第3部分-压轴大题专练11
第三章 一元一次方程压轴题考点训练(解析版)
第三章一元一次方程压轴题考点训练1．满足方程24233x x++-=的整数x有（）个A．0个B．1个C．2个D．3个2．A，B两地相距100km，甲车以30km/h的速度由A地出发驶向B地，同一时间乙车以40km/h的速度由B 地驶向A地，两车中途相遇后继续前行，直到其中一辆车先到达终点时，两车停止运动，下列选项中，能正确反映两车离A地的距离s（km）与时间t（h）函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，点,C D 为线段AB 上两点，9AC BD +=，且75AD BC AB +=，设CD t =，则方程()()371232tx x x --=-+的解是（ ）A ．2x =B ．3x =C ．4x =D ．5x =4．方程···13153520192021x x x x++++=´的解是x =（ ）A ．20212020B ．20211010C ．20212019D ．101020215．若m 、n 是有理数，关于x 的方程3m （2x ﹣1）﹣n ＝3（2﹣n ）x 有至少两个不同的解，则另一个关于x 的方程（m +n ）x +3＝4x +m 的解的情况是（ ）A ．有至少两个不同的解B ．有无限多个解C ．只有一个解D ．无解【答案】D【详解】解：解方程3m （2x ﹣1）﹣n ＝3（2﹣n ）x 可得：（6m +3n ﹣6）x ＝3m +n ∵有至少两个不同的解，∴6m +3n ﹣6＝3m +n ＝0，即m ＝﹣2，n ＝6，把m ＝﹣2，n ＝6代入（m +n ）x +3＝4x +m 中得：4x +3＝4x +m ，∴方程（m +n ）x +3＝4x +m 无解．故选：D ．6．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( )A ．160元B ．180元C ．200元D ．220元【答案】C【详解】解：设这种衬衫的原价是x 元，依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，解得：x=200．故选C ．7．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高30%后标价，又以9折（即按标价的90%）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x 元，根据题意，可得到的方程是（ ）A ．()130%90%85x x +×=-B ．()130%90%85x x +×=+C ．()130%90%85x x +×=-D ．()130%90%85x x +×=+【答案】B【分析】由题意可知：成本+利润=售价，设这种商品每件的成本是x 元，则提高30%后的标价为(130%)x +元；打9折出售，则售价为(130%)90%x +g ，列出方程即可.【详解】由题意可知：售价=成本+利润，设这种商品每件的成本是x 元，则提高30%后的标价为(130%)x +元；打9折出售，则售价为(130%)90%x +g ；根据：售价=成本+利润，列出方程：()130%90%85x x +×=+故选B8．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程2132-+=-kx a x bk的解总是x＝2，则ab=_________．9．万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一，以“重庆第一泡万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶：清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量(盒)之比为2：3：1．由于品质优良宣传力度大，网上的预订量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶，其中清明香增加的数量占总增加数量的12，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的49，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元，清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的18供游客免费品尝，活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的511，则滴翠剑茗的单价最低为______元．10．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，在距A点700米处第一次相遇，然后继续前进，甲到A地、乙到B地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，则A、B两地间的距离是_____米．【答案】1700【详解】解：设A、B两地间的距离是x米，x+400＝3×700．解得x＝1700．答：A、B两地间的路程是1700米，故答案为：1700．11．关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝______．12．学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄，做好大课间活动，计划购买体育用品，价格如下表：备选体育用品篮球排球羽毛球拍价格60元/个35元/个25元/支(1)若用2550元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍，篮球和排球的数量比2:3，排球与羽毛球拍数量的比为4:5，求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少？(2)初一学年计划购买篮球，初二学年计划购买排球，商场的优惠促销活动如下：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过500元不优惠超过500元且不超过600元售价打九折超过600元售价打八折按上述优惠条件，若初一年级一次性付款420元，初二年级一次性付款504元，那么这两个年级购买两种体育用品的数量一共是多少？13．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的43倍．(1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时；(2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问）(3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时．14．有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有240m墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷230m的墙面．(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(2)张老板现有36个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？(3)已知每名师傅，徒弟每天的工资分别是95元，75元，张老板要求在3天内完成36个房间的粉刷，问如何在这8个人中雇用人员，才合算呢？请直接写出你的雇佣方案．（被雇工人要求：他们必须同时开工，同时收工，不可无故在工作期间辞掉某个人）15．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：(1)数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上P、Q两点之间的距离为3，若点P表示的数是﹣2，则点Q表示的数是 ．(2)点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣4、3，那么A到B的距离是 ；A到C的距离 ．（用含绝对值的式子表示）(3)若|x﹣3|+|x+4|＝11，则x的值为 ．(4)若|x﹣3|+|x+4|＝7，则x的取值范围值为 ．∴若|3||4|7x x -++=，则43x -££，故答案为：43x -££．。
挑战高考压轴题-专题11：安培力作用下导体的平衡与运动
挑战高考压轴题-专题11：安培力作用下导体的平衡与运动一、单选题1．（2分）如图甲所示，正五边形硬导线框abcde固定在磁场中，磁场方向与线框平面垂直，图乙表示该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系，t=0时刻磁场方向垂直纸面向里。
设垂直cd边向下为安培力的正方向，在0~5t0时间内，线框cd边受到该磁场对它的安培力F随时间t变化的关系图为（）A．B．C．D．2．（2分）如图甲、乙、丙中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电。
设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。
现给导体棒ab 一个向右的初速度v0，在图甲、乙、丙三种情形下关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（）A．图甲中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动B．图乙中，ab棒先做加速度越来越大的减速运动，最终静止C．图丙中，ab棒先做初速度为v0变减速运动，然后做变加速运动，最终做匀速运动D．三种情形下导体棒ab最终都匀速3．（2分）如图所示，用轻绳将一条形磁铁竖直悬挂于O点，在其正下方的水平绝缘桌面上放置一铜质圆环。
现将磁铁从A处由静止释放，经过B、C到达最低处D，再摆到左侧最高处E，圆环始终保持静止，则磁铁（）A．从B到C的过程中，圆环中产生逆时针方向的电流（从上往下看）B．摆到D处时，圆环给桌面的压力小于圆环受到的重力C．从A到D和从D到E的过程中，圆环受到摩擦力方向相同D．在A，E两处的重力势能相等4．（2分）如图所示，两根金属导轨MN、PQ相互平行，上端接入一个定值电阻，构成U型导轨。
金属棒ab恰好能静止在导轨上并与两导轨始终保持垂直且接触良好，现在导轨所在空间加一垂直于导轨的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度从零开始随时间均匀增大，经一段时间后金属棒开始运动，从加磁场到金属棒开始运动的时间内，金属棒ab受力情况中（）A．安培力方向始终向上，安培力大小随时间均匀增大B．安培力方向始终向下，安培力大小保持不变C．摩擦力方向始终向上，摩擦力大小先减小后增大D．摩擦力方向始终向下，摩擦力大小保持不变5．（2分）如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成45°角，若线框的总电阻为R，则（）A．线框穿进磁场过程中，线框中电流的方向为DCBAB．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为2BavRC．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为2B 2a2v RD．AC刚进入磁场时，CD两端电压为34Bav6．（2分）如图甲所示，在光滑绝缘水平面内，两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与水平面垂直，边长为l的正方形单匝金属线框abcd位于水平面内，cd边与磁场边界平行。
专题11四点共圆模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(解析版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型模型1：定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．DDD【例1】（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF=∠DAE，∵∠CDF+∠PDA=90°，∴∠DAE+∠PDA=90°，∴∠ADP=∠APF=90°，∴∠APF+∠B=180°，由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，∴点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为⊙O的直径，∴t=12；b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：∴OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，∴四边形OMBH、GOHC是矩形，∴OH=BM=GC，OG=HC，∴OP即为圆心的运动轨迹，即故答案为6cm．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =12∠BAC =60°，于是BC AB =2BD AB =迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB≌△AEC ；②请直接写出线段AD,BD,CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE =5,CE =2，求BF 的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．∴∠E=∠A=60°由（1）可知：∠BAD=60°，∵CA平分∠BCD，∠BCD=60°∴∠BCA=∠DCA=12∴∠ABD=∠DCA=60°∴AF=AC ，∠F=∠DCA=60°∴∠FAC=180°－∠F －∠ACF=60°∴△ACF 为等边三角形∴CF=AC∴BC ＋BF=AC∴BC ＋CD=AC【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB 与直线CD 交于点E ，∠AED ＝60°，点F 在直线CD 上运动，连接AF ，线段AF 绕点A 顺时针旋转60°得到AG ，连接FG ，EG ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ．(1)如图1，点F 和点G 都在射线AB 的同侧时，EG 与GH 的数量关系是______；(2)如图2，点F 和点G 在射线AB 的两侧时，线段EF ，AE ，GH 之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G 都在射线AB的同侧，AE =1，EF =2，请直接写出HG 的长．(2)解：在射线ED上截取EN=AE，连接AN，如图3，∵∠AED=60°，∴△AEN是等边三角形，∴AE=AN，∠EAN=60°∵AF=AG，∠FAG=60°，(3)①当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4，∵线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，∴∠GAF=60°，AG=AF，∴△GAF是等边三角形，∴∠AGF=∠AFG=∠FAG=60°，AG=AF=GF，∵∠AED＝60°，∴∠AGF=∠AED，∴点A、E、G、F四点共圆，∴∠GEH=∠GFA=60°，∠GEF=∠GAF=60°，∵EM=EG，∴△GEM是等边三角形，∴EM=GM=EG,∠EGM=60°，∴∠EGM=∠EGA+∠MGA=60°=∠EGM=∠MGF+∠MGA，∴∠EGA=∠MGF，∴△EGA≌△MGF，∴MF=AE=1，∴GE=EM=EF−MF=2−1=1，∵GH⊥AB，【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键.2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF，求n的值．(2)(3)解：∵0<n<90，【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB=2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF=DF，请直接写出CD AB的值．BE∵将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE∵△ABC是等边三角形AB=1∴∠ABC=60°,AB=AC，AH=12∵点F是CE的中点∴FE 又FK=DF∴四边形CDFK是平行四边形∴ED=KC，ED∥KC∴∠EDA=∠KCA∵将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，∴B,D,F,G四点共圆由（2）可知AF⊥DF，∠FAD=30°4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN∥EC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．又FD=FD∴△FDM≌△FDK∴FK=FM,KD=MD∴MD+MR=DK+GK即GD=RD∴△KDM,△GDR是等腰直角三角形在四边形FKDM中，∠KDM=90°,∠FKD=FMD=180°−α∴∠KFM=360°−90°−2(180°−α)=2α−90°=2α−(α+β)=α−β在△FHK与△GDN中∵∠FHK=∠GDN=90°,∠FKH=∠GND=2β∴△FHK∽△GDN∴∠NGD=∠KHF=α−β∵∠HGK=∠HFK,HK=HK∴G,K,H,F四点共圆∵HK⊥FM∴∠FHK=90°∴∠FGK=90°∴∠GFK=90°−∠FKG=90°−α=β在△FRM与△FGK中MR=KG=2a∠FKG=∠FMR=αFM=FK∴△FRM≌△FGK∴∠RFM=∠GFK=β∴∠GFR=2β+∠KFM=2β+α−β=α+β=90°∴∠RFG=∠FGD=∠GDR=90°∴四边形FGDR是矩形又GD=DR∴四边形FGDR是正方形如图，延长DE至W，使EW=EG=a，则WK=2GK=4a5．（2021·广东·珠海市紫荆中学九年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD；（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．6．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直MC的最小值．线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵AD∥DE，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圆，如图2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形；（3）7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE=FC(CE<CB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系：______；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝②DF=2FG；理由如下：如图2，连接BF、BG，8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ⊥AE，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：∠NDC=45°．【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，即可证明△AME≅△AFE，得到∠AEM=∠AEF，再结合∠AEM=∠EAG，可得∠AEM=∠AEF，可得EG=AG；（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角∠NDC=∠EAN=45°【详解】（1）把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（2）结论依然成立，EG=AG把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（3）连接EN由（2）得EG=AG∵GQ⊥AE∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∠EAF=45°∴∠ANE=90°=∠ADE∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，∴∠NDC=∠EAN=45°．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．9．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；CF，求BD的长；②若EF=12（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC 中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．11．（2022·全国·九年级课时练习）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：BP=DQ；（2）如图2，若点P，B，D三点共线，求证：A，Q，P，D四点共圆；（3）若点P，Q，C三点共线，且AD=3，求BP的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BP=3【分析】（1）证明△AQD≌△APB即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为180°即可得出结论；（3）证明△PAQ为等腰直角三角形，得出∠APC=45°，然后得出∠ABC=2∠APC，根据圆周角定理可得点P在圆⊙B上，结论可得．【详解】解：（1）根据旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=90°，∵∠BAD=90°，∴∠DAQ=∠BAP，∵AB=AD，∴△AQD≌△APB(SAS)，∴BP=DQ；（2）∵△AQD≌△APB，∴∠Q=∠APB，∵点P，B，D三点共线，∴∠APD+∠APB=180°，∴∠Q+∠APD=180°，∴A，Q，P，D四点共圆；（3）∵AP=AQ，∠PAQ=90°，∴△PAQ为等腰直角三角形，∴∠APC=45°，以点B为圆心，BA为半径作⊙B，∵∠ABC=90°，∠APC=45°，∴∠ABC=2∠APC，∴点P在圆⊙B上，∴BP=BC=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键．12．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且BE=CF，AE和BF相交于点P．（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为(0,−1+a)、(0,−1−a)，点E、F 分别是BC、CD上的两个点，且BE=CF，AE和BF相交于点P，点M的坐标为(4,−4)，当点P落在以M 为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．。
压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题11圆锥曲线压轴题的处理策略从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入园锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考.○热○点○题○型1齐次化解决圆锥曲线压轴题○热○点○题○型2极点极线处理圆锥曲线压轴题○热○点○题○型3定点定值问题的处理策略1．已知拋物线2:2(0)C y px p =>，F 为焦点，若圆22:(1)16E x y -+=与拋物线C 交于,A B两点，且AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 为圆E 上任意一点，且过点P 可以作拋物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N .求证：MF NF ⋅恒为定值.（2）令()()0011,,,,P x y M x y N 抛物线在点M 处的切线方程为(1x x m -=与24y x =联立得2114440y my my x -+-=由相切()211164440m my x ∆=--=得4my 代入①得12y m=故在点处的切线方程为()1112y x x y y -=-同理：点N 处的切线方程为222yy x x =+而两切线交于点()00,P x y ，所以有010*******,22y y x x y y x x =+=+，则直线MN 的方程为:00220x y y x -+=，由2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩得200240y y y x -+=于是()()221212||||1116y y MF NF x x ⋅=++=+()22001x y =-+，又点()00,P x y 在圆22:(1)16E x y -+=上，所以()2200116x y -+=,即||||16MF NF ⋅=.【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用Δ0=得到相关等式，再得到直线MN 的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.2．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，30,90FAP AFP ∠∠=︒=︒.设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程；(2)斜率为k 的直线过点(0,3)D -，且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为(0,2)，探究：是否存在λ，使得DM DN λ=，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由.由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标得32p =，所以轨迹C 的方程为2y =（2）假设存在λ，使得DM 由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：k 而(0,2)k ∈，2(63)k ∆=+2121221126((2)x x x x x x x x +++==于是21142k k λλ+=++，令因此1174λλ+>，又0λ>所以存在1(0,)(4,4λ∈⋃+∞【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，解的点.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：()2210,0a b a b-=>>的右焦点为F ，离心率为2，且过点()2,3P ．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)设过原点O 的直线1l 在第一、三象限内分别交双曲线E 于A ，C 两点，过原点O 的直线2l 在第二、四象限内分别交双曲线E 于B ，D 两点，若直线AD 过双曲线的右焦点F ，求四边形ABCD 面积的最小值．4．如图，已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，O 为坐标原点，过点F 作直线1l 与双曲线的渐近线交于P ，Q 两.点，且点P 在线段FQ 上，OP PQ ⊥，|||||OP OQ PQ +.(1)求C 的方程；(2)设12,A A 是C 的左､右顶点，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与2A N 的交点S 是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k⎛⎫≤≤⎪⎝⎭的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求||||ABMN的取值范围．(1)若第一象限的点P ，Q 是抛物线C 与圆的交点，求证：点F 到直线PQ 的距离大于1；(2)已知直线l ：()1y k x =+与抛物线交于M ，N 两点，()0A t ，，若点N ，G 关于x 轴对称，且M ，A ，G 三点始终共线，求t 的值.7．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>，焦点到渐近线20x y -=的距离为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交双曲线C 于点,M N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 做直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值13-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G .若不存在，请说明理由.8．已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且34AB OM k k ⋅=（O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的离心率；(2)若直线l 不经过双曲线C 的右顶点()2,0N ，且以AB 为直径的圆经过点N ，证明直线l 恒过定点E ，并求出点E 的坐标.）因为双曲线的右顶点()2,0N ，所以双曲线C 的标准方程为2243x y -34AB OM k k ⋅=，所以直线l 的斜率一定存在，并且3,//2AB OM ±，这不可能）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程)(222841203k xkmx m ---=()(2222Δ644344k m k m =---2430k -+>，21212284,3434km m x x x x k -+=⋅=--因为以AB 为直径的圆经过点N ，NA NB ⊥，所以0NA NB ⋅=，又因为()(1122,,2,NA x y NB x =-=- ()()121222NA NB x x y y ⋅=--+又因为()()1212y y kx m kx m k =++=()(21212NA NB k x x km ⋅=++- )()2241212343m km k --+⨯+-⨯-化简得2216280m km k ++=，即(m 14m k =-或2m k =-，且均满足9．已知椭圆()22:10C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于1-，求OMN 的面积的取值范围．F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值以及此时直线l 的方程.11．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>，焦点为12,F F ，其中一条渐近线的倾斜角为150 ，点M 在双曲线上，且124MF MF -= .(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设椭圆M 以双曲线C 的顶点为焦点，焦点为顶点，直线():01l y kx m m =+<<交M 于,A B 两点（均不在坐标轴上），若AOB 的面积为1，求222k m -的值.设()()1122,,,A x y B x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x kmx m +++-=则()2216140k m ∆=+->，即2214m k <+，122814km x x k ∴+=-+，21224414m x x k -=+，设l 与y 轴交于点T ，则()0,T m ，(1211122AOB AOT BOT S S S m x x m x ∴=+=⋅-=⋅+ 2222222141414121414m k m m k m k k+-=⋅=⋅+-=++，()2222214144k k mm +∴+-=，即()222412k m ⎡⎤+-=⎣⎦整理可得：22122k m -=-.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求三角形的面积.12．如图，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作直线l 交E 于A ，B 两点，点A ，B 在x 轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．13．已知椭圆：22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B 的周长为(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．123((2,2M M M -⎭中恰有两个点在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若C 的上顶点为E ，右焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点（与椭圆顶点不重合），直线EA ，EB 分别交直线40x y --=于P ，Q 两点，求EPQ △面积的最小值．⊥两点，O为坐标原点，OA OB(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值k.若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由.，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且||AB=(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点B的直线l与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线,EA FA分别交准线于点,M N，求||||BMBN的值．17．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2:12+=E y 的右顶点､下顶点､右焦点分别为A ，B ，F .(1)若直线BF 与椭圆E 的另一个交点为C ，求四边形ABOC 的面积；(2)设M ，N 是椭圆E 上的两个动点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，若点P 满足：2OP OM ON =+.问：是否存在两个定点G ，H ，使得PG PH +为定值？若存在，求出G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由.18．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =，P 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交C 于M ，N 两点，交x 轴于点A ，线段MN 的垂直平分线交x 轴于点D ，若||||2||AM AN AD ⋅=，证明：直线l 过四个定点()()()()3,0,1,0,1,0,3,0--中的一个．19．已知过点()1,e 的椭圆E ：()2210x y a b a b+=>>的焦距为2，其中e 为椭圆E 的离心率．(1)求E 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，直线l 与E 交于,A C 两点，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，且点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．20．已知椭圆Γ：(210,2x y m m m +=>≠，点,A B 分别是椭圆Γ与y 轴的交点（点A 在点B 的上方），过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于,E G 两点．(1)若椭圆Γ焦点在x 轴上，且其离心率是2，求实数m 的值；(2)若1m k ==，求BEG 的面积；(3)设直线AE 与直线2y =交于点H ，证明：,,B G H 三点共线．。
