(高考奉献)2015年普通高等学校招生全国广东卷(数学理)word版含答案
2015年广东高考理科数学_Word版含标准答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。
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绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410x x x M =++=，()(){}410x x x N =--=，则MN =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅ 2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i - 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A．y = B ．1y x x =+C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ） A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C :22221x y a b-=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ．10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答） 13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A 的极坐标为74π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)222m n x x x π=-=∈ (1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分） 某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ； （3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分） 设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间；(2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分） 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈.(1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ； (3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n满足22ln n S n <+绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+ D ．sin 2y x x =+4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 5、设C ∆A B 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．36、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 8、已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．29、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13、若三个正数a ，b ，c成等比数列，其中5a =+5c =-b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性；()3当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数．。
2015年广东省高考数学试题与答案(理科)【解析版】
2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015 ?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1）=0} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0} ，则M ∩N=（）A ?{1 ，4} B { ﹣1，﹣4} C {0} D ．．．．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x| （x+4）（x+1）=0}={ ﹣1，﹣4} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0}={1 ，4} ，则M ∩N= ?．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5 分）（2015 ?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（）A2﹣3i B 2+3i C 3+2i D 3﹣2i ．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答：解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i ，则=2﹣3i，故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5 分）（2015 ?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）x Ax+ DB C y=x+ey=2y= y=x+．．．．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A，y= 是偶函数，所以 A 不正确；对于B，y=x+ 函数是奇函数，所以 B 不正确；x对于C，y=2+ 是偶函数，所以 C 不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确．故选：D．1点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5 分）（2015 ?广东）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）AB C D 1．．．．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白析：球，1 个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15 个球任取2 球的取法，而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．解解：这是一个古典概型，从15 个球中任取 2 个球的取法有；答：∴基本事件总数为105；设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A ；则A 包含的基本事件个数为=50；∴P（A）= ．故选：B．点考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．评：2 25．（5 分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=0考圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，析：即可求出直线方程．解解：设所求直线方程为2x+y+b=0 ，则，答：所以= ，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0故选：A ．点本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．评：26．（5 分）（2015 ?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A4 B C 6 D．．．．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y 得y=﹣x+ ，平移直线y= ﹣x+ ，则由图象可知当直线y=﹣x+ ，经过点 A 时直线y=﹣x+ 的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×= ，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5 分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）3AB C D．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b= =3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A 至多等于 3B 至多等于 4C 等于 5D 大于 5．．．．考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上， 3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中， 4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）的展开式中，x 的系数为 6 ．49．（5 分）（2015 ?广东）在（﹣1）考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．4分析：根据题意二项式（﹣1）4 r的展开式的通项公式为T r+1= ?（﹣1）? ，分析可得，r=1 时，有x 的项，将r=1 代入可得答案．解答：4 解：二项式（﹣1）r的展开式的通项公式为T r+1= ?（﹣1）? ，令2﹣=1，求得r=2，4∴二项式（﹣1）的展开式中x 的系数为=6，故答案为：6．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．（5 分）（2015?广东）在等差数列{a n} 中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 10 ．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5 的值代入即可求出值．解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11．（5 分）（2015 ?广东）设△ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，则b= 1 ．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；解三角形．分析：由sinB= ，可得B= 或B= ，结合a= ，C= 及正弦定理可求 b解答：解：∵sinB= ，∴B= 或B=当B= 时，a= ，C= ，A= ，由正弦定理可得，则b=15当B= 时，C= ，与三角形的内角和为π矛盾故答案为： 1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12．（5 分）（2015?广东）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解答：解：某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560 条．故答案为：1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5 分）（2015?广东）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解答：解：随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q= ，则p= ，故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5 分）（2015?广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，点A 的极坐标为A （2 ，），则点 A 到直线l 的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．解答：解：直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A 的极坐标为 A （2 ，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A 到直线l 的距离为：= ．6故答案为：．点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．（2015?广东）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4 ，EC 是圆O 的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P，则OD= 8 ．考相似三角形的判定．点：专选作题；创新题型；推理和证明．题：分析：2连接OC，确定OP⊥AC，OP= BC= ，Rt△OCD 中，由射影定理可得OC=OP?OD，即可得出结论．解解：连接OC，则OC⊥CD，答：∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP= BC= ，2Rt△OCD 中，由射影定理可得OC =OP?OD，∴4= OD，∴OD=8 ．故答案为：8．点本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．评：三、解答题716．（12 分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．考平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．点：专平面向量及应用．题：分析：（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．解答：解：（1）若⊥，则? =（，﹣）?（sinx，cosx）= sinx﹣c osx=0，即sinx= cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵| |=1，| |=1，? =（，﹣）?（sinx，cosx）= sinx﹣c osx，∴若与的夹角为，则? =| |?| |cos = ，即sinx﹣c osx= ，则s in（x﹣）= ，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x= + = ．点本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基评：础．17．（12 分）（2015 ?广东）某工厂36 名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄81 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；2（2）计算（1）中样本的均值和方差s；（3）36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？考点：极差、方差与标准差；系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；2 （2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s；（3）求出样本和方差即可得到结论．解答：解：（1）由系统抽样知，36 人分成9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，⋯，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得= （44+40+36+43+36+37+44+43+37 ）=40．2 2由方差公式得s= [（44﹣40）+（40﹣40）2 2+⋯+（37﹣40）] = ．2（3）∵s= ．∴s= ∈（3，4），∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，⋯，39，共23 人．∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．18．（14 分）（2015 ?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3 ，点 E 是CD 的中点，点F、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣A D﹣C的正切值；（3）求直线P A 与直线F G 所成角的余弦值．9考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）通过△POC 为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD ，则∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC ，在△PAC 中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC的余弦值．解答：（1）证明：在△POC 中PO=PC 且E 为CD 中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD ，平面PDC∩平面ABCD=CD ，PE? 平面PCD，∴PE⊥平面ABCD ，又∵FG? 平面ABCD ，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD ，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD 且PE∩CD=E ，∴AD ⊥平面PDC，又∵PD? 平面PDC，∴AD ⊥PD，又∵AD ⊥CD，∴∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角，在Rt△PDE 中，由勾股定理可得：PE= = = ，∴tan∠PDC= = ；（3）解：连结AC，则AC= =3 ，在Rt△ADP 中，AP= = =5，∵AF=2FB ，CG=2GB ，∴FG∥AC，∴直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC，在△PAC 中，由余弦定理得cos∠PAC=== ．10定理、勾股点评：本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．2 x）e ﹣a． 19．（14 分）（2015 ?广东）设a＞1，函数 f （x）=（1+x；（1）求f（x）的单调区间（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；直线OP （3）若曲线y=f （x）在点P 处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．用．合应题：常规题型；导数的综专．分析：（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间（2）证明只有 1 个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．杂．为复（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较x 2 x 2解答：解：（1）f'（x）=e （x （x+1）+2x+1 ）=e ⋯2 分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x 2 x）e ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．⋯3 分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0⋯5 分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0 成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点⋯7 分x 2（3）证明：f'（x）=e （x+1），x0 2设点P（x0，y0）则）f'（x）=e （x0+1），x0 2 ∵y=f （x）在点P 处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e （x0+1）=0，∴x0=﹣1⋯9 分将x0=﹣1 代入y=f （x）得y0= ．∴，∴⋯10 分m令g（m）=e ﹣（m+1），m则g'（m）=e ﹣1，由g'（m）=0 得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0⋯12 分m∴g（m）=e ﹣（m+1）≥0m∴e≥m+111m∴e （m+1）2 3 ≥（m+1）即：∴m≤⋯14 分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．2 220．（14 分）（2015 ?广东）已知过原点的动直线l 与圆C1：x+y﹣6x+5=0 相交于不同的两点A ，B．（1）求圆C1 的圆心坐标；（2）求线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k （x﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．考轨迹方程；直线与圆的位置关系．点：专创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）通过将圆C1 的一般式方程化为标准方程即得结论；析：（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆C1 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L 与圆C1 的方程，利用根的判别式△=0 及轨迹 C 的端点与点解答：（4，0）决定的直线斜率，即得结论．2 2解：（1）∵圆C1：x﹣6x+5=0 ，+y2 2整理，得其标准方程为：（x﹣3）+y =4，∴圆C1 的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，2 2消去y 可得：（1+k ）x﹣6x+5=0 ，2 2由△=36﹣4（1+k ）×5＞0，可得k ＜由韦达定理，可得x1+x2= ，∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程为：（x﹣）2+y 2 = ，其中＜x≤3；12（3）结论：当k∈（﹣，）∪{ ﹣，} 时，直线L：y=k （x﹣4）与曲线C 只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k 2 2）x ﹣（3+8k）x+16k 2=0，2 2令△=（3+8k）﹣4（1+k ）?16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹 C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k （x﹣4）与曲线 C 只有一个交点时，k 的取值范围为（﹣，）∪{ ﹣，} ．点本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于评：中档题．+21．（14 分）（2015 ?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N．（1）求a3 的值；（2）求数列{a n} 的前n 项和T n；（3）令b1=a1，b n= +（1+ + +⋯+ ）a n（n≥2），证明：数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n＜2+2lnn ．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3 的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{a n} 的前n 项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．解答：+解：（1）∵a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N ．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2= ，∵a1+2a2+⋯+na n=4﹣，n∈N + ．+∴a1+2a2+⋯+（n﹣1）a n ．﹣1=4﹣，n∈N两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）= ，n≥2，13则a n= ，n≥2，当n=1 时，a1=1 也满足，∴a n= ，n≥1，则a3= ；（2）∵a n= ，n≥1，∴数列{a n} 是公比q= ，1﹣n2．则数列{a n} 的前n 项和T n= =2﹣（3）b n= +（1+ + +⋯+ ）a n，∴b1=a1，b2= +（1+ ）a2，b3= （1+ + ）a3，∴S n=b1+b2+⋯+b n=（1+ + +⋯+ ）（a1+a2+⋯+a n）=（1+ + +⋯+ ）T n1﹣n）＜2×（1+ + +⋯+ ），=（1+ + +⋯+ ）（2﹣21，x＞1，设f（x）=lnx+﹣．则f′（x）=﹣即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N?时，，∴f（）=ln +﹣1＞0，即ln ＞，∴ln ，，⋯，即=lnn，∴2×（1+ + +⋯+ ）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn ）=2+2lnn ．本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利点评：性力，综合用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能14WORD文档较强，难度较大．152015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015 ?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1）=0} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0} ，则M ∩N=（）A ．{ 1，4} B．{ ﹣1，﹣4} C．{0} D．?2．（5 分）（2015 ?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（）A ．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5 分）（2015 ?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）xA ．C．y=2x+ D．y =x+e B．y= y=x+4．（5 分）（2015 ?广东）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）A ．B．C．D．12 25．（5 分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=06．（5 分）（2015 ?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A ．4 B．C．6 D．7．（5 分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）A ．B．C．D．﹣=1 ﹣=1 ﹣=1 ﹣=18．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于 3 B．至多等于 4 C．等于5 D．大于516二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）49．（5 分）（2015 ?广东）在（﹣1）的展开式中，x 的系数为．10．（5 分）（2015?广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5 分）（2015 ?广东）设△ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，则b= ．12．（5 分）（2015?广东）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5 分）（2015?广东）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5 分）（2015?广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，点A 的极坐标．为A（2 ，），则点 A 到直线l 的距离为15．（2015?广东）如图，已知AB 是圆O的直径，AB=4 ，EC 是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P，则OD= ．三、解答题16．（12 分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．17．（12 分）（2015 ?广东）某工厂36 名工人年龄数据如图：年龄工人编号年龄工人编号年龄年龄工人编号工人编号171 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 399的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到（1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为；的年龄数据为44，列出样本的年龄数据2（2）计算（1）中样本的均值和方差s；0.01%）？s和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到（3）36 名工人中年龄在﹣18．（14 分）（2015 ?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3 ，点 E 是CD 的中点，点F、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ．（1）证明：PE⊥FG；C的正切值；（2）求二面角P﹣A D﹣（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．2 x）e﹣a． 19．（14 分）（2015 ?广东）设a＞1，函数 f （x）=（1+x间；（1）求f（x）的单调区（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP1．平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣2 220．（14 分）（2015 ?广东）已知过原点的动直线l 与圆C1：x﹣6x+5=0 相交于不同的两+y点A ，B．（1）求圆C1 的圆心坐标；C的方程；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k （x﹣k 的取值范围；若不存在，说明理由．+21．（14 分）（2015 ?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N．（1）求a3 的值；（2）求数列{a n} 的前n 项和T n；18（3）令b1=a1，b n= +（1+ + +⋯+ ）a n（n≥2），证明：数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n＜2+2lnn ．19。
2015年广东省高考数学试卷(理科)
2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•，+1分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n=4﹣，n∈N+．﹣1两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．第21页（共21页）。
2015年高考理科数学广东卷
5 x2 y 2 2 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2 (5,0) ，则双曲线 C 的 2 4 a b
( )
卷
-------------------准考证号_____________
x 16 x2 D. 3
B.
