒ博士于 １９ 年提出的一种基于群 的 解 。 设 ｘ （ｉ Ｘ２…， ）为 粒 子 ｉ的 当 前 位 置 ； ｂｒａ ｔ ９５ ｉ Ｘｌ ｉ ， ， ｘ 体智能 的优化算法 ， 源于对 鸟群 群体运动 行为的研究 ， 它 即粒 ｖ （ ｌＶ。… ， ｉ 为 粒 子 ｉ 当 前 飞 行 的 速 度 ； ｉ ｖ ｉ Ｖ ， ， ） 子群优化算法模拟 鸟群 的捕 食行 为。设想这样一个场景 ： 一群 ｐ ， ｐ 为粒 子 ｉ 所经历 的最好位置 ， 也就 是粒子 ｉ 鸟在随机 搜索食物 ， 这个 区域 里只有一块 食物 ， 在 所有 的鸟都 ｐ （ ｐｚ… ， ） 不知 道食 物在 那里 ， 是他们 知道 当前 的位置离 食物 还有 多 所 经 历 过 的 具 有 最 好 适 应 值 的 位 置 ， 为个 体 最优 位 置 ； 但 称 远， 那么找到食物的最优策略是什么呢 ？最简单有效 的方法就 是搜 寻 目前离 食物最近 的鸟的周 围区域 。粒子群 优化算 法从 这种模 型 中得 到启示并 用于解决一些优 化 问题 。粒子群优 化 优位置 ， 为全局最优位置 。将 ， 称 带入 目标 函数计算 出其适应 算法 中 ， 每个 优化 问题 的解都是搜 索空 间中的一只 鸟 ， 我们称 值 ， 据适应值 的大小可 以衡量 ， 根 的优 劣。每个粒子 的位置和 之 为 “ 子” 粒 。所有 的粒 子都有一个 由被优化 的函数决 定的适 速度按下文 中式（） ４两个公式迭代求得 。用ｊ ３和（） 表示粒子 的第 应值（ｔ ｓ ｖｌ ） ｉ ｆ ｅｓ ａ ｅ， ｎ ｕ 每个粒 子还 有一个速度决定他 们飞翔的方 Ｊ ０ １ ２ … ，）ｉ 维 ＝ ， ， ｎ ，表示 第 ｉ 个粒 子（ ｌ ， ， ，表 示第 ｔ ， ｉ ， … ｍ）ｔ ＿２ 代
第四章 非线性回归模型的线性化讲解
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
Y 和
X 1 , X K
之间不存在
多元线性随机函数关系
Y 0 1 X 1 K X K
那么我们如何估计出模型中的未知参数呢？
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/08/08 Time: 13:51 Sample: 1980 1996 Included observations: 17 Variable Coefficient C -10.46551 X1 1.021132 X2 1.472202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
(2)可线性化的非线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，但是可以转化 为线性函数。例如： 生产函数模型： Y AK L e 转化为： ln Y LnA LnK LnL (3)不可线性化的非线性回归模型： 被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，而且无法转化 为线性函数。 例如：Y 0 1e 1x1 2 e 2 x2
0.99841 S.D. dependent var 0.029873 Akaike info criterion
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
非线性成长模型的建立与参数估计
非线性成长模型的建立与参数估计非线性成长模型是一种用来描述非线性系统的变化过程的数学模型。
相比于线性模型，非线性成长模型可以更准确地反映实际问题中的非线性关系，因此在很多领域应用广泛，比如生物学、经济学和环境科学等。
在本篇文章中，我们将探讨如何建立非线性成长模型并进行参数估计的方法与步骤。
首先，建立非线性成长模型需要明确研究对象的特征以及模型的形式。
我们以生物学中的生长过程为例。
假设我们想要研究一种植物的生长过程，并希望建立一个非线性成长模型来描述其生长速度随时间的变化。
