2 有理数
第二章 有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
2有理数相关概念
一． 知识点初一数学1.正数与负数：既不是正数也不是负数2. 有理数的的概念及分类：（1）统称有理数；（2）①按定义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩( )( )( )( )有理数( )( )( )②按正负性分：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩( )( )( )有理数( )( )( )( ) （3）注：非负数是指；非正数是指；3.数轴：（1）规定了的叫数轴，是数轴的三要素； （2）都可以用数轴上的点表示；末必都是有理数； （3）常见的不规范的数轴作法：4. 相反数：（1）互为相反数；特例，0的相反数是；（2）注：①两个互为相反数的数在数轴上所表示的两个点分别在的，并且与原点的； ②一般地说，数a 的相反数是；这里的a 表示；它可以是； （3）若a 、b 互为相反数，则可转化为以下几种关系： ①a b +=； ②a b ； ③a b -、ba -； ④a b ba=；（0;0a b ≠≠）5、绝对值：（1）叫做a 的绝对值；记作： （2）绝对值规律：①；②；③；可见一个数的绝对值一定是；即a 0（绝对值非负性）；（3）求一个数的绝对值首先判断；然后根据求出； 6、有理数的大小比较：（1）数轴上不同的两个点表示的数，； （2）负数0，0正数，负数正数；两个负数比较大小，；7、最小的正整数是，最大的负整数是，绝对值最小的数是；相反数等于本身的数是，绝对值等于本身的数是；二、练习1.关于数0，下列几种说法不正确的是（）A ．0既不是正数，也不是负数B ．0的相反数是0C ．0的绝对值是0D ．0是最小的数 2．绝对值最小的数是（）A ．1 B ．－1 C ．0 D ．没有 3．下列说法不正确的是（）（A ）有理数的绝对值一定是正数（B ）数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远 （C ）一个有理数的绝对值一定不是负数（D ）两个互为相反数的绝对值相等4．甲‚乙‚丙三地的海拔高度为20米,-15米,-10米,那么最高的地方比最低的地方高( ) A ．5米 B ．10米 C ．25米 D ．35米( )( )( )( )( )0-11a =( )( ) ( )5．把下列各数填在相应的大括号内：15，21-，0.81，-3，41，-3.1,-4，171，0，3.14；正数集合 { …}； 负数集合 { …}；正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正分数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 分数集合 { …}；6．相反数是它本身的数是 ；绝对值是它本身的数是 ；倒数等于它本身的数是 7.在数轴上，表示与--2的点距离为3的数是_________。
七年级数学上册 第一章 有理数 1.2 有理数 1.2.1 有理数课件_2
引入负数后，数的范围扩大了。现 在请同学们在草稿纸上任意写出三个 不同种类 的数 (zhǒnglèi) 。并说明你是按照 什么划分的？
第四页，共二十二页。
3／4，-1／2 ，0.2，-0.5，它们(tā
men)又是什么数呢？
分数
(fēnshù)
第五页，共二十二页。
我们(wǒ men)学过的数：
第二页，共二十二页。
1.正整数、0、负整数统称(tǒngchēn整g)为数(zhěngshù，) 正分数和负分数 统称分为数(fēnshù) .
2. 整数 和 分数统称为有理数.
3.有理数包括正有理数、
0和负有理，数
正有理数包括 正整数和正分数，
负有理数包括 负整数和负分数 .
第三页，共二十二页。
第八页，共二十二页。
探究(tànjiū)有理数的分类(一)
由刚才(gāngcái)的演示可知:
1.有理数可分为哪两类数? 2.整数(zhěngshù)可分为哪几类?
3.分数可分为哪几类?
有有分整理理数数数
正负整整零整数数数
分负正数分分数数
正整数
零
负整数
正分数 负分数
1
2
3
4
5
第九页，共二十二页。
我们还可以按其它(qítā)标准分类吗?
是（C ）
A.0
B.2
C.－3
D.－1.2
2.下列各数中，不是有理数的是（ ） C
Hale Waihona Puke A.3.1415926C.π
BD. .－4.52703 2. .
3.负正在整分分数 数数是13 ，是是3.1034，.，11，4－0，，－1－5%2573%，，，－，－1.16，66….
2,2有理数与无理数
n 0
的形式.
无限不循环小数叫做无理数.
练一练
把下列各数分别填在相应的集合里：
12 , 6 , 3 . 14 , 0 . 222 , 521 120 , 0 , ,1 . 696696669
正数集合： 有理2011江苏无锡中考
请写出一个大于1且小于2的 无理数 .
2.2有理数与无理数
教学目标
1.理解有理数和无理数的意义 2.会判断一个数是有理数还是无理数
思考
1.什么叫做有理数？
我们把能够写出分数形式 的数叫做有理数.
m n
m , n 是整数，
n 0
思考
2.（1）你能把0.81、1.56化为分数形式吗？
（2）你能把0.666…、0.818181…化为分数形式吗？
聚焦导学案
既不是正数也不是整数的有理数是（ ） A.0和负分数 B.负分数 C.负整数和负分数 D.正整数和正分数 不小于－2.5而小于2.8的非负整数有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
聚焦导学案
写出所有适合下列条件的数： （1）不大于3的正整数： （2）大于－3且不大于4的整数：
； .
反思感悟
1.我最大的收获是? 2.我对自己的表现感想是?
3.我与昨天相比有哪些进步? 4.你对本节课的学习还有哪些 困惑和建议?
（3）你能把0.1333…、0.3456456456…化为分数形式吗？
注意：1.实际上，有理数包括整数和分数两大类， 即整数和分数都是有理数 2.有限小数和循环小数都可以化为分数，所以它们都是有理数
将下列八个数填人它所在的数集里：
－18，3.1416，0，2004，π， 22 －0.1235，－96%,
七年级数学上册 第2章 有理数 2.2 有理数与无理数教学课件 苏科苏科级上册数学课件
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内容(nèiróng)总结
教学课件。数学 七年级上册 江苏科技版。2.2 有理数与无理数。我们把能够写成分数形式(xíngshì) 且（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.。， ， ，。反过来，这些有限小数、无限循环小数都可
No 以化成分数，因此它们都是。有理数 0。1.2010010001000（相邻两个1之间0的个数逐次增加1。常见的
无理数的三种类型：。例 下列各数中,哪些是有理数。小结
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数学(shùxué) 七年级上册 江苏科技 版
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第2章 有理数 2.2 有理数与无理数
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有理数的概念
正整数 整数 0
负整数
正分数 分数
负分数
整数可以表示成分数(fēnshù)的形式吗？
5 =0.5555……， 9
2 =0.181818……， 11
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0.8
有限小数
0.555…… -0.1777…… 0.181818……
无限(wúxiàn)循环 小数
无限(wúxiàn)循 环小数
无限循环小数
反过来，这些有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此
它们都是
解：有理数：3.14 , , 0.5 73； 无理数： 0.101000100 0004 1…(相邻(xiānɡ lín)两个1之间 0的个数逐次加2个）.
