百校联盟2019届TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)文科数学(含解析)
2019-2020年高三上学期12月第一次联考数学文试题含答案
在上递增，对任意，都有 --9 分 综上，的最小值为 ----------------------------------------------------------------10 分
的家长中，持“支持” “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持
保留
不支持
30 岁以下
800
450
200
30 岁以上（含 30 岁） 100
150
300
在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取
5 个人看成一个总体， 从这 5 个人中任
意选取 2 人，则至少有 1 人在 30 岁以下的概率为
2019-2020年高三上学期 12 月第一次联考数学文试题 含答案
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果， 每题填对得 4 分，
则的单调增区间 2 k
4 ,2k 3
, k Z --------------------------6 分 3
（2）的解析式是 -----------------------------------9 分
-------------------------------------------------------------------------11 分 零点为 --------------------------------------------------------14 分
B．非充分非必要条件 D．必要非充分条件
（）
三．解答题 (本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .
2019年全国卷1含答案
2019年全国卷1(文科数学)含答案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生 7．tan255°=A ．B ．C ．D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+ D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届百校联盟TOP20五月联考(全国1卷)数学(文)试题解析
绝密★启用前2019届百校联盟TOP20五月联考（全国1卷）数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．若复数21z i i=+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A BCD ．5答案：C根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 解析：22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 点评：本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.2．已知实数集R ，集合{|01}A x x =≤≤，{}|21xB x =<，则下列结论错误的是（ ） A ．()R RB A B ⋃=痧 B ．()B B A B ⋂=ðC ．()R A R B ⋃=ðD ．B A ⋂=∅答案：C求出{|01}R A x x x =<>或ð，化简集合B ，可知()B A ⊆R ð，即可选出答案. 解析：根据题意，{|01}R A x x x =<>或ð，又{|21}{|0}xB x x x =<=<，所以()B A ⊆R ð，所以()R B A B ⋂=ð，()R RB A A ⋃=痧，B A ⋂=∅，故选项C 错误.点评：本题主要考查了集合的交集，并集补集的运算，属于中档题.3．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识A “谢谢惠顾”、标识B “再来一瓶”以及标识C “品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,A B C 标识的饮料数量之比为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：B根据题意， “品牌纪念币一枚”的瓶数占总体的213+1+23=， 可求出一箱中兑换“品牌纪念币”的数量. 解析：根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=. 点评：本题主要考查了实际问题中按比例抽取的问题，属于容易题.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若2F 到双曲线的渐近线的距离为3，离心率(2,)e ∈+∞，则焦距12||F F 的取值范围是（ ） A ．(2,4) B ．(3,4)C ．(0,4)D ．(23,4)答案：D根据焦点到渐近线的距离为b ，知3b =，由离心率(2,)e ∈+∞可得,a c 的不等关系，由不等式性质可求c 的范围. 解析：因为2F 到双曲线的渐近线b y x a =±的距离为22b a b =+，∴3b =，又2c a >，∴2c a <，又∵223c a =+，∴22332c c ⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭，∴32c <<，所以12(23,4)F F ∈.点评：本题主要考查了离心率，,,a b c 的关系，焦点到渐近线的距离，属于中档题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．25B ．56C ．119D ．246答案：C根据框图，模拟运行程序即可得出结果. 解析：运行程序：33360k S ==>，，不成立；710760k S ==>，，不成立；15251560k S ==>，，不成立；31563160k S ==>，，不成立；63119k S ==，成立，6360>，输出119S =，结束程序. 点评：本题主要考查了程序框图，属于中档题.6．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ） A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π答案：C由题意知PC 的长等于其外接球的直径，可知2PA =，计算棱锥的体积，球的体积，根据古典概型即可求解. 解析：根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为PC =，∴3=，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以314431223332P ABCDV V π-⎛⎫=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭球，， ∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 点评：本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题. 7．设()sin 810a ︒=-，33tan 8b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1lg 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<答案：B根据三角函数的诱导公式化简,a b，再由正切的二倍角公式求出b的值，根据对数的运算估算c的范围，即可比较三者的大小.b解析：∵()sin8101a︒=-=-，11lg lg5lg1052c==-<-=-，∴112a c-=<<-，33tan tan88bππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，因为22tan8tan141tan8πππ==-，∴tan218π=-，因为1212-<，所以c b<.点评：本题主要考查了诱导公式，正切的二倍角公式，对数的运算性质，属于中档题. 8．