高一数学等比数列练习题

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必修5 第二章第三节等比数列及其前N项和学生版

第 1 页共 8 页教学辅导教案1.判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---L 中的项，若是，是第几项？2.若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（） A ．19 B.21 C ．37 D ．413.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．4.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（）A ．120B ．105C ．90D ．75 5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．151．在等比数列{a n }中，a 2 015＝8a 2 012，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB 内存（1MB=210KB ），则开机后经过（）分钟．A ．45B ．44C ．46D ．47 3．2＋3和2－3的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．24.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2+a 3的值为（） A ．﹣6 B ．﹣8C ．﹣10D ．﹣125.设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *)，则f (n )等于( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27(8n ＋2－1) D.27(8n ＋3－1)6.在等比数列{a n }中，S n 为前n 项和，已知a 5=2S 4+3，a 6=2S 5+3，则此数列的公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5一、等比数列的基本概念1.定义：如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)． 2．递推关系：在数列{a n }中，若a n ＋1a n ＝q (n ∈N *)，q 为非零常数，则数列{a n }是等比数列．（本部分主要给学生讲解等比数列的基本概念，着重强调公差是后一项前去前面一项，并且是从第二项开始，一定要强调各项不能为0）【例1】判断下列数列哪些是等比数列，如果不是，请说明理由？ ∈ 1, 2, 4, 8, …，263∈ 2000 , 2000×1.1, 2000×1.12,…, 2000×1.19 ∈ -1, -2, -4, -8,∈－1, －1, －1, －1,… ∈1, 0, 1, 0,… 二、等比数列的通项公式若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q-=．通项公式的变形：∈n m n m a a q -=；∈()11n n a a q --=；∈11n n a q a -=；∈n m n ma q a -=．【例2】已知等比数列{a n }的公比是2，a 3=1，则a 5的值是（）A ．B ．C ．4D ．16三、等比中项：在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ± 【例3】各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1四、等比数列的基本性质∈若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；∈若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅公式①重点强调左边和右边的项数一定要保持一致【例4】在等比数列 {a n } 中，a 5a 7=2，a 2+a 10=3，则=（）A ．2B ．C ．2或D ．﹣2 或﹣五、等比数列前n 项和公式等比数列前n 项和公式 (1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1，q ＝1.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．思考在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．【例5】在等比数列{a n }中，a 1•a 2•a 3=27，a 2+a 4=30试求：（1）a 1和公比q ；（2）前6项的和S 6．六、等比数列及其前N 项和的性质综合应用 1.等比数列的前n 项和的性质：∈若项数为()*2n n ∈N ，则S q S=偶奇．∈n n mn m S S q S +=+⋅．∈n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（0n S ≠）2.错位相减法“差比数列”一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．【例6】已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足=9，=，则数列{a n }的公比为（） A ．B ．2C ．3D ．4 【例7】已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，且（n∈N *）．（∈）求c ，a n ；（∈）若，求数列{b n }前n 项和T n ．1.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是（） A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2.在等比数列{a n }中，若a 6=6，a 9=9，则a 3为（）A ．2 B． C ． D ．43.在等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 5a 6a 7=（） A ．3B ．C ．±3D ．以上皆非4.已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 5=，则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=（）A ．（1﹣）B ．（1﹣）C ．16（1﹣）D ．16（1﹣）5.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么（） A ．{a n +b n }，{a n •b n }都一定是等比数列B ．{a n +b n }一定是等比数列，但{a n •b n }不一定是等比数列C ．{a n +b n }不一定是等比数列，但}{a n •b n }一定是等比数列D ．{a n +b n }，{a n •b n }都不一定是等比数列 6.已知数列{a n }的前n 项和为，且S n =n 2+n ，（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =3an ，求证：数列{b n }是等比数列．【查漏补缺】忽略等比数列中的项的符号致误1.已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求212a a b1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( ) A ．4 B.32 C.169 D ．22．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35 3．数列{a n }为等比数列，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，a n >0，则该数列的公比q 是( ) A.22 B.255 C.1－52 D.5－12 4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 6a 19等于( ) A.32 B.23 C.16 D ．6 5．在等比数列{a n }中，a 5·a 6·a 7＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 7·a 8·a 9的值等于( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192 6.数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…前n 项和等于( ) A ．2n ＋1－n B ．2n ＋1－n －2 C ．2n －n D ．2n第一、二天作业1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 5＋a 6＝( ) A ．80 B ．90 C ．95 D ．100 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 4．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 6．已知{a n }是等比数列，若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝________. 7．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为________． ∈{a 2n }；∈{a 2n }；∈{1a n }；∈{lg|a n |}。

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高一数学等比数列练习题【巩固练习】1．等比数列中，，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.(2015 浙江高考)已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则( )A.，B. ，C. ，D.，3. 在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A．1312B．1114C．1012D．104.（2016 桂林模拟）在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3B．﹣1 C．3D．15.已知为等比数列，下面结论种正确的是（）。

A a1+a3≥2a2B a12+a32≥2a22C 若a1=a3，则a1=a2D 若a3＞a1，则a4＞a26. 【2015 安徽高考】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.7．在等比数列{a n}中，（1）已知：a1=2,S3=26,求q与a3;（2）已知：a n>0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5;（3）已知：a4=3, 求a1a2a3 (7)（4）已知：对任意自然数n都有a1+a2+……+a n=2n-1，求+……+.8．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.9．已知{a n}为等比数列，(1)若a1a4a10a13-a5a9-6=0，求a2a12.(2)若a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求a1+a2+a3+…+a3m-2+a3m-1+a3m.10.（2016 全国III高考）已知数列的前n项和，其中．（I（II）若，求．11．若a1=1,q≠1的等比数列前n项和为S，则原等比数列各项的倒数组成的数列的前n项和T是多少？12．一个等比数列{a n}共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的，且S3=64，求此等比数列通项.13．已知(b-c)log m x+(c-a)log m y+(a-b)log m z=0.(1)若a,b,c成公差d≠0的等差数列，证明 x,y,z成等比数列；(2)若x,y,z成公比q≠1的等比数列，证明a,b,c成等差数列.14．数列{a n}是等比数列，项数为偶数，各项为正，它所有项的和等于偶数项和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lga n}的前多少项的和最大？15．已知数列前n项和S n=(p-2)+pa n，n N*，p＞1且p≠2(1)证明：{a n}是等比数列；(2)对一切自然数n，当a n+1＞a n或a n+1＜a n时，分别确定p的取值范围.16．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，{a n}中部分项组成的数列恰为等比数列，且知k1=1, k2=5,k3=17.（1）求k n；（2）证明： k1+k2+……+k n=3n-n-1.【参考答案与解析】1．C2.【答案】B【解析】，，成等比数列，即解得：又3．B；4.【解析】等比数列{a n}中，因为a3=2S2+1，a4=2S3+1，得a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，即a4=3a3，解得q=3，故选C．5.B6.【答案】【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.7．解析：（1）2(1+q+q2)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a3=18；当q=-4时, a3=32.（2）(a3+a5)2=+2a3a5+=a2a4+2a3a5+a4a6=25, 又a n>0, ∴a3+a5=5.（3）∵a1a7=a2a6=a3a5=,∴a1a2a3……a7==37=2187.（4）依题意S n=2n-1,易求得a n=2n-1, a1=1且公比为2，可知，，……成等比数列，公比为4.∴++……+==.8．解析：依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=12.又前三个数成等比且和为19，∴, 解得或，∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.9．解析：(1)原式=(a2a12)2-a2a12-6=0a2a12=3或a2a12=-2（舍去）；(2)∴，由A1=a1+a2+a3=2a1(1+q+q2)=2，A2=a4+a5+a6=a1q3(1+q+q2)，A3=a1q6(1+q+q2)，A1，A2，A3成等比数列，且首项为A1公比为q3，由前面得q3=±2，则或.10.【解析】（I）由题意得由由所以因此是首项为，公比为的等比数列，于是（II）由（I）得解得11．解析：∵S=a1+a2+a3+……+a n=,∴T==.12．解析：∵S偶=S n,∴ =×,∴, ∴,又S3=64，∴，∴,∴×9×()n-1=×()n-3.13．证明：(1)由已知有-dlog m x+2dlog m y-dlog m z==0,∴xz=y2,∴x,y,z成等比数列.(2)∵y=xq, z=xq2, ∴(b-c)log m x+(c-a)log m x+(c-a)log m q+(a-b)log m x+2(a-b)log m q=0,即log m q(c-a+2a-2b)=0,又q≠1,∴log m q≠0, ∴c+a-2b=0,∴2b=a+c,∴a,b,c成等差数列.14．解析：由题意可知q≠1且，即，∴又a1q·a1q3=9(a1q2+a1q3)，∴a1=22·33，∴∴lga n=2lg2-(n-4)lg3当n≥2时，lga n-lga n-1=2lg2-(n-4)lg3-[2lg2-(n-5)lg3]=-lg3＜0∴数列{lga n}是递减的等差数列，且lga1=lg(22×33)＞0设数列{lga n}的前n项和最大，则有∴n=5 ∴数列{lga n}的前5项和最大.15．证明：(1)∵S n=(p-2)+pa n，S n+1=(p-2)+pa n+1，∴S n+1-S n=a n+1=pa n+1-pa n(n≥1)∴(p-1)a n+1=pa n,∵p＞1，p-1＞0，∴∴{a n}是以为公比的等比数列.(2)∵a1=S1=p-2+pa1，∴，∴∴∵p＞1，∴若a n+1＞a n，只需2-p＞0，∴1＜p＜2若a n+1＜a n，只需2-p＜0，∴p＞2.16．解析：依题意：=a1, =a5=a1+4d, =a17=a1+16d，而，，为等比数列.故有(a1+4d)2=a1(a1+16d),解得a1=2d.因而{}的公比q====3.而在等差数列{a n}中是第k n项，∴=a1+(k n-1)d,即=(k n+1)d (1)又在等比数列{}中是第n项，∴=a1.q n-1即=2d.3n-1 (2)联立(1)(2)，解得k n=2·3n-1-1.（2）k1+k2+……+k n=(2·30-1)+(2·31-1)+……+(2·3n-1-1)=2(30+31+……+3n-1)-n =。

