百校联盟2019届高三TOP20九月联考(全国Ⅰ卷) 理科数学
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(带答案解析)
绝密★启用前2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷)数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ） A ．2B ．52C D ．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ） A ．243或127B ．81或181C ．243D ．1274．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3B ．5C ．D ．5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）……装…………………订…………○…线…………○……※不※※要※※在※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………………订…………○…线…………○……A ．150B ．177.8C ．183.3D ．2006．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．328．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．4B ．5C ．58D ．3510．函数()sin 221f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π11．在四面体A BCD -中，AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．23C ．13D ．3412．函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()18,0-B ．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-r，若()()a b a mb +⊥-rrrr()m R ∈，则m =_____________.14．532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为____________（用数字作答）.15．已知变量x ，y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yz x =+的最大值为______.16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.○…………订……………○……※※订※※线※※内※※○…………订……………○……三、解答题17．已知n S为等差数列{}n a的前n项和，35a=，749=S.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设2nn nab=，nT为数列{}n b的前n项和，求证：3nT<.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，4AC=，3AB=，14AA=，AB AC⊥.（1）证明：1A C⊥平面1ABC；（2）在线段11A B上是否存在点D，使得平面DBC与平面11AAC C所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D的长度；若不存在，说明理由.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上. 21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l 的参数方程2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.（1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．A 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案. 【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键. 4．D 【解析】 【分析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．C 【解析】 【分析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案.【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．D 【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键. 8．B 【解析】 【分析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围.【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =， 由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，2F M ==，求出x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率. 【详解】解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则2F M ==x =，所以2121tan F M MF F F M∠===l. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 2212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π.故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b x a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222x a b ==，2262x c -=，又4163A BCD V abc abc abc -=-= 所以()()3222222222211112246936236439A BCD x x x V a b c x x x -⎛⎫++-==-≤= ⎪⨯⨯⎝⎭， 所以23A BCD V -≤，当且仅当22122x x =-，即2x =时取等号. 故选：B. 解析二：如图，分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接CE ，DE ，EF ，则有AB CE ^，AB DE ⊥，得AB ⊥平面CDE ，又CE DE =，所以EF CD ⊥，所以222234x DE AD AE =-=-，222232x EF DE DF =-=-，所以1132A BCD V x -=⨯，令t =(t ∈，2262x t =-，()23116263A BCD V t t t t -=-=-+，2()1V t t '=-+，当()0,1t ∈时，()0V t '>，当(t ∈时，()0V t '<，故当1t =，即2x =时，A BCD V -有最大值为12(1)133V =-+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-；由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题. 13．9 【解析】 【分析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确. 14．80-【解析】 【分析】求出532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x 时r 的值，代入可得展开式中3x 项的系数. 【详解】解：532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C (2)C rrrr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由1543r -=得3r =，所以532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为335(2)80C -=-，故答案为：80-. 【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．2 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A 时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC ∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键.16．8+ 【解析】 【分析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得21sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值.【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()2221sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题. 17．（1）21n a n =-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．（1）证明见解析；（2）存在，13A D = 【解析】 【分析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u u r，1AA u u u r方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -， 设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r.所以cos,||||2m nm nm n⋅〈〉===r rr rr r解得3a=()0,3a∈，所以3a=-所以线段11A B上存在点D，且13A D=DBC与平面11AAC C所成的锐二面角为45︒.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．（1）能；（2）710；（3）()11E X=，99()20D X=【解析】【分析】（1）计算2K的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A型车外观设计的概率2201140020P==，可得11~20,20X B⎛⎫⎪⎝⎭，可得X的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A型车外观设计，2人不喜欢A型车外观设计.记事件C表示选出的3人中至少有2人喜欢A型车外观设计，则()21332335710C C CP CC⨯+==.（III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2x y '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上. 【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，1244x x k =-， 又24x y =，所以2x y '=， 所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-， 同理切线2l 的方程为22224x x y x =- 联立得1222x x x k +==，1214x x y k ==-. 两式消去k 得220x y --=，当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点.因而交点M 在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】【分析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x +=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()x x x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x a f x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意，所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤.（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()x x x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数，因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++< 即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20<所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．（1）224x y x +=；（2【解析】【分析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案.【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得22121422t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理得230t t --=，所以121t t +=，123t t =-， 所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，123===. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】【分析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集； （2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥，所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-，解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤【答案】D【解析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．52C D ．【答案】A【解析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ）A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案.【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键.4．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3 B ．5 C．D．【答案】D【解析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）A ．150B ．177.8C ．183.3D ．200【答案】C【解析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案. 【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-【答案】D【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．32【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键.8．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =【答案】B【解析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =，由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．10B 15 C ．58D ．35【答案】B【解析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，222164F M x x =-=-x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率.【详解】 解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则222164F M x x =-=-10x =，所以2121615tan 510F M MF F F M∠===，即直线l 15. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．函数()sin 2321f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6π B ．8πC ．10πD ．12π【答案】C【解析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 23212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.11．在四面体A BCD -中，3AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．34【答案】B【解析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b xa cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222xa b==，2262xc-=，又4163A BCDV abc abc abc-=-=所以()()3222222222211112246936236439A BCDx x x V a b c x x x-⎛⎫++-==-≤=⎪⨯⨯⎝⎭，所以23A BCDV-≤，当且仅当22122x x=-，即2x=时取等号.故选：B.解析二：如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，EF，则有AB CE^，AB DE⊥，得AB⊥平面CDE，又CE DE=，所以EF CD⊥，所以222234xDE AD AE=-=-，222232xEF DE DF=-=-，所以2113322A BCDxV x x-=⨯-，令232xt=-(3t∈，2262x t=-，()23116263A BCDV t t t t-=-=-+，2()1V t t'=-+，当()0,1t∈时，()0V t'>，当(3t∈时，()0V t'<，故当1t=，即2x=时，A BCDV-有最大值为12(1)133V=-+=.故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．函数2()(23)1f x ax a x a=--++与1()1g xx=-的图象有三个交点，则实数a的取值范围为（）A．()18,0-B．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭D．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U【解析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-； 由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()()a b a mb +⊥-r r r r()m R ∈，则m =_____________.【答案】9【解析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =，【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确.14．532 xx ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为____________（用数字作答）.【答案】80-【解析】求出532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x时r的值，代入可得展开式中3x项的系数.【详解】解：532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C(2)Crrr r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由1543r-=得3r=，所以532xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为335(2)80C-=-，故答案为：80-.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．已知变量x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yzx=+的最大值为______.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yzx=+，表示平面区域内的点与()1,0D-连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键. 16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.【答案】83+【解析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得213sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 533OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值. 【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()222133sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，3AB =，14AA =，AB AC ⊥.（1）证明：1A C ⊥平面1ABC ；（2）在线段11A B 上是否存在点D ，使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，137A D =【解析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r. 所以22cos ,||||634m n m n m n a a ⋅〈〉===-+r rr rr r 解得37a =±()0,3a ∈，所以37a =-所以线段11A B 上存在点D ，且137A D =DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）喜欢不喜欢合计（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）能；（2）710；（3）()11E X =，99()20D X =【解析】（1）计算2K 的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==，可得11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得X 的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计.记事件C 表示选出的3人中至少有2人喜欢A 型车外观设计，则()21332335710C C C P C C ⨯+==. （III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2xy '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，1244x x k =-，又24x y =，所以2x y '=，所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-，同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==，1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.【答案】（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x af x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， 得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意， 所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤. （2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数， 因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++<即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20< 所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l的参数方程22112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.【答案】（1）224x y x +=；（2）3【解析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案. 【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得2212142222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得230t t --=， 所以121t t +=，123t t =-，所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，12===.【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．已知函数()3|2|||f x x x a =-++-a R ∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集；（2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥， 所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-， 解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
百校联盟2019届TOP20三月联考(全国I卷)理科数学
