(完整版)二次根式复习
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式知识点总复习含答案
二次根式知识点总复习含答案一、选择题1．a 的取值范围为() A ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在 【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ．2．已知n n 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．15D ．45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n 是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n 的最小值为5．故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．3． ）A ．±3B ．-3C ．3D ．9【答案】C【解析】【分析】进行计算即可．【详解】，故选：C.【点睛】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键.4．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.5．若m 与18是同类二次根式，则m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】 将m 与18化简，根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：18=32A. 18m =时，12==84m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m =时，=2m ，此选项符合题意C. 32m =时，=32=42m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =时，62==273m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.6．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】．7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】22=-=故选:B8．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n 的取值，即可判断P 点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn ＞0，解得m ＜0，n ＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.9．已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】【分析】 【详解】解：135315n n =，若135n 是整数，则15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．10．50·a 的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到52a ，再根据条件确定正整数a 的最小值即可．【详解】∵50·a =50a =52a 是一个整数，∴正整数a 是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．11．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 12．有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2 C．a≠2D．a≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．13．a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1C．a＝1 D．a≤1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．14．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】=2，故不是最简二次根式；故选C.此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.15．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含开的尽的因数，故B 不符合题意；C 、被开方数是小数，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．实数,a b ||a b + ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b - 【答案】A【解析】【分析】 2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】 解：0,,a b a b ＜＜＞0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．18．下列运算正确的是( )A 532=B 822=C 114293=D ()22525-=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】 A ．532≠A 错误； B ．8222-2=2=，故B 正确；C ．137374=993=，故C 错误； D ．()225255-2-=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．19．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．20．下列计算正确的是( )A 6=B =C ．2=D 5=- 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A ====C.=，此选项计算错误；5=，此选项计算错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．。
二次根式知识点复习(最新整理)
A． 10
B． 8
C． 6
D、
D. 27 D． 2
17．（08，常德）下列各式中与 是同类二次根式的是
A．2
B．
C．
18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A． 12与 1 2
B． 18与 27
C． 3与 1 3
D．
D． 45与 54
19.(08，乐山)已知二次根式
与 是同类二次根式，则的α值可以是
② a a a 0,b 0
bb
例 1 计算：
（1） ( 3)2 ；
（2） ( 2 )2 ； （3） ( a b )2 （a+b≥0） 3
分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。
例 2 计算：
⑴ 6 · 15
⑵
1
·
24
2
⑶ a 3 · ab （a≥0，b≥0）
分析：本例先利用二次根式的乘法法则计算，再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计 算结果。
9．（08，中山）已知等边三角形 ABC 的边长为 3 3 ，则ΔABC 的周长是____________；
10. 比较大小：３ 10 。
11．（08，嘉兴）使 x 2 有意义的 x 的取值范围是
．
12.(08，常州)若式子 x 5 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是
A.x>-5
．
x2
x
23.先将
÷
化简，然后自选一个合适的 x 值，代入化简后的式子求值。
x2
x3 2x2
24.（08，广州）如图，实数 a 、 b 在数轴上的位置， 化简 ： a2 b2 (a b)2
【能力提高】
25.( 08，济宁)若
《二次根式》的知识要点和习题
《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。
