高等数学教案ch_2_导数与微分.
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
高中数学《导数与微分》教案
高中数学《导数与微分》教案第一章引言1.1 课程背景与目标在高中数学课程中，学习导数与微分是非常重要的内容之一。
通过本章的学习，学生将掌握导数的定义、求导规则以及应用导数解决实际问题的方法，为以后学习更深入的微积分内容打下坚实基础。
1.2 教学目标- 理解导数的几何与物理意义；- 掌握一元函数的导数定义；- 掌握常见函数的导数公式；- 理解导数的运算法则；- 能够利用导数求解实际问题。
第二章导数的引入2.1 导数的几何意义导数描述的是一个函数在某一点上的变化率。
引导学生通过直观的图像理解导数的几何意义，并通过练习题巩固理解。
2.2 导数的物理意义导数在物理中的应用非常广泛，例如速度、加速度等概念，都与导数有着紧密的关联。
通过一些生动的物理例子，帮助学生理解导数的物理意义。
第三章导数的定义3.1 函数的变化率介绍函数的变化率的概念，并引入导数的定义。
通过一些实例，帮助学生掌握导数的定义及其计算方法。
3.2 导数的基本性质探讨导数的基本性质，如导数恒为常数的函数、求导法则等内容，帮助学生建立导数的基本概念与技巧。
第四章常见函数的导数公式4.1 常数函数的导数介绍常数函数的导数及其求导方法，并通过练习巩固学生对此的掌握。
4.2 幂函数的导数探讨幂函数的导数计算方法，并引导学生通过求导计算出各种幂函数的导数。
4.3 指数函数的导数引入指数函数的导数定义，并通过练习题帮助学生掌握指数函数的导数规律。
4.4 对数函数的导数介绍对数函数的导数计算方法，并通过实例演示对数函数的导数求解过程。
第五章导数的运算法则5.1 导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，即导数的和、差、积、商的计算方法，并通过练习题加深学生对运算法则的理解。
5.2 复合函数的导数探讨复合函数的导数计算方法，即复合函数的链式法则，并通过实例演示链式法则的应用过程。
第六章应用导数解实际问题6.1 极值问题介绍如何通过导数求解函数的极大值和极小值，并引导学生通过例题巩固应用能力。
高中数学教案：导数与微分的概念与计算
高中数学教案：导数与微分的概念与计算一、导数与微分的概念与计算导数与微分是高中数学中较为重要的概念与计算方法，它们在微积分领域具有重要的地位和应用。
理解和掌握导数与微分的概念和计算方法是学习高等数学和应用数学的基础，对于提高数学分析和问题解决能力具有重要意义。
本文将围绕导数与微分的概念和计算方法展开说明和探讨。
二、导数的概念与计算1. 导数的定义导数是函数在某一点上的瞬时变化率，也是函数在该点上的切线斜率。
用数学符号表示，对于函数y=f(x)，其导数记为f'(x)或dy/dx。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h其中，lim表示函数的极限，h表示自变量x的增量。
2. 导数的计算方法导数的计算可以利用导数的定义公式进行推导和计算，也可以利用一些常见函数的导数规律进行求解。
常见的导数计算方法有以下几种：(1) 常数函数的导数计算：对于常数函数C，其导数为0，即f'(x) = 0。
(2) 幂函数的导数计算：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数计算公式为f'(x) = nx^(n-1)。
(3) 指数函数的导数计算：= a^x * ln(a)。
(4) 对数函数的导数计算：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为正常量且不等于1，其导数计算公式为f'(x) = 1/(x * ln(a))。
(5) 三角函数的导数计算：对于三角函数y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)，其导数计算公式分别为f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec^2(x)。
三、微分的概念与计算1. 微分的定义微分是导数的一种形式，是函数变化的近似量。
形式上，我们可以将微分表示为dy = f'(x) * dx，其中dy表示函数f(x)的微分量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
导数与微分教案设计
导数与微分教案设计引言：导数与微分是高等数学中重要的概念之一，也是代数分析学的核心内容。
于此而言，作为任何一位数学老师，他们需要充分了解导数与微分的基本概念和相关知识，并且要掌握如何设计一套有效的教学方案。
因为只有这样，才能让学生在学习中更好的理解该主题并取得更加优秀的学习成绩。
本文将介绍关于导数与微分教案设计的相关内容。
一、基础知识概述1、导数的定义珂学一体版的定义为：设 y=f(x) 在点 x0 处有定义，则当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx 时，相应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果比值Δy/Δx 在Δx 趋于0 的意义下有极限，那么这个极限就是函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数，记为f′(x0)，即：f′(x0) =lim f(x0+Δx)-f(x0)/Δx（Δx→0）。
2、微分的定义微积分的定义为：设函数 y=f(x) 在点 x0 处具有导数f′(x0)，则当自变量 x 发生Δx 的变化时，相应的函数值的增量Δy 可以近似的用一次函数 y=f(x)的导数f′(x0)与自变量 x 的增量Δx之积表示，即：Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)。
3、微分与导数的区别微分与导数是密不可分的同义词。
微分是指在曲线上某一点出以解析形式给出的一次逼近公式，而导数则可看作切线斜率的代数值，它们之间的关系是极其密切的。
微分是导数形式化的表示，导数是微分形式的计算法则，它们的本质是相同的，但在具体的问题中应根据需要选择使用微分还是导数。
二、教学目标及重点1、教学目标：通过本次教学，学生应该能够：1）掌握导数和微分的定义，以及它们之间的关系。
2）掌握求导和求微分的方法，并能熟练运用到具体问题的解决中。
3）理解导数和微分在实际生活中的广泛应用，如：优化问题、极值问题等。
2、教学重点：1）导数和微分的定义及其区别。
2）导数的求法及其应用。
3）微分的求法及其应用。
三、教学方法1、导入教学内容导入阶段可以借助导数和微分在实际生活中的应用，引导学生认识到本次教学的重要性，并产生学习的兴趣和积极性。