2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题11 二次函数的实际应用—喷水问题(含详解)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题11 二次函数的实际应用—喷水问题考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·和平期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．9m4B．19m8C．39m16D．45m162．（2分）（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B 三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（）A ．﹣ 118B ．118C ．﹣ 116D ．1163．（2分）（2021九上·青县月考）如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB ：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=−12x 2+4x 来刻画，下列结论错误的是（ ） A ．山坡可以用正比例函数 12y x = 来刻画 B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势4．（2分）（2021九上·八步期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 OA 喷出， OA 长为 1.5m .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为 3m .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 ()y m 与水平距离 ()x m 之间近似满足函数关系 ()20y ax x c a =++≠ ，则水流喷出的最大高度为（ ） A ．1m B ．32m C ．138m D ．2m5．（2分）（2020九上·夏津期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA O ， 恰为水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 OA 的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度 ()y m 与水平距离 ()x m 之间的关系式是 223y x x =-++ ，则下列结论错误的是（ ）A．柱子OA的高度为3mB．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C．喷出的水流距水平面的最大高度是3mD．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外6．（2分）（2020九上·越城期中）某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m7．（2分）（2020九上·亳州月考）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是( )A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米8．（2分）（2020九上·吴兴期末）学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点. 洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD. 小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线. 小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH 的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）cmA ．123B ．122C ．63D ．629．（2分）（2019九上·淮北月考）如图所示的是跳水运动员10 m 跳台跳水的运动轨迹，运动员从10 m 高A 处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M 离墙1 m ，离水面 ()()222444410y a a a a a a =--=-=->m ，则运动员落水点B 离墙的距离 OB 是（ ）A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m10．（2分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是223y x x =-++ ，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021九上·丰台期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面m．12．（2分）（2021九上·涪城月考）公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要米，才能使喷出的水流不致落到池外．13．（2分）（2021九上·江油月考）如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是.14．（2分）（2020九上·兴城期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 224y x x =-+ （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米； 15．（2分）（2020九上·柯桥月考）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为2m ，且到地面的距离为3m ，则水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为 .16．（2分）（2020九上·枣阳期中）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为9m ，则水管的长度OA 是 m.17．（2分）（2020九上·鹿城月考）如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据:水柱上的点C ，D 到地面的距离都是1.6米，即BC = OD = 1.6米，AB = 1米，AO = 5米，则水柱的最大高 米.18．（2分）（2019九上·西城期中）如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为 ()()2313034y x x =--+≤≤ ，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管 AB 的长为 m ．19．（2分）（2019九上·长春月考）如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为 米．20．（2分）（2018九上·于洪期末）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 ( 如图 1). 如果曲线APB 表示的是落点B 离点O 最远的一条水流 ( 如图 2) ，水流喷出的高度 y( 米 ) 与水平距离 x( 米 ) 之间的关系式是 29y x 4x (x 0)4=-++> ，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外.评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2021九上·宜春期末）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．22．（6分）（2021九上·大石桥期中）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点B离墙距离OB．（结果保留根号）23．（6分）（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?24．（7分）（2019九上·鄂尔多斯期中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？25．（7分）（2018九上·丰台期末）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.26．（9分）（2021九上·澄海期末）如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P 到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．（1）（4分）求抛物线的解析式；（2）（5分）求水落地离墙的最远距离OB．27．（9分）（2021九上·全椒期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。
江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题11 不等式之恒成立与有解问题(填空题)(原卷版)
专题11 不等式恒成立与有解问题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.已知函数f （x ）＝x ﹣2（e x ﹣e ﹣x ），则不等式f （x 2﹣2x ）＞0的解集为 ．2.已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式lnx ≤a （x ﹣2）+b 对一切正实数x 恒成立，则当a +b 取最小值时，b 的值为 ﹣ ．3.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣专项突破一、填空题（共12小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．2.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．3.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．4.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．5.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．7.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．8.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．9.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．10.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣11.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．12.已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是﹣．。
专题11 二元一次方程实际应用的三种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题
类型二、销售利润问题
例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
类型三、小题压轴
课后训练。
压轴题11 简单机械、功和机械能选填压轴题(解析版)-2023年中考物理压轴题专项训练(全国通用)
压轴题11 简单机械、功和机械能选填压轴题综合近几年中考对于简单机械、功和机械能的考察形式，杠杆计算、滑轮计算、斜面和效率计算题在中考试卷中往往涉及速度、压强、浮力、功和功率、简单机械的运用等。
机械能的相互转化，在不同物理情景下应用也是中考难点。
①认真审题,明确现象与过程,明确给出的条件并挖掘题中的隐含条件。
②确定答题的方向,弄清在考什么知识点,选择合适的规律与公式。
③列出表达式,注意适用条件和量的一一对应。
④代入数据求解,注意单位统一。
A．当物体N在B端时，细杆所受压力为B．当物体N在B端时，M对地面的压强为C．当物体N在A端时，M应切去部分的质量为D．当物体N在A端时，M切去部分对①此滑轮组动滑轮的重力为20N；②当G物=150N时，小林对绳子的拉力为③当G物=120N时，若此时的拉力的功率为④若水平高台能承受的最大压强为12500Pa A．只有①③B．只有②③【答案】CA．B匀速下降时，物体A受到B．拉力F的大小为4N C．拉力F的功率为1.2WA．绳子自由端拉动的速度为0.2m/sB．整个装置的机械效率为73.3%C．若绳子的最大承受能力是600N，则吊篮中的人与工具的总重不能超过900N D．装置动滑轮的重力为200N【答案】C【解析】由图得，滑轮组n=3A．绳子自由端移动的距离为==s nh3×2m=6m绳子自由端拉动的速度为A．A物体的密度6g/cm3B．假如杠杆可以变长，只要把C．A物体受的重力和地面对它的支持力是一对平衡力D．A物体受到的合力为80NA．浮筒的重力为2NB．水箱的底面积180cm2C．停止加水时浮筒移动的距离为4cmD．整个过程中浮筒下表面所受的最大压强为2.4×103Pa 【答案】DA．a→b弹簧的弹性势能转化为蹦极者的机械能B．a→b蹦极者的机械能保持不变C．a→c蹦极者减少的重力势能和动能等于绳增大的弹性势能D．a→c弹性绳的弹性势能先增大后减小【答案】C【解析】A．从a的重力势能转化为弹性绳的弹性势能和蹦极者的动能，故B．从a点到b点，蹦极者的下落的过程中，弹性绳发生了弹性形变，蹦极者的机械能转化为弹性绳的弹性①0~2秒，物体处于静止状态，是因为推力小于摩擦力②2~4秒，物体受到的摩擦力为2N③2~4秒，物体做匀速直线运动④4~6秒，推力F 做的功为16JA ．只有①③B ．只有①④C ．只有②③A ．12:1:1W W = 12:1:1P P =B ．WA．．．．【答案】B【解析】AB．木块在水平地面上向右滑行的过程中，因接触面的粗糙程度和对地面的压力均不变，所以，木块受到的摩擦力f大小不变，其方向水平向左，木块克服地面摩擦力所做的功W＝fs，木块从∆l到O点的过程中，x减小，摩擦力做的功W越大，木块从∆l到（s﹣∆l）的过程中，x增大，摩擦力做的功W也增大，即从∆l到O点、从O到（s﹣∆l）的过程中，W一直增大，故A错误、B正确；CD．从x＝∆l开始运动时，弹簧的弹力大于木块受到的摩擦力，木块做加速运动，随着弹簧的伸长量减小，弹簧的弹力减小，而木块受到的摩擦力不变，所以木块受到的合力减小，木块速度的增加量减小，当弹簧的弹力和摩擦力相等时，木块的速度达到最大值，木块继续向右运动时，弹簧的弹力小于摩擦力，木块做减速运动，从O点继续向右运动时，弹簧的弹力向左且逐渐增大，此时弹簧的弹力和摩擦力方向均向左，木块做减速运动，直至停止，所以，从∆l到O点的过程中，木块的速度先增大后减小，其动能先增大后减小，从O到（s﹣∆l）的过程中，木块的动能一直减小，故CD错误。
旋转(压轴精选30题)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》
第3单元旋转压轴精选30题一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）A．75°B．60°C．45°D．15°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．2．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D 为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定【答案】A【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，又∵∠CDF+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF＝CG，∵AD＝2，BC＝3，∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，∴EF＝1，∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．故选：A．3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2【答案】B【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣1【答案】D【解答】方法一：解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1＝×90°＝45°＝∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB＝45°，∴∠DAB1＝90°﹣45°＝45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1＝＝，则DC1＝﹣1，∵∠AC1B1＝45°，∠C1DO＝90°，∴∠C1OD＝45°＝∠DC1O，∴DC1＝OD＝﹣1，＝×OD•AD＝，∴S△ADO∴四边形AB1OD的面积是＝2×＝﹣1，方法二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝﹣1，＝•OB1•CB1＝（﹣1）2，∴S△OB1C＝AD•AC＝×1×1＝，∵S△ADC＝S△ADC﹣S△OB1C＝﹣（﹣1）2＝﹣1；∴S四边形AB1OD故选：D．5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π【答案】D【解答】解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π＝6π，2015÷4＝503余3顶点A转动2015次经过的路线长为：6π×504＝3024π．故选：D．6．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，则P′A：PB＝（）A．1：B．1：2C．：2D．1：【答案】B【解答】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：3，∴AP＝3P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，PP′＝＝＝2x，∴PP′＝PB＝2x，解得PB＝2x，∴P′A：PB＝x：2x＝1：2．故选：B．7．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°【答案】B【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【答案】A【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S 四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O 旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，则S△AOC故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选：A．二．填空题（共16小题）9．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，，把△ADC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，如果点A恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝60°或120°．【答案】60°或120°．【解答】解：如图，D以为圆心，以AD为半径画圆，分别交AC于A1，交BC于A2、交DB于A3．∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠A＝60°且AD＝A1D，∴△AA1D是等边三角形，∴①旋转角m＝∠ADA1＝60°．②在Rt△BDA2中，∵BD＝AD，且∠B＝30°，∴BC与圆相切于A点，∴∠BDA2＝60°，旋转角m＝∠ADA2＝180°﹣∠BDA2＝120°．③当旋转到A3时，刚好旋转了180°，不符合题意，．故答案为：60°或120°．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；②当CD＝A1D时，∵∠B＝90°﹣∠BCB1＝∠ACB1，∠B＝∠B1，∴∠B1＝∠B1CD，∴B1D＝CD．∵CD＝A1D，∴CD＝A1B1＝5时，三角形是等腰三角形；③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10×CE，∴CE＝4.8．在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝3.6，∴DE＝6﹣3.6＝2.4．在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝．故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．11．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC 绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为6，∠APB＝150°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接PP′，如图，∵△P AC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，∴∠P AP′＝60°，P A＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，∴△P AP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，∵62+82＝102，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．故答案为6，150°．12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．在△AB′E与△ADE中，∠AB′E＝∠ADE＝90°，∵，∴△AB′E≌△ADE（HL），∴∠B′AE＝∠DAE．∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AE＝∠DAE＝30°，∴DE＝AD•tan∠DAE＝．＝2S△ADE＝2××＝．∴S四边形AB′ED﹣S四边形AB′ED＝1﹣＝．∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD13．如图，在Rt△ABC中，已知：∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A′B′交BC于D，在直角△DPB中，BP＝AP＝AC＝3，∵∠A＝60°设PD＝x，则BD＝2x，∵DP2+BP2＝BD2，∴x2+32＝（2x）2，∴DP＝x＝，∵B′P＝BP，∠B＝∠B′，∠B′PH＝∠BPD＝90°，∴△B′PH≌△BPD，∴PH＝PD＝，∵在直角△BGH中，BH＝3+，∴GH＝，BG＝，＝××＝，S△BDP＝×3×＝，∴S△BGH∴S DGHP＝＝cm2．14．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为15度．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，则△CBD是等腰三角形，∠BDC＝∠BCD，∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝15°．故答案为15°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，∴BD＝BC＝12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，AB＝＝13，△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），故答案为：42．16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′＝110°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°﹣2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°；故答案为：110°．17．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 1.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．18．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.6．【答案】见试题解答内容【解答】解：由旋转的性质可得：AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB，∵AB＝2，BC＝3.6，∴CD＝BC﹣BD＝3.6﹣2＝1.6．故答案为：1.6．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O最远距离的坐标是（21，0），第2012个三角形离原点O最远距离的坐标是（8049，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝3，∴AB＝5，∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5＝12个单位，而2012＝3×670+2，∴第⑤个三角形和第2012个三角形都和三角形②的状态一样，∴2012个三角形离原点O最远距离的点的横坐标为670×12+9＝8049，纵坐标为0．第⑤三角形离原点O最远距离的点的横坐标为12+9＝21，纵坐标为0．故答案为（21，0），（8049，0）．20．已知△ABC是边长为1cm的等边三角形，以BC为边作等腰三角形BCD，使得DB＝DC，且∠BDC＝120°，点M是AB边上的一个动点，作∠MDN 交AC边于点N，且满足∠MDN＝60°，则△AMN的周长为2．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CM1＝BM，∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠DCM1＝90°，∵BD＝CD，∵在Rt△BDM≌Rt△CDM1中，BD ＝CD ∠ABD ＝∠DCM 1＝90°CM 1＝BM ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1（SAS ），得MD ＝M 1D ，∠MDB ＝∠M 1DC ，∴∠MDM 1＝120°﹣∠MDB +∠M 1DC ＝120°，∴∠NDM 1＝60°，∵MD ＝M 1D ，∠MDN ＝∠NDM 1＝60°，DN ＝DN ，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN ＝NM 1，故△AMN 的周长＝AM +MN +AN ＝AM +AN +NM 1＝AM +AM 1＝AB +AC ＝2．故答案为：2．21．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，则图中阴影部分的面积等于﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，∴BC ＝2，∠C ＝∠B ＝∠CAC ′＝∠C ′＝45°，∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD ＝BC ＝1，AF ＝FC ′＝sin45°AC ′＝AC ′＝1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1．