高中数学100个热点问题(三)：第67炼 圆锥曲线的性质
圆锥曲线高考考查的热点内容
圆锥曲线高考考查的热点内容有： （1）直线方程； 待定系数法（k 是否存在？）、点差法（中点弦）（2）圆锥曲线的标准方程；（3）圆锥曲线的几何性质；定义、离心率、焦点三角形★（4）直线与圆锥曲线的位置关系；利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.★（5）求曲线（轨迹）方程。
常见的求轨迹方程的方法：① 单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）＋ 待定系数法（定义法）； 选修1-1 P39 例3 ② 双动点的轨迹问题——代入法； 选修1-1 P39 例2 ③ 多动点的轨迹问题—— 参数法 ＋ 交轨法。
选修4-4 P35 例3圆锥曲线在高考中的综合应用⑴圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
（坐标法）⑵圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。
（导数的几何意义：k 切线=f ’(x 0)）作业：已知圆C 方程为：224x y +=. （Ⅰ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =，求直线l 的方程;（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量O Q O M O N =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（Ⅰ）①当直线l 斜率不存在时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意。
②若直线l 斜率存在时，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx ， 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d-=，解得1=d∴ 1=解得34k =故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()0,y x （00≠x ），Q 点坐标为()y x ,，则N 点坐标是()0,0y∵O Q O M O N=+， ∴()()0,,2x y x y =即xx=0，20y y =又∵42020=+y x ，∴224(0)4+=≠yxx∴Q 点的轨迹方程是221(0)416+=≠x y x ，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去长轴端点。
高中圆锥曲线性质总结全面经典
高中圆锥曲线性质总结全面经典
一、椭圆的性质
* 椭圆是固定点到平面上所有点的距离之和等于常数的轨迹。
* 椭圆具有两个焦点和长轴、短轴。
焦距定理：椭圆上任意一
点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
* 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。
二、双曲线的性质
* 双曲线是固定点到平面上所有点的距离之差等于常数的轨迹。
* 双曲线具有两个焦点和两个虚焦点。
焦距定理：双曲线上任
意一点到两个焦点的距离之差等于常数的绝对值。
* 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁。
三、抛物线的性质
* 抛物线是固定点到平面上所有点的距离等于常数的轨迹。
* 抛物线具有一个焦点和一个直线称为准线。
焦点到准线的距
离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
* 抛物线的离心率等于1，且离心率为1的抛物线为特殊情况。
四、圆形的性质
* 圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。
* 圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离。
* 圆上的弧度是由半径对应的圆心角所确定，弧度等于圆心角
的度数除以360度再乘以2π。
以上是高中圆锥曲线的性质总结。
希望对你有帮助！。
圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结
圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是数学中非常重要的一部分，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的几何性质，通过一些例题来理解这些性质会更加直观和深入。
一、椭圆的几何性质1、定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之和等于常数（大于\（｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做椭圆。
2、标准方程焦点在\（x\）轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴，＼（b\）为短半轴，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在\（y\）轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2}＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、几何性质（1）范围：对于焦点在\（x\）轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leqa\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在\（y\）轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在\（x\）轴上的椭圆，顶点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在\（y\）轴上的椭圆，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近\（0\），椭圆越圆；＼（e\）越接近\（1\），椭圆越扁。
例题：已知椭圆方程为\（＼frac{x^2}｛16} ＋＼frac{y^2}｛9} ＝1\），求其长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
解：因为\（a^2 ＝ 16\），所以\（a ＝ 4\）；＼（b^2 ＝ 9\），所以\（b ＝ 3\）；＼（c^2 ＝ a^2 b^2 ＝ 16 9 ＝ 7\），所以\（c ＝＼sqrt{7}＼）。
专题22圆锥曲线性质-解析版
专题22圆锥曲线性质关于圆锥曲线性质的解答题是高考数学命题中的必选项,解答题中有轨迹问题、参数范围问题、最值问题、存在性问题、面积问题,以及这些问题的综合体，由于问题的复杂性,因而容易产生痛点，卡壳点也最多,因此必须寻找排除痛点的有效途径.动点轨迹问题是圆锥曲线中最常见的问题,简单的可利用待定系数法解决,只给出几何条件的可用“建设限代化法”(即“建”立坐标系,“设”点坐标,列动点“限”制条件,“代”人基本公式化为方程,“化”简并验证)解决,另外还有交轨法、参数法等.把几何条件代数化的过程中思维受阻,就会产生痛点.圆锥曲线性质研究的特征是“算”,一般而言,对于解答题易采取“繁算”,而对于选择题或填空题易采取“简算”或“估算”.简算的途径有:设而不求,合理引参;回归定义,借助平几;逆向思考,逐次更替;涉及中点,点差为宜;面积最值,巧设变元;整体化简,瞄准主元.面对圆锥曲线问题,既要有繁算的运算能力,又要有探究简算途径的能力.圆锥曲线的性质有很多,对于轨迹问题、参数范围问题、最值问题、存在性问题、面积问题等,解决的基本方法也很多,只有掌握诸如待定系数法、定义法、相关点法、点差法等才能解决问题,而上述问题求解中学生普遍暴露出对这些方法的运用缺少自觉性.一、平面几何助力定值与定圆圆锥曲线问题中形成的定值定点问题比较多,偶尔也会有定圆之类的题,既然是“定”,就是不变量,在变动的条件下形成不变的东西,找到即可,如果找不到,痛点就会产生.问题1:如图1,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点()001,,P x y F ,2F 是椭圆的两个焦点,过12,F F 作椭圆在P 点处切线的垂线,垂足分别为,M N . (I)求证:点,M N 在定圆上; (II)求证:12MF NF ⋅为定值.图1【解析】卡壳点:不会挖掘给定条件中的几何性质. 应对策略:在寻找定值、定圆的过程中挖搔几何性质.