大学数学导数与微分教案
#### 教学目标1. 知识目标：- 理解导数的定义及其几何意义。
- 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
- 熟悉基本初等函数的导数公式。
- 了解微分的概念和微分在近似计算中的应用。
- 掌握高阶导数的概念及其求法。
- 理解隐函数和由参数方程确定的函数的导数求法。
- 了解相关变化率的概念。
2. 能力目标：- 能够运用导数和微分解决实际问题。
- 提高逻辑推理能力和抽象思维能力。
3. 情感目标：- 培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。
- 增强学生的团队合作意识和沟通能力。
#### 教学重点1. 导数的概念及其几何意义。
2. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
3. 基本初等函数的导数公式。
4. 高阶导数的概念及其求法。
5. 隐函数和由参数方程确定的函数的导数求法。
#### 教学难点1. 复合函数的求导法则。
2. 分段函数在分段点处的导数。
3. 隐函数的导数。
4. 由参数方程所确定的函数的二阶导数。
#### 教学过程##### 第一课时：导数的概念及其几何意义1. 导入：- 通过实际问题引入导数的概念，如速度、加速度等。
2. 新课讲解：- 介绍导数的定义：函数在某一点处的导数是函数在该点处切线的斜率。
- 介绍导数的几何意义：函数在某一点处的导数表示函数图像在该点切线的斜率。
3. 例题分析：- 讲解典型例题，如分段函数的导数求法。
4. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
##### 第二课时：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则1. 新课讲解：- 介绍导数的四则运算法则。
- 介绍复合函数的求导法则。
2. 例题分析：- 讲解典型例题，如复合函数的导数求法。
3. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
##### 第三课时：基本初等函数的导数公式1. 新课讲解：- 介绍基本初等函数的导数公式。
2. 例题分析：- 讲解典型例题，如基本初等函数的导数求法。
3. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
高等数学导数与微分教案
高等数学导数与微分教案一、页高等数学导数与微分教案二、目录1.页2.目录3.摘要4.背景和现状分析4.1数学教育的重要性4.2导数与微分的在现代数学中的地位4.3当前教育方式与挑战5.项目目标5.1教学内容的深化与拓展5.2教学方法的创新与改进5.3学生能力的提升与评估6.教学内容安排7.教学方法与策略8.教学评估与反馈9.教学资源与材料三、摘要四、背景和现状分析4.1数学教育的重要性在当今科技迅速发展的时代，数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和创新能力具有不可替代的作用。
高等数学作为大学教育的重要组成部分，其深度和广度都对学生未来的学术和职业生涯产生深远影响。
4.2导数与微分的在现代数学中的地位导数与微分是高等数学中的核心概念，它们不仅是后续学习积分学、微分方程等高级数学课程的基础，而且在物理学、工程学、经济学等多个领域有着广泛的应用。
掌握导数与微分的基本原理和方法对于学生理解和解决实际问题至关重要。
4.3当前教育方式与挑战目前，高等数学的教学多采用传统的讲授方式，这种方式往往导致学生被动接受知识，缺乏主动探索和思考的机会。
由于导数与微分概念较为抽象，学生普遍感到难以理解和应用，这对教师的教学方法和学生的接受能力都提出了更高的要求。
五、项目目标5.1教学内容的深化与拓展本教案的目标之一是对导数与微分的教学内容进行深化与拓展。
除了涵盖基本概念、性质和计算方法外，还将引入一些高级主题和应用实例，以增强学生对导数与微分理解的深度和广度。
5.2教学方法的创新与改进教案将探索和实施一系列创新的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习、问题导向学习等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和自主学习能力。
5.3学生能力的提升与评估教案将注重学生能力的培养和评估，通过设计多样化的练习题和实际应用案例，帮助学生将理论知识转化为解决实际问题的能力。
同时，教案将包含定期的学习评估和反馈机制，以确保教学目标的达成。
导数与微分教学案
导数与微分教学案一、引言数学是一门基础学科，它涉及到许多重要的概念和工具。
其中，导数与微分是数学中的重要内容之一，也是高中数学课程中的重要知识点。
导数与微分的学习不仅能够提高学生的逻辑思维和问题解决能力，还具有一定的实际应用价值。
为此，本教学案旨在帮助学生理解导数与微分的概念、性质和应用，培养其数学思维和解决实际问题的能力。
二、导数与微分的基本概念1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
具体而言，设函数$y=f(x)$，若极限$$\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$存在，则称该极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$，读作“f的x导数”或“f的导数”。
2. 导数的几何意义导数反映了函数在某一点处的切线斜率。
对于函数$y=f(x)$，其导数$f'(x)$表示了函数曲线在点$(x,f(x))$处的切线的斜率。
3. 微分的定义微分是函数变化的一种近似表示。
设函数$y=f(x)$在点$x$处有导数$f'(x)$，则函数在该点附近的变化量可以近似表示为$$\Delta{y}=f'(x)\Delta{x}$$这里$\Delta{x}$是$x$的增量，$\Delta{y}$是相应的$y$的增量。
三、导数与微分的性质1. 基本导数公式导数具有一些基本的运算性质，这些性质包括导数的四则运算、常数的导数、幂函数的导数等。
在解决实际问题时，运用这些基本导数公式可以简化计算过程，提高效率。
2. 连续性与可导性的关系函数在某一点处可导，则在该点连续；但函数在某一点处连续，并不一定可导。
这一性质为我们判断函数可导性提供了依据。
四、导数与微分的应用1. 极值问题导数与微分可以用来解决极值问题。
对于一个连续函数，极值点一定是导数为零或不存在的点。
2. 函数的图像与性态导数与微分可以用来分析函数的图像与性态。