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考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法1： 811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2： 812162264===a a q，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3：{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=nS ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11-=n nqa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a nn n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则 ⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ；方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc 2，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ；方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2；方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ，由10765,,,,a a a a 成等比数列求解.【解析】由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n na ，求n S【解题思路】可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解.【解析】 212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n na ，∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++= 即.432143--=n S n n 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】 n nn a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅= ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n nn n S -------------②①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n∴.33)1(1+⋅-=+n n n S【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++；2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .【解析】设这个常数为x ，则x x x +++100,50,20成等比数列，∴)100)(20()50(2x x x ++=+，解得45=x ，∴17418520545204550==++=q . 3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ；【解析】3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ，当3,11==q a 时，636431)31(1=⇒=--=n S n n ；当3,11-=-=q a 时，[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解. 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .【解析】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q>时，31113S q q =++≥+=；当公比0q<时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭， ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=nS ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .【解析】由0>na ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ，∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n∴81821122=⇒=--=n n nn n q q q S S ，∴1>q ,又前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ，∴321=q a ，∴.133,21001001-=⇒==S q a 考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【解题思路】⑴证明数列{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，常用：①定义法；②中项法.【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ⋅=，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n nn n n b n a 32)213()1(321-=+--=+又)18(11+-=λb ，所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列；当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列.【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；【解析】 121n n n a a a +=+，∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅，∴11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=nS ，602=n S ，则=n S 3 .【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S .【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.【新题导练】 7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .【解析】{}n a 是等比数列，0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=-⑴证明：当2b =时，{}12n na n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式【解题思路】由递推公式{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n=，主要利用：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ，同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a =，且 ()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减，得()()1121n n n n ba ab a ++--=-，即 12n n n a ba +=+ ①⑴当2b =时，由①知 122n n n a a +=+于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2=q 的等比数列。

最新高一下数学暑假专题练习精选题(培优)必修五：数列

必修五：数列一．选择题（共20小题）1．在正项等比数列中a3a5+2a5a6+a6a8＝9，则a4+a7＝（）A．1B．2C．3D．42．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A．29B．31C．33D．363．已知数列{a n}前n项的平均数等于2n+1，其中n∈N*，则数列的前2020项和等于（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，若数列的前n项和为4，则n为（）A．81B．80C．64D．635．在等差数列{a n}中，首项a1＝1，且a2是a1与a4的等比中项，S n为{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．10B．55C．10或55D．10或606．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＝3a5，则下列说法错误的是（）A．数列{a n}单调递减B．当n＝5，n＝6时，S n同时达到最大值C．＝D．满足不等式S n≥0的n的最大值为107．已知数列{a n}中，a1＝1，，则a2021＝（）A．1B．C．﹣2D．﹣18．已知递增等比数列{a n}中，a2+a5＝18，a3•a4＝32，若a n＝128，则n＝（）A．5B．6C．7D．89．已知数列{a n}中，a1＝1，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．10．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．令数列的前n项和为S n，则S2021＝（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足，S n为{a n}的前n项和，则S20＝（）A．300B．320C．340D．36012．已知数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1，数列{b n}满足b1＝1，b n﹣b n﹣1＝（n≥2），则b8＝（）A．64B．81C．80D．8213．已知数列{a n}中，a1＝，a2＝2，a n＝2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3，n∈N*），则（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝2•3n﹣214．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n 对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1]15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3+x）＝f（x），f（﹣2）＝﹣3，数列{a n}满足a1＝1，且当n≥2时，有2a n＝a n S n﹣S n2（其中S n为{a n}的前n项和，且S n≠0）．则f（）+f（）＝（）A．3B．﹣2C．﹣3D．216．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＞9（n∈N*），则n的最小值为（）A．98B．99C．100D．10117．在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若S9＞0，S10＜0，则在中最大的是（）A．B．C．D．18．在数列{a n}中，若a1＝0，a n+1﹣a n＝2n，则++…+的值为（）A．B．C．D．19．设数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+2，则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2•3n﹣1B．a n＝2•3n﹣1﹣1C．a n＝2•3n﹣1+1D．a n＝2•3n+1﹣120．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C 在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．473二．多选题（共1小题）（多选）21．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1三．填空题（共8小题）22．已知数列{a n}满足a1a2a3•a n＝n，则数列{a n}的通项公式为．23．在数列{a n}中，a1＝1，（n≥2，n∈N*），则数列的前n项和为．24．设数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n＝（n∈N*），a1＝，a n＝25．已知数列{a n}满足，则{a n}的通项公式．26．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n＝．27．设数列{a n}，若a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则称数列{a n}为“凸数列”，已知数列{b n}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝﹣2，则b2017＝．28．已知数列{a n}通项为a n＝n cos（nπ），n∈N*，则a1+a2+a3…+a2016＝．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，且a，b，c成等比数列，则A＝度，C＝度．四．解答题（共31小题）30．已知数列{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．31．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．32．已知数列{a n}满足a1＝2，a n a n+1﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）证明：{}是等差数列；（2）设b n＝a2n+n﹣1，求数列{b n}的前n项和．33．已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），前n项和为S n，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b＝，求{b n}的前n项和为T n．34．已知{a n}是等差数列，a2，a3是函数f（x）＝x2﹣a4x+a5的两个不同零点．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a m，a r，a s，a t都是数列{a n}前51项中的项，a m，a r，a s是公比为q（q∈N*）的等比数列，a r，a s，a t成等差数列．当最大时，求a t．35．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝λa n﹣1+2（λ≠0，n≥2）且{a n+1}为等比数列．（1）求实数λ的值；（2）求数列{a n}的前n项的和S n．36．已知数列{a n}满足+++……+＝n2+3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n＝（n+1）a n•22n，求数列{b n}的前n项和S n，当S n≥m2+m+1对一切正整数n恒成立时，求实数m的取值范围．37．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝2，na n+1＝S n+n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求T n；（3）设b n＝，证明：≤b1+b2+b3+…+b n＜．38．已知数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝a n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，都有a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．39．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）证明数列{a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅲ）证明：．40．若正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，P（，S n+1）点在曲线y＝（x+1）2上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝，T n表示数列{b n}的前n项和，若T n m﹣1对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．41．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1＝1，b n•b n+1＝a n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：≥2n﹣1．42．数列{a n}的前项n和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若（4λ﹣1）a n＞9（n﹣3）对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．43．已知数列{a n}中，a1＝1，且对任意m，n∈N*，有a m+n＝a m+a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知p，k∈N*，且满足a p+a p+1+⋯+a p+k＝39，求p，k；（3）若（其中k＞0）对任意n∈N*恒成立，求k的最大值．44．已知数列{a n}满足，且a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，证明：．45．已知等差数列{a n}的首项a1≠0，前n项和为S n，且S4+a2＝2S3；等比数列{b n}满足b1＝a2，b2＝a4．（1）求证：数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项；（2）若a1＝2，设c n＝，求数列{c n}的前n项的和T n．（3）在（2）的条件下，若有f（n）＝log3T n，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．46．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n＝3b n﹣1+a n（n≥2）．（ⅰ）证明：数列为等差数列．（ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．47．数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n．（1）设b n＝，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意实数λ都有λ2≥a n成立，求n的最大值．48．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{2n﹣1•a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且S n+a n＝λ（λ为常数，n∈N*）．令c n＝b2n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，正整数t满足t2﹣3t＞9T n恒成立，求t的最小值．49．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．50．若数列{a n}满足．（1）求a1，a2，a3及{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和S n．①求S n；②对于任意n∈N+，均有恒成立，求m的取值范围．51．记S n为数列{a n}的前n项和．已知+n＝2a n+1．（1）证明：{a n}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求S n的最小值．52．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．53．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．54．如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，P A＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面P AC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，P A＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．55．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．56．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．57．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．58．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）证明：BD⊥P A；（2）求PD与平面P AB所成的角的正弦值．59．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．60．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．（1）证明：BF⊥DE；（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？参考答案一．选择题（共20小题）1．C；2．B；3．B；4．B；5．C；6．D；7．B；8．D；9．A；10．D；11．C；12．A；13．D；14．C；15．A；16．C；17．C；18．A；19．B；20．B；二．多选题（共1小题）21．CD；三．填空题（共8小题）22．；23．；24．；25．；26．2n﹣1（n∈N*）；27．1；28．1008；29．60；60；。

