2017-2018学年高中数学人教A版必修三阶段质量检测：(三) Word版含答案
人教A版高中数学必修三试卷高一年级期中考参考答案.docx
高中数学学习材料唐玲出品高一年级数学期中考参考答案一、选择题（每题3分，共10题，合计30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BACCBDAAAC二、填空题（每题3分，共7题，合计21分）11．12 12．3 13 ．4π14．22 15．202海里/小时 16．272 17．34三、解答题：本大题共5小题，共49分） 18．23k =-或113k =或3132k ±= ……..7分19．解：（1）213()2cos 1cos()cos cos sin 2322xf x x x x x ωπωωωω=-++=+- 332cos sin 3sin 223x x x πωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,………..3分 由T AB 21==π，得22T ππω==，则1ω=……………..4分 （2）由（1）得33)32sin(3)(=+=πx x f ，则31)32sin(=+πx .由⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，得322)32cos(-=+πx ，……………..6分 =-+=∴)3232sin(sin ππx x 32cos )32sin(ππ+x 32sin)32cos(ππ+-x616223)322()21(31-=⨯---⨯=………………10分 20．解:(I)由已知⎩⎨⎧=-+=+5)1(222232d b q d ∴0322=-+d d 得1=d 或23-=d又012>+=d q ∴1=d ⇒2=q ∴1+=n a n , 212+=n n b (6)分(Ⅱ)集合A 与集合B 的相同元素和为:302222432=+++ ……10分21．解(1)由已知得: cos 3sin cos cos c B b C a c B b C ⋅+==+ 3sin cos b C b C ∴=3tan 3C ∴=6C π∴= … …3分 （2）由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C === 2sin ,2sin 2sin()6a Ab B A π∴===+ 22224sin sin ()423sin(2)63a b A A A ππ⎡⎤∴+=++==+-⎢⎥⎣⎦… …7分由于三角形为锐角三角形 32A ππ∴<<3sin(2)123A π∴<-≤ 227423a b ∴<+≤+… …10分22．解：（1）令1n =，则32111+2a S S =，即32111+2a a a =，所以12a =或11a =-或10a =又因为数列{}n a 的各项都是正数，所以12a =令2n =，则3321222+2a a S S +=，即332121212()2()a a a a a a +=+++解得13a =或12a =-或10a = 又数列{}n a 的各项都是正数，所以23a =… …2分 （2）33332123+2(1)n n na a a a S S ++++=33332123111+2(2)(2)n n n a a a a S S n ---∴++++=≥ 由(1)(2)-得32211(+2)(+2)n n n n n a S S S S --=-化简得到212(3)n n n a S S -=++ 21122(3)(4)n n n a S S n ---∴=++≥由(3)(4)-得221112(2)(2)n n n n n n a a S S S S -----=++-++化简得到2211n n n n a a a a ---=+，即11(3)n n a a n --=≥… …6分当2121n a a =-=时，，所以11(2)n n a a n --=≥ 所以数列{}n a 是一个以2为首项，1为公差的等差数列1(1)2(1)1n a a n d n n ∴=+-=+-=+… …8分（3）113(1)2n n n n b λ-+=+-⋅因为对任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，即有12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅ 化简得113(1)()32n nλ--<⋅ … …10分当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，113()32λ<⋅，即12λ<当n 为偶数时，13()32n λ>-⋅恒成立，213()32λ>-⋅，即34λ>-3142λ∴-<< … …12分附加题(本大题共10分,每小题5分)1． (0,3⎤⎦2． 372。
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册
模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{5},B ＝{1,2},C ＝{1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A ．36B ．35C ．34D ．33【答案】D 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 12C 13A 33＝36,但集合B ,C 中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36－3＝33.2．在4次独立重复试验中,事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率是6581,则事件A 在一次试验中出现的概率是( )A ．13B ．25C ．56D ．23【答案】A 【解析】设事件A 在一次试验中出现的概率是p .由事件A 至少发生1次的概率为6581,可知事件A 一次都不发生的概率为1－6581＝1681,所以(1－p )4＝1681,则p ＝13.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ,k ＝1,2,…,则P (2＜X ≤4)等于( )A ．516B ．316C ．116D ．14【答案】B 【解析】P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P (AB )＝14,P (A )＝12,∴P (B |A )＝P AB P A ＝12.5．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2n 的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中含x 3项的系数是( )A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D 【解析】由2n＝64得n ＝6,T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝⎛⎭⎪⎫12x 2r ＝12rC r 6x 6－3r ,令6－3r ＝3,得r＝1,故含x 3项的系数为121C 16＝3.6．为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查40人,得到如下数据：项目 患流感 未患流感 服用药 2 18 未服用药812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α 0.1 0.05 0.01 0.005 x α2.7063.8416.6357.579根据表中数据,计算χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d,若由此认为“该药物有效”,则该结论出错的概率不超过( )A ．0.05B ．0.1C ．0.01D ．0.005【答案】A 【解析】完成2×2列联表项目 患流感 未患流感 合计 服用药 2 18 20 未服用药 8 12 20 合计103040χ2＝40×2×12－8×18210×30×20×20＝4.8＞3.841＝x 0.05.7．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析,得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据,求得经验回归方程为y ＝0.8x ＋a ,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力为( )A ．9.5B ．9.8C ．9.2D ．10【答案】A 【解析】∵x ＝14×(4＋6＋8＋10)＝7,y ＝14×(3＋5＋6＋8)＝5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a ^,∴a ^＝－0.1,∴y ＝0.8x －0.1,当x ＝12时,y ＝0.8×12－0.1＝9.5.8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )A ．40种B ．30种C ．20种D ．60种【答案】C 【解析】分类解决．甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A 24＝12(种)方法；甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A 23＝6(种)方法；甲排周三,乙,丙只能安排在周四和周五,有A 22＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知,共有12＋6＋2＝20(种)方法．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0,则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋…＋a 7＝129C ．a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8 128【答案】BC 【解析】令x ＝0,则a 0＝－1,A 错误；令x ＝1,得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128①,所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129,B 正确；令x ＝－1,得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7②,①－②,得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7,∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256,C 正确；①＋②,得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7,∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128,D 错误．10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y )A ．E (X )＝2B ．D (X )＝1.4C ．E (Y )＝5D ．D (Y )＝7.2【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质得q ＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1,E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2,D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8,∵离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1,∴E (Y )＝2E (X )＋1＝5,D (Y )＝4D (X )＝7.2.故选ACD ．11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )A ．若任意选择三门课程,选法总数为A 37 B ．若物理和化学至少选一门,选法总数为C 12C 26 C ．若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 15D ．若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为C 12C 25－C 15【答案】ABD 【解析】对于A,若任意选择三门课程,选法总数为C 37,错误；对于B,若物理和化学选一门,有C 12种方法,其余两门从剩余的5门中选,有C 25种选法,选法为C 12C 25；若物理和化学选两门,有C 22种选法,剩下一门从剩余的5门中选,有C 15种选法,有C 22C 15种,由分类加法计数原理知,总数为C 12C 25＋C 22C 15,错误；对于C,若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 22C 15＝(C 37－C 15)种,正确；对于D,有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选,有C 11C 24种选法；②选化学,不选物理,有C 11C 25种选法；③物理与化学都选,有C 22C 14种选法,故总数为C 11C 24＋C 11C 25＋C 22C 14＝6＋10＋4＝20(种),错误．故选ABD ．12．为研究需要,统计了两个变量x ,y 的数据情况如下表：其中数据x 1,x 2,x 3,…,x n 和数据y 1,y 2,y 3,…,y n 的平均数分别为x 和y ,并且计算相关系数r ＝－0.8,经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则下列结论正确的为( )A ．点(x ,y )必在回归直线上,即y ＝b ^ x ＋a ^B ．变量x ,y 的相关性强C ．当x ＝x 1,则必有y ＝y 1D ．b ^＜0【答案】ABD 【解析】A ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ,y ),即y ＝b ^ x ＋a ^,所以A 正确；B ．相关系数r ＝－0.8,|r |＞0.75,变量x ,y 的相关性强,所以B 正确；C ．当x ＝x 1时,不一定有y ＝y 1,因此C 错误；D ．因为r ＝－0.8＜0,是负相关,所以b ^＜0,D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．一射击测试中,每人射击3次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击中目标的概率为23,则此人得分的均值是________,得分的方差是________．【答案】202003 【解析】记此人3次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23,ξ＝10η,所以E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20,D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 14．在二项式(2＋x )9的展开式中,常数项是________．【答案】16 2 【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r·x r,令r ＝0,得常数项为C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.15．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种(填数字)．【答案】56 【解析】由题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C 38＝56(种)．四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．解：除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部分给某一个班,有C 16种分法； (2)4个名额分给两个班,每班2个,有C 26种分法；(3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共有A 26种分法；(4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每班1个,共有C 16·C 25种分法； (5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C 46种分法． 故共有C 16＋C 26＋A 26＋C 16·C 25＋C 46＝126(种)分配方法．17．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项,而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r 2,令20－5r ＝0,得r ＝4,故常数项T 5＝165×C 45＝16.又(a 2＋1)4展开式的各项系数之和等于2n, 由题意知2n＝16,得n ＝4,由二项式系数的性质知,(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3, 故有C 24a 4＝54,解得a ＝± 3.18．某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对,则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数,假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的均值．解：(1)依题意知X 所有可能取值为0,1,2,3,4, P (X ＝0)＝C 04C 44C 48＝170,P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835,P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835,P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835,P (X ＝4)＝C 44C 04C 48＝170.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1708351835835170(2)令Y 表示此员工的月工资,则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500, 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170, P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835,P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝1835＋835＋170＝5370.所以E (Y )＝170×3 500＋835×2 800＋5370×2 100＝2 280(元)．所以此员工月工资的均值为2 280元．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表：态度 性别合计 男性 女性反感 10不反感 8总计30已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X ,求X 的分布列和均值．附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 x α2.7063.8416.6357.879解：(1)态度 性别合计 男性 女性 反感 10 6 16 不反感6814合计1614 30由已知数据得χ2＝30×10×8－6×6216×14×16×14≈1.158＜2.706＝x 0.1.所以,没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X 的可能取值为0,1,2,P (X ＝0)＝C 28C 214＝413,P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891,P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 0 1 2 P41348911591X 的均值为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.20．近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算,把2016年编号为1,2017年编号为2,…,2020年编号为5)．(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．解：(1)由散点图可得,变量x i ,y i 组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),则x ＝3,y ＝19,所以b ^＝－2×－6＋－1×－4＋0×1＋1×3＋2×6－22＋－12＋02＋12＋22＝3.1.a ^＝y －b ^x ＝19－3.1×3＝9.7.所以所求经验回归方程为y ^＝3.1x ＋9.7.(2)由3.1x ＋9.7＞35,得x ＞8.16,因为x ∈N ,所以x ＝9.故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．21．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动．根据市场调查,该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同),选出4种不同型号的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买任何一种型号的商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m (m ＞0)元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12.(1)求选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率； (2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ,请写出X 的分布列,并求X 的均值；(3)该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)设“选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A ,则P (A )＝2C 12C 13＋C 12C 12C 23C 47＝2435. (2)X 的所有可能的取值为0,m,2m,3m .P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18, P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38, P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38,P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18,所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为于是顾客在3E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利,应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额,因此应有1.5m ＜150,所以m ＜100.故每次中奖奖金要低于100元,才能使促销方案对商场有利．。