注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。
当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。
538是二次根式，不能写成2532。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。
（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。
6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
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二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。
2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。
例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。
2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。
3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式知识点复习
二次根式知识点复习二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在数学中，√a叫做a的平方根。
一、基本知识点1.开方运算：开方就是求一个数的平方根的运算，开方运算的结果可以是正数、负数或零。
如果b^2=a，那么√a=b。
2.平方根的性质：（1）非负性质：对于非负实数a，√a≥0。
（2）唯一性质：一个非负实数的平方根是唯一的。
（3）分段性质：对于非负实数a和b，如果a≥b，则√a≥√b。
（4）乘法性质：对于非负实数a和b，√(a×b)=√a×√b。
3.平方根的化简：（1）平方根的化简法则：对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a=b^2，则√a=b。
（2）因式分解法则：如果一个正整数a可以分解成几个不同的素数的积，那么√a可以化为这些素数的乘积的积的平方根。
二、运算法则1.加减法运算：（1）只有当二次根式的根号里的数字部分相同才能相加或相减。
（2）将相同的根号里的数字部分加或减，系数部分保持不变。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
2.乘法运算：（1）二次根式相乘，根号里面的数字相乘，系数也相乘。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
3.除法运算：（1）二次根式相除，根号里面的数字相除，系数也相除。
（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。
（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。
4.乘方运算：（1）二次根式进行乘方运算时，指数乘方，根号里面的数字也乘方，系数不变。
（2）在进行乘方运算后，如果结果可以进行根号运算，则进行根号运算并化简。
三、实际运用1.二次根式的应用：（1）二次根式经常在几何图形的计算中出现，如计算正方形、长方形的对角线、圆的周长和面积等。
（2）二次根式还可以用来表示距离、速度、力等物理量。
2.二次根式的化简：（1）二次根式的化简可以简化计算过程，提高计算效率。
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二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（ 1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（ 2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质：①②③④3.二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（ 1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（ 1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（ 1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题1．化简：______；_________．2 ．当______时，．3 ．等式成立的条件是 ______．4 ．当，化简_______．5．比较与的大小： _______．6．分母有理化：（ 1）__________；（ 2）__________；（ 3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．1．下式中不是二次根式的为（）A ．；B ．；C．； D ．2．计算得（）3．若，则化简等于（）4．化简的结果是（）5．计算的结果是（）6．化简的结果是（）7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A ．B．C． D ．8．等式成立的条件是（）9．的值为（）10．若代数式有意义，则的取值范围是（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：1．已知：，求的值．2．已知，求的值。
二次根式全章复习
二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。
考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。
例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。
例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。
2023年春季学期 二次根式专题复习
专题01二次根式专题复习【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．其中：①“”称为二次根号；②a 是被开方数，a ≥0，是一个非负数；【考试题型1】根据二次根式的形式准确判断二次根式【解题方法】判断形式，确定被开方数大于等于0。
例题讲解：1．下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--x B ．xC ．22+x D ．22-x 【考试题型2】根据被开方数大于等于0求未知数的值或范围。
【解题方法】利用被开方数大于等于0建立不等式，解不等式。
例题讲解：2．若x 31-是二次根式，则x 的值不可能是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1考点二：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。
即a 中，a ≥0。
【考试题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围【解题方法】利用式子中所有二次根式的被开方数都大于等于0建立不等式（组）求解集，同时若式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
例题讲解：3．若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ＜2【考试题型2】利用二次根式有意义求式子【解题方法】利用二次根式有意义的条件求出相应字母的值，再带入需要求的式子。
例题讲解：4．已知y ＝322+-+-x x ，则x y 的值是（）A ．5B ．6C ．8D ．﹣8考点三：二次根式的性质二次根式的基本性质：①二次根式的双重非负性。
即a ≥0；a ≥0．②（a ）2＝a （a ≥0）（一个数的算术平方根的平方等于它本身）．③()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）。
【考试题型1】二次根式的非负性：几个非负数的和等于0，这个几个非负数分别等于0。