2
y 1 9 y2 1 4
( )
2
上
--------------------
8.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 B.等于 5 D.至多等于 3
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（9～13 题） 9.在 ( x 1)4 的展开式中， x 的系数为 . .
姓名________________
题
--------------------
N (
(
)
1 π ，C ， 2 6
D. {1,4} )
12.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 13.已知随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) .若 E ( X ) 30 ，D( X ) 20 ， 则p （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程） .
效
--------
11 B. 21
10 C. 21
5 D. 21
π 7π 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 2 ，点 A 的极坐标为 A(2 2, ) ，则点 4 4
A 到直线 l 的距离为
. 数学试卷 第 2 页（共 4 页）
数学试卷 第 1 页（共 4 页）
15.（几何证明选讲） 如图， 已知 AB 是圆 O 的直径，AB 4 ，EC 是圆 O 的 切线，切点为 C ， BC 1 .过圆心 O 作 BC 的平行线， 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 OD .
2015年普通高等学校招生全国统一考试 广 东 卷(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试广 东 卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1,4} B ．{－1，－4} C ．{0} D ．∅解析：选D.∵ M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}＝{－4，－1}，N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}＝{1,4}，∴ M ∩N ＝∅.2．若复数z ＝i (3－2i )(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A.∵ z ＝i (3－2i )＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴ z ＝2－3i . 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x解析：选D.A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x＋e －x ＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1 解析：选B.从15个球中任取2个球共有C 215种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有C 110·C 15＝50(种)，所以P ＝50C 215＝1021. 5．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.∵ 所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，∴ 设所求的直线方程为2x ＋y ＋m＝0.∵ 所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴ |m |1＋4＝5，∴ m ＝±5.即所求的直线方程为2x＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315第6题图解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴ A ⎝⎛⎭⎫1，45，∴ z m i n ＝3×1＋2×45＝235. 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 解析：选C.∵ e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴ c ＝5，∴ a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴ 双曲线C 的标准方程为x 216－y29＝1.8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5解析：选B.n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)(一)必做题(9～13题)9．在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．解析：T r ＋1＝C r 4·(x )4－r ·(－1)r .令r ＝2，则C 24(－1)2＝6. 答案：610．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.答案：1011．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵ sin B ＝12，0<B <π，∴ B ＝π6或B ＝56π.又∵ B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴ A ＝π－π6－π6＝23π.∵ a sin A ＝b sin B ，∴ b ＝a sin B sin A ＝1.答案：112．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：A 240＝40×39＝1 560. 答案：1 56013．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.答案：13(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 解析：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴ y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，∴ d ＝|2＋2＋1|2＝522. 答案：52215．(几何证明选讲选做题)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.15题图解析：∵ AB 为直径，∴ ∠BCA ＝90°.由OP ∥BC ，得OP ＝12BC ＝12，AC ＝16－1＝15，∴ CP ＝P A ＝152.∵ EC 为⊙O 的切线，∴ ∠DCP ＝∠ABC ＝∠AOP . 又∵ ∠APO ＝∠CPD ，∴ △DCP ∽△AOP ，∴ AP DP ＝OP PC， ∴ DP ＝152，∴ OD ＝152＋12＝8.答案：8三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴ tan x ＝1.(2)∵ m 与n 的夹角为π3，∴ m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵ x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，即x ＝5π12.到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.18．(本小题满分14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2G B.第18题图(1)证明：PE ⊥FG ； (2)求二面角P -AD -C 的正切值；(3)求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值．解：法一：(1)证明：在△PCD 中，∵ E 为CD 的中点，且PC ＝PD ，∴ PE ⊥C D. 又∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ，∴ PE ⊥平面ABC D.又∵ FG ⊂平面ABCD ，∴ PE ⊥FG .(2)由(1)知PE ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥A D. 又∵ 四边形ABCD 是长方形，∴ AD ⊥C D.又∵ PE ∩CD ＝E ，∴ AD ⊥平面PCD ，∴ AD ⊥PD ， ∴ ∠PDE 为二面角P -AD -C 的平面角．∵ AB ＝CD ＝6，∴ DE ＝3.在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7，∴ tan ∠PDE ＝PE DE ＝73，∴ 所求二面角P -AD -C 的正切值为73.第18题图(1)(3)如图(1)，连接AC ，在△ABC 中，∵ AF ＝2FB ，CG ＝2GB ， ∴ FG ∥AC .由异面直线所成角的定义：知直线P A 与直线FG 所成角的大小等于∠P AC 的大小． 在Rt △PDA 中，P A ＝PD 2＋AD 2＝5，AC ＝AB 2＋BC 2＝35，PC ＝4，∴ cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝25＋45－162×5×35＝9525，∴ 直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9525.法二：在△PCD 中，∵ E 为CD 的中点，且PC ＝PD ， ∴ PE ⊥CD.又∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ∩平面ABCD ＝ CD ，PE ⊂平面PCD ，∴ PE ⊥平面ABCD.取AB 的中点H ，连接EH .第18题图(2)∵ 四边形ABCD 是长方形，∴ EH ⊥C D.如图(2)，以E 为原点，EH ，EC ，EP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，∵ PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3，AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，∴ E (0,0,0)，P (0,0，7)，F (3,1,0)，G (2,3,0)，A (3，－3，0)，D (0，－3,0)，C (0,3,0)．(1)证明：∵ EP →＝(0,0，7)，FG →＝(－1,2,0)， 且EP →·FG →＝(0,0，7)·(－1,2,0)＝0，∴ EP →⊥FG →， 即EP ⊥FG .(2)∵ PE ⊥平面ABCD ，∴ 平面ABCD 的法向量为EP →＝(0,0，7)．设平面ADP 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，AP →＝(－3,3，7)，DP →＝(0,3，7)，由于⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＋7z 1＝0，3y 1＋7z 1＝0，令z 1＝3，则x 1＝0，y 1＝－7， ∴ n ＝(0，－7，3)． 由图可知二面角P -AD -C 是锐角，设为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EP →|n ||EP →|＝3747＝34，∴ sin α＝74，tan α＝73.(3)∵ AP →＝(－3,3，7)，FG →＝(－1,2,0)，设直线P A 与直线FG 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·FG →|AP →||FG →|＝3＋69＋9＋7×5＝9525. ∴ 直线P A 与FG 所成角的余弦值为9525.19．(本小题满分14分)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.解：(1)f (x )的定义域为R ，由导数公式知f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x ＋1)2e x ，x ∈R . ∵ 对任意x ∈R ，都有f ′(x )≥0，∴ f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，且f (0)＝1－a <0，f (a －1)＝a e a －1－a ＝a (e a －1－1)． ∵ a >1，∴ a －1>0，∴ a －1>0，∴ e a －1>1，∴ e a －1－1>0，故f (a －1)>0， ∴ ∃x 0∈(0，a －1)使得f (x 0)＝0.又∵ f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数， ∴ f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明：f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1，∴ 点P ⎝⎛⎭⎫－1，2e －a ，∴ k OP ＝a －2e. 又∵ f (x )在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行，∴ f ′(m )＝k OP ，即(m ＋1)2e m ＝a －2e.而要证m ≤3a －2e －1，只需证(m ＋1)3≤a －2e ，而(m ＋1)2e m ＝a －2e，只需证(m ＋1)3≤(m ＋1)2e m ，只需证m ＋1≤e m . 构造函数h (x )＝e x －x －1，x ∈R ，h ′(x )＝e x －1. 令h ′(x )>0，解得x >0；令h ′(x )<0，解得x <0，∴ h (x )＝e x －x －1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴ h (x )≥h (0)＝0，∴ e x ≥x ＋1，即m ＋1≤e m ，∴ m ≤3a －2e－1，得证．20．(本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ， B.