通过研究函数的增减性、凸凹性、拐点等性质，我们可以对函数的行为有更深入的了解。
大学导数与微分的教案
一、教学目标1. 理解导数和微分的概念，掌握导数和微分的计算方法。
2. 掌握导数的几何意义和物理意义，能够运用导数解决实际问题。
3. 熟悉导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
4. 了解高阶导数、隐函数导数、参数方程导数等概念，并能求解相关问题。
二、教学内容1. 导数的定义及性质2. 导数的计算方法3. 导数的几何意义和物理意义4. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则5. 基本初等函数的导数公式6. 高阶导数、隐函数导数、参数方程导数三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的定义及性质、导数的计算方法、导数的几何意义和物理意义、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。
2. 教学难点：导数的计算方法、复合函数的求导法则、隐函数导数、参数方程导数。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数与微分的概念、性质、计算方法等理论知识。
2. 案例分析法：通过实例分析，帮助学生理解和掌握导数与微分的应用。
3. 练习法：布置课后习题，巩固所学知识，提高学生的计算能力。
五、教学过程（一）导入1. 引入实际问题，例如：物体的运动速度、物体的位移等，引导学生思考如何描述这些物理量的变化。
2. 提出导数的概念，解释导数在物理学中的应用。
（二）讲解与演示1. 讲解导数的定义及性质，展示导数的计算方法。
2. 演示导数的几何意义和物理意义，通过实例说明导数在描述物体运动中的应用。
3. 讲解导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，展示基本初等函数的导数公式。
4. 讲解高阶导数、隐函数导数、参数方程导数的概念，并通过实例进行演示。
（三）案例分析1. 选择实际问题，如物体的运动速度、物体的位移等，引导学生运用导数与微分的知识进行求解。
2. 分析案例，讲解解题思路和方法。
（四）练习1. 布置课后习题，巩固所学知识。
2. 对习题进行讲解，帮助学生掌握解题技巧。
（五）总结与反思1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
高中数学教案函数的导数与微分
高中数学教案函数的导数与微分高中数学教案：函数的导数与微分导言：函数的导数与微分是高中数学中重要的概念和技巧。
本教案将从理论知识的讲解和具体例题的实践中，帮助学生理解函数导数与微分的概念、性质和运算法则，培养学生分析和解决实际问题的能力。
一、导数的引入在导入导数概念之前，首先复习函数的定义与性质，并通过几个简单的例题引出导数的概念。
二、导数的定义1. 函数在一点的导数定义通过引出导数的概念，介绍导数的几何意义和物理背景，让学生明确导数的定义及其重要性。
2. 导数的计算与性质介绍常见函数的导数计算公式，如幂函数、指数函数、对数函数等，并说明导数的基本运算法则，如函数乘法法则、链式法则等。
三、微分的概念与性质1. 微分的定义通过导数的概念，引入微分的概念，解释微分与导数的关系，并给出微分的定义。
2. 微分的性质介绍微分的性质，如微分与导数的关系、微分与函数图象的关系等，并通过例题帮助学生理解微分的意义和计算方法。
四、导数与函数图象的几何应用1. 导数与函数的单调性讲解导数与函数的单调性的关系，通过例题让学生熟练运用导数判定函数的单调性。
2. 导数与函数的凹凸性解释导数与函数的凹凸性的关系，通过例题帮助学生掌握导数判断函数的凹凸区间。
五、导数的物理应用1. 速度与位移函数的关系介绍位移函数与速度函数的关系，通过导数的概念解释速度与位移函数之间的关系，并给出实际问题的例题，让学生应用导数解决实际问题。
2. 加速度与速度函数的关系解释速度函数与加速度函数的关系，通过导数的概念解释加速度与速度函数之间的关系，并给出实际问题的例题，让学生应用导数解决实际问题。
六、总结与反思通过本节课的学习，学生对函数的导数与微分有了初步的了解和应用能力。
让学生总结本节课的重点和难点，并提出自己的问题与意见。
七、作业布置作业，要求学生练习函数的导数与微分的计算和应用，以巩固所学知识。
八、教学反馈与改进结合学生的作业与反馈，进行教学过程的反思，及时改进教学方法和内容。
高中数学教案导数和微积分
高中数学教案导数和微积分高中数学教案：导数和微积分一、引言数学是一门重要的学科，它不仅提供了解决实际问题的工具，还培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
在高中数学的学习中，导数和微积分是重要的内容。
本教案将介绍导数和微积分的基本概念、性质和应用。
二、导数的基本概念1. 导数的概念：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数的重要属性之一。
2. 导数的计算：通过极限的方法或导数的定义，可以计算函数的导数。
3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，例如导数的和差规则、导数的乘法规则、导数的链式法则等。
三、导数的应用1. 切线与法线：导数可以用来确定函数某一点的切线和法线的斜率。
2. 函数的单调性与极值：利用导数的正负性，可以研究函数的单调性和极值问题。
3. 函数的图像与导数：导数可以提供函数在各点处的斜率信息，从而帮助我们绘制函数的图像。
4. 应用于速度与加速度：导数可以用来描述运动物体的速度与加速度。
四、微积分的基本概念1. 不定积分：不定积分是求导运算的逆运算，可以用来确定函数的原函数。
2. 定积分：定积分可以求解曲线下的面积，是微积分的重要应用之一。
3. 定积分的计算：通过定积分的性质、换元积分法、分部积分法等方法，可以计算函数的定积分。
4. 微分方程：微分方程是描述自然界中许多变化规律的重要工具，它涉及到微积分的运算与应用。
五、微积分的应用1. 曲线的长度与曲率：通过定积分的方法，可以计算曲线的长度和曲率。
2. 物理学应用：微积分在物理学中有广泛的应用，例如运动学、力学、热学等领域。
3. 经济学应用：微积分也在经济学中有重要的应用，例如边际效应、弹性分析等。
六、教学活动设计1. 导数的计算练习：设计一些导数计算的练习题，帮助学生掌握导数的计算方法。
2. 函数图像的绘制：通过绘制函数图像，让学生理解导数在图像上的几何意义。
3. 模型建立与求解：设计一些实际问题，引导学生建立数学模型，并利用导数和微积分方法进行求解。
第二章导数与微分教案.
