高中数学5.3.4基本不等式1教案新人教版必修1
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.基本不等式1教案第一册
2.2基本不等式教材分析:“基本不等式" 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1。
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2。
掌握基本不等式2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。
教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程; 【教学难点】 12a b+≤等号成立条件； 22a b+≤求最大值、最小值。
教学过程 1。
课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地,∀a ,a ∈a ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a 〉0，b 〉0,我们用√a ，√a 分别代替上式中的a ，b ，可得√aa ≤a +a 2①当且仅当a =b 时，等号成立。
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）。
其中，a +a 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√aa 叫做正数a ，b 的几何平均数。
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考： 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥,(a>0,b>0)2a bab +≤2)2a bab +≤用分析法证明:要证 2a bab +≥（1） 只要证 a +b ≥（2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0(3） 要证(3）,只要证 ( — ）2≥0 （4）显然，（4）是成立的。
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2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(7)方程 的所有实数根；
(8)不等式 的所有解；
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
(六)承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
高中数学5个不等式教案
高中数学5个不等式教案
课题：高中数学不等式
目标：学生能够理解和解决各种不等式问题，掌握不等式的基本性质和解法方法。
一、引入：
通过一个简单的问题引入不等式的概念，让学生明白不等式的意义和作用。
二、基本性质：
1. 不等式的基本性质：大小关系、加减乘除，等不等式的性质。
2. 不等式的转化：加减法转化、乘除法转化等。
3. 不等式的表示：解集表示法、图示法等。
三、解不等式：
1. 一元一次不等式：解一元不等式常用的方法和技巧。
2. 一元二次不等式：解一元二次不等式的方法和步骤。
3. 复合不等式：解复合不等式的方法和技巧。
四、不等式的应用：
1. 不等式在几何中的应用：三角形不等式等。
2. 不等式在实际问题中的应用：最大最小值问题、优化问题等。
五、综合练习：
安排一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
六、总结：
对本节课所学的内容进行总结，强化学生对不等式知识的理解和掌握。
七、作业：
布置适量的作业，巩固所学内容。
以上是一份高中数学不等式教案范本，教师可根据实际情况和教学需要进行具体调整和安排。
高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
人教版高中必修53.4基本不等式教学设计
人教版高中必修5-3.4 基本不等式教学设计一、教学目标1.理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法。
2.领会基本不等式的应用，能够解决与基本不等式相关的实际问题。
二、教学重难点1.基本不等式的概念、性质和证明方法。
2.基本不等式的应用，特别是在解决实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）•出示几组不等式，让学生讨论它们的大小关系，并引出不等式的概念。
•引导讨论：如何比较两个式子的大小？如何证明一个不等式？2. 概念解释（10分钟）•讲解基本不等式的含义和特征，例如：等式左边是次数相同的若干个正数的积，等式右边是它们的算术平均数。
•比较若干个不等式，引导学生进一步理解基本不等式。
3. 性质讲解（10分钟）•讲解基本不等式的性质，如：等号成立的条件是什么？如何把一个不等式化成另一个等价的不等式？•强调基本不等式在数学证明中的重要性，并且说明它在实际问题中的作用。
4. 证明方法（20分钟）•讲解基本不等式的证明方法，包括：归纳法证明、换元法证明、逆证法证明等。
•强调证明方法的逻辑性和连续性，让学生理解证明过程中的思路和方法。
5. 应用实例（25分钟）•提供几组实际问题，让学生运用基本不等式解决问题。
•让学生在小组内讨论，并结合具体案例，演示基本不等式的应用过程。
6. 思考拓展（5分钟）•提出思考题：你能否思考出基本不等式的一些扩展形式？它们有什么应用场景？•让学生结合实际情况，思考基本不等式的推广和拓展，激发学生的创造性思维。
4. 总结反思（5分钟）•点评学生的表现，并对基本不等式的学习做一个简要总结，强调它在数学学习和实际生活中的重要性。
四、教学评价•采取小组讨论和集体评价方法，对学生进行综合评价。
•对学生在基本不等式的理解、应用和创造性思维等方面进行评价，以期提高学生数学思维和实际问题解决能力。
五、教学反馈•教师根据学生的反馈情况，及时调整教学方法和教学策略，以达到更好的教学效果。
人教A版新课标高中数学必修一教案 《基本不等式》
《2.2基本不等式2a b +≤》 教材分析：“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+的证明过程； 【教学难点】 1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考: 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤ 用分析法证明：要证2a b+≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3）要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x = 1x，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x（x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x=y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值2√P ； （2）如果和x +y 等于定值S ，那么当x =y 时，积xy 有最大值14S 2.证明：因为x ，y 都是正数，所以x+y 2≥√xy .（1）当积xy 等于定值P 时，x+y 2≥√P ，所以x +y ≥2√P ，当且仅当x =y 时，上式等号成立.于是，当x =y 时，和x +y 有最小值2√P . （2）当和x +y 等于定值S 时，√xy ≤S2,所以xy ≤14S 2，当且仅当x =y 时，上式等号成立.于是，当x =y 时，积xy 有最大值14S 2.例3 （1）用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy m2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm ，ym ，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×48003+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a2+b22，ab≤（a+b2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