故答案为：﹣1．22．已知：在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕A点旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠BAB′的度数是40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．故填：40°．23．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是19．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝10，∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，∴AE+AD＝AD+CD＝AC＝10，∵∠EBD＝60°，BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝AC+BD＝19．故答案为：19．24．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC 中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有①②③⑤．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴∠EAP＝∠BAC＝45°，AP＝BC＝CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE＝CF．正确；②由①知，△AEP≌△CFP，∴∠APE＝∠CPF．正确；③由①知，△AEP≌△CFP，∴PE＝PF．又∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；④只有当F在AC中点时EF＝AP，故不能得出EF＝AP，错误；⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△BPE＝S△ABC．正确．∴S四边形AEPF故正确的序号有①②③⑤．三．解答题（共6小题）25．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D＝180°时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2，又∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°，∴∠E′AB+∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2．26．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM+DN＝MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．在线段DN上截取DQ＝BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN．27．阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α（0°≤α≤360°），连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：操作与证明：（1）BE＝AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE＝∠ACD＝30°，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD．（2）BE＝AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，∴∠BCE＝∠ACD＝α，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD．猜想与发现：当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．28．（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC 按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2+EC2．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABE′由△CBE旋转而成，∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，∴∠DBE′＝∠DBE，在△DBE与△DBE′中，∵，∴△DBE≌△DBE′（SAS），∴DE′＝DE；（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，∴AE′＝EC，∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，∴∠DAE′＝90°，在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2+AD2，∵AE′＝EC，∴DE′2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2+EC2．29．图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB ＝90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM＝DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点．∴CD＝AD＝BD，又∵∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形．又∵CN⊥DB，∴DN＝DB．∵∠EDF＝90°，△BCD是等边三角形，∴∠ADG＝30°，而∠A＝30°．∴GA＝GD．∵GM⊥AB，∴AM＝AD．又∵AD＝DB，∴AM＝DN．（2）解：（1）的结论依然成立．理由如下：∵DF∥AC，∴∠1＝∠A＝30°，∠AGD＝∠GDH＝90°，∴∠ADG＝60°．∵∠B＝60°，AD＝DB，∴△ADG≌△DBH，∴AG＝DH．又∵GM⊥AB，HN⊥AB，∴∠GMA＝∠HND＝90°，∵∠1＝∠A，∴Rt△AMG≌Rt△DNH，∴AM＝DN．30．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ，∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝90°，∠ABP+∠PBC＝∠CPQ+∠PBC＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，有AC＝4，AP＝，PC＝3，∴PQ＝＝2．（3）存在2PB2＝PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2+CQ2＝P A2+PC2，故有2PB2＝PA2+PC2．。
部编数学八年级上册专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练(解析版)(人教版)含答案
专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC 的周长为__．【答案】12【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．【详解】解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120（a+1）（b+1）（c+1）＝120∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．故可分为以下6种情况：（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c ＝12．（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．综上可知，△ABC 的周长为12．故答案为12．【点睛】本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键．2．多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --³³，，∴22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．3．若实数a ，b 满足1a b -=，则代数式2225a b b --+的值为_______________．【答案】6．【分析】将所求代数式中的22a b -因式分解，再把1a b -=代入，化简即可．【详解】解：2225()()25a b b a b a b b --+=+--+，把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+，再把1a b -=代入得5156a b -+=+=；故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．4．如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】526 19 【分析】（1）根据题意直接将数值代入即可．（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k 的式子，再利用()8b ω=，列方程求解即可．（3）根据m +n =100，解设未知数用还有x ，y 的式子表示m 、n 为m =10x ＋y ， n =10(9-x )＋(10-y )，根据题意列式子化简即可．【详解】解：（1）()233223511ω+==（2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∴[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++=解得k =2，∴2(k ＋1)=6，∴b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )，∴[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+111120*********x y x y +--=+1919x y x y =++--=【点睛】本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型5．如图是 A 型卡片（边长a 的正方形）、B 型卡片（长为 a 、宽为 b 的长方形）、C 型卡片（边长为 b 的正方形）．现有 4张 A 卡片，11张 B 卡片，7张 C 卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号）①可拼成边长为2+a b 的正方形；②可拼成边长为23a b +的正方形；③可拼成长、宽分别为24a b +、2a b +的长方形；④用所有卡片可拼成一个大长方形．【答案】①③④【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2，将此多项式因式分解即可．【详解】①（a +2b ）2=a 2+4ab +4b 2，要用A 型卡片1张，B 型卡片4张，C 型卡片4张，所以可拼成边长为a +2b 的正方形．②（2a +3b ）2=224129a ab b ++，要用A 型卡片4张，B 型卡片12张，C 型卡片9张，因为B 型卡片只有11张，C 型卡片只有7张，所以不能拼成边长为2a +3b 的正方形．③（2a +4b ）（2a +b ）=222242844104a ab ab b a ab b +++=++，可得A 型卡片4张，B 型卡片10张，C 型卡片4张，所以可拼成长、宽分别为242a b a b ++、的长方形．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2=（4a +7b ）（a +b ）．所以所有卡片可拼长长为（4a +7b ），宽为（a +b ）的长方形．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．二、解答题6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形卡片A 类、B 类和长方形C 类卡片若干张，如果要拼成一个长为2()a b +，宽为(2)a b +的大长方形，可以先计算22(2)(2)522a b a b a ab b ++=++，所以需要A 、B 、C 类卡片2张、2张、5张，如图2所示（1）如果要拼成一个长为(3)a b +，宽为()a b +的大长方形，那么需要A 、B 、C 类卡片各多少张？并画出示意图．（2）由图3可得等式：____________；（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，222a b c ++的值；（4）小明利用2张A 类卡片、3张B 类卡片和5张长方形C 类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1）A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（3）45；（4）23a b+【分析】（1）首先计算出22(3)()43a b a b a ab b ++=++，再根据计算结果对应的卡片类型得出结论；（2）根据图形面积的就算方式2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++即可得出结论；（3）根据题意找到2222()2()a b c a b c ab ac bc ++=++-++，再通过带值即可求出；（4）利用因式分解的计算过程可得，22235(23)()a b ab a b a b ++=++，即可得出结论．【详解】解：（1）如下图：A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc++=+++++（3）2222()2()12123845a b c a b c ab ac bc ++=++-++=-⨯=Q （4）22235(23)()a b ab a b a b ++=++Q ，\较长的边为：23a b +．【点睛】本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想．7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b ．定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P 所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【分析】（1）根据“尼尔数”的定义，设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则23K x =+，分别令236x +=，2339x +=，解方程，判断x 的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P 表示的数为3m ，则K 可化为9m 2＋3，由m 为整数得9m 2＋3被9除余3；（2）设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2，则K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，m 12－m 22＝21，再根据m 1，m 2都是整数，可解出m 1，m 2，从而得到K 1，K 2．【详解】(1)设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则1a x =-，1b x =+，()()()()22211113K x x x x x =-++--+=+，令236x +=，得x =2339x +=，得6x =，∴6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴1212121272131m m m m m m m m +=+=ììíí-=-=îî或，∴1122m 5m 11m 2m 10==ììíí==îî或，∴1122k 228k 1092k 39k 309==ììíí==îî或. ∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【点睛】本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”m 的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数'm ，记()221111m m F m ¢+=为“双子数”m 的“双11数”．例，2424m =，'4242m =，则()22424242422424121111F ⨯+⨯==（1）计算3636的“双11数”()3636F =__________．（2）已知两个“双子数”p 、q ，其中p abab =，q cdcd =（其中19a b £<£，19c ££，19d ££，c d ¹且a 、b 、c 、d 都为整数），若p 的“双11数”()F p 能被17整除，且p 、q 的“双11数”满足()()()24320F p F q a b d c +-+++=，令(),101p q G p q -=，求(),G p q 的值．【答案】（1）18；（2）G （p ，q ）的值为51或17．【分析】（1）直接根据“双子数”m 的“双11数”的计算方法即可得出结论；（2）先根据“双11数”F （p ）能被17整除，进而判断出p 为8989，求出F （q ）=2（c +d ），再根据F (p )+2F (q )-(4a +3b +2d +c )=0，得出d =2532c -，进而求出c ，d ，即可得出结论．【详解】解：（1）由题意知，3636的“双11数”()()236366363236362636336361811111111F +⨯+⨯===，故答案为：18；（2）∵“双子数”p ，p abab =，∴F （p ）=2（a +b ），∵“双11数”F （p ）能被17整除，∴a +b 是17的倍数，∵1≤a ＜b ≤9，∴3≤a +b ＜18，∴a +b =17，∴a =8，b =9，∴“双子数”p 为8989，F （p ）=34，∵“双子数”q ，q cdcd =，∴F （q ）=2（c +d ），∵F （p ）+2F （q ）-（4a +3b +2d +c ）=0，∴34+2×2（c +d ）-（4×8+3×9+2d +c ）=0，∴3c +2d =25，∴2532c d -=，∵1≤c ≤9，1≤d ≤9，c ≠d ，c 、d 都为整数，∴c 为奇数，1≤c ＜9，当c =1时，d =11，不符合题意，舍去，当c =3时，d =8，∴“双子数”q 为3838，∴898938385151(,)51101101101p q G p q --====，当c =5时，d =5，不符合题意，舍去，当c =7时，d =2，∴“双子数”q 为7272，∴898972721717(,)17101101101p q G p q --====，∴G （p ，q ）的值为51或17．【点睛】本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键．9．对于一个四位数n ，将这个四位数n 千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n ¢，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F （n ）＝101n n ¢+，如n ＝5678，对调数字后得n ¢＝7856，所以F （n ）＝56787856101+＝134．（1）直接写出F （2021）＝ ；（2）求证：对于任意一个四位数n ，F （n ）均为整数；（3）若s ＝3800＋10a ＋b ，t ＝1000b ＋100a ＋13（1≤a ≤5，5≤b ≤9，a 、b 均为整数），当3F （t ）－F （s ）的值能被8整除时，求满足条件的s 的所有值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）设n ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d ，则n ¢＝1000c ＋100d ＋10a ＋b ，（a 、b 、c 、d 为整数且a ≠0），然后根据题意列式计算即可证明；（3）先求得F （s ）＝10a ＋b ＋38，F （t ）＝10b ＋a ＋13，进而可求得3F （t ）－F （s ）＝29b －7a ＋1，再根据3F （t ）－F （s ）的值能被8整除，可得5b ＋a ＋1的值能被8整除，再根据1≤a ≤5，5≤b ≤9可得27≤5b ＋a ＋1≤51，进而可得5b ＋a ＋1＝32，40，48，由此可求得16a b =ìí=î或47a b =ìí=î或29a b =ìí=î，最终即可求得满足条件的s 的所有值．【详解】解：（1）F （2021）＝20212120101+＝41，故答案为：41；（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则n¢＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0）所以F（n）＝(100010010)(100010010)101a b c d c d a b+++++++＝10101011010101101a b c d+++＝10a＋b＋10c＋d，∵a、b、c、d为整数且a≠0，∴10a＋b＋10c＋d为整数，∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；（3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），∴F（s）＝(380010)(100010038)101a b a b+++++＝10101013838101a b++＝10a＋b＋38，F（t）＝(100010013)(130010)101b a b a+++++＝10101011313101b a++＝10b＋a＋13，∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38）＝29b－7a＋1，∵3F（t）－F（s）的值能被8整除，∴29b－7a＋1的值能被8整除，∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1的值能被8整除，∵1≤a≤5，5≤b≤9，∴27≤5b＋a＋1≤51，∵5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1＝32，40，48，∴16ab=ìí=î或47ab=ìí=î或29ab=ìí=î，∴s＝3816或3847或3829．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果是解决本题的关键．10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．（1）若用1张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，3张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为22252a ab b ++的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？【答案】(1)22()(2)23a b a b a b ab ++=++；（2）画图见解析，(2)(2)a b a b ++；（3）266．【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；(2)根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；(3)根据题意列出方程，求出22a b +即可．【详解】解：(1)用面积和差计算得：2223a b ab ++；用长方形面积公式计算得：()(2)a b a b ++；可得等式为：22()(2)23a b a b a b ab ++=++；(2) 根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：根据面积公式可得，22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++；(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则2(22)66a b a b +++=，解得，11a b +=，∴22()11a b +=，即222121a b ab ++=，图1中小长方形的面积为24，则24ab =，则2273a b +=，22252273524266a ab b ++=⨯+⨯=；拼成的长方形面积是266．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数100010010m abcd a b c d ==+++，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”m dcba ¢=，记()111m m F m ¢+=．例如2461m =，()46212+¹⨯+，所以2461不是“双倍数”：2685m =，()68225+=⨯+，所以2685是“双倍数”， 5862m ¢=，()26855862268577111F +==（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；（2）若s ，t 均为“双倍数”，s 的千位数字是5，个位数字大于2，t 的百位数字是7，且s 能被9整除，()()4F s F t +是完全平方数，求t 的最大值．【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2）t 的最大值7791．【分析】（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），可得s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，依此可得d =4或d =7，利用“双倍数”的定义和F （m ）的公式，分类讨论计算出F （s ）和F （t ），依据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可．【详解】解：（1）∵()99227+=⨯+，∴2997是“双倍数”，∵()48236+¹⨯+，∴6483不是“双倍数”；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），∴s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，∵d ＞2，∴d =4或d =7，①d =4时，有10+2d =2×（5+4）=18，∴此时十位数，百位数均为9，∴s =5994，s ′=4995，F （s ）=（s +s ′）÷111=99，设t =1000a +700+10b +72b +-a ，则t ′=1000（72+2b -a ）+100b +70+a ，∴F （t ）=（t +t ′）÷111=112b +772，则4F （s ）+F （t ）=4×99+112b +772=112b +8692，∵112b +8692，是完全平方数，且b 是整数，∴b =9，∴t 的十位数字是9，则7+9=16，∴千位和个位上的数字之和是8，∴t 的最大值是7791；②d =7时，有10+2d =2×（5+7）=24，∵百位和十位上的数字之和最大为18，∴不符合题意．综上所述，t 的最大值是7791．【点睛】本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键．12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m 的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m ¢，记()99m m F m ¢-=，()121m m T m ¢+=．例如：792m =，297m ¢=．792297()599F m -==，792297()9121T m +==．（1）计算()693F =__________；()561T =__________．（2）对“夹心数”m ，令()()2294s T m F m =-，当36s =时，求m 的值．（3）若“夹心数”m 满足()2F m 与()2T m 均为完全平方数，求m 的值．【答案】（1）3，6；（2）m =121；（3）m =121，583，484．【分析】（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，代入 ()()2294s T m F m =-，并进行化简后，根据 s =36的已知条件，求出a 、b 的值，即可求出m 的值；（3）结合（2）的相关结论，求出a 、b 的值，即可求出符合条件的m 的值．【详解】解：（1）()()6933965611656933561699121F T -+====，．故答案为：3；6．（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，则()1001011110m b a b a a b =+++=+¢．∴()()()11011111109999999999a b a b m m a b F m a b +-+--====-¢，()()()1101111110121121121121a b a b a b T m a b ++++===+．()()()()()()()()()()22229494323255s T m F m a b a b a b a b a b a b a b a b éùéù\=-=+--=+--++-=++ëûëû．∵s =36，∴()()5536a b a b ++=．∵19,19,29,a b a b £££££+£且 a 、 b 、a +b 都是正整数，∴5656a b a b +³+³，．∴5656a b a b +=ìí+=î，解得， 11a b =ìí=î．∴1101111011121m a b =+=+=．（3）由（2）得，()()()()2222F m a b T m a b =-=+，，∵a 、b 、a +b 都是1到9的正整数，∴()()204218a b a b -³£+£，．∵()2a b +是完全平方数，∴()24916a b +=，，．又∵()2a b +是偶数，∴()29a b +=不合题意，舍去．∴28a b +=，．当a +b =2时，a =b =1，此时，()20a b -=，符合题意；当a +b =8时，若a =7，b =1，此时，()212a b -=，不合题意，舍去；若a =6，b =2，此时，()28a b -=，不合题意，舍去；若a =5，b =3，此时，()24a b -=，符合题意；若a =4，b =4，此时，()20a b -=，符合题意．∵11011m a b =+，∴符合条件的121583484m =，，．【点睛】本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，分类讨论时做到不重复不遗漏是关键．13．对任意一个三位数m ，如果m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将m 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m 的和与111的商记为()F m ．例如，123是“特异数”，不断将123的百位数字调到个位可得231，312，()1232313126661236111111F ++===．（1）求()456F ，()321F ；（2）已知10032s x =+，256t y =+（19x y £££，x ，y 为整数），若s 、t 均为“特异数”，且()()F s F t +可被6整除，求()()s F F t ×的最大值．【答案】（1）F （456）=15，F （321）=6；（2）F (s )•F (t )的最大值为384．