(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵ A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴ 由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴ MC 1→·MO →＝0.又∵ MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴ 由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴ 设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵ 直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴ 53<x ≤3.∴ 点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C 的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得：(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝⎛⎦⎤53，3，∴ k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝⎛⎭⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． ③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝⎛⎭⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝⎛⎭⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34.21．(本小题满分14分)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)．证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解：(1)令n ＝1⇒a 1＝1；令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝12；令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝14.(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋22n －1.②②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，∴ a n ＝12n －1.又∵ 当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝12n －1，∴ a n ＝12n －1(n ∈N *)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12.∴ 数列{a n }的前n 项和T n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2－12n －1.(3)证明：∵ b 1＝a 1＝1，∴ S 1<2＋2ln 1成立．又∵ b 2＝a 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12a 2， b 3＝a 1＋a 23＋1＋12＋13a 3，…，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n ， ∴ 数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a 1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a 2＋...＋1＋12＋ (1)a n＝1＋12＋…＋1na 1＋a 2＋…＋a n＝1＋12＋…＋1n ⎝⎛⎭⎫2－12n 1<2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ， 构造函数h (x )＝ln 1x －1x ＋1，x >0，h ′(x )＝1－x x2，令h ′(x )>0，解得0<x <1；令h ′(x )<0，解得x >1，∴ h (x )＝ln 1x －1x＋1，x >0在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴ h (x )≤h (1)＝0，∴ ln 1x －1x＋1≤0，x >0(仅当x ＝1时取等号)，即ln x ≥1－1x.又∵ ln n ＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋...＋ln 2>⎝⎛⎭⎫1－n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －2n －1＋...＋⎝⎛⎭⎫1－12 ＝12＋13＋ (1)， ∴ 2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，∴ S n <2＋2ln n .。
2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -， 因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径， 因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，， 因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△， 故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r， ，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+， 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个， 分别为：444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， ，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形， 又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥， 又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥， 又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥， 因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠， 在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+， 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解， 亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-， 因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：， 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-， 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-， 所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=， 又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。
普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i - 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3第Ⅱ卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为10．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， 1sin 2B =，6C =π，则b = 12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24s in(2=-）πθρ，点A 的极坐标为722,4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ， 1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =图1POECD A B三.解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22,22m ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
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（D）4
（B） x2 y2 1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015年高考理科数学广东卷
N = 3 -------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------准考证号⎩⎨1 =绝密★启用前在2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)此本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.卷2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在 试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 上答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5. 平行于直线2x + y +1 = 0 且与圆 x 2 + y 2= 5 相切的直线的方程是( )A . 2x - y + 5 = 0 或2x - y - 5 = 0B . 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0C . 2x - y + 5 = 0 或2x - y - 5 = 0D . 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0⎧4x + 5 y ≥8,6. 若变量 x ， y 满足约束条件⎪≤x ≤3, 则 z = 3x + 2y 的最小值为 ( )⎪0≤y ≤2, x 2 y 2 5 7. 已知双曲线C ： - = 1的离心率e ，且其右焦点为 F (5,0) ，则双曲线C 的 a 2 b 2 4 2方程为( )x 2 y 2A . - = 14 3 x 2 y 2B . - = 1 16 9 x 2 y 2C . - = 19 16x 2 y 2D . - = 13 48.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 ()A .大于 5B .等于 5C .至多等于 4D .至多等于 3二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. 答参考公式：样本数据 x ，x ，⋅⋅⋅ ，x 的方差 s 2= 1⎡(x- x )2+ (x - x )2+ ⋅⋅⋅ + (x - x )2⎤ ，1 2 n n ⎣ 12 n ⎦ （一）必做题（9～13 题）其中 x 表示样本均值.9. 在( -1)4的展开式中， x 的系数为.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.10.在等差数列{a n } 中，若a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 25 ，则a 2 + a 8 =.11. 设△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a = ，sin B = 1 ，C = π，题1.若集合 M ={x | (x + 4)(x +1) = 0} ， N ={x | (x - 4)(x -1) = 0} ，则 M () 2 6A . ∅B .{-1, -4}C .{0}D .{1, 4}()则b = .12. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13. 已知随机变量 X 服从二项分布 B (n , p ) .若 E ( X ) = 30 ，D (X ) = 20 ，则 p = .无3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )A . y = x + e xB . y = x + 1 xC . y = 2x + 1 2xD . y = 1+ x 2 4.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程）π7π个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为()效已知直线l 的极坐标方程为2ρ sin(θ - ) =4 A 到直线l 的距离为.2 ，点 A 的极坐标为 A (2 2, ) ，则点 4数学试卷 第 1 页（共 4 页）数学试卷 第 2 页（共 4 页）x 姓名2. 若复数 z = i(3 - A . 3 - 2i 2i) （ i 是虚数单位），则 B . 3 + 2i z =C . 2+3iD . 2 - 3iA .1B . 11 21C . 10 21D . 521A . 31 5B . 6C . 23 5D . 42 2 1 15.（几何证明选讲）如图，已知 AB 是圆O 的直径，AB = 4 ，EC 是圆O 的切线，切点为C ， BC =1.过圆心O 作 BC 的平行线， 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则OD = .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）18.（本小题满分 14 分）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD = PC = 4 ， AB = 6 ，BC = 3 . 