已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（）A3πB2πC．πD．2π答案：A由三视图可知几何体为圆锥内部挖去一个圆柱，设圆柱的高为h，底面半径为r，根据比例关系得出,h r的关系，代入圆柱的侧面积公式，利用二次函数求最值即可.解析：根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为h，底面半径为r，则323h r-=，∴33h=.故3223S rh rππ⎫==⎪⎪⎭侧23(2)3(1)13r r rπππ⎡⎤=-=--+≤⎣⎦，当1r=时，S侧3π.点评：本题主要考查了三视图，圆柱的侧面积公式，二次函数求最值，属于中档题.9．已知函数()sin(0)4f x xπωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则(1)(2)(3)(2019)g g g g ++++=L （ ）A BC ．12+ D 1答案：D函数两条对称轴之间距离的最小值为4，可求出周期及ω，写出()f x ，再根据平移得出()g x ，根据三角函数的周期可知 (1)(2)(+g(8)=03)g g g +++L ，即可求解. 解析：依题意，42T =，8T =，所以4πω=，故()sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()(1)sin )sin 4444g x f x x x ππππ⎛=-=-+= ⎝，因为(1)(2)(+g(8)=03)g g g +++L ，所以(1)(2)(3)g g g ++++L (2019)(1)(2)(3)1g g g g =++=.点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用周期性解决求值问题，属于中档题. 10．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案：C令2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+且()3f t =可得()2log 3f t t t =+=可知2t =，写出()2log 5g x x x =+-，根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.解析：根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，∴()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.点评：本题主要考查了抽象函数的性质，零点存在性定理，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，属于难题.11．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12答案：A由圆的面积可得AB =||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，利用抛物线定义得AF AQ BF BP ==，，根据梯形中位线可知2CD AQ BP a b =+=+，利用均值不等式即可求出最大值.解析：根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）. 点评：本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.12．定义：1[ln(())]()()g x g x g x ''=⋅.设函数2()2f x x x a =++，()8ln(1)g x x =+，若12,(0,3)x x ∃∈，12x x ≠，使得()()11f x g x =，()()22f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(16ln 215,0)- B ．(16ln 215,8ln 23)-- C ．(0,8ln 23)- D ．(0,1516ln 2)-答案：C由题意原问题可转化为2()28ln(1)p x x x a x =++-+，(0,3)x ∈在(0,3)x ∈上有两个零点，利用导数分析函数的增减性，结合图形可知满足(0)0p >，(1)0p <即可. 解析：根据题意，令228ln(1)x x a x ++=+，得228ln(1)0x x a x ++-+=.构造2()28ln(1)p x x x a x =++-+，(0,3)x ∈，题目条件可转化为函数()p x 在(0,3)上有两个零点.8(1)(3)()22211x x p x x x x '-+=+-=⋅++.当(0,1)x ∈时，()0p x '<；当(1,3)x ∈时，()0p x '>，(0)p a =，(1)38ln 2p a =+-，(3)158ln 3p a =+-，由于(0)(3)p p <，利用数形结合可知(0)0p >，(1)0p <，解得08ln 23a <<-. 点评：本题主要考查了函数的零点，利用导数研究函数的单调性，数形结合的思想与方法，属于难题.二、填空题13．南方某村的桔农携手电商，脱贫致富，建起房子，过上了有声有色的生活.某电商户对一个月内每天的下单单次（单位：百单）进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数是__________．答案：46该样本共有30个数据，找出中间两个求平均值即可得出中位数的大小. 解析：第15个数为45，第16个数为47，所以中位数为46.本题主要考查了中位数的概念，属于容易题.14．已知点D为ABC∆的外心，4BC=，则BD BC⋅=u u u v u u u v___________.答案：8因为D为ABC∆的外心，所以BD CD=,故有1||cos||2BD BCθ⋅=u u u r u u u r，根据数量积公式计算即可.解析：设BD BCu u u r u u u r，的夹角θ，则21||||cos||82BD BC BC BD BCθ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.点评：本题主要考查了向量的数量积运算，三角形外心的性质，属于中档题.15．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．答案：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦作出可行域，yx表示(),x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.解析：如图，不等式组201030yx yx y-⎧⎪--⎨⎪+-⎩„„…表示的平面区域ABC△（包括边界），所以yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B，，所以122OA OBk k==，，故1,22yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 点评：本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中16．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 2sin C B =，cos cos 2c B b C +=，则ABC ∆面积的最大值为__________．答案：43根据余弦定理可由cos cos 2c B b C +=得a ，由正弦定理知2c b =，故224AB AC =，根据两点间距离公式写出即可. 解析：根据222222222a c b a b c c b a ac ab+-+-⋅+⋅==，如图建系，设(,)A x y ，由sin 2sin C B =得2c b =，所以224AB AC =，即2222(1)4[(1)]x y x y ++=-+，整理得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，1423ABC S a y y =⨯⨯=≤V . 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理，两点间距离公式，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12(1)0n n n a na ++-=，14a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和.