【分析】（1）根据F （m ）的定义式，分别将m =456和m =321代入F （n ）中，即可求出结论．（2）由s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，解出x ，y 的值，再根据“特异数”的定义结合F （m ）的定义式，即可求出F （s ），F （t ）的值，求出最大值即可．【详解】解：（1）F （456）=(456+564+645)÷111=15，F （321）=(321+213+132)÷111=6；（2）∵s 、t 均为“特异数”， 10032s x =+，256t y =+，∴F (s )=(100x +32+320+x +203+x ) ÷111=5+x (19x ££)，∵256t y =+，∴4y ¹，当13y ££时，F (t )=()()256502106100625y y y éù+++++++ëû÷111=13+y ，当59y ££时，F (t )=()()25660210610100610265y y y éù++++-++-+=ëû÷111=4+y (6y ¹)，∴F (s )+ F (t )=()()181913919596x y x y x y x y y ì++££££ïí++££££¹ïî，，，，由于()()F s F t +可被6整除，y x ³，①当1913x y ££££，时，6x y +=或12x y +=，∴当且当3x y ==时成立，则F (s )•F (t )=(5+x )• (13+y )=816128⨯=；②当195x y ££=，、7、8、9时，3x y +=或9或15，∴当9x y +=时，4x =，5y =或2x =，5y =或1x =，8y =，此时F (s )•F (t )=81或77或72；当15x y +=时，7x =，8y =或6x =，9y =，此时F (s )•F (t )=384或143；综上，F (s )•F (t )的最大值为384，此时7x =，8y =．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （m ）的定义式，求出F （456），F （321）的值，（2）根据s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，得出x ，y 的二元一次方程组．14．阅读理解：在教材中，我们有学习到2222()a ab b a b -+=-，又因为任何实数的平方都是非负数，所以2()0a b -³，即222a b ab +³．例如，比较整式24x +和4x 的大小关系，因为2244(2)0x x x +-=-³，所以244x x +³请类比以上的解题过程，解决下列问题：（初步尝试）比较大小：21x +______2x ；9-_____26x x-（知识应用）比较整式225210x xy y ++和2(2)x y -的大小关系，并请说明理由．（拓展提升）比较整式2222a ab b -+和12a -的大小关系，并请说明理由．【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a ³-+-【分析】[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可；[知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可；[拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可．【详解】解：[初步尝试]()221210x x x +-=-³，∴21x +≥2x ；()()222696930x x x x x ---=-+=-³，∴9-≤26x x -；[知识应用]2225(20)12x xy y x y +-+-=2222542104x y xyx xy y -+++-=2269xyx y ++=()23x y +≥0∴225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a æö-+-çè-÷ø=221222a ab b a --++=22211122222a a a ab b +-+-+=()()22211144222a a a ab b -+-++=()()22111222a a b +--当a =1，b =12时，原式=0，∴()()22111222a a b +--≥0，∴221222a ab b a ³-+-．【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键．15．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如：分解因式()22223214(1)(3)(-1)4(12)(12)x x x x x x x x x +-=++-=+-==++++-求代数式2246x x +-的最小值，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．当1x =-时，22467x x +-有最小值，最小值是8-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：245x x --=__________．（2）当x 为何值时，多项式2243x x --+有最大值？并求出这个最大值．（3）若221721202333a ab b b -+-+=，求出a ，b 的值．【答案】（1）（x +1）（x -5）；（2）x =-1，最大值为5；（3）a =2，b =1【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x 为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a 、b 的值．【详解】解：（1）x 2-4x -5=（x -2）2-9=（x -2+3）（x -2-3）=（x +1）（x -5），故答案为：（x +1）（x -5）；（2）∵-2x 2-4x +3=-2（x +1）2+5，∴当x =-1时，多项式-2x -4x +3有最大值，这个最大值是5；（3）∵221721202333a ab b b -+-+=，∴2222172122202333a ab b b b b -+-+-+=，∴()()222114421023a ab b b b -++-+=，∴()()221121023a b b -+-=，∴a -2b =0，b -1=0，∴a =2，b =1．【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．16．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++因式分解的过程．解：设24x x y -=，则原式()()264y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =-+（第四步）解答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】（1）C ；（2）因式分解不彻底，()42x -；（3）()41x -【分析】（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可（2）利用完全平方公式因式分解即可（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可【详解】（1）∵()228164y y y ++=+，∴运用了两数和的完全平方公式．故选C ．（2）∵()()()222424422x x x x éù-+=-=-ëû，∴因式分解不彻底．（3）设22x x y -=，则原式()()()()22222221211211y y y y y x x x éù=++=++=+=-+=-ëû()41x =-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键17．定义：若一个整数能表示成a 2＋b 2（a ，b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a 2＋2ab ＋2b 2＝（a ＋b ）2＋b 2，所以a 2＋2ab ＋2b 2也是“完美数”．（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知M ＝x 2＋4x ＋k （x 是整数，k 是常数），要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；（4）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k =5，理由见解答过程；（4）见解析【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；（2）利用53=22+72即可判断；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，故答案为：2或5或8（写一个即可）；（2）53=22+72，故53是“完美数”，故答案为：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一个“完美数”．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；（2）若586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2的值；（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结果．【详解】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，∴a2+b2=9，∴有3ab=ìí=î，3ab=ìí=î（不符合题意），∴这个三位数是390；∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，∴2ab=40，则ab=20，∴有45ab=ìí=î，54ab=ìí=î，210ab=ìí=î（不符合题意），102ab=ìí=î（不符合题意），∴这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）∵586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，∴a2+b2=586，2ab=570，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b=±4，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；（3）由题意得：222m a b m abì=+í=î，则有a 2+b 2=2ab ，整理得：(a -b )2=0，则有a =b ；∵这个整数是一个四位数，∴1≤a ≤9，1≤b ≤9，中间数是两位数，则有：a =b =1时，这个四位数是1021；a =b =2时，这个四位数是2082；a =b =3时，这个四位数是3183；a =b =4时，这个四位数是4324；a =b =5时，这个四位数是5505；a =b =6时，这个四位数是6726；a =b =7时，这个四位数是7987．综上，这个四位数是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进行解答．19．材料一：一个正整数x 能写成22x a b =-（a ，b 均为正整数，且a b ¹），则称x 为“雪松数”，a ，b 为x 的一个平方差分解，在x 的所有平方差分解中，若22a b +最大，则称a ，b 为x 的最佳平方差分解，此时()22F x a b =+．例如：222475=-，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，22223297,3262=-=-，因为22229762+>+，所以9和7为32的最佳平方差分解，()223297F =+．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t 既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t 的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t ．【答案】（1）22112113=-，224073=-；（2）见解析；（3）2772，5445【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，根据“南麓数”的特征即可得到结论．【详解】解：（1）由题意可得：22112113=-，224073=-；（2）若10是“雪松数”，则可设2210(a b a -=，b 均为正整数，且)a b ¹，则()()10a b a b +-=，又1025101=⨯=⨯Q ，a Q ，b 均为正整数，a b a b \+>-，\52a b a b +=ìí-=î，或101a b a b +=ìí-=î，解得：7232a b ì=ïïíï=ïî或11292a b ì=ïïíï=ïî，与a ，b 均为正整数矛盾，故10不是雪松数；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，则2222(10)(10)99()99()()t m n n m m n m n m n =+-+=-=+-，99()()1000100101001110m n m n a b b a a b \+-=+++=+，整理得()()109a b m n m n a b ++-=++，a Q ，b ，m ，n 均为正整数，9a b \+=，经探究2786a b m n =ìï=ïí=ïï=î，5483a b m n =ìï=ïí=ïï=î，符合题意，t \的值分别为：2772，5445．【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．20．若一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3764+=+，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，2533+¹+Q ，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，求得a 和b 的值，再根据题意c d +是6的倍数，结合a c b d +=+，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．【详解】（1）根据题意：一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵1001+=+，9999+=+，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵2736+=+，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为abcd ，k 为正整数，依题意得：2212a b -=，6c d k +=，且a c b d +=+，由2212a b -=，知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，且19a ££，19b ££，即121a b a b +=ìí-=î或62a b a b +=ìí-=î或43a b a b +=ìí-=î，解得：132112a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，或42a b =ìí=î或7212a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，∵19c ££，19d ££，2618c d k £+=£，∴k 取1或2或3，当k 取1时，即6c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴62c d c d +=ìí-=-î，解得：24c d =ìí=î，∴“交替数”是4224；当k 取2时，即12c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴122c d c d +=ìí-=-î，解得：57c d =ìí=î，∴“交替数”是4257；当k 取3时，即18c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴182c d c d +=ìí-=-î，解得：810c d =ìí=î(不合题意，舍去)；综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：()()()()()2244222224444222222x x x x x x x x x x +=++-+-+=-++=按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）464x +；。
有关动量守恒定律的综合应用(原卷版)-2023年高考物理压轴题专项训练(全国通用)
压轴题11有关动量守恒定律的综合应用考向一/计算题：与碰撞模型有关的动量守恒定律的综合应用考向二/计算题：与板块模型有关的动量守恒定律的综合应用考向三/计算题：与弹簧模型有关的动量守恒定律的综合应用要领一：弹性碰撞和完全非弹性碰撞基本规律（一）弹性碰撞1.碰撞三原则：(1)动量守恒：即p 1＋p 2＝p 1′＋p 2′.(2)动能不增加：即E k1＋E k2≥E k1′＋E k2′或p 212m 1＋p 222m 2≥p 1′22m 1＋p 2′22m 2.(3)速度要合理①若碰前两物体同向运动，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
2.“动碰动”弹性碰撞发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m 1和m 2，碰前速度为v 1，v 2，碰后速度分别为v 1ˊ，v 2ˊ，则有：''11221112m v m v m v m v +=+(1)22'2'21122111211112222m v m v m v m v +=+(2)联立（1）、（2）解得：v 1’=，v 2’=.特殊情况：若m 1=m 2，v 1ˊ=v 2，v 2ˊ=v 1.3.“动碰静”弹性碰撞的结论两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。
以质量为m 1、速度为v 1的小球与质量为m 2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有m 1v 1＝m 1v 1′＋m 2v 2′（1）12m 1v 21＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2（2）解得：v 1′＝（m 1－m 2）v 1m 1＋m 2，v 2′＝2m 1v 1m 1＋m 2结论：(1)当m 1＝m 2时，v 1′＝0，v 2′＝v 1(质量相等，速度交换)(2)当m 1＞m 2时，v 1′＞0，v 2′＞0，且v 2′＞v 1′(大碰小，一起跑)(3)当m 1＜m 2时，v 1′＜0，v 2′＞0(小碰大，要反弹)v 1v 2v 1’ˊv 2’ˊm 1m 2(4)当m 1≫m 2时，v 1′＝v 0，v 2′＝2v 1(极大碰极小，大不变，小加倍)(5)当m 1≪m 2时，v 1′＝－v 1，v 2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)（二）完全非弹性碰撞碰后物体的速度相同，根据动量守恒定律可得：m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v 共（1）完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：ΔE k =½m 1v 12+½m 2v 22-½(m 1+m 2)v 共2（2）联立（1）、（2）解得：v 共=；ΔE k =要领二：与板块模型有关的动量守恒定律的综合应用要领三：与弹簧模型有关的动量守恒定律的综合应用条件与模型v 1v 2v 共m 1m 2①m A =m B（如:m A =1kg ；m B =1kg ）②m A >m B（如:m A =2kg ；m B =1kg ）③m A <m B（如:m A =1kg ；m B =2kg ）规律与公式情况一：从原长到最短（或最长）时①()v m m v m B A A +=0；②()2201122A A B pm m v m m v E =++情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时①'2'10v m v m v m B A A +=；②2'2'2012111222A A B m v m v m v =+1．如图所示，9个完全相同的滑块静止在水平地面上，呈一条直线排列，间距均为L ，质量均为m ，与地面间的动摩擦因数均为μ，现给第1个滑块水平向右的初速度，滑块依次发生碰撞（对心碰撞），碰撞时间极短，且每次碰后滑块均粘在一起，并向右运动，且恰好未与第9个滑块发生碰撞。
压轴题11 “位-构-性”元素推断(解析版)-高考化学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题11“位—构—性”元素推断本部分内容是高考的热点，每年必考，题型为选择题，相对单一，试题命制时主要是以原子(或离子)结构、核外电子排布、元素化合物的性质为突破口，进行元素的推断，然后分项考查粒子半径大小的比较，金属性、非金属性强弱的比较，气态氢化物的稳定性强弱，最高价氧化物对应水化物的酸性强弱等元素周期律知识，有时还涉及化学键与物质类别关系的判断。
预计2023年元素推断题一定会出现，命题方向：一是给出局部的元素周期表，展示出几种不同元素的相对位置；二是给出某种元素的位置特征、原子结构特征或由该元素形成的单质或化合物的特殊性质。
三是利用元素及其化合物特殊组成与结构推断题，这是近几年高考的热点题型，1．元素周期表中的“位”“构”“性”关系2．解题方法元素推断题，一般可先在草稿纸上画出只含短周期元素的周期表，然后对照此表进行推断。
(1)对有突破口的元素推断题，可利用题目暗示的突破口，联系其他条件，顺藤摸瓜，各个击破，推出结论;(2)对无明显突破口的元素推断题，可利用题示条件的限定，逐渐缩小推求范围，并充分考虑各元素的相互关系予以推断;(3)有时限定条件不足，则可进行讨论，得出合理结论，有时答案不止一组，只要能合理解释都可以。
若题目只要求一组结论，则选择自己最熟悉、最有把握的。
有时需要运用直觉，大胆尝试、假设，再根据题给条件进行验证也可。
2．解题步骤第一步：明确题给条件——利用元素位置关系抓题眼关键信息，原子结构、最外层电子数、同周期或同主族等。
利用短周期元素中第一、二、三周期结构的特殊性，先利用第ⅠA族元素左侧无元素分布、0族元素右侧无元素分布，确定第ⅠA族元素和0族元素，然后据此确定其他元素所在的族，最后利用其所在的周期确定元素。
第二步：推断元素——利用元素特点根据元素及其化合物的性质及相应粒子结构判断元素在元素周期表中的位置或相对位置。
该类题目基本上是考查短周期元素，利用L层与M层电子与其内层电子数之间的关系迅速确定元素的核外电子数，从而确定元素。
2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)
压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开． 高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线22:13y C x −=的左､右顶点分别是12,A A ，直线l 与C 交于,M N 两点（不与2A 重合），设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ，且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，可得222(3)230k x kmx m −−−−=， 则23k ≠，2212(3)0m k ∆=+−>，即223k m <+，212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦， 所以2m k =−，故直线l 的方程为(2)y k x =−，恒过点(2,0). （2）由题可知，直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++，直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =，故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅，PA PC⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上． 【解析】（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−−，(1,1)PC x y =−−， 则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+， 又2y 是PA PB ⋅，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+．（2）由（1）知2131:22C y x x =−+，又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2yx ．曲线2C 的方程为2yx ．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩， ()()21111,,OM x y x x ∴==，()()22222,,ON x y x x ==，又MON ∠为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅， 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩，对2yx 求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−， 由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ． 满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，R ∴点在定直线=2y −上． 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点2,3P，且离2. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点2,3P，且离心率为22，所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，由()22Δ25696120k k =−+>，即232k >，所以1221612kx x k −+=+，1222412x x k =+. 由求根公式可知，不妨设218246k k x −−−，228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++， 代入12,x x ，得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，C 的一个焦点坐标为()10,3F ，离3 (1)求C 的方程；(2)设C 的上、下顶点分别为1A ，2A ，若直线l 交C 于()11,M x y ，()22,N x y ，且点N 在第一象限，120y y >，直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，证明：直线MN 过定点． 【解析】（1）由题意得3c =，3ca3a =2226b c a =−=， 故C 的方程为22136y x −=；（2）证明：由已知条件得直线MN 的斜率存在，设直线MN ：y kx t =+，联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩，消去y 整理得，()222214260k x ktx t −++−=， 由题设条件得2210k −≠，()()2222Δ16421260k t k t =−−−>，则122412kt x x k +=−，21222621t x x k −=−．由（1）得(13A ，(20,3A −， 则直线1A M ：1133y y −，直线2A N ：2233y y x +=， 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==，即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+．又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++，(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−，所以33353335t t −=+，解得5t =，所以直线MN 过定点()0,5．02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ2倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBFS的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围. 【解析】（1）由Γ24倍，得212a −22(1)a a −=， 又1a >，则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ， 因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称， 又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥， 由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅，又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得， 12CF CF ⋅=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又 OA OB CO +=，则012()x x x =−+，012()y y y =−+， 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++−=， 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+，由韦达定理得，122412mk x x k −+=+，21222212m x x k −=+，又121222()212my y k x x m k +=++=+，则02412mkx k =+，02212m y k −=+， 因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k −+=++， 化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>，则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+， 则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =，右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，()1,0A −．求AM AN ⋅的值．【解析】（1）由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =，可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =，又因为222c a b =+，可得1,3a b =2213y x −=.（2）由（1）知2c =，可得(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即:2l x =，将2x =代入2213y x −=，可得13y =或23y =−，不妨设(2,3),(2,3)M N −，又由(1,0)A −，可得(3,3),(3,3)AM AN ==−， 所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=； 当直线l 的斜率存在时，即:(2)l y k x =−，联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>，且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−， 则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++，且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+，则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−，综上可得：0AM AN ⋅=.