人教A版高中数学选择性必修第三册习题课(三) 成对数据的统计分析含答案
习题课（三） 成对数据的统计分析一、选择题1．在建立两个变量y 与x 的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，它们的R 2如下，其中拟合得最好的模型为( )A ．模型1的R 2为0.75B ．模型2的R 2为0.90C ．模型3的R 2为0.25D ．模型4的R 2为0.55解析：选B R 2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说拟合效果越好． 2．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A.由样本数据得到的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －) B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用决定系数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y 和x 之间的样本相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好． 3．对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的样本相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型Ⅰ：样本相关系数r 为0.96B ．模型Ⅱ：样本相关系数r 为－0.81C ．模型Ⅲ：样本相关系数r 为－0.53D ．模型Ⅳ：样本相关系数r 为0.35 解析：选A |r |越大，拟合效果越好．4．关于残差和残差图，下列说法正确的是( ) A ．残差就是随机误差 B ．残差图的横坐标是残差C ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高D ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低解析：选C 根据残差分析的概念可知，C 选项正确．残差是真实值减去估计值． 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋bx 2C ．y ＝a ＋b e xD ．y ＝a ＋b ln x解析：选D 用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y ＝a ＋b ln x .6．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为患肝病与嗜酒有关；②根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为患肝病与嗜酒有关；③没有证据显示患肝病与嗜酒有关.患病状况 饮酒习惯合计嗜酒(Y ＝0)不嗜酒(Y ＝1)患肝病(X ＝0) 7 775 42 7 817 未患肝病(X ＝1)2 099 49 2 148 合计9 874919 965其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0 解析：选B 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝9 965×(7 775×49－42×2 099)27 817×2 148×9 874×91≈56.632，由56.632>10.828>6.635.且P (χ2≥10.828)≈0.001，P (χ2≥6.635)≈0.01. 所以①②均正确． 二、填空题7．调查某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)显示，年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的经验回归方程y ^＝0.254x ＋0.321.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由经验回归方程y ^＝0.254x ＋0.321，知x 每增加1，y 增加0.254. 答案：0.2548．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x /个 10 2030 40 50 加工时间y /min62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________． 解析：由表知x ＝30，设模糊不清的数据为m ， 则y ＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m 5，因为y ＝0.67x ＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9，解得m ＝68.答案：689．假设关于某设备的使用年限x (单位：年)和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：x /年 2 3 4 5 6 y /万元2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且经验回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，其中已知b ^＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为________万元．解析：由表中数据可知， x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.∵经验回归直线一定经过点(x －，y －)， ∴5＝a ^＋1.23×4，∴a ^＝0.08，∴经验回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.故估计使用年限为20年时，维修费用约为y ＝1.23×20＋0.08＝24.68(万元)． 答案：24.68 三、解答题10．2023年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过网络关注评选“身边的好老师”，并对选出的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据：(1)若“好老师”的被关注数量y 与其班主任的工作年限x 满足经验回归方程，试求经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；(2)若用y ix i(i ＝1,2,3,4,5)表示统计数据时被关注数量的“即时均值”(四舍五入到整数)，从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率．解：(1)因为x －＝8，y －＝36，所以b ^＝40＋120＋320＋600＋600－5×8×3616＋36＋64＋100＋144－5×82＝6，a ^＝36－6×8＝－12， 所以y ^＝6x －12.当x ＝15时，y ^＝6×15－12＝78(百人)．(2)这5次统计数据，被关注数量的“即时均值”分别为3,3,5,6,4.从5组“即时均值”任选2组，共有C 25＝10种情况，其中2组数据之和小于8为(3,3)，(3,4)，(3,4)共3种情况，所以这2组数据之和小于8的概率为310.11．“双11”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双11”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额t 的平均值t －和中位数t 0.(2)把下表中空格里的数填上，并判断能否根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为网购消费与性别有关？单位：人消费金额 性别合计 男(Y ＝0)女(Y ＝1)t ≥t 0(X ＝0) t <t 0(X ＝1) 30 合计45解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额t 的平均值 t －＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5. 直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5. 所以t 的中位数t 0＝10. (2)补充列联表如下：消费金额 性别合计男(Y ＝0) 女(Y ＝1) t ≥t 0(X ＝0) 25 25 50 t <t 0(X ＝1) 20 30 50 合计4555100零假设为H 0：网购消费与性别独立，即网购消费与性别无关． 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝100×(25×30－25×20)250×50×45×55＝10099≈1.01<10.828＝x 0.001.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，因此可以认为H 0成立，即认为网购消费与性别无关．12．流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：(1)求y 关于x 的回归直线方程；(2)计算变量x ，y 的样本相关系数r (计算结果精确到0.01)，并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强．(若|r |∈[0.75,1]，则x ，y 相关性很强；若|r |∈[0.3，0.75)，则x ，y 相关性一般；若|r |∈[0,0.3)，则x ，y 相关性较弱)参考数据：30≈5.477.参考公式：b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，样本相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2·∑i ＝1n(y i －y )2.解：(1)由题意得，x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝22＋22＋17＋14＋105＝17，b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝(－2)×5＋(－1)×5＋0×0＋1×(－3)＋2×(－7)(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝－3.2，a ^＝y －b ^x ＝17＋3.2×4＝29.8， 故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－3.2x ＋29.8.(2)∵r ＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2·∑i ＝15(y i －y )2＝－3210×108＝－16330≈－0.97，∴r ＜0，说明x ，y 负相关．又|r |∈[0.75,1]，说明x ，y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春季流感人数与年龄负相关很强．。
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评19 Word版含答案
(整数值)随机数(random numbers)的产生一、选择题1．袋子中有四个小球分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字有放回地从中任取一个小球取到“快”就停止用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数且用1234表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字以每两个随机数为一组代表两次的结果经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计直到第二次就停止的概率为( )A 15B ．14C 13D ．12【解析】 由随机模拟产生的随机数可知直到第二次停止的有1343231313共5个基本事件故所求的概率为P ＝520＝14【答案】 B2．某班准备到郊外野营为此向商店订了帐蓬如果下雨与不下雨是等可能的能否准时收到帐篷也是等可能的只要帐篷如期运到他们就不会淋雨则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨机会为34C ．淋雨机会为12D ．淋雨机会为14【解析】 用A 、B 分别表示下雨和不下雨用a 、b 表示帐篷运到和运不到则所有可能情形为(Aa )(Ab )(Ba )(Bb )则当(Ab )发生时就会被雨淋到∴淋雨的概率为P ＝14【答案】 D3．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数指定1234表示命中567890表示没有命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )【28750061】A ．035B ．025C ．020D ．015【解析】 恰有两次命中的有191271932812393共有5组则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为520＝025【答案】 B二、填空题6．抛掷两枚相同的骰子用随机模拟方法估计向上面的点数和是6的倍数的概率时用123456分别表示向上的面的点数用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个每组第i 个数组成一组共组成60组数其中有一组是16这组数表示的结果是否满足向上面的点数和是6的倍数：________．(填“是”或“否”)【解析】 16表示第一枚骰子向上的点数是1第二枚骰子向上的点数是6则向上的面的点数和是1＋6＝7不表示和是6的倍数．【答案】 否7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事但他不知道客车的车况也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车他采取如下策略：先放过一辆如果第二辆比第一辆好则上第二辆否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．【解析】 共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)所以他乘坐上等车的概率为36＝12【答案】 128．甲、乙两支篮球队进行一局比赛甲获胜的概率为06若采用三局两胜制举行一次比赛现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数用012345表示甲获胜；6789表示乙获胜这样能体现甲获胜的概率为06因为采用三局两胜制所以每3个随机数作为一组．例如产生30组随机数．034743738636964736614698637162332 616804560111410959774246762428114572 042533237322707360751据此估计乙获胜的概率为________．【解析】就相当于做了30次试验．如果6789中恰有2个或3个数出现就表示乙获胜它们分别是738636964736698637616959774762707共11个．所以采用三局两胜制乙获胜的概率约为1130≈0367【答案】0367三、解答题9．一个袋中有7个大小、形状相同的小球6个白球1个红球．现任取1个若为红球就停止若为白球就放回搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．【解】用123456表示白球7表示红球利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数因为要求恰好第三次摸到红球的概率所以每三个随机数作为一组．例如产生20组随机数．666743671464571561156567732375716116614445117573552274114622就相当于做了20次试验在这组数中前两个数字不是7第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸的是白球第三次恰好是红球它们分别是567和117共两组因此恰好第三次摸到红球的概率约为220＝01 10．一个学生在一次竞赛中要回答8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15化学题的编号为16～35生物题的编号为36～47【解】利用计算器的随机函数RANDI(115)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(1635)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(3647)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)这样就得到8道题的序号．[能力提升]1．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是08现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至多击中1次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数指定01表示没有击中目标23456789表示击中目标；因为射击4次故以每4个随机数为一组代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5 7270 2937 1409 8570 3474 373 8 636 9 647 1 417 4 6980 371 6 233 2 616 8 045 6 0113 661 9 597 7 424 6 710 4 281据此估计该射击运动员射击4次至多击中1次的概率为( )A ．095B ．01 C015 D ．005【解析】 该射击运动员射击4次至多击中1次故看这20组数据中含有0和1的个数多少含有3个或3个以上的有：6011故所求概率为120＝005【答案】 D2．在一个袋子中装有分别标注数字12345的五个小球这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A 310B ．15C 110D ．112 【解析】 随机取出两个小球有(12)(13)(14)(15)(23)(24)(25)(34)(35)(45)共10种情况和为3只有1种情况(12)和为6可以是(15)(24)共2种情况．所以P ＝310【答案】 A3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是________．【解析】[ab]中共有b－a＋1个整数每个整数出现的可能性相等所以每个整数出现的可能性是1b－a＋1【答案】1b－a＋14．一份测试题包括6道选择题每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．【解】我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确123表示猜的选项错误这样可以体现猜对的概率是25%因为共猜6道题所以每6个随机数作为一组．例如产生25组随机数：330130302220133020022011313121222330231022001003213322030032100211022210231330321202031210232111210010212020230331112000102330200313303321012033321230就相当于做了25次试验在每组数中如果恰有3个或3个以上的数是0则表示至少答对3道题它们分别是001003030032210010112000即共有4组数我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为425＝016。
新教材高中数学章末综合检测三成对数据的统计分析新人教A版选择性必修第三册