问题解答:(I)设点2F 关于切线的对称点为点'2F ,连接'12,F F ON ,如图2.图2图3可知'122F F a =,进而ON a =.同理OM a =.因此点,M N 在定圆222x y a +=上.(II)如图3,延长1MF ,交圆222x y a +=于点Q . 设椭圆的长轴端点分别为,A B ,根据相交弦定理,可得2121111MF NF MF F Q AF F B b ⋅=⋅=⋅=.【反思】(1)定点是相对于某一曲线或直线而言的,定点问题往往转化为代数的恒成立问题,或直线族经过某一定点的问题.(2)解析几何中证明共线(即动点在定直线上)的解析方法,落实在定直线的方程上,即找到动点所在的定直线方程.此例的最大特点是消元,观察代数式结构,运算智慧是关键.二、搭建参数函数寻找参数范围在圆锥曲线中常常以求参数范围为目标,参数可以是方程中的某一个要素,也可以是直线的斜率、截距、动点的坐标等,一般解决方法是构建参数函数,自变量可能很容易选择,也可能隐藏在题意之中;如果无法建立参数函数,或者找不到参数函数的定义域或值域,必然导致思维受阻,产生痛点.问题2:已知抛物线2:2(0)W y px p =>上一点(),2C t 到焦点F 的距离为2. (I)求t 的值与抛物线W 的方程;(II)抛物线上第一象限内的动点A 在点C 右侧,抛物线上第四象限内的动点B 满足OA BF ⊥,求直线AB 斜率的范围.【解析】卡壳点:构建斜率函数后,求解困难.应对策略:直线AB 的斜率函数为二元函数,在消元和寻找自变量的变化范围时显示智慧.问题解答:()I 点(),2C t 到焦点F 的距离为2,即点(),2C t 到准线的距离为2,即22pt +=. 又24pt =,解得2,1p t ==.所以抛物线W 的方程为24y x =.（II)设22,,,44a b A a B b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中2,0a b ><,由1OA FB k k ⋅=-得2164ba b =-. 由于2,0a b ><,则221640,24bb b --,解得4252b --<<-. 当a b =-,即25b =-时,直线的斜率不存在.当a b ≠-时,()2223244441620444ABb b a k b b a a b b b b b --====+-+--. 令()()234420b f x b b -=-,则()()24238084020b bf x b b '---=⋅<-.所以()f x 在区间(425,25---和()25,2--上分别单调递减.故()150,AB k ∞∞⎛-∈-⋃+ ⎝⎭. 【反思】(1)将斜率表示为某一动点(如点B )的坐标函数,利用点B 位置的特殊性,即在第四象限,从而有限制条件0b <.(2)为求关于斜率的函数的值域,借助导数工具研究复杂斜率函数的性质,找到它的变化范围.三、建立几何量函数探求最值圆锥曲线中的最值问题可能是某一参数的最值,也可能是某一图形面积的最值,寻找相关量的函数才能找到问题的解,但是在建立函数的过程中,由于代数结构复杂容易产生痛点. 问题3:设点()()3,0,3,0A B-,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为23-.(I)求动点M 的轨迹C 的方程;(II)直线l 过点()1,0F 且绕点F 旋转,l 与圆22:5O x y +=相交于,P Q 两点,l 与轨迹C 相交于,R S 两点,若19PQ ⎡⎤∈⎣⎦,求F RS '面积的最大值和最小值(点F '为轨迹C 的左焦点).【解析】卡壳点:利用基本不等式求最值时,不会整体换元,不能显化并简化代数式结构.应对策略:整体换元,目标简化. 问题解答:(I)设(),M x y ,则(23333MA MB k k x x x ⋅==-≠+-,整理得22132x y +=. 故轨迹C 的方程为(221332x y x +=≠. (II)设直线l 的方程为1x my =+,则点O 到l 的距离21d m=+.所以215191PQ m⎡=-⎣+,从而可得203m . 将1x my =+代人轨迹C 的方程并整理得()2223440m y my ++-=. 设()()1122,,,R x y S x y ,则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++，. 所以()()22121212222161642323m y y y y y y m m-=+-=+++,所以()()212223114223F RSm Sy y FF m'+=-='⋅+.设[]211,4m t +=∈,则()14f t t t =+在[]1,4上单调递增,所以()655,4f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以2343(21)144F RStSt t t '==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭所以min max 8343S S ==. 【反思】(1)在建立面积函数的过程中,用到了解析几何中三角形的面积公式,将直线与椭圆方程联立消元得到二次方程,利用韦达定理,代人面积公式后可得面积函数.(2)分析复杂的面积函数结构,选择换元置换呈现对勾函数结构. (3)分析变元的变化范围,找到面积函数的最大值与最小值.四、细儿数字运算与解方程组问题4:已知椭圆22:198x y C +=及圆22:20M x x y m +++=,过椭圆的左顶点A 且与圆M 相切于点B 的直线交椭圆C 于点P ,点P 与椭圆C 的右焦点F 的连线交椭圆于点Q .(I)当PQ 为椭圆的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)时,求圆M 的面积; (II)当,,B M Q 三点共线时,求实数m 的值. 【解析】卡壳点:运算时障碍点较多,运算力不够.应对策略:在直线与椭圆方程联立过程中,复杂方程化简意识要到位.问题解答:(I)由题意知,283b PF a ==,所以点P 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭. 直线AP 的方程为()82133y x -=-,即2360x y -+=.圆心()1,0-到此直线的距离为圆的半径r ,则261313r -+==,所以圆的面积为1613π. (II)设PA 的方程为()3,y k x QB =+的方程为()11y x k=-+,点P 的坐标为()11,x y . 联立直线PA 与椭圆方程,可得()2222985481720k x k x k +++-=.于是可得21122242748,9898k k x y k k -==++. 故点P 坐标为222242748,9898k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又点F 的坐标为()1,0,联立QB 与PF 的方程()()211,4801.1636y x kk y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⎪-⎩解得点Q 的坐标为2222143434k k k ⎛⎫-- ++⎝. 由点Q 在椭圆C 上得222222142489723434k k k k ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 整理得()()223115160k k -+=,于是221334k r ==-.进而可得圆M 的半径为1.由21r m =-知,实数m 的值为0.【反思】(1)(I)中遇到的障碍点是如何求圆的半径.思路是先求出点P 的坐标81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,然后建立直线PA 的方程()82133y x -=-.在用点到直线的距离公式求半径时,遇到了麻烦,因为不对方程化简就开始计算()2281133213r --+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,结果运算很繁,导致算不对.(2)(II)中解方程组遇到困难,由“()2222985481720k x k x k +++-=”求1x 时,计算出错,很多学生运用求根公式得()()()()22222154544898172289k k k k x k-+-+-=+数字较大,应该寻找公约数(比如2)化简,可得()()()2222212727898172k k k kx -+-+-=进行代数式运算时,应该及时发现可合并的同类项(比如()2227k 与222981,729kk k -⨯⨯与)2818k -⨯.