高一下数学等比数列

高一下数学等比数列一．选择题（共21小题）1．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9等于（）A．2B．4C．8D．162．已知各项均不相等的等比数列{a n}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设S n为数列{a n}的前n项和，则等于（）A．B．C．3D．13．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}满足a1＝1，q＝﹣3，则a5＝（）A．81B．﹣81C．243D．﹣2435．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1B．q＜0C．q＞1D．0＜q＜16．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．10248．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（）A．B．﹣2C．2D．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，边a，b，c依次成等比数列，且b＝2，则S△ABC＝（）A．B．1C．2D．10．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a9+a5a6＝6，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．6B．5C．4D．1+log3511．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2，a1＝2，则a2020＝（）A．22019B．22020C．22021D．22021﹣212．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里13．在等比数列{a n}中，a1＝﹣16，a4＝8，则a7＝（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±214．已知等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于（）A．36B．216C．±36D．±21615．已知等比数列{a n}满足a n+1＜a n，a3＝1，2a12+a11＝a10，若{a n}的前n项和为S n，则S3为（）A．1或7B．﹣1C．7D．116．在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2﹣5x+3＝0的两根，则log3a6＝（）A．1B．C．D．﹣117．已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a1＝1，a2+a3＝6a1，则a5＝（）A．4B．10C．16D．3218．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝1，S6＝9，则S9等于（）A．81B．17C．24D．7319．在等比数列{a n}中，已知a2a4a6＝8，则a3a5＝（）A．3B．5C．4D．220．等比数列{a n}的各项均为正数，且a6a7+a5a8＝18，则log3a1+log3a2+…log3a12＝（）A．12B．10C．8D．2+log3521．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足a72﹣a3﹣a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（）A．2B．4C．8D．16二．填空题（共3小题）22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则cos（a2+a4）＝23．若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n﹣1+t，则t＝．24．正项等比数列{a n}其中a2•a5＝10，则lga3+lga4＝．三．解答题（共16小题）25．已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．26．在等比数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2＝a2，b4＝a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．27．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜1．28．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2＝，b2b3＝．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．29．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，b1＝3a1，b n+1＝b n+3，n∈N*，求数列{a n+b n}的前n项和T n．30．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n＝S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．31．设递增等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．32．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．33．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a3＝8，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．34．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足：，且3a3是a4，a5的等差中项．（1）求a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．35．在公差不为零的等差数列{a n}中，若首项a1＝1，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．36．已知{a n}是公差不为0的等差数列，满足a3＝7，且a1、a2、a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．37．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）记b n＝a n+1，求证：{b n}为等比数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c n＝（n+1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．38．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．39．（1）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，求{a n}的通项a n；（2）等比数列{a n}中，a5﹣a1＝15，a4﹣a2＝6，求公比q．40．在等比数列{a n}中a2＝3，a5＝81．（1）求a n；（2）设b n＝log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．高一下数学等比数列参考答案一．选择题（共21小题）1．C；2．A；3．A；4．A；5．D；6．C；7．B；8．D；9．D；10．B；11．B；12．B；13．A；14．B；15．C；16．B；17．C；18．D；19．C；20．A；21．B；二．填空题（共3小题）22．；23．；24．1；。

等比数列性质练习题

等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。

下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。

练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。

求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。

求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。

求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。

求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。

在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。

通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。

高一数学等比数列试题答案及解析

高一数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.【考点】等比中项.2.在各项都为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，前三项和为21，则( )．A．33B．72C．84D．189【答案】C【解析】由,故选C.【考点】等比数列性质.3.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）A．－1B．1C．5D．-5【答案】D【解析】当=1时，===，当≥2时，==-=，∵是等比数列，∴公比为5，∴==5，解得=-5.【考点】等比数列定义；数列前n项和与第n项关系4.已知等比数列公比，若，，则 .【答案】42【解析】因为所以【考点】等比数列的有关运算5.已知数列{an }的前n项和为Sn，满足an¹ 0，，．（1）求证：；（2）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【答案】（1）见解析（2）Tn=【解析】（1）由，变形为，然后利用累加法可证得结果. （2）由，．两式相减得，即，然后利用等差等比数列的前n项和公式即可求得结果.试题解析：（1）证明：∵，an¹ 0，∴．则，，…，（n≥2，）．以上各式相加，得．∵，∴．∴（n≥2，）．∵n = 1时上式也成立，∴（）．（2）∵，∴．两式相减，得．即．则．= =．【考点】递推关系式；累加法求和；等差等比数列的前n项和公式.6.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记该数列为，并设该等比数列的公比为，则有，所以所以，故选C.【考点】等比数列的通项公式.7.等比数列满足，则公比__________.【答案】【解析】设公比为，根据等比数列的通项公式可得，，两式相除可得.【考点】等比数列的通项公式.8.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．23B．21C．19D．17【答案】D【解析】法一：设公比为，则依题意有，所以，所以，选D；法二：依题意可知，所以，所以，选D．【考点】等比数列的通项及其前项和公式．9.在等比数列中，如果，那么等于（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】∵，∴，故选D．【考点】等比数列的性质．10.设成等比数列，其公比为2，则的值为( ) A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.【考点】等比数列11.设,则等于 ( )【答案】C【解析】因为为一个以为首项,为公比等比数列前项的和,所以选C.【考点】等比数列求和12.已知等比数列中，则 ( )A．6B．﹣6C．±6D．18【答案】C【解析】因为，在等比数列中，如果，，那么，。

高中数学第二章数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习新人教A版必修5-新人教A版高一必

第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。

苏教版高一数学必修5等比数列测试题及答案

等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 ..提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于。

6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。

7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。

提示：公比为a q 2=，当1=q ，即21=a 时，;,12n S a n == 当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.8.2S ；32。