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小结
(xiǎojié)
谈谈你这一节课有哪些(nǎxiē)收获．
2有理数的的分类
有理数知识点1：确定一个数是否是有理数问题模型：一般的我们把整数和分数统称为有理数。
有理数都能写成nm（m ，n 是整数，n ≠0）的形式。
任何一个分数也可以化成有限小数或无限循环小数的形式。
求解策略：在了解有理数由整数和分数组成后，首先选出整数，然后再选可表示为有限小数和无限循环小数的分数。
例：在—722，1.5，0，—4，3.14，23%，π，2.323323332，其中有理数的个数为 个。
分析：整数和分数统称为有理数，其中分数是有限小数和无限循环小数。
因为π是无限小数不属于分数，同时也不是整数，所以π不是有理数其它都是有理数。
解：7个 变式：1. 把下列各数分别填入相应的大括号内：8+,293-,2.31,0,-3.14,58+,-5,-12.6， 0.101001000…，••32.0正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 有理数集合{ …}。
解：正数集合{ +8，2.31，58+ ， 0.101001000…，••32.0，…}；负数集合{293-，-3.14，-5，-12.6，…}；有理数集合{8+,293-,2.31,0,-3.14,58+,-5,-12.6，…}。
2.给出下列各数：4.443， 0，π，814-，3.1159，－1000，722．其中有理数和非负数的个数分别是 （ ）A ．7和5B ．6和5C ．5和4D ．4和4 解：选B3.请你列举一些有理数以及不是有理数的数解：答案不唯一，但列要特别记住π和0.101001000…之类的数不是有理数。
有理数的分类1有理数按定义进行分类0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数问题情境2：有理数的分类情形1：对有理数按定义进行分类 问题模型：有理数按定义进行分类0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数求解策略：首先明确各类数的意义，然后根据数的类型筛选数字，最后再检验是否有多选和漏选。
2022秋七年级数学上册 第2章 有理数2.13 有理数的混合运算课件华东师大版
1．【中考·宜昌】计算 4＋(－2)2×5 的结果是( D ) A．－16 B．16 C．20 D．24
2．【中考·杭州】计算下列各式，值最小的是( A ) A．2×0＋1－9 B．2＋0×1－9 C．2＋0－1×9 D．2＋0＋1－9
3．下面是小刚同学做的一道题：－23÷49×－322.解：原式＝8÷49×94 ＝8.四位同学看了小刚的解答，给出 4 个看法：①运算顺序
(2)写出正确的计算过程． 解：原式＝－4÷－265×6＝－4×－265×6＝12454.
15．计算： －194＋127－251÷－211＋32×|－110－(－3)2|.
解：原式＝－194＋97－251×(－21)＋32×|－1－9|＝ －194×(－21)＋97×(－21)－251×(－21)＋32×10＝227－27＋5＋15＝ 13 2.
7．利用运算律简便计算 52×(－999)＋49×(－999)＋999 正确的是 ( B)
A．－999×(52＋49)＝－999×101＝－100 899 B．－999×(52＋49－1)＝－999×100＝－99 900 C．－999×(52＋49＋1)＝－999×102＝－101 898 D．－999×(52＋49－99)＝－999×2＝－1 998
8．观察算式(－4)×17×(－25)×28，在解题过程中，能使运算变得 简便的运算律是( C )
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律、结合律 D．乘法对加法的分配律
9．计算： (1)(－2)×－274＋(－8)×274－5×－274＋274；
解：原式＝274×(2－8＋5＋1)＝0.
错了；②计算－23 时符号错了，应为－8；③计算结果是－8；
④第一步应该等于－8×94×94.其中正确的是( C )
第二章有理数及其运算教案
第二章 有理数2.1有理数教学目标1．理解有理数的概念，掌握有理数的分类方法；(重点) 2．会把所给的有理数填入相应的集合；(难点)3．经历对有理数进行分类探索的过程，初步感受分类讨论的数学思想．(重点)板书设计：1．有理数的概念(1)整数：正整数、零和负整数统称整数．(2)有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数． 2．有理数的分类①按定义分类为： ②按性质分类为：有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数例题：探究点一：有理数的有关概念例1下列各数：－45，1，8.6，－7，0，56，－423，＋101，－0.05，－9中，( )A ．只有1，－7，＋101，－9是整数B ．其中有三个数是正整数C ．非负数有1，8.6，＋101，0D ．只有－45，－445，－0.05是负分数解析：根据有理数的有关概念，整数包括：1，－7，0，＋101，－9，故选项A 错误；正整数只有两个，即1和＋101，故选项B 错误；非负数包括有1，8.6，＋101，0，56，故选项C 错误；负分数包括－45，－423，－0.05，故选项D 正确．故选D.方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数． 探究点二：有理数的分类例2把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－712，334，－10%，3101，2，0，3.14，－67，37，0.618，－1，0.3080080008…正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}；分数集合{ …}．解析：要将各数填入相应的集合里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在填入相应的集合时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼．解：正数集合{8，334，3101，2，3.14，37，0.618，0.3080080008… …}；负数集合{－10，－712，－10%，－67，－1 …}；整数集合{－10，8，2，0，－67，－1 …}；分数集合{－712，334，－10%，3101，3.14，37，0.618，0.3080080008… …}．方法总结：在填数时要注意以下两种方法：(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象2.2数轴教学目标1．掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；(重点) 2．会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数；(难点) 3．会根据数轴上的点读出所表示的有理数；(难点) 4．感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的．板书设计：1．数轴 (1)原点 (2)正方向 (3)单位长度2．数轴上的点与有理数间的关系 (1)原点表示零(2)原点右边的点表示正数 (3)原点左边的点表示负数例题：探究点一：数轴的概念例1 下列图形中是数轴的是( )A. B. C. D.解析：A 中的没有单位长度，错误；B 中没有正方向，错误；C 中满足原点，正方向，单位长度，正确；D 中没有原点，错误．故选C.方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．探究点二：有理数与数轴的关系【类型一】 读出数轴上的点所表示的数例2指出如图中所表示的数轴上的A 、B 、C 、D 、E 、F 各点所表示的数．解析：要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：(1)确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；(2)确定数字，即距离原点是几个单位长度．解：由图可知，A 点表示：－4.5；B 点表示：4；C 点表示：－2；D 点表示：5.5；E 点表示：0.5；F 点表示7.方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A 、D 这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间．【类型二】 在数轴上表示有理数例3 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－5，2.5，3，－52，0，－3，312.解析：(1)画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；(2)用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离．解：如图：方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置．【类型三】 数轴上两点间的距离问题例4 数轴上的点A 表示的数是＋2，那么与点A 相距5个单位长度的点表示的数是( ) A ．5 B ．±5 C ．7 D ．7或－3解析：与点A 相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3，故选D.