高中数学第1章推理与证明1.2.2分析法学案北师大版选修2_2

2.2 分析法1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)2.会用分析法证明数学问题.(难点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P9～P11，完成下列问题.1.分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知.( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越.( )(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.( )【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a >b >0，求证：8a <2－ab <8b.【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.【自主解答】 要证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b ，只需证（a －b ）28a <（a －b ）22<（a －b ）28b .∵a >b >0，∴同时除以（a －b ）22，得（a ＋b ）24a <1<（a ＋b ）24b ，同时开方，得a ＋b 2a <1<a ＋b2b， 只需证a ＋b <2a ，且a ＋b >2b ， 即证b <a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立， 即（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b.1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.[再练一题]1.(2016·合肥高二检测)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【导学号：94210013】【证明】 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立.与直线x ＝－p2相切.【精彩点拨】【自主解答】 如图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义有|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y 2＝2px 焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切.1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.[再练一题]2.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).【导学号：94210014】【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.[探究共研型]探究【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1).【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b，且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1），因（b ＋1）（c ＋1）≤（b ＋1）＋（c ＋1）2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a ≥b ＋c .由于2a ＝b 2c ＋c 2b ，故只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2＋c 2－bc )≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.[再练一题]3.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 【证明】 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2ac cos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立. [构建·体系]1.要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A.综合法 B.分析法 C.比较法D.归纳法【解析】 由分析法和综合法定义可知选B. 【答案】 B2.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A.a ≤12B.ab ≥12C.a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3【解析】 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 【答案】 C3.3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( ) A.ab (b －a )>0 B.ab >0且a >b C.ab <0且a <bD.ab (b －a )<0【解析】 3a －3b <3a －b ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ⇔3ab 2<3a 2b⇔ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0.【答案】 D4.设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________.【导学号：94210015】【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a >0，b >0，c >0， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立. 【答案】 95.已知a ，b ，c ∈R 且不全相等，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca . 【证明】 法一：(分析法) 要证a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )，只需证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0， 只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0， 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0成立. 所以原不等式a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca 成立. 法二：(综合法) 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0，所以(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题1.若a，b∈R，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A.ab>0B.b>aC.a<b<0D.ab(a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a<b<0，∴a<b<0是1a3>1b3的一个充分不必要条件.【答案】 C2.求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，∵35>11，∴原不等式成立.以上证明应用了( )A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3.(2016·汕头高二检测)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0 B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A.a 2<b 2＋c 2B.a 2＝b 2＋c 2C.a 2>b 2＋c 2D.a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A.a －b >0B.a －c >0C.(a －b )(a －c )>0D.(a －b )(a －c )<0【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C 二、填空题6.(2016·烟台高二检测)设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________.【解析】 ∵A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2ab （a ＋b ）＝（a －b ）22ab （a ＋b ）≥0，∴A ≥B .【答案】 A ≥B7.(2016·西安高二检测)如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________.【导学号：94210016】【解析】 要使a a >b b 成立，只需(a a )2>(b b )2，只需a 3>b 3>0，即a ，b 应满足a >b >0. 【答案】 a >b >08.如图1­2­5，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写出一个条件即可).图1­2­5【解析】 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .【答案】 AC ⊥BD (或底面为菱形) 三、解答题9.设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 【证明】 法一：分析法 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立.而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立， 由此命题得证. 法二：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b >0，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S .【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ， 即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1.已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d ，则( )A.a b <a ＋cb ＋d <c dB.a ＋cb ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋cb ＋dD.以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <c d ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋cb ＋d <cd .∴B ，C 不正确.要证a b <a ＋cb ＋d ，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d ，而a b <c d 成立，∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋cb ＋d <cd .故A 正确，D 不正确.【答案】 A2.(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是()A.a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caB.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0)C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a （a －3）<2a －3＋2（a －2）（a －1），即a （a －3）<（a －2）（a －1），两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误.【答案】 D3.使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________.【导学号：94210017】【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1，即p <(3＋22－1)2，所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12.【答案】 124.(2016·唐山高二检测)已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )， 而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc ， 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立，∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.。