高一数学等比数列

k7账号登陆不上怎么回ຫໍສະໝຸດ [单选]生产、使用易燃易爆化学物品场所的电气设备，必须符合国家（）标准。A、安全设计B、防火措施C、防静电导除D、电气防爆 [单选,A2型题,A1/A2型题]下面哪项不是颅脑MRI扫描的适应证（）A.颅脑肿瘤B.脑血管病C.发热头痛D.颅内感染与炎症E.脑白质病变 [单选]在CakeWalk的音轨窗口中，可以设置单轨的参数，其中转调（Vel+）用于（）A.改变声像的位置B.改变音调C.改变音量D.改变力度 [单选]气割的优点是()。A．设备简单灵活B．对切口两侧金属的成分和组织不会产生影响C．不会引起被割工件的变形D．对所有金属均可进行气割 [判断题]检验检疫机构对获得《出口玩具质量许可证》企业出口的玩具实行抽查检验。（）A.正确B.错误 [单选]建筑高度不超过24m的病房楼、旅馆等建筑应设（）楼梯间。A、开敞楼梯间B、敞开楼梯间C、封闭楼梯间D、防烟楼梯间 [问答题,简答题]货物重量是如何确定的？ [问答题,简答题]挥发线注碱性水的操作？ [单选,A2型题,A1/A2型题]肿瘤是人体组织细胞的异常过度增生所形成的肿物，可分为良性和恶性两大类。属于良性肿瘤特征的为（）A.呈浸润性生长B.手术切除后易复发或转移C.多有包膜形成，界线清楚D.无包膜形成，界线不清楚E.生长迅速，无休止地增殖长大 [单选]PC400—106P—IB—1L—1001中的零件是（）。A.船台散装件B.分段散装件C.经部件予装零件 [单选]为使试样处于一种单向和均匀的应力状态下，拉伸试验规定在3个外在条件下进行，这三个条件是。（）A.常温、常压、常湿B.常温、等速、常湿C.常温、静载、轴向D.常温、动载、轴向 [单选]Web服务器建设方式不包括（）A.整机托管B.租用网页空间C.委托IAPD.租用网页空间 [单选]流脑发病季节高峰是（）A.11～12月份B.1～2月份C.3～4月份D.5～6月份E.7～9月份 [单选]以下属于皮肤复合感觉的是（）A.冷B.触C.痛D.湿E.温 [单选]根据我国传染病防治法及其细则规定，属于强制管理的传染病是（）A.爱滋病B.鼠疫C.乙型肝炎D.疟疾E.麻风病 [单选]世界消除对妇女暴力日是哪月哪日？（）A、11月25日B、10月25日C、9月25日D、8月25日 [单选]沙眼是由哪一种微生物所引起的传染性结膜角膜炎()A．细菌B．病毒C．立克次体D．螺旋体E．衣原体 [单选]火灾现场中常见的“V”字形图痕，一般起火点就在“V”形的（）。A、上部B、中部C、底部D、不确立 [单选]患者女性，16岁，患白血病，长期用抗生素，护士在口腔评估的过程中，应特别注意观察口腔黏膜A.有无溃疡B.有无口臭C.口唇是否干裂D.有无真菌感染E.牙龈是否肿胀出血 [单选]生油气层富含有机质和生物化石，尤其以含大量成分散状的（）为主。A.浮游生物B.爬行动物C.植物D.微生物 [问答题,简答题]开展优质护理的目标是什么？ [问答题,案例分析题]【病例摘要】张某，男，20岁，学生。于2013年10月15日就诊。患者于7天前因外出受凉感冒后，周身不适，发热恶寒，咽喉疼痛。晨起颜面水肿，自服感冒药（具体用药不详），未系统检查及治疗。近2日加重并出现颜面四肢水肿，小便不利而来诊。现症见：颜面及双下肢 [单选]隐性感染增加时（）A.病原携带者增加B.慢性感染病人增加C.潜伏性感染增加D.显性感染增加E.免疫人群扩大 [单选]关于何为"正当补偿"的问题，一直是人们争论的焦点，救济法学上总体上可以概括为两种，即完全补偿说和（）。A.适当补偿说B.相应补偿说C.合理补偿说D.部分补偿说 [单选]细菌性痢疾通常属于()A．纤维素性炎症B．化脓性炎症C．卡他性炎症D．浆液性炎症E．出血性炎症 [单选]使子宫对缩宫素敏感增加，下列哪种是正确的()A．大剂量缩宫素B．孕激素C．小剂量缩宫素D．麦角新碱E．雌激素 [单选,A2型题,A1/A2型题]单纯性鼻中隔偏曲最常见的病因是（）。A.鼻中隔外伤B.鼻内肿瘤压迫C.异物压迫D.腺样体肥大E.鼻中隔之骨和软骨发育不均衡 [问答题,简答题]霍乱如何经水传播？ [单选]各热流的换热顺序安排与（）有关。A.换热温差B.流量C.温度D.温位和热容器 [单选]柱式回转支撑门机的水平轮单边径向磨损不得大于（）mm。A.5B.10C.20D.30 [单选,A1型题]甲状舌管囊肿的诊断依据是（）A.可触及潜行的索条状物B.肿物与皮肤无粘连，边缘光滑，界限清楚C.多在1岁时出现D.肿物可随吞咽及伸舌而上下移动E.当肿物发生感染时，局部红肿压痛 [多选]男性，50岁。中上腹饱胀不适3月。胃镜检查诊断为慢性萎缩性胃炎，病理报告为胃窦粘膜慢性炎症伴中度肠化生。该患者的预后判断，下列哪些是正确的()A．萎缩性胃炎可发展为胃癌B．萎缩性胃炎不可能转变为浅表性胃炎C．慢性萎缩性胃炎无论粘膜萎缩程度如何均应根治HpD．慢性胃 [单选]以下疾病中不可用维A酸类外用制剂治疗的有()A．鱼鳞病B．毛周角化病C．寻常型银屑病D．遗传性大疱性表皮松解症 [单选]认知依靠多种人工制品和工具的应用，主要是语言和文化，这些工具和建构起来的环境组成了媒体、形式或世界，通过他们认知才得以发生。问题解决包括了对目标的论证，该目标与一个情境所提供的资源和工具有关。这是()。A.设计学习活动的行为主义原则B.设计学习活动的信息加工观 [单选]当污染物集中于某处发生时，最有效地治理污染物对环境危害的通风方式是()。A．机械进风B．局部送风C．局部排风D．自然通风 [单选]下列不符合发票开具要求的是（）。A.开具发票时应按号顺序填开，填写项目齐全、内容真实、字迹清楚B.填写发票应当使用中文C.可以拆本使用发票D.开具发票时限、地点应符合规定 [问答题,简答题]巴比妥类药物的一般合成方法中，用卤烃取代丙二酸二乙酯的氢时，当两个取代基大小不同时，应先引入大基团，还是小基团？为什么？ [问答题,案例分析题]中兴公司拟在厂区内建造一幢新厂房，有关资料如下。（1）2013年1月1日专门向银行借入款项5000万元，期限为3年，年利率为12%，每年1月1日付息。（2）除上述借款外，还有两笔一般借款；2011年1月1日借入的长期借款6000万元，期限为5年，年利率为5%，每年12月31日 [单选]由于价格与供给量之间存在正相关关系，产品或服务的价格越高，其供给量越多，所以供给曲线是一条向()倾斜的曲线。A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 [单选]美国心理学家卡特尔认为，（）是人的一种潜在智力，很少受社会教育的影响，它与个体通过遗传获得的学习和解决问题的能力有联系。A.普通智力B.晶体智力C.特殊智力D.流体智力

等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版

第二章数列2.4等比数列测试题知识点一：等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。

高一数学等比数列求和2

“阳光总在风雨后，乌云上有晴空，暴风雨过后总会有彩虹的。年轻的生命一定会克服一切的困难和挫折的，所以，朋友，一定要记得，坚定一些，一定不要忘记自己的初心，忘记自己的梦想，朝气蓬勃行进，你才会看到前方最美好的风景，到达新的起点，迎来新的春天，新的曙光，新的希冀。申博体育
一春日，阳光酥软，风儿和煦。好天气适合踏青，适合坐在咖啡厅里，看橱窗外的风景。午后，与友人有约，路过一条小径，两旁栽种了青青翠竹，再往深里走，是开垦的一片空地，上面铺了橡胶地面，两张石凳分在两边。时不时地会遇见一老头儿，悠闲自得地坐在上面，嘴里哼着不知名的小调，一边吃着简单的早餐，一边酌着小瓶二锅头，有时阳光，有时风。一排桃树，几棵白玉兰，春风一吹，扑啦啦地布成花阵，又一吹，密密匝匝地睡一地。临风疏宕的狗尾林，阳光来了，在阳光下跳舞，雨来了，在雨中滴漏盈莹。知名的，不知名的小花，春天来了，它们开着，夏天来了，它们开着，秋天来了，它们开着，冬来了，寒冷来了，它们一边枯萎，一边开着。这都是不知不觉中的事情，偶尔一眼，尽是风情。