【教案】(人教A版2019 必修第一册)：基本不等式 教案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式教学设计一、教学目标1.通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会用几种语言来进行解释，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的要求.2.能够运用基本不等式来求代数式的最值，达到数学抽象和逻辑推理水平一的层次.3.能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力，达到数学建模核心素养水平一的层次.二、教学重难点1.教学重点用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.2.教学难点用基本不等式求最大值和最小值.三、教学过程（一）探究一：基本不等式的推导教师：一个重要的不等式：22,2a b R a b ab ∀∈+≥，有，当且仅当a =b 时，等号成立.特别地，如果a >0，b >0a ，b ，可得2a b +≤， （1） 当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式，其中，2a b +叫做正数a ，b a ，b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.证明一：要证 ,2a b + ①只要证 .a b +（去分母） ②要证②，只要证 0.a b -≤（移项） ③要证③，只要证 20.-≤（配方） ④要证④，只要证 20.≥（平方，非负） ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当a =b 时，⑤中的等号成立.证明二：比较法0,0,0,0,22a ba ba b>>>>+∴-==≥+∴≥=的充要条件为a=b，因此，当且仅当a=b时，2a b+=探究二：基本不等式的应用例1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值21.4S证明：因为x，y都是正数，所以2x y+≥（1）当积xy等于定值P时，2x y+≥所以x y+≥当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值（2）当和x+y等于定值S,2S≤所以21,4xy S≤当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值21.4S例1的内容称为最值定理，即（1）当a+b=S时，2,24S Sab≥≤当且仅当a=b时等号成立.（2）当ab=G时，2a ba b+≥+≥当且仅当a=b时等号成立.例2设3,0a b b+=>,当a为何值时,1||3||aa b+取得最小值?答案：3,0,30a b b b a+=>∴=->,即3a<.当03a<<时,1||111273||9999939a ab a b aa b a b a b++=+=++≥+=+=,当且仅当3b a=,即39,44a b==时取等号.故当39,44a b==时,1||3||aa b+取得最小值79.当0a <时,1||111253||9999939a ab a b a a b a b a b ++=--=---≥-+=-+=, 当且仅当3b a =-,即39,22a b =-=时取等号, 故当39,22a b =-=时,1||3||a a b +取得最小值59. 综上,当32a =-时,1||3||a ab +取得最小值. 例3回答下列问题：（1）已知1x >，求121x x +-的最小值； （2）已知0x y >>，求24()x y x y +-的最小值. 答案：（1）因为1x >，所以10x ->，所以1122(1)22211x x x x +=-++≥=+-- 当且仅当12(1)(1)1x x x -=>-，即1x =时，等号成立， 故121x x +-的最小值为2+（2）因为0x y >>，所以0x y ->，所以22()0()24y x y x y x y +-⎡⎤<-≤=⎢⎥⎣⎦,所以2224168()x x y x y x +≥+≥-, 当且仅当22,16,0,y x y x x x y =-⎧⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩即2,1x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 故24()x y x y +-的最小值为8. 例4某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量10000不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-.若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式;（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？答案：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000500501450025002000y x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭. 2104002500,030,100002000,30.x x x y x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当030x <<时，210(20)1500y x =--+，∴当20x =时，max 1500y =；当30x ≥时，100002000200020002001800y x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 18001500>，∴年产量为10百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.（二）课堂练习1.已知正数a ,b 满足4a b +=,则1113a b +++的最小值为( ) A.1B.2C.4D.12答案：D解析：因为4a b +=，所以(1)(3)8a b +++=， 所以11111[(1)(3)]13813a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 1312813b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭128⎛≥+ ⎝ 11(22)82=⨯+=, 当且仅当13a b +=+且4a b +=，即3a =，1b =时，等号成立，所以1113a b +++的最小值为12.故选D. 2.已知0x >,0y >,228x y xy ++=,则2x y +的最小值是( )A.3B.4C.92D.112答案：B 解析：由题意得222(2)82x y xy x y +⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭,当且仅当2,228,x y x y xy =⎧⎨++=⎩即2,1x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，则2(2)4(2)320x y x y +++-≥,解得24x y +≥或28x y +≤-（舍去），故2x y +的最小值是4.故选B.3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件答案：B解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是8x 元，总的费用是800208x x +≥=元，当且仅当8008x x =，即80x =时取等号. .故选B. 4.某汽车制造厂生产某种汽车,第一年的汽车产量为A 辆,第二年的汽车产量增长率为x ,第三年的汽车产量增长率为y ,这两年的年平均增长率为z ,则下列不等式成立的是( ) A.2x y z += B.2x y z + C.2x y z +> D.2x y z + 答案：B解析：由题意得，2(1)(1)(1)A x y A z ++=+，所以22211(1)(1)(1)122x y x y z x y ++++⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11x y +=+，即x y =时等号成立.所以112x y z +++，即2x y z +.故选B. （三）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.基本不等式；3.基本不等式的推导；4.基本不等式的应用.作业：四、板书设计 2.2基本不等式1基本不等式.2基本不等式的推导.3基本不等式的应用.。