点 E 是CD 边的中点，点 F ， G 分别在线段 AB ， BC 上，且 AF = 2FB ， CG = 2GB . （Ⅰ）证明： PE ⊥ FG ；（Ⅱ）求二面角 P - AD - C 的正切值； 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m = ( , - 2 2 ) ，n = (sin x ,cos x ) ，x ∈π (0, ) . 2（Ⅲ）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.（Ⅰ）若 m ⊥ n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若 m 与 n 的夹角为 π，求 x 的值.317.（本小题满分 12 分）19.（本小题满分 14 分）设a > 1，函数 f (x ) = (1 + x 2 )e x - a . （Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）证明： f (x ) 在(-∞, +∞) 上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线 y = f (x ) 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M (m , n ) 处的切线与直线 OP 平行（ O 是坐标原点），证明： m ≤3 a - -1 .e20.（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线l 与圆C ： x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B . （Ⅰ）求圆C 1 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线 L ： y = k (x - 4) 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值 x 和方差 s 2 ；21.（本小题满分 14 分）数列{a n } 满足： a 1 + 2a 2 （Ⅰ）求a 3 的值；+ ⋅⋅⋅ + na = 4 - n + 2， n ∈ Ν* . n2n -1（Ⅲ）36 名工人中年龄在 x - s 与 x + s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确 到 0.01％）？（Ⅱ）求数列{a n } 的前n 项和T n ；（Ⅲ）令b = a ， b = T n -1 + (1+ 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1)a (n ≥2) ，证明：数列{b } 的前n 项1 1 n n23 n n n和 S n 满足 S n < 2 + 2ln n .数学试卷 第 3 页（共 4 页）数学试卷 第 4 页（共 4 页）2 工人编号 年龄 工人编号 年龄工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 745 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43183627423639。
【精校】2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A.{1，4}B.{﹣1，﹣4}C.[0}D.∅解析：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅.答案：D2.（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A.2﹣3iB.2+3iC.3+2iD.3﹣2i解析：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，答案：A3.（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. y=B. y=x+C. y=2x+D. y=x+e x解析：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是奇函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确.答案：D4.（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A.B.C.D. 1解析：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=.答案：B5.（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0B.2x+y+=0或2x+y﹣=0C. 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0D. 2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0解析：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2xy+5=0或2x+y﹣5=0.答案：A6.（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A. 4B.C. 6D.解析：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=.答案：B7.（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A. ﹣=1B. ﹣=1C. ﹣=1D. ﹣=1解析：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1.答案：C8.（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A. 至多等于3B. 至多等于4C. 等于5D. 大于5解析：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理n＞5，不成立.答案：B二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题（11～13题）9.（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为 6 .解析：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，答案：610.（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 10 . 解析：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10.答案：1011.（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=，sinB=，C=，则b= 1 .解析：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾答案：112.（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言.（用数字作答）解析：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条.答案：156013.（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D （X）=20，则P= .解析：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，答案：14.（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为.解析：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）.点A到直线l的距离为：=.答案：15.（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 .解析：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8.答案：8三、解答题16.（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）.(1)若⊥，求tanx的值；(2)若与的夹角为，求x的值.答案：(1)若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；(2)∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）.∴x﹣∈（﹣，）.则x﹣=即x=+=.17.（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 40444041334045421011121314151617363138394345393819202122232425262743413734423744282930313233343534394338425337499 43 18 36 27 42 36 39(1)用分层抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？解析：(1)利用分层抽样的定义进行求解即可；(2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)求出样本和方差即可得到结论.答案：(1)由分层抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40.由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=.(3)∵s2=.∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人.∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%.18.（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解析：(1)通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；(3)连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC的余弦值.答案：(1)证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；(3)连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===.19.（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a.(1)求f（x）的单调区间；(2)证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；(3)若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1.解析：(1)利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间.(2)证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点.(3)利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂.答案：(1)f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数. (2)证明：由(1)问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数. 又f（0）=1﹣a，∵a＞1.∴1﹣a＜0…5分∴f（0）＜0.当x→+∞时，f（x）＞0成立.∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点(3)证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=1将x0=1代入y=f（x）得y0=.∴，∴令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0.当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤20.（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解析：(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；(2)设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；(3)通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论.答案：(1)∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；(2)设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；(3)结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点.理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k）x+16k2=0，令△=（3+8k）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}.21.（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+.(1)求a3的值；(2)求数列{a n}的前 n项和T n；(3)令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn.解析：(1)利用数列的递推关系即可求a3的值；(2)利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前 n项和T n；(3)利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.答案：(1)∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+.∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+.∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+.