高中数学第4章数列3、1等比数列的概念3、2等比数列的通项公式、提升训练苏教版选择性必修第一册

等比数列的概念等比数列的通项公式基础过关练题组一等比数列的概念及其应用1.有下列四个说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.32.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是()A.a≠1B.a≠0或a≠1C.a≠0D.a≠0且a≠13.(2021湖北黄石第二中学高三一模)已知函数f(x)=log k x(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{a n}为等比数列的是(填序号).①数列{f(a n)}是首项为2,公比为2的等比数列;②数列{f(a n)}是首项为4,公差为2的等差数列;③数列{f(a n)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.题组二等比数列的通项公式4.(2021江苏无锡锡山高级中学高二期中)在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q为()A.±2B.2C.±3D.35.(2021江苏镇江四校高三第一次联考)在正项等比数列{a n}中,若a6,3a5,a7依次成等差数列,则{a n}的公比为.6.(2020江苏南通高三考前模拟)已知等比数列{a n}的公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=1,则a3·a6·a9·…·a30=.7.(2020湖北宜昌示范高中协作体高二期末)已知数列{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且a n b n+1=a n b n+a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和S n.题组三等比中项8.(2020四川广元高一期末)两数√2+1与√2-1的等比中项是()A.1B.-1C.±1D.129.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{a n}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于()A.6B.4C.3D.-110.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6B.-6C.±6D.±1211.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2y=1的离心率可能为()A.√22B.√32C.√62D.√3题组四等比数列的性质12.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ()A.5√2B.7C.6D.4√213.(2021浙江十校联盟高三联考)已知数列{a n}为等比数列,则“a1<0,q>1”是“{a n}为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.(2020四川外国语大学附属学校阶段检测)已知等比数列{a n}是递减数列,且满足a1+a4=18,a2a3=32,则a5= ()A.32B.16C.2D.115.在正项等比数列{a n}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{a n}的通项公式.能力提升练题组一等比数列的通项公式及其应用1.(2020河北保定高一期末,)已知数列a1,y2y1,…,y yy y-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log2a n= ()A.n(n+1)B.y(y-1)4C.y(y+1)2D.y(y-1)22.(2021河南豫南九校高二联考,)音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音的频率之比为常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足log2(y y+1y y)12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D8的频率之比为√23,则该半音为()A.F8B.GC.G8D.A3.(2020江苏南京师大附中高三高考模拟,)各项均正且公差不为0的等差数列{a n}的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{b n}的连续三项(顺序不变),设S n=1y1y2+1y2y3+…+1y y y y+1,若对一切的n∈N*,S n≤1y1恒成立,则a1的最小值为.4.(2021江苏徐州新沂第一中学高二月考,)在各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.(1)若a1=4,q=32,则d=;(2)若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为.5.(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳名校高三联考,)从①前n项和S n=n2+p(p∈R),②a6=11且2a n+1=a n+a n+2这两个条件中任选一个,填在下面的横线上,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中n∈N*.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1,a n ,a m 构成等比数列,其中m ,n ∈N *,且m >n >1,求m 的最小值.题组二等比数列的性质及综合应用 6.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研,)已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5·a 2n -5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1= ( )A.n (2n -1)B.(n +1)2C.n 2D.(n -1)27.(2021安徽示范高中培优联盟高二联赛,)已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1·a 6·a 11=3√3,b 1+b 6+b 11=-3π4,则tan y 3+y 91-y 4·y 8的值是 ()A.-√3B.√22 C.-√22 D.18.(2020重庆第一中学高一月考,)正项数列{a n }满足:a n +a n +1+a n +2=a n a n +1a n +2,a 1+a 3=6,若前三项构成等比数列且满足a 1<a 2<a 3,S n 为数列{a n }的前n 项和,则[S 2 020]([x ]表示不超过x 的最大整数)的值为(参考数据:√5≈2.236) ( ) A.4 040 B.4 041 C.5 384 D.5 385 9.(2021江苏苏州高二期中,)已知等比数列{a n }为递增数列,若a 1+a 4=7,a 2+a 3=6,则a 1+a 2= .10.(2020广西南宁第三中学高三月考,)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,其中a 1,a 3,a 9成等比数列,且数列{a n }不是常数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=1,b n的前n项和为T n,求证:T n<2.y y11.(2020山西太原第五中学高二阶段测试,)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.12.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色,黄河的水源来自青海高原,从源头开始1 000 km的河水是非常清澈的.只是在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2 kg/m3,洮河水的含沙量为20 kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1 000 m3的水量,即从洮河流入黄河1 000 m3的水混合后,又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)答案全解全析基础过关练1.B对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不能为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数列的各项均不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.2.D由于a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,所以需同时满足a≠0,1-a≠0,所以a≠0且a ≠1.3.答案②解析①中,f(a n)=2n,即log k a n=2n,得a n=y2y,∵y y+1y y =y2y+1y2y=y2y≠常数,∴数列{a n}不是等比数列;②中,f(a n)=4+(n-1)×2=2n+2,即log k a n=2n+2,得a n=k2n+2,且a1=k4≠0,∵y y+1y y =y2(y+1)+2y2y+2=k2,且k2为非零常数,∴数列{a n}是以k4为首项,k2为公比的等比数列;③中,f(a n)=2n+y(y-1)2×2=n2+n,即log k a n=n2+n,得a n=k n(n+1),∵y y+1y y =y(y+1)(y+2)y y(y+1)=k2(n+1)≠常数,∴数列{a n}不是等比数列.4.D若使这4个数成等比数列,则81=3q3,解得q=3.故选D.5.答案 2解析设正项等比数列{a n}的公比为q,q>0,由a6,3a5,a7依次成等差数列,可得6a5=a6+a7,即有6a1q4=a1q5+a1q6,化简,得q2+q-6=0,解得q=2(q=-3舍去),则{a n }的公比为2. 6.答案 1024解析因为{a n }为等比数列,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=1,所以a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q 29=y 130q1+2+3+…+29=y 1302435=1,所以y 110=2-145,所以a 3·a 6·a 9·…·a 30=y 110q 155=y 1102155,所以a 3·a 6·a 9·…·a 30=2-145×2155=210=1024.7.解析 (1)将n =1代入已知等式,得a 1b 2=a 1b 1+a 2,∴a 2=a 1b 2-a 1b 1=3a 1. ∴{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,∴a n =1·3n -1=3n -1. (2)由(1)及已知得b n +1-b n =y y +1y y=3,∴{b n }是首项为2,公差为3的等差数列,∴b n =2+3(n -1)=3n -1, ∴S n =y (y 1+y y )2=y (2+3y -1)2=3y 2+y2.解题模板关于a 1和q 的求法通常有以下两种:(1)根据已知条件,建立关于a 1,q 的方程组,通过解方程组求出a 1,q ,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q 后,再求a 1,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.8.C 设两数的等比中项为x ,则x 2=(√2+1)·(√2-1)=1,∴x =±1,故等比中项为±1. 