高中数学教案不等式
高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。
教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。
教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。
教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。
二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。
三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。
四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。
五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。
六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。
七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。
教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。
要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。
高中数学新人教A版必修5教案 3.4 基本不等式1
基本不等式高考要求掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
三维目标1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点教学难点及 解决措施重点：从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。
难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；教学流程一、 创设情景，提出问题；如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示， 让学生更直观的抽象、归纳出以下结论： 二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？ 【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
三、理解升华：1、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第二课时 基本不等式的应用学案
第二课时基本不等式的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，x＋y≥2xy＝210 000＝200，当且仅当x＝y＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.1.基本不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗『微判断』1.对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 为正实数.2.对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 为正实数.3.若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示 当且仅当x ＝1时才能取得最小值，但x >2. 『微训练』1.已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是________. 『解 析』 a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立. 『答 案』 2102.已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是________.『解 析』 由m 2＋n 2≥2mn ，∴mn ≤m 2＋n 22＝50.当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立.『答 案』 50 『微思考』1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知x，y为正数，且1x＋4y＝1，求x＋y的最小值.下面是某同学的解题过程：解：因为x>0，y>0，所以1＝1x＋4y≥2×2xy＝4xy，所以xy≥4.从而x＋y≥2xy≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.请分析上面解法是否正确，并说明理由.解这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y＝12，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.正解∵x>0，y>0，1x＋4y＝1，∴x＋y＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋4y＝1＋yx＋4xy＋4＝yx＋4xy＋5≥2·yx·4xy＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.题型一利用基本不等式求最值注意基本不等式成立的条件，且等号能否取得『例1』(1)已知x>2，求x＋4x－2的最小值；(2)已知2x＋2y＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.解(1)∵x>2，∴x－2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立. ∴x ＋4x －2的最小值为6. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·y x ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号，x ＋y 的最小值为8. 规律方法 利用基本不等式求最值的策略『训练1』 (1)若x <0，求12x ＋3x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以12x ＋3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以12x＋3x 的最大值为－12. (2)法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2（x －8）×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.法二 由2x ＋8y ＝xy 及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.题型二 利用基本不等式解决实际应用问题『例2』 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积y 关于x 的函数的『解 析』式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则y ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1).(2)8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出『答 案』.