事实上,如果注意到方程()2222985481720k x k x k +++-=的两个解正是点,A P 的横坐标,由韦达定理就可以得到较简单的解212242798k x k -=+,从而得到124898ky k =+. (3)为了探求点Q 的坐标,大多数学生仍然联立椭圆与直线BQ 的方程求解,而没有注意到联立直线BQ 与PF 的方程会更简单,由()()211,4801,1636y x kk y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⎪-⎩可以化简为()()211,121,49y x kk y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩然后解此二元一次方程组时也会遇到障碍.()()21211149k x x k k-=-+-本应该化为整式()()()22121941k x k x -=-+,然后解一元一次方程()2234214k x k +=-得2221434Q k x k -=+,但许多学生的思路是221211214949kk x k k k k ⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭,然后计算221214912149Q k k k x k k k--=+-,甚至有的学生还达不到这一点.(4)求解222222142489723434k k k k ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭时,大多数学生的运算心理已经崩溃了,因为学生数字运算时是收玫思维,数字很大,看不出来规律,结果运算过程很繁杂.如果按照下面的过程可能会简单一点:()()2222282149(24)7234k k k -+=+,此时可能还看不出公约数8,进一步得()()24222224282182149247238316k k k k k -⨯++⨯=+⨯+, 约去公约数8,得()24222224221821498938316k k k k k -⨯++⨯=+⨯+, 合并同类项得()()2242221921824949160k k -+-⨯-⨯+-⨯=, 把明显的公约数8约去得()42153********k k ⨯+--⨯+-⨯=,即4215348160k k ⨯--=，由十字相乘法可得()()223115160k k -+=.五、建立动圆方程寻找定点坐标数学解题过程实际就是一个不断选择“思维道路”的过程,“思维道路”的基础是学生拥有的知识与能力,以及选择意识.事实上,大多数人拥有解题所需的数学知识与能力,缺少的是“选择意识”.解题时要运用下列策略. (1)审题时,要充分挖掘题设条件,搞清楚要解决什么问题.(2)运算时,每一步都要准确,否则影响后续计算.要做到数字运算时,计算不出错;字母运算时,推理无障碍.(3)推理时,等价转化有理有据,面对代数式等,处处判断结构、步步判断结构、等价转化结构,把结构中的信息挖掘出来并运用好.问题5:已知抛物线2:2C xpy =-经过点()2,1-.(I)求抛物线C 的方程及其准线方程;（II)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l ,交抛物线C 于两点,M N ,直线1y =-分别交直线,OM ON 于点,A B ,求证:以AB 为直径的圆经过y轴上的两个定点.【解析】卡壳点:不会确定圆的方程.应对策略:定点如何产生似乎跟圆有关,于是把建立圆的方程作为目标. 问题解答:(I)将点()2,1-代人抛物线方程()2221p =⨯-,可得2p =.故抛物线方程为24xy =-,其准线方程为1y =.(II)很明显直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设直线方程为1y kx =-,与抛物线方程24x y =-联立可得2440x kx +-=.故12124,4x x k x x +=-=-,则12,44OMON x x k k =-=-. 直线OM 的方程为14x y x =-,与1y =-联立可得14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 同理可得24,1B x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭,半径为1222x x -,且()1212122222x x k x x x x ++==,()2121221212422221x x x x k x x x x +--==+故圆的方程为()222(2)(1)41x k y k -++=+,令1x =,整理可得2230yy +-=,解得123,1y y =-=.故以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()0,3-和()0,1.【反思】此题的第(II)问要证明圆系恒过两定点,其关键点在于建立圆系方程,明显的信号是直线的斜率是变化的,因此目标紧紧围绕圆心坐标、半径与斜率之间的数量关系,这是正确的道路,否则就会乱碰,找不到路.六、强化运算技甫与挖掘意识圆锥曲线问题求解离不开运算技术与挖掘意识,两者缺一不可,否则出错是不可避免的.问题6:已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是【解析】卡壳点:不会挖掘题中几何图形的几何性质与焦半径性质. 应对策略:挖掘平面几何性质,运用焦半径性质.问题解答:解法1设()00,P x y ,则2202422x y -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又2200195x y +=,联立220002200412,5945,x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得200436630x x --=. 整理得()()00221230x x -+=,解得032x =-,另一根不合题意,所以0152y =.故直线PF 15解法2取PF 的中点M ,连接OM ,如图4.由题意可知2OF OM c ===,由中位线定理可得124PF OM==.设(),P x y ,可得22(2)16x y -+=.图4与方程22195x y +=联立可解得321,22x x =-=(舍去). 已知点P 在椭圆上且在x 轴的上方,求得3152P ⎛- ⎝⎭,所以1521512PFk ==解法3如图4,由题意可知2OF OM c ===,由中位线定理可得124PF OM==,即34,2P P a ex x -==-,求得315,22P ⎛- ⎝⎭,所以1521512PF k ==【反思】变式如图5,已知双曲线22145x y -=的左焦点为F ,点P 在双曲线上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是解析取PF 的中点M ,连接OM ,由题意可知3OF OM c ===. 由中位线定理可得126PF OM==.图5图6如图6,若点P 在双曲线的左支上,则86,3P P a ex x -==-.求得835,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以3533513PF k ==若点P 在双曲线的右支上,则166,3P P a ex x -+==, 求得16511,33P ⎛ ⎝⎭,所以()51111316533PFk ==--.案例1:解法1中,将2205945x y +=代人方程前,移项出错,得出22005459x y -=,结果失误!案例2:已经得到方程()()00221230x x -+=,进而得0212x =,或032x =-,对于增根缺少判断意识,结果按0212x =算不出来,失败! 案例3:不知道椭圆焦半径知识,给出焦半径公式1P r a ex =-后,还不会用,结果求不出来.七、新几何量先求右证苒判断解圆锥曲线题没有逻辑推理是不可想象的,可把逻辑推理比喻成圆锥曲线的“命根子”.复杂圆锥曲线问题的逻辑推理与运算推理过程是“漫长”的,很多学生两三步就想获得成功的意识很强,这是不可能的.只有逻辑推理能力,无运算能力也是不可想象的,运算能力是基本功,而且是“童子功”,缺少这方面的功底也无法解决问题.为突破圆锥曲线性质问题,重在方程与不等式的求解能力,它是一种综合能力,与记忆力、理解力、数学思维能力紧密相连,相互渗透,相互支撑.在数学教学中,教师应在设计问题、组织内容上下功夫,让学生亲身经历知识的形成过程,把死的知识讲活,遵循学生的认知规律,深化学生对方程与不等式知识的认识和理解,培养学生解决方程与不等式问题的能力. 问题7:已知抛物线方程24,yx F =为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF与抛物线的交点,定义:()PF d P FQ=.(I)当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时,求()d P ;(II)证明:存在常数a ,使得()2d P PF a =+;(III)123,,P P P 为抛物线准线上的三点,且1223PP P P =,判断()()13d P d P +与()22d P 的大小关系.【解析】卡壳点:对即时定义的转化意识不到位.应对策略:问题中新的几何量本质上是两个几何线段的长度比,先求,后证,再判断.