由学生回答可知自由落体运动的位移公式为
s s( t) 1 gt 2 ，由于物体的位移 s 是 2
随时间 t 连续变化的，因此在很短的时间间隔
t 内（从 t 0 到 t0 t ）内，速度变化不大，
可以用平均速度 v
s s( t 0 t
t) s( t 0 ) 作为 t 0 时的瞬时速度 v ( t 0 ) 的近似值，即 t
瞬时速度 v(t 0 ) ，即
v(t 0 ) = lim (gt 0
1 g
t 2 ) = gt 0
t0
2
总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得：
v(t 0 )
s lim t0 t
lim s(t0 t0
t) s(t0 ) t
引例 2 平面曲线的切线斜率
提问： 1．什么叫做圆的切线？ 2．一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论）
知识点：
第二章 导数与微分
导数的定义 导数的概念 导数的几何意义
函数可导与连续的关系
导数的运算
导数的基本公式 导数的四则运算法则 复合函数的导数 隐函数的导数 取对数法求导 高阶导数
微分的概念及其几何意 义 微分
微分的基本公式与运算 法则
教学目的要求：
（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；
线 PT 的斜率 tan
y lim x0 x
lim f (x 0
x0
x) f (x 0) x
综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用 相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。 二、导数的定义
1．导数的定义。
导数与微分教案
（首先复习一下初等函数的求导公式）
一、高阶导数
二阶导数；记法。
n阶导数；记法。
二、举例
例① ，求
例② ，求
例③证明函数 满足关系式
例④求指数函数 的n阶导数
例⑤求 的n阶导数（ ）
例⑥求 的n阶导数
例⑦ 的n阶导数
三、莱布尼茨公式
（只做作业中的一道题）
…………………………………………………………………………………42分钟
求 的导数。
二、由参数方程所确定的函数的导数
1．参数方程：
如抛射体的运动轨迹 ，其中v1为水平方向初速度，v2为垂直方向初速度。
2．由参数方程所确定的函数的导数
分析：由 可得
3．二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求一次导）
例7已等函数的微分公式与微分运算法则
（书上P115）
六、举例
例1求函数 在x=1和x=3处的微分。
例2求函数 当 的微分。
例3已知函数 ，求 。
例4已知函数 ，求 。
例5在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
（1）d( )=xdx
（1）d( )=coswxdx
七、微分在近似计算中的应用
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率
一、隐函数的导数
1．显函数：如
2．隐函数：如
3．隐函数的显化：如
4．隐函数的导数：举例
例7求由 所确定的隐函数的导数。
例8求由 所确定的隐函数在 处的导数。
例9求椭圆 在点（2， ）处的切线方程。
例10求由 所确定的隐函数的二阶导数导数。
例11求 的导数。
函数增量。
大学导数与微积分教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的概念和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法，包括基本导数公式和求导法则。
3. 学会运用导数解决实际问题，如求函数的单调性、极值等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 导数的概念和几何意义。
2. 基本导数公式和求导法则。
教学难点：1. 导数的概念理解。
2. 复杂函数的求导。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 教学辅助工具（如白板、黑板等）。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初等函数的概念和性质。
2. 提出问题：如何研究函数在某一点的局部性质？二、导数的概念和几何意义1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点附近的瞬时变化率。
2. 利用极限的思想推导导数的定义公式。
3. 结合图形，解释导数的几何意义：导数表示函数在某一点切线的斜率。
三、基本导数公式1. 介绍基本导数公式：常数的导数为0，幂函数的导数为n次幂减1的幂函数，指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数，对数函数的导数为对数的导数乘以原函数的倒数。
2. 举例说明如何运用基本导数公式进行求导。
四、求导法则1. 介绍求导法则：和差法则、乘法法则、除法法则、链式法则。
2. 通过例题讲解求导法则的应用。
五、课堂小结1. 总结本节课所学内容：导数的概念、几何意义、基本导数公式和求导法则。
2. 强调导数在解决实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容：导数的概念、几何意义、基本导数公式和求导法则。
2. 提出问题：如何运用导数解决实际问题？二、运用导数解决实际问题1. 介绍函数的单调性：函数在某个区间上单调递增或递减。
2. 介绍函数的极值：函数在某一点取得局部最大值或最小值。
3. 通过例题讲解如何运用导数判断函数的单调性和极值。
三、复合函数的求导1. 介绍复合函数的概念：由两个或多个函数复合而成的函数。