【解题方法】结合绝对值，偶次方，让被开方数，绝对值符号内的式子以及底数分别为0建立方程解方程即可。
二次根式复习专题讲义(补课用)详解
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.a ≥0）是一个非负数。
③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算 （1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习： 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算 （1））（3-） （2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习： 一、选择题1．）．AC2（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。
教案--二次根式总复习
二次根式【基本知识点】1.二次根式：含有式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】a （a ＞0） ==a a 2a -（a ＜0）0 （a =0）；1、概念与性质例1下列各式（1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，5）ba 最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4下列各组二次根式中是同类二次根式的是A ．2112与B ．2718与C ．313与 D ．5445与 变式：若二次根式323a +与—253a -是同类二次根式，则a 为A ．a ＝6B ．a ＝2C ．a ＝3或a ＝2D ．a ＝1例5已知51023y x x =-+--，则xy ＝A ．－15B ．－9C ．9D ．15 变式：已知的值。
二次根式复习讲义
二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如11的式子叫二次根式，其中」叫被幵方数，只有当-是一个非负数时，■/-:才有意义.【典型例题】【例1 】下列各式（1）, 1,2）、,=,3）「X1 2 32,4）.,4,5）、（-；）2。
仁,7） a2-2a 1 ,其中是二次根式的是 _________ （填序号）.1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、、. aB、，:T OC、. a 1D、丁2、在苗、疏、声1、后7、胎中是二次根式的个数有 ________________ 个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是J x - 3举一反三：2使代数式有意义的x的取值范围是（）x -4A、x>3B、x^3C、x>4D、x^3 且x 羽3使代数式、.-x2,2x-1有意义的x的取值范围是 _________________3、如果代数式..1有意义，那么，直角坐标系中点P （m，n）的位*mn置在（）举一反三：A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=、x 一5 +- x +2009，贝U x+y=x「5 _ 0解题思路：式子苗(a 为),i ~ , x = 5 , y=2009，贝U x+y=20145-xKO举一反三：1、若— .1 —X =(x y)2，则x —y 的值为( )A1 B . 1 C . 2 D . 32、若x、y都是实数，且y= •-2x -3二3 -2x • 4，求xy的值3、当a取什么值时，代数式''2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
4、已知a是.5整数部分，b是.5的小数部分，求—的值。
b + 25、若.3的整数部分是a，小数部分是b，贝V .、3a-b二_______ 。
2 +丄6、若17的整数部分为x，小数部分为y，求X ~的值•知识点二：二次根式的性质【知识要点】71.非负性：•. a(a_0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2.( .a)2-0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a = (•• a)2(a _0)$ —嘗0)注意：(1)字母不一定是正数.(2)能幵得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把 负号留在根号外. 4.公式a 2=|a| 与( ..a)2=aa 0)的区别与联系l-a(acO)(1) ,a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数.(2)C.a)2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数.(3) -,a 2和C..a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】［例 4】若a-21 "b —3+(c-4) =0,则 a-b + c=.举一反三：1、若.m -3 • (n 1)2=0，贝卩m n 的值为 _______________ 2、已知x,y 为实数，且、x-1，3y-22 = 0，则x-y 的值为()A . 3B . - 3C . 1D . - 13、 已知直角三角形两边 x 、y 的长满足| x 2— 4 | + y 2「5y • 6 = 0，贝U 第三边长为 ___________ .____________ 20054、 若a_b 1与'-a2b 4互为相反数，则a_b二 ---------------------- 。
二次根式复习要点
二次根式复习知识点一、二次根式的概念a ≥0）的式子叫做二次根式。
a 叫做“被开方数”，为二次根号．判断二次根式的方法：①看它是否有根号；②看根指数是否是2；③看被开方数是否是非负数。
同时满足这三个条件的式子才是二次根式。
二、二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。
▲（若二次根式在分母中，要保证分母不能0）★解题技巧：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，如果两个二次根式都有意义，则被开方数都大于等于零。
通常情况下，通过解不等式组求字母的取值范围。
例：⑴当时，有意义。
⑵函数1y x=+的自变量x 的取值范围是 。
⑶已知，求得xy的值（ ）． 三、二次根式的性质≥0) ★二次根式具有双重非负性2.=2)(a （a ≥0） 3. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a例：⑴当5<a等于 。
⑵已知x<y,化简的结果是________。
2x =-，则x 的取值范围是________________________。
四、二次根式的乘除乘法运算法则a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0）★积的算术平方根等于各因式算术平方根的积。
利用这个性质可以进行二次根式的化简。
（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）★商的算术平方根等于算术平方根的商。
利用这个性质可以进行二次根式的化简五、最简二次根式：必须同时满足下列条件：★⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
六、二次根式的加减：㈠同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
▲判断同类二次根式方法：先化简二次根式，再看被开方数是否相同。
㈡合并同类二次根式：将同类二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
▲注意：合并同类二次根式时，要先将二次根式化简。
㈢二次根式的加减：①实质：合并同类二次根式。
②运算步骤：先化简每个二次根式，再识别同类二次根式，最后合并同类二次根式（不是同类二次根式的不能合并）。
二次根式全章复习
2. 下列各式一定是二次根式的是（ C ）.