两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；(2)∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前 n项和T n==2﹣21﹣n.(3)b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣.即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f(1)=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2015年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．答案：1、解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2、解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3、解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4、解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5、解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6、解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7、解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8、解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．9、解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10、解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11、解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112、解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13、解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14、解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15、解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．16、解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．17、解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．18、（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19、解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2…2分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．…3分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0…5分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点…7分（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1…9分将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴…10分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤…14分20、解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，21、 解：（1）∵a 1+2a 2+…na n =4﹣，n ∈N +． ∴a 1=4﹣3=1，1+2a 2=4﹣=2，解得a 2=， ∵a 1+2a 2+…+na n =4﹣，n ∈N +．∴a 1+2a 2+…+（n ﹣1）a n ﹣1=4﹣，n ∈N +．整理，得其标准方程为：（x ﹣3）2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 联立方程组，消去y 可得：（1+k 2）x 2﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k 2）×5＞0，可得k 2＜ 由韦达定理，可得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为，其中﹣＜k ＜，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x ﹣）2+y 2=，其中＜x ≤3； （3）结论：当k ∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组，消去y ，可得：（1+k 2）x 2﹣（3+8k ）x+16k 2=0， 令△=（3+8k ）2﹣4（1+k 2）•16k 2=0，解得k=±， 又∵轨迹C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．11。
2015高考数学真题广东理科解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科标准答案与解析1. 解析 因为()(){}{}4104,1M x x x =++==--，()(){}{}4101,4N x x x =--==， 所以MN =∅．故选D ．2. 解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．3. 解析 令()e xf x x =+，则()11e f =+，()111e f --=-+，所以()()11f f ≠-，()1f -≠()1f -，所以e x y x =+既不是奇函数也不是偶函数，而选项A,B,C 依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D ．4．解析 从袋中任取2个球共有215C 105=种，其中恰好1个白球1个红球共有11105C C 50=种，所以恰好1个白球1个红球的概率501010521P ==．故选B ． 5．解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选B ． 6．解析 不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322z y x =-+，依题当目标函数直线3:22z l y x =-+经过点41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值，即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ． 47．解析 因为所求双曲线的右焦点为()25,0F ，且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，所以2229b c a =-=，所以所求双曲线方程为221169x y -=．故选C ． 8．解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，则正整数n 可以等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为A ，B ，C ，D ，则ABCD 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点E ，则点E 和点A ，B ，C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点D 重合，要么点E 和点D 关于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ． 9．解析由题可知()()442144C1C 1r rrrr r r T x--+=-=-，令412r-=，解得2r =，所以展开式中x 的系数为()224C 16-=．故应填6．10．解析 因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，所以345a a a +++6a +7a =5525a =，即55a =，所以285210a a a +==．故应填10．11．解析 解法一：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=， 所以b c =，且23A B C π=π--=．又a =2222cos a b c bc A =+-，所以 22232cos3b c bc π=+-．又b c =，解得21b =，所以1b =． 解法二：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π= ，所以6B π=， 23A BC π=π--=．又a =sin 1sin a Bb A==．故应填1. 12．解析 两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了240A 40391560=⨯=条毕业留言．故应填1560．13．解析 由题意可得()30E X np ==， ()()120D X np p =-=，所以13p =．故应填13． 14．解析直线:2sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为直线:10l x y --=和点()2,2A -，所以点()2,2A -与直线l 的距离为2d==．故应填2．15．解析 如图所示，连接OC ．因为//OD BC ，BC AC ⊥，所以OP AC ⊥．又点O 为线段AB 的中点，所以1122OP BC ==．在Rt OCD △中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =，即28OC OD OP==．故应填8．16. 解析 （1）因为22⎛=- ⎝⎭m ，()sin ,cos x x =n ，且⊥m n ，所以()22,sin ,cos xx ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭m n 22x x -=0，所以sin cos x x =，所以sin tan 1cos xx x==．（2）由题可得2cossin 34sin cos x x x x ππ⎛⎫===- ⎪⎝⎭+m n m n ，所以1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又因为,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以46x ππ-=，即512x π=．17. 解析 （1）依题所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37． （2）由（1）可得其样本的平均值为444036433637444337409x ++++++++==，方差为2s =()()()()()()()2222222144404040364043403640374044409⎡-+-+-+-+-+-+-+⎣()()2243403740⎤-+-=⎦()()()()22222222214043434339⎡⎤++-++-+-+++-=⎣⎦1009． （3）由（2）知103s =，所以2363x s -=，1433x s +=，所以年龄在x s -与x s +之间共有23人，所占百分比为2310063.8936⨯≈％％． ED CBOAP18. 解析 （1）证明：因为PD PC =且点E 为CD 的中点，所以PE DC ⊥．又因为平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ．又因为FG ⊂平面ABCD ，所以PE FG ⊥．（2）因为ABCD 是矩形，所以AD DC ⊥．由（1）可得PE ⊥平面ABCD ，所以PE AD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ．又PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥．又因为AD DC ⊥，所以PDC ∠即为二面角P AD C --的平面角． 在Rt PDE △中，4PD =，132DE AB ==，PE =所以tan PE PDC DE ∠==P AD C --（3）如图所示，连接AC ，因为2AF FB =，2CG GB =，即2AF CGFB GB==， 所以//AC FG ，所以PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角． 在PAC △中，因为5PA ==，AC ==所以由余弦定理可得22222254cos 2PA AC PC PAC PA AC +-+-∠===所以直线PA与直线FG 所成角的余弦值为25．19. 解析 （1）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()2221e 1e 1e 0x xx f x x x x '''=+++=+…，所以()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数．（2）因为1a >，所以()010f a =-<，且()()221e10af a aa a a =+->+->，所以()f x 在()0,a 上有零点．又由（1）知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数，所以()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点．E CG B FPD（3）由（1）知，令()0f x '=，得1x =-，又()21e f a -=-，即21,e P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以22e 10eOPa k a --==---．又()()21e m f m m '=+，所以()221e em m a +=-．