凡星学社入社测试题

凡星
姓名________ 成绩_________ 考试类型：开卷 满分：150 将非填空题答案写在试卷背面
一、 填空题（每题5分）
1、 两个圆，大圆半径3,小圆半径1,小圆在外侧绕大圆无滑动地滚动一周，小圆自转_________周；若小圆在内侧绕大圆无滑动地滚动一周，小圆自转_________周。

2、 笔算64
2＝_____________________________________。

3、 四只蜘蛛从一个边长为6cm 的正方形的四个角开始爬，每只蜘蛛都以1cm/s 的速度向它右边的一只蜘蛛爬。

________秒后它们会在中心相遇。

每只蜘蛛走过的路程__________cm 。

4、 一只时钟的时针与分针一模一样。

那么在一天中有多少个时刻，从这只时钟不能肯定正确的时间。

二、解答题（每题10分）
1、 一段绳子长1m ，一只蚂蚁从绳的一端爬向另一端，速度为每秒1cm ，同时，绳子以每秒10cm 的速度均匀伸长，问：蚂蚁能否达到绳的另一端？如能，需多长时间？如不能，请说明理由。

（假设绳子质量无限好，蚂蚁寿命无限长）
2、 已知1111
A B C D X B C D A
+
=+=+=+=，且A 、B 、C 、D 都不相等。

求：X 的值。

3、 已知： 33333333
13436
154
56x
y x y ⎧+=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩，求x y +的值。

4、 计算：sin 3sin 4cos x
dx x x
+⎰。

5、 计算：11
(1)lim i j
m
n
m i j n i j +→∞==→∞-+∑∑。

6、
解方程：3
2310x
x +++=。

7、 已知：
2x x x =
，求x 的值。

是否存在这样的x 使4x
x x
=
？若存在请求出x 的
值，若不存在请说明理由。

8、
已知，()f x =
，求
()n f x 。

注：1
1()[()],()()n n f x f f x f x f x +==。

三、 策略题（每题10分）
1、 两个人轮流将同样的硬币放在长方桌上，不能重叠，放最后一枚硬币的为胜者。

请你设计一种方案，使选先放者必胜。

2、 用折纸的方法将一个正方形折成一个面积为原来五分之一的正方形。

3、 有一质量为1Kg 温度为0℃的碗状金属，与一杯质量为1Kg 温度为100℃的水。

现用这杯水，通过热传递加热金属。

请你设计一种方案，使金属温度达到最高，并求出最高温度。

（整个过程与外界无热传递，不计能量损失，金属比热容为2.1 J/℃·Kg ，水比热容为4.2 J/℃·Kg 。

Q cm t ∆=∆）
四、证明题（每题10分）
1、 设P 、Q 是圆O 内满足OP ＝OQ 的任意两点。

试确定圆O 上一点Z 的位置使PZ+QZ 为最小。

2、 证明：蝴蝶定理（如下图，PQ 为圆内任一弦，M 为PQ 中点，AB 、CD 为过M 点的任意两弦，连结AC 、BD 分别与PQ 交于X 、Y ，则M 是线段XY 的中点）。