章末综合检测（三） 成对数据的统计分析A 卷——基本知能盘查卷一、单项选择题1．可用来分析身高与体重有关系的是( ) A ．残差分析 B ．线性回归模型 C ．等高堆积条形图D ．独立检验解析：选B 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用线性回归模型来解决．2．两个变量y 与x 的经验回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合y 与x 之间的关系，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1 C ．模型3D ．模型4解析：选A 两个变量y 与x 的经验回归模型中，它们的相关指数R 2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，所给出的四个选项中0.98是相关指数最大的值，所以拟合效果最好的模型是模型1.3．已知一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2＝( )A ．0B ．0.5C ．0.9D ．1选D4．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据为( ) A ．χ2＞3.841 B ．χ2＜3.841 C ．χ2＞6.635D ．χ2＜6.635解析：选A 由独立性判断的方法可知，如果有95%的把握，即小概率值α＝0.05，则χ2＞3.841.5．观察两个变量(存在线性相关关系)得如下数据：A.y ^＝12x ＋1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋13D.y ^＝x ＋1解析：选 B 根据表中数据得x －＝18×(－10－6.99－5.01－2.98＋3.98＋5＋7.99＋8.01)＝0，y －＝18×(－9－7－5－3＋4.01＋4.99＋7＋8)＝0，所以两变量x ，y 的经验回归方程过样本点的中心(0,0)，可以排除A 、C 、D 选项，故选B.6．2020年初，新型冠状病毒(COVID 19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数(x ) 1 2 3 4 5 治愈人数(y )2173693142由表格可得y 关于x 的二次回归方程为y ^＝6x 2＋a ，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为( )A ．5B ．4C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x 2，则t －＝15(1＋4＋9＋16＋25)＝11，y －＝15(2＋17＋36＋93＋142)＝58，a ＝58－6×11＝－8，所以y ^＝6x 2－8.令x ＝4，得e 4＝y 4－y ^4＝93－6×42＋8＝5.7．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：喜爱程度 性别合计 男(Y ＝0) 女(Y ＝1) 爱好(X ＝0) 10 40 50 不爱好(X ＝1)20 30 50 合计3070100参考数据及公式：P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635其中χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .则下列结论正确的是( )A ．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关B ．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关C ．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关D ．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关 解析：选A 零假设为H 0：是否爱吃零食与性别相互独立，即是否爱吃零食与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝100×10×30－40×20250×50×30×70≈4.762>3.841＝x 0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H 0不成立，即认为是否爱吃零食与性别有关．同理可得，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关；根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关．8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：选A 将y ^＝7.675代入回归方程，可计算得x ≈9.262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.262≈0.83，即约为83%.二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性经验回归模型中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在经验回归模型中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：选ACD 由于线性相关系数|r |≤1，且当|r |越大，线性相关性越强，故r <0时，选项B 不正确，A 、C 、D 均正确．10．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423 B ．y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648 C ．y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493 D ．y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578解析：选BC 正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故正确的为B 、C.11．以下关于线性经验回归的判断中，正确的选项为( )A ．若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为经验回归直线B ．散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点C ．已知线性经验回归方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 D ．线性经验回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势解析：选BCD 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线，所以A 错误；B 正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69，所以C 正确；D 正确．12．有两个分类变量X 与Y ，其2×2列联表如下表所示：X Y 合计 Y ＝0 Y ＝1X ＝0 a20－a 20 X ＝115－a 30＋a 45 合计155065其中a,15－a 均为大于5的整数，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X 与Y 之间有关，则a 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．6解析：选BC 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X 与Y 之间有关，需要χ2的值大于或等于3.841，由χ2＝65×[a 30＋a －20－a15－a ]220×45×15×50＝1313a －6025 400≥3.841，解得a ≥7.69或a ≤1.54.而a >5且15－a >5，a ∈Z ， 所以a ＝8或a ＝9. 三、填空题13．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：吸烟量年龄合计不超过40岁 (Y ＝0)超过40岁 (Y ＝1) 不多于20支/天(X ＝0) 50 1565多于20支/天 (X ＝1) 10 25 35 合计6040100则χ2＝________(保留到小数点后两位有效数字)． 解析：由列联表知χ2＝100×10×15－50×25260×40×65×35≈22.16.答案：22.1614．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生情况，具体数据如下表：性别专业非统计专业 (Y ＝0)统计专业 (Y ＝1) 男(X ＝0) 13 10 女(X ＝1)720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844>3.841，所以能根据小概率值α＝________，我们断定主修统计专业与性别有关系．解析：因为P (χ2≥3.841)＝0.05，所以小概率值α＝0.05. 答案：0.0515．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性经验回归方程y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为________．x3 4 5 6y2.5 m 4 4.5解析：根据所给的表格可以求出x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋m ＋4＋4.54＝11＋m 4，因为这组数据的样本点的中心在线性经验回归直线上， 所以11＋m4＝0.7×4.5＋0.35，所以m ＝3.答案：3 四、解答题16．(12分)为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干名大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1 000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：性别 是否愿意做志愿者 合计 愿意(Y ＝0)不愿意(Y ＝1)男(X ＝0)610 女(X ＝1)90 合计800(1)根据题意完成表格．(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意做志愿者工作与性别是否有关？ 参考公式及数据：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635解：(1)性别 是否愿意做志愿者 合计 愿意(Y ＝0)不愿意(Y ＝1)男(X ＝0) 500 110 610 女(X ＝1) 300 90 390 合计8002001 000(2)零假设为H 0：愿意做志愿者工作与性别是相互独立，即愿意做志愿者工作与性别是无关的．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝1 000×500×90－110×3002610×390×800×200＝3 000793≈3.783<3.841＝x 0.05， 所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，即愿意做志愿者工作与性别是无关的．17．(12分)自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视．某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：城市高中家长是否关注合计关注(Y ＝0)不关注(Y ＝1)A 城高中家长(X ＝0)2050B 城高中家长(X ＝1) 20 合计100(1)完成上面的列联表；(2)根据上面列联表的数据，能否根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断家长对自主招生关注与否与所处城市有关系；(3)为了进一步研究家长对自主招生的看法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层随机抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好A ，B 两城市各一人的概率．参考公式：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．附表：P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.010 x α2.7063.8416.635解：(1)列联表如下： 城市高中家长是否关注合计关注(Y ＝0) 不关注(Y ＝1)A 城高中家长(X ＝0)203050B 城高中家长(X ＝1) 30 20 50 合计 5050100(2)零假设为H 0：家长对自主招生关注与否与所处城市相互独立，即家长对自主招生关注与否与所处城市无关．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝100×20×20－30×30250×50×50×50＝4>3.841.所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为家长对自主招生的关注与否与所处城市是有关的．(3)关注的人共有50人，按照分层随机抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，从5人中抽取2人有C 25＝10种不同的方法，A ，B 两城市各取一人有C 12C 13＝2×3＝6种不同的方法，故所抽取的2人恰好A ，B 两城市各一人的概率为C 13C 12C 25＝610＝0.6.B 卷——高考能力达标卷一、单项选择题1．下列属于相关关系的是( ) A ．利息与利率 B ．居民收入与储蓄存款 C ．电视机产量与苹果产量 D ．某种商品的销售额与销售价格解析：选B A 与D 是函数关系，C 中两变量没有关系，B 中居民收入与储蓄存款是相关的，但不具有函数关系．2．已知一个经验回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y －＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75解析：选A x －＝1＋7＋5＋13＋195＝9，因为经验回归直线必过样本点的中心(x －，y －)， 所以y －＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58.5.3．已知每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的经验回归方程y ^＝56＋8x ，则下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元解析：选C 根据经验回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位．4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其经验回归方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200解析：选A 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的经验回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列说法错误的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．经验回归直线过样本点的中心C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 选项错误．6.如图所示的是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比例约为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：选C 由题图可知女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．7．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．8．为考察数学成绩与物理成绩的关系，某老师在高二随机抽取了300名学生，得到下面的列联表：物理成绩数学成绩合计85～100分 (Y ＝0)85分以下 (Y ＝1) 85～100分(X ＝0) 37 85 122 85分以下(X ＝1)35 143 178 合计72228300 根据表中数据，分析数学成绩与物理成绩有关联的出错率不超过( ) A ．0.5% B ．1% C ．0.1%D ．5%解析：选D 由表中数据代入公式得 χ2＝300×37×143－85×352122×178×72×228≈4.514>3.841＝x 0.05，所以判断的出错率不超过5%. 二、多项选择题9．给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有( ) A ．一种药物对某种病的治愈率 B ．两种药物治疗同一种病是否有区别 C ．吸烟得肺病的概率 D ．吸烟与性别是否有关系答案：BD10．对于经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法正确的是( ) A ．直线必经过点(x －，y －)B ．x 增加1个单位时，y 平均增加b ^个单位 C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^D ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^解析：选ABC 经验回归方程是根据样本数据得到的一个近似曲线，故由它得到的值也是一个近似值．11．下列说法中正确的有( ) A ．若r >0，则x 增大时，y 也相应增大 B ．若r <0，则x 增大时，y 也相应增大C ．若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上D ．|r |越接近1，相关关系越强解析：选ACD 若r >0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故A 正确．r <0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故B 错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故C 正确，D 正确．12．根据如下样本数据：得到的经验回归方程为y ＝b x ＋a ，则( ) A.a ^>0 B.a ^<0 C.b ^>0D.b ^<0解析：选AD 根据题意，画出散点图(图略)．根据散点图，知两个变量为负相关，且经验回归直线与y 轴的交点在y 轴正半轴，所以a ^>0，b ^<0.三、填空题13．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两名同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 答案：2014．为了判断高三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取70名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (≈4.667，则在犯错误的概率不大于________的前提下认为选修文科与性别有关．解析：由题意知， χ2≈4.667，因为6.635>4.667>3.841，所以在犯错误的概率不大于0.05的前提下认为选修文科与性别有关．答案：0.0515．已知x ，y 之间的一组数据如下表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l 1：y ＝13x ＋1与l 2：y ＝12x ＋12，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是______________.解析：用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－432＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫4－1032＋⎝⎛⎭⎪⎫5－1132＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫3－722＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫5－922＝12. 因为S 2<S 1，故用直线l 2：y ＝12x ＋12拟合程度更好．答案：y ＝12x ＋12四、解答题16．(12分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上．若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，则使用微信的人中75%是青年人．如果规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中，中年人有40人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，请完成下面的2×2列联表；使用微信 年龄合计青年人(Y ＝0)中年人(Y ＝1)经常使用微信 (X ＝0)不经常使用微信(X ＝1) 合 计(2)根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析该公司经常使用微信的员工与年龄的关系．解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)． 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 故2×2列联表如下：使用微信 年龄合计青年人(Y ＝0)中年人(Y ＝1)经常使用微信 (X ＝0) 8040120不经常使用微信(X ＝1) 55 5 60 合 计 13545180(2)零假设为H 0：该公司经常使用微信的员工与年龄相互独立，即该公司经常使用微信的员工与年龄无关．将列联表中的数据代入公式可得， χ2＝180×80×5－40×552135×45×120×60≈13.333>10.828＝x 0.001，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为该公司经常使用微信的员工与年龄有关．17．(12分)淘宝网卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：评分等级 [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 女/人 2 7 9 20 12 男/人 3918128(1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取2人，求恰有1人是男性的概率；(2)规定：评分等级在[0,3]为不满意该商品，在(3,5]为满意该商品．完成下面列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析性别与对商品满意度是否有关.性别评分等级合计满意该商品 (Y ＝0)不满意该商品(Y ＝1)女(X ＝0) 男(X ＝1) 合计解：(1)因为从评分等级(4,5]的20人中随机选取2人，共有C 220＝190种选法，其中恰有1人为男性的共有C 112C 18＝96种选法，所以所求概率P ＝96190＝4895.(2)列联表如下：性别评分等级合计满意该商品 (Y ＝0)不满意该商品(Y ＝1) 女(X ＝0) 32 18 50 男(X ＝1) 20 30 50 合计5248100 零假设为H 0：性别与对商品满意度相互独立，即性别与对商品满意度无关．由公式得χ2＝100×32×30－20×18250×50×52×48≈5.769>3.841＝x 0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即可以认为性别与对商品满意度有关．。