『训练2』 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×『6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1』＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x 『9x (x ＋1)＋900』＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 题型三 基本不等式的综合应用基本不等式应用的关键是获得定值的条件，解题时需灵活的选择方法 『探究1』 已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 『解 析』 法一 (1的代换)： 因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y＝1，② 解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x >0，y >0，所以y >9. 所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y >9，所以y －9>0， 所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4，所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1， 所以x >1，y >9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xyxy －9x －y ＋9－9＝0(x －1)(y －9)＝9(定值).所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 『答 案』 16『探究2』 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 『解 析』 正数x ，y 满足x ＋y ＝1， 即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14『(x ＋2)＋(y ＋1)』⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94. 『答 案』 94『探究3』 已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7『解 析』 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 『答 案』 B规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.『训练3』 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.2 2 B.3－2 2 C.3＋2 2D.3＋ 2(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( ) A.3＋2 2 B.3－2 2 C.6－4 2D.6＋4 2(3)求x (m －x )(0<x <m )的最大值.(1)『解 析』 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab ＝3＋2 2.当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.『答案』 C(2)『解析』1a＋1b＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c(a＋2b＋c)＝4＋2ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋2bc≥4＋22ba·ab＋2 ca·ac＋2 cb·2bc＝6＋42，当且仅当2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc时，等号成立，即a2＝c2＝2b2时，等号成立.『答案』 D(3)解∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.∴x(m－x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋m－x22＝m24.当且仅当x＝m－x时，即x＝m2时，x(m－x)(0<x<m)取最大值m24.一、素养落地1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.2.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x (p >0)的图象求得函数的最值.二、素养训练1.当x >0时，12x ＋4x 的最小值为( )A.4B.8C.8 3D.16『解 析』 ∵x >0，∴12x >0，4x >0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3.『答 案』 C2.已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( ) A.－12B.－1C.2D.0『解 析』 因为x >－2，∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时“＝”成立.『答 案』 D3.已知4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.『解 析』 4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a . 当且仅当4x ＝a x ，即4x 2＝a 时等号成立.由题意得a ＝4×32＝36.『答 案』 364.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值的大小关系为________.『解 析』 由题意得(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，所以1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， 所以x ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时等号成立.『答 案』 x ≤a ＋b 25.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，求x ＋2y 的最小值.解 ∵x >0，y >0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16y x ＝18， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，x ＋2y 的最小值为18.。
人教版高中数学《不等式》全套教案
ba 0
ab 0
∴
ba 0 ab
∴1<1 ab
当 a 0,b 0 时∵ | a | | b | 即 a b
ba 0
ab 0
∴b a 0 ab
∴ 1 >1 ab
5．若 a, b 0 求证： b 1 b a a
解： b 1 b a 0
a
a
∵a 0 ∴b a 0
∴a b
b a ba 0
∵a 0
∴b a
b 10
证：∵ (a c) (b c) a b 0 ∴ a c b c
从而可得移项法则： a b c a b ( b) c ( b) a c b
推论：如果 a b 且 c d ，那么 a c b d
（相加法则）
证： a b a c b c c d bc bd
ac bd
推论：如果 a b 且 c d ，那么 a c b d （相减法则）
aa
∴b 1 a
6．若 a b 0, c d 0 求证： log sin ac
log sin bd
证：∵ 0 sin 1
>1 ∴ log sin
0
又∵ a b 0, c d 0 ∴ a c b d
∴1
1
ac bd
∴原式成立
第三教时
教材： 算术平均数与几何平均数 目的： 要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及
2
ab （当且仅当 a b 时取“ =”）
证明：∵ ( a )2 ( b ) 2 2 ab
∴ a b 2 ab
即： a b ab 2
当且仅当 a b 时 a b ab 2
注意： 1．这个定理适用的范围： a R
基本不等式说课课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
1、通过观察赵爽弦图，从中发现、提出、概括重要的 不等关系，发展学生数学建模素养.