答案：（1）12n n a n +=⋅；（2）24(1)2n n ++-⋅.（1）由递推关系式可得121n n a a n n +=⨯+，根据等比数列的定义可知n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可求出（2）由（1）知12n n a n +=⋅，数列为等差等比相乘的形式，采用错位相减法求和. 解析：（1）由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a an n+=⨯+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列， 于是11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅. （2）设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ①，345221222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ②，②-①得，()2341222222n n n T n ++=-+++++⋅L()2412212n n n +-=-+⋅-24(1)2n n +=+-⋅.点评：本题主要考查了递推数列，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题. 18．如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形11ADD A ，11CDD C 为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1AD CD ==，1112AA A B ==，E为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）设1A D 与1AD 的交点为O ，试问：在线段11B A 上是否存在一点N ，使得ON P 平面11B C C .答案：（1）证明见解析；（2）见解析.（1）先证明线1CC ⊥平面1111D C B A 可得111CC B C ⊥，根据2221111B E B C EC =+可证明111B C C E ⊥，从而可证11B C ⊥平面1CC E ，由线面垂直的性质可得结论（2）设M为线段11B A 的中点，可证四边形1CDMB 为平行四边形，取1MA 的中点N ,连0N 由中位线可知，1ON CB P ，即可证明. 解析：（1）因为11B A ⊥平面11ADD A ，所以111B A DD ⊥，又111DD D A ⊥，11111B A D A A ⋂=，所以1DD ⊥平面1111D C B A ， 因为11DD CC P ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ，11B C ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥，因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，平面11ADD A ⋂平面111CDD C DD =，111C D DD ⊥，所以11C D ⊥平面11ADD A ， 经计算可得15B E =，112B C =，13EC =，从而2221111B E B C EC =+，所以在11B EC ∆中，111B C C E ⊥，又11,CC C E ⊂平面1CC E ，111CC C E C ⋂=， 所以11B C ⊥平面1CC E ，又CE ⊂平面1CC E ，所以11B C CE ⊥.（2）当11114A N AB =时，ON P 平面11B C C .其理由如下：因为 11B A ⊥平面11ADD A ，11C D ⊥平面11ADD A ，所以1111C D B A P ，∴11CD B A P ，设M 为线段11B A 的中点，又11112CD B A ==， ∴1CD B M P ，1CD B M =，所以四边形1CDMB 为平行四边形， 所以1DM CB P ，又因为中位线的性质，所以ON DM P ， 所以1ON CB P ，因为ON ⊄平面11B C C ，1CB ⊂平面11B C C ， 所以ON P 平面11B C C . 点评：本题主要考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，线面平行的判定，属于中档题.19．为了调查公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取了30名员工，并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70.20 21 21 25 32 33 36 37 42 43 44 45 45 58 58 59 61 66 74 75 76 77 77 78 78 8283858690（1）是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系？若有，请说明理由，若没有，说明理由并分析原因；（2）从饮食指数在(50,70)内的员工中任选2人，求他们的饮食指数均在(50,60)内的概率；（3）经调查某地若干户家庭的年收入x （万元）和年饮食支出y （万元）具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：0.2450.321y x ∧=+.若一个员工的月收入恰好为这30人的月平均收入，估计该人的年饮食支出费用.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.答案：（1）有；（2）310；（3）1.6881万元. （1）计算2K ，根据2K 值作出结论；（2）列出所有可能共10种，其中饮食指数均在(50,60)内的有3种，由古典概型求解即可（3）根据频率分布直方图求出此人月均收入，计算出年均收入代入回归直线方程即可求解. 解析：（1）根据频率分布直方图，月收入4000元以上的人数为30(0.030.0250.015)1021⨯++⨯=，所以完成下列22⨯列联表如下：所以2230(811110) 4.471 3.8419211218K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系，（2）饮食指数在(50,70)内的员工有5人，其中在(50,60)的有3人，设为,,A B C ，在(60,70)的有2人，设为,a b ，从饮食指数在(50,70)内的员工中任选2人， 所有结果为(,)A B ，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(,)B C ，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(,)a b ，共10种，其中他们的饮食指数均在(50,60)内的结果为(,)A B ，(A,C)，(,)B C ，共3种， 所以概率为310. （3）根据频率分布直方图，0.1250.2350.3450.25550.156546.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元），所以0.2450.465120.321 1.6881y ∧=⨯⨯+=（万元）， 故该人的年饮食支出费用约为1.6881万元. 点评：本题主要考查了22⨯列联表，独立性检验，古典概型，频率分布直方图，回归直线方程，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上一点(0,1)A ，x 轴上存在一点Q 满足222F Q QF =u u u u v u u u u v，2AQ AF ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相切于第一象限上的点P ，且分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点，求||MN 的最小值.