高中数学 专题02 频率分布直方图及其应用分项汇编(含解析)新人教A版必修3
专题02 频率分布直方图及其应用一、选择题1．【2017-2018年北京市首都师大附中高二期末】对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率A. 75，0.25B. 80，0.35C. 77.5，0.25D. 77.5，0.35【答案】D故选D.2．【人教B版高中数学必修三同步测试】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图),从图中可以看出,该水文观测点平均至少100年才遇到一次的洪水的最低水位是()A. 48 mB. 49 mC. 50 mD. 51 m【答案】C【解析】由频率分布直方图知水位为50 m的频率组距为0.00520.01⨯=,即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50 m. 本题选择C选项.3．【福建省三明市A片区高中联盟校2017-2018学年高二上学期阶段性考试】为了解某地区名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区名年龄为~岁的高三男生体重()，得到频率分布直方图如图.根据图示，估计该地区高三男生中体重在kg的学生人数是( )A . B. C. D.【答案】C点睛：此题主要考查了频率分布直方图在实际问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，充分利用频率分布直方图的纵坐标的实际意义，其纵坐标值为：频率/组距，由此各组数据的频率=其纵坐标组距，各组频数=频率×总体，从而可估计出所求数据段的频数（即人数）.4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为A. 10万元B. 12万元C. 15万元D. 30万元【答案】D【解析】9时至10时的销售额频率为0.1，因此所有销售总额为万元，故选D ．5．【四川省成都外国语学校2017-2018学年高二上学期期末考试】容量为100的样本，其数据分布在[]2,18，将样本数据分为4组： [)2,6， [)6,10， [)10,14， []14,18，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是A . 样本数据分布在[)6,10的频率为0.32B . 样本数据分布在[)10,14的频数为40C . 样本数据分布在[)2,10的频数为40D . 估计总体数据大约有10%分布在[)10,14【答案】DD 不正确.故选D .6．【四川省雅安市2017-2018学年高二上学期期末考试】某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试，现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：据此估计允许参加面试的分数线大约是（ ）A . 75B . 80C . 85D . 90【答案】B故选B7．【四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试】容量为100的样本，其数据分布在[]2,18，将样本数据分为4组： [)[)[)[]2,6,6,10,10,14,14,18，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A . 样本数据分布在[)6,10的频率为0.32B . 样本数据分布在[)10,14的频数为40C . 样本数据分布在[)2,10的频数为40D . 估计总体数据大约有10%分布在[)10,14【答案】D【解析】总体数据分布在[)10,14的概率为0.140%0.020.080.10.05=+++故选D8．【广西南宁市第二中学（曲靖一中、柳州高中）2017-2018学年高二上学期末期考试】2014年5月，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ）A. 2013年农民工人均月收入的增长率是．B. 2011年农民工人均月收入是元．C. 小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”．D. 2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高．【答案】C9．【四川省遂宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A . 月份人均用电量人数最多的一组有人B . 月份人均用电量不低于度的有人C . 月份人均用电量为度D . 在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为【答案】C点睛：统计中利用频率分布直方图计算样本均值时，可利用组中值进行计算.10．【内蒙古赤峰市宁城县2017-2018学年高二上学期期末考试】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16台，记录上午8：00~11：00间各自的销售情况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的平均数分别为12,x x ，标准差分别为12,s s ，则（ ）A . 12x x >， 12s s >B . 12x x >， 12s s <C . 12x x <， 12s s <D . 12x x <， 12s s >【答案】D【解析】根据公式得到1x =()13078652014362225276041431616+++++++++++= ()2147710121820224627313268384243481616x =+++++++++++++=故12x x <，再将以上均值代入方差的公式得到12s s >.或者观察茎叶图，得到乙的数据更集中一些，故得到12s s >.故答案为：D .11．【陕西省黄陵中学2017-2018学年高二（重点班）上学期期末考试】某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右下图所示：则中位数与众数分别为（）A. 3与3B. 23与23C. 3与23D. 23与3【答案】B点睛：茎叶图的问题需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．12．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是（）A. a1＝a2B. a1>a2C. a2>a1D. 无法确定【答案】C【解析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的平均数分别为18584858581845a++++==，28484868487855a++++==，即21a a>；故选C.填空题13．【吉林省辽源市田家炳高级中学2017-2018学年高二下学期3月月考】上方右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：(1)样本数据落在范围[5，9)的可能性为__________；(2)样本数据落在范围[9，13)的频数为__________．【答案】 0.32 72点睛：本题主要考查的知识点是频率分布直方图的意义以及应用图形解题的能力，属于基础题.对于()1根据频率=⨯频率组距组距即可求出结果，对于()2根据频数=频率⨯样本容量即可求出结果.14．【山西省临汾第一中学等五校2017-2018学年高二上学期期末联考】目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______.【答案】∵前三组的累积频率为：0.10+0.15+0.25=0.50，故这次环保知识竞赛成绩的中位数为70；成绩在[80，90）段的人数有10×0.010×40=4人，成绩在[90，100]段的人数有10×0.005×40=2人，从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人共有15种不同的基本事件，其中他们在同一分数段的基本事件有：7，故他们在同一分数段的概率为故答案为:.15．【黑龙江省大庆中学2017-2018学年高二上学期期末考试】某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.则a=__________，d=__________.【答案】 30 0.2点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．16．【辽宁省六校协作体2017-2018学年高二上学期期初联考】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为【答案】3人【解析】试题分析：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为人．考点：频率分布直方图．点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的.解答题17．【2017-2018学年人教A版数学必修三同步测试】我校对高二600名学生进行了一次知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率[50,60) 2 0.04[60,70) 8 0.16[70,80) 10[80,90)[90,100] 14 0.28合计1.00(1)填写频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;(2)请你估算该年级学生成绩的中位数;(3)如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,再从6人中选2人,求2人分数都在[80,90)的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)83.125；(3) 2 5【解析】试题分析：试题解析：(1)填写频率分布表中的空格,如下表:分组频数频率[50,60) 2 0.04[60,70) 8 0.16[70,80) 10 0.2[80,90) 16 0.32[90,100] 14 0.28合计50 1.00补全频率分布直方图,如下图:(2)设中位数为x,依题意得0.04+0.16+0.2+0.032×(x-80)=0.5,解得x=83.125,所以中位数约为83.125.(3)由题意知样本分数在[60,70)有8人,样本分数在[80,90)有16人,用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,则抽取的分数在[60,70)和[80,90)的人数分别为2人和4人.记分数在[60,70)的为a1,a2,在[80,90)的为b1,b2,b3,b4.从已抽取的6人中任选两人的所有可能结果有15种,分别为{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a1,b4},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{a2,b4},{b1,b2},{b1,b3},{b1,b4},{b2,b3},{ b2,b4},{b3,b4},设“2人分数都在[80,90)”为事件A,则事件A包括{b1,b2},{b1,b3},{b1,b4},{b2,b3},{b2,b4},{b3,b4}共6种,所以P(A)=62 155.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18．【内蒙古自治区北方重工业集团有限公司第三中学2017-2018学年高二3月月考】节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．求直方图中x的值；求月平均用电量的众数和中位数；估计用电量落在中的概率是多少？【答案】（1）5；（2）众数为，中位数为224；（3）.月平均用电量在中的概率是．试题解析：的频率之和为，的频率之和为，∴中位数在设中位数为y ，则解得故中位数为224．由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是．点睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值． (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．【河南师范大学附属中学2017-2018学年高二4月月考】某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[)160,180， [)180,200， [)200,220， [)220,240， [)240,260， [)260,280， []280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求理科综合分数的众数和中位数；（3）在理科综合分数为[)220,240， [)240,260， [)260,280， []280,300的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[)220,240的学生中应抽取多少人？ 【答案】(1) 0.0075 (2)230， 224（3）5人 【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x 的值即可；（2）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；（3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．（2）理科综合分数的众数是2202402302+=，∵()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴理科综合分数的中位数在[)220,240内，设中位数为a，则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a++⨯+⨯-=，解得224a=，即中位数为224．（3）理科综合分数在[)220,240的学生有0.01252010025⨯⨯=（位），同理可求理科综合分数为[)240,260，[)260,280，[]280,300的用户分别有15位、10位、5位，故抽取比为111 25151055=+++，∴从理科综合分数在[)220,240的学生中应抽取12555⨯=人．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．【河北省阜城中学 2017-2018学年高二上学期期末考试】某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．【答案】（1）65，73.3；（2）3，2，1；（3）【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中面积最大的矩形中点可得众数、左右面积各为0.5的分界处为中位数．（2）先求出成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率，由此能求出[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数．（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．由此利用列举法能求出成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种，分别为：ab，ba，ac，ca，ad，da，ae，ea，af，fa，bc，cb，bd，db，be，eb，bf，fb，cd，dc，ce，ec，cf，fc，de，ed，df，fd，ef，fe，记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q，则事件Q包含的基本事件有18种，∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率P（Q）=．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二3月月考】从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图）；（3）由直方图估计男生身高的中位数．【答案】（1）；（2）详见解析;(3).试题解析：(1)由直方图，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18.这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，设第六组人数为m，则第七组人数为0.18×50－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．（3）设中位数为，由频率为，所以，，解得=174.5 22．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【答案】(1)；(2) 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；(3).【解析】试题分析：（1）)由题设可知，，；（2）由第1，2，3组的比例关系为1:1:4，则分别抽取1人，1人，4人；（3）设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，由穷举法，求得至少有1人年龄在第3组的概率为．(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：共种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为．。
高中数学第八章成对数据的统计分析章末质量检测含解析(新人教A版)选择性必修第三册