2、通过阅读教材，反思得到基本不等式的方法，从代数 结构、几何直观等角度分析、理解基本不等式.
3、初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学 运算、逻辑推理素养，培养发现问题、解决问题的意识与 能力.
三“相等”
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
课堂小结，提高升华
本节课，我们学习了哪些知识？掌握了哪些方 法？体会哪些思想？
赵爽弦图
重要不等式
由特殊到一般
换元法
基本不等式
转化与化归
分析法 探究法
代数解释 几何证明
数形结合
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
认知基础
学生已掌握不等式的基本性质，这有助于本节课对基本不 等式的探索。
能力分析
学生通过高中一段时间的学习初步具备了一定的分析问题、 解决问题的能力，同时对新知有强烈兴趣。
困难分析
学生对本节课需要用到的分析法感到陌生，推导过程中蕴 含的数学思想有待进一步培养。
学法 分析
教师地教是为了学生 更好得学。本节课引 导学生主动探究，独 立思考，层层递进， 充分调动学生的课堂 参与度，使他们感受 知识的形成过程。
教材分析
情境导入，发现问题
学情分析
教学目标
教学重难点 教学方法 教学过程
20家大会于2002年8月在北京举行，大会会标看上去像 一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。
人教A版高中数学必修五基本不等式教案新(1)
3.42a b+≤授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】2a b+≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b+≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b+≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
人教版基本不等式第一课时教案
人教版基本不等式第一课时教案教案标题：人教版基本不等式第一课时教案教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 掌握基本不等式的求解方法；3. 能够应用基本不等式解决实际问题。
教学准备：1. 教材：人教版数学教材（适用于相应年级）；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学PPT等；3. 学具：学生练习册、作业本。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入话题：通过提问和展示相关图片，激发学生对不等式的认识和兴趣。
例如：“你们知道什么是不等式吗？有哪些常见的不等式符号？不等式在我们日常生活中有什么应用呢？”2. 引导学生回顾和总结不等式的定义和符号。
Step 2：概念讲解1. 通过教材或PPT，向学生介绍基本不等式的概念和性质。
解释基本不等式的含义，以及不等式中的变量、系数和常数的含义。
2. 通过示例和图示，说明不等式中的“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号的意义及其在数轴上的表示。
Step 3：解题方法讲解1. 以教材中的例题为基础，讲解基本不等式的求解方法。
包括移项、合并同类项、乘除法的运用等。
2. 强调解不等式时需要注意符号方向的改变和取值范围的确定。
Step 4：练习与巩固1. 在黑板/白板上出示一些简单的基本不等式题目，引导学生积极参与讨论，解答问题。
2. 分发学生练习册或作业本，让学生进行个人或小组练习，巩固所学的基本不等式求解方法。
3. 随堂检测：布置一些简单的应用题，要求学生运用所学的基本不等式解决实际问题。
Step 5：拓展与应用1. 引导学生思考和讨论基本不等式在实际问题中的应用。
例如，通过一些生活场景，让学生发现并解决不等式问题，如购物打折、体重控制等。
2. 鼓励学生根据自己的兴趣和实际情况，设计一些有趣的不等式问题，并与同学分享。
Step 6：课堂总结1. 对本节课的重点内容进行总结，强调基本不等式的概念、性质和求解方法。
2. 鼓励学生提问和解答疑惑，确保学生对基本不等式的理解和掌握。
高中数学必修一《基本不等式》教学设计
高中数学必修一《基本不等式》教学设计教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
教学目标与素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值；4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重难点重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程．教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入：在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1. 重要不等式的内容是？2.基本不等式的内容及注意事项？3.常见的不等式推论？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.重要不等式2.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.注意：一正二定三等.3.几个重要的不等式(1)a2+b2≥______(a,b∈R).(2) ≥____(a,b同号).(3) (a,b∈R).(4) (a,b∈R).4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.四、典例分析、举一反三题型一利用基本不等式求最值例1 求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；（2）x>0,求 的最小值；（3）x<3，求 的最大值；【答案】见解析【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)∵x>0,等号成立的条件是 即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.解题技巧：（利用基本不等式求最值）(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.跟踪训练一（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值；（2）已知x< 求函数 的最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.【答案】见解析【解析】题型二利用基本不等式解决实际问题例2（ １ ） 用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m.(1)由已知由 ≥，可得所以,当且仅当=10时，上式等号成立.(2)由已知得，矩形菜园的面积为由 = = 9,可得81，当且仅当=9时，上式等号成立.解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。