答案：（1）2214x y +=；（2）3. （1）根据向量的坐标运算可先求出Q 的坐标为,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由向量垂直求出c ，即可写出方程（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+<，联立椭圆方程，根据相切可知0∆=，求得2214m k =+，根据两点间距离公式得MN =k 的式子，利用均值不等式求最值. 解析：（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，则点1F 的坐标为(,0)c -，点2F 的坐标为(,0)c ， 设点Q 的坐标为0(,0)x ，()20,0F Q x c =-，()10,0QF c x =--， ∵212F Q QF =u u u u r u u u r ，则()002x c c x -=--， ∴03c x =-，则点Q 的坐标为,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵直线2AF 与直线AQ 垂直，且点(0,1)A ，所以2(,1)AF c =-u u u u r ，(,1)3cAQ =--u u u r ，∵20AF AQ ⋅=，∴2103c -+=，得23c =，所以24a =，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+<，联立22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，得(222242)40x k x kmx m +++-=， 即()222148440kxkmx m +++-=，()()222264161410k m k m ∆=-+-=，即()22222241440k m m k m k--+-=，即22140m k -++=,2214m k =+，(0, )N m ，,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN ===3≥=，当且仅当2214k k=，即2k =时“=”成立，∴MN 的最小值为3. 点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，,,a b c 之间的关系，直线与椭圆的位置关系，均值不等式，属于难题.21．已知函数2()(2)ln()f x x a x a ex =---（0a ≠，e 是自然对数的底数）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在0x ，使得()00f x =，证明：00021x x a e a x -+<+. 答案：（1）见解析；（2）证明见解析.（1）函数求导后对a 分类讨论即可得解；（2）由()00f x =，知()200(2)ln 0x a x a ex ---=，原不等式可转化为00001ln 1x x e x x +<+，构造函数1ln ()x g x x +=，()1xe h x x =+，分别利用导数求其最大值与最小值即可.解析：（1）()2(2)a f x x a x '=---=(2)(1)x a x x+-，0x >， ①当0a >时，20x a +>，于是令()0f x '>得1x >，令()0f x '<得01x <<， 所以函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)， ②当0a <时，令()0f x '=，∴1x =或2a-， 当2a =-时，()0f x '≥，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞， 当2a <-时，12a ->，当(0,1)x ∈，,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当20a -<<时，12a -<，当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，(1,)+∞时，()0f x '>；当,12a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭,(1,)+∞,单调递减区间是,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）因为()00f x =，∴()2000(2)ln 0x a x a ex ---=，∴0001ln 2x x ax a+-+=， 即证00001ln 1x x e x x +<+， 设1ln ()x g x x +=，∴2ln ()xg x x-'=， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g ≤=.令()1xe h x x =+，∴2()0(1)x xe h x x '=>+， 所以函数()h x 在(0,)+∞上为增函数， 所以()(0)1h x h >=，即11xe x >+， 由此得ln 11xx e x x +<+， 即00021x x a e a x -+<+. 点评：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，涉及分类讨论，转化，及不等式的证明，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos 5sin x t y t αα⎧=⎨=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C的极坐标方程是2cos 4πρθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αααα-+的值.答案：（Ⅰ）22240x y x y +--=；（Ⅱ）3.（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标转化公式即可写出直角坐标方程.（Ⅱ）曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，根据点到直线的距离即可求解.解析：（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos 22ρθθθθθ=⋅+⋅-=+⎭， 24sin 2cos ρρθρθ=+，∴2242x y y x +=+，∴圆2C 的直角坐标方程是22240x y x y +--=.（Ⅱ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆心为（1，2）=，解得tan 2α=-， 所以sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα--==++.点评：本题主要考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线与圆相切，属于中档题.23．设函数()|1||1|f x x x =+--，2()2g x x mx m =-+-.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）1{|}2x x >；（2）(,3]-∞-.（1）去掉绝对值号写成分段函数，求解即可（2）原不等式恒成立可转化为2()(2)20h x x m x m =+-+≤恒成立，只需(1)0,(1)0h h ≤-≤即可.解析：（1）因为()|1||1|f x x x =+--2,12,112,1x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩∴()1f x >的解集为1{|}2x x >.（2）当[1,1]x ∈-时，222x x mx m ≤-+-，即2(2)20x m x m +-+≤恒成立， 令2()(2)2h x x m x m =+-+，则22(1)1220(1)1220h m m h m m ⎧=+-+≤⎨-=-++≤⎩∴3m ≤-，所以实数m 的取值范围是(,3]-∞-. 点评：本题主要考查了含绝对值不等式的解法，二次不等式恒成立，属于中档题.。
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)理科数学试题(带答案解析)
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .
（i）求 ；
（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为 ，试求 .
A． B．2C．3D．
11．已知奇函数 和其导函数 的定义域均为 ，当 时， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．已知各项均不为0的数列 满足 ， ，若 ，则当数列 的前 项和取得最大值时， 的值是（）
A．24B．25C．32D．33
13．已知 是单位向量，若 ， 则 ， 的夹角为__________.
A． B． C． D．
4．记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公比 （）
A．2B． C． 或 D．2或1
5．已知函数 是定义在 上的偶函数.且在 上单调递减，则 的解析式可能为（）
A． B． C． D．
6．若 是常数， 的展开式中各项系数和为-16，则 的系数为（）
A．60B． 1680C．336D．3360
5．D
【解析】
【分析】
由函数 的性质，即定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，逐个排除即可得解.对A， ，不符；对B， ，不符；对C，在 上不单调，即可得解.
【详解】
函数 Байду номын сангаас奇函数，
的定义域不是 ，
函数 在 上不具有单调性，
函数 在 上单调递减且是偶函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国ⅰ卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟top20十二月联考（全国ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}|1xB y y e ==+，则A B =I （ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D【解析】求出A 、B 所表示的范围，求交集即可得解. 【详解】由题知{|2}A x x =…，{|1}B y y =>，故(1,2]A B ⋂=. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算以及函数求值域，考查了计算能力，属于简单题. 2．已知复数z 满足(1)2z i m i ⋅-=+，若z 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】C【解析】由(1)2z i m i ⋅-=+可得：2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2m i m i i m m iz i i i +++-++===--+，再根据纯虚数的定义，即可得解. 【详解】 依题意，(2)(1)(2)(2)(1)(1)2m i i m m i z i i ++-++==-+，则2020m m -=⎧⎨+≠⎩，，故2m =.故选：C. 【点睛】本题考查了复数的除法及纯虚数的概念，考查了计算能力，属于简单题.3．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（ ）A ．47B ．34C ．1649D ．4049【答案】D【解析】求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解. 【详解】S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，22294014949R r P R -∴==-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题. 4．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37=4S ，212a =，则数列{}n a 的公比q =（ ）A ．2B ．12C ．2或12D ．2或1【答案】C【解析】根据等比数列的求和公式及通项公式，由37=4S ，212a =，代入即可得解. 【详解】依题意得12374a a a ++=，212a =， 22274a a a q q ++=∴，152q q ∴+=， 解得2q =或12q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列的基本量的求值，考查了等比数列的求和及通项公式，考查了计算能力，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数.且在(,0)-∞上单调递减，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()xxf x e e -=- B ．1()lg||f x x = C ．()|sin |f x x =D ．()f x =【答案】D【解析】由函数()f x 的性质，即定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，逐个排除即可得解.对A ，()=()x xf x e e f x --=--，不符；对B ，0x ≠，不符；对C ，在(,0)-∞上不单调，即可得解. 【详解】函数()e e x xf x -=-是奇函数，1()lg||f x x =的定义域不是R ， 函数()|sin |f x x =在(,0)-∞上不具有单调性，函数()f x =(,0)-∞上单调递减且是偶函数.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.6．若a 是常数，74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，则42x y 的系数为（ ）A ．60B ．-1680C ．336D ．3360【答案】D【解析】由74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，首先赋值令1x =，代入求得1a =，根据7(12)x -求出4x 的系数，根据4(1)y +求出2y 的系数，相乘即可得解.【详解】依题意74(2)(11)16a -+=-，1a \=，74(12)(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为44274C (2)C 351663360-=⨯⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，考查了赋值法求和，考查了计算能力，属于中档题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．76+43+46B．76+43+26C．76+23+46D．76+23+26【答案】C【解析】由三视图还原为直观图，由直观图即可求得该几何体的表面积.【详解】如图：将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，故所求几何体的表面积:111311662232424484223S=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯++⨯22242=+742346故选：C.【点睛】本题考查了三视图，考查了空间想象能力，考查了面积的计算，属于中档题.8．运行行如图所示的程序框图，则输出k的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根据,a b的初始值，通过不断的赋值计算，经过三次的循环，即可得解. 【详解】运行该程序，第一次，23a=，2k=，89b=；第二次，89a=，3k=，89b=；第三次，89a=，4k=，6481b=；此时不满足8199ba-…，故退出循环，此时输出k的值为4.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，考查了循环结构求输出结果，考查了计算能力，属于简单题.9．已知函数()2cos 232f x cos x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A ．0,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,612ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ C ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】先化简()f x 为sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的增区间可解得． 