方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况．2.3相反数教学目标：1．借助数轴理解相反数的概念，并能求给定数的相反数；(重点) 2．了解一对相反数在数轴上的位置关系；(重点) 3．掌握双重符号的化简；(难点)4．通过从数和形两个方面理解相反数，初步体会数形结合的思想方法．板书设计：1．相反数(1)只有符号不同的两个数．(2)a 的相反数是－a ，0的相反数是0. (3)互为相反数的两个数和为0. 2．多重符号的化简(1)偶数个“－”号，结果为正数． (2)奇数个“－”号，结果为负数．例题：探究点一：相反数的意义【类型一】 相反数的代数意义例1 写出下列各数的相反数：16，－3，0，－12015，m ，－n .解析：只需将各数前面的正、负号换一下即可，但要注意0的相反数是0. 解：－16，3，0，12015，－m ，n .方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0. 【类型二】 相反数的几何意义例2(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________．(2)在数轴上，若点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，点A 在点B 的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A ＝______，B ＝______．解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，∴距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)∵点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，∴原点到点A 与点B 的距离相等，∵A 、B 两点间的距离是12.8，∴原点到点A 和点B 的距离都等于6.4.∵点A 在点B 的左侧，∴这两点所表示的数分别是－6.4，6.4.方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧．【类型三】 相反数与数轴相结合的问题 例3如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A 、B 表示的两数互为相反数，则点C 所表示的数为( )A ．2B ．－4C ．－1D ．0 解析：由题意如图，数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，∴点C 所表示的数为－1，故应选C.方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C 所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等．探究点二：化简多重符号 例4 化简下列各数． (1)－(－8)＝________；(2)－(＋1518)＝________；(3)－[－(＋6)]＝________； (4)＋(＋35)＝________．解：(1)－(－8)＝8； (2)－(＋1518)＝－1518；(3)－[－(＋6)]＝－(－6)＝6；(4)＋(＋35)＝35.方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．2.4绝对值教学目标1．理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法；(重点)2．会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；(难点)3．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的学习兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲．板书设计：1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作|a |. 2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0）0（a ＝0）－a （a <0）或|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0）－a （a <0）例题：探究点一：绝对值的意义及求法【类型一】 求一个数的绝对值 例1 －3的绝对值是( ) A ．3B ．－3C ．－13 D.13解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A.方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【类型二】 利用绝对值求有理数例2 如果一个数的绝对值等于23，则这个数是__________．解析：∵23或－23的绝对值都等于23，∴绝对值等于23的数是23或－23.方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外．【类型三】 化简绝对值例3 化简：|－35|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．解析：|－35|＝35；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a ＞0，则|a |＝a ；若a ＝0，则|a |＝0；若a ＜0，则|a |＝－a .探究点二：绝对值的性质及应用【类型一】绝对值的非负性及应用例4 若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．解析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0.解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.【类型二】绝对值在实际问题中的应用例5 第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球|－0.15|＝0.15，合格品．方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．2.5有理数大小的比较教学目标1．掌握有理数大小的比较法则；(重点)2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接；(重点)3．能初步进行有理数大小比较的推理和书写．(难点)板书设计：1．借助数轴比较有理数的大小：在数轴上右边的数总比左边的数大2．运用法则比较有理数的大小：正数与0的大小比较负数与0的大小比较正数与负数的大小比较负数与负数的大小比较例题：探究点一：借助数轴比较有理数的大小【类型一】借助数轴直接比较数的大小例1 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－112，4，0.解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较．解：如图所示：因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－112＜0＜12＜4＜＋5.方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键．【类型二】 借助数轴间接比较数的大小例2 已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示．比较a 、b 、－a 、－b 的大小，正确的是( )A ．a ＜b ＜－a ＜－bB ．b ＜－a ＜－b ＜aC ．－a ＜a ＜b ＜－bD ．－b ＜a ＜－a ＜b解析：由图可得a ＜0＜b ，且|a |＜|b |，则有：－b ＜a ＜－a ＜b .故选D.方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 探究点二：运用法则比较有理数的大小 【类型一】 直接比较大小例3 比较下列各对数的大小： (1)3和－5； (2)－3和－5；(3)－2.5和－|－2.25|； (4)－35和－34.解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5； (3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|； (4)因为|－35|＝35，|－34|＝34，35＜34，所以－34<－35.方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小．【类型二】 有理数的最值问题例4 设a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，c 是最小的正整数，则a 、b 、c 三数分别为( ) A ．0，－1，1 B ．1，0，－1 C ．1，－1，0 D ．0，1，－1解析：因为a 是绝对值最小的数，所以a ＝0，因为b 是最大的负整数，所以b ＝－1，因为c 是最小的正整数，所以c ＝1，综上所述，a 、b 、c 分别为0、－1、1.故选A.方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1.2.6有理数加减法1．