A. x +1 B. x2 1
C. x2
1
D. x
例1 x取什么实数时，二次根式 2x 1 有意义？
解：二次根式 2x 1 有意义的条件是2x-1≥0．
由2x-1≥0，得 x≥ 1 2
即当x取大于或等于 1 的实数时，式子 2
2x 1有意义．
因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，
144、 m2 + 20 、 3a、 a2 + b2 、 15 、 b2 1 .
3.a取什么实数时，下列各式有意义？
(1) a + 2; a≥－2
(2) a2 ; a为任意实数
(3) 1 . a
a＞0
例2 计算： (1)( 16)2;
(2)(3 7 )2;
(3)( 0.85)2;
解： (1)( 16)2 =16；
四种运算
加 、减、乘、除
式子 S+25 ，
2S ，
4S 9
与算术平方根的共同点:
①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
1.判断下列各式是否是二次根式.
5 ( × ) a (a 0)( × ) 3 8 ( × ) a (a 0)( √ )
1、 x +1• x 1 x2 1的成立的条件是（
）
x +1＞0且x 1＞ 0，即：x＞1
2、如果： x 2 + 6 y + z2 6z + 9 0
求 x • y • z 的值：
x 2，y 6，z 3即：x y z 36 6
(完整版)二次根式复习
二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“〞．主要内容有：〔 1〕二次根式的有关看法，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；〔 2〕二次根式的性质；〔3〕二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质：①②③④3.二次根式的运算二次根式的运算主若是研究二次根式的乘除和加减．〔 1〕二次根式的加减：需要先把二次根式化简，尔后把被开方数相同的二次根式〔即同类二次根式〕的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，要点是合并同类二次根式，平时是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2〕二次根式的乘法：（3〕二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法那么要灵便运用，在实质运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．〔4〕二次根式的混杂运算：先乘方〔或开方〕，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可合适改变运算序次进行简略运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法那么和乘法公式，解析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简略．二次根式运算结果应尽可能化简．别的，根式的分数必定写成假分数或真分数，不能够写成带分数．比方不能够写成．【难点指导】1、若是是二次根式，那么必然有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也能够将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，能够是任意实数；4、差异和的不相同：中的能够取任意实数，中的只能是一个非负数，否那么没心义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个路子：〔 1〕因式的内移：因式内移时，假设，那么将负号留在根号外．即：．〔 2〕因式外移时，假设被开数中字母取值范围未指明时，那么要进行谈论．即：6、二次根式的比较：〔 1〕假设，那么有；〔2〕假设，那么有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去今后再比较大小．二次根式增强训练与复习坚固自测试题1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是 ______．4．当，化简_______．5．比较与的大小： _______．6．分母有理化：〔 1〕__________；〔 2〕__________；〔 3〕__________．7．，，，那么________．8．计算_________．9．若是，那么的值为___________．10．假设有意义，那么的取值范围是___________．1．下式中不是二次根式的为〔〕A．；B．；C．；D．2．计算得〔〕3．假设，那么化简等于〔〕4．化简的结果是〔〕5．计算的结果是〔〕6．化简的结果是〔〕7．把式子中根号外的移到根号内，得〔〕A．B．C．D．8．等式成立的条件是〔〕9．的值为〔〕10．假设代数式有意义，那么的取值范围是〔〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕求值题：1．：，求的值．2．，求的值。
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二次根式小结与复习
【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．
【要点归纳】
1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
2. 二次根式的性质：
①
②
③
④
3. 二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成
带分数．例如不能写成．
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
二次根式强化训练与复习巩固自测试题
1．化简：______；_________．
2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．
4．当，化简_______．
5．比较与的大小：_______．
6．分母有理化：
（1）__________；（2）__________；（3）__________．
7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
1．下式中不是二次根式的为（）
A．；B．；C．；D．
2．计算得（）
3．若，则化简等于（）4．化简的结果是（）
5．计算的结果是（）
6．化简的结果是（）
7．把式子中根号外的移到根号内，得（）
A．B．C．D．
8．等式成立的条件是（）
9．的值为（）
10．若代数式有意义，则的取值范围是（）
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
（9）（10）
求值题：
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
五、解答题：（每小题4分，共16分）
1．解方程：
2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC 的形状．
3．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？。