9.B 依题意得y 32=a 1a 7,∴(a 1+4)2=a 1(a 1+12),解得a 1=4.故选B.10.C 由题意可得a =1+22=32,b 2=(-1)×(-16)=16,解得b =±4,∴ab =±6.11.AD 由1,a ,4成等比数列,得a =±2. 当a =2时,曲线x 2+y 22=1表示焦点在y 轴上的椭圆,此时离心率为√2-1√2=√22; 当a =-2时,曲线x 2-y 22=1表示焦点在x 轴上的双曲线,此时离心率为√2+11=√3.故选AD.12.A 由等比数列的性质知a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9成等比数列,所以a 4a 5a 6=5√2. 13.A 若等比数列{a n }满足a 1<0,q >1,则数列{a n }为递减数列, 故“a 1<0,q >1”是“{a n }为递减数列”的充分条件;因为当等比数列{a n }满足a 1>0,0<q <1时,数列{a n }也是递减数列, 所以“a 1<0,q >1”不是“{a n }为递减数列”的必要条件.综上所述,“a 1<0,q >1”是“{a n }为递减数列”的充分不必要条件,故选A.14.D 设等比数列{a n }的公比为q.由a 2a 3=32可得a 1a 4=32,又a 1+a 4=18,且等比数列{a n }为递减数列,所以a 1=16,a 4=2,所以q 3=y 4y 1=18,故q =12,所以a 5=a 4×12=1,故选D .15.解析设等比数列{a n }的公比为q (q >0).因为数列{a n }为等比数列,所以a 1a 5=y 32,a 3a 7=y 52,所以由题意可得y 32-2a 3a 5+y 52=36. 同理,得y 32+2a 3a 5+y 52=100.所以{(y 3-y 5)2=36,(y 3+y 5)2=100,因为a n >0, 所以{y 3-y 5=-6,y 3+y 5=10或{y 3-y 5=6,y 3+y 5=10,解得{y 3=2,y 5=8或{y 3=8,y 5=2,易得{y 1=12,y =2或{y 1=32,y =12.所以a n =12×2n -1=2n -2或a n =32×(12)y -1=26-n.能力提升练1.D 由题意可得yy y y -1=1×2n -1=2n -1(n ≥2),而a n =a 1×y 2y 1×y 3y 2×…×y y y y -1=1×21+2+…+(n -1)=2y (y -1)2(n ≥2), 当n =1时,a 1=1也满足该式,故a n =2y (y -1)2(n ∈N *),所以log 2a n =y (y -1)2,故选D .2.答案 B信息提取 (1)把八度分成13个半音;(2)相邻两个半音的频率之比是常数;(3)log 2(y y +1y y)12=1(i =1,2,…,12). 数学建模本题是以音乐中音律的划分为背景的实际问题,由“相邻两个半音的频率之比为常数”可构建等比数列模型.实际问题可转化为已知yy y 4=√23求a n ,进而求出a n 对应的半音.根据log 2(y y +1y y)12=1可得y y +1y y=2112,即数列{a n }是公比为2112的等比数列,利用等比数列的通项公式即可求解. 解析依题意可知a n >0(n =1,2,…,12,13).由于a 1,a 2,…,a 13满足log 2(y y +1y y )12=1(i =1,2,…,12),则(y y +1y y )12=2⇒yy +1y y=2112,所以数列{a n }(n =1,2,…,12,13)为等比数列,设其公比为q ,则q =2112,D 8对应的频率为a 4,又所求半音与D 8的频率之比为√23=213=(2112)4,故所求半音对应的频率为a 4·(2112)4=a 8,其对应的半音为G. 3.答案 13解析设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),由题意得y 22=a 1a 6,即(y 1+y )2=a 1(a 1+5d ), 因为d ≠0,所以d =3a 1,所以a n =a 1+(n -1)d =(3n -2)a 1,则S n =1y 1y 2+1y 2y 3+…+1y y y y +1=13y 11y 1-1y 2+1y 2-1y 3+…+1y y -1yy +1=13y 1·3yy 1y 1·(3y +1)y 1=y(3y +1)y 12,所以y(3y +1)y 12≤1y 1,则a 1≥y3y +1.因为y 3y +1=13(1-13y +1)<13,所以a 1≥13,故a 1的最小值为13. 4.答案 (1)4 (2){53,87}解析 (1)若a 1=4,q =32,则a 2=4+d ,a 3=4+2d ,y 3y 2=4+2y 4+y =32, 解得d =4.(2)根据题意,设这个数列的四项分别为a 1,a 1+d ,a 1+2d ,a 1+88,其中a 1和d 均为正偶数,根据后三项依次成等比数列,可得(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+88), 整理得a 1=4y (22-y )3y -88,由a 1>0,可得(d -22)(3d -88)<0,所以22<d <883,则d 的可能值为24,26,28. 当d =24时,a 1=12,a 2=36,a 3=60,q =53;当d =26时,a 1=2085(舍);当d =28时,a 1=168,a 2=196,a 3=224,q =87.综上所述,q 的所有可能的值构成的集合为{53,87}. 方法总结判断数列{a n }是不是等比数列的方法:(1)定义法:判断y y +1y y是不是常数; (2)等比中项法:判断y y +1y y =y y y y -1(n ≥2,n ∈N *)是否成立. 5.解析选择条件①:(1)当n =1时,由S 1=a 1=1,得p =0,故S n =n 2. 当n ≥2时,有S n -1=(n -1)2,所以a n =S n -S n -1=2n -1(n ≥2). 经检验,a 1=1符合此式,所以a n =2n -1(n ∈N *). (2)由a 1,a n ,a m 构成等比数列,得y y 2=a 1a m , 由(1)得a n =2n -1(n ∈N *),故有(2n -1)2=1×(2m -1), 化简,得m =2n 2-2n +1=2(y -12)2+12.因为m ,n 是大于1的正整数,且m >n ,所以当n =2时,m 取得最小值,最小值为5. 选择条件②:(1)由2a n +1=a n +a n +2,得a n +1-a n =a n +2-a n +1, 所以数列{a n }是等差数列,设其公差为d. 因为a 1=1,a 6=a 1+5d =11,所以d =2. 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1(n ∈N *).(2)因为a 1,a n ,a m 构成等比数列,所以y y 2=a 1a m ,即(2n -1)2=1×(2m -1),化简,得m =2n 2-2n +1=2(y -12)2+12. 因为m ,n 是大于1的正整数,且m >n ,所以当n =2时,m 取得最小值,最小值为5.6.C 因为{a n }为等比数列,所以a 1·a 2n -1=a 2·a 2n -2=…=a 5·a 2n -5=22n,所以log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=log 2(a 1a 2n -1)y2=log 2(22y)y2=log 22y 2=n 2.故选C.7.D 在等差数列{b n }中,b 1+b 6+b 11=3b 6=-3π4,∴b 6=-π4,∴b 3+b 9=2b 6=-π2,在等比数列{a n }中,a 1·a 6·a 11=3√3,即y 63=3√3,∴a 6=√3,∴1-a 4a 8=1-(√3)2=-2,则tan y 3+y 91-y 4·y 8=tan -π2-2=tan π4=1.故选D .8.C 依题意得a 1+a 2+a 3=a 1a 2a 3,a 1+a 3=6,y 22=a 1·a 3, 故6+a 2=y 23,即(a 2-2)[(a 2+1)2+2]=0,解得a 2=2.联立{y 1+y 3=6,y 1·y 3=4,结合a 1<a 2<a 3,可解得a 1=3-√5,a 3=3+√5.依题意得a 2+a 3+a 4=a 2·a 3·a 4⇒a 4=3-√5,a 3+a 4+a 5=a 3·a 4·a 5⇒a 5=2,a 4+a 5+a 6=a 4·a 5·a 6⇒a 6=3+√5,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,且a 1+a 2+a 3=8,故S 2020=S 673×3+1=673×8+a 1=5387-√5,又√5≈2.236,所以[S 2020]=5384.故选C . 9.答案 4解析设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,得{y 1(1+y 3)=7,①y 1y (1+y )=6,②②①,得y 1y (1+y )y 1(1+y 3)=y (1+y )(1+y )(1-y +y 2)=y 1-y +y 2=67, 解得q =32或q =23,经验证可知当q =23时,{a n }不是递增数列,故q =32,所以a 1+a 2=a 1(1+q )=6y =4. 10.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0). 因为a 1,a 3,a 9成等比数列, 所以y 32=a 1·a 9, 即32=(3-2d )(3+6d ), 解得d =1或d =0(舍去), 所以a n =a 3+(n -3)·1=n.(2)证明:由(1)知,a 1=1,所以S n =na 1+y (y -1)2×d =y (y +1)2,所以b n =1y y=2y (y +1)=2(1y -1y +1),则T n =b 1+b 2+…+b n =211-12+12-13+…+1y -1y +1 =2(1-1y +1)<2.11.解析 (1)由S n =2a n -2可得a 1=2. 因为S n =2a n -2,所以当n ≥2时,a n =S n -y y -1=2a n -2y y -1,即a n =2a n -1,所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n(n ∈N *). (2)由(1)知a n =2n,所以b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n =1+2+3+…+n =y (y +1)2.所以(n -8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立等价于(y -8)(y +1)2≥k 对任意n ∈N *恒成立,等价于k ≤[(y -8)(y +1)2]min.设c n =12(n -8)(n +1),n ∈N *,则当n =3或n =4时,c n 取得最小值-10,所以k ≤-10.12.解析 (1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1000m 3的水混合后,黄河的含沙量为2×2000+20×10003000=8(kg/m 3),又从黄河流入1000m 3的水到洮河再混合后,洮河的含沙量为8×1000+20×10002000=14(kg/m3).(2)设在第n个观测点时黄河的含沙量为a n kg/m3,洮河的含沙量为b n kg/m3,由题意有a1=2,b1=20,且a n+1=1000y y+2000y y3000=2y y+y y3,b n+1=1000y y+1000y y+12000=y y+1+y y2=y y+2y y3,所以b n+1-a n+1=13(b n-a n),又b1-a1=18≠0,所以{b n-a n}是首项为18,公比为13的等比数列,∴b n-a n=18×(13)y-1.根据题意,有18×(13)y-1<0.01,即3n-1>1800,n∈N*,解得n>7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.。