章末质量检测(三) 成对数据的统计分析一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B ．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D ．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的2．若经验回归方程为y ^＝2－3.5x ，则变量x 增加一个单位，变量y 平均( )A ．减少3.5个单位B ．增加2个单位C ．增加3.5个单位D ．减少2个单位3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得χ2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．某考察团对全国十大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查，发现y 与x 具有线性相关关系，经验回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．86%B ．72%C ．67%D ．83%5．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x (万元)与公司所获得利润y (万元)的统计资料如下表：则利润yA ．y ^＝2x ＋20B ．y ^＝2x －20C ．y ^＝20x ＋2D ．y ^＝20x －2 6．独立检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (K 2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%7．根据某班学生数学、外语成绩得到的2×2列联表如下：那么随机变量χ2约等于A ．10.3B ．8 C ．4.25D ．9.3 8．春节期间，“履行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：χ2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．独立性检验中，为了调查变量X 与变量Y 的关系，经过计算得到χ2≥6.635＝x 0.01表示的意义是( )A ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系B ．有1%的把握认为变量X 与变量Y 有关系C ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系D ．有1%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系10．在统计中，由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法正确的是( )A ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点B ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x －，y －)C ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线 D ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小11．已知由样本数据点集合{(x i ，y i )|i ＝1，2，…，n }，求得的经验回归方程为y ^＝1.5x ＋0.5，且x －＝3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，则( )A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后的经验回归方程为y ^＝1.2x ＋1.4 C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后相应于样本点(2，3.75)的残差为0.0512．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( )人附表：附：χ2＝n （ad －（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）A ．25B ．45C ．60D ．75三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么A ＝________，B ，E ＝________．14．已知样本数为11，计算得∑i ＝111x i ＝66，∑i ＝111y i ＝132，经验回归方程为y ^＝0.3x ＋a ^，则a ^＝________．15．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．16.在犯错误的概率不超过四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在改革开放40年成就展上有某地区某农产品近几年的产量统计如表：(1)根据表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程y ＝b x ＋a ； (2)根据经验回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －，(参考数据：i ＝16(x i －x －)(y i －y －)＝2.8，计算结果保留到小数点后两位)18．(本小题满分12分)在海南省第二十四届科技创新大赛活动中，某同学为研究“网络游戏对当代青少年的影响”作了一次调查，共调查了50名同学，其中男生26人，有8人不喜欢玩电脑游戏，而调查的女生中有9人喜欢玩电脑游戏．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能否认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”？19．(本小题满分12分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？20．(本小题满分12分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标中，难度系数＝年级总平均分满分，区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分满分.(1)某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确到0.01).(2)如下表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：明，能否利用经验回归模型描述y 与x 的关系(精确到0.01).②t i ＝|x i －0.74|(i ＝1，2，…，6)，求出y 关于t 的经验回归方程，并预测x ＝0.75时y 的值(精确到0.01).附注：参考数据：∑i ＝16x i y i ＝0.9309，i ＝16（x i －x －）2i ＝16（y i －y －）2≈0.0112，∑i ＝16t i y i ＝0.0483，i ＝16(t i －i －)2＝0.0073参考公式：相关系数r ＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2i ＝1n （y i －y －）2，经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.21．(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上(含25周岁)组25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不小于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件画出2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？(注：χ2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)22．(本小题满分12分)某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A 考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：∑i ＝142x i ＝4641，∑i ＝142y i ＝3108，∑i ＝142x i y i ＝350350，i ＝142(x i －x －)2＝13814.5，i ＝142(y i －y －)2＝5250，其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i ＝1，2，…，42，y 与x 的相关系数r ＝0.82.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0.试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由；(2)求y 关于x 的经验回归方程(系数精确到0.01)，并估计如果B 考生加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？(精确到个位)；(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N(μ，σ2).以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y －作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间(62.8，85.2)的人数Z 的数学期望．附：①经验回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中：b ^＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.②若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.③125≈11.2.章末质量检测(三)1．解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义．故选C .答案：C2．解析：由经验回归方程可知b ^ ＝－3.5，则变量x 增加一个单位，y ^减少3.5个单位，即变量y 平均减少3.5个单位．故选A .答案：A3．解析：∵χ2≈7.8>6.635＝x 0.01，∴犯错误的概率不超过α＝0.01.故选A . 答案：A4．解析：将y ^＝7.675，代入经验回归方程可计算，得x ≈9.26，所以该城市大约消费额占人均工资收入的百分比为7.675÷9.26≈0.83，故选D .答案：D5．解析：设经验回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^. 由表中数据得，b ^ ＝1 000－6×5×30200－6×52 ＝2，∴a ^ ＝y － －b ^ x －＝30－2×5＝20， ∴经验回归方程为y ^＝2x ＋20.故选A . 答案：A6．解析：由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%.故选D .答案：D7．解析：由公式得χ2＝85×（34×19－17×15）251×34×49×36≈4.25.故选C .答案：C8．解析：由2×2列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，代入公式得χ2＝100×（675－300）255×45×75×25≈3.030<3.841.∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”． 答案：C9．解析：独立性检验中，由χ2≥6.635＝x 0.01，它表示的意义是：有1%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系，D 正确；即有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系，C 正确．故选CD .答案：CD10．解析：经验回归直线是最能体现这组数据的变化趋势的直线，不一定经过样本数据中的点，故A 不正确，C 正确；经验回归直线一定经过样本中心点，故B 正确；相关系数r满足|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小，故D 正确．故选BCD .答案：BCD11．解析：x － ＝3，代入y ^ ＝1.5x ＋0.5，y －＝5，因为重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，故正相关，设新的数据所以横坐标的平均值x － ，则(n －2)x － ＝n x －－(1.2＋4.8)＝3n －6＝3(n －2)，故x － ＝3，纵坐标的平均数为y － ，则(n －2)y － ＝n y － －(2.2＋7.8)＝n y －－10＝5n －10＝5(n －2)，y －＝5，设新的经验回归方程为y ^ ＝1.2x ＋b ^ ，把(3，5)代入5＝1.2×3＋b ^ ，b ^＝1.4， 故新的经验回归方程为y ^＝1.2x ＋1.4，故A ，B 正确，因为斜率为1.2不变，所以y 的增长速度不变，C 错误，把x ＝2代入，y ＝3.8，3.75－3.8＝－0.05，故D 错误，故选AB .答案：AB12．解析：设男生可能有x 人，依题意可得列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2>3.841， 由χ2＝2x21>3.841，解得x>40.335，由题意知x>0，且x 是5的整数倍，所以45，60和75都满足题意．故选BCD . 答案：BCD13．解析：∵45＋E ＝98，∴E ＝53， ∵E ＋35＝C ，∴C ＝88， ∵98＋D ＝180，∴D ＝82，∵A ＋35＝D ，∴A ＝47， ∵45＋A ＝B ，∴B ＝92. 答案：47 92 88 82 53 14．解析：∵∑i ＝111x i ＝66，∑i ＝111y i ＝132，∴x －＝6，y －＝12，代入y ^＝0.3x ＋a ^， 可得：a ^＝10.2. 答案：10.215．解析：由题意可知x －＝14(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又经验回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10，40)，故a ^＝60. 所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6816．解析：由列联表中的数据，得χ2＝89×（24×26－31×8）255×34×32×57≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系． 答案：0.1017．解析：(1)由题意可知：x －＝3.5，y －＝7，∑i ＝16 (x i －x －)2＝17.5，所以b ^＝0.16，又a ^＝6.44，故y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.16x ＋6.44. (2)由(1)可得，当年份为2020年时， 年份代码x ＝7，此时y ^＝0.16×7＋6.44＝7.56.所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨． 18．解析：(1)2×2列联表(2)χ2＝50×（18×15－8×9）227×23×24×26≈5.06，又x 0.025＝5.024<5.06，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”．19．解析：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841， 由χ2＝38x>3.841，解得x>10.24，∵x 2 ，x6 为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．解析：(1)实验班三人成绩的平均值为142，普通班三人成绩的平均值为104，故估计本次考试的区分度为142－104150 ≈0.25.(2)①由题中的表格可知x － ＝16(0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.82)＝0.74，y － ＝16(0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.15)＝0.21，故r ＝∑i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）∑i ＝1n （x i －x －）2∑i ＝1n （y i －y －）2≈－0.13.因为|r |<0.75，所以相关性弱，故不能利用经验回归模型描述y 与x 的关系； ②y 与t 的值如下表因为b ^＝∑i ＝16t i y i －6t －·y－∑i ＝16（t i －t －）2≈0.0483－6×0.266×0.210.007 3≈－0.86，所以a ^＝y －－b ^t －＝0.21＋0.86×0.266≈0.25，所以所求经验回归方程y ^＝0.86t ＋0.25， 当x ＝0.75时，此时t ＝0.01，则y ≈0.24.21．解析：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2).其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2).故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（15×25－15×45）260×40×30×70 ≈1.79.因为1.79<2.706.所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．22．解析：(1)r 0<r.理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其经验回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其经验回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其经验回归直线． ⑤44个数据点与其经验回归直线更离散．(2)由题中数据可得：x －＝142∑i ＝142x i ＝110.5，y －＝142∑i ＝142y i ＝74，所以∑i ＝142 (x i －x －)(y i －y －)＝∑i ＝142x i y i －42x －y －＝350 350－42×110.5×74＝6 916.又因为∑i ＝142 (x i －x －)2＝138 14.5，所以b ^＝∑i ＝142（x i －x －）（y i －y －）∑i ＝142 （x i －x －）2＝0.501，a ^＝y －－b ^x －＝74－0.501×110.5≈18.64，所以y ^＝0.50x ＋18.64. 将x ＝125代入，得y ＝0.50×125＋18.64＝62.5＋18.64≈81， 所以估计B 同学的物理成绩均为81分．(3)y －＝142∑i ＝142y i ＝74，s 2＝142∑i ＝142 (y i －y －)2＝142×5 250＝125，所以ξ～N (74，125)，又因为125≈11.2，所以P (62.8<ξ<85.2)＝P (74－11.2<ξ<74＋11.2)＝0.682 6， 因为Z ～B (5 000，0.682 6)，所以E (Z )＝5 000×0.682 6＝3 413，即该地区本次考试物理成绩位于区间(62.8，85.2)的人数Z 的数学期望为3 413.。
(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)
（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评15 Word版含答案
随机事件的概率一、选择题1．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )A ．男女、男男、女女B ．男女、女男C ．男男、男女、女男、女女D ．男男、女女【解析】 用列举法知C 正确． 【答案】 C2．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 101188610189119则取到号码为奇数的频率是( ) A ．053 B ．05 C ．047D ．037【解析】 取到号码为奇数的频率是10＋8＋6＋18＋11100＝053 【答案】 A3．给出下列三种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为01，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是n m ＝37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由频率与概率之间的联系与区别知①②③均不正确． 【答案】 A 二、填空题6．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A ，则事件A 出现的频数为________，事件A 出现的频率为________ 【28750049】【解析】 100次试验中有48次正面朝上，则52次反面朝上，则频率＝频数试验次数＝52100＝052【答案】 52 0527．已知随机事件A 发生的频率是002，事件A 出现了10次，那么共进行了________次试验．【解析】 设进行了n 次试验，则有10n ＝002，得n ＝500，故进行了500次试验．【答案】 5008．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．【解析】从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品，一个次品”，“一个正品，两个次品”．【答案】⑥④①②③⑤三、解答题9．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选2名代表学校参加一项活动，可能的选法有哪些？(2)试写出从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素构成集合．【解】(1)可能的选法为：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)．(2)可能的集合为{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．10．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)计算男婴出生的频率；(保留4位小数)(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？【解】(1)男婴出生的频率依次是：0520 0，0517 3，0517 3，0517 3(2)各个频率均稳定在常数0517 3上．[能力提升]1．掷一枚硬币，反面向上的概率是12，若连续抛掷同一枚硬币10次，则有( )A ．一定有5次反面向上B ．一定有6次反面向上C ．一定有4次反面向上D ．可能有5次反面向上【解析】 掷一枚硬币，“正面向上”和“反面向上”的概率为12，连掷10次，并不一定有5次反面向上，可能有5次反面向上．【答案】 D2．总数为10万张的彩票，中奖率是11 000，对于下列说法正确的是( )A ．买1张一定不中奖B ．买1 000张一定中奖C ．买2 000张不一定中奖D ．买20 000张不中奖【解析】 由题意，彩票中奖属于随机事件， ∴买一张也可能中奖，买2 000张也不一定中奖． 【答案】 C3．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k 次或第k 次之前能首次摸出红球，则k 的最小值为________．【解析】 至少需摸完黑球和白球共15个． 【答案】 164．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．贫困地区：发达地区：(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别？【解】(1)贫困地区依次填：0533，0540，0520，0．520，0512，0503发达地区依次填：0567，0580，0560，0555，0552，0550(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于05和055，故概率分别为05和055(3)经济上的贫困导致贫困地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别．。
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测(三)直线与方程(含解析)新人教A版必修2