根据观察，我们发现该植物的生长速度在初始阶段比较快，逐渐减缓，最终接近一个稳定值。
基于这一观察，我们可以选择广义 logistic 函数作为非线性成长模型的形式：N(N) = N / (1 + N^−N(N−N₀))其中N(N)表示植物的生长速度，N表示最大生长速度，N表示生长速度的增长率，N₀表示生长速度达到一半最大值时的时间点。
该模型在初始时，生长速度较快，随着时间的推移，生长速度逐渐减缓。
当N→∞时，N(N)趋近于最大生长速度N。
其次，参数估计是建立非线性成长模型的关键步骤之一。
参数估计的目标是通过已知的数据来估计模型中的参数值，使得模型与实际观测值之间的拟合程度最好。
估计非线性成长模型的参数存在多种方法，其中最常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定最优参数值。
在参数估计过程中，需要选择合适的初始参数值，将问题转化为一个最优化问题。
采用迭代的方式，不断调整参数值，直到找到最小的残差平方和。
此外，为了保证参数估计的稳定性和准确性，常常需要采用统计方法来评估模型的拟合度与参数的显著性。
常见的统计指标包括确定系数（R^2）、AIC（Akaike information criterion）和BIC（Bayesian information criterion）等。
确定系数可以衡量模型拟合数据的好坏，范围从0到1，值越接近1表示拟合效果越好。
eviews技术操作：非线性回归模型的建立
❖ 初始值的选取不当可能会导致NLS运算失败。
❖ 当EViews给出Near Singular Matrix的错误提 示时，有可能与初始值选取有关。
❖ 但通常没有选取初始值的一般规则，显然离 真实值越近越好，所以我们可以先根据参数 的意义猜测参数的范围，给出一个合适的初 始值。如根据劳动弹性系数在0到1之间，例 3.4中可将C (2)赋一个介于0到1的值。
❖ 在NLS中， EViews用开始估计的系数向量中 对应的值作为初始值。所以我们可以先查看 系数向量中的各个参数值，如果有需要更改 的，可直接在系数向量窗口中编辑更改，这 时可输入更改值。另外也可用命令
❖ Param coef_name(1) n1 coef_name(2) n2...
❖ 来重新设置。例如param c(1) 153 c(2) 0.68 c(3) 0.15
❖ 它们的区别仅在于NLS未输出线性回归中才 有的F统计量及相应的相伴概率。
例2
❖ 粮食产量通常由粮食产量（Y）、农业生产劳 动力(L)、粮食播种面积（M）、化肥施用量 (K)等因素决定。case4是我国粮食生产的有 关数据(由于粮食生产劳动力不易统计，假定 它在农业劳动力中的比例是一定的，故用农 业劳动力的数据代替)，研究其间关系，建立 Cobb-Douglas生产函数模型。
❖ 例1 根据case3数据用非线性最小二乘法建 立单位成本函数模型。
❖ 建模过程仍是先打开方程定义窗口，在定义 栏中输入模型的非线性表达式即可。不同的 是有时候可能迭代无法收敛，则需要通过修 改选项设置来重新估计。
❖ 线性化与NLS法的参数估计值完全一样，统 计量输出相同，这是由于线性化仅改变了变 量的形式，而NLS法也没有改变y和1/x的线 性关系，在这两种情况下进行最小二乘估计 对于待估参数来说是等价的。
非线性混合效应模型的蒙特卡洛模拟步骤
构建非线性混合模型后，需要采用合适的参数估计方法进行估计。传统的参数估计方法包括极大似然估计法、贝叶斯估计 法等，它们常常基于假设检验噪声分布等前提，在一定条件下可以实现较为准确的估计。而随着技术的发展，深度学习等机器 学习方法也逐渐被应用到非线性混合模型中。与传统参数估计方法相比，深度学习方法对于数据的自适应表征具有更高的鲁棒 性，同时不需要对先验信息进行约束。但其需要较大规模的数据集，并且对参数初始化等因素较为敏感。因此，需要根据实际 情况来选择合适的参数估计方法。
设计模拟数据
进行蒙特卡洛模拟
Perform Monte Carlo simulation.
