全国Ⅱ2010年高考数学理(甘肃 贵州 新疆 青海 西藏 内蒙古 云南)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ） （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ） （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为（ ） （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =u u u r（ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）（A ）1 （B （C ）2 （D ）3（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． （14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+． （Ⅰ）求limnn na S →∞； （Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分） 设函数()1x f x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题（13）－21 （14）1 （15 ）2 （16）3 三、解答题（17）解： 由3cos 052ADC B π∠=><知由已知得124cos ,sin 135B ADC =∠=， 从而sin sin()BAD ADC B ∠=∠-=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠41235513513=⨯⨯⨯3365=.由正弦定理得AD sin sin BDB BAD=∠, 所以sin AD sin BD B BAD∙=∠53313==2565⨯. （18）（Ⅰ）1limlim n n n n n n n a S S S S -→∞→∞-=1lim(1)nn nS S -→∞=-11lim n n n S S -→∞-，1111lim lim 133n n n nS n S n -→∞→∞-=⋅=+， 所以2lim3n n n a S →∞=. （Ⅱ）当1n =时，112631a S ==>； 当1n >时，1222212n a a a n +++112122212n n S S a S S n---=+++（19）解：（Ⅰ）连接1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F.因为面11AA B B 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF FB =. 又13AE EB =，所以1FE EB =，又D 为1BB 的中点， 故//DE BF ，1DE AB ⊥.作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点.又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥面11AA B B .连接DG ，则1//DG AB ， 故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥. 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1//DG AB ，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=. 设2AB =，则1AB DG CG AC ==作111B H AC ⊥，H 为垂足.因为底面111A B C ⊥面11AAC C ，故1B H ⊥面11AAC C ，又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角.111B H ==，1HC =，1AC ==111AA HC HK AC ⨯==（20）解:记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，（Ⅰ）123123A A A A A A A =，，，相互独立，3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===-, 又P()1P(A)=10.9990.001A =--=，故3(1)0.0010.9p p -==，， （Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A =，44134123P(B)P(A +A A A +A A A A )=44134123P(A )+P(A A A )+P(A A A A )=44134123P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )==0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立， 故~(4,0.9)B ξ，40.9 3.6E ξ=⨯=.（21）解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+. 代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=.设11(,)B x y 、22(,)D x y ，则22221212222244,a a a b x x x x b a b a ++=⋅=---，①由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a⨯=-，即223b a =，②故2c a ==，所以C 的离心率2ce a==. （Ⅱ）由①、②知，C 的方程为：22233x y a -=，2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<，故不妨设12,x a x a ≤-≥.12BF a x ===-，22FD x a ===-，12(2)(2)BF FD a x x a ⋅=--2121242()x x a x x a =-++-2548a a =++.又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1,a =或95a =-（舍去）.故126BD x =-==.连接MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点Ａ处于x 轴相切． 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切. （22）解：于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x R ∈时，()(0)g x g ≥，即1x e x ≥+. 所以当1x >-时，()1xf x x ≥+. （Ⅱ）由题设0x ≥，此时()0f x ≥. 当0a <时，若1x a>-，则01x ax <+，()1xf x ax ≤+不成立；。