百校联盟2019届TOP20三月联考(全国I 卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}|ln 320A x x =-<，{}2|20B x x x =-≤，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．A B ⊇D ．A B =∅I2.设复数z 满足()112z i i +=-+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -3.下列函数是奇函数，且在区间()0,+∞上是增函数的是（ ）A ．ln ||y x =B ．2y x -=C ．1y x x=+ D ．x x y e e -=- 4.已知双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23π+B ．23π+C ．2π+D ．423π+ 6. 已知曲线22||||x y x y +=+所围成的区域记为1，曲线221x y +=所围成的区域记为II ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，D 四边形ABCD 所围成的区域记为III ，在区域I 中随机取一点，此点取自区域II ，的概率分别记为1p ，2p ，则（ ）A ．12p p =B ．121p p +=C ．121p p +>D ．121p p +<7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(),4P x -（0x ≠），且cos 5x α=，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．725- B ．725 C ．1225 D ．1225±8.如图所示的程序框图所表示的算法的功能是（ ）A ．计算数列(){}12n n -的前2019项和B ．计算数列(){}12n n -的前2018项和C ．计算数列(){}112n n +-的前2019项和D ．计算数列(){}112n n +-的前2018项和9.已知212cos sin 2433ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A．3- B．3 C ．23- D ．2310.若x ，y 满足约束条件10220,x y x y y mx +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则实数m 的值为（）。
广东省2019届高考百校联考理科数学试卷(PDF版,含详解)
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，求数列{bn}的前 n 项和Tn
．
18．（12 分） 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层抽样的方法抽
取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不 参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过 3 小时），C 类（参加课外 阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时）．调查结果如下表：
解析：因为
sin 2 sin
cos 7 5
cos
2
，所以 sin 3 ，从而 cos 2 1 2sin2 7 ．
5
25
5
4．如图 1 为某省 2018 年 1~4 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 1~4 月快递业务收入统计图，下
列对统计图理解错．误．的是（
3 4
，则直线
F1F2
的斜率为（
）
A． 1 2
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 5
9．如图， B 是 AC 上一点，分别以 AB, BC, AC 为直径作半圆．从 B 作 BD AC ，与半圆相交于 D ．
AC 6, BD 2 2 ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）
2a 3c b
2R c 2 5 ．
2sin A 3sin C sin B
sin C
6．已知平面向量 a,b 满足 a 2, b 1，且 4a b a 3b 2 ，则向量 a, b 的夹角 为（ ）
A． 6
6．答案：D
B． 3
C． 2
D． 2 3
解析：因为
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤【答案】D【解析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．52C D ．【答案】A【解析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ） A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案.【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键.4．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3 B ．5 C．D．【答案】D【解析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）A ．150B ．177.8C ．183.3D ．200【答案】C【解析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案. 【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-【答案】D【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．32【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键.8．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =【答案】B【解析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =， 由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．10B 15 C ．58D ．35【答案】B【解析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，222164F M x x =-=-x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率.【详解】 解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则222164F M x x =-=-10x =，所以2121615tan 510F M MF F F M∠===，即直线l 15. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．函数()sin 2321f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6π B ．8πC ．10πD ．12π【答案】C【解析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 23212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.11．在四面体A BCD -中，3AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．34【答案】B【解析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b xa cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222xa b==，2262xc-=，又4163A BCDV abc abc abc-=-=所以()()3222222222211112246936236439A BCDx x x V a b c x x x-⎛⎫++-==-≤=⎪⨯⨯⎝⎭，所以23A BCDV-≤，当且仅当22122x x=-，即2x=时取等号.故选：B.解析二：如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，EF，则有AB CE^，AB DE⊥，得AB⊥平面CDE，又CE DE=，所以EF CD⊥，所以222234xDE AD AE=-=-，222232xEF DE DF=-=-，所以2113322A BCDxV x x-=⨯-，令232xt=-(3t∈，2262x t=-，()23116263A BCDV t t t t-=-=-+，2()1V t t'=-+，当()0,1t∈时，()0V t'>，当(3t∈时，()0V t'<，故当1t=，即2x=时，A BCDV-有最大值为12(1)133V=-+=.故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．函数2()(23)1f x ax a x a=--++与1()1g xx=-的图象有三个交点，则实数a的取值范围为（）A．()18,0-B．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭D．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U【解析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-； 由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()()a b a mb +⊥-r r r r()m R ∈，则m =_____________.【答案】9【解析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =，【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确.14．532 xx ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为____________（用数字作答）.【答案】80-【解析】求出532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x时r的值，代入可得展开式中3x项的系数.【详解】解：532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C(2)Crrr r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由1543r-=得3r=，所以532xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为335(2)80C-=-，故答案为：80-.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．已知变量x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yzx=+的最大值为______.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yzx=+，表示平面区域内的点与()1,0D-连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键. 16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.【答案】83+【解析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得213sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 533OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值. 【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()222133sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，3AB =，14AA =，AB AC ⊥.（1）证明：1A C ⊥平面1ABC ；（2）在线段11A B 上是否存在点D ，使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，137A D =【解析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r. 所以22cos ,||||634m n m n m n a a ⋅〈〉===-+r rr rr r 解得37a =±()0,3a ∈，所以37a =-所以线段11A B 上存在点D ，且137A D =DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）喜欢不喜欢合计（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）能；（2）710；（3）()11E X =，99()20D X =【解析】（1）计算2K 的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==，可得11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得X 的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计.记事件C 表示选出的3人中至少有2人喜欢A 型车外观设计，则()21332335710C C C P C C ⨯+==. （III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2xy '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，1244x x k =-，又24x y =，所以2x y '=，所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-，同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==，1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.【答案】（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x af x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， 得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意， 所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤. （2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数， 因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++<即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20< 所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l的参数方程22112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.【答案】（1）224x y x +=；（2）3【解析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案. 【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得2212142222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得230t t --=， 所以121t t +=，123t t =-，所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，12===.【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．已知函数()3|2|||f x x x a =-++-a R ∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集；（2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥， 所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-， 解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
2019-2020学年河南省百校联盟高三(上)9月联考数学试卷试题及答案(理科)
2019-2020学年河南省百校联盟高三（上）9月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|340}M x x x =--<，1{|0}3N x x=>-，则M N 等于( )A ．{|43}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．{|34}x x <<D ．{|13}x x <<2．设复数z 满足2zi z =+，则2z +在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知2log 6a =，5log 3b =，0.82c =，则( ) A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．345．函数2(1)()||ln x f x x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．521(2)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为( ) A ．15- B ．5- C ．10 D ．157．已知非零向量a ，b 满足||||a k b =，且(2)b a b ⊥+，若a ，b 的夹角为23π，则实数k 的值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．128．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13.5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是( )A ．94尺B ．95尺C ．96尺D ．97尺9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点，过E ，F 的平面分别与棱AB ，AC 相交于点D ，G ，给出以下四个结论： ①//EF DG ；②//PA ED ；③ED DG ⊥；④AC FG ⊥． 则以上正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =，则椭圆C 的离心率为( )A ．13BC ．23D11．关于函数()cos |||cos |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(2π-，0)上单调递增；③()f x 在[π-，]π上有4个零点；④()f x 的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，AB AD CD ==，//BC AD ，60ABC ∠=︒，PAB ∆是等边三角形，若四棱锥P ABCD -体积的最大值，则球O 的表面积为( ) A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线方程为 ．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则32z x y =-的最小值为 ．15．《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨．每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”、“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼．“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主．在《中国诗词大会》的某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为 ．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，离心率为32，直线:)l y x c =-与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），OAF ∆和OBF ∆的面积分别记为1S 和2S ，则12S S = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的*n N ∈都成立，求整数k 的最小值．18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2202A CB cos +-=． （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A =C ，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥．（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若1CM C M =，求二面角111A B N C --的正弦值．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线:1l y x =+与抛物线C 相切于点P ，过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点． （1）求抛物线C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得当割线PQ 变化时，总有||||MT MH -为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数1()(1)()2f x x ax lnx a R =--∈． （1）当12a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x >，证明：1212()()144f x f x a x x -<--．22．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．) （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）从该甜品店的五种“网红甜品”中随机选取2种不同的甜品，求这两种甜品的单价相同的概率；（3）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利1x 元，销售一份B 甜品获利2x 元，⋯，销售一份E 甜品获利5x 元，依据上表统计数据，随机销售一份甜品获利的期望为()E x ，设123455x x x x x x ++++=，试判断()E x 与x 的大小2019-2020学年河南省百校联盟高三（上）9月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|340}M x x x =--<，1{|0}3N x x=>-，则M N 等于( )A ．{|43}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．{|34}x x <<D ．{|13}x x <<【解答】解：{|14}M x x =-<<，{|3}N x x =<， {|13}MN x x ∴=-<<．故选：B ． 2．设复数z 满足2zi z =+，则2z +在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：由2zi z =+，得2z iz i =+，则22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， 21z i ∴+=+，则2z +在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A ．3．已知2log 6a =，5log 3b =，0.82c =，则( ) A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解答】解：22log 6log 42>=，550log 3log 51<<=，00.81222=<<， b c a ∴<<．故选：D ．4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】解：设事件A 为居民没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内，则A 事件个数为3个，所有基本事件个数为4个，P ∴（A ）34=，即居民会被罚款和行政处罚的概率为34． 故选：D ．5．函数2(1)()||ln x f x x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由210x ->且0x ≠得1x >或1x <-，2(1)()()||ln x f x f x x --==，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C当x →+∞，()0f x >， 排除A ， 故选：D ． 6．521(2)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为( ) A ．15- B ．5- C ．10 D ．15【解答】解：523452211(2)(1)(2)(1510105)x x x x x x x x-+=-+++++， 故它的的展开式中2x 的系数为521015-⨯=-， 故选：A ．7．已知非零向量a ，b 满足||||a k b =，且(2)b a b ⊥+，若a ，b 的夹角为23π，则实数k 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12【解答】解：||||a k b =，2,3a b π<>=，且(2)b a b ⊥+， ∴2222(2)||||cos 22032kb a b a b b b b π+=+=-+=，且20b ≠， ∴202k-+=，解得4k =． 故选：A ．8．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13.5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是( )A ．94尺B ．95尺C ．96尺D ．97尺【解答】解：由程序图可知13.5 2.513.512.511.5 2.512962S +=+++⋯+=⨯=． 故选：C ．9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点，过E ，F 的平面分别与棱AB ，AC 相交于点D ，G ，给出以下四个结论： ①//EF DG ；②//PA ED ；③ED DG ⊥；④AC FG ⊥．则以上正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点，可得//EF BC ，BC ⊂/平面EFGD ，可得//BC 平面EFGD ，平面ABC ⋂平面EFGD DG =，可得//BC DG ，即有//EF DG ；由于D ，G 不一定为AB ，AC 的中点，可得//PA ED 不成立；由PA ⊥底面ABC ，可得PA BC ⊥，而AB BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ， ED ⊂平面PAB ，可得BC ED ⊥，又//BC DG ，可得ED DG ⊥；若AC FG ⊥，由AC PA ⊥，在同一平面PAC 内，可得//PA FG ，即G 为AC 的中点， 这与G 不一定为中点矛盾，故AC FG ⊥不成立． 则①③正确；②④错误． 故选：B ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B C ．23D 【解答】解：如图所示，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，连接1BF ． 则1||||AB BF =．23AB F B =，12||||2BF BF a +=， 2||2aBF ∴=，2||AF a =． ∴点A 是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．作BC x ⊥轴，垂足为点C ． 则22AOF BCF ∆∆∽．∴2222||||||1||||||2CF BF BC AO OF AF ===． 