【详解】依题意，()12222f x sinx cosx sinx ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sinxcosx x =+112222cos x sin x -=+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,6x t π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,233x t ππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为y sinx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 在,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以][0,2,322t πππ⎡⎤+⊆-⎢⎥⎣⎦，即6232t t πππ⎧>-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得612t ππ-<≤故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性．属中档题． 10．已知抛物线214y x =的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，M ，N 两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，若||CD …则直线l 斜率的最大值是（ ）AB ．2C ．3D．【答案】A【解析】设直线方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以12CD y y k=-==求解不等式即可得出答案. 【详解】因为抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，所以设直线方程为1y kx =+，由2244401x yx kx y kx ⎧=⇒--=⎨=+⎩，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以()1212CD y y k x x =-=-==，解得kl 故选：A. 【点睛】本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.11．已知奇函数()f x 和其导函数()f x '的定义域均为R ，当(0,)x ∈+∞时，3()()0f x xf x '+<，则不等式33(1)(-1)8(2)0x f x x f x --<的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,10,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭U D ．()11,0,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】B【解析】由题意可构造函数3()()g x x f x =，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，可得()g x 在(0,)+∞为减函数，再根据()f x 为奇函数，可得()g x 为偶函数，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令3()()g x x f x =，当(0,)x ∈+∞时，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，所以函数()g x 是(0,)+∞上的减函数.()f x Q 是奇函数，()g x ∴是偶函数，由不等式33(1)(1)8(2)0x f x x f x ---<，得(1)(2)g x g x -<，所以|1||2|x x ->，得113x -<<.即11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了构造法，考查了利用导数求函数单调性以及利用函数单调性解不等式，考查了转化思想和计算能力，属于难题.12．已知各项均不为0的数列{}n a 满足1199a =-，1(21)n n n a a a ++=，若21222111n n nn n b a a a a -+=-，则当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是（ ）A ．24B ．25C ．32D ．33【答案】B【解析】根据数列{}n a 的递推关系：1(21)n n n a a a ++=，化简可得：1112n na a +-=，可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，可得na 通项公式，代入21222111n n n n n b a a a a -+=-即可求出n b 的通项，388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+，所有正项的和即是最大值. 【详解】 依题意，121n n n a a a +=+，得121112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为99-，公差为2的等差数列，2122212121211111n n nn n n n nb a a a a a a a -+-+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2121114n n a a -+-=-， 即24n n b a -=，122211416n nn n b b a a ++⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，且1214388b a =-⨯=， {}n b ∴是首项为388，公差为-16的等差数列，故388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+， 令0n b >，解得1014n <， 故当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是25. 故选：B 【点睛】本题考查了利用递推关系求数列通项，考查了数列前n 项和的最大值，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.二、填空题13．已知a r 是单位向量，若()0a a b ⋅-=v v v ，(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 则a v ，b v的夹角为__________. 【答案】3π 【解析】根据a r是单位向量，展开()0a a b ⋅-=v v v 即得：1a b ⋅=r r ，由(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 得：||2||2b a ==r r，代入向量夹角公式即可.【详解】因为a r是单位向量，由2()01a a b a a b a b ⋅-=⇒=⋅⇒⋅=r r r r r r r r，由(2)(2)0||2||2a b a b b a +⋅-=⇒==r r r r r r，设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==r rr r ，3πθ∴=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了单位向量的概念及向量夹角公式，考查了计算能力，属于简单题.14．已知实数x ，y 满足不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则263x y z x +-=-的取值范围是__________. 【答案】180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，化简263x y z x +-=-即得23y z x =+-，而3y x -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率，根据斜率的范围即可得解. 【详解】依题意，作出可行域，如图所示：是以点(2,2)A ，(4,4)B --，(0,4)C 为顶点的三角形区域（包含边界），26233x y y z x x +-==+--，3yx -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率， 故3PA PB yk k x -剟， 得4237y x --剟，故1807z 剟. 故答案为：180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了线性规划求取值范围，考查了目标函数的几何意义以及斜率的取值范围，考查了数形结合思想及计算能力，属于中档题.15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线C 右支上一点，直线1AF 与y 轴交于点B ，且13||F B AB =，12AF AF ⊥，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，根据题意可得：121Rt BOF Rt F AF △∽△，432c mm c =，再根据双曲线的定义及性质可得：42m n a -=，222(4)(2)m n c +=，联立消去m ，解方程即可得解.