2. 介绍链式法则：复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
导数及微积分教案
导数及微积分教案第一章：导数的基本概念1.1 引言引入导数的概念，解释导数在数学和物理中的重要性。
举例说明导数在实际问题中的应用。
1.2 函数的极限复习函数的极限概念，包括左极限和右极限。
解释极限的概念，并强调极限与导数的关系。
1.3 导数的定义引入导数的定义，解释导数的几何意义。
介绍导数的计算方法，包括导数的四则运算。
1.4 导数的应用讲解导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、斜率等。
举例说明导数在函数图像上的应用，如切线方程的求解。
第二章：导数的计算规则2.1 引言引入导数的计算规则，强调规则在导数计算中的重要性。
2.2 基本导数规则介绍基本导数规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
举例说明基本导数规则的应用。
2.3 和差函数的导数讲解和差函数的导数规则，包括两个函数的和、差、积、商的导数。
举例说明和差函数导数规则的应用。
2.4 链式法则引入链式法则，解释链式法则的概念和应用。
讲解链式法则的推导过程，并举例说明其应用。
第三章：高阶导数3.1 引言引入高阶导数的概念，强调高阶导数在微积分中的重要性。
3.2 一阶导数的复习复习一阶导数的定义和计算方法。
3.3 二阶导数讲解二阶导数的定义和计算方法。
举例说明二阶导数在实际问题中的应用。
3.4 高阶导数的应用讲解高阶导数在实际问题中的应用，如加速度、曲率等。
举例说明高阶导数的应用。
第四章：微分4.1 引言引入微分的概念，解释微分在微积分中的重要性。
4.2 微分的定义讲解微分的定义，解释微分的意义。
介绍微分的计算方法，包括微分的四则运算。
4.3 微分的应用讲解微分在实际问题中的应用，如近似计算、切线方程的求解等。
举例说明微分的应用。
第五章：微分中值定理及应用5.1 引言引入微分中值定理的概念，强调微分中值定理在微积分中的重要性。
5.2 罗尔定理讲解罗尔定理的定义和证明。
举例说明罗尔定理的应用。
5.3 拉格朗日中值定理讲解拉格朗日中值定理的定义和证明。
高中数学人教版《导数与微分》教案2023版
高中数学人教版《导数与微分》教案2023版第一章：引言在高中数学学科中，微积分是一个非常重要的分支，而导数与微分又是微积分的基础。
导数与微分的理论与应用可以帮助学生更好地理解数学，提高解决实际问题的能力。
本教案旨在系统地介绍《导数与微分》这一教材的教学内容和教学方法，帮助学生全面掌握导数与微分的概念、性质以及应用。
第二章：导数的概念与性质2.1 导数的概念2.1.1 函数的变化率在讲解导数之前，我们首先需要引入函数的变化率的概念。
函数的变化率描述了函数在某一点的斜率，可以用来衡量函数的增减趋势。
2.1.2 导数的定义导数是描述函数变化率的重要概念，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义使用极限的概念，通过求取函数在某一点的极限来得出导数。
2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义可以用来解释函数在某一点的切线斜率，即函数在该点附近的局部变化情况。
2.2 导数的性质2.2.1 基本性质导数具有加法、减法、乘法和除法的基本运算性质，可以通过这些性质简化对导数的计算。
2.2.2 导数与函数的关系函数的导数可以用来判断函数在某一点的增减性，并推断函数在整个定义域上的增减情况。
第三章：微分的概念与性质3.1 微分的定义微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点的变化近似量。
微分的定义使用导数和自变量的增量表示，可以用来计算函数在某一点的微小变化。
3.2 微分的性质3.2.1 微分与函数的关系微分可以用来描述函数在某一点上的线性近似，通过微分可以推断函数在附近的取值情况。
3.2.2 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它揭示了函数在某一区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
第四章：导数的计算方法4.1 基本函数的导数常见的基本函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以通过求导法则来计算这些函数的导数。
4.2 导数的四则运算导数具有加法、减法、乘法和除法的运算法则，我们可以根据这些法则简化复杂函数的导数求解过程。
二导数与微分教学设计
1.普通教室（ ）2. 多媒体教室（√）3.实验室（ ）
评价方式
过程性考核+学生作业
作业
习题2.6
课程名称
高等数学
课程学时
90
教学单元名称
第二章习题课
单元学时
2
学习内容
1.导数概念；
2.函数的和差积商的求导法则；
3.复合函数求导法则；
4.反函数和隐函数的导数；
5.高阶导数由参数方程所确定的函数的导数；
课程学时
90
教学单元名称
2.3复合函数的求导法则
单元学时
1
学习内容
复合函数的求导法则
学习目标
熟练掌握复合函数的求导法则，能熟练运用此法则来求导数．
重点难点
重点:复合函数的求导法则
难点:复合函数的求导法则
教学过程
要点
对复合函数求导，注意分析函数结构，“由表及里，逐层求导”，教学中可采取两步走：第一步，写出中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算所得到的关系式，再应用法则求导．第二步，中间变量在每一步求导过程中体现，由表及里，逐层求导．
重点难点
重点:1.导数的定义；
2.导数的几何意义.
难点:导数的定义.
教学过程
要点
1.通过物理、几何问题的案例引出导数的定义；
2.在导数的几何意义中，如果曲线在某点处有竖直的切线，该点处的导数是不存在的.