同号两数相加，取__相同的符号__，并把__绝对值__相加．2．绝对值不相等的异号两数相加，取__绝对值较大的加数__的符号，并用__较大的绝对值__减去__较小的绝对值__．互为相反数的两个数相加得__0__．3．一个数同0相加，仍得__这个数__．1．有理数加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，__和__不变，数学表达式__a ＋b ＝b ＋a __．2．有理数加法的结合律：三个数相加，__先把前两个数相加或先把后两个数相加__，和不变，数学表达式__(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )__．3．在有理数中，所有整数的和为__0__．1．有理数减法法则：__减去一个数，等于加这个数的相反数__，数学表达式是__a －b ＝a ＋(－b )__． 2．若a ＞b ，则a －b__>__0； 若a ＜b ，则a －b__<__0.3．利用有理数减法法则进行计算，其步骤是 (1)__减数变为其相反数__；(2)__相加__．4．一般地，较小的数减去较大的数，所得差的符号是__负号__．1．根据有理数的减法法则，可以将有理数加减混合运算统一为__加法__运算，然后按__加法__的运算法则进行计算，即a ＋b －c ＝a ＋b ＋__(－c )__．2．有理数加减混合运算的一般步骤是：(1)__先转化为加法运算__；(2)__运用加法的运算律化简运算__．探究点三 数轴上两点之间的距离活动三：在数轴上，当A ，B 分别表示数a ，b ，利用有理数的减法，分别计算下列情况下A ，B 之间的距离．(1)a ＝2，b ＝6； (2)a ＝0，b ＝6； (3)a ＝－2，b ＝6; (4)a ＝－2，b ＝－6. 【展示点评】根据AB ＝|a －b|，可得：当a>b 时，AB ＝a －b ；当a ＝b 时，AB ＝0，当a<b 时，AB ＝b －a. 【小组讨论】：两数之差的绝对值与两数之间的距离有什么关系？【反思小结】利用数轴，把数和形结合起来，有利于把抽象的知识直观化．两数之差的绝对值等于表达两数的点之间的距离．例题：1．上升10 m ，再上升－3 m ，则共上升了__7__m. 2．－713的绝对值与513的相反数的和是__2__．3．两数相加，其和小于每一个数，那么( C ) A ．这两个加数必定有一个为0B ．这两个加数一正一负，且负数的绝对值较大C ．这两个加数必定都是负数D ．这两个加数的符号不能确定4．数a ，b 表示的点如图所示，则(填“>”“<”或“＝”)(1)a ＋b__>__0；(2)a ＋(－b)__<__0； (3)(－a)＋b__>__0； (4)(－a)＋(－b)__<__0.5．计算题：(1)(＋3)＋(＋8)； (2)(＋14)＋(－12)；(3)(－312)＋(－3.5)；(4)(－314)＋(＋213)；(5)|(－19)＋8.3|；(6)－3.4＋4.3.解：(1)11 (2)－14 (3)－7 (4)－1112(5)10.7 (6)0.91．下列说法正确的是( C ) A ．零减去一个数，仍是这个数 B ．负数减去负数，结果仍是负数 C ．正数减去负数，结果是正数 D ．被减数一定大于差2．－7，－12，＋2三个数的和比它们的绝对值的和小( D ) A ．4 B ．－4 C ．－38 D ．383．温度3℃比－7℃高__10℃__，海拔300 m 比海拔－80 m 高__380__m ，－3比__3__小6，－3比__－9__大6.4．计算：(1)(－5)－(－3)； (2)0－(－7)； (3)(＋25)－(－13); (4)(－11)－(＋5)． 解：(1)－2 (2)7 (3)38 (4)－165．计算：(1)12－21; (2)(－1.7)－(－2.5)； (3)23－(－12); (4)(－16)－(－13)． 解：(1)－9 (2)0.8 (3)76 (4)162.7有理数的乘除法1．有理数的乘法法则：两数相乘，同号__得正__，异号__得负__，并把__绝对值相乘__．任何数与0相乘都得0. 2．互为倒数：乘积是__1__的两个数互为倒数．3．有理数乘法运算时，应注意，先__确定符号__，再__确定积的绝对值__．4．几个有理数相乘，如果其中一个因数为0，则积为__0__．两个有理数相乘先确定积的符号，再把绝对值相乘．其法则是：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0.3．(1)乘法交换律__ab ＝ba __；(1)(－25)×39×(－4)； (2)乘法结合律__(ab )c ＝a (bc )__；(3)乘法分配律__a (b ＋c )＝ab ＋ac __． 用两种方法计算(14＋16－12)×12. 1．有理数除法法则：(1)除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的__倒数__，即a ÷b ＝__a ×1b__(b 不等于0)； (2)两数相除，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值相__除__． 2．a(a ≠0)的倒数是__1a__．3．若a ＞0，b ＜0，则ab__＜__0，ab __＜__0；若a ＜0，b ＜0，则ab__＞__0，ab__＞__0.1．有理数混合运算，应先__乘除__，再__加减__，如果有括号则先__算括号__里面的． 2．同级运算应按__从左到右__的顺序进行计算．3．有理数的混合运算中，有些能用__乘法的运算律__简化运算．例题：探究点一 有理数的乘法法则 例1 计算：(1)(－3)×9； (2)8×(－1)； (3)(－12)×(－2); (4)(－5)×(－7)．探究点三 多个有理数相乘的符号法则 活动三：计算：(1)(－3)×56×(－95)×(－14)；(2)(－5)×6×(－45)×14.五、达标检测 反思目标1．两个有理数的积是负数，和为0，那么这两个有理数一定是( D ) A ．一个为0，另一个数是负数 B ．两个都是负数C ．一个为正数，另一个为负数D ．均不为0，且互为相反数 2．下列运算结果错误的是( D )A ．(－2)×(－3)＝6B ．(＋3)×(＋4)＝12C ．(－5)×0＝0D ．(－12)×(－6)＝－33．6×(－9)＝__－54__； (－114)×(－45)＝__1__；3×(－32)＝__－92__； (－54)×32＝__－158__． 4．写出下列各数的倒数：1，－1，13，－123，－34，0.45. 解：1，－1，3，－35，－43，2095．计算：(1)13×(－6)；(2)(－312)×27； (3)(－35)×(－152)；(4)(－123)×(－127)． 解：(1)－2 (2)－1 (3)92 (4)157有理数除法法则例1 填空：(1)8÷(－4)＝8×______＝______；(2)(－15)÷3＝(－15)×______＝______；(3)(－14)÷(－12)＝(－14)×______＝______； (4)0÷(－1212)＝______；0÷2012＝______． (1)18－6÷(－2)×(－13)； (2)214×(－76)÷(12－2)． 2.8有理数乘方运算板书设计1．有理数乘方的意义2．有理数乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.3．与乘方有关的探求规律问题例题：探究点一：乘方的意义例1 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)； (2)25×25×25×25×25×25解析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么．解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5； (2)25×25×25×25×25×25＝(25)6，其中底数是25，指数是6；方法总结：乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．探究点二：乘方的运算例2 计算：(1)－(－3)3; (2)(－34)2； (3)(－23)3; (4)(－1)2015. 解析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；(2)(－34)2＝34×34＝916； (3)(－23)3＝－(23×23×23)＝－827； (4)(－1)2015＝－1.方法总结：乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；－1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1.2.9有理数的混合运算有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．例题：探究点一：有理数的混合运算例1 计算：(1)(－5)－(－5)×110÷110×(－5)； (2)－1－{(－3)3－[3＋23×(－112)]÷(－2)}． 解析：(1)题是含有减法、乘法、除法的混合运算，运算时，一定要注意运算顺序，尤其是本题中的乘除运算．要从左到右进行计算；(2)题有大括号、中括号，在运算时，可从里到外进行．注意要灵活掌握运算顺序．解：(1)(－5)－(－5)×110÷110×(－5)＝(－5)－(－5)×110×10×(－5)＝(－5)－25＝－30； (2)－1－{(－3)3－[3＋23×(－112)]÷(－2)}＝－1－{－27－[3＋23×(－32)]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－1)}＝－1－(－26)＝25.