高中数学选修2-2推理与证明 直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一综合法1.定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：已知条件⇒…⇒…⇒结论即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q3.综合法的证明格式因为…，所以…，所以…，…，所以…成立.思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理.知识点二分析法1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.基本模式用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.题型二 分析法的应用例2 已知a ＞5，求证a －5－a －3＜a －2－a . 证明 要证a －5－a －3＜a －2－a ， 只需证a －5＋a ＜a －3＋a －2， 只需证(a －5＋a )2＜(a －3＋a －2)2， 只需证2a －5＋2a 2－5a ＜2a －5＋2a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6， 只需证0＜6. 因为0＜6恒成立，所以a －5－a －3＜a －2－a 成立.反思与感悟 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2 若a ，b ，c 是不全相等的正数,求证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明 方法一(分析法) 要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ， 即证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc .∵a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a2≥ca ＞0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc ＞0成立.(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立. 方法二(综合法) ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc ，∴lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 题型三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证 log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需证log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ).由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立.∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪训练3 设a ，b ，c 为任意三角形的三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证明：3S ≤I 2＜4S .证明 ∵I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，∴I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .于是，要证3S ≤I 2＜4S, 即证3S ≤a 2＋b 2＋c 2＋2S ＜4S ，即证S ≤a 2＋b 2＋c 2＜2S . (1)要证S ≤a 2＋b 2＋c 2，即证a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ≥0，即证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(a 2＋c 2－2ca )≥0，即证(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0.∵(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(a －c )2≥0，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0，∴S ≤a 2＋b 2＋c 2成立.(2)要证a 2＋b 2＋c 2＜2S ，即证a 2＋b 2＋c 2－2ab －2bc －2ac ＜0，即证(a 2－ab －ac )＋(b 2－ab －bc )＋(c 2－ac －bc )＜0，即证a [a －(b ＋c )]＋b [b －(a ＋c )]＋c [c －(a ＋b )]＜0.∵a ，b ，c 为任意三角形的三边长，∴a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，∴a [a －(b ＋c )]＜0，b [b －(a ＋c )]＜0，c [c －(a ＋b )]＜0，∴a [a －(b ＋c )]＋b [b －(a ＋c )]＋c [c －(a ＋b )]＜0，∴a 2＋b 2＋c 2＜2S 成立.综合(1)(2)可知，S ≤a 2＋b 2＋c 2＜2S 成立，于是3S ≤I 2＜4S 成立.因误用证明依据而出错例4 已知a ，b ，c 均为正实数，求证a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .错解 因为a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥33a 2b 2·b 2c 2·c 2a 2 ＝3abc 3abc ，a ＋b ＋c ≥33abc ， 所以a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥3abc 3abc 33abc＝abc .错因分析 由于对不等式的性质把握不清而导致错误.不等式的性质：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ，但a c ＞bd却不一定成立.正解 因为a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ， 把以上三式相加，并化简得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c ). 两边同除以正数a ＋b ＋c ，得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .防范措施 在利用分析法或综合法证明问题时，要严格依据有关定理、性质、公理、法则进行证明.1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件答案 A2.已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A.b B.－b C.1b D.－1b答案 B解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .3.若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________________. 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0，且a ≠b .4.已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________.答案 (0,16]解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16，∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16. 5.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192 ＝log 195＋log 1932＋log 1923 ＝log 19(5×32×23) ＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.1.综合法：(1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，利于表达推理的思维轨迹.(2)综合法证明问题的步骤：第一步，分析条件，选择方向；第二步，转化条件，组织过程；第三步，回顾反思，适当调整.2.分析法：所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时，我们往往采用分析法证明问题，其关键是对结论进行等价变形，不等价无意义，也找不到成立的条件.3.分析综合法：有时解题需要一边分析，一边综合，称之为分析综合法，它表明分析与综合相互联系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又进一步成为分析的起点.运用综合法与分析法联合解题时，一方面要特别注意“分析”那部分的叙述，不能与综合混为一谈，也就是说要注意它们之间的区别；另一方面，要习惯用分析法探求解题的途径，再用综合法完成命题的证明.一、选择题1.要证明3＋6＜19，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是( ) A.综合法 B.分析法 C.特殊值法 D.其他方法答案 B2.已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.b ＞a ＞c D.a ＞c ＞b答案 C解析 由a 2＋c 2＞2ac ，a 2＋c 2＝2bc ，得2bc ＞2ac .又∵c ＞0，∴b ＞a ，可排除A ，D.令a ＝2，b ＝52，可得c ＝1或c ＝4，可知C 可能成立. 3.若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c 的值( )A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正、负不能确定答案 B解析 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，且a 2＋b 2＋c 2＞0(由abc ＞0，知a ，b ，c 均不为零)， ∴ab ＋bc ＋ac ＜0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＜0. 4.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A.aB.bC.cD.不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .5.已知A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .6.已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确. 二、填空题7.定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫512的大小关系是______________. 答案 f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512 解析 f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，故f (x )关于x ＝2对称，且开口向下，画出图象(图略)，显然有f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512. 8.已知函数y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析 若函数y ＝x ＋2a x 在[3，＋∞)，上是增函数，则y ′＝1－2ax 2在[3，＋∞)大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2a x 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，∴a ≤92.9.函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为________. 答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)恒过点A (1,1)，点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n－1＝0即m ＋n ＝1.又m ·n ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·m n＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号).10.当n ∈N *时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数.如N (1)＝1，N (2)＝1，N (3)＝3，N (4)＝1，N (5)＝5，N (10)＝5，记S (n )＝N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)(n ∈N *)，则：(1)S (3)＝__________；(2)S (n )＝__________. 答案 (1)16 (2)4n －1解析 (1)依题意知，S (3)＝N (4)＋N (5)＋N (6)＋N (7)＝1＋5＋3＋7＝16. (2)依题意得，N (2n )＝1.当n 为奇数时，N (n )＝n .在从2n－1到2n －1这2n－1个数中，奇数有2n－2个，偶数有2n－2个.在这2n－2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同.注意到N (2n－1)＝1，N (2n －1)＝2n －1，且从N (2n －1)到N (2n －1)共有2n－1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n －1，而从1到2n －1共有2n －1个连续的奇数，因此N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n－1)＝1＋3＋5＋ (2)－1＝2n －1(1＋2n －1)2＝4n －1，即S (n )＝4n －1. 三、解答题11.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数.证明 设点P (x ，y )是函数y ＝f (x )上任一点， ∵f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称. 则点P ′(－x ，y )在函数y ＝f (x ＋1)的图象上. ∴y ＝f (－x ＋1)，又y ＝f (x )，∴f (x )＝f (－x ＋1). ∴f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－x ＋12＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数. 12.如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值.证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20).由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x 消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2.∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值).∴直线EF 的斜率为定值. 13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。