阶段质量检测（三） 直线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°.2．已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．6 3D ．6 5解析：选D 由k MN ＝a －4－2－a ＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3．已知直线nx －y ＝n －1和直线ny －x ＝2n 的交点在第二象限，则实数n 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，知当n ＝1时，两直线平行，当n ＝－1时，两直线重合，故n ≠±1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －y ＝n －1，ny －x ＝2n ，得x ＝nn －1，y ＝2n －1n －1.∴n n －1＜0且2n －1n －1＞0，解得0＜n ＜12. 4．已知直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则实数m 等于( )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3解析：选C 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，整理得m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，不符合题意，故m ＝3.5．若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝⎛⎦⎥⎤－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率和截距均小于等于0.直线方程变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，解得12≤m ≤1.6．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：选C 由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.7．两点A (a ＋2，b ＋2)和B (b －a ，－b )关于直线4x ＋3y ＝11对称，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－1，b ＝2 B ．a ＝4，b ＝－2 C ．a ＝2，b ＝4D ．a ＝4，b ＝2解析：选D A 、B 关于直线4x ＋3y ＝11对称，则k AB ＝34，即b ＋2－(－b )a ＋2－(b －a )＝34，①且AB 中点⎝⎛⎭⎪⎫b ＋22，1在已知直线上，代入得2(b ＋2)＋3＝11，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.8．直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83D.83解析：选C 设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝－32.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴k 1＝－1k 2＝－1－32＝23.设直线l 1的方程为y ＝23x ＋b ，直线l 2与x 轴的交点为(4,0)．将点(4,0)代入l 1方程，得b ＝－83.9．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的路程为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点A (－3,5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则光线从A 到B 的路程即A ′B 的长，|A ′B |＝(－5－10)2＋(－3－2)2＝510.10．数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B (－1,0)，C (0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：选D 本题考查欧拉线方程，∵B (－1,0)，C (0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D.11．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12， 12 D ．[0,2]解析：选A 直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2，所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．12．若直线l 1：y －2＝(k －1)x 和直线l 2关于直线y ＝x ＋1对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(2,0)B ．(1，－1)C ．(1,1)D ．(－2,0)解析：选C ∵l 1：kx ＝x ＋y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋y －2＝0，得l 1恒过定点(0,2)，记为点P ，∴与l 1关于直线y ＝x ＋1对称的直线l 2也必恒过一定点，记为点Q ，且点P 和Q 也关于直线y＝x ＋1对称．令Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋22＝m 2＋1，n －2m ×1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1，即Q (1,1)，∴直线l 2恒过定点(1,1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10. 答案：1014．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.答案：－2315．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：316．在△ABC 中，已知C (2,5)，角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，BC 边上的高所在的直线方程是y ＝2x －1，则顶点B 的坐标为________．解析：依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A (1,1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2,5)关于直线y ＝x 的对称点C ′(5,2)在边AB 所在的直线上， 所以边AB 所在的直线方程为y －1＝2－15－1(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0.又边BC 上的高所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以边BC 所在的直线的斜率为－12，所以边BC 所在的直线方程是y －5＝－12(x －2)，整理得x ＋2y －12＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝52，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,1)，且与直线x ＋y ＝0垂直． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 的距离为2，求直线m 的方程． 解：(1)由题意得直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y －1＝x ＋2，即x －y ＋3＝0. (2)由直线m 与直线l 平行， 可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0，由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2，即|c －3|＝2，解得c ＝1或c ＝5.故直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．19．(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C ，点C 到直线y ＝3x 的距离为d ， 则12d ·2d ＝10，∴d ＝10. ∵直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，∴直线l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设直线l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线， 则直线l ′与l 的交点就是C 点， 设直线l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， ∴|m |32＋(－1)2＝10，∴m ＝±10，∴直线l ′的方程是3x －y ±10＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y －10＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫125，－145或⎝⎛⎭⎪⎫－285，－345.20．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.21．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：(1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72.又因为a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116， 所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； (2)当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．解：(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 故折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12. 由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12.(2)当k ＝0时，折痕的长为2.当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k ＋k 22＋12，交y 轴于点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，k 2＋12.则|NE |2＝22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋k 22＋122＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3. 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
人教A版高中数学必修三试卷3.1.3概率的基本性质
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.3概率的基本性质A 组一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件B A 、中至少有一个发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率大D ．事件B A 、同时发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率小2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个黒球与都是红球B.至少有一个黒球与都是黒球C.至少有一个黒球与至少有1个红球D.恰有1个黒球与恰有2个黒球3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为（ ）A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.084．把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是（ ）A ．不可能事件B ．互斥但不对立事件C ．对立事件D ．以上答案都不对5．从集合{}543,21,，，中随机取出一个数，设事件A 为“取出的数是偶数”， 事件B 为“取出的数是奇数”，则事件A 与B （ ）A ．是互斥且是对立事件B ．是互斥且不对立事件C ．不是互斥事件D ．不是对立事件6．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任何两个均互斥D. 任何两个均不互斥7．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶8．掷两颗相同的均匀骰子（各个面分别标有1，2，3，4，5，6），记录朝上一面的两个数，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个奇数”与“都是奇数”B. “至少有一个奇数”与“至少有一个偶数”C．“至少有一个奇数”与“都是偶数”D．“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数”9．出下列命题，其中正确命题的个数有（）①有一大批产品，已知次品率为010，从中任取100件，必有10件次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的；④若()()()1P A B P A P B=+=,则,A B是对立事件。
人教A版高中数学必修三试卷第三章 概率阶段测试.docx
第三章 概率阶段测试一．选择题1．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 152．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是不合格的，现从盒中随机地抽取4个，那么恰有两只不合格的概率是（ ）A ．130B ．310C ． 13 D ．123．取一根长度为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米的概率为（ ） A.31 B.41 C.52 D.534．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为( ) A.29200 B.725 C.29144 D.7185．甲乙两人一起去游“2010上海世博会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.166．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放在这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行每列的水果种类各不相同的概率（ ）A. 215B. 29C. 15D. 137．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P(m ，n)在直线x ＋y ＝4上的概率是( ) A. 13 B. 14 C. 16 D. 1128．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. 481π B . 81481π- C.127 D. 8279．向等腰直角三角形()ABC AC BC =其中内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为( ) A ．22 B ．212- C ． 8π D ．4π 10．某农科院在3×3的9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为（ ）A ．156 B ．114 C ．17 D ．314二．填空题11．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是_________．12．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_________.13．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求取出的两个球上标号为相邻整数的概率_________.14．某旅游公司有甲、乙、丙三种特色产品，其数量分别为,,a b c （单位：件），且,,a b c成等差数列。
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-1 章末评估验收(三) Word版含答案
章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c答案：C2．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定 解析：因为AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)， 又因为AB →＝－2CD →，所以AB →∥CD →，即AB ∥CD .答案：A3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32答案：C4．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3D ．－1解析：a ＝(3，2，－1)，b ＝(1，－1，2)，所以5a ·3b ＝15a ·b ＝－15. 答案：A5．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32B ．－32C ．±32D ．1答案：A6．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)解析：利用向量数量积公式的变形公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|求向量的夹角，各项逐一验证．选项B 中cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1×12×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.答案：B7．在平行六面体ABCD -EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56D ．1解析：AG →＝AB →＋BC →＋DH →，又AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＝1，y ＝－12，z ＝13，则x ＋y ＋z ＝1－12＋13＝56，故选C.答案：C8．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4, 1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)答案：B9．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°解析：由条件知，|BA1→|＝2a ，|AC →|＝2a ，BA1→·AC →＝(AA1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AA1→·AB →－|AB →|2＋AA1→·AD →－AB →·AD →＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－a22a·2a ＝－12.所以向量BA1→与AC →所成的角为120°，故选D.答案：D10．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，由此可得a ·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝14.结合选项易知选D.答案：D11．如图，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．向量AD →与CB1→的夹角为60°答案：D12．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.所以|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|3＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，所以cos 〈CA →， BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2，－1，0)，b ＝(k ，0, 1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________．解析：因为cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2k 5×k2＋1＝－12＜0，所以k ＜0，且k 2＝511.所以k ＝－5511.答案：－551114．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．答案：(－64，－26，－17)15．非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 的值是________．解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，所以k ＝±1.答案：±116．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， B (0，1，0)，B 1(0，1，1)，C 1(0，0，1)，则C1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C1B1→＝(0，1，0)，C1B →＝(0，1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y ，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧C1A →·n＝0，C1B →·n＝0.解得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，则d ＝|C1B1→·n||n|＝113＋1＋1＝217. 