12B y b ∴=-，21||2CF c =．3(,)22c b B ∴-． 代入椭圆方程可得：2291144c a +=，解得2213c a =．c e a ∴==故选：B ．11．关于函数()cos |||cos |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(2π-，0)上单调递增；③()f x 在[π-，]π上有4个零点；④()f x 的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解答】解：由0x …时，cos ||cos x x =；0x <时，cos ||cos()cos x x x =-=， 可得()cos |||cos |f x x x =+，即为()cos |cos |f x x x =+，当cos 0x …时，()2cos f x x =；当cos 0x <时，()0f x =． 由()cos()|cos()|cos |cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=，且定义域为R ，关于原点对称，可得()f x 为偶函数； 当(2x π∈-，0)时，cos (0,1)x ∈，()2cos f x x =单调递增；当[x π∈-，][22ππ-，]π时，cos [1x ∈-，0]，()0f x =，即()f x 的零点有无数个；由0,cos 0()2cos ,cos 0x f x x x <⎧=⎨⎩…，可得cos 1x =即2x k π=，k Z ∈时，()f x 取得最大值2．综上可得①②④正确；③错误． 故选：A ．12．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，AB AD CD ==，//BC AD ，60ABC ∠=︒，PAB ∆是等边三角形，若四棱锥P ABCD -体积的最大值，则球O 的表面积为( ) A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π【解答】解：四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，如图：四棱锥P ABCD -体积的最大值PAB 与底面ABCD 垂直，并且底面ABCD 面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为AB AD CD ==，//BC AD ，60ABC ∠=︒，可得ABCD 是正六边形的一半，设AB AD CD a ===，则四棱锥的体积的最大值为：1332a ⨯=，解得a =此时，底面ABCD 的外心为E ，外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，所以R ==所以外接球的表面积为：2452ππ⨯=． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线方程为 330x y --= ． 【解答】解：由(21)y x lnx =+，得： 122y lnx x'=++，f ∴'（1）3=，即曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线的斜率为3，则曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线方程为03(1)y x -=⨯-， 整理得：330x y --=． 故答案为：330x y --=．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则32z x y =-的最小值为 5- ．【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，可行域如图阴影区域，目标函数32z x y =-可看做3122y x z =-，即斜率为32， 截距为12z -的动直线，数形结合可知，当动直线过点B 时，z 最小， 由1290x x y =⎧⎨+-=⎩得(1,4)B ，∴目标函数32z x y =-的最小值为31245z =⨯-⨯=-．故答案为：5-．15．《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨．每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”、“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼．“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主．在《中国诗词大会》的某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为128． 【解答】解：抢答完七道题后甲成为擂主是指前六道题中甲四胜两负，第七题甲胜， ∴抢答完七道题后甲成为擂主的概率为：442611115()()()222128P C ==． 故答案为：15128． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，离心率为32，直线:)l y x c =-与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），OAF ∆和OBF ∆的面积分别记为1S 和2S ，则12S S 7． 【解答】解：离心率32c e a ==，可设3c t =，2a t =，(0)t >，则b ==， 直线:)l y x c =-即3x y t =+， 双曲线方程即为2225420x y t -=，联立直线l 的方程和双曲线的方程，消去x 可得227750y t +-=， 解得A y =，B y =- 由于直线l 经过右焦点，可得121||1217||2A A B Bc y S y S y c y ===-， 故答案为：17． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的*n N ∈都成立，求整数k 的最小值．【解答】解：（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项，可得151025a d +=，2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+， 解得11a =，2d =， 则12(1)21n a n n =+-=-； （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 可得前n 项和为111111111(1)(1)233521212212n T n n n =-+-+⋯+-=-<-++，由不等式4n kT <对任意的*n N ∈都成立， 可得142k …，即2k …， 整数k 的最小值为2．18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2202A CB cos +-=． （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A =C ，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2202A CB cos +-=．cos 1B B +=， 故2sin()16B π+=，由于0B π<<．解得23B π=． （2）由于2sin 2sin sin B A =C ，所以22b ac =， 且ABC ∆的面积为，故1sin 2ac B =，解得16ac =，所以2232b ac ==，解得b =．利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-，整理得22232162()a c c a +=++=+，解得a c +=．故ABC ∆的周长为a c b ++=+19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥．（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若1CM C M =，求二面角111A B N C --的正弦值．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB ⊥，AB AC ⊥，1AC AA A =，AB ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，AB AM ∴⊥， 11//AB A B ，11A B AM ∴⊥，又1AM B N ⊥，1111A B B N B =，AM ∴⊥平面11A B N ．（2）解：以AB ，AC ，1AA 分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 设1AA a =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)， 1(1B ，0，)a ，(0M ，1，)2a ，11(,22N ，0)，(0AM =，1，)2a ，111(,22B N =-，)a -，1AM B N ⊥，∴211022a AM B N =-=，解得1a =，即11AA =， 1(1B ∴，0，1)，(0M ，1，1)2，1(0C ，1，1)，(0AM =，1，1)2，111(,22B N =-，1)-，111(,,1)22C N =--，设平面11B NC 的法向量(n x =，y ，)z ，则111102211022n B N x y z n C N x y z ⎧=-+-=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，0)，由（1）由知(0AM =，1，1)2是平面11A B N 的一个法向量，cos ,||||n AMn AM n AM ∴<>===．∴二面角111A B N C --=．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线:1l y x =+与抛物线C 相切于点P ，过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点． （1）求抛物线C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得当割线PQ 变化时，总有||||MT MH -为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由212y x y px=+⎧⎨=⎩得2220y py p -+=依题意有，△2480p p =-=， 解得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由2440y x -+=可得2y =，代入直线l 得1x =， ∴点(1,2)P ，设(,)Q m n ，则24n m =， ∴点12(,)22m n A ++，依题意，将22n y +=代入直线l ，得2(,)22n n N +， AN ∴的中点为12(,)42m n n M +++， 又24n m =，∴221241()442m n n n n +++⨯=++=， AN ∴的中点M 在抛物线C 上，由抛物线的定义可知，当T 为抛物线24y x =的焦点(1,0)时，||MT 等于M 到抛物线准线1x =-的距离，||||1MT MH ∴-=，∴存在点(1,0)T ，使得||||MT MH -恒为定值1．21．已知函数1()(1)()2f x x ax lnx a R =--∈． （1）当12a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x >，证明：1212()()144f x f x a x x -<--．【解答】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a =-时，211()24f x x x lnx =+-，21112(2)(1)()2222x x x x f x x x x x +-+-'=+-==，令()0f x '=，则1x =．当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)； （2）因为2111()(1)222f x x ax lnx x ax lnx =--=--， 所以21122()22ax x f x ax x x-+'=--=，因为()f x 存在两个极值点，所以2220ax x -+=在(0,)+∞上有两个不同实根．且1212x x a +=，121x x a =，所以01160a a >⎧⎨=->⎩，所以 0 116a <<，因为22121212121212121211()()()()()1224x x a x x lnx lnx f x f x lnx lnx x x x x x x -------==----， 要证1212()()f x f x x x -- 144a <-，只需证121212()()24f x f x a x x x x ->=-+， 即证1121222(1)1x x x lnx x x ->+， 令121x t x =>，只需证2(1)1t lnt t ->+， 令2(1)()1t g t lnt t -=-+，g （1）0=， 所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++…，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增， 因为1t >，所以()g t g >（1）， 即2(1)01t lnt t -->+，所以1212()()144f x f x a x x -<-- 22．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．) （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）从该甜品店的五种“网红甜品”中随机选取2种不同的甜品，求这两种甜品的单价相同的概率；（3）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利1x 元，销售一份B 甜品获利2x 元，⋯，销售一份E 甜品获利5x 元，依据上表统计数据，随机销售一份甜品获利的期望为()E x ，设123455x x x x x x ++++=，试判断()E x 与x 的大小【解答】解：（1）由题意知，本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A 甜品和D 甜品．共有1万份．设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A ． 则P （A ）13=；（2）用销售总额处于销售量得到甜品的销售单价，可知A 甜品与C 甜品的销售单价为20元．从五种“网红甜品”中随机抽取2种不同的甜品共有2510C =种不同的方法． 设“两种甜品的单价相同”为事件B ．则P （B ）2225110C C ==；（3）由题意可知，x 可能取的值为8，5，3，10． 51(8)306P X ===，21(5)3015P X ===，1083(3)305P X +===，51(10)306P X ===， 因此113177()853*********E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，又8531032955x ++++==， 所以()E X x <．。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案(全国1卷解析版)
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国ⅰ卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟top20十二月联考（全国ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}|1xB y y e ==+，则A B =I （ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D【解析】求出A 、B 所表示的范围，求交集即可得解. 【详解】由题知{|2}A x x =…，{|1}B y y =>，故(1,2]A B ⋂=. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算以及函数求值域，考查了计算能力，属于简单题. 2．已知复数z 满足(1)2z i m i ⋅-=+，若z 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】C【解析】由(1)2z i m i ⋅-=+可得：2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2m i m i i m m iz i i i +++-++===--+，再根据纯虚数的定义，即可得解. 【详解】 依题意，(2)(1)(2)(2)(1)(1)2m i i m m i z i i ++-++==-+，则2020m m -=⎧⎨+≠⎩，，故2m =.故选：C. 【点睛】本题考查了复数的除法及纯虚数的概念，考查了计算能力，属于简单题.3．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（ ）A ．47B ．34C ．1649D ．4049【答案】D【解析】求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解. 【详解】S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，22294014949R r P R -∴==-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题. 4．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37=4S ，212a =，则数列{}n a 的公比q =（ ）A ．2B ．12C ．2或12D ．2或1【答案】C【解析】根据等比数列的求和公式及通项公式，由37=4S ，212a =，代入即可得解. 【详解】依题意得12374a a a ++=，212a =， 22274a a a q q ++=∴，152q q ∴+=， 解得2q =或12q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列的基本量的求值，考查了等比数列的求和及通项公式，考查了计算能力，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数.且在(,0)-∞上单调递减，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()xxf x e e -=- B ．1()lg||f x x = C ．()|sin |f x x =D ．()f x =【答案】D【解析】由函数()f x 的性质，即定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，逐个排除即可得解.对A ，()=()x xf x e e f x --=--，不符；对B ，0x ≠，不符；对C ，在(,0)-∞上不单调，即可得解. 【详解】函数()e e x xf x -=-是奇函数，1()lg||f x x =的定义域不是R ， 函数()|sin |f x x =在(,0)-∞上不具有单调性，函数()f x =(,0)-∞上单调递减且是偶函数.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.6．若a 是常数，74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，则42x y 的系数为（ ）A ．60B ．-1680C ．336D ．3360【答案】D【解析】由74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，首先赋值令1x =，代入求得1a =，根据7(12)x -求出4x 的系数，根据4(1)y +求出2y 的系数，相乘即可得解.【详解】依题意74(2)(11)16a -+=-，1a \=，74(12)(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为44274C (2)C 351663360-=⨯⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，考查了赋值法求和，考查了计算能力，属于中档题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．76+43+46B．76+43+26C．76+23+46D．76+23+26【答案】C【解析】由三视图还原为直观图，由直观图即可求得该几何体的表面积.【详解】如图：将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，故所求几何体的表面积:111311662232424484223S=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯++⨯22242=+742346故选：C.【点睛】本题考查了三视图，考查了空间想象能力，考查了面积的计算，属于中档题.8．运行行如图所示的程序框图，则输出k的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根据,a b的初始值，通过不断的赋值计算，经过三次的循环，即可得解. 【详解】运行该程序，第一次，23a=，2k=，89b=；第二次，89a=，3k=，89b=；第三次，89a=，4k=，6481b=；此时不满足8199ba-…，故退出循环，此时输出k的值为4.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，考查了循环结构求输出结果，考查了计算能力，属于简单题.9．已知函数()2cos 232f x cos x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A ．0,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,612ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ C ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】先化简()f x 为sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的增区间可解得． 【详解】依题意，()12222f x sinx cosx sinx ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sinxcosx x =+112222cos x sin x -=+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,6x t π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,233x t ππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为y sinx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 在,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以][0,2,322t πππ⎡⎤+⊆-⎢⎥⎣⎦，即6232t t πππ⎧>-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得612t ππ-<≤故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性．属中档题． 10．已知抛物线214y x =的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，M ，N 两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，若||CD …则直线l 斜率的最大值是（ ）AB ．2C ．3D．【答案】A【解析】设直线方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以12CD y y k=-==求解不等式即可得出答案. 【详解】因为抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，所以设直线方程为1y kx =+，由2244401x yx kx y kx ⎧=⇒--=⎨=+⎩，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以()1212CD y y k x x =-=-==，解得kl 故选：A. 【点睛】本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.11．已知奇函数()f x 和其导函数()f x '的定义域均为R ，当(0,)x ∈+∞时，3()()0f x xf x '+<，则不等式33(1)(-1)8(2)0x f x x f x --<的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,10,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭U D ．()11,0,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】B【解析】由题意可构造函数3()()g x x f x =，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，可得()g x 在(0,)+∞为减函数，再根据()f x 为奇函数，可得()g x 为偶函数，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令3()()g x x f x =，当(0,)x ∈+∞时，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，所以函数()g x 是(0,)+∞上的减函数.()f x Q 是奇函数，()g x ∴是偶函数，由不等式33(1)(1)8(2)0x f x x f x ---<，得(1)(2)g x g x -<，所以|1||2|x x ->，得113x -<<.即11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了构造法，考查了利用导数求函数单调性以及利用函数单调性解不等式，考查了转化思想和计算能力，属于难题.12．已知各项均不为0的数列{}n a 满足1199a =-，1(21)n n n a a a ++=，若21222111n n nn n b a a a a -+=-，则当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是（ ）A ．24B ．25C ．32D ．33【答案】B【解析】根据数列{}n a 的递推关系：1(21)n n n a a a ++=，化简可得：1112n na a +-=，可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，可得na 通项公式，代入21222111n n n n n b a a a a -+=-即可求出n b 的通项，388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+，所有正项的和即是最大值. 【详解】 依题意，121n n n a a a +=+，得121112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为99-，公差为2的等差数列，2122212121211111n n nn n n n nb a a a a a a a -+-+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2121114n n a a -+-=-， 即24n n b a -=，122211416n nn n b b a a ++⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，且1214388b a =-⨯=， {}n b ∴是首项为388，公差为-16的等差数列，故388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+， 令0n b >，解得1014n <， 故当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是25. 