2016年高考数学一轮复习备考策略函数的单调性与最值备考策略

函数的单调性与最值备考策略
主标题：函数的单调性与最值备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：函数，单调性，最值，备考策略
难度：3
重要程度：5
内容
考点一 确定函数的单调性或单调区间
【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
(2)求函数y ＝log 13
(x 2－4x ＋3)的单调区间．
解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x 2＝(x 1－x 2)＋k (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－k x 1x 2. 当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－k x 1x 2
＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，
此时，函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在(0，k ]上为减函数；
当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－k x 1x 2
＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，
此时，函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；
综上可知，函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．
法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－k x 2＞0，
解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－k x 2＜0， 解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .
∴f(x)在(0，k)上为减函数；在(k，＋∞)上为增函数，
也称为f(x)在(0，k]上为减函数；在[k，＋∞)上为增函数．
(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log1
3
u与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3.
∴函数y＝log1
3
(x2－4x＋3)的定义域为
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log1
3 u在(0，＋∞)上是减函数，
∴y＝log1
3
(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【备考策略】(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
考点二利用单调性求参数
【例2】已知函数f(x)＝ax－1 x＋1
.
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．(1)证明任设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－2x1－1
x1＋1
－
－2x2－1
x2＋1
＝－(x1－x2)
(x1＋1)(x2＋1)
.
∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，
∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．
(2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1
，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝
⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)
， 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，
所以f (x 1)－f (x 2)>0.
由于x 1<x 2<－1，
∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，
∴a ＋1<0，即a <－1.
故a 的取值范围是(－∞，－1)．
法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1
在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2
≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1， 而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．
【备考策略】利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
考点三 利用函数的单调性求最值
【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x
，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．
(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．
解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的
最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0.
又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.
(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x
＞0恒成立， 则⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧
a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3.
∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．
【备考策略】求函数最值的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．。