问题解答:(I)抛物线方程24y x =的焦点为()1,0F ,已知81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则84323PFk ==. 故直线PF 的方程为()413y x =-,代人抛物线的方程,解得14Q x =. 又抛物线的准线方程为1x =-,可得26410152,19344PF QF =+==+=, 故()83PFd P QF ==. (II)当()1,0P -时,()22222a d P PF =-=⨯-=. 设()1,,0,P P P y y PF ->的方程为1x my =+,则2P my =-. 联立1x my =+和24y x =,可得2440y my --=.于是2241616221Q m m y m m ++==++()()222221122122221P P Q y m m m d P PF m y y m m m++--=⋅-==-+++2212m +=. 故存在常数a ,使得()2d P PF a =+. (III)设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---,则()()()132232242d P d P d P P F PF P F ⎡⎤+-=+-⎣⎦()222132222131322213134424442424416.y y y y y y y y y y y =++++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=++++因为(())222222221313131313134416244282444y yy y y y y y y y y y ⎡⎤++-++=++-=++-⎣⎦,又因为()()()()()22222213131313134444840y y y y y y y y y y ++-+=+-=->,所以()()()1322d P d P d P +>.【反思】此题不仅涉及大量数字运算和解方程运算,而且还有大量的根式代数运算,检测考生的运算基本功,运算中的智慧点就是代数式结构的分析与简化.八、强化练习1 若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线存在“K ”点,下列曲线中存在“K ”点的是A.2211615x y += B.2212524x y +=C.22115y x -=D.221x y -=【解析】要理解定义中“K ”点的意义,并由点P 到两个焦点的距离之比为2:1进行代数转化.思路一:到两个定点的距离之比为2:1的点的轨迹为圆,因此原问题转化为椭圆(双曲线)与两个圆是否存在公共点的问题.事实上,圆的方程并不简单,暂时不考虑此思路.思路二:考虑椭圆或双曲线上点到两个焦点的距离之比的取值范围,为方便起见,考虑用较大的比较小的.对于椭圆来说,这个比值的最小值是1,因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值,所以这个比值的最大值只需要考虑椭圆上一点到焦点的最大距离,显然为a +c .于是比值的范围为[1,a+ca−c ].对于双曲线来说,双曲线上的点到较近焦点的距离为m ,所以这个比值为2a+m m=1+2am.因为m ∈[c −a,+∞),于是比值的范围为(1,a+cc−a ],各个选项在这个比值上的取值范围分别为[1,53],[1,32],(1,53],√2+1√2−1],所以选择D.思路三:由点P 到两个焦点的距离之比为2:1计算出点P 对应的焦半径,再根据焦半径的范围去估计椭圆或双曲线的离心率.对于椭圆,由点P 到两个焦点的距离之比为2:1知焦半径分别为4a 3与2a3,而焦半径的取值范围为[a −c,a +c],所以有2a 3⩾a −c ,解得e ⩾13.类似地,考虑双曲线,可得e ⩽3,而各选项的离心率分别为14,15,4,√2,所以选择D . 【反思】(1)满足某种条件的点P 是否存在反映了椭圆或双曲线的某种性质,去直接探索这种性质说明了什么,而不是直接对选项进行分别计算,是解决这类问题的关键.(2)探索性质可能有多个不同的方案,结合问题本身选择合适的方案,也能有效地减少计算量,看清问题本质.圆雉曲线中的存在性问题,突出的是某一个特征的存在,或某一直线和曲线的存在,找到或否定它的存在(或不存在)就可以了,但是,找的过程中会遇到困难或障碍,找不到或否定不了,就会产生痛点.2 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =,过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线C 交于,A B 两点.若90AMB ∠=,则ABM 的面积为【解析】A (y 124,y 1),B (y 224,y 2),由{y =k(x −1),y 2=4x 消去x 得k 4y 2−y −k =0. 由韦达定理知y 1+y 2=4k ,y 1y 2=−4. 由题意知y 1−1y 124+1⋅y 2−1y 224+1=−1,即−(y 1−1)(y 2−1)=(y 124+1)(y 224+1)即−[y 1y 2−(y 1+y 2)+1]=y 12y 2216+(y 1+y 2)2−2y 1y 24+1,代人数据得3+4k =4k 2+4,即(2k −1)2=0,解得k =2.AB =√1+(1k )2|y 1−y 2|=√52√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=5,故点M 到直线y =2(x −1)的距离为√5,△ABM 的面积为5√52. 【反思】抛物线上点的坐标设定是一个智慧点,选择变量很重要.3 已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ,过点A 作两条弦,AM AN ,分别交椭圆于,M N 两点,直线AM ,AN 的斜率分别记为12,k k ,满足122k k =-,则直线MN 经过的定点为【解析】由{x 216+y 24=1,y =k 1(x +4)解得x M =4−16k 121+4k 12. 同理x N =4−16k 221+4k 22=4k 12−64k 12+16. 从而y M =8k 11+4k 12,y N =−16k116+k 12,故M (4−16k 121+4k 12,8k 11+4k 12),N (4k 12−64k 12+16,−16k116+k 12). 可得直线MN:y −8k 11+4k 12=−9k14(k 12−2)(x −4−16k 121+4k 12), 其中MN 的斜率推导过程如下:−16k 116+k 12−8k 11+4k 124k 12−6416+k 12−4−16k 121+4k 12=8k 1[−2(1+4k 12)−16−k 12](1+4k 12)(4k 12−64)−(k 12+16)(4−16k 12)=−72k 1(k 12+2)32k 14−128=−9k 14(k 12−2). 以下是直线MN 方程的化简过程:y −8k 11+4k 12=−9k 14(k 12−2)(x −4−16k 121+4k 12)y =−9k 14(k 12−2)x +8k 11+4k 12−4−16k 121+4k 12⋅−9k 14(k 12−2)=−9k 14(k 12−2)x +k 1(32k 12−64+36−144k 12)4(k 12−2)(1+4k 12)=−9k 14(k 12−2)x +−k 1(112k 12+28)4(k 12−2)(1+4k 12)=−9k 14(k 12−2)(x +289) 恒过定点(−289,0). 【反思】寻找直线恒过的定点时,利用直线点斜式方程中斜率的任意性来求解是一个智慧点.4 已知抛物线21y x =+,定点()3,1,A B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有:1:2BP PA =,当点B 在抛物线上变动时,点P 的轨迹方程是,这个轨迹为曲线.【解析】设P(x,y),B (x 1,y 1),由题设得点P 分线段AB 的比λ=APPB =2, 所以x =3+2x 11+2,y =1+2y 11+2, 解得x 1=32x −32,y 1=32y −12.又点B 在抛物线y 2=x +1上,其坐标适合抛物线方程,所以(32y −12)2=(32x −32)+1. 整理得点P 的轨迹方程为(y −13)2=23(x −13). 其轨迹为抛物线.【反思】求动点轨迹方程方法很多,此处用相关点法,线段定比分点公式发挥作用.5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1M,且椭圆的左焦点为()12,0F -.(I)求椭圆C 的方程;(II)若过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点,A B ,在线段AB 上取点Q ,满足AP QB AQ PB =,证明:点Q 总在某定直线上.