1. 设定模拟参数：模拟参数包括模型的参数值、观测数据的数量和模拟次 数等因素。在设定参数时应该考虑到实际情况，尽可能逼近真实数据。例如 ，模型的参数值可以通过现有数据的估计值来确定，观测数据的数量应符合 实验要求，而模拟次数应该足够多才能保证结果的可靠性。 2. 进行模拟分析：在设置好参数后，可以使用蒙特卡洛方法对非线性混合 效应模型进行模拟分析。此时需要编写相应的程序，计算观测数据的估计值 和方差，并对结果进行分析和评估。在分析过程中，需要注意结果的稳定性 和可靠性，尤其是在数据量和模拟次数比较小的情况下。同时，还需要对结 果进行可视化处理，以便更好地了解和解释结果。
3. 模型的应用领域和局限性：非线性混合效应模型广泛应用于医学、社会经济、环境科学等领域中。例如，在药物疗效评价中，可以 利用非线性混合效应模型来建立药效-时间关系模型，以更准确地预测药物的治疗效果。然而，非线性混合效应模型也存在一定的局 限性，例如模型参数的解释性不强、模型拟合过程中存在过拟合问题等。对于这些问题，需要对模型假设和数据分析方法进行更深入 的探讨和改进，以提高模型的精度和推广性。
非线性回归
非线性回归一、介绍线性回归是一种基本的统计方法，在许多领域中都有广泛的应用。
然而，在现实世界中，很多问题并不满足线性关系。
这时，非线性回归就成为了一种更加适用的方法。
二、非线性回归模型非线性回归模型是通过拟合非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
一般来说，非线性回归模型可以分为参数模型和非参数模型。
1. 参数模型参数模型是指非线性函数中包含一些参数，通过最小化残差的平方和来估计这些参数的值。
常见的参数模型包括指数模型、幂函数模型、对数模型等。
2. 非参数模型非参数模型是指非线性函数中没有参数，通过直接拟合数据来建立模型。
常见的非参数模型包括样条函数模型、神经网络模型等。
三、非线性回归的应用非线性回归在许多领域中都有广泛的应用，特别是在生物学、经济学、工程学等领域中。
下面介绍几个非线性回归的应用实例：1. 生物学研究非线性回归在生物学研究中有很多应用，其中一个典型的例子是用来描述酶动力学的反应速率方程。
酶动力学研究中，根据酶底物浓度和反应速率的关系来建立非线性回归模型，从而研究酶的活性和底物浓度之间的关系。
2. 经济学分析非线性回归在经济学中也有许多应用，其中一个典型的例子是用来描述经济增长模型。
经济增长模型中，根据投资、人口增长率等因素来建立非线性回归模型，从而预测国家的经济增长趋势。
3. 工程学设计非线性回归在工程学设计中有很多应用，其中一个典型的例子是用来描述材料的应力-应变关系。
材料的应力-应变关系通常是非线性的，通过非线性回归模型可以更准确地描述材料的力学性能。
四、非线性回归的优缺点非线性回归相对于线性回归具有一些优点和缺点。
下面分别介绍：1. 优点非线性回归可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系，适用于不满足线性关系的问题。
非线性回归的模型形式更灵活，可以通过选择适当的函数形式来更好地拟合数据。
2. 缺点非线性回归相比线性回归更复杂，需要更多的计算资源和时间。
非线性回归的参数估计也更加困难，需要依赖一些优化算法来找到最优解。
非线性模型与参数估计方法研究
非线性模型与参数估计方法研究1.引言非线性模型是现代统计学中一个重要的分支，随着计算机性能的不断提高和数据维度的不断增加，非线性模型的应用正在越来越广泛。
在实际应用中，参数估计是非线性模型不可避免的一部分，而参数估计的精度对模型预测的准确性起着至关重要的作用。
在本文中，我们将介绍非线性模型及其参数估计方法的研究现状，并讨论其应用价值和发展趋势。
2.非线性模型非线性模型是指模型中自变量与因变量之间不满足线性关系的模型。
非线性模型一般在目标函数中引入一些非线性项，以适应复杂的实际情况。
在实际应用中，非线性模型的种类繁多，常见的有曲线拟合、非线性回归、广义线性模型等。
非线性模型既可以用于描述现象，又可以用于预测未来，具有很高的应用价值。
在非线性模型中，很多模型的参数是需要估计的。
3.参数估计方法参数估计是非线性模型中一个至关重要的问题，其精度直接关系到模型的预测准确性。
常见的参数估计方法有极大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计等。
极大似然估计是一种计算方便、精度较高的方法，最小二乘估计则是样本量较大时最优的方法，而贝叶斯估计则可以自然地引入先验信息，使得估计结果更加准确。
此外，基于神经网络的参数估计方法和贪心算法也获得了一定的应用。
4.应用价值非线性模型及其参数估计方法在各种领域中都有着广泛的应用。
在金融领域，非线性模型可以用于股票价格的预测和交易决策的制定。
在医学领域，非线性模型可以用于疾病的诊断和治疗方案的优化。
在物流领域，非线性模型可以用于路线优化和成本控制。
随着社会经济的发展，非线性模型的应用范围将越来越广泛。
5.发展趋势随着计算机性能的不断提高，大数据分析和人工智能技术的应用越来越普及，非线性模型的应用前景更加广阔。
同时，非线性模型及其参数估计方法也在不断发展。
例如，基于深度学习的非线性模型已经取得了许多研究和应用成果。
此外，混沌理论、粒子群算法、受限玻尔兹曼机等技术也为非线性模型提供了新的思路和手段。
第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)
（2）利用NLS命令也可以估计可线性化的非线性回归 模型；例如，对于倒数变换模型和对数函数模型，可 以直接键入： NLS NLS Y＝C(1)＋C(2)／X Y＝C(1)＋C(2)*log(X)
但迭代估计是一种近似估计，并且参数初始值和误差 精度的设定不当还会直接影响模型的估计结果。因此， 对于可线性化的非线性模型，最好还是将其转化成线 性模型进行估计。