方法总结：有理数的混合运算可用下面的口诀记忆：混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取大值号，乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算按顺序，乘方乘除后加减． 探究点二：数字规律探索例2 为了求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22015的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22015，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22016，因此2S －S ＝22016－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22015＝22016－1，仿照以上推理，那么1＋5＋52＋…＋52015＝________．解析：观察等式，可发现规律，根据规律即可进行解答．则设S ＝1＋5＋52＋53＋…＋52015，5S ＝5＋52＋53＋54＋…＋52016，5S －S ＝52016－1，∴S ＝52016－14，故填52016－14. 方法总结：解规律性问题的关键在于发现规律，应用规律解题．2.10科学计数法科学记数法：(1)把大于10的数表示成a ×10n 的形式．(2)a 的范围是1≤|a |<10，n 是正整数．(3)n 比原数的整数位数少1.例题：探究点一：用科学记数法表示大数例1 我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，将167000用科学记数法表示为( )A ．167×103B ．16.7×104C ．1.67×105D ．1.6710×106解析：根据科学记数法的表示形式，先确定a ，再确定n ，解此类题的关键是a ，n 的确定.167000＝1.67×105，故选C.方法总结：科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．例2 2014年3月发生了一件举国悲痛的空难事件——马航失联，该飞机上有中国公民154名．噩耗传来后，我国为了搜寻生还者及找到失联飞机，花费了大量的人力物力，已花费人民币大约934千万元．把934千万元用科学记数法表示为______元( )A ．9.34×102B ．0.934×103C ．9.34×109D ．9.34×1010解析：934千万＝9340000000＝9.34×109.故选C.方法总结：对用带“万”“千万”“亿”等单位的数用科学记数法表示时，要化成不带单位的数，再用科学记数法表示．探究点二：将用科学记数法表示的数转换为原数例3 已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.解析：(1)将2.01的小数点向右移动4位即可；(2)将6.070的小数点向右移动5位即可；(3)将－3扩大1000倍即可．解：(1)2.01×104＝20100；(2)6.070×105＝607000；(3)－3×103＝－3000.方法总结：将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．。
2有理数(A)
有理数(A)一、选择题1、下列说法中，错误的是 （ ）A ．零是非负有理数B ．整数和分数统称为有理数C ．正整数和负整数统称为整数D ．自然数包括零 2、如果a 与－2互为相反数，那么a 等于（ ） A ．－2 B ．2 C ．12-D ．123、下列叙述正确的是（ ）A 、若b a b a ==则,B 、若b a b a >>则,C 、若b a b a <<则,D 、若b a b a b a -===或则, 4、下列各式成立的是（ ）A 、5.1)5.1(->+-B 、)74.0(0-->C 、9597->-D 、6776->-5、在数轴上，点A 对应的数是－2006，点B 对应的数是＋17，则A 、B 两点的距离是（ ）（A ）1989 （B ）1999 （C ）2013 （D ）2023 6、在一次智力竞赛中，主持人问了这样的一道题目：“a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，请问：a 、b 、c 三数之和为多少？”你能回答主持人的问题吗？其和应为（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、27、若a a -=，则a 一定是（ ）A 、负数B 、正数C 、非正数D 、非负数解题方法指导根据概念解题、分类思想根据概念解题根据概念性质解题、字母表示数的思想、分类思想、数形结合思想根据概念解题、化简思想，数形结合思想根据概念解题、数形结合思想根据概念性质解题、分类思想8、把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：－18，227，3.1416，0，2004，35，－0.142857，95％.…正数集合 整数集合 负分数集合 9、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数连起来:2，－142，－1.5，132，1.6，0，－210、一电子跳蚤落在数轴上的某点K 0 处，第一步从K 0 向左跳一个单位到K 1，第二步从K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左处跳了3个单位到K 3，第四步由K 3向右跳4个单位到K 4……按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则K 0表示的数是（ ）． A ．0 B ．100 C ．50 D ．-5011、小明的爸爸是个车间主任，他们为一家汽车厂生产了一批零件，为了检查这批零件是否合格，从中抽取了8件进行检查，比规定直径长的毫米数记作为正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查记录如下：指出第几个零件好些？怎样用所学过的绝对值的知识说明什么样的零件好些？1 2 3 4 56 ＋0.4－0.2－0.1+0.2+0.3 －0.3K0K1K3K2K4K6K5K8……根据概念性质解题、分类思想根据概念性质解题、数形结合思想数学归纳法、方程思想、数形结合思想根据概念解题。
数学七年级上册第二章《有理数》教案 (9)
2．5有理数的大小比较【名师说课】课程标准分析本节课的课程标准要求是让学生会利用绝对值比较两个负数的大小，在此基础上，进而掌握有理数大小比较的一般方法，会比较任意有理数的大小．通过掌握有理数比较大小的各种方法，培养学生的逻辑思维能力．在不断加深对有理数比较大小的方法的认识的同时，体会数形结合的数学思想．由有理数中两个负数大小比较的过程，体会数学中转化思想的应用．教材分析1．地位与作用：有理数的大小比较是在小学学过对两个正数的大小比较的基础上，以及本章第2节中利用数轴对正数与零、负数与零、正数与负数的大小比较已初步认识的情况下学习的，对前面学习的基础依赖较重，同时它又是为后面学习有理数的加减打基础的，所以它在教材中起一个纽带的作用，既为前面学过的旧知识作一个总结，又为后面的新知识的学习做好衔接．2．重点与难点：本节的重点是有理数大小比较的方法步骤，难点是有理数大小比较的方法的灵活选择与两个负数的大小比较．教法分析本节教学的基础是：(1)小学阶段对两个正数的大小比较知识；(2)数轴一节中正数与零、负数与零、正数与负数的大小比较．所以在教学中对小学阶段学过的两个正的小数或分数的大小比较知识作适当的复习，减少新课学习中的困难．比较两个负数的大小是本节教学的难点，要充分利用数轴和绝对值的知识，通过演示，将数轴上在原点左侧表示的数的“点距原点越远”，与“这个数的绝对值越大”相对应起来，也可多举一些实例，让学生在直观上感受到两个负数大小比较法则的合理性．两个负数比较大小的过程是一个完整的推理过程，要有意识地培养学生的推理能力，并注意数学上转化思想的渗透，对例题和习题中出现的需先化简再比较大小的一些数，要培养学生良好的解题习惯，仔细读题，化简后再进行比较；两个以上数的比较大小，应强调将这些数按从小到大或从大到小顺序排列，再用同方向的不等号连接．教学中应通过师生互动，学生自我探究，让学生充分参与到学习过程中．学法分析1．学习中应注意结合数轴，理解本节的关键法则：两个负数，绝对值大的反而小．2．两个负数的大小比较是本节的重难点，也是中考热点之一，要充分利用绝对值和数轴的知识来比较有理数的大小，利用绝对值可以不用数轴就能比较有理数大小，但用数轴比较有理数的大小仍是一种既直观又简便的方法，我们可以根据需要自由选择．【教学目标】知识与技能会用绝对值比较两个负数的大小．过程与方法掌握有理数大小比较的一般方法．情感态度与价值观由两个负数比较大小的过程，体会数学上转化思想的应用，培养学生的推理能力．【教学重难点】重点：有理数大小比较的方法、步骤及各种方法的灵活选择．难点：两个负数的大小比较．【教学过程】一、旧知回顾设计意图：温故而知新，有利于学生衔接前后知识，为新知作铺垫，并能调动学生的学习热情．师：1.在数轴上表示两个有理数，如何比较它们的大小呢？2．试在数轴上画出－2，－5表示的点．让学生完成，概括得出数轴上右边的数总比左边的数大．正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．二、探究新知设计意图：学生通过观察归纳，有利于他们概括能力的培养．1．学生分组讨论：两个负数的大小比较与这两个数的绝对值有何关系？2．概括得出：两个负数，绝对值大的反而小．