令()e 1m g m m =--，则()e 1mg m '=-，所以由()0g m '>得0m >，由()0g m '<得0m <，所以函数()g m 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()min 00g m g ==，即()0g m …在R 上恒成立，所以e 1m m +…，所以()()()()22321e 111e m a m m m m -=+++=+…1m +，所以1m …． 20. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0．（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…． (当直线l与圆1C 相切时，根据圆心到直线的距离等于半径可求得直线的斜率5k =±l 的方程为y x =，代入圆1C 的方程可求得53x =，此时直线l 与圆1C 只有一个交点，因此53x >．当直线l 为0y =时，点M 即为圆心，x 可取最大值3，所以3x ….综上所述，533x <…). （3）由（2）知点M 的轨迹是以点3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF（如图所示，不包括两端点），且53E ⎛⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭．当直线():4l y k x =-与圆C相切时，有32=，解得34k=±．又因为0543DE DF k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．21. 解析（1）由题可得()()3123123232a a a a a a =++-+=31213222344224--++⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以314a =． （2）由题可得当1n >时，()()12121221n n n na a a na a a n a -=+++-+++-=⎡⎤⎣⎦1242n n -+-- 211422n n n n --+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．又1012412a +=-=也适合此式，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-． （3）由题可得()12111122n n n a a a b a n n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭…，所以1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，1234411114234a a a b a ++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，，所以1211112n n S b b b a n ⎛⎫=+++=++++ ⎪⎝⎭211111122n a a n n ⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121112n a a a n ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭1112n T n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 11111222n n -⎛⎫⎛⎫+++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11212n ⎛⎫⨯+++ ⎪⎝⎭． 记()()()ln 111x f x x x x =+->-+，则()()()2211111x f x x x x '=-=+++．当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以当0x =时，()()min 00f x f ==，当0x ≠时，()()00f x f >=，所以()()ln 101x x x x +>≠+，所以()*11ln 11n n n ⎛⎫+>∈ ⎪+⎝⎭N ，所以12ln 21<，13ln 32<，，1ln 1n n n <-，即有11123ln ln lnln 23121nn n n +++<+++=-，所以1112122ln 23n n ⎛⎫⨯++++<+ ⎪⎝⎭，即22ln n S n <+．。
2015年高考理科数学真题及答案(广东卷)
第1页共 1 页2015年高考理科数学真题及答案（广东卷）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合410x x x ,410x x x ,则N M ( ).A. B. }4,1{ C. }0{ D. }4,1{答案: A提示: {1,4},{1,4},.M N M N 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z ,则z ( ).A. i 23B. i 23C. i 32D. i32答案: D提示: 23,23z i z i .3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A. x e x yB. x x y 1C. x x y 212D. 21xy 答案: A提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e 该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D 而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有 1 个白球,1个红球的概率为( ).A. 1B. 2111C. 2110D. 215答案: C提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C 5. 平行于直线012y x 且与圆522y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052y x y x 或B. 052052y x y x 或C. 052052y x y x 或 D. 052052y x y x 或答案: D提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a 依题意即6. 若变量y x,满足约束条件2031854y x y x ,则y x z 23的最小值为( ).A. 531B. 6C. 523D. 4。
2015年高考理科数学广东卷
()
8.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值
()
A.大于 5
B.等于 5
C.至多等于 4
D.至多等于 3
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.
（一）必做题（9～13 题）
9.在 ( x 1)4 的展开式中， x 的系数为
B. {1, 4}
C.{0}
D. {1, 4}
2.若复数 z i(3 2i) （ i 是虚数单位），则 z
()
A. 3 2i
B. 3 2i
C. 2+3i
D. 2 3i
无 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A. y x ex
B. y x 1 x
C.
.
2 ，点 A 的极坐标为 A(2
2, 7π) ，则5.（几何证明选讲）
如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB 4 ，EC 是圆 O 的
切线，切点为 C ， BC 1.过圆心 O 作 BC 的平行线，
分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 OD
.
10.在等差数列{an} 中，若 a3 a4 a5 a6 a7 25 ，则 a2 a8
.
11.设△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .若 a 3 ，sin B 1 ，C π ，
2
6
则b
.
12.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写
在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分 14 分）
广东省高考数学试题及答案【解析版】
2015 年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，满分40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1） =0}, N={x| （x—4）（x—1） =0},贝U MA N=（）A. {1,4}B. { - 1 , - 4}C. {0}D. ?考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x| （x+4）（x+1） =0}={ —1, - 4},N={x| （x-4）（xT） =0}={1 , 4},则MT N=?.故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015?广东）若复数z=i （3-2i）（i是虚数单位），则=（）A. 2- 3iB. 2+3iC. 3+2iD. 3 - 2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答：解：复数z=i （3— 2i ） =2+3i ,则=2—3i ,故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5 分）（2015?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y = B．y =x+ C．y=2x + D．y =x+e x考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A y=是偶函数，所以A不正确；对于B, y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C, y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D,不?t足f (-x) =f (x)也不满足f (-x) =-f (x),所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确．故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．( 5 分) ( 2015?广东)袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) A．B．C．D．1考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2 个球中恰有 1 个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15 个球任取 2 球的取法，而在求“所取的2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．解答：解：这是一个古典概型，从15 个球中任取 2 个球的取法有；，基本事件总数为105;设“所取的2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50;• .P (A)=.故选：B．点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A. 2x+y+5=0 或2x+y - 5=0B. 2x+y+=0 或2x+y - =0C. 2x - y+5=0 或2x - y - 5=0D. 2x - y+=0 或2x - y - =0考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．解答：解：设所求直线方程为2x+y+b=0,则，所以=，所以b=± 5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y - 5=0故选：A．点评：本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．6．（5 分）（2015?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A．4 B．C．6 D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y 得y= - x+,平移直线y= - x+,则由图象可知当直线y= -x+,经过点A时直线y=-x+的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A（1 ，），此时z=3X1+2X =,故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015?广东）已知双曲线C: - =1的离心率e=,且其右焦点为F2 （5, 0）,则双曲线C 的方程为（）A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C: - =1的离心率e=,且其右焦点为F2 （5, 0）,可得：，c=5,a=4, b==3,所求双曲线方程为：-=1.故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上， 3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n>4,由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n>5,不成立.故选：B.点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题.二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题（11〜13题）9.（5分）（2015?广东）在（-1）4的展开式中，x的系数为6 .考点：二项式定理的应用.专题：计算题；二项式定理.分析：根据题意二项式（-1）4的展开式的通项公式为T r+1=? （ - 1）”，分析可得，r=1 时，有x的项，将r=1代入可得答案.解答：解：二项式（-1）4的展开式的通项公式为T r+1=? （- 1）「？，令2 - =1,求得r=2 ,，二项式（-1）4的展开式中x的系数为=6,故答案为：6.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10.（5 分）（2015?广东）在等差数歹U {a n}中，若a3+a4+%+a6+a7=25,贝U a?+a8= 10 .考点：等差数列的通项公式.