高中数学选修2-2推理与证明 直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法

[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.

知识点一综合法

1.定义

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.

2.基本模式

综合法的证明过程如下：

已知条件⇒…⇒…⇒结论

即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q

3.综合法的证明格式

因为…，所以…，所以…，…，所以…成立.

思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

答案演绎推理.

知识点二分析法

1.分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.

2.基本模式

用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式

要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？

答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.

题型一 综合法的应用

例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1

b ≥4.

证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1

ab ≥4.

方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1

b

≥2 1

ab

>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫

1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b

≥4.

方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a

b ＋1≥2＋2

b a ·a

b

＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤：

(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.

(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.

跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.

题型二 分析法的应用

例2 已知a ＞5，求证a －5－a －3＜a －2－a . 证明 要证a －5－a －3＜a －2－a ， 只需证a －5＋a ＜a －3＋a －2， 只需证(a －5＋a )2＜(a －3＋a －2)2， 只需证2a －5＋2a 2－5a ＜2a －5＋2a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6， 只需证0＜6. 因为0＜6恒成立，

所以a －5－a －3＜a －2－a 成立.

反思与感悟 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.

利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.

跟踪训练2 若a ，b ，c 是不全相等的正数,求证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a

2

＞lg a ＋lg b ＋lg c .

证明 方法一(分析法) 要证lg

a ＋

b 2＋lg b ＋

c 2＋lg c ＋a

2＞lg a ＋lg b ＋lg c ， 即证lg ⎝⎛

⎭⎫

a ＋

b 2·b ＋

c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，

只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a

2

＞abc .

∵a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a

2≥ca ＞0，

∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc ＞0成立.(*)

又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立. 方法二(综合法) ∵a ，b ，c ∈R ＋

，

∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0.

又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，

∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc ，

∴lg ⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 2·b ＋

c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，

∴lg

a ＋

b 2＋lg b ＋

c 2＋lg c ＋a

2

＞lg a ＋lg b ＋lg c . 题型三 综合法和分析法的综合应用

例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0

证明 要证 log x

a ＋

b 2＋log x b ＋

c 2＋log x a ＋c 2

⎭⎫

a ＋

b 2·b ＋

c 2·a ＋c 2

由已知0

2>abc .

由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c

2≥ac >0，

又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c

2>a 2b 2c 2＝abc .

即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2

>abc 成立.

∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2

反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.

跟踪训练3 设a ，b ，c 为任意三角形的三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证明：3S ≤I 2＜4S .

证明 ∵I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，∴I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .于是，要证3S ≤I 2＜4S, 即证3S ≤a 2＋b 2＋c 2＋2S ＜4S ，即证S ≤a 2＋b 2＋c 2＜2S . (1)要证S ≤a 2＋b 2＋c 2，即证a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ≥0，即证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(a 2＋c 2－2ca )≥0，即证(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0.

∵(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(a －c )2≥0，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0，∴S ≤a 2＋b 2＋c 2成立.