高中数学A选修3选修31第七讲千古谜题──伽罗瓦的解答三、近世代数的产生试题

高中数学A 选修3选修31第七讲千古谜题──伽罗瓦的解答三、近世代数的产生 试题 2019.091,记地球的赤道的周长为()C km ，则地球北纬60的纬线圈的周长用C 表示等于______()km2,在右侧棋子堆放的示意图中，最上层（记为第一层）有一颗棋子，第二层有3颗，第三层有6颗，……，如果按图示的方式摆放，那么堆放满5层需要的棋子总数是_____颗3,已知椭圆221259x y +=与双曲线22197x y -=在第一象限内的交点为P ，则点P 到椭圆右焦点的距离等于______4,设a ，b 是两个不共线的向量，若2AB a kb =+，3CB a b =+，2CD a b =-，且A B D 、、 三点共线，则k =_______5,若函数()cos |sin |([0,2])f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是__________6,已知函数2()cos 2f x x x x =-+（1）求()f x 的单调增区间（2）在直角坐标系中画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象。

7,已知函数()1f x x =+，设1()()g x f x =，1()(())n n g x f g x -=(1,)n n N *>∈（1）求2()g x ，3()g x 的表达式，并猜想()n g x ()n N *∈的表达式（直接写出猜想结果）（2）若关于x 的函数21()()ni i y x g x n N *==+∈∑在区间(,1]-∞-上的最小值为6，求n 的值。

（符号“1ni =∑”表示求和，例如：1123ni i n==++++∑。

）8,如图，梯形ABCD 中，//CD AB ，12AD DC CB AB ===，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿DE 折起，使点A 折到点P 的位置，且二面角P DE C --的大小为120（1）求证：DE PC ⊥（2）求直线PD 与平面BCDE 所成角的大小 （3）求点D 到平面PBC 的距离9,已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+（1）求点M 的轨迹方程（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值，并求此时P 点的坐标 （3）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论。

10,已知曲线2:(0)C y x x =>，过C 上的点1(1,1)A 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点1B ，再过点1B 作y 轴的平行线交曲线C 于点2A ，再过点2A 作曲线C 的切线2l 交x 轴于点2B ，再过点2B 作y 轴的平行线交曲线C 于点3A ，……，依次作下去，记点nA 的横坐标为n a ()n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1n n a S ⋅≤（3）求证：11413n ni i ia S =-≤∑ 11,一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1．2,方差是4．4,则原来数据的平均数和方差分别是 A ．81．2,4．4 B ．78．8,4．4 C ．81．2,84．4 D ．78．8,75．612,下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是 A ．x 2B ．x 3C ．x 5D ．x 713,已知|p|=22,|q|=3,p 、q 的夹角为4π，如下图所示，若 =5p+2q,=p －3q ，且D 为BC 的中点，则AD 的长度为A ．215B ．215 C ．7 D ．814,函数f(x)=b(1－x212+)+ a sinx+3(a 、b 为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,则f(x)在 (－∞,0)上有A ．最大值10B ．最小值－5C ．最小值－4D ．最大值1315,如果5-x ≠kx 对一切x ≥15均成立,则有A ．k ≤0B ．k ≤0或k>2020 C ．k ≤0或k>1510D ．0≤k<202016,已知函数f(x)=sin πx 的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x －21);④y=f(－x+1)．其中与图(b)所对应的函数解析式为A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④17,2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a 元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a 的值约为(提供:1．0515≈2．08)A ．412B ．482C ．500D ．51218,已知F 1、F 2分别是双曲线22ax －22by =1的左、右焦点,P 为双曲线左支上任一点,若||||122PF PF 的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为A ．(1,3]B ．(0,3]C ．(1,2]D ．(1,+∞)19,设函数f(x)=(x －1)(x －2)(x －3)(x －4),则f ′(x)=0有 A ．分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根 B ．四个实根分别为x i =i(i=1,2,3,4)C ．分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根D ．分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根20,如下图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP 的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为试题答案1, 2C2, 353, 24, 8-5, 1k≤<6, 解：（1）123()22cos2sin(2) 222224cos xf x x x x xπ+=-+=--=-3222,242k x k k Zπππππ∴-+≤-≤+∈∴函数()y f x=的单调增区间为5[,],88k k k Zππππ++∈（2）图象（略）7, （1）1()()1g x f x x==+，21()(())(1)(1)12g x f g x f x x x∴==+=++=+ 32()(())(2)(2)13g x f g x f x x x==+=++=+，∴猜想()ng x x n=+（2）()ng x x n=+，121(1)()()()()2ni nin ng x g x g x g x nx=+∴=+++=+∑22221(1)2()()224niin n n n ny x g x x nx x=++∴=+=++=++∑（1）当12n-≥-，即2n≤时，函数222()24n n ny x+=++在区间(,1]-∞-上是减函数∴当1x=-时，2min262n ny-+==，即2100n n--=，该方程没有整数解（2）当12n-<-，即2n>时，2min264n ny+==，解得4n=，综上所述，4n=8, （1）连结AC 交DE 于F ，连结PF ，//CD AB ，BAC ACD ∴∠=∠，又AD CD =，DAC ACD ∴∠=∠，BAC DAC ∴∠=∠，即CA 平分BAD ∠，ADE ∆是正三角形， AC DE ∴⊥，即PF DE ⊥，CF DE ⊥，DE PCF ∴⊥面，DE PC ∴⊥（2）过P 作PO AC ⊥于O ，连结OD ，设AD DC CB a ===，则2AB a =，DE PCF ⊥面，DE PO ∴⊥，PO BCDE ∴⊥面，PDO ∴∠就是直线PD 与平面BCDE 所成的角。