故选：B 【点睛】本题考查了利用递推关系求数列通项，考查了数列前n 项和的最大值，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.二、填空题13．已知a r 是单位向量，若()0a a b ⋅-=v v v ，(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 则a v ，b v的夹角为__________. 【答案】3π 【解析】根据a r是单位向量，展开()0a a b ⋅-=v v v 即得：1a b ⋅=r r ，由(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 得：||2||2b a ==r r，代入向量夹角公式即可.【详解】因为a r是单位向量，由2()01a a b a a b a b ⋅-=⇒=⋅⇒⋅=r r r r r r r r，由(2)(2)0||2||2a b a b b a +⋅-=⇒==r r r r r r，设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==r rr r ，3πθ∴=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了单位向量的概念及向量夹角公式，考查了计算能力，属于简单题.14．已知实数x ，y 满足不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则263x y z x +-=-的取值范围是__________. 【答案】180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，化简263x y z x +-=-即得23y z x =+-，而3y x -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率，根据斜率的范围即可得解. 【详解】依题意，作出可行域，如图所示：是以点(2,2)A ，(4,4)B --，(0,4)C 为顶点的三角形区域（包含边界），26233x y y z x x +-==+--，3yx -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率， 故3PA PB yk k x -剟， 得4237y x --剟，故1807z 剟. 故答案为：180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了线性规划求取值范围，考查了目标函数的几何意义以及斜率的取值范围，考查了数形结合思想及计算能力，属于中档题.15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线C 右支上一点，直线1AF 与y 轴交于点B ，且13||F B AB =，12AF AF ⊥，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，根据题意可得：121Rt BOF Rt F AF △∽△，432c mm c =，再根据双曲线的定义及性质可得：42m n a -=，222(4)(2)m n c +=，联立消去m ，解方程即可得解.【详解】依题意121Rt BOF Rt F AF △∽△，设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，所以22242432(4)(2)m n a c m m c m n c -=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，，，22216(42)4c m m a c =+-=⎪⎩，， 消去m，整理得2230c a -+=，因为ce a=，所以230e -+=，解得e =e =.+ 【点睛】本题考查了利用双曲线的焦点三角形求离心率，考查了双曲线的定义及性质和平面几何的结合，考查了计算能力，属于较难题.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________.【答案】23【解析】根据三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π可得：外接球半径13R =ABC ∆外接圆半径为r ，根据外接球和三棱锥P ABC -的位置关系可得：()222(2)(2)R r PA =+，由4PA =，代入可得3r =，由正弦定理即得：42AB =再利用余弦定理结合基本不等式即可得解. 【详解】设三棱锥P ABC -的外接球球心为O ，半径为R ，ABC ∆外接圆半径为r ，则2452R ππ=，解得13R =2222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故3r =，又2sin AB r ACB =∠， 42AB ∴=22322cos AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠，24AC BC ∴⋅„，三棱锥P ABC -的体积11122322244332ABC V S PA =⋅⋅⨯⨯=△„. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，且ABC ∆的面积为24a ，（Ⅰ）若sin sin a A b C =，求A ；（Ⅱ）求22b c bc+的取值范围.【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）.【解析】（I ）由ABC ∆的面积为24a ，代入公式可得：22sin a bc A =，再根据sin sin a A b C =，利用正弦定理可得：a bc =2，联立即得：1sin 2A =，又A 为锐角，即可得解.（II ）由题干可得：22sin a bc A =，代入余弦定理可得：2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A +=+=+，所以222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再结合角A 范围即可得解. 【详解】 （Ⅰ）24ABCa S =Q △，21sin 24a bc A ∴=， 即22sin a bc A =，sin sin a A b C =Q ， a bc ∴=2，2sin bc bc A ∴=，1sin 2A ∴=，02A π<<Q ，6A π∴=.（Ⅱ）由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A ∴+=+=+，222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，02A π<<Q ，3444A πππ∴<+<，sin 14A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭„，24A π⎛⎫∴<+ ⎪⎝⎭„22b c bc+∴的取值范围为(2,22]. 【点睛】本题考查了利用正、余弦定理解三角形，其方法有两种：角化边和边化角，求范围所用方法基本是：（1）利用基本不等式求最值； （2）利用三角函数求最值.18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ.6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解；（Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解. 【详解】（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ， 故()50000.81864093E np ξ==⨯=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，其中1112AC BC AA ===，点D 是线段1AA 的中点.（Ⅰ）若点Q 满足DQ QB λ=u u u r u u u r，且1CQ BC ⊥，求λ的值； （Ⅱ）求二面角11B C D B --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）33. 【解析】（I ）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质及所给数据，将1CQ BC ⊥转化为CQ BD ⊥，则在Rt BCD ∆中直接求解即可；（II ）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）因为在侧面11ACC A 中，112AC AA =，1AAAC ⊥，点D 是棱1AA 的中点， 所以1145A DC ∠=︒，45ADC ∠=︒，则1C D DC ⊥. 因为BC ⊥平面1C CD ，所以1BC C D ⊥. 由BC CD C ⋂=，得1C D ⊥平面BCD ， 所以1C D CQ ⊥，又因为1CQ BC ⊥，111C D BC C =I ，所以CQ ⊥平面1BDC ，所以CQ BD ⊥.在Rt BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC =，2CD =，3BD =，则63CQ =，所以233DQ =，33QB =， 又因为DQ QB λ=u u u r u u u r，所以2λ=.（Ⅱ）如图：以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)B ，(1,0,1)D ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，1(0,1,2)BC ∴=-u u u u r ，(1,1,1)BD =-u u u r，11(0,-1,0)BC =u u u u r ，1(1,1,1)B D =--u u u u r ， 设平面1BC D 的一个法向量为()111,,m x y z =u r， 则10,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v 11111200y z x y z -+=⎧∴⎨-+=⎩，，，令11z =，得(1,2,1)m =u r ， 设平面11B C D 的一个法向量为()222,,n x y z =r，则1110,0,n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 222200y x y z -=⎧∴⎨--=⎩，，令21z =，得(1,0,1)n =r ，设二面角11B C D B --的平面角为θ，则cos cos ,||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r ru r r u r r ，故二面角11B C D B --【点睛】本题考查了空间线面垂直关系的证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.20．已知椭圆22221(0)x x C b a b a :+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，且12MF F △的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线1l ，2l 分别交椭圆C 于点P ，Q (异于点A )，当12l l ⊥时，求证：直线PQ 过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据条件结合椭圆的性质，列式即可得解；（Ⅱ）设直线:PQ x my n =+，代入椭圆方程2222=0x y +-整理可得：()2222220my mny n +++-=，由韦达定理得出根与系数关系，根据直线的垂直，利用向量的数量积为零，列出等式，即可求出n 的值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由题知22222111212222a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，， 解得22a =，221b c ==.故椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）由题意得(A ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:PQ x my n =+，代入2222=0x y +-整理得()2222220m y mny n +++-=，()()222(2)4220mn m n ∴∆=-+->，即2220-+>m n ，12222mn y y m +=-+，212222n y y m -=+，12l l ⊥Q ，()()()()11221122AP AQ x y x y my n y my n y ∴⋅=⋅+=++⋅++u u u r u u u r(1212my n my n y y =++++()()2212121((m y y m n y y n =++++()()2222212(2(22m n m n mn n m m +-⨯=-+++0==，解得3n =-或n =， ∴直线PQ过定点,03⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了利用韦达定理研究直线与椭圆的关系，考查了转化思想，要求较高的计算能力，属于难题. 21．已知函数ln ()2a xf x bx x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程是5220x y --=.（Ⅰ）求实数a ，b 的值;（Ⅱ）若函数()()2g x xf x =-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：126x x +>. 【答案】（Ⅰ）3a =，12b =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，P 点处的导数就是该点切线的斜率，再根据该切点既在曲线上也在直线上，列式即可得解；（Ⅱ）求出()g x 的解析式及其单调性，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，由函数()g x 有两个不同的零点，则1x ，2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈，再根据()G x 的单调性即可得出1x ，2x 的关系. 【详解】 （Ⅰ）由ln ()2a x f x bx x =++求导，得2ln ()a a xf x b x -'=+， 由切线方程5220x y --=知，切点为31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭， 切线斜率为52， 所以32252b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3a =，12b =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3ln 1()22x f x x x =-+， 21()3ln (2)2g x x x ∴=--，3(1)(3)()(2)x x g x x x x+-'=--=-，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数.所以3x =时，函数()g x 取得极大值. 又易知(1)0g <，(3)0g >，(6)0g <，所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x 满足12036x x <<<<， 构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈， 即2211()3ln 3ln(6)(2)(4)22G x x x x x =----+-， 2332(3)()26(6)x G x x x x x -'=+-=--.当(0,6)x ∈时，()0G x '…，所以()G x 为(0,6)上的增函数， 因为103x <<，所以()1(3)0G x G <=， 即()()1160g x g x --<，即()()116g x g x <-， 因为()()120g x g x ==，所以()()216g x g x <-，又因为103x <<，所以163x ->，而236x <<，且()g x 在区间(3,6)上单调递减， 所以由()()216g x g x <-可得216x x >-， 即126x x +>. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造和转化思想，在高考中一般作为压轴题考查，要求较高的计算能力和数学思维，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）通过消参即得直线l 的普通方程，再通过直角坐标和极坐标的互化，即可得到直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ，根据极角的的意义，则：12MON θθ∠=-，联立直线l 的极坐标方程和圆的极坐标方程，消去ρ，计算即可得解.【详解】（Ⅰ）由12112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+Q 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=，即sin 262πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的互化，考查了极角的几何意义，同时考查了计算能力，属于较难题.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-.（Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：3m n +….【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式性质，可得()|4||4||44|8f x x x x x =++-+-+=…，所以8z =，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，再根据基本不等式的应用，积定和小，即可得解.【详解】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -剟时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<„； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=…，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)33m n m n +=-+-+…，当且仅当1m =，2n =时取“=”，原不等式得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及性质，考查了基本不等式求最值，考查了转化思想，考查了计算能力，属于较难题.。
广东省百校联盟(定向邀约校)2019届高三9月联考数学(理)试题(解析版)
广东省百校联盟（定向邀约校）2019届高三9月联考数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. 或C. 或D.【答案】A【解析】解：集合，或，，．故选：A．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.是复数z的共轭复数，且，则z的虚部为A. B. C. 2 D. l【答案】D【解析】解：，，故，故z的虚部是1，故选：D．求出z的共轭复数，从而求出z，求出z的虚部即可．本题考查了复数的运算，考查转化思想以及复数的运算，是一道常规题．3.已知等差数列的前n项和为，若，，则A. lB.C.D.【答案】B【解析】解：设等差数列的公差为d，等差数列的前n项和为，若，，，解得，．故选：B．设等差数列的公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的第5项与前3项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知椭圆：，若直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆的长轴长为A. 2B. 4C.D.【答案】B【解析】解：椭圆：，若直线与椭圆C交于A，B两点，且，联立，解得，，，解得，椭圆C：．，．椭圆的长轴长为4．故选：B．联立，解得，，从而，进而椭圆C：由此能求出椭圆的长轴长．本题考查椭圆的长轴长的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，是中档题．5.某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满100元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得微信红包5元，没有中奖不发红包，现有5名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为，记X为5名顾客的红包金额总和，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满100元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得微信红包5元，没有中奖不发红包，现有5名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为，记X为5名顾客的红包金额总和，中奖人数～，．故选：B．推导出中奖人数～，，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.若，，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，；．故选：B．容易看出，，从而得出a，b，c，d的大小关系．考查指数函数的单调性，幂函数的单调性，对数函数的单调性，和指数函数的值域．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为A.B.C. 6D.【答案】C【解析】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体是三棱锥如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，，所以最长棱为6．故选：C．根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键8.如图，在梯形ABCD中，，，点E为CD中点，AE与BD交于点设，则A. lB.C.D.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，设，则：，，，，；直线AE的方程为：，直线BD的方程为：；联立两直线方程求得；；；；解得；．故选：B．根据条件可建立平面直角坐标系，并设，从而得出，，，，，从而求出直线AE和BD的方程，联立两直线方程即可求出点F的坐标，这样根据即可求出x，y的值，从而求出的值．考查通过建立直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及点斜式直线方程，向量坐标的加法和数乘运算．9.已知函数，，，且在上单调，则A. 2B.C.D. l【答案】B【解析】解：由题意得，函数的最小正周期为，在上单调， ，得．，解得，．，则．故选：B．由已知可得函数的最小正周期为，解得，结合已知列关于 ， 的方程组，求解可得，，得到函数解析式，进一步求得的值．本题考查型函数的图象和性质，考查三角函数的单调性与周期性，是中档题．10.2018年～月某市邮政快递业务量完成件数较2017年～月同比增长，下图为该市2017年～月邮政快递业务量柱形图及2018年～月邮政快递业务量结构饼形图，根据统计图，给出下列结论 年～月，该市邮政快递业务量完成件数约l500万件 年～月该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年～月相比有所减少， 年月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长其中正确结论的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】解：2018年～月，该市邮政快递业务量完成件数约为：万件，故 正确；2017年～月，邮政快递同城业务量完成件数约万件，故 错误；2018年月邮政快递国际及港澳台业务量同比增长约为，故错误．故选：C．利用柱形图、饼形图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查柱形图、饼形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.已知双曲线C：，若 变化时，直线与双曲线C恒有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解： 变化时，直线，可得原点到直线的距离为，为定值，即有直线与圆都相切，由题意可得只要圆与双曲线双曲线C：有交点，即有，则，由，可得，则双曲线的离心率的范围为故选：A．求得原点到直线的距离为定值，可得圆与双曲线有交点，即，又，结合离心率公式，可得范围．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，注意运用转化思想和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．12.对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由得，令，，，，，当时，，则在，上为增函数，则的值域为，，当或时，，此时单调递减，当时，，单调递增，则的图象如图：若任意的，关于x的方程在上有三个根，则，即，得，即，故选：A．由由得，构造函数，，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，设圆的方程为，又由圆经过，，三点，则有，解可得：，，；则圆的方程为：；故答案为：根据题意，设圆的方程为，将三点的坐标代入可得，解可得D、E、F的值，将D、E、F的值代入圆的方程，计算可得答案．本题考查圆的方程的计算，注意由三点的坐标设出圆的方程．14.在的二项展开式中含项的系数为______【答案】21【解析】解：，故该二项展开式中含项的系数为，故答案为：21．把按照二项式定理展开，可得展开式中含项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：设，则直线过点时，z取得最大值3，过时，z取得最小值：，所以的取值范围是：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.函数______．【答案】【解析】解：函数，由，，又，，的值域为．故答案为：．利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，结合正弦函数的图象与性质求得的值域．本题考查了三角函数的化简与求函数的值域问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．求角C；Ⅱ若，，，求点C到直线AD的距离．【答案】解：由得，得；即，，，则．Ⅱ设点C到直线AD的距离为h，，，则，得，则三角形ACD的面积ℎ，即ℎ得ℎ，即点C到直线AD的距离为ℎ．【解析】Ⅰ由正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简求解即可Ⅱ利用余弦定理求出AD的长度，结合三角形的面积利用等积法进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系是解决本题的关键．18.各项都为正数的数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：，可得，解得；时，．又．相减可得，即为，由，可得，即有；Ⅱ若，可得前n项和，，相减可得，化简可得．【解析】运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，计算可得所求通项公式；Ⅱ若，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.如图所示，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，且．求证：；Ⅱ若M为的中点，求直线AM与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，是等边三角形，连结，设，则，，，，，，，平面，平面，．解：Ⅱ取的中点E，的中点O，连结OE，则由，得，又，，，平面，由Ⅰ得，设，以O为坐标原点，以为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，0，，0，，，则0，，，，0，，，设平面的一个法向量y，，由，取，得1，，设直线AM与平面所成角为，则，．直线AM与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出四边形是菱形，从而是等边三角形，连结，推导出，，从而平面，由此能证明．Ⅱ取的中点E，的中点O，连结OE，以O为坐标原点，以为x轴，OE 为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.一种室内种植的珍贵草药的株高单位：与一定范围内的温度单位：有关，现收集了该种草药的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，，得如下数据：且，，且用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；Ⅱ根据的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；Ⅲ已知这种草药的利润z与x，y的关系为，当z为何值时，利润z 的预报值最大．附：参考公式和数据：对于一组数据2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数，．【答案】解：用相关系数，，因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适；Ⅱ根据知，，；所以关于x的回归方程为；Ⅲ由题意知利润函数，由基本不等式，当且仅当时“”成立，所以当气温 时，利润z的预报值最大．【解析】利用相关系数，，比较与的大小，得出用模型建立回归方程更合适；Ⅱ根据的结论求出y关于x的回归方程即可；Ⅲ由题意写出利润函数z，利用基本不等式求得利润z的最大值以及对应的x值．本题考查了线性回归方程与相关系数的应用问题，是中档题．21.已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C相切于点M，且．求抛物线C的方程；Ⅱ若A，B是抛物线c上异于原点O的两点，且直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点．第11页，共13页【答案】解：Ⅰ联立方程可得，消x可得，由，可得，此时，可得点M的坐标为，由，可得，解得，，则抛物线的方程为；Ⅱ设A，B的坐标为，，由题意可得，，易知直线AB的方程为，即，可化为，显然直线AB过定点．【解析】联立方程可得，利用判别式求出，则根据抛物线的定义可得，，求出p，然后求抛物线C的方程；Ⅱ通设A，B的坐标为，，根据题意可得，求出直线AB的方程，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求方法的应用．22.已知函数．当时，求满足不等式组的x的取值范围；Ⅱ当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，在上，函数是增函数，在上，函数是减函数，而，，故使得，的解集是，第12页，共13页由得，故，故求交集得x的范围是；Ⅱ令，时，成立的一个充分条件是：即，化为，令ℎ，则ℎ，当时，，当时，，，故，递减，的最大值是，故，当时，，若在上无零点，则，，不合题意，舍，若在上上有零点，设m是的最小零点，则在上，，，不合题意，舍，，故a的范围是．【解析】Ⅰ求出a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x的范围即可；Ⅱ令，问题转化为，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．第13页，共13页。