【教案】 基本不等式(第1课时)教学设计高一上学期人教A版(2019)必修第一册
b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式；
c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；
d.直观想象：运用图像解释基本不等式；
e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；
教学重难点
1.教学重点：从不同角度探索不等式 的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；
三、学以致用
题型一、已知两个正数，积定求和直接利用基本不等式求最值
例1.求 ，在 时的最小值，并求取得最小值时x的值.
解： ，∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴函数 的最小值为
变式训练：若实数 ，求 的最小值，并求此时 的值；
解：因实数 ，则 ，当且仅当 时取“=”，
由 且 解得： ，
2.教学难点：基本不等式 等号成立条件；
课前准备
多媒体
教学
环节
时间
安排
教师活动
学生活动
设计
意图
批注
15min
33min
2分钟
一、 情景引入，温故知新
1.不等式的基本性质有哪些？
2.差的完全平方公式是什么？
3.重要不等式是什么？
4.你还能推出重要不等式是怎样有差的完全平方式得到的吗？
二、探索新知
探究一、基本不等式
故答案为：2
题型三、已知两个正数，和定求积直接利用基本不等式求最值
例3.若 ，求 的最大值，并求取得最大值时x的值；
【详解】
解：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立；
所以 时，函数 的最大值为12；
变式训练：已知 ， ， ，求 的最大值.
解：因为 ， ， ，
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课题: §3.4
2a b +≤
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
2a b +的证明过程；
【教学难点】
2
a b +≤
等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入
2
a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直
角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三
角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+
当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时
所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+
4．1）2
a b +≤
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥
(a>0,b>0)2
a b +≤
2）2a b +≤ 用分析法证明：
要证 2
a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。
3）2
a b +≤的几何意义
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
过点C 作垂直于AB 的
弦DE ，连接AD 、BD 。
2a b +≤
的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB
即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.
2a b +≤
几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2
b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称
2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1)y
x x y +≥2； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x ，y 都是正数 ∴y x ＞0，x
y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)x
y y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.
(2)x ＋y ≥2
xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·2
22y x ·233y x ＝８x 3y 3
即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 3.随堂练习
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：
ab b a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0
c ＋a ≥2ac ＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2
b a +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面
的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2
b a +）2.
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第1题【板书设计】。