PFC ∠是二面角P DE C --的平面角，60PFO ∴∠=，在Rt POD ∆中，3sin 4PO PDO PD ∠==，∴直线PD 与平面BCDE 所成角是3arcsin 4 （3）//DE BC ，DE 在平面PBC 外，//DE PBC ∴面，D ∴点到面PBC 的距离即为点F 到面PBC 的距离，过点F 作FG PC ⊥，垂足为G ，DE PCF ⊥面，BC PCF ∴⊥面PBC PCF ∴⊥面面，FG PBC ∴⊥面，FG ∴的长即为点F 到面PBC 的距离，菱形ADCE 中，AF FC =，2PF CF a∴==，120PFC ∠=，30FPC FCP ∴∠=∠=，12FG PF ∴==9, 解：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)O P x y =，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=222212,1,124x x x x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩（2）设向量OP与OM的夹角为α，则2222222(1)cos 31||||4x OP OMx OPOM x yα+⋅===+⋅+令231t x =+，则cos 3α==≥ 当且仅当2t =时，即P 点坐标为(±时，等号成立。

OP ∴与OM 夹角的最大值是arccos310, 解（1）曲线C 在点2(,)n n n A a a 处的切线n l 的斜率是2n a ，∴切线n l 的方程是22()n n n y a a x a -=-，由于点n B 的横坐标等于点1n A +的横坐标1n a +，所以，令0y =， 得112n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，112n n a -∴=（2）11122(1)1212n n n S -==--，114(1)22n n n n a S ∴=⨯-，令12n t =，则102t <≤ 214(1)4()12n n a S t t t ∴=-=--+ ∴当12t =，即1n =时，214()12t --+有最大值1，即1n n a S ≤（3）,k k S a k N *≥∈，2k k k a S a ∴≥，即211k k k a S a ≤，数列21{}k a 是首项为1，公比为4的等比数列211111441143n n nni i i i ia S a ==--∴≤==-∑∑11, A 12, D 13, A 14, C 15, C 16, A 17, B 18, A 19, A 20, C。