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E y px p =>，其焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，以FC 为直径的圆交抛物线于点B ，连接BF 并延长交抛物线于点A ，且4AF BF −=．(1)求E 的方程．(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ，若抛物线E 上存在点M ，N ，使得0MP NP ⋅=．求证：直线MN 过定点．【解析】（1）根据抛物线的性质可知CF p =．设直线AB 的倾斜角为θ，则在Rt CBF △中，cos BF p θ=． 由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+，cos BF p BF θ=−， 所以1cos p AF θ=−，cos 1cos pBF p θθ==+，所以2sin cos θθ=． 所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==． 由24AF BF AB BF −=−=，得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==，解得2p =． 所以E 的方程为24y x =．（2）由（1）知()1,2P ．设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ．联立抛物线方程，得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理，得2440y my n −−=．则124y y m +=，124y y n =−，且216160m n ∆=+>． 由0MP NP ⋅=，得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=，则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦，得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=，所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=．整理得()()22341n m −=+．当()321n m −=−+，即21n m =−+时，直线MN 的方程为()21x m y =−+，则直线MN 恒过定点()1,2P ，不符合题意．当()321n m −=+，即25n m =+时，直线MN 的方程为()25x m y =++，则直线MN 恒过定点()5,2−．【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==. （ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】（1）由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=．（2）（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由12AM BM =，得2OM OA OB =−，即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭，由2AN BN =，得2ON OB OA =−，即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=，解得213k =，又0k >，所以3k =（ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++−=， 其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++，由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭， 由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=，即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++， 所以222222223312930m k k m k m k m −−++=， 因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0−，所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=， 即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x −交椭圆于M ，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标； (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988−=，所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M −，()1,3N −−， 直线MT 的方程为()3313y x =−−−，即3490x y +−=， 设圆Q 方程为()222x t y r −+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >−， 则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等，即223409134t t r +⨯−+==+，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+，化简得：2812270k k +−=，则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=， 可得21121848989A P A k k x x x k −−==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+，32B y =−，所以直线AB 的方程为32y =−， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△， 解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x −是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：BP BQ =：(3)记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程． 【解析】（1）因为=1x −为抛物线的准线，所以12p=，即24p =， 故抛物线C 的方程为24y x = （2）如图，设l ：1x ty =−，()()1122,,,M x y N x y ， 联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则()2Δ1610t =−>，且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x −−=−−，令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭， 同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−，故BP BQ =.（3）由（2）可得：()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+，由122S S =，得：212t −=，解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=．【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS．(1)求p 的值； (2)求OM ON ⋅的值； (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =−，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得2141x k =+ 点A 在第三象限，则2141A x k =+点B 在第四象限，同理可得2241B x k =+，且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+， 当且仅当112k =时，等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点，过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点． (1)证明：P 恰为AB 的中点；(2)过点P 分别作渐近线的平行线，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x 轴，即切线的斜率不可能为0， 设切线方程为:l x ty m =+，联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得222(4)240t y tmy m −−+=+， 所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=，可得2240t m +−=，即224m t =−，所以22220m y tmy t −++=，即2()0my t −=，所以t y m =，则2t x m m=+，所以点2(,)t tP m m m+，又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±，联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t ==−−，即2(,)22m m A t t −−， 联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t −==++，即2(,)22m m B t t −++，所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−，所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==，所以4(,)t P m m ，所以点P 与AB 的中点重合.（2）由2(,)22m m A t t−−，2(,)22m mB t t −++， 可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−，2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++， 所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−，即5OA OB =， 又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−，可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==， 所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=， 所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=， 因为P 为AB 的中点，所以112122PMON AOBS S ==⨯=， 所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点，直线l （不过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，则直线l 斜率为定值2020b x a y ．2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点，直线l （不过P 点）与双曲线交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，直线l 斜率为定值2020b x a y −．3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点，直线l （不过P 点）与抛物线交于M ，N 两点，若0PA PB k k +=，则直线l 斜率为定值0p y −． 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点，过点P 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−； （2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−．5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线AB ，CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ，直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，弦AB ，CD 的中点记为M ，N ．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−．6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ，PB ，直线PA ，PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−．【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆22:143x y C +=，12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点，12F F 、分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M N 、两点（l 不过点2A ）.(1)若Q 为椭圆C 上（除12A A 、外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积； (2)若112NF F M =，求直线l 的方程；(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、，且1294k k =−，求证：直线l 过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143x y C +=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、，设点()000,(2)Q x y x ≠±，则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0)F −，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=，，由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ，化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ，联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −，73(,5)48−N ， 所以，所求直线方程为5=1)y x ±+.（3）设()()3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t =+（2t ≠），联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2223463120m y mty t +++−=，由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>，得2234t m <+.由韦达定理，得234342263123434，−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−，34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=， 整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=，()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭，由20t −≠，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++，化简可得16160t −=，解得1t =， 直线MN 的方程为1x my =+，恒过定点(1,0).【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −，直线AC 的斜率为12，直线AC 与椭圆E 交于另一点G ，且点G 到x 轴的距离为43． (1)求椭圆E 的方程．(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点，直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N ． ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，求2112k k k k −的取值范围． ②判断22||AM BN +是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由题意知，(),0A a −．由直线AC 的斜率为12()2012b a −=，所以2a b =． 直线AC 的方程为()12y x a =+． 设(),G s t ，则0,0s t >>．由点G 到x 轴的距离为43，得43t =． 由点G 在直线AC 上，得()4132s a =+，所以83s a =−．由点G 在椭圆E 上，得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得2a =．所以2b =．所以椭圆E 的方程为22142x y+=．（2）①设()00,P x y （020y ≤<或002y < 由（1）知，()()2,2,2,2C D −， 则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+， 所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−． 由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣． ②由①知2200142x y +=，即2220004x y y +=−．设()()12,0,,0M x N x ． 因为,,P C M 三点共线， 所以00120222y x x −−=−−，得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−．因为,,P D N 三点共线，所以00220222y x x −−=++， 得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−．所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−．故22||AM BN +为定值16．【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M −，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P −，直线AP 交直线2x =−于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k −为定值．【解析】（1）由双曲线2222y :1x C a b −=2，且()3,1M −在双曲线C 上，可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，∴双曲线的方程为22188x y −=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F −，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去； 当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =−，联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩，消x 得()221880m y my −−+=，易得Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<−−，可得11m −<<， ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+，则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−，即0MA MB ⋅≠，可得MA 与MB 不垂直，∴不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上． （3）由直线()1:24AP y k x −=+，得(12,22)Q k −+， ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−，又11111224PAy y k k x my −−===+，∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−，∵1112y k my −=，∴1112k my y =−，且1212y y my y +=， ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−，即12k k −为定值．【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点()32,1P −在双曲线C 上；②点Q 在双曲线C 上，1290QF F ∠=︒，且113QF =；③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若AMBNk a k =−，求直线l 的斜率.【解析】（1）选①②，因为点()32,1P −在双曲线C 上，所以221811a b −=， 由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=；选①③， 由①，得221811a b −=，由③，得31ba−⨯=−， 联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=，选②③，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，又由③，得31ba−⨯=−，联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=.（2）依题意可知()()3,0,3,0A B −，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 并整理，得()221918180k x kx −+−=， 由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>，且2190k −≠，得229k <且219k ≠，所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−， 又221119x y −=，即221199x y −=，则1111339y x x y −=+， 所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭， 整理得218310k k −−=，解得16k =−或13k =（舍去），故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明． 一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ． ③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点P 为椭圆C 上的动点，且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点()1,0D −，直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点，过点2A 作直线GH 的垂线，垂足为M ． (1)求椭圆C 的方程．(2)记直线GH 的斜率为k ，证明：km 为定值．(3)试问：是否存在定点N ，使MN 为定值？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意，得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=． （2）证明：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y ． 又()1,0D −，所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−． 联立椭圆方程与直线AD 的方程，得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦． 又2211195x y +=，所以22115945x y +=，可得()()2211115140x y x y y y +−+−=．由根与系数的关系，得2113145y y y x −=+，则13145y y x −=+，所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++，同理，得224422594,55x y x y x x −−−==++． 从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−．又11222,2x my x my =−=−， 所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−，即34km =，为定值． （3）由（2）可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭． 由椭圆的对称性可知，若直线GH 恒过定点，则此定点必在x 轴上， 所以令0y =，得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++．故直线GH 恒过定点T ，且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭．因为2A M GH ⊥，垂足为M ，且()23,0A ，所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动．故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，使21423MN A T ==．【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，点D 在x 轴上的投影为点G . （ⅰ）求m 的取值范围； （ⅱ）求证：直线BE 过点G .【解析】（1）由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y −=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y −，联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩， 消去x 得()224230m y my −+−=，则240m −≠，()()222Δ41241630m m m =+−=−>，解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<， 所以|m 的取值范围为(3,2). （ii ）由（i ）得12224my y m +=−−，12234y y m −=−， 又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =−，()114,GE x y =−−， 所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+，223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−， 所以//GB GE ，又GB ，GE 有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23P ⎝⎭在椭圆E ，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B 和点C ，D ，且点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若()0,1D ，求以CD 为直径的圆的方程；(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭， 且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形， 可得b c =，则22222a b c b =+=，所以2223122b b+=⨯，解得222,1a b ==， 所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.（2）由（1）得1(1,0),(0,1)F D −，所以直线CD 的方程为1x y +=，联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得41,33x y ==−或0,1x y ==，所以41(,)33C −， 则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. （3）设直线AB 的方程为1x my =+，且0m ≠，则直线CD 的方程为11x y m=−+， 联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210m y my ++−=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++， 所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+， 由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++， 将M 的坐标中的用1m −代换，可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++，所以232(1)MN mk m =−，所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+，即23(1)12m y x m =−−，则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点. (1)求双曲线C 的方程；(2)若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=，by x a =−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==，由题意可得：222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，解得23a =，22b =， 所以双曲线C 的方程为22132x y −=.（2）设直线1l 的方程为(5y k x =， 由1l ，2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−， 联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，消y 得()222223651560k x k x k −−−−=，0∆>成立，所以212352M x x k x +=，(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭，联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=， 所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上， 直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−，则当0y =时，222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点，定点坐标为()35,0−.1．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN 的重心坐标；(3)是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积）【解析】（1）依题意1b =，3c e a ==222c a b =−， 解得2a =，所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）因为命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，。