百校联盟高三TOP20九月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
百校联盟高三TOP20九月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}2257100,log ,0A x x x B y y x x =-+≤==>,则A B =I （ ）A ．{}0x x > B ．{}5|x x ≥C ．{}25x x ≤≤ D ．{}|2x x ≥【答案】C【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ,利用对数函数的性质化简集合B ,然后利用集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合{}{}2710025A x x x x x =-+≤=≤≤, 集合{}}{25log ,0B y y x x y y R ==>=∈,由集合的交运算可得,{}25A B x x ⋂=≤≤. 故选:C 【点睛】本题考查集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 2．若()2262z i i =++，则z 的虚部为（ ）A ．B ．1-C ．2D ．1【答案】B【解析】利用复数的四则运算化简即可. 【详解】因为()2262z i i =++, 所以()()()()316242222112i i i iz i i i i +-+-====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选:B 【点睛】本题考查复数的四则运算;考查运算求解能力;属于基础题.3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，数列{}n a 的前n 项和为3,232n S S =+.则7a =（ ）A ．82B ．72C ．8D ．15214+【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为,q 利用等比数列通项公式,结合3123S a a a =++得到关于q 的方程,解方程求出公比q ,然后代入等比数列通项公式求出7a 即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意知, 则()2312321232,S a a a q q=++=++=+解得2q =,由等比数列通项公式可得,()66712282a a q ==⨯=.故选:A 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式;考查运算求解能力;熟练掌握等比数列通项公式和前n 项和公式是求解本题的关键;属于基础题.4．为了对某贫困村加大产业扶贫，该村推广种植了甲和乙两种药材.为了解这两种药材在该村环境下的效益，今年在种植甲和乙药材的家庭中，各抽取了7户.把平均每亩的产值(千元)做成茎叶图如图所示)，甲药材平均每亩产值(千元)的平均数、中位数分别记作,a b 甲甲.乙药材平均每亩产值(千元)的平均数、中位数分别记作,a b 乙乙.由图可知，以下正确的是（ ）A ．,a a b b >>甲乙甲乙B ．,a a b b ><甲乙甲乙C ．,a a b b <<甲乙甲乙D ．,a a b b <>甲乙甲乙 【答案】B【解析】根据茎叶图中数据对比可知甲的总产值大于乙的总产值，进而得到甲平均数大于乙的平均数；根据中位数的定义可得到中位数，进而得到结果. 【详解】369258++>++，8144+>+，3323+>+，a a ∴>甲乙；又21b =甲，24b =乙，b b ∴<甲乙. 故选：B . 【点睛】本题考查根据茎叶图比较平均数和中位数的问题，属于基础题. 5．已知1tan 2a =，则cos2sin 2a a +=（ ） A ．15- B ．15C ．75D ．73【答案】C【解析】利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系，把cos2sin 2a a +化为2222cos sin 2sin cos cos sin a a a a a a-++,然后分子分母同除以2cos a 得到关于tan a 的表达式,代入求解即可. 【详解】22cos a sin a +=222222222222222cos a sin a cosa sinacos a sin a cosa sina cos a cos a cos a cos a sin a cos a sin acos a cos a⋅-+-+⋅=++222211121tan 2tan 7221tan 5112a a a ⎛⎫-+⨯ ⎪-+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选:C 【点睛】本题考查利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系进行齐次式的化简求值;考查运算求解能力;熟练掌握二倍角公式和对齐次式进行巧妙的变形是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．已知0.40.2220.5,0.6,log 0.5,log 0.6a b c d ====，则它们的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．a b d c >>>D ．b a c d >>>【答案】B【解析】选取0.20.5，0为中间值,由指数函数0.5xy =的单调性比较0.40.20.5,0.5，0的大小,再由幂函数0.2y x =的单调性比较0.20.20.5,0.6的大小,再利用对数函数2y log x =的单调性比较22log 0.5,log 0.6，0的大小,由此即可判断. 【详解】0.5x y =Q 是R 上的减函数，所以0.40.200.50.5<<， 因为幂函数0.2y x=在()0,∞+上为增函数,所以0.20.20.50.6<，因为21>，所以对数函数2y log x =为()0,∞+上的增函数，220. 50.60,log log ∴<<b a dc ∴>>>【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小;熟练掌握基本初等函数的性质及选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 7．如图所示是一个几何体的三视图.则该几何体的表面积为（ ）A ．80B ．92C ．104D ．64【答案】C【解析】由三视图可得,该几何体是由一个棱长为4的正方体挖去一个侧棱平行于正方体棱的正四棱柱后的剩余部分，四棱柱槽的底面边长为2,高为4,由此求出该几何体的表面积即可. 【详解】该几何体是由一个棱长为4的正方体挖去一个侧棱平行于正方体棱的正四棱柱后的剩余部分，四棱柱槽的底面边长为2,高为4,则该几何体的表面为2个宽为1长为4的长方形、3个宽为2长为4的长方形、3个边长为4的正方形和边长为4的正方形减去边长为2的正方形2个，所以所求几何体的表面积为()()122343444222104.⨯+⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯= 故选:C 【点睛】本题考查三视图还原组合体及组合体表面积的求解;考查学生的空间想象能力和运算求解能力;三视图还原组合体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 8．由曲线11y x =+，x 轴，y 轴及直线3x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12B ．ln3C ．2ln 2D ．158【答案】C【解析】利用定积分的几何意义和函数ln y x =的导数为'1y x =求出'11y x =+的原函数代入求解即可. 【详解】由题意知,所求封闭图形的面积为()()03031ln 1ln 31ln142 2.1dx x ln ln x ⎰=+=+-==+ 故选:C 【点睛】本题考查定积分的几何意义和基本初等函数的导数公式;属于中档题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．675B ．2499C ．2600D ．2703【答案】C【解析】按照程序框图运行程序，可知输出的S 是以3为首项，2为公差的等差数列的前50项和，利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】按照程序框图运行程序，输入0,3,1S a i ===， 则3S =，5a =，2i =，不满足50i >，循环；35S =+，7a =，3i =，不满足50i >，循环； 357S =++，9a =，4i =，不满足50i >，循环；以此类推：35101S =++⋅⋅⋅+，103a =，51i =，满足50i >，输出S ，则输出的()5031013510126002S ⨯+=++⋅⋅⋅+==.故选：C . 【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是能够准确的判断出程序框图的功能.10．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，,PA PB PC PD ===且四棱锥P ABCD -的体积为83，若其各个顶点都在球O 表面上，则球O 表面积的最小值为（ ）A ．8πB ．9πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】设正方形的边长为,a 中心为,M 棱锥高为,h 球心为,O 半径为,R 根据四棱锥的体积得到关于a 和h 的关系式,利用球的截面圆的圆心和球心的连线垂直于截面这一结论,在Rt AOM ∆中利用勾股定理得到R 和h 的关系式,通过构造函数()24f h h h=+,求导判断单调性求函数()f h 的最小值,求得球的半径R 的最小值,进而求得球O 表面积的最小值. 【详解】设正方形的边长为,a 中心为,M 棱锥高为,h 球心为,O 半径为,R 则P ABCDV -=228833a h a h =⇒=在Rt AOM ∆中，222,OM AM R +=即()2222h R a R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭,即22202a h Rh -+= ，故22422a R h h h h=+=+，令()24f h h h =+，则()3338'18h f h h h--=-=，由()'0,f h =得2h =. 当02h <<时,()0f h '<，所以函数()f h 在()0,2上单调递减； 当2h >时,()'0,f h >所以函数()f h 在(2,)+∞上单调递增； 故当2h =时,()f h 有最小值为()23,f = 即2R 最小值为3，此时249S R ππ==表. 故选:B 【点睛】本题考查多面体的外接球问题和利用函数的思想求其外接球半径的最值; 考查空间想象能力、知识迁移能力和转化与化归能力;通过构造函数()24f h h h=+,求得球的半径R 的最小值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.11．已知抛物线2:4C y x =上有三个不同的点,,,A B C 直线,,AB BC AC 的斜率分别为,,AB BC AC k k k .若满足：0AB AC k k +=.且ABC ∆的重心在直线1y =-上.则BC k =（ ）A ．2-B ．12-C ．32-D ．23-【答案】D【解析】设()1122(),,,,),(A m n B x y C x y ,由0AB AC k k +=和ABC ∆重心的纵坐标为1,-利用直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式得到关于12,,y y n 的方程,联立方程求出n ,利用抛物线方程和直线的斜率公式求出BC k 即可. 【详解】设()1122(),,,,),(A m n B x y C x y ， 则()112211144ABy n y n k x m y n y n--===--+,同理24AC k y n =+,121244020y y n y n y n∴+=⇒++=++ 由ABC ∆重心的纵坐标为1,-得1213y y n++=-, 即123y y n ++=-，由1220y y n ++=可得,3n =,所以12121244223BC y y k x x y y n -====--+-.故选:D 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.12．已知函数()()3,0.ln 1,0.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩若()14f x ax ≥-对x ∈R 恒成立.则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】利用数形结合的方式， 可知当0x >时，成立条件为0a ≤；当0x <时，可知临界状态为相切，利用过曲线外一点曲线切线斜率的求解方法可得临界状态的斜率，进而得到a 的取值范围. 【详解】在平面直角坐标系中作出()f x 图象，Q 直线14y ax =-过点10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图可知：当0x >时，()1ln 14ax x -≤+成立的条件是0a ≤， 当0x ≤时，314ax x -≤-的临界状态是相切， 设切点()00,x y ，()2003f x x '=-，则302001430x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=--，解得：012x =-，此时213324a ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，综上所述：若()14f x ax ≥-对x ∈R 恒成立，则3,04a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到过曲线外一点曲线切线的求解问题；关键是能够通过数形结合的方式确定临界状态.二、填空题13．若,x y 满足2202206120,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，，则22z x y =+的最小值为__________.【答案】45【解析】由题意知,目标函数22z x y =+的几何意义为平面区域内的点到原点距离的平方, 根据题意,作出不等式组表示的平面区域,根据图形，求出平面区域内的点到原点距离最小值的平方即可. 【详解】由题意知,目标函数22z x y =+的几何意义为平面区域内的点到原点距离的平方,所以求22z x y =+的最小值即为求平面区域内的点到原点距离最小值的平方，根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示:由图可知,原点到直线220x y +-=的距离即为平面区域内的点到原点距离最小值，由点到直线的距离公式可得,2222512d -==+ 所以目标函数z 的最小值为22545=⎝⎭. 故答案为:45【点睛】本题考查非线性目标函数的线性规划问题;考查运算求解能力和数形结合思想;理解目标函数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 14．将函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A ωϕ++=__________.【答案】46π+【解析】根据三角函数平移和伸缩变换可得到sin 2sin 212A x x ωπωϕ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，进而对应相等可求得,,A ωϕ的值，从而求得结果. 【详解】()f x 向右平移12π个单位得：sin 1212f x A x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭横坐标扩大为原来的2倍得：()sin 2sin 212g x A x x ωπωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭2A ∴=，2ω=，()2126k k Z ππωϕϕπ+=-+=∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，22466A ππωϕ++=++=+∴.故答案为：46π+.【点睛】本题考查根据三角函数图象的变换求解函数解析式的问题，关键是能够熟练掌握三角函数的平移变换和伸缩变换的基本原则. 15．过双曲线C 的左焦点1F 且斜率为13的直线l 交双曲线C 的左右两支于,A B 两点，若线段AB 的垂平分线过双曲线C 的右焦点2F .则双曲线C 的离心率为__________.【解析】设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为(),o o M x y ，根据题意作出图形,结合图形知, 1290,F MF ∠=︒2122,MOF MF F ∠=∠利用二倍角的正切公式求出直线OM 的斜率，把,A B 两点代入双曲线方程,利用点差法化简整理得到,a b 的关系式,进而求出双曲线C 的离心率即可. 【详解】设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为(),o o M x y ， 根据题意作图如下:由图知,1290,F MF ∠=︒所以在12Rt MF F ∆中,由O 为斜边12F F 的中点可得,1OM OF =2,OF c ==2122,MOF MF F ∠=∠因为121tan 3AB k MF F =∠=,由二倍角的正切公式可得, 2212334113OMk tan MOF ⨯=∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， 两式作差整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +--+-0=，因为12012120122,2OMAB y y y y y k k x x x x x +-===+-, 所以220OM AB b k k a-⋅=，即2231043b a -⨯=,解得224a b =,因为222b c a =-, 所以双曲线C 的离心率为5c e a ==. 故答案为5【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系和点差法的运用;考查运算求解能力和数形结合思想;圆锥曲线与平面几何的知识相结合是求解本题的关键;属于中档题.16．在ABC ∆中，O 为外心，CO xCB yCA =+u u u r u u u r u u u r .且21x y +=，1cos 3B =.则AO AB BO BC⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r __________. 【答案】94【解析】设点M 为BC 的中点，可得2CO xCM yCA =+u u u r u u u u r u u u r，由平面向量基本定理可知,,O M A 共线，进而得到AM BC ⊥；由投影定理可化简所求式子为2212cos 2AB B BM ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，进而求得结果. 【详解】设点M 为BC 的中点，则12CM CB =u u u u r u u u r，则222CB CO xCB yCA x yCA xCM yCA =+=⋅+=+u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，由21x y +=可知：,,O M A 共线，又O 为外心，AM BC ∴⊥.由投影定义知：212AO AB AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，212BO BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r .2222119212cos 422AB AB AO AB B BO BC BM BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪∴==== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r . 故答案为：94.【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到平面向量线性运算、平面向量基本定理的应用、向量投影的定义等知识；关键是能够利用平面向量基本定理得到三点共线，进而确定垂直关系.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求角C ；（2）若2a b BD DC ===u u u r u u u r，求点C 到直线AD 的长度. 【答案】（1）3π；（2【解析】()1利用正弦定理进行边化角,再利用两角和的正弦公式求解即可;()2在ACD ∆中,利用余弦定理求出AD 的长度, 再利用三角形面积的等积法进行求解即可. 【详解】()1因为2,acosB bcosA ccosC +=由正弦定理得2,sinAcosB sinBcosA sinCcosC +=所以()2,sin A B sinCcosC += 又因为(),sin A B sinC += 且0,C π<<即0,sinC ≠ 所以1,2cosC =故3C π= ()2设点C 到直线AD 的距离为h ，由2,BD DC =u u u r u u u r 得11333DC BC ==⨯=, 在ACD ∆中,由余弦定理可得,2222cos AD AC DC AC DC C =+-⋅⋅,即(222128223AD =+-⨯=⎝⎭,3AD ∴=，因为ACD ∆面积1602S AC CD sin =⋅⋅︒=又12ACD S AD h ∆=⋅=12h =h ∴=，即点C 到直线AD 【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式;三角形面积的等积法的运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.18．各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .且242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =.求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）2n a n =；（2）()2124n n +-⨯+【解析】()1运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式求解即可;()2由()1知2n a n =,由此可得12n n b n +=⋅,利用错位相减法求和,结合等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】()1由242n n n S a a =+①，得2n ≥时， 211142n n n S a a ---=+②，由-①②得.()()221114()42n n n n n n n S S a a a a a ----==-+-，即()()221120n n nn a a aa ----+=，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=， 因为数列{}n a 各项都为正数， 所以120n n a a ---=， 即122,()n n a a n -=≥-又21111424,S a a a =+=故12,a =所以{}n a 为首项为2,公差为2的等差数列， 所以数列{}n a 的通项公式为()2212n a n n =+-=.()212222n n n n n b a n n +==⨯=⨯Q()2341122232...122,n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯③ ()345122122232...1212,n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯④由-④③得()22341222211222 (22)2221n n n n n n T n n +++-=-⨯-----+⨯=-+⨯-()2222222124n n n n n +++=⨯-+=-⨯+【点睛】本题考查已知n S 与n a 的关系求数列的通项公式及错位相减法求数列的前n 项和;考查运算求解能力和逻辑推理能力;属于中档题、常考题型.19．