【解析】(I)由题意得{c 2=2,2a 2+1b 2=1,解得a 2=4,b 2=2.c 2=a 2−b 2,所求椭圆方程为x 24+y 22=1.(II)设点Q,A,B 的坐标分别为(x,y),(x 1,y 1),(x 2,y 2).由题设知|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |,|QB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |均不为零. 记λ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则λ>0且λ≠1.又A,P,B,Q 四点共线,从而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQB⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是4=x 1−λx 21−λ,1=y 1−λy 21−λx =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ 从而x 12−λ2x 221−λ2=4x ①y 12−λ2y 221−λ2=y ②又点A,B 在椭圆C 上,即x 12+2y 12=4③ x 22+2y 22=4④由①+②×2并结合③,④得4x +2y =4. 故点Q(x,y)总在定直线2x +y −2=0上.【反思】求出点Q(x,y)的轨迹方程为直线方程即可,运算是关键,多变量参与其中,消去参数,方法越简单越好.6.设椭圆中心在坐标原点,()()2,0,0,1A B是它的两个顶点,直线(0)y kx k=>与AB相交于点D,与椭圆相交于,E F两点,则四边形AEBF面积的最大值是【解析】四边形AEBF的面积随着动点E,F而变,而E,F的两点变化受制于直线的斜率,依题设得椭圆的方程为x 24+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y= 2,y=kx(k>0)第6题答图如答图所示,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=−x1=√1+4k2①根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为ℎ1=11√5=√1+4k2)√5(1+4k2),ℎ2=22√5=√1+4k2)√5(1+4k2).又|AB|=√22+1=√5,所以四边形AEBF的面积S=12|AB|(ℎ1+ℎ2)=1 2×√5×√5(1+4k2)=√1+4k2=2√1+4k2+4k1+4k2⩽2√2,当2k=1,即k=12时,上式取等号.所以S 的最大值为2√2.【反思】(1)四边形AEBF 分解为两个共底边AB 的动三角形,四边形AEBF 的面积随着动点E,F 而变,而E,F 两点的变化受制于直线的斜率,于是找到面积函数的自变量k ,建立面积函数寻找关键点.(2)为了建立面积函数,只需要找到两个三角形的高,即点E,F 到AB 的距离.(3)对于复杂的面积函数,要分析其代数结构,从而确定利用什么方法找到函数的最大值.7.已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆22:1C x y +=,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>,则动点M 的轨迹方程是,它表示曲线.【解析】设M(x,y),直线MN 切圆C 于点N ,则有|MN||MQ|=λ,即√|MO|2−|ON|2|MQ|=√x 2+y 2−1√(x −2)2+y2=λ. 整理得(λ2−1)x 2+(λ2−1)y 2−4λ2x +(1+4λ2)=0,这就是动点M 的轨迹方程.若λ=1,则方程化为x =54,它表示过点(54,0)并与x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,则方程化为(x −2λ2λ2−1)2+y 2=1+3λ2(λ2−1)2,它表示以(2λ2λ2−1,0)为圆心,√1+3λ2|λ2−1|为半径的圆.【反思】(1)按“建设限代化法”求动点轨迹方程的一般步聚操作,其过程是建系设点(题中已给定),列出几何等式,进行坐标代换,化简整理.此方法主要用于动点具有的几何条件比较明显的情形.(2)用相关点法,即代入法求解.若动点M(x,y)依赖已知曲线上的动点N 而运动,则可将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M 的轨迹方程.此方法一般用于有两个或两个以上动点的情况.(3)求动点轨迹的方法除了上述两种外,还有点差法、待定系数法、定义法、参数方程法等.将动点满足的条件“动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)”进行代数转化是关键.8.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦,若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦称为曲线的垂轴弦.已知点()()00,,,P x y M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点,MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦,直线,MP NP 分别交x 轴于点()(),0,,0E F E x F x .(I)试用含00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x .(II)若C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>(如图),求证:E F x x 是与MN 和点P 位置无关的定值.(III)请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C ,试探究E x 和F x 经过某种四则运算(加、减、乘、除),其结果是否是与MN 和点P 位置无关的定值?写出你的研第8题图究结论并证明.【解析】(I)因为MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦,所以N(m,−n),则l MP :y −n =y 0−nx 0−m (x −m).令y =0,则x E =my 0−nx 0y 0−n . 同理可得x F =my 0+nx 0y 0+n .(II)由(I)可知x E x F=m2y02−n2x02y02−n2.因为M,P在椭圆C:x 2a2+y2b2=1上,所以n2=b2(1−m2a2),y02=b2(1−x02a2),x E x F=m2b2(1−x02a2)−b2(1−m2a2)x02b2(1−x02a2)−b2(1−m2a2)=b2(m2−x02)b2a2(m2−x02)=a2(定值),所以x E x F是与MN和点P位置无关的定值.(III)第一层次:①P是圆C:x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点E(x E,0),F(x F,0),则x E x F=R2.证明:由(I)知x E x F=m2y02−n2x02y02−n2.因为M,P在圆C:x2+y2=R2上,所以n2=R2−m2,y02=R2−x02,x E x F=m2(R2−x02)−(R2−m2)x02(R2−x02)−(R2−m2)=R2(m2−x02)(m2−x02)=R2,所以x E x F是与MN和点P位置无关的定值.②P是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点E(x E,0),F(x F,0),则x E x F=a2.证明:由(I)知x E x F=m2y02−n2x02y02−n2.因为M,P在双曲线C:x 2a2−y2b2=1上,所以n2=b2(m2a2−1),y02=b2(x02a2−1),x E x F=m2b2(x02a2−1)−b2(m2a2−1)x02b2(x02a2−1)−b2(m2a2−1)=b2(x02−m2)b2a2(x02−m2)=a2,所以x E x F是与MN和点P位置无关的定值.第二层次:P是抛物线C:y2=2px(p>0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点E(x E,0),F(x F,0),则x E+x F=0.证明:由(I)知x E+x F=2(my02−n2x0)y02−n2.因为M,P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,所以y02=2px0,n2=2pm.x E+x F=2(my02−n2x0)y02−n2=2(2mpx0−2pmx0)y02−n2=0,所以x E+x F是与MN和点P位置无关的定值.【反思】首先理解并证明在椭圆条件下,“x E x F是与MN和点P位置无关的定值”,其中的消元运算是关键点;后续开放题中,对于圆、双曲线、抛物线的类似证明也充满运算智慧.。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学中的一个重要章节，涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质以及相关应用等内容。