我国国有工业企业生产函数（ ）。例 例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾估计 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数，现建立 Cobb-Dauglas）生产函数： C-D（Cobb-Dauglas）生产函数： 转化成线性模型进行估计： （1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数， 在模型两端同时取对数，得： lny=lnA+αlnL+βlnK+ε 因此， Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令 软件的命令窗口中依次键入以下命令： 因此，在Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令： GENR LNY = log(Y) GENR LNL = log(L) GENR LNK = log(K) LS LNY C LNL LNK
例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾 估计出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 现建立C-D（Cobb-Dauglas）生产函数：
Y = ALα K β eε
（方法1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数，得：
ln y = ln a + α ln 窗口中点击Procs\ Make Equation； （2）在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归 模型的具体形式： Y= C(1)*(X-C(2))/(X-C(3)) （3）选择估计方法为最小二乘法后点击OK。 说明： （1）在方程描述窗口中点击按纽Options，可以设置迭 代估计的最大迭代次数（Max Iterations）和误差精度 （Convergence），以便控制迭代估计的收敛过程。
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EViews非线性模型参数估计方法步骤
1.新建EViews工作区，并将时间序列X、P1和P0导入到工作区；
2.设定参数的初始值全部为1，其方法是在工作区中其输入下列命令
并按回车键
param c(1) 1 c(2) 1 c(3) 1 c(4) 1
3.估计非线性模型参数，其方法是在工作区中其输入下列命令并按
回车键
nls q=exp(c(1))*x^c(2)*p1^c(3)*p0^c(4)
4.得到结果见table01（91页表3.
5.4结果）（案例一结束）
Dependent Variable: Q
Method: Least Squares
Date: 03/29/15 Time: 21:44
Sample: 1985 2006
Included observations: 22
Convergence achieved after 9 iterations
Q=EXP(C(1))*X^C(2)*P1^C(3)*P0^C(4)
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 5.567708 0.083537 66.64931 0.0000
C(2) 0.555715 0.029067 19.11874 0.0000
C(3) -0.190154 0.143823 -1.322146 0.2027
C(4) -0.394861 0.159291 -2.478866 0.0233
R-squared 0.983631 Mean dependent var 1830.000
Adjusted R-squared 0.980903 S.D. dependent var 365.1392
S.E. of regression 50.45954 Akaike info criterion 10.84319
Sum squared resid 45830.98 Schwarz criterion 11.04156
Log likelihood -115.2751 Hannan-Quinn criter. 10.88992
Durbin-Watson stat 0.672163
（92页表3.5.5结果）（案例二过程）
5.新建EViews工作区，并将时间序列X、P1和P0导入到工作区；
6.设定参数的初始值全部为1，其方法是在工作区中其输入下列命令
并按回车键
param c(1) 1 c(2) 1 c(3) 1
7.估计非线性模型参数，其方法是在工作区中其输入下列命令并按
回车键
nls q=exp(c(1))*(x/p0)^c(2)*(p1/p0)^c(3)
8.得到结果见table02（92页表3.5.5结果）（案例二结束）
Dependent Variable: Q
Method: Least Squares
Date: 03/29/15 Time: 22:14
Sample: 1985 2006
Included observations: 22
Convergence achieved after 4 iterations
Q=EXP(C(1))*(X/P0)^C(2)*(P1/P0)^C(3)
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 5.525965 0.072685 76.02666 0.0000
C(2) 0.533824 0.019785 26.98163 0.0000
C(3) -0.242862 0.134014 -1.812219 0.0858
R-squared 0.982669 Mean dependent var 1830.000
Adjusted R-squared 0.980845 S.D. dependent var 365.1392
S.E. of regression 50.53638 Akaike info criterion 10.80939
Sum squared resid 48524.59 Schwarz criterion 10.95817
Log likelihood -115.9033 Hannan-Quinn criter. 10.84444
Durbin-Watson stat 0.656740。