3．例如：比较－34和－23的大小．因为|－34|＝34＝912，|－23|＝23＝812，又因为：912＞812，即|－34|＞|－23|，所以－34＜－23. 通过规范两个负数大小比较的解题步骤，加强对学生数学逻辑推理的培养．4．随堂练习：比较下列各对数的大小：①－1与－0.01；②－|－2|与0；③－0.3与－13；④－(－19)与－|－110|. 学生分组完成，用投影展示错误，进行剖析．(通过以上练习，强化学生对法则的理解)三、拓展训练设计意图：通过字母比较培养学生抽象思维能力．教师出示例题：已知a ＞0，b ＜0，且|b |＞|a |，比较a ，－a ，b ，－b 的大小．分析：方法一：可通过数轴来比较大小，先在数轴上找出a ，－a ，b ，－b 的大致位置再比较．方法二：直接通过计算各数的绝对值，然后比较大小，对于a ，－b 两个正数，绝对值大的原数也大；对于－a ，b 两个负数，绝对值大的反而小．四、巩固练习设计意图：进一步巩固有理数大小的比较法则．1．比较大小，并用“＜”连接．(1)－34，－712，－56； (2)－(－10)，－|－10|，9，－|＋18|，0.2．有理数a 、b 在数轴上表示如下图，用“＞”或“＜”填空．(1)a ________b ； (2)|a |________|b |；(3)－a ______－b ； (4)1a ________1b. 五、课堂小结设计意图：通过提问，让学生知识系统化．你学会了比较有理数的大小有几种方法？答：有两种方法，方法一：利用数轴把这些数用数轴上的点表示出来，然后“根据数轴上右边的数总比左边的数大”来比较．方法二：利用比较法则：正数大于零，负数小于零，两个负数的绝对值大的反而小来进行．六、课后作业1．比较下列每对数的大小：(1)－0.1与－0.001；(2)－(＋19)和－|－110|. 【答案】(1)因为|－0.1|＝0.1，|－0.001|＝0.001，且0.1＞0.001，所以－0.1＜－0.001；(2)因为－(＋19)＝－19，且|－19|＝19；－|－110|＝－110，且|－110|＝110；19＞110，所以－(＋19)＜－|－110|. 2．比较下列每对数的大小：(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(＋3)与0；(3)－45与－|－34|；(4)－π与－|－3.14|. 【答案】(1)化简得：－(－5)＝5，－|－5|＝－5，因为正数大于一切负数，所以－(－5)＞－|－5|.(2)化简得：－(＋3)＝－3，因为负数小于0，所以－(＋3)＜0.(3)化简得：－|－34|＝－34，这是两个负数的大小比较，因为|－45|＝45＝1620，|－34|＝34＝1520，且1620＞1520，所以－45＜－|－34|. (4)化简得：－|－3.14|＝－3.14.这是两个负数比较大小，因为|－π|＝π，|－3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以－π＜－|－3.14|.3．已知有理数a 、b 、c 在数轴上位置如下图：则|c －1|＋|a －c |＋|a －b |化简后的结果是______．A ．b －1B ．2a －b －1C ．1＋2a －b －2cD ．1－2c ＋b【答案】D【板书设计】一、旧知回顾二、探究新知三、拓展训练四、巩固练习五、课堂小结六、课后作业。
第二章-有理数
第2章有理数本章导读第2章 有理数2.1 正数与负数预习书本P12-P13，完成下面问题：1、正数都是比 大的数，负数都是比 小的数， 既不是正数，也不是负数. 2.___________、___________、_______统称为整数；_________、_________统称为分数。
3、你能举出一些具有相反意义量的例子吗？如何来表示这些具有相反意义的量呢？ 1． 指出下列各数中的正数、负数： +7；－9；－13；－4.5；998；910；0.2． 填一填（1）小明在某路口，规定向东为正，向西为负.如果他向东走了100米，则可表示为_______米，如果他向西走了150米，则可表示为_______米，如果他走了-50米，则表示他向_______走了_____米，如果他走了+200米，则表示他向______走了_____米. （2）运进了-72 吨货物的意思是________________.3． 把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54， -2, 9.3 正整数集合{ …}负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …}拓展提升1.在小学我们学习了偶数0 , 2 , 4 , 6 , 8，……，以及奇数1 , 3 ，5 , 7 , 9，……，现在我们学过了负数后，我们同时也知道了负偶数与负奇数，如负偶数－2，－4，－6，－8，……，负奇数－1，－3，－5，－7，……，下面我们将这此负偶数与负奇数排列如下：在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数－101将在哪一列？达标测试1．（2011南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）A．－20m B．－40m C．20m D．40m2．（2010连云港）下面四个数中比－2小的数是（）A．1 B．0 C．－1 D．－33．（2011宿迁）下列各数中，比0小的数是（）A．－1 B．1 C．12D．π4．数学测验班级平均分82分，小明85分，高出平均分3分记作+3，小强78分，记作___________．5．中午12时气温为5℃，傍晚6时气温比中午12时降低了4℃，此时气温是_______℃；凌晨4时比中午12时气温降低了7℃，这时气温是______℃.6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的时间记为正，迟到的时间记为负，结果最早到的同学记为＋3小时，最迟到的同学记为－1.5小时，你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早到多少小时？2.2 有理数与无理数学习目标问题导学预习书本P15-P16，完成下面问题：1、把能够写成________________________________的数叫做有理数. 2. ________________________________叫做无理数. 3．下列各数722，0.3333…，-6,9.3，π，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.有理数分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 典例训练1．把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54，π，2.12112…, -2, 9.3，..0.12正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …} 非负数集合{ …} 有理数集合{ …}学习目标了解 理解 掌握 应用 1.掌握有理数和无理数的概念 √ 2.会对有理数进行分类 √ 3.了解分类思想√1. 如图，将两个边长为1的小正方形，沿图中斜线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2，如果设大正方形边长为a ，请问，a 是有理数吗？1.判断题：(1)整数就是正整数和负整数 ( ) (2)零是整数但不是正数 ( )(3)正数、负数统称为有理数 ( ) (4)非负有理数是指正有理数和0 ( )2.（2010温州）在下列各数中，0，π，12-，0.3中，最小的是 （ ） A ．0 B ．π C ．12-D ．0.3 3.下列说法正确的是 （ ）A 、一个有理数不是整数就是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D 、0不是有理数 4.将下列各数分别填入相应的集合中：9417,9,,,,31.25, 2.626626662, 3.5,1,010272π---+--正数集合：｛ … ｝ 负数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝111111无理数集合{ … }2.3 数轴(第一课时)学习目标问题导学1.下列说法正确的是（）A、一个有理数不是整数就是分数B、正整数和负整数统称为整数C、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D、0不是有理数2.将下列各数分别填入相应的集合中：211,2004,5.3,25.31,274,301,109,9,7-+---正数集合：｛…｝负数集合：｛…｝整数集合：｛…｝分数集合：｛…｝3、规定了、和的直线叫做数轴。
新北师大版七年级上册数学第二章 有理数及其运算
基础认识篇
1、中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期．﹣5 的相反数是（ ）
A．±5
B．5
C．
D．﹣
2、一个数的相反数是它本身，则这个数是（ ）
A．0
B．正数
C．负数
D．非负数
3、若 a+b＝0，则 a 和 b 的关系为（
A．相等
B．互为倒数
） C．互为相反数
2、“0”的认识：0 既不是正数，也不是负数。 （易错提示：0 除了表示“一个也没有”外，还表示特定的意义。0 是最小的自然数）
基础认识篇
1、已知下列各数：﹣23，﹣101.1， ，﹣ ，﹣0.1，2.8，38，0，+1，
其中正数有：
，负数有：
.