答案：217三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形．18．(本小题满分12分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)， b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角C 1AB C 的余弦值大小．解：直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．(1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC1→＝0.故AC ⊥BC 1.(2)解：平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)， 由⎩⎨⎧n·AC1→＝0，n·AB →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0，令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)， 故cos 〈m ，n 〉＝334＝33434.即二面角C 1AB C 的余弦值为33434. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明：因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0.(1)因为AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC1→＝0，所以AC ⊥BC 1.(2)因为CB 1与C 1B 的交点为E ，所以E (0，2，2)．因为DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC1→＝(－3，0，4)， 所以DE →＝12AC1→，所以DE →∥AC1→.因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， 所以AC 1∥平面CDB 1.21．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．(1)证明：在Rt △ABC 中，因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ， 又因为EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB .(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)，又因为AB ＝BC ＝4， 所以BE ＝4－x ，EF ＝x . 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°， 所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ， 所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x . 从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x .设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，所以⎩⎨⎧n1·CF →＝0，n1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0（x －4）＋y0（4－x ）＝0，－4x0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y0＋32xz0＝0，所以⎩⎨⎧x0－y0＝0，3y0－z0＝0，取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量． 又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 设二面角P FC B 的平面角为α， 则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1||n2|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155. 22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F BE D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． (1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 又DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE . (2)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°， 所以ED BD＝3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·BF →＝0，n·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量， 所以cos 〈n ，CA →〉＝n·CA →|n||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F BE D 的余弦值为1313. (3)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．。
2017-2018学年高中数学人教A版三教学案：第一章第1节第2课时程序框图、顺序结构含答案
第2课时程序框图、顺序结构［核心必知］1．预习教材，问题导入根据以下提纲,预习教材P6～P9，回答下列问题．(1)常见的程序框有哪些？提示：终端框(起止框）,输入、输出框，处理框，判断框．(2)算法的基本逻辑结构有哪些？提示：顺序结构、条件结构和循环结构．2．归纳总结，核心必记(1)程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(2）常见的程序框、流程线及各自表示的功能图形符号名称功能终端框（起止框)表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框(执行框)赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否"或“N”流程线连接程序框○连接点连接程序框图的两部分(3)①算法的三种基本逻辑结构算法的三种基本逻辑结构为顺序结构、条件结构和循环结构,尽管算法千差万别，但都是由这三种基本逻辑结构构成的．②顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构，用程序框图表示为:[问题思考]（1)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束吗？提示：由程序框图的概念可知一个完整的程序框图一定是以起止框开始,同时又以起止框表示结束．(2)顺序结构是任何算法都离不开的基本结构吗？提示：根据算法基本逻辑结构可知顺序结构是任何算法都离不开的基本结构．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：（1)程序框图的概念：;（2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能：;（3)算法的三种基本逻辑结构：；(4）顺序结构的概念及其程序框图的表示：。
问题背景:计算1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100.[思考1］能否设计一个算法，计算这个式子的值．提示：能．[思考2］能否采用更简洁的方式表述上述算法过程．提示：能，利用程序框图．[思考3] 画程序框图时应遵循怎样的规则？名师指津:（1)使用标准的框图符号．(2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画．(3）除判断框外,其他程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一一个具有超过一个退出点的程序框．（4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．（5)流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，如果不画出箭头就难以判断各框的执行顺序．讲一讲1．下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有（)①任何一个流程图必须有起止框;②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．A．1个B．2个C．3个D．4个[尝试解答］任何一个程序必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框,①正确．输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，②错误．③正确．判断框内的条件不是唯一的，④错误．故选B.答案:B画程序框图时应注意的问题（1)画流程线不要忘记画箭头；(2)由于判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的一种结果,而另一个则不会被执行，故判断框后的流程线应根据情况注明“是”或“否”．练一练1．下列关于程序框图的说法中正确的个数是（）①用程序框图表示算法直观、形象、容易理解；②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的“一图胜万言"；③在程序框图中，起止框是任何程序框图中不可少的；④输入和输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置．A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D 由程序框图的定义知,①②③④均正确,故选D。
2017-2018学年高中数学 第三章 直线与方程阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版必修2
第三章 直线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 两条直线的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝－12，故两直线相交但不垂直．2．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案：B3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析：选A ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．5．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －12＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 解析：选D 设直线方程为3x －4y ＋c ＝0， ∴|c －1|32＋42＝3，∴|c －1|＝15， ∴c ＝16或c ＝－14.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[30°，60°)B ．(30°，90°)C ．(60°，90°)D ．[30°，90°]解析：选B 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是(30°，90°)．7．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析：选C 假定y ＝ax 与y ＝x ＋a 中的一条直线的图象正确，验证另一条是否合适． 8．已知点A (2,0)，B (－2,4)，C (5，8)，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是( )A ．(6,7)B ．(7,6)C ．(－5，－4)D ．(－4，－5)解析：选A 设点D 的坐标为(x ，y )，由题意知k AB ＝k CD ， 即 －1＝y －8x －5， ① 易知直线AB 的垂直平分线方程为y ＝x ＋2，线段CD 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52，y ＋82，所以y ＋82＝x ＋52＋2, ②由①②解得y ＝7，x ＝6，即点D 的坐标为(6,7)．9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，225解析：选B A (－3,8)关于x 轴的对称点A ′(－3，－8)，通过两点式求出直线A ′B 的方程，再求出直线A ′B 与x 轴的交点为(1,0)．10．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝2，由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．不论m 取何实数，直线(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0都恒过一个定点P ，则P 点的坐标是________．解析：令m ＝1，m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＋1＝0，4x ＋5y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.答案：(－1,2)12．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l ⊥l 1，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于________．解析：由题意知直线l 1斜率为33－a ＝1，解得a ＝0；又因为l 1∥l 2，所以－2b＝1，即b ＝－2，故a ＋b ＝－2.答案：－213．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线的方程是________________． 解析：过点A 且垂直于AO 的直线． 答案：3x －y ＋10＝014．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|PA |＋|PB |最小，则点P 的坐标为________．解析：根据题意画出图形，如下图所示：设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点A 1(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，此时直线A 1B 为x ＝－2，所以当P 是直线A 1B 与x －2y ＋8＝0的交点时|PA |＋|PB |最小，把x ＝－2与x －2y ＋8＝0联立可得点P 的坐标为(－2,3)．答案：(－2,3)三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 解：∵直线的方程为y ＝－3x ＋1， ∴k ＝－3，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为33. (1)∵直线经过点(3，－1)，所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0. (2)∵直线在y 轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.16．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．解：由已知可得直线CP ∥AB ， 设CP 的方程为y ＝－33x ＋c ，(c >1)， 则点B 到直线CP 的距离等于△ABC 中AB 边上的高，则c －11＋13＝AB ×32， 又因为AB ＝2，所以c －11＋13＝3，解得c ＝3，即直线CP 的方程为y ＝－33x ＋3， 又因为直线CP 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12， 所以12＝－33m ＋3，解得m ＝532.17．(本小题满分12分)若直线l 1：x ＋y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：ax ＋y ＋1＝0能构成三角形，求a 的取值范围．解：∵三条直线能构成三角形， ∴三条直线两两相交且不共点． (1)共点时a ＝1或a ＝－2.(2)l 1∥l 2时a ＝1，l 1∥l 3时，a ＝1，l 2∥l 3时a ＝±1， ∴a 的取值范围是{a |a ≠±1且a ≠－2}．18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率必存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1、k 2都存在，∵k 1＝a b，k 2＝1－a ，l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ，b 的值分别为2，－2，或23，2.19．(本小题满分12分)一直线经过P (3,2)，并且和两条直线x －3y ＋10＝0与2x －y －8＝0都相交，且两交点连线的中点为P ，求这条直线的方程．解：∵点P 是两交点的中点，∴两交点关于点P 对称．设所求直线与直线x －3y ＋10＝0的交点A 的坐标为(x 0，y 0)，则它与另一直线2x －y －8＝0的交点B 的坐标为(6－x 0,4－y 0)．∵点B (6－x 0,4－y 0)在直线2x －y －8＝0上． ∴有2(6－x 0)－(4－y 0)－8＝0. 即－2x 0＋y 0＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋y 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝4.所求直线方程为y －24－2＝x －32－3.即2x ＋y －8＝0.20．(本小题满分12分)已知A (1,1)，B (2,2)，C (3，－1)． (1)求直线AB 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边BC 上一动点，求直线AD 的斜率k 的取值范围． 解：(1)k AB ＝2－12－1＝1，k AC ＝－1－13－1＝－1.∴直线AB 的倾斜角为45°，直线AC 的倾斜角为135°.(2)如图，直线AD 的倾斜角α满足0°≤α≤45°或135°≤α＜180°，当0°≤α≤45°时，0≤k ≤1； 当135°≤α＜180°时，－1≤k ＜0.所以，直线AD 的斜率k 的取值范围为[－1,1]．。
高中数学 专题01 流程图与算法语句分项汇编(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题
专题01 流程图与算法语句一、选择题1．【某某自治区北方重工业集团某某第三中学2017-2018学年高二3月月考】如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】B第九次，，满足条件，，第十次，，满足条件，；由条件知不满足条件．故判断框内应填入的条件是．选B．2．【某某八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】以下是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则处的关系式是( )A . y ＝x 3B . y ＝3－xC . y ＝3xD . y ＝【答案】C3．【某某某某市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】如图所示，程序框图的输出值S =（ ）A . 15B . 22C . 24D . 28【答案】C【解析】由程序框图，数据初始化： 1,020i S ==<； 第一次循环： 3,320i S ==<；第二次循环： 5,820i S ==<； 第三次循环： 7,15i S ==20<； 第四次循环： 9,2420i S ==>； 此时结束循环，输出S 值为24. 本题选择C 选项.4．【某某省某某市2018届高三教学质量检查第二次统考】执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出的S =（ ）A . 7B . 20C . 22D . 54【答案】B5．【某某省外国语学校2017-2018学年高二下学期入学考试】阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）A . 2014n ≤B . 2015n ≤C . 2016n ≤D . 2018n ≤【答案】A故选A .6．【人教B 版高中数学必修三同步测试】给出一个算法的程序框图如图所示,该程序框图的功能是( )A . 求出a ,b ,c 三数中的最小数B . 求出a ,b ,c 三数中的最大数C . 将a ,b ,c 从小到大排列D . 将a ,b ,c 从大到小排列【答案】A【解析】由图框可知，第一步判断中的较小数，第二步判断中的较小数与的比较后的较小数。
2017-2018学年高中数学人教A版必修3：课时跟踪检测(二) 程序框图、顺序结构