挑战2023年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题(含答案解析)
专题11二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A,B,C,D四点的坐标；②当△P AB面积最大时,求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C 分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．（1）①求点A,B,C的坐标；②求b,c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC 上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足P A⊥PD,求线段PB的最小值．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0,c＜0）的对称轴为x＝4,C为顶点,且A（2,0）,C（4,﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x＝k交BC′于点M,交抛物线C于点N．①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E（﹣3,0）,H（﹣3,4）,现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围．2．（2018秋•宁城县期末）已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（﹣3,0）,（1）如图1,已知顶点坐标D为（﹣1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标；（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P（m,0）（﹣3＜m＜﹣1）,与抛物线,线段BC的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1,抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1,0）,B两点,与y轴交于点C,且CO＝BO,连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度；（3）如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由．4．（2022•和平区二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2,4）,且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合）,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长．5．（2022•鹿城区校级二模）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（5,0）,与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧）,过点F作FG ∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长．6．（2021•南岗区模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ＝PE,连接DQ交PE于点F,若PE＝3PF,求QN的长．7．（2021•凉山州模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF＝OC,求点P的坐标．9．（2021•乳源县三模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C（0,）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点,连接AM,CM,求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．10．（2021•河池）在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A,B两点（A在B的右侧）,与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图,直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F,DG⊥CA于点G,若E为GA 的中点,求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1,y1）,N（x2,y2）两点,其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0,结合函数图象,探究n的取值范围．11．（2021•桂林）如图,已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1,5）和点B（﹣5,m）,与x轴的正半轴交于点C．（1）求a,m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点,连接PB,P A,当＝时,求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等？若存在,求出满足条件的点M的横坐标；若不存在,请说明理由．12．（2021•吉林）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0,﹣）,点B（1,）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时,求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ∥x轴,点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合,且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时,直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边）,交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为,点B的坐标为．（2）如图1,过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F,交抛物线于点D,过点B作BE∥y轴交AD于E,求证：AF＝DE．（3）如图2,直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D,与对称轴交于点E,对称轴上存在点F,满足DF＝FE．若a＝1,求点F坐标．14．（2020•哈尔滨模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点,连接AC,tan C＝,5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t,连接BQ交y轴于点E,连接CQ、CB,△BCQ的面积为S,求S 与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点,连接CQ,DH所在直线是抛物线的对称轴,连接QH,若∠BQC＝45°,HR∥x 轴交抛物线于点R,HQ＝HR,求点R的坐标．15．（2019•衡阳）如图,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1,0）和点B（3,0）,与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时,线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M的坐标；若不存在,请说明理由．16．（2020•天津）已知点A（1,0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a,b,m为常数,a≠0,m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1,m＝﹣3时,求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m,0）,与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l 上的动点,F是y轴上的动点,EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合）,且AE＝EF时,求点F的坐标；②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是？17．（2020•凉山州）如图,二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0,0）、A（1,0）、B（,）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD 的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标．18．（2020•滨州）如图,抛物线的顶点为A（h,﹣1）,与y轴交于点B（0,﹣）,点F（2,1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0,﹣3）且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P（m,n）到直线l的距离为d,求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4,3）,请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．（2016•巴彦淖尔）如图所示,抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6,0）两点,过点A作AC⊥x轴,交直线y＝2x﹣2于点C,且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式,并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标,并判断点A′是否在抛物线上,并说明理由；（3）点P（x,y）是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点Q,设线段PQ的长为l,求l与x的函数关系式及l的最大值．20．（2018•葫芦岛）如图,抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1,0）,点E（4,5）,与y轴交于点B,连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转,点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时,求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时,过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标．【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A,B,C,D四点的坐标；②当△P AB面积最大时,求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A,B,C,D的坐标；①当m＝2时,代入上述坐标即可得出结论；②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,设点P的横坐标为t,所以P（t,﹣t2+4t﹣2）,E（t,2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△P AB的面积,再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知,B（0,﹣2m）,C（0,﹣m2+2）,①y轴上有一点M（0,m）,点C在线段MB上,需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时,分别得出m 的取值范围即可；②根据①中的条件可知,分两种情况,分别得出BC的长度,利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,∴A（2,0）,B（0,﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2,∴抛物线的顶点为D（m,2）,令x＝0,则y＝﹣m2+2,∴C（0,﹣m2+2）．①当m＝2时,﹣2m＝﹣4,﹣m2+2＝﹣2,∴B（0,﹣4）,C（0,﹣2）,D（2,2）．②由上可知,直线AB的解析式为：y＝2x﹣4,抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图,过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,设点P的横坐标为t,∴P（t,﹣t2+4t﹣2）,E（t,2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2,∴△P AB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3,∵﹣1＜0,∴当t＝1时,△P AB的面积的最大值为3．此时P（1,1）．（2）由（1）可知,B（0,﹣2m）,C（0,﹣m2+2）,①∵y轴上有一点M（0,m）,点C在线段MB上,∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时,可得≤m≤1+,当m≤﹣m2+2≤﹣2m时,可得﹣3≤m≤1﹣,∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时,∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3,∴当m＝1时,BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时,即﹣3≤m≤1﹣,∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3,当m＝﹣3时,点M与点C重合,BC的最大值为13．∴当m＝1时,BC的最大值为3；当m＝﹣3时,BC的最大值为13．【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．（1）①求点A,B,C的坐标；②求b,c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A,B,C的坐标；②利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA,列比例式可得n与m的关系式,配方后可得结论．【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形,∴A（3,0）,B（3,3）,C（0,3）；②把A（3,0）,C（0,3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：,解得：；（2）∵AP⊥PM,∴∠APM＝90°,∴∠APB+∠CPM＝90°,∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°,∴∠BAP＝∠CPM,∵∠B＝∠PCM＝90°,∴△MCP∽△PBA,∴＝,即＝,∴3n＝m（3﹣m）,∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3）,∵﹣＜0,∴当m＝时,n的值最大,最大值是．【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0,y＝0+2＝2,当y＝0时,x+2＝0,解得x＝﹣2,∴A（﹣2,0）,B（0,2）,把A（﹣2,0）,C（1,0）,B（0,2）代入抛物线解析式,得,解得,∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2,即﹣x2﹣2x+2＞2,当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时,解得x＝0或x＝﹣2,由图象知,当﹣2＜x＜0时函数值大于2,∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2,即﹣x2﹣x+2＞x+2,观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值,∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,作PQ⊥AB于Q,①如图1,当P在AB上方时,在Rt△OAB中,∵OA＝OB＝2,∴∠OAB＝45°,∴∠PDQ＝∠ADE＝45°,在Rt△PDQ中,∠DPQ＝∠PDQ＝45°,∴PQ＝DQ＝,∴PD＝＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x,即﹣x2﹣2x＝1,解得x＝﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣1,2）,②如图2,当P点在A点左侧时,同理①可得PD＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x,即x2+2x＝1,解得x＝±﹣1,由图象知此时P点在第三象限,∴x＝﹣﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣﹣1,﹣）,③如图3,当P点在B点右侧时,在Rt△OAB中,∵OA＝OB＝2,∴∠OAB＝45°,∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°,在Rt△PDQ中,∠DPQ＝∠PDQ＝45°,∴PQ＝DQ＝,∴PD＝＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x,即x2+2x＝1,解得x＝±﹣1,由图象知此时P点在第一象限,∴x＝﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣1,）,综上,P点的坐标为（﹣1,2）或（﹣﹣1,﹣）或（﹣1,）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足P A⊥PD,求线段PB的最小值．【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式,将点C坐标代入,进而求得结果；（2）先把AC,CE,AE的平方求出或表示出来,然后分为∠CAE＝90°,∠ACE＝90°及∠AEC＝90°,然后根据勾股定理逆定理列出方程,解方程,进而求得结果；（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心,为半径的圆上,进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3）,∴a•（﹣3）＝﹣3,∴a＝1,∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4,∴D（1,﹣4）；（2）存在点E,使△ACE是直角三角形,过程如下：设点E（1,m）,∵A（﹣1,0）,C（0,﹣3）,∴AC2＝10,AE2＝4+m2,CE2＝1+（m+3）2,当∠EAC＝90°时,AE2+AC2＝CE2,∴14+m2＝1+（m+3）2,∴m＝,∴E1（1,）,当∠ACE＝90°时,AC2+CE2＝AE2,∴11+（m+3）2＝4+m2,∴m＝﹣,∴E2（1,﹣）,当∠AEC＝90°时,AE2+CE2＝AC2,∴5+m2+（m+3）2＝10,∴m＝﹣1或﹣2,∴E3（1,﹣1）,E4（1,﹣2）,综上所述：点E（1,）或（1,﹣）或（1,﹣1）或（1,﹣2）；（3）设AD的中点为I,∵A（﹣1,0）,D（1,﹣4）,∴AD＝＝2,I（0,﹣2）,∴P A⊥PD,∴∠ADP＝90°,∴点P在以AD的中点I为圆心,为半径的圆上,∵BI＝＝,∴PB最小＝﹣．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0,c＜0）的对称轴为x＝4,C为顶点,且A（2,0）,C （4,﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x＝k交BC′于点M,交抛物线C于点N．①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E（﹣3,0）,H（﹣3,4）,现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围．【分析】【问题背景】A（2,0）,对称轴为x＝4,则点B（6,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ﹣6）,将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形,则MN＝DC′＝2,即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2,解得：k＝3或3,②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k,即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时,矩形过点A,此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时,此时y＝H′E′＝4,即x2﹣4x+6＝4,解得：x＝4（舍去4﹣2）,即可求解．【解答】解：【问题背景】A（2,0）,对称轴为x＝4,则点B（6,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）,将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6）,解得：a＝,故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4,2）,由点B、C′的坐标可得,直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②,四边形MNDC′是平行四边形,则MN＝DC′＝2,设点N的坐标为：（x,k2﹣4k+6）,则点M（k,﹣k+6）,即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2,解得：k＝3或3,故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6,故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6,MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k,∵0,故MN有最大值,最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得,直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③,联立①③并解得：x＝2或8,即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8,（Ⅰ）当t＝2时,矩形过点A,此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时,此时y＝H′E′＝4,即x2﹣4x+6＝4,解得：x＝4（舍去4﹣2）,即x＝4+2,则t＝3+4+2＝7+2,故t的取值范围为：2≤t≤．2．（2018秋•宁城县期末）已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（﹣3,0）,（1）如图1,已知顶点坐标D为（﹣1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标；（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P（m,0）（﹣3＜m＜﹣1）,与抛物线,线段BC 的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长．【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式,再将点C（2）连接BC,交DH于点M,使△ABM周长最小,即AM+BM最小,先求出BC直线解析式,再令x＝﹣1,求得M（﹣1,2）；（3）由题意得出E（m,﹣m2﹣2m+3）,F（m,m+3）,据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）,再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1,4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4,将点C（﹣3,0）代入,得：4a+4＝0,解得a＝﹣1,则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC,交DH于点M,此时△ABM的周长最小,当y＝0时,﹣（x+1）2+4＝0,解得x＝﹣3或x＝1,则A（1,0）,C（﹣3,0）,当x＝0时,y＝3,则B（0,3）,设直线BC的解析式为y＝kx+b,将B（0,3）,C（﹣3,0）代入得,解得：,∴直线BC解析式为y＝x+3,当x＝﹣1时,y＝﹣1+3＝2,所以点M坐标为（﹣1,2）；（3）由题意知E（m,﹣m2﹣2m+3）,F（m,m+3）,则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+,∴当m＝﹣时,线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1,抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1,0）,B两点,与y轴交于点C,且CO＝BO,连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度；（3）如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C,B的坐标,将A,B坐标代入抛物线解析式求出a,b的值,即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b,将点C,B的坐标代入求得k,b的值,即可求得直线BC的解析式,再求DE即可；（3）根据△CDE∽△PCF,DE∥PF,可得：＝,设点P坐标为（t,﹣t2+2t+3）,点F坐标为（t,﹣t+3）,建立关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中,令x＝0,得y＝3,∴C（0,3）,∴CO＝3,∵CO＝BO,∴BO＝3,∴B（3,0）,∵A（﹣1,0）,∴,解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b,∵B（3,0）,C（0,3）,∴,解得：,∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3,∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1,4）,∴当x＝1时,y＝﹣1+3＝2,∴E（1,2）,∴DE＝2；（3）∵PF∥DE,∴∠CED＝∠CFP,当＝时,△PCF∽△CDE,由D（1,4）,C（0,3）,E（1,2）,利用勾股定理,可得CE＝＝,DE＝4﹣2＝2,设点P坐标为（t,﹣t2+2t+3）,点F坐标为（t,﹣t+3）,∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t,CF＝＝t,∴＝,∵t≠0,∴t＝2,当t＝2时,﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3,∴点P坐标为（2,3）．4．（2022•和平区二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2,4）,且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合）,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长．【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）,把点（0,0）代入,即可求解；（2）根据题意得OC＝2,AC＝4,设点D（x,﹣x2﹣4x）,则DE＝|﹣x2﹣4x|,OE＝﹣x,根据∠ACO＝∠DEO＝90°,可得当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE,分两种讨论,即可求解；（3）求出直线BD的解析式y＝x+14,直线BD与y轴交于（0,14）,可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11,交y轴于（0,11）,可得直线FG的的解析式为y＝x+,联立方程组,得到点F．