2、在一次军事训练中，一架直升机“停”在离海面 80m 的低空，一艘潜水
A．
B．3
C．﹣
D．﹣3
3、下列说法正确的是（ ）
①﹣2 是相反数；②2 是相反数； ③﹣2 与 2 互为相反数；④a 的相反数是﹣
a； ⑤0 没有相反数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4、若 n 与 m 互为相反数，则 n+m＝
．
5、下列各对数中互为相反数的是（ A．﹣（+8）和+（﹣8） C．﹣（+8）和﹣8
2、﹣|﹣2019|的值是（ ）
A．
B．
C．﹣2019
基础认识篇
1、把下列各数填在相应的集合里 ﹣23，0.21，﹣ ，﹣3.4，15，0，7，1.6，0.86，﹣7.3
分数集合：{ 整数集合：{
…} 非负整数集合：{ …} 自然数集合：{
(2) 有理数
模块一 正负数概念1、正数：像3、4、+0.3等的数，叫做正数，在小学学过的数，处0外都是正数，正数都大于0； 2、负数：像-1、-3.21、-4等再正数前面加上“—”（读作负）号的数，叫做负数，负数小于0；注：0既不是正数，也不是负数；一个数字前面的“+”、“-”号叫做它的符号； 正数前面的“+”可以省略。
3、用正负数表示相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它相反的意义，反之亦然“相反意义的量”包括两个方面的含义：相反意义；在相反意义的基础上要有量。
练习1、下列说法正确的是（1）不带负号的数是正数； （2）带负号的数不一定是负数； （3）0摄氏度表示没有温度； （4）0既不是正数，也不是负数模块二 有理数的分类1、有理数整数和分数统称为有理数注：正数和零统称位非负数；负数和零统称位非正数； 正整数和零统称位非负整数； 负整数和零统称位非正整数； 不是有理数有理数整数 分数 正整数（自然数） 零 负整数正分数 负分数有理数练习2、把下列个数分别填在相应的括号里1.8，-42，+0.01，215-，0，π，-3.14, 1，1211整数（ ） 分数（ ） 正数（ ） 负数（ ） 非负数（ ）模块三 数轴1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线注：数轴三要素缺一不可，原点、正方向、单位长度。
2、有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大；模块四 相反数1、相反数：只有符号不同的两个数成为相反数，特别地，0的相反数是02、相反数的性质：代数意义：互为相反数的两个数和位零，即a 和b 互为相反数，则a+b=0 反之亦然；几何意义：一对相反数再数轴上分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的。
3、a 的相反数是 b a +的相反数是 b a -的相反数是注：-a 不一定是负数。
模块五 绝对值1、绝对值：几何意义：数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离；代数意义：正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。
初中二有理数教案
教案：初中二年级有理数教学目标：1. 理解有理数的定义及其分类；2. 掌握有理数的运算方法，包括加法、减法、乘法、除法；3. 能够运用有理数解决实际问题。
教学重点：1. 有理数的定义及其分类；2. 有理数的运算方法。
教学难点：1. 有理数的乘除法运算；2. 运用有理数解决实际问题。
教学准备：1. 教材或教辅资料；2. 的黑板和粉笔；3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的整数和小数知识，让学生举例说明整数和小数的应用场景；2. 提问：整数和小数能否表示分数？为什么？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包括正有理数、负有理数和零；2. 讲解有理数的分类：正整数、负整数、正分数、负分数、零；3. 讲解有理数的运算方法：a. 加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
b. 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
c. 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
d. 除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 引导学生互相讨论，解决练习题中的问题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 让学生举例说明有理数在实际生活中的应用；2. 引导学生运用有理数解决实际问题。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结有理数的定义、分类和运算方法；2. 强调有理数在实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了有理数的定义、分类和运算方法，并能运用有理数解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生积极参与、互相讨论，提高了学生的学习兴趣和动手能力。
但在拓展与应用环节，可以进一步引导学生发现生活中的数学问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2018年秋七年级数学上册 第2章 有理数 2.2 数轴讲义 (新版)华东师大版
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．无数个
9．在数轴上，点 A 表示－3，从点 A 出发沿数轴移动 4 个单位长度到达点
B，则点 B 表示的数是( D )
A．－7
B．1
C．4
D．－7 或 1
10．数轴上与表示－5 的点相距 2 个单位长度的点所表示的数是 －3或－7 .
11．数轴上到原点的距离小于 3 的整数的个数为 x，不大于 3 的整数的个数 为 y，等于 3 的整数的个数为 z，则 x＋y＋z＝ 14 .
6．在数轴上有三个点 A、B、C(如图)，回答下列问题：
(1)将点 A 向右移动 4 个单位长度后，三个点所表示的数中，最小的数是多 少？ (2)将点 C 向左移动 4 个单位长度后，三个点所表示的数中，最大的数是多 少？ (3)怎样移动 A、B、C 中的其中两个点，才能使三个点表示的数相同？有几 种移动的方法？ 解：(1)最小的数是点 B 所表示的数，为－5； (2)最大的数是点 A 所表示的数－1；
答：都不正确．(1)缺少原点；(2)单位长度不一致；(3)有两处错误：①缺少 正方向；②负数的排序错误，从原点依次向左应是－1，－2.