圆锥曲线是一类特殊的曲线，由一个固定点（称为焦点）和到该点距离与到一条固定直线（称为准线）距离的比值为常数定义。
本文将从椭圆、双曲线和抛物线这三种常见的圆锥曲线开始，介绍它们的定义、性质和公式，并探讨它们在几何和实际问题中的应用。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种情形。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之比等于一个常数e（离心率）的点的轨迹。
椭圆具有很多重要的性质，如焦点的性质、离心率的性质、对称性和切线的性质等，这些性质对于解题和应用非常重要。
二、双曲线双曲线是圆锥曲线中另一种重要的类型。
与椭圆相比，双曲线的定义稍微有些不同。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之差等于一个常数e （离心率）的点的轨迹。
双曲线的性质也非常丰富，包括焦点和准线的性质、离心率的性质、渐近线、对称性以及切线的性质等。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最后一种常见的类型。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离相等的点的轨迹。
抛物线也具有许多独特的性质，如焦点和准线的性质、对称性、切线的性质、曲率和渐近线等。
这三种圆锥曲线在几何中起到了重要的作用，但在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在天文学中，行星运动的轨迹可以用椭圆来描述；在通信中，天线的波束方向可以通过双曲线来确定；在物理学中，抛物线的形状可以用来描述抛射体的运动轨迹等等。
总之，高中数学第八章圆锥曲线是一个非常重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见情形的定义、性质和应用。
掌握圆锥曲线的相关知识，不仅对于解决几何问题有很大的帮助，还。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。
在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。
圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。
二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。
2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。
3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。
将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。
4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。
5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。
三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。
高考数学必做61道圆锥曲线问题——圆锥曲线性质大全.doc
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高考数学必做 61 道圆锥曲线问题——圆
锥曲线性质大全
一、神奇曲线，定义统一
01. 距离和差，轨迹椭双
02. 距离定比，三线统一
二、过焦半径，相关问题
03．切线焦径，准线作法
04. 焦点切线，射影是圆
05. 焦半径圆，切于大圆
06. 焦点弦圆，准线定位
07. 焦三角形，内心轨迹
三、焦点之弦，相关问题
08．焦点半径，倒和定值
09．正交焦弦，倒和定值
10. 焦弦中垂，焦交定长
11. 焦弦投影，连线截中
12. 焦弦长轴，三点共线
13. 对焦连线，互相垂直
14. 相交焦弦，轨迹准线
15. 相交焦弦，角分垂直
16. 定点交弦，轨迹直线
17. 焦弦直线，中轴分比。
圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)
圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。
圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结
圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的几何性质，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来深入理解圆锥曲线的几何性质，并对相关知识点进行总结。
一、椭圆的几何性质椭圆的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴，＄b$为短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
1、范围椭圆位于直线$x ＝＼pm a$和$y ＝＼pm b$所围成的矩形内。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点椭圆的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄和$（0, ＼pm b)＄。
4、离心率离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，反映了椭圆的扁平程度，＄0 ＜ e ＜1$，＄e$越接近 0，椭圆越接近于圆；＄e$越接近 1，椭圆越扁平。
例题 1：已知椭圆方程为$＼frac{x^2}｛9} ＋＼frac{y^2}｛4} ＝ 1$，求其顶点坐标、离心率和焦点坐标。
解：由方程可知，＄a ＝ 3$，＄b ＝ 2$，则$c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＝＼sqrt{5}＄。
顶点坐标为$（＼pm 3, 0)＄和$（0, ＼pm 2)＄。
离心率$e ＝＼frac{c}｛a} ＝＼frac{＼sqrt{5}｝｛3}＄。
焦点坐标为$（＼pm ＼sqrt{5}， 0)＄。
二、双曲线的几何性质双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$为实半轴，＄b$为虚半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
1、范围双曲线在$x ＼leq a$或$x ＼geq a$上取值。
2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点双曲线的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄。
圆锥曲线经典性质总结及证明
当 0时焦点在 y 轴上。
⑥注意 x 2 y 2 1 与 y2 x2 1 的区别：三个量 a, b, c 中 a, b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标轴
16 9
9 16
也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念:平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
y 2 的分母
的大小。例如椭圆 x2 y2 1（ m 0， n 0 ， m n ）当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m n 时表示 mn
焦点在 y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
x2 a2
y2 b2
1知|
x | a
，|
y | b ，说明椭圆位于直线 x a ，
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e＞ 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0＜e＜ 1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e＞1 时，轨迹为双曲线。
且在椭圆外.