苏教版高一数学必修5等差与等比数列求和习题及答案

差与等比数列求和习题1.设{a n }是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2,3,…)，则n a =________. 2.数列{a n }中，a 1 =1，当n ≥2时，n 2= a 1 a 2 a n 恒成立，则=n a .3.数列{a n }中,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) ,则=n a .4.已知数列{a n }的前n 项和S n =1－5+9－13+…+(－1)n +1(4n －3)，则S 15+S 22－S 31= .5.已知数列{a n }中，11++=n n a n，则S n = . 6.=++++++++)1(2113211211n .7.设函数f (x )满足2f (n +1)=2f (n )+n ，f (1)=2则f (20)= .8.已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = .9.在等差数列{a n }中，若S 4=21,a n －3+a n －2+a n －1+a n =67, S n =286,则n = .10.已知数列{a n }，（1）若11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，则=n a ；（2）若11=a ，n n a n n a 11+=+，则=n a ；（3）若11=a ，)2(121≥+=-n a a n n ，则=n a ；（4）若前n 项和S n =3n 2+n +1，则=n a ；（5）若211=a ，n n a n S 2=，则=n a ； 11.设a 1=2,a 2=4，b n =a n +1－a n ，b n +1=2b n +2，（1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.12．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足21),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n （1）求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；（2）求n a .13.设数列{a n }满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（1）求数列{a n }的通项；（2）设a n b n =n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．14.正数数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ，求：（1）数列{a n }的通项公式；（2）设11+=n n na ab ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：2B n <115.数列{a n }中，a 1=8,a 4=2,，满足a n +2－2a n +1+a n =0,n=1,2, …（1）数列{a n }的通项公式；（2）设n n n n b b b S N n a n b ++=∈-=21*),()12(1，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有32m S n >总成立，若存在求出m ，若不存在说明理由.参考答案1、n 12、⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2,11,12n n n n a n 3、3n +3 4、－76 5、11-+n 6、2+n n 7、97 8、1或21- 9、26 10（1）n 2 （2）n 1 （3）2n －1 （4）⎩⎨⎧≥-=2,2615n n n ，（5）)1(1+n n 11、证明：222)22(221=+++=+++n n n n b b b b ，又421=+b ∴数列{b n +2}是公比为2的等比数列。

等比数列及其求和专题训练卷(含解析)

等比数列及其求和专题训练卷一、单选题1．（2020·四川眉山高一期末）在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（） A ．3B ．4C ．5D ．22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-3．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz =（）A ．B ．-C ．±D4．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a = ，则371og a =（） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 6．（2020·河南濮阳高二期末（文））设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝（）A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+7．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（） A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里8．（2020·广西兴宁南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D）A ．#FB ．GC ．#GD ．A9．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（） A ．153116B ．153216C ．153316D ．126210．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n ≥时，22222nn a a -=，设2log n n b a =，数列()()2111n n n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =（）A ．20202021B ．20202021-C ．20192020-D ．20192020二、多选题11．（2020·海南海口高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<12．（2019·江苏太仓高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列数列中一定是等比数列的有（） A ．{}2naB ．{}1n n a a +C ．{}lg n aD ．n S ，2n n S S -，32n n S S -13．（2020·全国高三一模（文））设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值14．（2019·常州市第一中学高二期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 三、单空题15．（2020·全国高二月考（文））已知数列{}n a 是等比数列，若23a =，1427a a =，则6a =______. 16．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =_______.17．（2020·全国高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 四、双空题18．（2020·上海高二课时练习）若数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=，则5a =_____________；前8项的和8S =______________.（用数字作答）19．（2020·江苏高三其他）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝____________.20．（2019·浙江高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里．21．（2020·福建高三其他（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____. 五、解答题22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且354,16a a ==，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．23．（2019·浙江下城杭州高级中学高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．24．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S =，求λ． 25．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .26．（2020·定远县育才学校高一期末）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N ．27．（2020·四川眉山高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N --+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）求n S 和n T .（3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2020·四川眉山高一期末）在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2【答案】B 【解析】在等比数列{}n a 中，知463248a a a a ==，所以42a =，35a a =244a =.故选：B.2．（2020·北京高二期中）已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-【答案】D 【解析】由于{}n a 是等比数列，所以()446211228a a q ⎛⎫=⋅=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：D3．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz =（）A ．B ．-C ．±D【答案】B 【解析】∵数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列∴由等比数列性质知：23y xz ==，有y =若等比数列公比为q 则：20y q =-<，故y =∴xyz =-故选：B4．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a = ，则371og a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】因为等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a =，所以2311781a a a ==，所以79a =所以3731192og a og == 故选：A5．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 【答案】C 【解析】32453,a a a ，成等差数列，234253a a a ∴=+，34214151,,a a a a q a a q q === 43111325a q q q a a ∴=+，即23520q q +-=，0q >，故13q =. 故选：C6．（2020·河南濮阳高二期末（文））设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝（）A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【答案】C 【解析】由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=．故选：C7．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（） A ．6里 B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得6161[1()]2378112-==-a S ，解可得1192a =，则211192962a a q =⨯=⨯=；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．8．（2020·广西兴宁南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B 【解析】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B9．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（） A ．153116B ．153216C ．153316D ．1262【答案】B 【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列{}|3,xB y y x R ==∈，公比分别为2、12．首项都为1，所以55511[1()]1(12)152321121612S ⨯-⨯-=+=--．故选B ． 10．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n ≥时，22222nn a a -=，设2log n n b a =，数列()()2111n n n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =（）A ．20202021B ．20202021-C ．20192020-D ．20192020【答案】B 【解析】∵数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，∴当2n ≥时，222222nn n a a a -==，∴()22nn a n =≥，又∵{}n a 为等比数列，∴2nn a =，*n ∈N ，∴2log n n b a n ==，∴()()()()()212111111111nn n n n n n b b n n n n ++⎛⎫-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，∴2000111111111202011223201920202020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B . 二、多选题11．（2020·海南海口高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD 【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD12．（2019·江苏太仓高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列数列中一定是等比数列的有（） A ．{}2naB ．{}1n n a a +C ．{}lg n aD ．n S ，2n n S S -，32n n S S -【答案】AB 【解析】由数列{}n a 为等比数列可知，1nn a q a -=，(0)q ≠，对A ，2221n n a q a -=，故A 正确；对B ，211110n n n n n n a a a q a a a ++--==≠，故B 正确；；对C ，11n n n n a lga lga lg lgq a ---==，为等差数列，但是1nn lga lga -不一定为常数，即{}lg n a 不一定为等比数列，故C 错误；对D ，若(1)nn a =-为等比数列，公比1-，则n s 有可能为0，不一定成等比数列，故D 错误.故选：AB ．13．（2020·全国高三一模（文））设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值【答案】AB 【解析】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB14．（2019·常州市第一中学高二期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【解析】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 三、单空题15．（2020·全国高二月考（文））已知数列{}n a 是等比数列，若23a =，1427a a =，则6a =______. 【答案】243 【解析】由题意，14233273a a a a a ===，解得39a =.所以公比32933a q a ===，所以336393243a a q ==⨯=. 故答案为：243．16．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =_______.【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，1501a a q -≠∴≠由已知可得4411514(1)15(1),521a q a a a q S q--=-=-==--，解得11,82q a =-=-，所以33411(8)()12a a q =⨯=-⨯-=. 故答案为：117．（2020·全国高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.四、双空题18．（2020·上海高二课时练习）若数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=，则5a =_____________；前8项的和8S =______________.（用数字作答）【答案】16 255 【解析】由111,2n n a a a +==知{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知45116,a a q == ()()88181112255.112a q S q-⨯-===--19．（2020·江苏高三其他）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝____________. 【答案】121 【解析】等比数列{}n a 的公比设为q ，前n 项和为n S ，1633a a a =，可得52111()3a a q a q =，即313a q =，①4a 与5a 的等差中项为2，可得454a a +=，即34114a q a q +=，②由①②解得181a =，13q =，则5515181(1)(1)31211113a q S q⨯--===--．故答案为：121．20．（2019·浙江高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里．【答案】192 42 【解析】由题可知这六天中每天走的路程是公比为12的等比数列，设第一天走x 里，则6112378112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得192x =，即该人第一天走的路程是192里；后三天共走了34511119219219242222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（里）．故答案为：192；42．21．（2020·福建高三其他（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____. 【答案】12【解析】根据题意，设正项等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，因为132,14a S ==，可得2322214S q q =++=，解得2q或3q =-，因为0q >，所以2q ，所以112n n n a a q -==，则2n n n n nb a ==，故122121,222b b ===，当2n ≥时，则由11112(1)112(1)212n n n n nb n n b n n --===+≤---，则有1234b b b b =>>>，所以数列{}n b 中最大的项为12. 故答案为：12. 五、解答题22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且354,16a a ==，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）231nn S n =--.【解析】（Ⅰ）根据题意得：2314a a q ==，45116a a q ==，两式相除得：24q =，由于0q >，故2q， 11a =，所以数列{}n a 的通项公式为：12n na .（Ⅱ）根据题意得：1323n n n b a -=-=-，根据分组求和的方法得：()()()()1233333n n S a a a a =-+-+-++-12123323112nn n a a a n n n -=+++-=-=---.23．（2019·浙江下城杭州高级中学高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅. 【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 24．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S =，求λ．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1λ=-．【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得1λ=-.25．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）()*21n a n n N =+∈，()*3nn b n N =∈；（2）()12*33222n n S n n n N +=++-∈.【解析】（1）设d 为{}n a 公差，q 为{}n b 公比，由题意得24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+，∵0d ≠，∴2d =，∴()()*1121n a a n d n n N =+-=+∈，又241241333b a q b ⨯+====，∴()1*13n n n b b q n N -=⋅=∈；（2）由（1）得：213nn n a b n +=++，所以123353213n n S n =+++++++()()123521333n n =++++++++()321333213n n n ++-⋅=+- ()12*33222n n n n N +=++-∈.所以n S ()12*33222n n n n N +=++-∈.26．（2020·定远县育才学校高一期末）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N ．【答案】（I ）121n n a -=+；（II ）(1)(1)212n n n n S n +=-++. 【解析】（Ⅰ）121n n a a +- ()*n N ∈可得()1121n n a a +-=- ()*n N ∈，又111a -=，所以数列{}1n a -为公比为2的等比数列，所以112n n a --=，即121n n a -=+ ()*n N ∈（Ⅱ）12n n na n n -=+，设012122232n T =⨯+⨯+⨯ ()21122n n n n --++-⨯+⨯ 则1232122232n T =⨯+⨯+⨯ ()1122n n n n -++-⨯+⨯所以()1221122222n n n n T n --=--+++++⨯ ()221121n n n n n =⨯-+=-⨯+，所以()()11212n n n n S n +=-++ ()*n N ∈.27．（2020·四川眉山高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N--+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）求n S 和n T . （3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）242-=--nn S n ；31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭；（3）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由1210n n a a --+=得11122-=-n n a a ，变形为：()11112n n a a -+=+， ∵1n n b a =+，∴112n n b b -=且1112b a =+=， ∴数列{}n b 是以首项为2，公比为12的等比数列. （2）由1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，121111*********n n n T c c c c n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭∴31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，又1n n a b =- ∴2121242113n nn S n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---.（3）由111111111021223213n n T T n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以{}n T 单调递增，n T 最小为13n T =，所以11log (1)33a a -<，得：log (1)1log a a a a -<=，所以011a a a<<⎧⎨->⎩ ，解得：10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。