网上购物是用户使用手机或电脑对所消费的商品或服务进行网络账务支付的一种服务方式，外卖、购物、买票等等我们生活的各个方面都可以通过网上来实现，某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况.并从参与调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格：若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年.把年龄大于或等于65岁的视为老年，将频率视为概率.求： （1）在青少年，中年，老年中，哪个群休网上购物的概率最大？（2）现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X .求随机变量X 的分布列及期望.【答案】（1）青少年；（2）分布列见解析，3【解析】()1根据表中的数据,分别求出青少年，中年，老年网上购物的频率,用频率估计概率即可;()2由题意知,3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,利用二项分布的概率公式分别求X 所对值的概率,列出分布列并代入期望公式求解即可. 【详解】()1由表中的数据知,青少年网上购物的概率为12334531545604+==+，中年网上购物的概率为:35153534530883+++=+，老年网上购物的概率为27，故青少年网上购物的概率最大.()2由题意知，3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4041104256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()13143112344256641P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭==， ()2224315427442561282P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪==⎝⎭⎝⎭， ()3134311082744235664P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪=⎭=⎝⎭⎝，()44438142564P X C ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭==， 故X 分布列为:X1234P125636427128276481256X ∴的期望为()3434E X =⨯=.【点睛】本题考查用样本的频率估计概率和二项分布的分布列和数学期望公式;重点考查学生的运算求解能力和数学建模的思想;熟练掌握二项分布的分布列和数学期望公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．如图所示，在Rt ABC ∆中.90, 4.43C AC BC ∠=︒==，过C 作CD AB ⊥于D ，延长CD 到F ，使CD DF =.沿CF 将BCD ∆折起，将B 折到点E 的位置使平面ECF ⊥平面ACF .（1）求证：平面EAD ⊥平面ECF ； （2）求二面角C AE F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）713-【解析】()1根据题意,利用线面垂直的判定定理证明CF ⊥平面EAD ,再利用面面垂直的判定定理即可得证;()2由题意知,ED ⊥平面,ABC 由线面垂直的性质知,,,DE DB DC 两两垂直，以D 为原点，,,DC DB DE u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面AEC 和平面AEF 的法向量,m n u r r ,则向量,m n u r r所成角的余弦值或其相反数即为所求. 【详解】()1B Q 折到E 位置的过程中，90BDC EDC ∠=∠=︒.,CF ED ∴⊥又CF AD ⊥,⋂=ED AD D ,所以CF ⊥平面,EAD 而CF ⊂平面,ECF∴平面EAD ⊥平面,ECF()2Q 平面ECF ⊥平面,ACF 平面ECF ⋂平面,,ACF CF ED CF =⊥ED ∴⊥平面,ABC所以,,DE DB DC 两两垂直，以D 为原点，,,DC DB DE u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，可得:()()23,0,0,0,2,0,0,0,6()C A E -，()23,0,0F -，设平面AEC 的一个法向量为(),,m a b c =u r， 则02320,0260,m AC a b m AE b c ⎧⎧⋅=+=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v v u u u v v 令1c =可得:3,3,()1m =-u r，设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =r，则020,0260,n AF y n AE y z ⎧⎧⋅=-+=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v v u u uv v 可得:),1n =-r，故7cos ,13m n m n m n⋅===-⋅u r ru r r u r r ，故二面角C AE F --的余弦值为713-. 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定和性质及利用空间向量法求二面角的平面角;重点考查学生的运算求解能力和转化与化归能力;利用空间向量法把求两平面所成角的余弦值等价转化为求这两平面的法向量所成角的余弦值或其相反数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F分别为椭圆C 的左，右焦点，直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为83. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.【答案】（1）22142x y +=（2）329 【解析】（1）根据离心率可求得,,a b c 之间关系；可知斜率为1时，A 与上顶点重合，设1BF x =，结合椭圆定义和290BAF ∠=o可构造方程求得x ，进而得到43AB a =，从而求得,a b ，得到椭圆标准方程；（2）当直线l 斜率不存在或斜率为0时，易求得四边形ADBE 面积为4；当直线l 斜率为()0k k ≠时，假设直线l 方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得AB ；将k 换作1k-可得到DE ，进而得到四边形面积S ，利用基本不等式可求得最小值，与4对比后可得结果.【详解】（1）由题意得：2c e a ==，a ∴=，b c ∴=. ∴当直线l 斜率为1时，A 与上顶点重合，12AF AF a ∴==，290BAF ∠=o，设1BF x =，则22BF a x =-，22222AB AF BF +=∴，即()()2222a x a a x ++=-，解得：3ax =， 4833AB a ∴==，解得：2a =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）由（1）知：()1F .当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4； 当直线l 斜率为()0k k ≠时，设直线l的方程为：(y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线l '的方程为：(1y x k=-， 将直线l 代入椭圆C 的方程得：()()222212410kxx k +++-=，212212x x k ∴+=-+，()21224112k x x k-=+AB ∴==()224112k k+=+，将k 换作1k -可得：()22412k DE k +=+. ∴四边形ADBE 面积()()222212414112122k k S AB DE k k ++=⋅⋅=⋅⨯≥++()()222224141132291222k k k k +⋅+⨯=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（当且仅当22122k k +=+，即1k =±时取等号），3249<Q ，∴四边形ADBE 面积最小值为329. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积的最值的求解问题；求解面积最值的关键是利用弦长公式求得互相垂直的对角线的长度，进而构造出关于所求面积的函数关系式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于直线斜率是否存在和斜率为零的讨论，造成求解步骤缺失.22．已知函数()()ln 1f x x ax a R =-+∈（1）当1a =时，求满足不等式组()()12122f x f f x f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩的x 的取值范围；（2）当(1,)x ∈+∞时，不等式()2111x ax a f x ax e x----+>-恒成立.求a 的取值范围.【答案】（1）1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】()1对函数()f x 求导判断其单调区间,从而可得函数()f x 在[1,)+∞上为减函数, 而1()()23310,2f f ln -=->()1743202)1,2(f f n -=-<由零点存在性定理知, 3,4,2()o x ∃∈使得()12o f x f ⎛=⎫ ⎪⎝⎭,进而解不等式取交集即可; ()2令()()2111x g x ax a f x ax e x-=---+-+211ln x ax a x e x-=---+，1x >时，()()01g x g >=成立的一个充分条件是:()0,g x '≥即121120x ax e x x --+-≥,化为123112x e a x x x -≥-+，构造函数()12311xe h x x x x-=-+,通过求导判断其单调性求最值即可求解.【详解】()1当1a =时,函数()ln 1f x x x =-+，所以()111x f x x x-'=-==， 当01x <<时,()'0fx >,所以函数()f x 在(]0,1上为增函数， 当1x >时,()'0f x <,所以函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，而1()()23310,2f f ln -=->()1743202)1,2(f f n -=-< 故3,4,2()o x ∃∈使得()12o f x f ⎛=⎫ ⎪⎝⎭所以不等式()(1)2f x f >的解集为012x x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩, 不等式()12()2f x f ->需满足00132222x x x x <-<⇒-<<, 即不等式()12()2f x f ->的解集为0322x x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎭⎩， 求交集得x 的取值范围为1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ()2令()()2111x g x ax a f x ax e x -=---+-+211ln x ax a x e x-=---+， 1x >时，()()01g x g >=成立的一个充分条件是:()0,g x '≥即121120x ax e x x --+-≥,化为123112x e a x x x-≥-+, 令()12311xe h x x x x -=-+,则()()124321x x e x x h x x---+'=, 当32x ≥时,()123210x x e x x ---+<，即()'0h x <， 当312x <<时，()12321,11x x e x x --<+>> ()123210x x e x x -⇒--+<,即()'0h x <，综上可知,()'0h x <在()1,x ∈+∞上恒成立， 即函数()h x 在()1,x ∈+∞上单调递减，所以函数()h x 最大值为()11h =，因为()max 21a h x ≥=,所以12a ≥, 当12a <时,因为()'12112x g x ax e x x -=-+-，所以()'1210g a =-<， 若()'g x 在(1,)+∞上无零点，则()'0g x <在(1,)+∞上恒成立,即函数()g x 在(1,)+∞上单调递减,所以()()10g x g <=，不合题意舍去；若()'g x 在((1,)+∞上有零点，设m 是()'g x 最小零点，则在()1,m 上()()()'0,10,g x g x g <<=不合题意舍去，综上可知实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、最值和利用分离参数法和构造函数法求参数的取值范围;考查分类讨论思想和运算求解能力、转化与化归能力、逻辑思维能力;属于综合型强、难度大型试题.。
2019-2020学年百师联盟高三(上)开学数学试卷(理科)(9月份)
2019-2020学年百师联盟高三（上）开学数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|−3<x≤1}，集合B＝{x|y=√2−x2}，则A∪B＝（）A.[−√2,1]B.(−√2,1]C.[−3, √2)D.(−3, √2]【答案】D【考点】并集及其运算【解析】求出集合的等价条件，结合并集的定义进行求解即可．【解答】B＝{x|y=√2−x2}＝{x|2−x2≥0}＝{x|x2≤2}＝{x|−√2≤x≤√2}，A∪B＝{x|−3<x≤√2}，2. 已知命题P:∀x，y∈(0, 1)，x+y<2，则命题P的否定为()A.∀x，y∈(0, 1)，x+y≥2B.∀x，y∉(0, 1)，x+y≥2C.∃x0，y0∉(0, 1)，x0+y0≥2D.∃x0，y0∈(0, 1)，x0+y0≥2【答案】D【考点】命题的否定【解析】由全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，￢p(x)，写出即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题P的否定为：∃x0，y0∈(0, 1)，x0+y0≥2．故选D.3. 已知实数x，y满足{y≤2x+y≥2x−y+1≤0则3x+2y的最大值为（）A.7B.5C.4D.92【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果．【解答】实数x，y满足{y≤2x+y≥2x−y+1≤0对应的可行域如下图所示：由{y=2x−y+1=0解得A(1, 2)，z＝3x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值．当x＝1，y＝2时，z＝3x+2y＝7，故z＝3x+2y的最大值为7，4. 某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：20∘，50∘和60∘，则抽奖一次中奖的概率为（）A.13 36B.1736C.1936D.59【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由测度比是圆心角的弧度数比求解．【解答】∵一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：20∘，50∘和60∘，且三等奖对应等圆心角的两个区域，转动一次转盘指针指向位置是等可能的，∴抽奖一次中奖的概率P=20+50+2×60360=190360=1936．5. 已知P为圆(x+1)2+y2＝1上任一点，A，B为直线3x+4y−7＝0上的两个动点，且|AB|＝3，则△PAB面积的最大值为（）A.9B.92C.3 D.32【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】直接利用直线和园的位置关系式，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】根据圆的方程，圆心(−1, 0)到直线3x+4y−7＝0的距离d=√32+42=2，所以圆上的点P到直线的最大距离d max＝2+1＝3，所以S △ABC =12⋅3⋅3=92．6. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A.1升B.32升C.23升D.43升【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a 1，a 2，…，a 7，由题意得a 1+a 2+a 6+a 7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量． 【解答】设竹子自下而上的各节容米量分别为a 1，a 2，…，a 7， 由题意得a 1+a 2+a 6+a 7＝6， 由等差数列的性质得： a 1+a 7＝2a 4＝6，解得第四节竹子的装米量为a 4=32（升）．7. 如图在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA →=a →，BC →=b →，则BE →=( )A.12a →+14b →B.13a →+56b →C.23a →+23b →D.12a →+34b →【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量数乘的运算及其几何意义 【解析】取BC 中点F ，由BC ＝2AD 可知AD ＝FC ，从而可得四边形AFCD 为平行四边形，结合向量的基本运算即可求解 【解答】取BC 中点F ，由BC ＝2AD 可知AD ＝FC ， ∴ 四边形AFCD 为平行四边形，则BE →=BC →+CE →=BC →+12FA →=BC →+12(BA →−12BC →)=34BC →+12BA →=12a →+34b →．8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.3B.2020C.3030D.1010【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得a1＝0，a2＝3，a3＝−2，a4＝5，a5＝−4，a6＝7…可知a1+a2＝a3+a4＝ (3)当i＝2020时，S＝1010×3＝3030．9. (x2+x)5(x2−2x+1)10的展开式中，含x7项的系数为（）A.100B.300C.500D.110【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得含x7项的系数．【解答】∵(x2+x)5(x2−2x+1)10＝(x2+x)5((x−1)20的展开式中，通项公式为C5r⋅x10−r⋅C20k⋅x20−k⋅(−1)k=C5r⋅C20k⋅(−1)k⋅x30−r−k，r、k∈N，0≤r≤5，0≤k≤20．令30−r−k＝7，求得r＝3、k＝20，或r＝4、k＝19，或r＝5、k＝18，分别代入x7的系数C5r⋅C20k⋅(−1)k，求得含x7项的系数为100，10. 已知函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3(ω>0)在[0, π2]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（）A.(103, 143) B.[103, 143] C.[4, 143] D.[4, 143)【答案】D【考点】三角函数中的恒等变换应用函数零点的判定定理【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．【解答】函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3=2sin(ωx+π3)−√3，函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3(ω>0)在[0, π2]上有且仅有三个零点，就是sin(ωx+π3)=√32在[0, π2]上有且仅有三个解，则ωx+π3=2kπ+π3或2kπ+2π3；∴π3+2π≤ωπ2+π3<2π3+2π，解得ω∈[4,143)．11. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面为直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90∘，AB=23CD，E为PC上靠近点C的三等分点，则三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比为（）A.19B.15C.16D.13【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，则三棱锥B−CDE的高为13ℎ，AB＝2a，则CD＝3a，由此能求出三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比．【解答】设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，则三棱锥B−CDE的高为13ℎ，AB＝2a，则CD＝3a，∴V P−ABCD=13×12×5a×AD×ℎ，V B−CDE=13×12×3a×AD×13ℎ，∴三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比为：V B−CDE V P−ABCD =15．12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，F1，F2为其左、右焦点，线段F2A垂直直线y=bax ，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若F 2B →=BA →，则该双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2C.3D.√3【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】可设直线F 2A 的方程为y =−a b(x −c)，与直线y =bax 联立，可得A 的坐标，若F 2B →=BA →，则B 为线段F 2A 的中点，由中点坐标公式可得B 的坐标，代入双曲线的方程，化为c 2＝2a 2，再由离心率公式可得所求值． 【解答】线段F 2A 垂直直线y =ba x ，且F 2(c, 0)， 可设直线F 2A 的方程为y =−ab (x −c)， 与直线y =bax 的交点为A(a 2c, ab c)，若F 2B →=BA →，则B 为线段F 2A 的中点，则B(c 2+a 22c, ab2c )，代入双曲线的方程可得(c 2+a 2)24c 2a 2−a 24c 2=1，化为c 2＝2a 2，即e =c a=√2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若复数________． 【答案】 z =2−2i 1+i+2，则|z|＝2√2【考点】 复数的运算 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】 ∵ z =2−2i 1+i+2=2(1−i)2(1+i)(1−i)+2=−2i +2，∴ |z|=√22+(−2)2=2√2．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为________． 【答案】 B【考点】进行简单的合情推理【解析】根据题意明确题中的逻辑关系即可．【解答】根据题意可知，B不是来自2班，A不是来自2班，所以C来自2班；又B的成绩比来自2班的同学高，C的成绩比来自3班的同学高，所以B不能来自3班，只能来自1班．数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n−2n+1，则S10＝________．【答案】9217【考点】数列递推式数列的求和【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n−2n+1，①当n＝1时，解得a1＝1．当n≥2时，且S n+1＝2a n+1−2n+1+1，②，②-①得a n+1−2n+1=2a n−2n，整理得a n+12n+1−a n2n=12（常数），故数列{a n2n}是以12为首项12为公差的等差数列，所以a n2n =12+12(n−1)=12n，整理得a n=n⋅2n−1所以S n=1⋅20+2⋅21+⋯+n⋅2n−1①，2S n=1⋅21+2⋅22+⋯+n⋅2n②，①-②得−S n=(1+2+⋯+2n−1)−n⋅2n，整理得S n=(n−1)⋅2n+1，所以S10=9⋅210+1=9216+1=9217．若函数f(x)＝e x−1ax−b在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为________．【答案】−1 e2【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由题意可得：e x−1a x−b≥0恒成立，转化为：直线y=1ax+b与曲线y＝e x相切．设切点为(x0, e x0)，则e x0=1a x0+b，e x0=1a，可得：a2b=1−x0e x0．令ℎ(t)=1−te t，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】由题意可得：e x−1a x−b≥0恒成立，转化为：直线y=1ax+b与曲线y＝e x相切．设切点为(x0, e x0)，则e x0=1a x0+b，e x0=1a，可得：a2b=1−x0e x0．令ℎ(t)=1−te t ，ℎ′(t)=t−2e t，∴当t＝2时，ℎ(t)取得极小值：−1e2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作（一）必考题：共60分．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a−c)sin A+c sin(A+ B)＝b sin B（1）求B；（2）若a+c＝8，三角形的面积S△ABC＝4√3，求b．【答案】由已知得，(a−c)sin A+c sin C＝b sin B，根据正弦定理得(a−c)a+c2−b2＝0，化简得b2＝a2+c2−ac，由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac cos B，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．由（1）可知B=π3，S△ABC=12ac sin B＝4√3，可得ac＝16，又a+c＝8，解得a＝4，c＝4，所以b2＝a2+c2−2ac cos B＝16，解得b＝4．【考点】正弦定理【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出cos B，由内角的范围求出B；（2）由三角形的面积公式可求ac的值，结合a+c＝8，解得a，c的值，利用余弦定理可求b．【解答】由已知得，(a−c)sin A+c sin C＝b sin B，根据正弦定理得(a−c)a+c2−b2＝0，化简得b2＝a2+c2−ac，由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac cos B，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．由（1）可知B=π3，S△ABC=12ac sin B＝4√3，可得ac＝16，又a+c＝8，解得a＝4，c＝4，所以b2＝a2+c2−2ac cos B＝16，解得b＝4．如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB =AD =DE =12CD =2，M ，N ，P ．分别为EF ，BF ，BC 的中点，AD ⊥AB（1）求证：．BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【答案】证明：∵ P ，N 分别是BC ，BF 的中点，∴ PN // CF ，∵ 四边形EDCF 是矩形，∴ DE ⊥CD ， ∵ DE ⊥BC ，∴ DE ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BC ， 取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ， 则MH // CF // PN ，∴ M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内，在△BHC 中，BH ＝CD −AB ＝2，∠BHC ＝90∘，P 为BC 中点， ∴ HP ⊥BC ，∵ PN ∩HP ＝P ，∴ BC ⊥平面MNP ．由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2, 2, 0)，C(0, 4, 0)，F(0, 4, 2)，∵ M ，N 分别为EF ，BF 的中点，∴ M(0, 2, 2)，N(1, 3, 1)， ∴ 平面BCF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=−2x +2y =0n →⋅BC →=−2x +2y +2z =0，令x ＝1，得n →=(1, 1, 0)， ∴ cos <n →,MN →>=n →⋅MN →|n →|⋅|MN →|=√63． ∴ MN 与平面BCF 所成角的余弦值为√1−(√63)2=√33．【考点】直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】（1）推导出PN // CF ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥平面ABCD ，PN ⊥BC ，取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ，则MH // CF // PN ，从而HP ⊥BC ，由此能求出BC ⊥平面MNP ． （2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【解答】证明：∵ P ，N 分别是BC ，BF 的中点，∴ PN // CF ，∵ 四边形EDCF 是矩形，∴ DE ⊥CD ， ∵ DE ⊥BC ，∴ DE ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BC ， 取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ， 则MH // CF // PN ，∴ M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内，在△BHC 中，BH ＝CD −AB ＝2，∠BHC ＝90∘，P 为BC 中点， ∴ HP ⊥BC ，∵ PN ∩HP ＝P ，∴ BC ⊥平面MNP ．由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2, 2, 0)，C(0, 4, 0)，F(0, 4, 2)，∵ M ，N 分别为EF ，BF 的中点，∴ M(0, 2, 2)，N(1, 3, 1)， ∴ 平面BCF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=−2x +2y =0n →⋅BC →=−2x +2y +2z =0 ，令x ＝1，得n →=(1, 1, 0)， ∴ cos <n →,MN →>=n →⋅MN →|n →|⋅|MN →|=√63． ∴ MN 与平面BCF 所成角的余弦值为(√63)=√33．移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人．已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6．（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由．（2）在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中，每月移动支付的金额如表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y 求Y 的分布列及数学期望． 附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d【答案】根据题意填写列联表如下；计算K 2=200×(30×40−40×90)2120×80×70×130=120091≈13.187>10.828，所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关； 由题意得，在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在2000，3000]内的人数为30人；用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人， 记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ， 则Y 的可能取值为：0，1，2，3； 计算P(Y ＝0)=C 64C 94=542，P(Y ＝1)=C 63⋅C31C 94=1021， P(Y ＝2)=C 62×C32C 94=514， P(Y ＝3)=C 61×C33C 94=121；则Y 的分布列为：数学期望为E(Y)＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．【考点】离散型随机变量的期望与方差 独立性检验（2）由题意知Y 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值． 【解答】根据题意填写列联表如下；计算K 2=200×(30×40−40×90)2120×80×70×130=120091≈13.187>10.828，所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关； 由题意得，在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在2000，3000]内的人数为30人；用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人， 记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ， 则Y 的可能取值为：0，1，2，3； 计算P(Y ＝0)=C 64C 94=542，P(Y ＝1)=C 63⋅C31C 94=1021， P(Y ＝2)=C 62×C32C 94=514， P(Y ＝3)=C 61×C33C 94=121；则Y 的分布列为：数学期望为E(Y)＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．函数f(x)＝a ln x −a 2x−6x(a ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a >0，证明：当x ∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立． 【答案】 由f(x)＝a ln x −a 2x−6x(x >0)，得f ′(x)=−6x 2+ax+a 2x 2．令f ′(x)＝0，则x =a2或x =−a3．当a ＝0时，f ′(x)＝−6<0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a >0时，a2>0，−a3<0，∴ f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减；证明：当a>0时，由（1）得f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减．∴当a2<2，即0<a<4时，f(x)在(0, 2]存在最大值，此时f(x)max=a2=a ln a2−5a=a(ln a2−5)．∵0<a<4，∴ln a2<ln2<ln e=1，∴a(ln a2−5)<0；当a2≥2，即a≥4时，f(x)在(0, 2]上单调递增，∴f(x)max=f(2)=a(ln2−a2)−12，∵a≥4，ln2<ln e＝1<a2，∴a(ln2−a2)<0，∴a(ln2−a2)<0，综上，当x∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导，令f′(x)＝0，可得x=a2或x=−a3，然后分a＝0，a>0和a<0三种情况求f(x)的单调区间；（2）由（1）可知a>0时，f(x)的单调性，然后分0<a<4和a≥4两种情况分别求出f(x)的最大值，证明f(x)的最大值小于0即可．【解答】由f(x)＝a ln x−a 2x −6x(x>0)，得f′(x)=−6x2+ax+a2x2．令f′(x)＝0，则x=a2或x=−a3．当a＝0时，f′(x)＝−6<0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，a2>0，−a3<0，∴f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减；当a<0时，a2<0，−a3，∴f(x)在(0,−a3)上单调递增，在(−a3,+∞)上单调递减．证明：当a>0时，由（1）得f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减．∴当a2<2，即0<a<4时，f(x)在(0, 2]存在最大值，此时f(x)max=a2=a ln a2−5a=a(ln a2−5)．∵0<a<4，∴ln a2<ln2<ln e=1，∴a(ln a2−5)<0；当a2≥2，即a≥4时，f(x)在(0, 2]上单调递增，a∵ a ≥4，ln 2<ln e ＝1<a2，∴ a(ln 2−a2)<0，∴ a(ln 2−a2)<0， 综上，当x ∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，椭圆的左焦点为F 1，短轴的两个端点分别为B 1，B 2，且F 1B 1→⋅F 1B 2→=2． （1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ，AN ，月AM →⋅AN →=0，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点． 【答案】设F 1(−c, 0)，B 1(0, b)，B 2(0, −b)，由题意e =ca =√32，① 由F 1B →⋅F 1B 2→=(c, b)⋅(c, −b)＝c 2−b 2＝2，② 又c 2＝a 2−b 2，③ 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的标准方程x 24+y 2=1；证明：由题可知，A(0, −2)，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为−1k ，设直线AM 方程为y ＝k(x +2)，设M(x M , y M )与椭圆方程联立得{y =k(x +2)x 2+4y 2−4=0 ，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，Z 则−2x M =16k 2−41+4k 2，则x M =2−8k 21+4k 2， 所以y M ＝k(x M +2)，得y M =4k1+4k 2得M(2−8k 21+4k 2, 4k 1+4k 2)，同理可得（将k 换成−1k ）得N(2k 2−8k 2+4, −4kk 2+4)， 则 k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42−8k 21+4k 2−2k 2−8k 2+4=20k 3+20k −(16k 4−16)=20k(k 2+1)−16(k 2+1)(k 2−1)=−5k4k 2−4，所以直线MN 的方程为y +4kk 2+4=−5k4k 2−4(x −2k 2−8k 2+4)，令y ＝0，则x =16(1−k 2)5(k 2+4)+2k 2−8k 2+4=−6k 2−245(k 2+4)=−65，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点(−65, 0)． 【考点】直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）根据椭圆的离心率公式根据向量的坐标运算，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线AM 的方程，与椭圆方程联立，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，求得直线MN 的方程，即可判断直线MN 与x 轴的交点为定点． 【解答】设F 1(−c, 0)，B 1(0, b)，B 2(0, −b)，由题意e =ca =√32，① 由F 1B →⋅F 1B 2→=(c, b)⋅(c, −b)＝c 2−b 2＝2，② 又c 2＝a 2−b 2，③ 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的标准方程x 24+y 2=1；证明：由题可知，A(0, −2)，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为−1k ，设直线AM 方程为y ＝k(x +2)，设M(x M , y M )与椭圆方程联立得{y =k(x +2)x 2+4y 2−4=0 ，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，Z 则−2x M =16k 2−41+4k2，则x M =2−8k 21+4k 2，所以y M ＝k(x M +2)，得y M =4k1+4k 2 得M(2−8k 21+4k, 4k 1+4k)，同理可得（将k 换成−1k）得N(2k 2−8k +4, −4kk +4)，则 k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42−8k 21+4k 2−2k 2−8k 2+4=20k 3+20k −(16k 4−16)=20k(k 2+1)−16(k 2+1)(k 2−1)=−5k4k 2−4，所以直线MN 的方程为y +4k k 2+4=−5k 4k 2−4(x −2k 2−8k 2+4)，令y ＝0，则x =16(1−k 2)5(k 2+4)+2k 2−8k 2+4=−6k 2−245(k 2+4)=−65，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点(−65, 0)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为5√2时，求直线l 的直角坐标方程．曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ （θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 216+y 29=1．直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，整理得直线的方程为x −y +a −5＝0． 设曲线上点M(4cos θ, 3sin θ)则点M 到直线l 的距离d =2（其中tan φ=34），①当a −5>0时，d max =√2=5√2，解得a ＝10． ②当a −5<0时，d max =√2=√2=5√2解得a ＝0，故直线的方程为x −y +5＝0或x −y −5＝0．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ （θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 216+y 29=1．直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，整理得直线的方程为x −y +a −5＝0．设曲线上点M(4cos θ, 3sin θ)则点M 到直线l 的距离d =√2（其中tan φ=34），①当a −5>0时，d max =√2=5√2，解得a ＝10． ②当a −5<0时，d max =√2=√2=5√2解得a ＝0，故直线的方程为x −y +5＝0或x −y −5＝0．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x +1|−|x −2| （1）求不等式f(x)<−1的解集；（2）若f(x)≤|a −1|的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围． 【答案】f(x)＝|x +1|−|x −2|={−3,x <−12x −1,−1≤x ≤23,x >2 ．∵ f(x)<−1，∴ x <−1或{−1≤x ≤22x −1<−1 ，∴ x <−1或−1≤x <0，∴ x <0， ∴ 不等式的解集为{x|x <0}； 由（1）知，f(x)max ＝3．∵ f(x)≤|a −1|的解集为实数集R ， ∴ f(x)max ≤|a −1|，即|a −1|≥3，∴a的取值范围为(−∞, −2]∪[4, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)<−1，分别解不等式即可；（2）由（1）知f(x)max＝3，然后根据f(x)≤|a−1|的解集为实数集R，可得f(x)max≤|a−1|，再解关于a的不等式即可．【解答】f(x)＝|x+1|−|x−2|={−3,x<−12x−1,−1≤x≤23,x>2．∵f(x)<−1，∴x<−1或{−1≤x≤22x−1<−1，∴x<−1或−1≤x<0，∴x<0，∴不等式的解集为{x|x<0}；由（1）知，f(x)max＝3．∵f(x)≤|a−1|的解集为实数集R，∴f(x)max≤|a−1|，即|a−1|≥3，∴a≥4或a≤−2，∴a的取值范围为(−∞, −2]∪[4, +∞)．。
2019年高考理科数学全国I卷含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M （ ）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC. }22|{<<-x xD. }32|{<<x x2.设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A.22(1)1x y ++= B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-= D.22(1)1x y ++=3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 190 5. 函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A.516 B.1132 C.2132 D.11167. 已知非零向量,a b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23πD.56π8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A =+ B.12A A=+C.112A A =+D.112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ）A.25n a n =-B.310n a n =-C.228n S n n =- D.2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x11. 关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③12. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）A.B.C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线23()xy x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = . 15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 .16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r，则C 的离心率为 .三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；（222a b c +=，求sin C .18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3=，求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明：(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；(2)()f x 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i ）证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性． 四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.23. 已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）222111a b c a b c++≤++ （2）333()()()24a b b c c a +++++≥2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学答案1.答案：C 解答：由题意可知,}32|{<<-=x x N ,又因为}24|{<<-=x x M ,则}22|{<<-=x x N M ，故选C . 2.答案：C 解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(,)x y ， ∴z x yi =+ ∴1x yi i +-= ∴22(1)1x y +-= 3.答案：B 解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<. 4.答案：B 解答： 方法一：设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-215， 根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DF AD ，故t DF λλ1+=； 所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.0215≈-=λ代入可得t h 24.4≈.根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；即26<t λ，1051>+t λλ，将618.0215≈-=λ代入可得4240<<t 所以08.1786.169<<h ，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近，故选B.5.答案：D 解答： ∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x+-+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A ，又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D. 6.答案：A 解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C 种，所以36620526416C P ===.答案： 7.答案B 解答：设a 与b 的夹角为θ， ∵()a b b -⊥∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-=0 ∴1cos =2θ ∴=3πθ.8.答案：A 解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A 代入运算可得1=12+12+2A ，满足条件，选项B 代入运算可得1=2+12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得12A =,不符合条件，选项D 代入运算可得11+4A =,不符合条件. 9.答案：A 解析： 依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-，24n S n n =-.10.答案：B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+b y a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x . 11.答案：C 解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确， 因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. 12.答案：D 解答：设PA x =，则2222222-42cos =22PA PC AC x x x APC PA PC x x x ++--∠==⋅⋅⋅ ∴2222cos CE PE PC PE PC APC =+-⋅⋅∠22222222424x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+∵90CEF ∠=︒，1,22xEF PB CF ===∴222CE EF CF +=,即222344x x ++=，解得x =∴PA PB PC ===又2AB BC AC ===易知,,PA PB PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC -∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为3432π⋅=⎝⎭，故选D. 13.答案：3y x = 解答：∵23(21)3()xxy x e x x e '=+++23(31)xx x e =++，∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0)处的切线方程的斜率为3k =， ∴切线方程为3y x =. 14.答案：5S =1213解答：∵113a =，246a a = 设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q =∴5S =121315.答案：0.18解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.16.答案：2 解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，2e ===.17.答案：略 解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（222a b c +=2sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴sin()2sin 23C C π++=,∴1sin cos 222C C -=∴sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.18.答案： （1）见解析； （2解答：（1）连结,M E 和1,B C ，∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点，∴1//ME B C 且112ME B C =， 又N 是1A D ，∴//ME DN ，且ME DN =，∴四边形MNDE 是平行四边形， ∴//MN DE ，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，∴//MN 平面1C DE.