x=± a 2 准线垂直于实轴，且在 c
两顶点的内侧.
x=- p 准线与焦点位于顶点 2
两侧，且到顶点的距离相等.
焦距
2c （c= a2 b2 ）
2c （c= a2 b2 ）
标准方程 图形
y2 2 px ( p 0)
ly
oF x
y2 2 px ( p 0)
y l
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)
第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4； 因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________．答案 2x ＋4y －3＝0解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. x 1＋x 2x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－12， 即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－24k 2－123＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0，证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32＝24－x 1·y 2－3y 2－y 124－x 1＝24－x 1·kx 2－1－3kx 2－x 124－x 1＝－8k －2kx 1x 2＋5kx 1＋x 224－x 1＝－8k 3＋4k 2－2k 4k 2－12＋5k ·8k 224－x 1·3＋4k 2＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上． 同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －42＋y 2， ∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2， ① x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD | ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x . (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －m x 26＋y 22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ， 故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2>3k 21＋3k 2； (2)若AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． (1)证明 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴， 故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1k y －1.将x ＝1k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝⎛⎭⎫3＋1k 2y 2－2y k ＋1－a 2＝0，①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k 2－4⎝⎛⎭⎫1k 2＋3(1－a 2)>0，整理得⎝⎛⎭⎫1k 2＋3a 2>3，即a 2>3k 21＋3k 2. (2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由①， 得y 1＋y 2＝2k1＋3k 2， 因为AC →＝2CB →，得y 1＝－2y 2， 代入上式，得y 2＝－2k1＋3k 2.于是，△OAB 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝32|y 2| ＝3|k |1＋3k 2≤3|k |23|k |＝32. 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33. 由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33， y 2＝33这两组值分别代入①， 均可解出a 2＝5.所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(推荐时间：70分钟)一、选择题1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3答案 B解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.选B.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )－y 216＝1－y 29＝1 －y 216＝1(x >3)－y 29＝1(x >4)答案 C解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(13，＋∞) C ．(15，＋∞)D ．(19，＋∞)答案 B解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <51<25c 2<4，∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c5－c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c2＝125c 2－1>13. 二、填空题6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.7． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案522－1解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|PA |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.三、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为 D (0,1)，即a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k (x －2)， 联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k )． ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83.当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83. 11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA 与PB的斜率之积为－12.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点． (1)解 由题知：y x ＋2·y x －2＝－12.化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)．(2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0， 得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝x 1＋kx 1－1x 2－x 1kx 1＋x 2－2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)．12．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ＝－2)．(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )， ⎩⎪⎨⎪⎧ |－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2 解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24b ＝－2. ∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0 ∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187.。
高中数学圆锥曲线难题
高中数学圆锥曲线难题圆锥曲线是高中数学中的重要概念之一，也是让许多学生感到困惑的知识点。
本文将围绕圆锥曲线的难题展开讨论，帮助读者理解和解决这些难题。
一、抛物线难题题目：已知抛物线的焦点为F，准线为l，直径AB的中点为M，与焦点F的距离为MF。
若点P在线段MF上，且角APB为直角，则证明：直线PF与准线l垂直。
解析：首先我们需要了解抛物线的基本性质，焦点F和准线l是抛物线的重要构成要素。
对于这道题目，我们需要运用几何推理来证明直线PF与准线l垂直。
设抛物线的方程为y^2 = 2px，焦点F的坐标为(p, 0)，准线l的方程为x = -p。
根据题目所给条件，我们知道点A的坐标为(-p/2, 0)，点M的坐标为(-p/2, p/2)，点B的坐标为(-p/2, p)。
点P在线段MF上，即点P的坐标为(-p/2, t)，其中0 < t < p/2。
由于角APB为直角，所以我们可以得出斜率PA和斜率PB的乘积为-1。
根据斜率的定义，斜率PA为(t-0)/(-p/2-(-p/2)) = 1/t，斜率PB为(t-p)/(-p/2-(-p/2)) = -(p-t)/t = (t-p)/(-t)。
将斜率相乘，并考虑到斜率PA和PB的分母非零，得到1/t * (t-p)/(-t) = -1，化简可得p = 2t。
由此可知，在抛物线上点P的纵坐标为2t。
因此，点P的坐标为(-p/2, 2t)。
直线PF的斜率为(2t-0)/(-p/2-p) = -2t/(3p/2) = -4t/3p，而准线l的斜率为无穷大。
因为直线PF的斜率与准线l的斜率的乘积为-1，说明它们是互相垂直的。
因此，我们证明了直线PF与准线l垂直。
二、椭圆难题题目：已知椭圆的焦点为F1和F2，直径的端点为A和B，点P是椭圆上任意一点。
若角FP1P2为锐角，则证明：点P在直径线AB上，且角APB为直角。
解析：椭圆是一个非常特殊的圆锥曲线，具有独特的性质。
高中数学圆锥曲线难题
高中数学圆锥曲线难题【实用版】目录一、圆锥曲线的基本概念与性质二、高中数学中常见的圆锥曲线题型三、如何解圆锥曲线难题四、举例说明解题方法正文一、圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是一个广泛的曲线类别，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