高一数学暑假作业(11)等比数列

（十一）等比数列一、选择题1．在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为（）（A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pq m+n-12.若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（）（A ）若q>1,则a n+1>a n （B ）若0<q<1,则a n+1<a n（C ）若q=1,则s n+1=S n （D ）若-1<q<0,则n n a a <+13．在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（）（A ）n 3 （B ）n31（C ）13+n （D ）23+n4．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x 的值为（）（A ）-4 （B ）-1 （C ）1或4 （D ）-1或-4 5．在等比数列{a n }中，S n =k-(21)n，则实数k 的值为（）（A ）1/2 （B ）1 （C ）3/4 （D ）2二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。

7.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =______。

8．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于____. 9．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则n n x x x ⋯21=10．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2=3a 5a 7+2,则实数k=11．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92222dc b a ++= 12某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为元。

高一数学第二章 2.4(二)等比数列(二)

§2.4 等比数列(二)1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.答案 4解析由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案－6解析由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案 8解析设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧ x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94. 12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13当⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323时q ＝2 ∴a n ＝13·2n －1 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1 当⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n 23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

高中等比数列(含解析)

(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
典
例
等比数列的前项和为，则 ______为，则也成等比数列，
而所以成等比数列，故，
所以 .
反
思
本题根据等比数列的前项和的性质可知也成等比数列，再利用即求得，即得结果.本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
【详解】依题意得等比数列{an}的通项，所以，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，所以数列的前n项和为 .
5．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（）
A．50B．60C．70D．80
【答案】B
【详解】数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，

高一数学知识点带例题大全

高一数学知识点带例题大全一、数列与数列求和1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

记作：an=a1+(n-1)d。

例题：已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的首项和公差，并计算第10项的值。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。

记作：an=a1*q^(n-1)。

例题：已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，求该数列的通项公式，并计算第5项的值。

3. 数列求和数列求和是指对数列中一定范围内的项进行求和。

常用的求和公式有等差数列求和公式、等比数列求和公式以及部分和公式。

例题：已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。

二、函数与方程1. 函数表示与性质函数是一种具有确定性的映射关系。

常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

例题：已知一次函数y=2x+1，求该函数的定义域、值域以及它的奇偶性和单调性。

2. 方程的解与解法方程是指两个代数式之间相等的关系。

常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。

解方程的方法有代入法、因式分解法、配方法、公式法等。

例题：求解方程2x^2-5x+2=0，并判断解的个数和属性。

三、几何与三角形1. 向量与平面几何向量是具有大小和方向的量，可以表示位移、速度、力等。

平面几何研究的是平面内点、线、面的关系及性质。

例题：已知两个向量a=3i-2j和b=i+4j，求它们的数量积和夹角，并判断是否垂直。

2. 三角形的性质与定理三角形是由三条线段组成的闭合图形。

常见的三角形类型有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

三角形的性质包括角度关系、边长关系、面积公式等。

例题：已知三角形ABC，AB=AC，∠BAC=60°，求证：BC=AB。

四、概率与统计1. 概率计算与事件关系概率是指某个事件发生的可能性大小。

常见的事件关系有互斥事件、独立事件、事件的并、交与差等。

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1. 已知等比数列}{n a 中1n n a a +>，且37283,2a a a a +=⋅=，则
117a a = 2.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225
a ，2a =1，则1a =
3. 在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a
4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =
5.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 6
9S S 6. 已知等比数列的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学计算得到S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为
7. 已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则1
32a a a + 8. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项的和为n S ，则45S a 与54S a 的大小关系是
9. 已知等比数列a a S n a n n n 则项和的前,6
12}{1+⋅=-的值为( )10. 若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a +++
+= 11. 已知数列1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+2
21b a a _______． 12. 已知等差数列{a n }，公差d ≠0,431a a a ，，成等比数列，则18
621751a a a a a a ++++= 13. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和
14. 在等比数列{}n a 中，12236,12,n a a a a S +=+=为数列{}n a 的前n 项和，则22010log (2)S += .
15. 已知等比数列,8
3,12}{83==a a a n 满足记其前n 项和为.n S （1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若.,93n S n 求=
16. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列.
（1）求{}n a 的公比q ；（2）若331=-a a ，求n S .
17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b
（1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式；
（3）试比较n a 与n S 的大小.
18.已知等比数列{}n a 的公比1q >，是1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*
N ）．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．。