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值.解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7= （a3+a7）+ （a4+a6）+a5=5a5=25,得到a5=5,贝U a2+a8=2a5=10.故答案为：10.点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11.（5分）（2015?广东）设4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若a=, sinB=,C=,贝U b= 1 .考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数.专题：计算题；解三角形.分析：由sinB=,可得B或B=,结合a=, C吸正弦定理可求b解答：解：,「sinBu,B薮B=当B=4, a=, C= A=由正弦定理可得，则b=1当B=4, C=,与三角形的内角和为兀矛盾故答案为：1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12.（5分）（2015?广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言.（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用.专题：排列组合.分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可.解答：解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40X 39=1560 条.故答案为：1560.点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键.13.(5分)(2015?广东)已知随机变量X服从二项分布B (n, p),若E (X) =30, D (X)=20,贝U P=.考点：离散型随机变量的期望与方差.专题：概率与统计.分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.解答：解：随机变量X服从二项分布 B (n, p),若E (X) =30, D (X)=20, 可彳导 np=30, npq=20, q=,则p=,故答案为：.点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力.14.(5分)(2015?广东)已知直线l的极坐标方程为2psi n (。
2015年广东省高考数学试卷(理科)
2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a 8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．=•（﹣1）r•，【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 240441011363119202743282934393 4 5 6 7 8 940413340454243121314151617183839434539383621222324252627413734423744423031323334353643384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s 2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f （）=ln +﹣1＞0，即ln ＞，∴ln ，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．第21页（共21页）。
高考真题——数学理(广东卷)解析版数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】．【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题． 2．若复数(是虚数单位 )，则A ．B ．C ．D ． 【答案】．【解析】因为，所以，故选．【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题． 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ． B ． C ． D ． 【答案】．【解析】令，则，即，，所以既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1 B. C. D.【答案】．【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以恰好个白球个红球的概率为，故选．【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题． 5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A ．或 B.或 C.或 D.或 【答案】．【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．6．若变量，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则的最小值为A ． B. 6 C. D. 4 【答案】．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由得，依题当目标函数直线：经过时，取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=，故选 【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题． 7．已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为 A ． B. C. D. 【答案】．【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题． 8．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】．【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．第Ⅱ卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)9．在的展开式中，的系数为 【答案】．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T C C x--+=-=-，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题．10．在等差数列中，若2576543=++++a a a a a ，则= 【答案】．【解析】因为是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即，，故应填入．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题． 11．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 【答案】．【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入．【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题． 13、已知随机变量服从二项分布，若，，则 ． 【答案】．【解析】依题可得且()()120D X np p =-=，解得，故应填入． 【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题．(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 【答案】．【解析】依题已知直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为d ==，故应填入．【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题． 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为， ，过圆心做的平行线，分别交和于点和点，则图1E【答案】．【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．三.解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M
N =
A ．∅
B ．{}1,4--
C ．{}0
D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =
A ．3-2i
B ．3+2i
C ．2+3i
D ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B ．x x y 1+
= C ．x x
y 2
12+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.
2111 C. 2110 D. 21
5 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是
A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x
6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为
A ．
531 B. 6 C. 5
23 D. 4 7．已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为
A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14
32
2=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值
A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）
9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。
10．在等差数列{n a }中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 。
11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c .若a =3，sinB=
21，C=6
π
，则b = 。
13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 条毕业留言。
（用数字做答）
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24
sin(2=-）
πθρ，点A 的极坐标为
A(22,
4
7π
)，则点A 到直线l 的距离为 。
15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C ， BC=1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字
说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =（
2
2
，22-），n =（sin x ，cos x ），x ∈（0，2π）。
（1）若m ⊥n ，求tan x 的值 （2）若m 与n 的夹角为3
π
，求x 的值。
17．（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表。
图1
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值x 和方差2
s ；
（3）36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？ 18．（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =. （1）证明：PE FG ⊥；
（2）求二面角P AD C --的正切值； （3）求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值.
19．（本小题满分14分）
设a>1，函数a e x x f x -+=)1()(2。
(1) 求)(x f 的单调区间 ；
(2) 证明：)(x f 在（∞-，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：12
3--≤e
a m
20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .
图2
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
数列{}n a 满足1
212
2
42-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；
(2) 求数列{}n a 前n 项和Tn ； (3) 令11b a =，n n n a n
n T b ）1
31211(1+⋅⋅⋅++++=-（2≥n ），证明：数列{n b }的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<
2015广东高考数学（理）试题答案下载_2015高考答案抢先版 （答案及评分标准仅供参考）
1、A
2、D
3、A
4、C
5、D
6、C
7、B
8、C
9、6 10、10 11、1 12、1560 13、13 14 15、8 16、（1）tanx=1
（2cos 3
x x π
=，1sin()42x π-=，146x ππ-=
5
12
x π=
17、（1）44 40 36 43 36 37 44 43 37
（2）x ＝40，2
s ＝
100
9
（3）40－103＝1103，40＋103＝1303，在（1103，130
3
）有25个，占69.44%
（2）
21、
（1）1a ＝1，122a a +＝2，212a =，12323a a a ++＝4－54，314
a = （2）2n ≥时，12121
2(1)42
n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-
与原式相减，得n na ＝12n n -，n a ＝11
2
n -，n ＝1也符合
Tn=
112112
n
--=1122n --。