1．下列各图中，是数轴的是( D )
2．以下关于－23这个数在数轴上的位置的描述，其中正确的是( D )
A．在－3 的左边
B．在 3 的右边
C．在原点和－1 之间
D．在－1 的左边
在数轴上比较大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，即：正数都 大于 零，
负数都 小于 零，正数都 大于 负数．
自我诊断 2.某地连续四天每天的平均气温分别是：1℃、－1℃、0℃、2℃，
则平均气温中最低的是( A )
2有理数的运算
《数学思维与能力训练》辅导讲义姓名 辅导时间有理数的运算【知识要点】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据题目的条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理、简捷的算法解决有关的计算问题在初中奥数中有理数的计算不仅要有一定的口算能力、心算能力，还要善于观察题中数字特征与规律，灵活运用有理数常用的一些运算技巧和方法，如凑整法，裂项相消法，平均数估算法，连续整数的求和方法【夯实基础】［例题1］计算：25.0521431232341153115329+--+--［例题2］计算：32)53()4.1()431()51(75.05.2⨯-⨯-÷-⨯-⨯÷-［例题3］计算：873.31197.0372.2736.611217.0÷+⨯+÷-⨯-⨯［例题4］计算：32116181412112481632++++++++++〖小试牛刀〗1、计算：13611754136227231++-2、计算：73611227638181143747125.31165+--+---3、计算：)138(113)521()75.0(5.2117-⨯÷-÷-⨯÷-4、计算：21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯5、计算：32191617815413211++++6、计算：22.01.22.421.1)1.2(2.2⨯-⨯+-⨯7、计算：5754127125)5()123(4⨯-⨯-⨯-+-⨯8、计算：)315()2(7)315()4()218()315()2()3(4-⨯-⨯--⨯-⨯-+-⨯-⨯-［例题5］计算：200019991431321211⨯++⨯+⨯+⨯〖小试牛刀〗1、计算：561742163015201412136121++++++2、计算：1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯［例题6］计算：(1) 1 + 2 + 3 + 4 + …… + 1997 + 1998 + 1999(2) 1 – 2 + 3 – 4 + …… +1997 – 1998 + 1999〖小试牛刀〗计算：1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + …… + 1997 + 1998 – 1999 – 2000【拓展探究】计算下列各题1、)9911)(9911()311)(311)(211)(211(-+-+-+2、20413343221241224312114111 ++++++++++。
2有理数的分类
第2课时：有理数的分类教学内容：教科书第18—21页，2.1正数和负数教学目的和要求：❤1．理解有理数的意义。
❤2．会根据要求把给出的有理数分类。
❤3．了解“0”在有理数分类中的作用。
4．培养学生分类讨论的数学思想及对立统一的辩证唯物主义的观点。
教学重点和难点：❤重点：了解有理数包括哪些数。
❤难点：要明确有理数分类的标准，分类标准不同，分类结果也不同，分类结果应是不重不漏，即每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。
教学工具和方法：工具：应用投影仪，投影片。
方法：分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程：一、复习引入：1．填空：①正常水位为0m ，水位高于正常水位0.2m 记作 ，低于正常水位0.3m 记作 。
②乒乓球比标准重量重0.039g 记作 ，比标准重量轻0.019g 记作 ，标准重量记作 。
2．一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动4m 记作4m ，向西运动8m 记作 ；如果―7m 表示物体向西运动7m ，那么6m 表明物体怎样运动？答案：1．+0.2；–0.3；+0.039；–0.019；2．–8m ；向东运动6m 。
二、讲授新课：1．数的扩充：数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
2．思考并回答下列问题： ①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ ③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ 要求学生区分“正”与“整”；小数可化为分数。
❤3．有理数的分类、有理数包括哪些数 不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧注：①“0”也是自然数。
有理数域代数元
有理数域代数元在数学中，代数元是指一个数，它是某个域的元素，同时也是某个扩域的元素。
在有理数域中，代数元是指一个有理数，它可以表示为一个多项式的根。
例如，2是一个有理数，同时也是多项式x-2的根，因此2是一个有理数域代数元。
有理数域代数元的性质有理数域代数元具有以下性质：1. 有理数域代数元是有理数的扩张。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a可以表示为有理数的有限和、差、积、商和平方根的有限和、差、积、商。
2. 有理数域代数元是有限扩张。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a可以表示为一个有限次多项式的根。
3. 有理数域代数元是代数闭域的子域。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a所在的扩域是代数闭域。
4. 有理数域代数元的次数是有限的。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a可以表示为一个次数有限的多项式的根。
5. 有理数域代数元的次数等于它的最小多项式的次数。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a的最小多项式的次数等于a所在的扩域的维数。
6. 有理数域代数元的共轭元是它的最小多项式的其他根。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a的共轭元是它的最小多项式的其他根。
7. 有理数域代数元的最小多项式是唯一的。
这意味着，如果a是有理数域代数元，那么a的最小多项式是唯一的。
应用有理数域代数元在数学中有广泛的应用。
其中一些应用包括：1. 代数数论。
有理数域代数元是代数数论中的基本概念。
代数数论研究的是代数数的性质，其中代数数是指可以表示为一个多项式的根的数。
2. 群论。
有理数域代数元可以用来构造群扩张。
群扩张是指将一个群扩展为另一个群的过程。
3. 代数几何。
有理数域代数元可以用来描述代数曲线和代数曲面。
代数曲线和代数曲面是指可以用一个多项式方程来描述的曲线和曲面。
4. 数学物理学。
有理数域代数元可以用来描述物理学中的对称性。
对称性是指物理学中的一种基本概念，它描述了物理系统在不同条件下的相似性。
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一．选择题（共10小题）
＜0 ＞0
7．如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（）
22223333
11．﹣6与﹣3的差的绝对值是_________，绝对值的差是_________．
12．计算：（﹣1）2009+（﹣0.125×8）2010=_________．
13．若|a﹣2|+=0，则b a=_________．
14．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则的值是_________．
15．若n为自然数，那么（﹣1）2n+（﹣1）2n+1=_________．
16．若|a﹣1|+（b+2）2=0，则b a=_________．
三．解答题（共14小题）
17．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是，y不作除数
18．计算解答应写出演算步骤，请你一定要注意
（1）×（﹣）+0.2+1÷×（﹣1）2010
（2）（﹣3）3÷×（﹣）2+4﹣22×（﹣）
19．如果（a+1）2+|b﹣2|=0，求a2010+（a+b）2011的值．
20．计算：
（1）（﹣72）×2×（﹣）÷（﹣3）；（2）﹣32×（﹣2）+42÷（﹣2）3﹣|﹣22|；（3）（）×（﹣24）．21．若|x+4|与（y﹣2）2互为相反数，求（﹣x）y+1的值．
22．计算
（1）22﹣（﹣4）+（﹣2）+4；（2）（﹣0.6）+1.7+（+0.6 ）+（﹣1.7 ）+（﹣9 ）；
（3）（﹣5）××（﹣）××0；（4）（﹣12.5）×（﹣2.5）×（﹣4）×（﹣8）．
23．若有理数数x，y满足xy≠0，则的最大值是_________．
24．计算：．
25．计算：
（1）2×（﹣3）2﹣4×（﹣2）+10；（2）（﹣30）×；（3）﹣14﹣（2.5﹣2）×．26．
27．|x|=8，|y|=6，求x+y的值；若|x|=3，|y|=5，且|x﹣y|=y﹣x，再求x+y的值．
28．当a=；b=﹣1；c=时，求代数式的值．
29．若|x+1|+（2x﹣y+4）2=0，求代数式x5y+xy5的值．
30．已知a 的相反数是，b 的倒数是，求代数式的值．
一．选择题（共10小题）
、例如：真分数，平方为，平方的倒数为＜
＜0 ＞0
7．如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（）
的倍数．所以
的倍数，即此时[1
，所以
[1
22223333
11．﹣6与﹣3的差的绝对值是 3 ，绝对值的差是 3 ． 12．计算：（﹣1）2009
+（﹣0.125×8）2010
= 0 ．
13．若|a ﹣2|+=0，则b a
= 9 ．
14．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2，则的值是 3 ．
15．若n 为自然数，那么（﹣1）2n
+（﹣1）
2n+1
= 0 ．
16．若|a ﹣1|+（b+2）2=0，则b a
= ﹣2 ． 三．解答题（共14小题）
17．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是，y 不作除数，
的绝对值是±∴
18．解：（1）原式=﹣++××1=﹣1+=；（2）原式=﹣27××+4﹣4×
（）=﹣
+4+=0；
2
2010
2011
，解得：
2y+1
23．若有理数数x ，y 满足xy ≠0，则
的最大值是 2
．
24．解：原式=[1﹣（9+4﹣18）]÷5= 25．解：1）原式=36；2）原式=24；3）原式=﹣
26解：
，=﹣9﹣125×
﹣18÷9=﹣31
28．解：a=﹣，b=﹣1，c=时，
=
==﹣．
2
5
5
30．解：由题意得：a=﹣1，b=﹣，则原式=
=．。