G的坐标,即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2,4）,∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）,把点（0,0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1,∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0,则﹣x2﹣4x＝0,解得：x1＝﹣4,x2＝0,∴点B（﹣4,0）,∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4,0）；（2）∵AC⊥x轴,点A（﹣2,4）,∴点C（﹣2,0）,∴OC＝2,AC＝4,∵∠ACO＝∠DEO＝90°,∴当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE,设D（x,﹣x2﹣4x）,①当∠AOC＝∠ODE时,△AOC∽△ODE,如图：∵∠AOC＝∠ODE,∴tan∠AOC＝tan∠ODE,∴＝＝2,∴＝2,∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x）,∴x1＝0（舍去）,x2＝﹣或x3＝0（舍去）,x4＝﹣,∴点D的坐标为（﹣,﹣）或（﹣,）；②当∠AOC＝∠DOE时,△AOC∽△DOE,如图：∵∠AOC＝∠DOE,∴tan∠AOC＝tan∠DOE,∴＝＝2,∴＝2,∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x,∴x1＝0（舍去）,x2＝﹣6或x3＝0（舍去）,x4＝﹣2（舍去）,∴点D的坐标为（﹣6,﹣12）；点D（﹣6,﹣12）；综上所述,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,点D的坐标为（﹣6,﹣12）或（﹣,﹣）或（﹣,）；（3）∵在（2）的条件下,点D在第二象限,∴点D的坐标为（﹣,）,直线BD的解析式y＝kx+m,∴,解得,∴直线BD的解析式y＝x+14,直线BD与y轴交于（0,14）,∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11,交y轴于（0,11）,∵点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,∴直线FG的的解析式为y＝x+,联立得,解得,,∴F（﹣,）,G（﹣5,﹣5）,∴FG＝＝．5．（2022•鹿城区校级二模）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（5,0）,与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧）,过点F作FG∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长．【分析】（1）把点A（﹣1,0）,B（5,0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I,根据A,E,D坐标求出AE＝3,DE＝9,在Rt△EAD中,tan∠EAD＝3,再根据四边形AGFE是平行四边形,得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3,设HF＝m,EH＝3m,易证四边形OIHE是矩形,把点F（m+2,﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5,求出m即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1,0）,B（5,0）代入抛物线解析式,得：,解得：,∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9,∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5,顶点D坐标为（2,﹣9）；（2）延长FG交y轴于点I,∵A（﹣1,0）,E（2,0）,D（2,﹣9）,∴AE＝3,DE＝9,∴在Rt△EAD中,,∵EF∥AD,FG∥x轴,∴四边形AGFE是平行四边形,∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3,∴在Rt△EHF中,EH＝3HF,设HF＝m,EH＝3m,易证四边形OIHE是矩形,把点F（m+2,﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5,得,﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5,解得：或m＝（舍去）,∴．6．（2021•南岗区模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG 交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y 轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ＝PE,连接DQ交PE于点F,若PE＝3PF,求QN的长．【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t,t2﹣t﹣4）,则G（1﹣t,t2﹣t﹣4）,利用tan∠GCH＝＝,求出CN,即可得出答案；（3）过点P作PT⊥x轴于点T,可证得△PDH≌△PBT（AAS）,过点F作x轴的垂线,垂足为K,过点D作KF的垂线,垂足为R,KR与PH交于点M,再证得△DRF≌△QKF（ASA）,过点Q作QW∥PD,可证得△DPF≌△QWF（AAS）,过点Q作QZ⊥PE于点Z,再证明△EQZ≌△EPT（AAS）,再利用HL证明Rt△QWZ≌Rt△PBT,设EB＝m,运用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,∴,解得：,∴抛物线的解析式为；（2）如图1,设P（t,t2﹣t﹣4）,∵抛物线的对称轴为直线,PG∥x轴,∴点G与点P是抛物线上的一对对称点,∴G（1﹣t,t2﹣t﹣4）,设PG与y轴交于点H,则H（0,t2﹣t﹣4）,在抛物线中,令x＝0,得y＝﹣4,∴C（0,﹣4）,∴OC＝4,又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t,GH＝t﹣1,∵tan∠GCH＝＝,∴,解得：,∴d与t之间的函数解析式为d＝；（3）如图2,过点P作PT⊥x轴于点T,∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°,∴四边形PHOT为矩形,∴∠HPT＝90°,∴∠DPH＝∠BPT,∵PD＝PB,∴△PDH≌△PBT（AAS）,∴DH＝BT,PH＝PT,∴,解得：t1＝6,t2＝﹣2（舍）,∴P（6,6）,∴DH＝BT＝2,ON＝d＝2,过点F作x轴的垂线,垂足为K,过点D作KF的垂线,垂足为R,KR与PH交于点M,∵PE＝3PF,∴EF＝2PF,∵cos∠PFM＝cos∠EFK,∴,∴FK＝2FM,∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°,∴四边形PMKT为矩形,∴MK＝PT＝6,∴FM＝2,FK＝4,同理四边形DHMR为矩形,∴DH＝RM＝2,RF＝FK＝4,∠R＝∠FKQ＝90°,∵∠DFR＝∠KFQ,∴△DRF≌△QKF（ASA）,∴DF＝QF,过点Q作QW∥PD,∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ,DF＝FQ,∴△DPF≌△QWF（AAS）,∴DP＝QW＝PB,PF＝WF,∴,过点Q作QZ⊥PE于点Z,∴∠EZQ＝∠PTE＝90°,∵∠PET＝∠QEZ,EP＝EQ,∴△EQZ≌△EPT（AAS）,∴PT＝QZ,EZ＝ET,∵QW＝PB,∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL）,∴EW＝EB．设EB＝m,则EW＝WF＝FP＝m,∴EP＝3m,∵BT＝2,∴ET＝m+2,PT＝6,在Rt△EPT中,∵PE2＝ET2+PT2,∴（3m）2＝（m+2）2+62,解得：,m2＝﹣2（舍）,∴,∴BQ＝2BE＝5,∵OB＝4,∴OQ＝9,∵ON＝2,∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021•凉山州模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,得出B,C点的坐标,用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长,利用勾股定理判断其为直角三角形,再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式,过点P作PH∥y轴交AC于H,设出P点和H点坐标,用含x的代数式求出PE的值,根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：（1）∵B点坐标为（1,0）,∴OB＝1,又∵OA＝OC＝3OB,∴OA＝OC＝3,∴A（﹣3,0）,C（0,﹣3）,将A,B,C三点代入解析式得,,解得,∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3,∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,当x＝﹣1时,y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4,∴D点的坐标为（﹣1,﹣4）,∴|AD|＝＝2,|AC|＝＝3,|CD|＝＝,∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2,∴△ACD是直角三角形,S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t,代入A,C点坐标,得,解得,∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3,如右图,过点P作y轴的平行线交AC于点H,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA＝45°,∵PH∥y轴,∴∠PHE＝∠OCA＝45°,设点P（x,x2+2x﹣3）,则点H（x,﹣x﹣3）,∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x,∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+,∴当x＝﹣时,PE有最大值为,此时P点的坐标为（﹣,﹣）．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF＝OC,求点P的坐标．【分析】（1）设A（x1,0）,B（x2,0）,因为OB＝3OA,所以x2＝﹣3x1,又由于x1,x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根,所以x1+x2＝2,从而求出x1的值,得到A点坐标,代入到解析式中,求出m,即可解决问题；（2）由题意可得,只要求得第一象限内M点,使△BCM面积最大,过M作y轴平行线交BC于G点,设M（a,﹣a2+2a+3）,先求出直线BC的解析式,可以得到G（a,﹣a+3）,从而得的MG＝﹣a2+3a,利用S△MBC＝S△MGC+S△MGB,得到S△MBC＝,当a＝时,△MBC面积最大,从而求得M点坐标；（3）由EF＝得EF＝1,过D作DQ∥y轴交BP于Q点,设出P点坐标,求出D点坐标和直线BP解析式,从而表示出DQ的长度,由△PEF∽△PQD,利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比,。
气体实验定律和热力学第一定律的计算- 高考物理压轴大题专题训练
训练11 气体实验定律和热力学第一定律的计算1．如图甲所示，用面积为S 的活塞在气缸内封闭着一定质量的空气，活塞上放一砝码，活塞和砝码的总质量为m 。
现对气缸缓缓加热，使气缸内的空气温度从T 1升高到T 2，空气柱的高度增加了ΔL ，已知加热时气体吸收的热量为Q ，外界大气压强为p 0。
求：（1）此过程中被封闭气体的内能变化了多少？ （2）气缸内温度为T 1时，气柱的长度为多少？（3）请在图乙的V –T 图上大致作出该过程的图象（在图线上标出过程的方向）。
【答案】（1）()0=U Q p S mg L ∆-+∆ （2）()121T LL T T ∆=- （3）如图所示【解析】（1）对活塞和砝码：0=mg p S pS +，得0=mgp p S +气体对外做功()0==W pS L p S mg L∆+∆由热力学第一定律W Q U ++∆ 得()0=U Q p S mg L ∆-+∆（2）1212V V T T =，()12L L S LS T T +∆=解得()121T L L T T ∆=-（3）作图如下2．如图所示，在水平固定的筒形绝热气缸中，用绝热的活塞封闭一部分气体。
活塞的横截面积为0.2 m 2，外界大气压强为105 Pa ，气体温度为27 ℃。
活塞与气缸之间无摩擦且不漏气。
用一个电阻丝R 给气体加热，活塞将会缓慢移动。
当气缸内温度升高到77 ℃时，活塞移动了7.5 cm 。
已知被封闭气体的温度每升高1 ℃，其内能增加74.8 J ，求电阻丝对气体提供的热量为多少？【答案】5 240 J【解析】气体对外做功，01500J W p S l =-∆=-，气体内能增量ΔU =3 740 J 由热力学第一定律W Q U +=∆ 可得5240J Q W U =-+∆=3.如图所示，导热汽缸A 通过绝热细管与汽缸B 相连，细管中有绝热的小活塞M ，汽缸A 内有活塞N ，其截面积为10 cm 2，两汽缸内都封闭有体积为0.2 L 、压强为1 atm 、温度为27 ℃的气体，两个活塞皆不漏气且无摩擦，细管容积忽略不计。
2022高考物理复习冲刺压轴题精练力学部分专题11 机械波(力学部分)(解析版)
2022高考物理复习冲刺压轴题精练力学部分专题11机械波压轴题一、多选题1．沿x轴正方向传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形如图所示，M为介质中的一个质点，该波的传播速度为40m/s，则1s40t 时（）A．质点M对平衡位置的位移一定为负值B．质点M的速度方向与对平衡位置的位移方向相同C．质点M的加速度方向与速度方向一定相同D．质点M的加速度方向与对平衡位置的位移方向相反2．如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x＝2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图像．下列说法正确的是（）A．这列波的传播方向是沿x轴正方向B．这列波的传播速度是20m/sC．经过0.15s，质点P沿x轴的正方向传播了3mD．经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴正方向E.经过0.35s，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离3．图（a）是一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置在x=1.5m处的质点，Q是平衡位置在x=12m处的质点；图（b）为质点Q的振动图像，下列说法正确的是（）A．这列波沿x轴正方向传播B ．在t =0.25s 时，质点P 的加速度方向沿y 轴负方向C ．从t =0.10s 到t =0.25s 的过程中，质点Q 的位移大小为0.30mD ．从t =0.10s 到t =0.25s ，回复力对质点P 的冲量为零E.质点Q 简谐运动的表达式为y =0.10sin10πt （m ）4．甲、乙两列简谐横波在同种均匀介质中传播，如图所示为t =0时刻两列波恰好在坐标原点相遇时的波形图，甲波的频率为2Hz ，沿x 轴正方向传播，乙波沿x 轴负方向传播，则（）A ．甲、乙两波的频率之比为1:1B ．乙波的传播速度为1m/sC ．两列波叠加后，x =0处的质点振幅为20cmD ．t =0.25s 时，x =0处的质点处于平衡位置，且向下运动E.两列波叠加后，x =2m 处为振动加强点5．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在t 秒与（t +2）秒两个时刻，在x 轴上（-3m ，3m ）区间的波形完全相同，如图所示．并且图中M ，N 两质点在t 秒时位移均为2a ，下列说法中不正确的是（）A ．该波的最大波速为20m/sB ．（t +0.1）秒时刻，x =-2m 处的质点位移一定是aC ．从t 秒时刻起，x =2m 处的质点比x =2.5m 的质点先回到平衡位置D ．从t 秒时刻起，在质点M 第一次到达平衡位置时，质点N 恰好到达波峰E.该列波在传播过程中遇到宽度为d =3m 的狭缝时会发生明显的衍射现象6．如图甲所示，在均匀介质中相距30m 两个振源S 1、S 2先后起振，以S 1起振为零时刻，S 1、S 2振动情况图乙所示，S 1、S 2在介质中形成的两列简谐波沿它们的连线相向传播，在t =15.5s 时相遇，图中质点P 、O 与S 1分别相距10m 、15m ．则下列叙述正确的是__________．A ．简谐波的传播速度为1m/sB ．简谐波的波长为4mC ．当S 2的简谐波到P 质点时，P 质点已经振动的路程220cmD ．两列简谐波相遇后能形成稳定的干涉现象E.O 质点的振幅可以达到15cm7．一列沿x 轴正方向传播的简谐横波在t 时刻的波形图象如图所示，已知该波的周期为T ，a 、b 、c 、d 为沿波传播方向上的四个质点．下列说法中正确的是_______A ．t 时刻后，质点b 比质点a 先回到平衡位置B ．在4T t 时，质点c 的速度达到最大值C ．在t+2T 时，质点d 的加速度大小达到最大值D ．从t 到t+2T 的时间间隔内，质点d 通过的路程为4cmE.从t 到t+T 的时间内，a 、b 、c 、d 四个质点沿x 轴通过的路程均为一个波长8．如图所示，一列简谐横波沿x 轴方向传播．实线为t 1=0时刻的波形图，此时P 质点向y 轴负方向运动．虚线为t 2=0.02s 时刻的波形图，已知该简谐波的周期大于0.02s.关于该简谐波，下列说法正确的是___________A ．这列波沿x 轴正方向传播B ．波长为4mC ．波速为50m/sD．频率为50HzE.t=0.04s时，x=2m处的质点经过平衡位置11．如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，t=0时波形图如图中实线所示，此时波刚好传到c点，t=0.6s 时波恰好传到e点，波形如图中虚线所示，a、b、c、d、e是介质中的质点，下列说法正确的是：________A．该机械波传播速度为5m/sB．d点开始运动时方向沿y轴负方向C．质点d在这段时间内通过的路程为20cmD．质点c在这段时间内沿x轴正方向移动了3mE.当t=0.5s时质点b、c的位移相同，但方向相反二、解答题12．一简谐横波从波源O沿x轴正方向传播，t=0时刻的波形图如图甲所示，波刚好传到质点b。
2021年九年级中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合 专项练习题
2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题1、如图，O是ABC∆的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，=.且AE AB（1）求ACB∠的度数；DE=，求O的半径.（2）若22、如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD BC=，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：CBA DAB∆≅∆；（2）若BE BF=，求证：AC平分DAB∠．3、如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB 上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）5、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．6、如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．7、如图，已知A 、B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）E 为的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于G ，若tan ∠AFE=，BE=BG ，EG=3，求⊙O 的半径．8、如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB ⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若4BD =，8BC =，圆的半径5OB =，求切线EC 的长．9、如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙O 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：AC 平分∠FAB ；（2）求证：BC 2=CE•CP ；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．10、已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD ⊥AC ，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC=BD ，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正（n +4）边形的一边，求△ACD 的面积．11、如图，AB 为O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，切点为A ，且CAD ABD ∠=∠．（1）求证：AD CD =；（2）若4AB =，5BF =，求sin BDC ∠的值．12、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AĈ=CD ̂=DB ̂，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．13、如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ,且∠AOD =∠BAD .（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若BC =6，tan ∠ABC =43 ,求AD 的长.14、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）求证：△ABD ∽△DCP ；（3）当AB=5cm ，AC=12cm 时，求线段PC 的长．C B15、如图，AB 为⊙O 的直径，且AB=4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连接OM 、PM ．（1）求∠OMP 的度数；（2）当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长．16、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点D ，交AC 于点E ，连接DA ，DC ．已知半圆O 的半径为3，BC=2．（1）求AD 的长．（2）点P 是线段AC 上一动点，连接DP ，作∠DPF=∠DAC ，PF 交线段CD 于点F ．当△DPF 为等腰三角形时，求AP 的长．17、如图所示：O 与ABC 的边BC 相切于点C ，与AC 、AB 分别交于点D 、E ，//DE OB ．DC 是O 的直径．连接OE ，过C 作//CG OE 交O 于G ，连接DG 、EC ，DG 与EC 交于点F ．（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AE ED AC EF⋅=⋅；（3）若13,tan2EF ACE=∠=时，过A作//AN CE交O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．18、如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I 于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ PH⋅的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A、B、C、D．⊙过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；⊙若直线n的函数表达式为4y=+，求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F ⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合 专项练习题1、如图，O 是ABC ∆的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且AE AB =.（1）求ACB ∠的度数；（2）若2DE =，求O 的半径.解：（1）如图，连接OA .∵AE 是O 的切线，∴90OAE ∠=︒.又∵OB OA =，∴12∠=∠.∵AB AE =，∴1E ∠=∠，∴212AOE E ∠=∠=∠.又∵在Rt AOE ∆中，90AOE E ∠+∠=︒，∴390E ∠=︒.∴30E ∠=︒.∴120AOB ∠=︒.∴1602ACB AOB ∠=∠=︒. （2）设O 的半径为r ，在Rt OAE ∆中，∵30E ∠=︒，∴2OE OA =.∴2OD DE OA +=.∴22r r +=，∴2r =.∴O 的半径是2.2、如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD BC =，AC 与BD 相交于点F ．BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ．（1）求证：CBA DAB ∆≅∆；（2）若BE BF =，求证：AC 平分DAB ∠．【解答】（1）证明：AB 是半圆O 的直径，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，在Rt CBA ∆与Rt DAB ∆中，BC AD BA AB =⎧⎨=⎩， Rt CBA Rt DAB(HL)∴∆≅∆； （2）解：BE BF =，由（1）知BC EF ⊥，E BFE ∴∠=∠， BE 是半圆O 所在圆的切线，90ABE ∴∠=︒，90∴∠+∠=︒，E BAE由（1）知90∠=︒，D∴∠+∠=︒，DAF AFD90∠=∠，AFD BFE∴∠=∠，AFD E∠=︒-∠，BAF E∴∠=︒-∠，9090DAF AFD∴∠=∠，DAF BAF∴平分DABAC∠．3、如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB 上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【解答】解：（1）连接OD．、∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵=，∴OE⊥AD，∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣．5、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．【解答】解：（1）连接OD，如图．∵ED∥OB，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2．在△DOB与△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠ODB=∠OCB，∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB=90°，∴∠ODB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2==，∵⊙O的半径为1，OC=1，∴BC=，tan∠A==，∴AC=4BC=4，∴AE=AC﹣CE=4﹣2．6、如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C=90°（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=∴AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===∴r=∴AF=5﹣2×=7、如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD ⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：连接OE 交AB 于H ，如图，∵E 为的中点，∴OE ⊥AB ，∵∠ABE=∠AFE ，∴tan ∠ABE=tan ∠AFE=，∴在Rt △BEH 中，tan ∠HBE==设EH=3x ，BH=4x ，∴BE=5x ，∵BG=BE=5x ，∴GH=x ，在Rt △EHG 中，x 2+（3x ）2=（3）2，解得x=3， ∴EH=9，BH=12，设⊙O 的半径为r ，则OH=r ﹣9，在Rt △OHB 中，（r ﹣9）2+122=r 2，解得r=， 即⊙O 的半径为．8、如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB ⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若4BD =，8BC =，圆的半径5OB =，求切线EC 的长．【解答】解：（1）连接OC，OC OB=，OBC OCB∴∠=∠，DE AB⊥，90OBC DFB∴∠+∠=︒，EF EC=，ECF EFC DFB∴∠=∠=∠，90OCB ECF∴∠+∠=︒，OC CE∴⊥，EC∴是O的切线；（2）AB是O的直径，90ACB∴∠=︒，5OB=，10AB∴=，6 AC∴==，cosBD BC ABCBF AB∠==，∴8410BF=，5BF∴=，3CF BC BF∴=-=，90ABC A∠+∠=︒，90ABC BFD∠+∠=︒，BFD A∴∠=∠，A BFD ECF EFC∴∠=∠=∠=∠，OA OC=，OCA A BFD ECF EFC∴∠=∠=∠=∠=∠，OAC ECF∴∆∆∽，∴EC CFOA AC=，53562 OA CFECAC⨯∴===．9、如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC ⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．10、已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵OD⊥AC，∴=，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴=，即+=+，∴=，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×=，则AC=2AF=；（2）如图1，连接BC，∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=，则DF=BC=、AC===，∴EF=FC=AC=，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D===；（3）如图2，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，则+2×=180，解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC=，∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos ∠AOF=， 则DF=OD ﹣OF=1﹣， ∴S △ACD =AC•DF=××（1﹣）=．11、如图，AB 为O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，切点为A ，且CAD ABD ∠=∠．（1）求证：AD CD =；（2）若4AB =，5BF =，求sin BDC ∠的值．【解答】解：（1）证明：CAD ABD ∠=∠，又ABD ACD ∠=∠，ACD CAD ∴∠=∠，AD CD ∴=；（2）AF 是O 的切线，90FAB ∴∠=︒， AB 是O 的直径，90ACB ADB ADF ∴∠=∠=∠=︒，90ABD BAD BAD FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABD FAD ∴∠=∠，ABD CAD ∠=∠，FAD EAD ∴∠=∠，AD AD =，()ADF ADE ASA ∴∆≅∆，AF AE ∴=，DF DE =，4AB =，5BF =，3AF ∴=，3AE AF ∴==，1122ABF S AB AF BF AD ∆==， ∴431255AB AF AD BF ⨯===，95DE ∴==， 725BE BF DE ∴=-=， AED BEC ∠=∠，90ADE BCE ∠=∠=︒，BEC AED ∴∆∆∽，∴BE BC AE AD =， ∴2825BE AD BC AE ==， ∴7sin 25BC BAC AB ∠==， BDC BAC ∠=∠，∴7sin 25BDC ∠=．