教学方法
讲授法、案例教学、启发式、课堂演练、问题驱动
教学组织
形式
班级教学为主，分组教学与个别教学为辅
《高等数学》教学设计
第二章 导数与微分
课程名称
高等数学
课程学时
高等数学教案ch2导数与微分
第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1 导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t 质点的坐标为s s 是t 的函数s f (t)求动点在时刻t 0的速度考虑比值000)()(t t t f t f t t s s 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t t 00取比值0)()(t tt f t f 的极限如果这个极限存在设为v 即0)()(l i mt tt f t f vt t这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M 在点M 外另取C 上一点N 作割线MN 当点N 沿曲线C 趋于点M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C 就是函数y f (x)的图形现在要确定曲线在点M(x 0, y 0)(y 0f(x 0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M 外另取C 上一点N(x, y)于是割线MN 的斜率为000)()(t a nx xx f x f x xy y 其中为割线MN 的倾角当点N 沿曲线C 趋于点M 时x x 0如果当x0时上式的极限存在设为k即0)()(limx xx f x f kx x存在则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里k tan 其中是切线MT 的倾角于是通过点M(x 0, f(x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限0)()(limx xx f x f x x令x x x 0则y f (x 0x)f (x 0) f(x)f(x 0)xx 0相当于x 0于是00)()(limx xx f x f x x成为xy xl i m或xx f x x f x)()(lim00定义设函数y f(x)在点x 0的某个邻域内有定义当自变量x 在x 0处取得增量x(点x 0x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x 0x)f (x 0)如果y 与x 之比当x0时的极限存在则称函数y f (x)在点x 0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点x 0处的导数记为0|x xy 即xx f x x f xyx f xx)()(limlim)(00也可记为0|x xy 0x xdxdy或)(x xdxx df 函数f(x)在点x 0处可导有时也说成f (x)在点x 0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有hx f h x f x f h)()(lim)(000000)()(lim)(0x xx f x f x f x x在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限xx f x x f x)()(lim00不存在就说函数y f(x )在点x 0处不可导如果不可导的原因是由于xx f x x f x)()(lim00也往往说函数y f (x)在点x 0处的导数为无穷大如果函数y f (x)在开区间I 内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I 内可导这时对于任一x I都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f (x)的导函数记作y)(x f dxdy 或dxx df )(导函数的定义式xx f x xf yx)()(limhx f h x f h)()(limf (x 0)与f (x)之间的关系函数f(x)在点x 0处的导数f (x)就是导函数 f (x)在点x x 0处的函数值即)()(0x xx f x f 导函数 f (x)简称导数而f (x 0)是f (x)在x 0处的导数或导数f (x)在x 0处的值左右导数所列极限存在则定义f (x)在0x 的左导数hx f h x f x f h)()(lim)(0000f (x)在0x 的右导数hx f h x f x f h)()(lim)(000如果极限hx f h x f h)()(lim000存在则称此极限值为函数在x 0的左导数如果极限hx f h x f h)()(lim00存在则称此极限值为函数在x 0的右导数导数与左右导数的关系Ax f )(0Ax f x f )()(002．求导数举例例1．求函数f (x)C （C 为常数）的导数解hx f h xf x f h)()(lim)(0limhC Ch即(C ) 0例2求xx f 1)(的导数解hxh xhx f h x f x f hh11lim )()(lim)(021)(1lim)(limx xh xxh xh h hh例3求x x f )(的导数解hxh xhx f h xf x f hhlim)()(lim)(xxhxx h x h hhh211lim)(lim例2．求函数f (x)x n(n 为正整数)在x a 处的导数解f (a)axa f x f ax)()(limax axnnaxlimaxlim (xn 1ax n 2an 1)nan 1把以上结果中的a 换成x 得f (x)nxn 1即(x n )nxn 1(C)021)1(x x xx 21)(1)(xx 更一般地有(x )x 1其中为常数例3．求函数f (x)sin x 的导数解f (x)hx f h x f h)()(limhxh x hsin )sin(lim2sin)2cos(21limh h xhhxh h h xhcos 22sin )2cos(lim 0即(sin x)cos x用类似的方法可求得(cos x )sin x例4．求函数f (x) a x(a>0a 1) 的导数解f (x)hx f h xf h )()(limha a xhxhlimh a a h h x1lim 0ta h 1令)1(log limt ta a tx aa ea x axln log1特别地有(e x)ex例5．求函数f (x)log a x (a>0a 1) 的导数解hxh xhx f h xf x f aa hhlog)(log lim)()(lim)(0hxa ha ha hxh x xh hxxxhx h)1(log lim 1)1(log lim1)(log 1lima x e x a ln 1log 1解h xh xx f a a hlog )(log lim)(0)1(log 1limxh ha hhx a h xh x )1(log lim 10ax e xa ln 1log 1即a x x a ln 1)(log 特殊地xx 1)(l n ax x aln 1)(logxx 1)(ln 3．单侧导数极限h x f h xf h)()(lim存在的充分必要条件是hx f h x f h)()(lim及hx f h xf h)()(lim都存在且相等f (x)在0x 处的左导数hx f h x f x f h)()(lim)(00f (x)在0x 处的右导数hx f h x f x f h)()(lim)(00导数与左右导数的关系函数f(x)在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x 0) 和右导数f (x 0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数f (a) 和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间[a, b]上可导例6．求函数f (x)x|在x 0处的导数解1||lim)0()0(lim)0(0h h hf h f f hh 1||lim)0()0(lim)0(0hh hf h f f hh因为f (0) f (0)所以函数f(x)|x|在x 0处不可导四、导数的几何意义函数y f (x)在点x 0处的导数f (x 0)在几何上表示曲线y f (x)在点M(x 0, f(x 0))处的切线的斜率即f (x 0)tan其中是切线的倾角如果y f (x)在点x 0处的导数为无穷大这时曲线y f (x)的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置即曲线y f (x)在点M(x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0由直线的点斜式方程可知曲线y f(x)在点M(x 0, y 0)处的切线方程为y y 0f (x 0)(x x 0)过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点M 处的法线如果f (x 0)0法线的斜率为)(10x f 从而法线方程为)()(1000x xx f y y 例8求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解21xy所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121xx k 41112k k 所求切线方程为)21(42xy 即4x y 40所求法线方程为)21(412xy 即2x 8y 150例9 求曲线x x y 的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为212302323)()(0x x x x f x x于是所求切线的方程可设为)(23000x xx x x y根据题目要求点(04)在切线上因此)(234000x x x x 解之得x 04于是所求切线的方程为)4(42344xy即3x y 40四、函数的可导性与连续性的关系设函数y f (x)在点x 0处可导即)(lim00x f x yx存在则0)(limlimlimlim00x f xxyx xyy xxxx这就是说函数y f(x)在点x 0处是连续的所以如果函数y f(x)在点x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7．