【详解】依题意121Rt BOF Rt F AF △∽△，设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，所以22242432(4)(2)m n a c m m c m n c -=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，，，22216(42)4c m m a c =+-=⎪⎩，， 消去m，整理得2230c a -+=，因为ce a=，所以230e -+=，解得e =e =.+ 【点睛】本题考查了利用双曲线的焦点三角形求离心率，考查了双曲线的定义及性质和平面几何的结合，考查了计算能力，属于较难题.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________.【答案】23【解析】根据三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π可得：外接球半径13R =ABC ∆外接圆半径为r ，根据外接球和三棱锥P ABC -的位置关系可得：()222(2)(2)R r PA =+，由4PA =，代入可得3r =，由正弦定理即得：42AB =再利用余弦定理结合基本不等式即可得解. 【详解】设三棱锥P ABC -的外接球球心为O ，半径为R ，ABC ∆外接圆半径为r ，则2452R ππ=，解得13R =2222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故3r =，又2sin AB r ACB =∠， 42AB ∴=22322cos AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠，24AC BC ∴⋅„，三棱锥P ABC -的体积11122322244332ABC V S PA =⋅⋅⨯⨯=△„. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，且ABC ∆的面积为24a ，（Ⅰ）若sin sin a A b C =，求A ；（Ⅱ）求22b c bc+的取值范围.【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）.【解析】（I ）由ABC ∆的面积为24a ，代入公式可得：22sin a bc A =，再根据sin sin a A b C =，利用正弦定理可得：a bc =2，联立即得：1sin 2A =，又A 为锐角，即可得解.（II ）由题干可得：22sin a bc A =，代入余弦定理可得：2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A +=+=+，所以222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再结合角A 范围即可得解. 【详解】 （Ⅰ）24ABCa S =Q △，21sin 24a bc A ∴=， 即22sin a bc A =，sin sin a A b C =Q ， a bc ∴=2，2sin bc bc A ∴=，1sin 2A ∴=，02A π<<Q ，6A π∴=.（Ⅱ）由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A ∴+=+=+，222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，02A π<<Q ，3444A πππ∴<+<，sin 14A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭„，24A π⎛⎫∴<+ ⎪⎝⎭„22b c bc+∴的取值范围为(2,22]. 【点睛】本题考查了利用正、余弦定理解三角形，其方法有两种：角化边和边化角，求范围所用方法基本是：（1）利用基本不等式求最值； （2）利用三角函数求最值.18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ.6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解；（Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解. 【详解】（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ， 故()50000.81864093E np ξ==⨯=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，其中1112AC BC AA ===，点D 是线段1AA 的中点.（Ⅰ）若点Q 满足DQ QB λ=u u u r u u u r，且1CQ BC ⊥，求λ的值； （Ⅱ）求二面角11B C D B --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）33. 【解析】（I ）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质及所给数据，将1CQ BC ⊥转化为CQ BD ⊥，则在Rt BCD ∆中直接求解即可；（II ）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）因为在侧面11ACC A 中，112AC AA =，1AAAC ⊥，点D 是棱1AA 的中点， 所以1145A DC ∠=︒，45ADC ∠=︒，则1C D DC ⊥. 因为BC ⊥平面1C CD ，所以1BC C D ⊥. 由BC CD C ⋂=，得1C D ⊥平面BCD ， 所以1C D CQ ⊥，又因为1CQ BC ⊥，111C D BC C =I ，所以CQ ⊥平面1BDC ，所以CQ BD ⊥.在Rt BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC =，2CD =，3BD =，则63CQ =，所以233DQ =，33QB =， 又因为DQ QB λ=u u u r u u u r，所以2λ=.（Ⅱ）如图：以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)B ，(1,0,1)D ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，1(0,1,2)BC ∴=-u u u u r ，(1,1,1)BD =-u u u r，11(0,-1,0)BC =u u u u r ，1(1,1,1)B D =--u u u u r ， 设平面1BC D 的一个法向量为()111,,m x y z =u r， 则10,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v 11111200y z x y z -+=⎧∴⎨-+=⎩，，，令11z =，得(1,2,1)m =u r ， 设平面11B C D 的一个法向量为()222,,n x y z =r，则1110,0,n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 222200y x y z -=⎧∴⎨--=⎩，，令21z =，得(1,0,1)n =r ，设二面角11B C D B --的平面角为θ，则cos cos ,||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r ru r r u r r ，故二面角11B C D B --【点睛】本题考查了空间线面垂直关系的证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.20．已知椭圆22221(0)x x C b a b a :+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，且12MF F △的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线1l ，2l 分别交椭圆C 于点P ，Q (异于点A )，当12l l ⊥时，求证：直线PQ 过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据条件结合椭圆的性质，列式即可得解；（Ⅱ）设直线:PQ x my n =+，代入椭圆方程2222=0x y +-整理可得：()2222220my mny n +++-=，由韦达定理得出根与系数关系，根据直线的垂直，利用向量的数量积为零，列出等式，即可求出n 的值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由题知22222111212222a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，， 解得22a =，221b c ==.故椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）由题意得(A ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:PQ x my n =+，代入2222=0x y +-整理得()2222220m y mny n +++-=，()()222(2)4220mn m n ∴∆=-+->，即2220-+>m n ，12222mn y y m +=-+，212222n y y m -=+，12l l ⊥Q ，()()()()11221122AP AQ x y x y my n y my n y ∴⋅=⋅+=++⋅++u u u r u u u r(1212my n my n y y =++++()()2212121((m y y m n y y n =++++()()2222212(2(22m n m n mn n m m +-⨯=-+++0==，解得3n =-或n =， ∴直线PQ过定点,03⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了利用韦达定理研究直线与椭圆的关系，考查了转化思想，要求较高的计算能力，属于难题. 21．已知函数ln ()2a xf x bx x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程是5220x y --=.（Ⅰ）求实数a ，b 的值;（Ⅱ）若函数()()2g x xf x =-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：126x x +>. 【答案】（Ⅰ）3a =，12b =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，P 点处的导数就是该点切线的斜率，再根据该切点既在曲线上也在直线上，列式即可得解；（Ⅱ）求出()g x 的解析式及其单调性，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，由函数()g x 有两个不同的零点，则1x ，2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈，再根据()G x 的单调性即可得出1x ，2x 的关系. 【详解】 （Ⅰ）由ln ()2a x f x bx x =++求导，得2ln ()a a xf x b x -'=+， 由切线方程5220x y --=知，切点为31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭， 切线斜率为52， 所以32252b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3a =，12b =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3ln 1()22x f x x x =-+， 21()3ln (2)2g x x x ∴=--，3(1)(3)()(2)x x g x x x x+-'=--=-，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数.所以3x =时，函数()g x 取得极大值. 又易知(1)0g <，(3)0g >，(6)0g <，所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x 满足12036x x <<<<， 构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈， 即2211()3ln 3ln(6)(2)(4)22G x x x x x =----+-， 2332(3)()26(6)x G x x x x x -'=+-=--.当(0,6)x ∈时，()0G x '…，所以()G x 为(0,6)上的增函数， 因为103x <<，所以()1(3)0G x G <=， 即()()1160g x g x --<，即()()116g x g x <-， 因为()()120g x g x ==，所以()()216g x g x <-，又因为103x <<，所以163x ->，而236x <<，且()g x 在区间(3,6)上单调递减， 所以由()()216g x g x <-可得216x x >-， 即126x x +>. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造和转化思想，在高考中一般作为压轴题考查，要求较高的计算能力和数学思维，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）通过消参即得直线l 的普通方程，再通过直角坐标和极坐标的互化，即可得到直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ，根据极角的的意义，则：12MON θθ∠=-，联立直线l 的极坐标方程和圆的极坐标方程，消去ρ，计算即可得解.【详解】（Ⅰ）由12112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+Q 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=，即sin 262πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的互化，考查了极角的几何意义，同时考查了计算能力，属于较难题.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-.（Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：3m n +….【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式性质，可得()|4||4||44|8f x x x x x =++-+-+=…，所以8z =，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，再根据基本不等式的应用，积定和小，即可得解.【详解】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -剟时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<„； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=…，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)33m n m n +=-+-+…，当且仅当1m =，2n =时取“=”，原不等式得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及性质，考查了基本不等式求最值，考查了转化思想，考查了计算能力，属于较难题.。
百校联盟2019届TOP20二月文科数学综合卷(PDF)
21.（本小题满分 12 分）已知曲线 f ( x ) ae x bx ． (1)函数 f ( x) 在 x 0 处的切线方程为 y 1 x ，求 a, b 的值，并求函数 f ( x) 的单调区间； (2)若 b e ，函数 f ( x ) 0 恒成立，求 a 的取值范围. 选做题：请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（同理科 22）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合， 极轴与 x 轴的非负半轴重合. 曲线 C 的极坐
n n
S CEF 0.25 ，故选 B SOBCD
2(26 1) 6 120 ，故选 B 2 1
1 1 1 4 5 125 V ( 3 4) 4 [ ( )3 ] 8 3 2 2 3 2 12
故选 C 7.【答案】C 【解析】 a ( )
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟
第 I 卷（必做 共 60 分） 一、选择题.本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.集合 A { x | x 2 x 2 0} ， B { x || x | 3, x z} ，则 A B A. { x | 2 x 3 或 3 x 1} C. B. D.
2
a b c d a c b d
n ad bc
2
下面的临界值表供参考：
P( K 2 k0 ) k0
0.15 2.207
0.10 2.706
0.05 3.841