12、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AĈ=CD ̂=DB ̂，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【解答】（1）证明：连接OD，̂=CD̂=DB̂，∵AC×180°＝60°，∴∠BOD=13̂=DB̂，∵CD∠BOD＝30°，∴∠EAD＝∠DAB=12∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，AB＝3，∴BD=12∴AD=√62−32=3√3．13、如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=43,求AD的长.【解析】（1）作OE⊙AB于点E∵⊙O切BC于点C∴OC⊙BC ⊙ACB=90°∵ AD⊙BD ∴⊙D=90°∴⊙ABD＋⊙BAD =90°⊙CBD＋⊙BOC=90°∵⊙BOC=⊙AOD ⊙AOD=⊙BAD∴⊙BOC=⊙BAD∴⊙ABD=⊙CBD在⊙OBC和⊙OBE中{∠OEA=∠OCB ∠ABD=∠CBD OB=OB∴△OBC⊙⊙OBE∴OE=OC ∴OE是⊙O的半径. ∵OE⊙AB ∴AB为⊙O的切线.（2）∵tan⊙ABC=ACBC =43，BC=6B⊙AC=8 ⊙AB=√62+82=10∵BE=BC=6 ⊙AE=4∵⊙AOE=⊙ABC ⊙tan⊙AOE=AEEO =43⊙EO=3∴AO=5 OC=3 ⊙BO=√62+32=3√5在△AOD和△BOC中{∠AOD=∠BOC∠ADOE=∠BCO∴△AOD⊙△BOC ∴AOBO =ADBC即3√5=AD6∴AD=2√514、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BC=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm．15、如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．【解答】解：（1）∵△OPE的内心为M，∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，而∠MOP=∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO=∠PMO=135°，所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，在优弧CO取点D，连DA，DO，∵∠CMO=135°，∴∠CDO=180°﹣135°=45°，∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，∴O′O=OC=×4=2，∴弧OMC的长==π（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，所以内心M所经过的路径长为2×π=2πcm．16、如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE==2；在Rt△ADE中，AD==2；（2）当DP=DF 时，如图2，点P 与A 重合，F 与C 重合，则AP=0；当DP=PF 时，如图4，∴∠CDP=∠PFD ，∵DE 是AC 的垂直平分线，∠DPF=∠DAC ，∴∠DPF=∠C ，∵∠PDF=∠CDP ，∴△PDF ∽△CDP ，∴∠DFP=∠DPC ，∴∠CDP=∠CPD ，∴CP=CD ，∴AP=AC ﹣CP=AC ﹣CD=AC ﹣AD=8﹣2；当PF=DF 时，如图3，∴∠FDP=∠FPD ，∵∠DPF=∠DAC=∠C ，∴△DAC ∽△PDC ，∴， ∴， ∴AP=5，即：当△DPF 是等腰三角形时，AP 的长为0或5或8﹣2．17、如图所示：O 与ABC 的边BC 相切于点C ，与AC 、AB 分别交于点D 、E ，//DE OB ．DC 是O 的直径．连接OE ，过C 作//CG OE 交O 于G ，连接DG 、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AE ED AC EF⋅=⋅；（3）若13,tan2EF ACE=∠=时，过A作//AN CE交O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．【详解】(1)⊙DE//OB，⊙⊙BOC=⊙EDC，⊙CG//OE，⊙⊙DEO=⊙BOE，又⊙⊙DEO=⊙EDC，⊙⊙DEO=⊙BOE，由题意得：EO=CO，BO=BO，⊙⊙BOE⊙⊙BOC(SAS),⊙⊙BEO=⊙BCO=90°,⊙AB是⊙O的切线．(2)如图所示DG与OE交点作为H点,⊙EO//GC,⊙⊙EHD=⊙DGC=90°,又由(1)所知⊙AEO=90°,⊙AE//DF,⊙⊙AEC⊙⊙DFC, ⊙AE DF AC DC=, 由圆周角定理可知⊙EDG=⊙ECG,⊙EOD=2⊙ECD,⊙DO//GC,⊙⊙EOD=⊙GCD=⊙GCE+⊙ECD,⊙⊙ECD=⊙GCE=⊙EDF,又⊙⊙FED=⊙DEC,⊙⊙FED⊙⊙DEC, ⊙DF EF DC ED=, ⊙AE EF AC ED=,即AE ED AC EF ⋅=⋅． (3)⊙13,tan 2EF ACE =∠=,与⊙ACE 相等角的tan 值都相同． ⊙ED=6,则EC=12,根据勾股定理可得CD ===⊙EO=DO=CO=由(2)可得12AE EF AC ED ==, 在Rt⊙AEO 中,可得222AO AE EO =+,即()222AC OC AE EO -=+,⊙((2222AE AE -=+,解得AE=则AC=连接ON,延长BO 交MN 于点I,根据垂径定理可知OI⊙MN,⊙AN//CE,⊙⊙CAN=⊙ACE ．在Rt⊙AIO 中,可得222AO AI IO =+,即(()2222OI OI =+, 解得OI=5,则AI=10,在Rt⊙OIN 中, 222ON IN IO =+,即(2225IN =+,解得IN=⊙AN=AI+IN=10+18、如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．⊙过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________；⊙若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F ⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．【详解】解：（1）⊙⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ，⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE=2×5=10；⊙如下图：过圆心O 作OH⊙直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，⊙直线n 的函数表达式为4y =+，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3-，⊙直线n 经过点E （0，4），点F （3-，0），在Rt⊙EOF 中，⊙tan⊙FEO=FO EO =34=3， ⊙⊙FEO=30°，⊙⊙EFO=60°，Rt⊙HOF 中，⊙sin⊙HFO=HO FO， ⊙HO= sin⊙HFO·FO=2，⊙PH=HO+OP=3，⊙PQ·PH=2×3=6，⊙⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，⊙点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，⊙连接NF 并延长，则直线NF⊙直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①② ⊙-⊙得：n -4=mk -k ，⊙又⊙直线NF⊙直线l ，⊙设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2（k≠0）, 将点()1,0N -与A （m ，n ）代入y=1k -x+b 2中， 2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤ ⊙-⊙得：-n=1k +m k，⊙ 联立方程⊙与方程⊙，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ⊙点A 的坐标为（22411k k k --+，2421k k -+）； 又⊙⊙F 关于直线l 的“特征数”是⊙F⊙NB·NA=即解得：，⊙[m -(-1)]2+(n -0)2)2， 即(m+1)2+n 2=10， 把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得k=-3或k=13； 当k=-3时，m=2，n=1， ⊙点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7；当k=13时，m=-2，n=3， ⊙点A 的坐标为（-2，3），把点A （-2，3）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=13x+113． ⊙直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113．。
专题11 函数中的同构问题(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数
专题11 函数中的同构问题近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如e x x +与x x ln +属于“跨阶函数”，而e ln x x +属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：()()e ,ln ,x f x x f x x x ==()()e ,ln x f x x f x x x =+=+，()()e ,ln x f x x a f x x x a =-+=-+等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；ln ln ln e e ,ln e ,e e,e xxxxx xx x x x x x+-====等.【例1】（2024届江苏省苏州市高三下学期三模）已知函数()ln 1,f x x ax a =++ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a £时，证明：()2e x f x x£．【解析】（1）函数()ln 1,R f x x ax a =++Î的定义域为()0,¥+，且()1f x a x'=+．当0a ³时，()()10,,0x f x a x"Î+¥=+>'恒成立，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增；当a<0时，令()110ax f x a x x+=+=='，解得1x a =-，当10,x a æöÎ-ç÷èø时，()()0,f x f x '>在区间10,a æö-ç÷èø上单调递增，当1,x a Î-+¥æöç÷èø时，()()0,f x f x '<在区间1,a ¥æö-+ç÷èø上单调递减．综上所述，当0a ³时，()f x 在区间()0,¥+上单调递增；当0a <时，()f x 在区间10,a æö-ç÷èø上单调递增，在区间1,a ¥æö-+ç÷èø上单调递减．（2）当2a £时，因为0x >，所以要证()2e x f x x£，只要证明2ln 21e xx x x++£即可，即要证2ln 21e x x x x ++£，等价于2ln e ln 21x x x x +³++（*）．令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，在区间(),0¥-上，()()0,g x g x '<单调递减；在区间()0,¥+上，()()0,g x g x '>单调递增，所以()()00e 010g x g ³=--=，所以e 1x x ³+（当且仅当0x =时等号成立），所以（*）成立，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立．又()2ln h x x x =+在()0,¥+上单调递增，()1210,120e eh h æö=-<=>ç÷èø，所以存在01,1x e æöÎç÷èø，使得002ln 0x x +=成立．综上所述，原不等式成立．【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第质量检测）已知函数()2ln f x x x ax =++在1x =处的切线l 和直线0x y +=垂直.(1)求实数a 的值；(2)若对任意的(]12,0,2x x Î，12x x ¹，都有12221212()()e ex x f x f x x x m --+>-成立（其中e 为自然对数的底数），求实数m 的取值范围.【解析】（1）由函数()2ln f x x x ax =++，可得1()2f x x a x=++'，可得()13f a '=+因为函数在1x =处的切线l 和直线0x y +=垂直，所以()11f '=，即31a +=，解得2a =-.（2）解：不妨设1202x x <<£，则12e e 0x x -<，因为对任意的(]12,0,2x x Î，12x x ¹，都有12221212()()x x f x f x x x m e e --+>-成立，可得()12221212()()e e x x f x f x x x m --+<-，即12221122()e ()e x x f x x m f x x m --<--，设()()2e xg x f x x m =--，则12()()g x g x <，故()g x 在(]0,2单调递增，从而有1()2e 0x g x m x =--³'，即1e 2x m x -æö£-ç÷èø在(]0,2上恒成立，设1()e 2x h x x -æö=-ç÷èø，则()min m h x £，因为2221121()e 2e e (02)xx x x x h x x x x x -----æöæö=--+×-=×<£ç÷ç÷èø'èø，令()0h x '>，即()()2212110x x x x --=+->，解得12x <£，令()0h x '<，即()()2212110x x x x --=+-<，解得01x <<，所以()h x 在()0,1单调递减，在(]1,2单调递增，又因为1(1)h e =-，故()h x 在(]0,2上最小值min 1()h x e=-，所以1m e £-，实数m 的取值范围是1,e æù-¥-çúèû.(二) e x x 型同构【例3】（2024届广西贵港市高考模拟预测）已知函数ln ln 1()e axx a f x a x++=-．(1)当1a =时，请判断()f x 的极值点的个数并说明理由；(2)若2()2f x a a ³-恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，1ln ()e xxf x x+=-，,()0x Î+¥，所以222ln e ln ()e x xx x x f x x x +'=+=，令2()ln xh x x e x =+，则21()(2)e x h x x x x '=++，当,()0x Î+¥时，()0h x '>，()h x \在(0,)+¥上单调递增，又1()ln 202h =<Q ，(1)e h =，()h x \存在唯一零点0x ，且01(,1)2x Î，当0(0,)x x Î时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当0(,)x x Î+¥时，()0f x '>，()f x 在()0,x ¥+单调递增．()f x \有一个极小值点0x ，无极大值点．（2）2ln ln 1()e 2axx a f x a a a x++=--Q ≥恒成立，2e [ln()1]2ax ax ax a x ax \-+-≥恒成立，2e [ln()1]2ax ax ax ax a x \-++≥恒成立．令t ax =，则(0,)t Î+¥，ln 12e 1tt a t+\£-+恒成立．设ln 1()e xx g x x+=-，由（1）可知()g x 的最小值为0()g x ．又02000()e ln 0xh x x x =+=﹡）设()e x m x x =，当0x >时，()(1)e 0x m x x '=+>，()m x \在(0,)+¥上单调递增，01(,1)2x ÎQ ，00x \>，0ln 0x ->，00000001ln 11()e 1x x x g x x x x +-\=-=-=，2112a \£+=，1a \£，又0a >，\a 的取值范围为(]0,1．(三)()ln x a x +型同构【例4】（2023届福建省宁德市高三高考前最后一卷）已知函数()()ln R xf x m m x=+Î．(1)讨论函数()f x 的零点的个数﹔(2)当0m =时，若对任意0x >，恒有()()()2e 112ax a f x x ++≥，求实数a 的取值范围．【解析】（1）令()ln 0,x f x m x =+=则ln xm x =-，记()ln x g x x =，则()21ln x g x x -'=，当e x >时，()0g x '<，此时()g x 在()e,+¥单调递减，当0e x <<时，()0g x '>，此时()g x 在()0,e 单调递增，故当e x =时，()g x 取极大值也是最大值()1e eg =，又()10g =，而当1x <时，()0g x >，故当01x <<时，()0g x <，当1x <时，()0g x > ，作出()g x 的图象如下：因此当1e m ->时，即1em <-，()g x m =-无交点，此时()f x 无零点，当1e m -=或0m -£时，即1m e=-或0m ³，()g x m =-有一个交点，此时()f x 有一个零点，当10e m <-<时，即10em -<<，()g x m =-有两个交点，此时()f x 有2个零点，综上可知：当1em <-时， ()f x 无零点，当1m e =-或0m ³()f x 有一个零点，当10e m -<<，()f x 有2个零点，（2）当0m =时，若对任意0x >，恒有()()()2e 112ax a f x x ++≥等价于：对任意0x >，恒有()()22e 1ln 1ax ax x x ++≥，令()()1ln F x x x =+，则不等式等价于()()2e axF F x ³，由于()1ln x F x x x+'=+，令()()221111ln ,x x m x x m x x x x x+-'=+=-=，当()()01,0,x m x m x '<<<单调递减，当()()1,0,x m x m x '>>单调递增，所以()()()120F x m x m '=³=>，故()F x 在()0,¥+单调递增，由()()2eaxF F x ³得2eaxx ³对任意0x >恒成立，两边取对数得ln 2ln 2a xax x x³Þ³对任意0x >恒成立，故()max 2a g x ³，所以122e e a a ³Þ³，故a 的范围为2e a ³。
2018版高考英语大一轮复习第3部分语法专项专练专题11特殊句式课件新人教版
专题十一
特殊句式
考生需要关注的重要特殊句式有：倒装句、强调句、省略 句、祈使句、反意疑问句和感叹句等。
项目(一) 倒装 [ 考点归纳] 1．全部倒装(把全部谓语提到主语之前) 倒装条件 以 here，there，out，in，up，down， away 等副词开头， 谓语动词多为 be，副词＋谓语＋主语 come，go 等，主语是名词 倒装方法
[ 名师点津 ]
以上强调句型是对除谓语以外的成分的强
调；若强调谓语，要在谓语动词前加 do/does/did，这种强调只 适用于一般现在时和一般过去时的肯定句。 The scientist did devote all his life to his research work. 这位科学家真正地把他的一生献给了研究工作。
so(such)． ..that 中的 so(such)位于 句首时 so/neither/nor 置于句首，意为
So＋adj./adv.＋系动词/助 动词/情态动词＋主语＋谓 语其他部分＋that 从句
“也”或“也不”表示前面所说 so/neither/nor＋系动词/助 的情况也适用于另一个人或事物 动词/情态动词＋主语 时
项目(二) 强调句 [ 考点归纳] 1．基本句型：It is/was＋被强调部分＋that/who＋其他。 It is only by listening to and understanding each other that problems between parents and children can be settled. 只有通过倾听和相互理解，孩子和父母之间的问题才可能 被解决。(强调方式状语)
2．一般疑问句形式：Is/Was it＋被强调部分＋that/who＋其 他？ Was it because Jack came late for school that Mr Smith got angry? 是因为杰克上课迟到让史密斯先生生气的吗？ 3．特殊疑问句形式：特殊疑问词＋is/was it＋that＋其他？ When was it that he made up his mind to take this course? 他是什么时候决定选修这门课程的？
八年级数学下册专题11 一次函数几何压轴训练(原卷版)
专题11 一次函数几何压轴训练1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D 作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．（1）求线段OC的长；（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．2．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C （2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE 交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，S△AOB＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的直线交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求m和b的值；（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．（1）求该一次函数的表达式；（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+8分别与x 轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y 轴上时，求点Q的坐标．10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标，点B坐标，直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐标；（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A 的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．（1）求直线BC的函数表达式；（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．14．（2022春•潮阳区期末）如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD 全等，求点F的坐标．16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．①求点C和点D的坐标；②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）．（1）A，C．（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接写出以下点的坐标：A（，0），B（0，）．（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说明理由．（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD＝S△AOB，求点H的坐标．20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+8分别交x轴，y 轴于点A，B，点A（8，0）．直线l2：经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y 轴于点C，D．（1）请直接写出k的值；（2）请求出直线l2的解析式；（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1，l2于点E，F；①当EF＝2EP时，求t的值．②连接BC，当∠OBC＝∠ABF时，求t的值．21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2＝kx交于P（2，1），且PO＝P A．（1）求点A的坐标；（2）求函数y1，y2的解析式；（3）点D为直线y1＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y2＝kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE 分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若≤2，直接写出m的取值范围．22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx+b 过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．（i）求k、b的值；（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在线段AO的延长线上，连接CD、PD，且，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于点F，若AF＝DE，求P点的坐标．23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．24．（2023春•台江区期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2022秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x ﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．27．（2022秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）直线l1的表达式为，点D的坐标为；（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C 的坐标．28．（2021秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2022春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；（3）当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2022春•湘潭县期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M 使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．（1）求B'点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的表达式；（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．。
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压轴大题专练(十一)
(建议用时：15分钟)
1．(2017·新乡、许昌、平顶山一模)阅读下列材料，完成下列各题。
材料一 1938年5月，毛泽东在《论持久战》中对持久战的一系列问题进行了系统完整论述。
毛泽东认为抗战作战形式应该是“基本的游击战，但不放松有条件下的运动战”。
毛泽东多次强调：“兵民乃胜利之本”，“战争的伟力之最深厚的根源，存在于民众之中”。
正是基于这样的认识，中共放手发动群众，深入敌后，开展游击战，不断地建立和巩固抗日根据地。
抗战爆发前后，国民党逐渐形成了持久消耗战略的思想，其基本内容是：“以空间换时间”和“积小胜为大胜”。
国民党制订了“游击战重于正规战”的作战方针，但在实战中又设想用顽强的阵地防守充分杀伤敌人，遏制日军的进攻势头。
1938年国民党提出“团
结海内外全民族一切力量”“训练全国壮丁，充实民众武力”。
但同年蒋介石又下令，对各地自发组织的游击队“一律勒令取消”，李宗仁说国民党把抗战“前途建立在欧战和世界大战之上”，因此在日本进攻面前被动应敌、苦撑待变。
——摘编自祝滨滨《抗战时期国共两党持久战略之比较》材料二 从1937年到1941年，中国的国际援助主要来自苏联，苏联三次向中国提供了总额为2.5亿美元的低息贷款，且全部为军火贷款，苏联援助的飞机、坦克、大炮等军火物资通过新疆和甘肃的西北国防大通道输送到内地抗战前线。
而同期美英法的援助总共才2.6亿美元，且均为非军事贷款，主要用于购买非军事品和稳定货币。
从1940年起，尤其是太平洋战争爆发后，美国成为援助中国的主要国家。
1941年3月，罗斯福总统将《租借法案》适用于中国，从1942年到战争结束，美国援助的枪炮弹药、飞机坦克及各种军用装备通过滇缅公路、中印公路和驼峰航线进入昆明、重庆等地，租借法援助总额达到13亿美元左右。
——摘编自徐中约《中国近代史》等
(1)根据材料一并结合所学知识，概括指出国共两党抗战如何体现了有异有同。
(2)根据材料二并结合所学知识，分析抗战期间国际对华援助的变化及国际援助对中国
抗战的影响。
(3)根据材料一和材料二并结合所学知识，请概括中国抗战的特点。
2．(2017·芜湖高三质检)阅读材料，完成下列要求。
材料 有学者在探究工业文明因素的发育时构建了一个基本的模式，即
该模式特别强调社会生产力发展、国家政策激励及制度创新等因素对工业化进程具有重大的推动作用。
请据此并结合所学知识，对近代中国的工业化进程进行探讨。
(说明：就结构图中的要素与工业化之间的关系进行论证；也可以对结构图中的要素进行补充，并加以论述。
要求观点明确、史论结合、史实准确、表达清晰)
参考答案与解析
压轴大题专练(十一)
1．(1)体现：从战略上看，两党都坚决抗战，认为抗战是持久战；在作战方针上，都认识到游击战术的重要性，但中共执行较好，而国民党在实践中更注重阵地防御战；都有
发动民众的意愿，中共真正依赖民众，实行全面抗战路线，国民党则更多依靠政府军队实行片面抗战路线，且有严重依赖英美(外援)的心理。
(2)变化：主要援助国从苏联变为美国；援助通道由西北转为西南；美国对华援助由非军事性援助转为军事援助。
影响：在道义上、精神上鼓舞了中国人民，坚定了抗战的决心和信心；缓解了中国抗战的物资困难，为中国抗战胜利奠定了一定的基础。
(3)特点：民族性，国共合作基础上建立抗日民族统一战线，实现全民族抗战。
双重性，从斗争性质看，既是反法西斯战争，又是民族解放战争；国共抗战中形成了两个战场、两条路线，两个战场互相配合，互相依存，中共在抗战中发挥了中流砥柱作用。
2．示例：社会生产力发展、国家政策激励及制度创新等因素对工业化进程具有重大的推动作用。
洋务运动时期，引进西方先进技术和设备，社会生产力空前发展，开启了近代中国的工业化进程；甲午战争后，清政府放宽对民间设厂的限制和20世纪初的“新政”等，使中国民族资本主义得到初步发展；辛亥革命后建立中华民国、推翻封建君主专制，促进了民族资本主义的进一步发展。
(说明：如能以其他因素加以论述，或者从社会生产力受阻、政策失误、旧制度的约束等角度来论述其对工业化进程的不利影响，且言之成理亦可)。