函数3)(x x f 在区间(, )内连续但在点x 0处不可导这是因为函数在点x 0处导数为无穷大hf h f h)0()0(limhh hlim3x§2 2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u u(x)及v v(x)在点x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数并且[u(x)v(x)]u (x)v (x)[u(x)v(x)]u (x)v(x)u (x)v (x))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u 证明(1)hx v x u h x v h x u x v x u h)]()([)]()([lim])()([0hx v h x v hx u h xu h)()()()(limu (x)v (x)法则(1)可简单地表示为(u v)u v (2)hx v x u h x v h x u x v x u h)()()()(lim])()([0)]()()()()()()()([1limx v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h hhx v h xv x u h x v hx u h xu h)()()()()()(limhx v h xv x u h xv hx u h x u hhh)()(lim)()(lim )()(limu (x)v(x)u(x)v (x)其中0lim hv(x h)v(x)是由于v (x)存在故v(x)在点x 连续法则(2)可简单地表示为(uv)uv uv(3)hx v h x v h x v x u x v h xu h x v x u h xv h xu x v x u hh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(0h x v h xv x v h x v x u x v x u h x u h)()()]()()[()()]()([lim)()()()()()()()(limx v h xv hx v h xv x u x v hx u h x u h)()()()()(2x v x v x u x v x u 法则(3)可简单地表示为2)(v v u v u vu (u v)u v (uv)u v uv2)(v v u v u vu 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设u u(x)、v v(x)、w w(x)均可导则有(u v w)u v w(uvw)[(uv)w](uv)w (uv)w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)uvw uv w uvw在法则(2)中如果v C(C 为常数)则有(Cu)Cu 例1．y 2x 35x23x 7求y解y (2x35x23x 7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)23x252x 36x210x 3例22sincos 4)(3xx x f 求f (x)及)2(f 解xx x x x f sin 43)2(sin)cos 4()()(23443)2(2f 例3．y e x(sin x cos x)求y 解ye x )(sin x cos x) e x(sin x cos x) e x (sin x cos x) e x(cos x sin x) 2e xcos x例4．y tan x 求y解xx x x x xxx y2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan xxxxx 22222sec cos 1cos sincos 即(tan x)sec 2x例5．y sec x 求y解xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec xx 2cos sin sec x tan x即(sec x)sec x tan x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x (csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数x f (y )在某区间I y 内单调、可导且f (y)0那么它的反函数y f 1(x)在对应区间I x {x|x f(y)y I y }内也可导并且)(1])([1y f x f或dydx dxdy 1简要证明由于x f (y)在I y 内单调、可导(从而连续)所以x f (y)的反函数y f 1(x)存在且f1(x)在I x 内也单调、连续任取x I x 给x 以增量x(x 0xx I x )由y f1(x)的单调性可知y f 1(x x)f1(x)0于是yx xy 1因为y f1(x)连续故l i m 0yx从而)(11limlim])([01y f yx xyx fyx上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设x sin y ]2,2[y 为直接函数则y arcsin x 是它的反函数函数x sin y 在开区间)2,2(内单调、可导且(sin y)cos y 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (1 1)内有2211s i n 11c o s 1)(s i n 1)(a r c s i n xyy y x 类似地有211)(arccos x x 例7．设x tan y)2,2(y为直接函数则y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在区间)2,2(内单调、可导且(tan y)sec 2y 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x ()内有22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x yyy x 类似地有211)cot arc (x x 例8设x a y(a 0a 1)为直接函数则y log a x 是它的反函数函数x a y在区间Iy()内单调、可导且(a y)a yln a 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (0)内有ax aa a x y y aln 1ln 1)(1)(log到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3如果u g(x)在点x 可导函数y f(u)在点u g(x)可导则复合函数y f[g(x)]在点x 可导且其导数为)()(x g u f dxdy 或dxdu du dy dxdy 证明当u g(x)在x 的某邻域内为常数时y=f [(x)]也是常数此时导数为零结论自然成立当u g(x)在x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有xx g x x g x g x xg x g f x x g f xx g f x x g f xy )()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g uu f u uf )()()()(xx g x x g uu f u u f xy dxdy xux)()(lim)()(limlim= f (u)g (x )简要证明xu uyxydxdy xxlimlim)()(limlimx g u f xu uyxu例9 3x ey 求dxdy 解函数3x ey 可看作是由y euu x 3复合而成的因此32233x uex xedx du dudy dxdy 例10 212sin xx y 求dxdy 解函数212sin xx y 是由y sin u 212x x u复合而成的因此2222222212cos)1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x udxdu dudy dxdy 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例11．lnsin x 求dx dy 解)(sin sin 1)sin (ln x xx dxdy xx xcot cos sin 1例12．3221xy 求dxdy 解)21()21(31])21[(2322312x x x dxdy 322)21(34x x 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设y f (u)u (v)v (x)则dxdvdv du du dydxdu dudy dxdy 例13．y lncos(e x)求dxdy 解])[cos()cos(1])cos([ln xxxe e e dxdy )t a n ()()]sin([)cos(1xx xxx e e e e e 例14．xe y 1sin求dxdy 解)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxx exeedxdy xxxxe xx1cos11sin2例15设x 0证明幂函数的导数公式(x )x 1解因为x(eln x)eln x 所以(x )(e ln x) e ln x( ln x) eln xx1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x )x1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec 2x(6)(cot x)csc 2x (7)(sec x)sec x tan x (8)(csc x)csc x cot x (9)(a x)a xln a (10)(e x)ex(11) ax x aln 1)(log(12) xx 1)(ln (13) 211)(arcsin x x (14) 211)(arccos x x (15) 211)(arctan xx (16) 211)cot arc (x x 2．