课时跟踪检测（二）程序框图、顺序结构[层级一 学业水平达标]1．下列关于程序框图的说法正确的是( )A．一个程序框图包括表示相应操作的框、带箭头的流程线和必要的文字说明B．输入、输出框只能各有一个C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观D．在程序框图中，必须包含判断框解析：选A 输入、输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置，所以不一定各有一个，因此B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤表达上简单了许多，所以C选项是错误的；显然D选项是错误．2．在顺序结构中，一定不含有的程序框是( )A．终端框 B．输入、输出框C．处理框D．判断框解析：选D 顺序结构中没有判断框．3．阅读程序框图：若输出结果为15，则①处的执行框内应填的是________．解析：先确定①处的执行框是给x赋值，然后倒着推，b＝15时，2a－3＝15，a＝9，当a＝9时，2x＋1＝9，x＝3.答案：x＝34．根据所给的程序框图，如图所示，输出的结果是________．解析：由X ＝Y ，得X ＝2；由Y ＝X ，得Y ＝2；由Z ＝Y ，得Z ＝2.答案：2[层级二 应试能力达标]1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构，下列说法正确的是( )A ．一个算法只含有一种逻辑结构B ．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C ．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D ．一个算法可以同时含有上述三种逻辑结构解析：选D 一个算法中含有哪种逻辑结构，主要看解决什么样的问题及解决问题的方法，顺序结构、条件结构和循环结构这三种逻辑结构在一个算法中可以同时出现．2．如图所示的程序框图，已知a 1＝3，输出的结果为7，则a 2的值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为输出的结果为7，所以b ＝7，又b ＝，所以原b ＝14，即b 2a 1＋a 2＝14.又a 1＝3，所以a 2＝11.3．下列是流程图中的一部分，表示恰当的是( )解析：选A B选项应该用处理框而非输入、输出框，C选项应该用输入、输出框而不是处理框，D选项应该在出口处标明“是”和“否”．4．阅读如图所示的程序框图，若输入x＝3，则输出y的值为( )A．33 B．34C．40 D．45解析：选B x＝3，a＝2×32－1＝17，b＝a－15＝2，y＝ab＝17×2＝34，则输出y 的值为34.5．如图的程序框图表示的算法的运行结果是________．解析：p＝9，9(9－5)(9－6)(9－7)6∴S＝＝6.答案：666．已知点P(x0，y0)，直线l：x＋2y－3＝0，求点P到直线l的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．解析：应填上点到直线的距离公式．答案：d ＝|x 0＋2y 0－3|57．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框.答案：8．利用梯形的面积公式计算上底为4，下底为6，面积为15的梯形的高．请设计出该问题的算法及程序框图．解：根据梯形的面积公式S ＝(a ＋b )h ，得h ＝，其中a 是上底，b 是下底，h 是122Sa ＋b 高，S 是面积，只要令a ＝4，b ＝6，S ＝15，代入公式即可．算法如下：第一步，输入梯形的两底a ，b 与面积S 的值．第二步，计算h＝.2Sa ＋b 第三步，输出h .该算法的程序框图如图所示：9．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面问题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.。
新课标人教A版高中数学必修3全册教案(word版)
第一章算法初步一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
高中数学(人教版A版必修三)配套课时作业：第三章 概率 3.2.2 Word版含答案
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生课时目标 1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.3.理解用模拟方法估计概率的实质．1．随机数要产生1～n(n ∈N *)之间的随机整数，把n 个____________相同的小球分别标上1,2,3，…，n ，放入一个袋中，把它们__________，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数． 2．伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照__________产生的数，具有________(________很长)，它们具有类似________的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是______，我们称它们为伪随机数．3．利用计算器产生随机数的操作方法：用计算器的随机函数RANDI(a ，b )或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a ，b )可以产生从整数a 到整数b 的取整数值的随机数． 4．利用计算机产生随机数的操作程序每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel 软件为例，打开Excel 软件，执行下面的步骤：(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter 键，则在此格中的数是随机产生的0或1.(2)选定A1格，按Ctrl ＋C 快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl ＋V 快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter 键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”按Enter 键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．一、选择题1．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( ) A.310 B.112 C.4564 D.38 2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是( ) A ．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x ，如果x ＝2，我们认为出现2点 B ．我们通常用计算器n 记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m 记录其中有多少次出现2点，置n ＝0，m ＝0C ．出现2点，则m 的值加1，即m ＝m ＋1；否则m 的值保持不变D ．程序结束，出现2点的频率mn作为概率的近似值3．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 2573 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( ) A ．0.50 B ．0.45 C ．0.40 D ．0.354．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.155．从1,2,3，…，30这30个数中任意选一个数，则事件“是偶数或能被5整除的数”的概率是( ) A.710 B.35 C.45 D.1106．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率为( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.14507．对一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷号恰为1,2,3,4顺序的概率等于________．8．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．9．通过模拟试验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________． 三、解答题10．掷三枚骰子，利用Excel 软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．11．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？能力提升12．从4名同学中选出3人参加物理竞赛，其中甲被选中的概率为( ) A.14 B.12 C.34D ．以上都不对 13．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．1．(1)常用的随机数的产生方法主要有抽签法，利用计算器或计算机．(2)利用摸球或抽签得到的数是真正意义上的随机数，用计算器或计算机得到的是伪随机数．2．用整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，利用哪个数字代表哪个试验结果： (1)试验的基本结果等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．答案：3．2.2 (整数值)随机数(random numbers )的产生知识梳理1．大小、形状 充分搅拌 2.确定算法 周期性 周期 随机数 真正的随机数 作业设计1．D [所有子集共8个，∅，{a}，{b}，{c}，{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为38.]2．A [计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数，包括7，共7个整数．]3．A [两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一．它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个，因此所求的概率为1020＝0.5.]4．D [由题意知基本事件为从两个集合中各取一个数，因此基本事件总数为5×3＝15. 满足b>a 的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个，∴所求概率P ＝315＝15.]5．B6．C [N 取[100,999]中任意一个共900种可能，当N ＝27,28,29时，log 2N 为正整数，∴P＝1300.] 7.112解析 用树形图可以列举基本事件的总数． ①②③④ ②①③④ ③①②④ ④①②③ ①②④③ ②①④③ ③①④② ④①③② ①③②④ ②③①④ ③②①④ ④②③① ①③④② ②③④① ③②④① ④②①③ ①④②③ ②④①③ ③④①② ④③①② ①④③② ②④③① ③④②① ④③②①总共有24种基本事件，故其概率为P ＝224＝112.8.12解析 给3只白球分别编号为a ，b ，c,1只黑球编号为d ，基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6个，颜色不同包括事件ad ，bd ，cd 共3个，因此所求概率为36＝12.9.14解析 由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有3个数字在1,2,3,4,5,6中，这样的随机数有3013,2604,5725,6576,6754共5个，所求的概率约为520＝14.10．解 操作步骤：(1)打开Excel 软件，在表格中选择一格比如A 1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1,6)”，按Enter 键，则在此格中的数是随机产生的1～6中的数． (2)选定A 1这个格，按Ctrl ＋C 快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A 1∶T 3，按Ctrl ＋V 快捷键，则在A 1∶T 3的数均为随机产生的1～6的数． (3)对产生随机数的各列求和，填入A 4∶T 4中． (4)统计和为9的个数S ；最后，计算概率S /20.11．解我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．我们用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数：812932569683271989730537925 834907113966191432256393027556755这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为4＝20%.2012．C[4名同学选3名的事件数等价于4名同学淘汰1名的事件数，即4种情况，甲被选中的情况共3种，∴P＝34.]13．解利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．034743738636964736614698637162 332 616 804 560 111 410 959 774246 762 428 114 572 042 533 237 322707 360 751就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为1130≈0.367.。
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阶段质量检测（三）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．随机事件的概率总在[0,1]内B ．不可能事件的概率不一定为0C ．必然事件的概率一定为1D ．以上均不对2．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A ．1B ．2C ．3D ．43．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为( )A.12B.13C.14D.164．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥5．(2016·郑州高一检测)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使得f (x 0)≤0的概率是( )A.310B.15C.25D.456．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.237．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16B.13C.12D.238．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝( )A.4πB.1πC ．2 D.2π9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2 有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.4πD.4π－1 10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.91011．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于( )A.12B.23C.13D.2512．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·青岛高一检测)一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．14．如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．15．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．18．(12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12. (1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．20．(12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]}．(1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率；(2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．21．(12分)(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．22．(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．答 案1. 解析：选C 随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2. 解析：选C ①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.3. 解析：选B 甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为26＝13. 4. 解析：选B 因为事件B 是表示“三件产品全是次品”，事件C 是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5. 解析：选A 由f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，由x ∈[－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P ＝310. 6. 解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概型的概率公式可知P ＝S △ABE S 矩形＝12. 7. 解析：选B 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.故选B. 8. 解析：选D 豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P (A )＝2π. 9. 解析：选B 要使函数有零点，则Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，a 2＋b 2≥π2，又－π≤a ≤π，－π≤b ≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 10. 解析：选C 设被污损的数字是x ，则x ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为x 甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x 乙＝15[83＋83＋87＋(90＋x )＋99]＝442＋x 5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A ，则此时有90＞442＋x 5，解得x ＜8，则事件A 包含x ＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P (A )＝810＝45. 11. 解析：选B 由古典概型的概率公式得P (A )＝16，P (B )＝36＝12. 又事件A 与B 为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝16＋12＝23. 12. 解析：选C 由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1216＝34，故选C.13. 解析：记“任取一球为白球”为事件A ，“任取一球为黑球”为事件B ，则P (A ＋B )＝P (A)＋P (B)＝1020＋520＝34.答案： 3414. 解析：设正方形的边长为1，则正方形的面积S ＝1，扇形的面积S 1＝12×π2×12＝π4，根据几何概型公式得，点P 落在扇形外且在正方形内的概率为1－π41＝1－π4. 答案：1－π415. 解析：依题意知，直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1恒有公共点，故|a |12＋12≤1，解得－2≤a ≤ 2.答案：[－2，2] 16. 解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为26＝13. 答案：16 1317. 解：(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}6个基本事件，甲被选中的事件有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}共3个，若记甲被选中为事件A ，则P (A )＝36＝12. (2)记丁被选中为事件B ，则P (B －)＝1－P (B )＝1－12＝12. 18. 解：(1)由题意可得n1＋1＋n ＝12，解得n ＝2. (2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a ，c 1)，(a ，c 2)，所以总得分为2分的概率为26＝13. 19. 解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P ＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足m ＋2≤n 的事件的概率为P 1＝316， 故满足n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316. 20解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1.则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89. 故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89. (2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ，∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.21. 解：(1)融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．所以所求的概率P＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.22. 解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.。