（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(2,0,4)A ，3,2)M1(0,0,4)A A =-uuu r ，1(3,2)A M =--u u u u r ，1(2,0,4)A D =--uuu r ，设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =u r，平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r，由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuuu r得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令13x =1(3,1,0)n =u r ， 由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuuu r得2222224020x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ，∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r 1A MA N --19.答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， （1）联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆， ∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . 20.答案：略解答：(1)对()f x 进行求导可得，1()cos 1f x x x '=-+，(1)2x π-<< 取1()cos 1g x x x=-+，则21()sin (1)g x x x '=-++, 在(1,)2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数，且(0)1g =，21()102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ，使得()0g x '=，所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>，()f x '为增函数；在0(,)2x x π∈内()0g x '<，()f x '为减函数，所以在()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）由（1）可知当(1,0)x ∈-时，()f x '单调增，且(0)0f '=，可得()0'<x f则()f x 在此区间单调减；当0(0,)x x ∈时，()f x '单调增，且(0)0f '=，()0f x '>则()f x 在此区间单调增；又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,)2x x π∈时，()f x '单调减，且0()0,()02f x f π''><，则存在唯一的10(,)2x x π∈，使得1()0f x '=，在01(,)x x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增；当1(,)2x x π∈时，()f x 单调减，且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=，所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点； 当(,)2x ππ∈时，sin y x =单调减，ln(1)y x =-+单调减，则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减, ()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时，()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立，则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点.综上可得，()f x 有且仅有2个零点.21.答案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1-、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ==-； 得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ=-=-； 得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--．则X 的分布列为：（2）（i ）因为0.5α=，0.8β=，则(1)0.4a P X ==-=，(0)0.5b P X ===，(1)0.1c P X ===． 可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，则110.50.40.1i i i p p p -+=+， 则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-，则114i ii i p p p p +--=-，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列．（ii ）1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=的首项为101p p p -=，那么可得：78714p p p -=⨯， 67614p p p -=⨯，………………2114p p p -=⨯，以上7个式子相加，得到76811(444)p p p -=⨯+++，则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=-，则18341p =-， 再把后面三个式子相加，得23411(444)p p p -=⨯++，则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+． 4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5α=，0.8β=，αβ<，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p =的确非常小，说明这种实验方案是合理的． 22.答案：略解答：(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ?而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x +=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则4sin()112cos 23sin 11d θθθ++++==所以当362ππθ+=723.答案：见解析： 解答： （1）1abc =，111bc ac ab a b c∴++=++.由基本不等式可得：222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤， 于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.（2）由基本不等式得到：3322()8()a b ab a b ab +≥⇒+≥，332()8()b c b c bc +≥⇒+≥，332()8()c a c a ac +≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac +++++≥++824≥⨯=。
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百校联盟2019届TOP20九月联考(全国I 卷)理科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围:除选考外所有内容.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2257100,|log ,0y A x x x B y x x =-+≤==>.则A B ⋂=（ ） A ．{}0x x > B ．{}5|x x ≥ C ．{}25x x ≤≤D ．{}2|x x ≥2. 若()2262z i i =++，则z 的虚部为（ ）A B ．1- C ．2 D ．13. 各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+则7a =（ ）A ．B ．C ．8D ．144. 为了对某贫困村加大产业扶贫，该村推广种植了甲和乙两种药材.为了解这两种药材在该村环境下的效益，今年在种植甲和乙药材的家庭中，各抽取了7户.把平均每亩的产值(千元)做成茎叶图如图所示)，甲药材平均每亩产值(千元)的平均数、中位数分别记作,a b 甲甲.乙药材平均每亩产值(千元)的平均数、中位数分别记作,a b 乙乙.由图可知，以下正确的是（ ）A ．,a a b b >>甲乙甲乙B ．,a a b b ><甲乙甲乙 C. ,a a b b <<甲乙甲乙 D ．,a a b b <>甲乙甲乙5. 已知12tana =，则cos22a sin a +=（ ） A ．15- B ．15 C. 75 D ．736. 已知0.40.2220.5,60.6,0.5,0.6a c log d log ====，则它们的大小关系为（ ） A ．a b c d >>> B ．b a d c >>> C ．a b d c >>>D ．b a c d >>>7. 如图所示是一个几何体的三视图.则该几何体的表面积为（ ）A ．80B ．92C ．104D ．64 8. 由曲线11y x =+，x 轴，y 轴及直线3x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12B ．ln 3C ．2ln 2D ．1589. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．675B ． 2499C ．2600D ．270310. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，,PA PB PC PD ===且四棱锥P ABCD -的体积为83，若其各个顶点都在球O 表面上，则球O 表面积的最小值为（ ） A ．8π B ．9π C ．16πD ．18π11. 已知抛物线2:4C y x =上有三个不同的点,,,A B C 直线,,AB BC AC 的斜率分别为,,AB BC AC k k k .若满足:0AB AC k k +=.且ABC V 的重心在直线1y =-上.则BC k =（ ） A ．2- B ．12-C ．3-2D ．23- 12. 已知函数()()3,0.ln 1,0.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩若()14f x ax ≥-对x R ∈恒成立.则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足2202206120,x y x y x y +-≥-⎧⎪⎨⎪≤⎩+≥--，，则22z x y =+的最小值为 ．14. 将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ． 15.过双曲线C 的左焦点1F 且斜率为13的直线l 交双曲线C 的左右两支于,A B 两点，若线段AB 的垂平分线过双曲线C 的右焦点2F .则双曲线C 的离心率为 ．16. 在ABC V 中，O 为外心,CO xCB yCA =+u u u r u u u r u u u r .且21,x y +=13cosB =.则AO AB BO BC⋅=⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且满足2acosB bcosA ccosC +=.()I 求角C ；()II若2a b BD DC ===u u u r u u u r，求点C 到直线AD 的长度.18. 各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .且242n n n S a a =+.()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 若2n n n b a =.求数列{}n b 的前n 项和n T19. 网上购物是用户使用手机或电脑对所消费的商品或服务进行网络账务支付的一种服务方式，外卖、购物、买票等等我们生活的各个方面都可以通过网上来实现，某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况.并从参与调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格:若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年.把年龄大于或等于65岁的视为老年，将频率视为概率.求()I 在青少年，中年，老年中，哪个群休网上购物的概率最大？()II 现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X .求随机变量X 的分布列及期望.20. 如图所示，在Rt ABC V 中.90, 4.C AC BC ∠===o过C 作CD AB ⊥于D ，延长CD 到F ，使CD DF =.沿CF 将BCD V 折起，将B 折到点E 的位置使平面ECF ⊥平面ACF .()I 求证:平面EAD ⊥平面ECF ； ()II 求二面角C AE F --的余弦值.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为83.()I 求椭圆C 的方程；()II 过点1F 且与直线l 垂直的直线l 与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.22. 已知函数()()1f x lnx ax a R =-+∈()I 当1a =时，求满足不等式组()()12122f x f f x f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩的x 的取值范围； ()II 当,()1x ∈+∞时，不等式()2111xax a f x ax e x----+>-恒成立.求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1.C 【解析】{}{}2710025A x x x x x =-+≤=≤≤{}{}25o |l g ,0B y x y R x y y ==>∈=.则{}25A B x x ⋂=≤≤. 2. C 【解析】()()()5252,222i z i i i i -===-++- 2z i =+∴z 的虚部为1.3.A [解析]设公比为,q则)2312312S a a a q q =++=++=+得671q a a q ===6=4. B 【解析】因为369258,8144,3323++>+++>++>+ 所以,a a >甲乙 又21,24b b ==甲乙. 所以b b <甲乙5.C 【解析】22cos a sin a +=222222222222222cos a sin a cosa sinacos a sin a cosa sina cos a cos a cos a cos a sin a cos a sin acos a cos a⋅-+-+⋅=++2222tan tan t 1112172215112an a a a ⎛⎫-+⨯ ⎪-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎭+⎝ 6.B [解析]0.5xy =Q 是减函数，0.60.50.500.50.50.6,∴<<<60a ∴>>又2y log x =为增函数，220. 50.60,log log ∴<<b a dc ∴>>>7.C [解析]该几何体是由一个棱长为4的正方体挖去一个侧棱平行于正方体棱的正四棱柱后的剩余部分，四棱柱槽的底面边长为2,高为4,则该几何体的表面为2个宽为1长为4的长方形、3个宽为2长为4的长方形、3个边长为4的正方形.边长为4的正方形减去边长为2的正方形2个，表面积为()()122343444222104.⨯+⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯=8. C [解析]所求封闭图形的面积为()()33001ln 1ln 342 2.1ln11ln l dx x x n =+=+-==+⎰9.C 【解析】1,3,i a ==执行循环体3,2,325S i a ===+= 执行循环体35,...,50,3249101S i a =+==+⨯= 执行循环体35...101,5150,103S i a =+++=>= 不执行循环体.所以输出35...1012600S =+++= 10.B [解析]设正方形的边长为,a 中心为,M 棱锥高为,h 球心为,O 半径为,R则228833a h a h =⇒= 在Rt AOM V 中，222,OM AM R +=即()2222220,22a h R a R h Rh ⎛⎫-+⇒⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭故22422a R h h h h=+=+ 令()24f h h h=+则()3338'18h f h h h--=-= 由()'0,f h =得2h =. 在()0,2上，()0f h '<； 在(2,)+∞上，()'0,f h > 故()f h 最小值为()23,f = 即2R 最小值为3. 此时249S R ππ==表.11. D 【解析】设()1122(),,,,),(A m n B x y C x y ， 则()112211144AB y n y n k x m y n y n--===--+同理24AC k y n=+ 121244020y y n y n y n∴+=⇒++=++ 由ABC V 重心纵坐标为1,-得1213y y n++=- 即123y y n ++=-与1220y y n ++=联立得3n = 故,(9,34)A 得出12121244223BC y y k x x y y n -====--+-12. 【解析】画出()y f x =，14y ax =-的图象，直线14y ax =-过点10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭且以a 为斜率，由图可知:0x >时()114ax ln x -≤+成立的条件是0a ≤ 当0x ≤时，314ax x -≤-的临界状态是相切，设切点()00,x y ，则30200011343024x x x a x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-⇒=-⇒=-- 二、填空题13.45[解析]22z x y =+可看作是圆心在原点，的圆，圆心到直线220x y +-=5=时，22z x y =+与220x y +-=相切， z的最小值为245=⎝⎭14.46π+[解析]()2g x sinx =的横坐标缩小为原来的12， 再向左平移几个单位，即得:()226f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭故2,,26w A πϕ===.15.2[解析]设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为(),o o M x y ， 则1290,F MF ∠=︒知: 1OM OF =2,OF c ==2122,MOF MFF ∠=∠ 2212334113OMk tan MOF ⨯=∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=两式作差整理得：220OM AB b k k a -⋅= 即()22222231044432b a b ac ae a -⨯=⇒==-⇒= 16.94【解析】设点M 为BC 的中点， 222CB CO x yCA xCM yCA =+=+u u u ru u u r u u u r u u u u r u u u r由21x y +=可知:,,O M A 共线， 又O 为外心，故AM BC ⊥， 所以AB AC =由投影定义知:221,2AO AB AB BO BC BC ⋅=-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .2222192cos 42AB AB AO AB B BO BC BM BC⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 三、解答题17.【解析】()I 因为2,acosB bcosA ccosC += 由正弦定理得2,sinAcosB sinBcosA sinCcosC +=所以()2,sin A B sinCcosC += 又因为(),sin A B sinC += 且0,C π<<即0,sinC ≠ 所以1,2cosC =故3C π= ()II 设点C 到直线AD 的距离为h ，由2,BD DC =u u u r u u u r得3DC =222282603AD AC DC AC CDcos ∴=+-⋅︒=3AD ∴=ACD V面积1602S AC CD sin =⋅⋅︒=又12ACD S AD h =⋅=V12h =h ∴= ∴点C 到直线AD18. 【解析】()I 由242n n n S a a =+①，得2n ≥时， 211142n n n S a a ---=+②，由-①②得.()()221114()42n n n n n n n S S a a a a a ----==-+-()2211()20n n n n a a a a ----⇔-=得()()1120n n n n a a a a --+--=， 因为{}n a 各项都为正数， 所以120n n a a ---=， 即122,()n n a a n -=≥-又21111424,S a a a =+=故12,a =所以{}n a 为首项为2,公差为2的等差数列， 通项()2212n a n n =+-=()II 12222n n n n n b a n n +==⨯=⨯Q()2341122232...122,n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯③ ()345122122232...1212,n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯④由-④③得()22341222211222 (222221)n n n n n n T n n +++-=-⨯-----+⨯=-+⨯-()2222222124n n n n n +++=⨯-+=-⨯+19. 【解析】()I 青少年网上购物的概率为12334531545604+==+中年网上购物的概率为: 35153534530883+++=+ 老年网上购物的概率为27故青少年网上购物的概率最大.()II 由题意， 3~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()441142506P X C ⎛⎫= ⎪⎝⎭== ()13143112344256641P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭==()2224315427442561282P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪⎪==⎝⎭⎝⎭()3134311082744235664P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪ ⎪=⎭=⎝⎭⎝ ()44438142564P X C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭== X 分布列为:X ∴的期望()434E X =⨯=. 20. 【解析】()I B Q 折到E 位置的过程中，90BDC EDC ∠=∠=︒.,CF ED ∴⊥又,CF AD CF ⊥∴⊥平面,EAD 而CF ⊂平面,ECF∴平面EAD ⊥平面,ECF()II Q 平面ECF ⊥平面,ACF 平面ECF ⋂平面,,ACF CF ED CF =⊥ED ∴⊥平面,ABC所以,,DE DB DC 两两垂直，以D 为原点，,,DC DB DE u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系.可得:()(),0,2,0,0,0,6()C A E -，()F -设平面AEC 的一个法向量为(),,m a b c =u r，则020,260,0m AC b b c m AE ⎧⎧⎪⋅=⎪⇒⎨⎨+=+=⋅⎪⎪⎩=⎩u r u u u r u r u u u r令1c =可得:3,)1m =-u r，设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =r，则020,260,0n AF y y z n AE ⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⋅=-+=+=⋅=r u u u r r u u u r可得:),1n =-r故7cos ,13m n m n m n⋅===-⋅u r ru r r u r r 故二面角C AE F --的余弦值为713- 21. 【解析】()I由题意可得2c b c a =⇒= 可知:直线l 斜率为1时,A 与上顶点重合，12,AF AF a ==290BAF ∠=︒设1,BF x = 则22,BF a x =- 故()()2222222223aAB AF BF a x a a x x +=⇒++=-⇒=48233AB a a ∴==⇒= 故椭圆C 的方程为22142x y += ()II 当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4； 当直线l 斜率为()0k k ≠时，直线l的方程为(y k x =，()1122(),,A x y B x y ，，则直线l '的方程为(1y x k=-设()()3344,,,D x y E x y ，将直线l的方程(y k x =代入椭圆C 的方程. 整理得()()222212410,k x x k +++-=此时212212x x k +=-+，()21224112k x x k-=+()224112k AB k +==+同理将直线l '的方程代入椭圆C 的方程整理得()()2222410,kx k +++-=得34x x +=()2342412k x xk -=+得()22412k DE k +===+ 所以四边形ADBE 面积S 为()()222241411212221k k AB DE k k ++⋅⋅⋅=++⨯≥()()222224141132291222k k k k +⋅+⨯=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭当且仅当1k =±时，32,9S =且3249<，所以四边形ADBE 面积最小值为329.22. 【解析】()I 当1a =时，()111xf x x x-'=-==在(]0,1上，函数()f x 为增函数， 在[1,)+∞上，函数()f x 为减函数， 而1()()23310,2f f ln -=->()1743202)1,2(f f n -=-<故3,4,2()o x ∃∈使得()12o f x f ⎛=⎫⎪⎝⎭()(1)2f x f >的解集为012x x <<()12()2f x f ->的解集为00132222x x x x <-<⇒-<<求交集得x 的取值范围为1322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()II 令()()2111xg x ax a f x ax e x-=---+-+ 211ln 1x ax a x e x-=--+-+1x >时，()()01g x g >=成立的一个充分条件是:()0,g x '≥即121120xe ax x x x --++≥ 化为:123112xe a x x x -≥-+令()12311xe h x x x x -=-+则()()124321x x e x x h x x ---+'=当32x ≥时，()123210;x x e x x ---+< 当312x <<时，()12321,11x x e x x --<+>> ()123210x x e x x -⇒--+< ()()'0,h x h x ∴<为减函数， ()h x 最大值为()11h =12a ∴≥当12a <时，()1210,g a =-<若()'g x 在(1,)+∞上无零点，则()()()'0,10,g x g x g <<=不合题意舍去； 若()'g x 在((1,)+∞上有零点，设m 是()'g x 最小零点，则在()1,m 上，()()()'0,10,g x g x g <<= 不合题意舍去，12a ∴≥故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。