湖北省武汉市2012届高中毕业生四月调研测试(理数,全word版)

武汉市2012届高三4月调研测试数 学（理科）2012.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点，则→EF ＝（A ）12→AB －13→AD （B ）23→AB ＋12→AD（C ）13→AB －12→AD （D ）12→AB －23→AD2．“复数a ＋i2＋i（a ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a ＜－1”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（A ）0.35 （B ）0.25 （C ）0.20 （D ）0.154．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为 （A ）6 3（B ）8（C ）8 3 （D ）125．已知(33x 2－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是 （A ）－24 （B ）24 （C ）－252 （D ）2526．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是（A ）(42，56]（B ）(56，72] （C ）(72，90] （D ）(42，90)7．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x （x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为 （A ）ln22（B ）1－ln22（C ）1＋ln22（D ）2－ln228．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交9．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为（A ）22 （B ）32（C ）1 （D ） 3 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。

则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．数学（理科）试卷 第3页（共9页）（一）必考题（11—14题）11根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，则表中t 的值为 ．12．已知α∈[π12，3π8]，点A 在角α的终边上，且|OA |＝4cos α，则点A 的纵坐标y 的取值范围是 ．13．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点A （a ，b ），B （b ，c ），C （c ，a ），且直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角互补，则直线AB 的斜率为 ．（结果中不含字母a ，b ，c ） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线P A 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点．已知AB ⊥AC ，P A ＝2，PC ＝1，则圆O 的面积为 ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为ρcos(θ－π3)＝12，则点M （1，π2）到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°．（Ⅰ）若cos(B ＋C )＝－1114，求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，→AC ·→CB ＝5，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ）若a 1＞0，当S n 取得最大值时，求n 的值；（Ⅱ）若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn，求b n 的最小值． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD为平行四边形，∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ．（Ⅰ）证明：P A ⊥BD ；（Ⅱ）若PD ＝AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值． 20．（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的一个动点，满足|→F 1Q |＝2a ．点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点M 在线段F 2Q 上，且满足→PM ·→MF 2＝0，|→MF 2|≠0．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，求△OAB 面积的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由） 22．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 在x ＝－12处的切线的斜率为1．数学（理科）试卷 第5页（共9页）（Ⅰ）求a 的值及f (x )的最大值；（Ⅱ）证明：1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n ＋1)（n ∈N *）；（Ⅲ）设g (x )＝b (e x －x )，若f (x )≤g (x )恒成立，求实数b 的取值范围．武汉市2012届高三4月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分．1．D 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．A 10．A 二、填空题：每小题5分，满分25分．11．50 12．[1，2] 13．433 14．－1±52 15．9π4 16．3－12三、解答题：本大题共6小题，共75分．17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由→AC ·→CB ＝5，得|→AC |·|→CB |cos(180°－C )＝5，即ab cos C ＝－5，又a ＝5，∴b cos C ＝－1， ①由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin(120°－C )＝bsin60°，∴532cos C ＋12sin C ＝b32， 即3b cos C ＋b sin C ＝53， ② 将①代入②，得b sin C ＝63，故△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×5×63＝153．……………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－223a 1．∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×(－223a 1)＝－123a 1n 2＋2423a 1n ＝－123a 1(n －12)2＋14423a 1．∵a 1＞0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值．…………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）及a 1＝－46，得d ＝－223×(－46)＝4，∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－48n ．∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n ＝2n ＋50n －52≥22n ×50n－52＝－32，当且仅当2n ＝50n，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为－32．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由∠ADB ＝90°，可得BD ⊥AD ．因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD ⊥BD ． 又PD ∩AD ＝D ，所以BD ⊥平面P AD ， 因为P A ⊂平面P AD ， 所以BD ⊥P A ．…………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝a ，则A （a ，0，0），B （0，3a ，0），C （－a ，3a ，0），P （0，0，a ）， →AB ＝（－a ，3a ，0），→BC ＝（－a ，0，0），→AP ＝（－a ，0，a ），→PC ＝（－a ，3a ，－a ）． 设平面P AB 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·→AB ＝0，n ·→AP ＝0。