圆锥曲线的共同特点是它们都可以通过一个圆锥与一个平面相交得到。
具体来说，如果一个圆锥的底面圆心为 O，底面上一点 A 与顶点 C 连线的中点为 M，那么当平面与圆锥的母线（OC）垂直时，平面与圆锥的交线就是一个圆；当平面与母线不垂直时，交线就是一个椭圆或双曲线；当平面穿过圆锥的顶点时，交线就是一个抛物线。
二、高中数学中常见的圆锥曲线题型在高中数学中，圆锥曲线题型主要包括以下几种：1.求解圆锥曲线的交点：给定两个圆锥曲线，求它们的交点坐标。
2.求解圆锥曲线的参数方程：给定一个圆锥曲线，求它的参数方程。
3.判断圆锥曲线的位置关系：给定两个圆锥曲线，判断它们是否相交、相切或包含关系。
4.求解圆锥曲线的斜率：给定一个圆锥曲线上的点，求该点处的切线斜率。
5.求解圆锥曲线的面积和周长：给定一个圆锥曲线，求它的面积和周长。
三、如何解圆锥曲线难题解决圆锥曲线难题，通常需要以下步骤：1.观察题目，理解题意，明确要求。
2.利用已知条件，建立数学模型，设定参数和变量。
3.运用相关知识点和公式，推导出方程或不等式。
4.化简方程或不等式，求解出参数和变量的值。
5.将求解出的参数和变量代入原方程，检验答案是否符合题意。
6.根据题目要求，写出完整的解题过程和最终答案。
四、举例说明解题方法假设有一个椭圆方程为：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1，其中 a 和b 是椭圆的长半轴和短半轴。
现在要求解这个椭圆与直线 y = kx + b 的交点。
解法如下：1.将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于 x 的一元二次方程：(x^2)/(a^2) + [(kx + b)^2]/(b^2) = 1。
高考数学第67炼 圆锥曲线的性质
第67炼 圆锥曲线的性质一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距 （2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以2242002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =。
则22b PQ a= （5）离心率：ce a=，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）证明：1212121sin 2PF F S PF PF F PF =⋅ 且222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-()()212121221cos PF PF PF PF F PF =+-+()2212124421cos c a PF PF F PF ∴=-+ 2221212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==++ 12212121212112sin sin 221cos PF F b SPF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+ 22121212sin tan 1cos 2F PF F PFb b F PF =⋅=+因为1200122PF F Sc y c y =⋅⋅=⋅，所以2120tan 2F PFb c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出 ② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：ce a=，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
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第67炼 圆锥曲线的性质一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距 （2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以2242002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =。
则22b PQ a= （5）离心率：ce a=，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）证明：1212121sin 2PF F S PF PF F PF =⋅ 且222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-()()212121221cos PF PF PF PF F PF =+-+()2212124421cos c a PF PF FPF ∴=-+ 2221212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==++ 12212121212112sin sin 221cos PF F b SPF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+ 22121212sin tan 1cos 2F PF F PFb b F PF =⋅=+因为1200122PF F Sc y c y =⋅⋅=⋅，所以2120tan 2F PFb c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出 ② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：ce a=，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y 关于x 的直线即可。
例如在()222210,0x y a b a b -=>>中，求渐近线即解：22220x y a b-=，变形为b y x a =±，所以by x a=±即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c 的关系。
（6）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=（7）焦半径公式：设双曲线上一点()00,P x y ，左右焦点分别为12,F F ，则 ① 1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c a - （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot 2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在x 轴正半轴：()220y px p =>，焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ （2）焦点在x 轴负半轴：()220y px p =->，焦点坐标,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭ （3）焦点在y 轴正半轴：()220x py p =>，焦点坐标0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）焦点在y 轴负半轴：()220x py p =->，焦点坐标0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：24x y =，则焦点在y 轴上，且坐标为()0,13、焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2p AF x =+4、焦点弦长：设过抛物线()220y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到） 二、典型例题：例1：已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A.B.C. 3D. 5思路：先从常系数方程入手，抛物线212y x =的焦点为()3,0，即双曲线中的3c =，所以2225b c a =-=，从而双曲线方程为：22145x y -=，其渐近线方程：y =，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择20l y -=，右焦点()23,0F ，所以2F l d -==答案：A小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A例2： 已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p 作为核心变量，抛物线22x py =的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以可得2p b =，因为22a a =⇒=，所以双曲线方程为222418x y p-=，可求得渐近线方程为y =，不妨设1y kx =-与y =平行，则有k =从相切可想到与抛物线联立消元后的方程0∆=：2221202y x x x p x py⎧=-⎪⇒--=⎨⎪=⎩，所以280p⎛∆=-=⎝解得4p=答案：A例3：如图，12,F F是椭圆()22122:10x yC m nm n+=>>与双曲线()22222:10,0x yC a ba b-=>>的公共焦点，将12,C C的离心率分别记为12,e e，点A是12,C C在第一象限的公共点，若2C的一条渐近线是线段1AF的中垂线，则221211e e+=（）A. 2B.52C.72D. 4思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有22222c m n a b=-=+，所求表达式2222222221211m a m ae e c c c++=+=，本题与焦半径相关，所以考虑12122,2AF AF m AF AF a+=-=。
结合1AF的中点与12F F的中点可得双曲线的渐近线与2AF平行，从而12AF AF⊥，所以有222212124AF AF F F c+==，联系上面条件可得：()()222222212121214222c AF AF AF AF AF AF m a⎡⎤=+=++-=+⎣⎦，所以2222212112m ae e c++==答案：A例4：已知椭圆()22122:10x yC a ba b+=>>与双曲线222:14yC x-=有公共的焦点，2C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,A B两点，若1C恰好将线段AB三等分，则（）A. 2132a= B. 213a= C. 212b= D. 22b=思路：因为12,C C有公共焦点，所以通过2C可得())12,F F，从而c=的直径为2a ，所以AB 截椭圆的弦长为23a。