函数的和、差、积、商的求导法则设u u(x)v v(x)都可导则(1)(u v)u v (2)(C u)C u (3)(u v)u v u v(4)2)(v v u v u vu 3．反函数的求导法则设x f (y)在区间I y 内单调、可导且f (y)0则它的反函数y f 1(x)在I x f (I y )内也可导并且)(1])([1y f x f或dydx dxdy 14．复合函数的求导法则设y f (x)而u g(x)且f (u)及g(x)都可导则复合函数y f[g(x)]的导数为dxdu du dydxdy 或y (x)f (u)g (x)例16求双曲正弦sh x 的导数. 解因为)(21sh xxe ex所以xe e ee x xx xx c h )(21)(21)s h (即(sh x)ch x 类似地有(ch x)sh x例17求双曲正切th x 的导数解因为xx xch sh th 所以xxxx 222ch sh ch )(th x2ch 1例18求反双曲正弦arsh x 的导数解因为)1ln(arsh 2x xx 所以22211)11(11)a r s h (x x x x xx 由)1ln(arch 2x x x 可得11)arch (2x x 由xxx 11ln 21arth 可得211)arth (x x 类似地可得11)arch (2x x 211)arth (x x 例19．y sin nx sin nx (n 为常数)求y解y (sin nx) sin n x + sin nx (sin nx)ncos nx sin nx+sin nx n sin n 1x (sin x )ncos nx sin nx+n sinn 1x cos x n sinn 1x sin(n+1)x§2. 3 高阶导数一般地函数y f(x)的导数y f (x)仍然是x 的函数我们把y f (x)的导数叫做函数y f (x)的二阶导数记作y 、f (x)或22dx y d 即y(y )f (x)[f (x)])(22dxdy dx d dx y d 相应地把y f (x)的导数f (x)叫做函数y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy(4)y(n)或33dx y d 44dx y d nn dx y d 函数f (x )具有n 阶导数也常说成函数f(x)为n 阶可导如果函数f (x)在点x 处具有n 阶导数那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数yyy(4)y (n)都称为高阶导数例1．y ax b 求y解y a y 0例2．s sint 求s解s cos t s 2sin t例3．证明函数22x xy满足关系式y 3y10证明因为22212222x xx x x x y22222222)1(2x xxxx x xxy)2()2()1(22222x x x xx xx 32321)2(1y x x所以y 3y10例4．求函数y e x的n 阶导数解y e xy exy exy( 4)ex一般地可得y( n)ex即(e x )(n)ex例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数解y sin x)2s i n (c o s x xy)22s i n ()22s i n ()2c o s (x x x y )23s i n ()222s i n ()22c o s (x x x y )24s i n ()23c o s ()4(x x y 一般地可得)2s i n ()(nx y n 即)2sin()(sin )(nx x n 用类似方法可得)2cos()(cos )(nxx n 例6．求对函数ln(1x)的n 阶导数解y ln(1x)y (1x)1y(1x)2y (1)(2)(1x)3y (4)(1)(2)(3)(1x)4一般地可得y(n)(1)(2)(n 1)(1x)nnnx n )1()!1()1(1即nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(例6．求幂函数y x (是任意常数)的n 阶导数公式解yx 1y (1)x 2y (1)(2)x 3y( 4)(1)(2)(3)x 4一般地可得y(n)(1)(2) (n 1)x n即(x )(n)(1)(2) (n 1)xn当n 时得到(x n )(n) (1)(2) 3 2 1n!而(x n )( n 1)如果函数u u(x)及v v(x)都在点x 处具有n 阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点x 处具有n 阶导数且(u v)(n)u(n)v(n)(uv)uv uv (uv)u v 2u v uv (uv)u v 3u v 3u vuv用数学归纳法可以证明nkk k n k n n v uC uv 0)()()()(这一公式称为莱布尼茨公式例8．y x 2e 2x 求y (20)解设u e2x v x2则(u)(k)2ke 2x(k 1, 2,, 20)v 2x v2 (v)(k)0 (k 3, 4, , 20)代入莱布尼茨公式得y(20)(u v)(20)u (20)v C 201u(19)v C 202u(18)v 220e2xx220 219e 2x2x !21920218e2x2220e 2x (x220x 95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如y f(x)的函数称为显函数例如y sin x y ln x+e x隐函数由方程F(x y)0所确定的函数称为隐函数例如方程x y3 10确定的隐函数为y31xy如果在方程F(x y)0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x y)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1．求由方程e yxy e 0 所确定的隐函数y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y)(xy)(e)(0)即e y y y xy 0从而yex y y(x ey0)例2．求由方程y 52y x 3x 70 所确定的隐函数y f (x)在x 0处的导数y |x解把方程两边分别对x 求导数得5y y 2y 121x6由此得2521146y x y因为当x 0时从原方程得y 0所以21|25211|046xxyx y 例3求椭圆191622y x 在)323,2(处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x 求导得928y y x 从而y x y169当x 2时323y代入上式得所求切线的斜率43|2xy k 所求的切线方程为)2(43323x y即03843y x 解把椭圆方程的两边分别对x 求导得928yyx 将x 2323y代入上式得3141y于是k y |x243所求的切线方程为)2(43323xy即3843y x 例4．求由方程0sin 21y yx 所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得cos 211dxdy y dxdy 于是ydxdy cos 22上式两边再对x 求导得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dxdyydx y d 对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出y 的导数设y f (x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对x 求导得])([ln 1x f yy yf (x)[ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数y [u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求y x sin x(x>0)的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得xxx x y y1sin ln cos 1于是)1sin ln (cos xxx x y y )sin ln (cos sin xx xx x x 解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求y xsin xesin x ·ln x)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx xx xx x eyxxx 例6求函数)4)(3()2)(1(xx x x y 的导数解先在两边取对数(假定x>4)得ln y21[ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)]上式两边对x 求导得)41312111(211x x x x y y于是)41312111(2x x x x y y当x<1时)4)(3()2)(1(x x x x y当2<x<3时)4)(3()2)(1(x x x x y用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分x 4x 1 2x 3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程)()(t yt x 确定的则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t 有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x (t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t )构成复合函数y[(x) ]若x(t)和y(t)都可导则)()(1t t dt dx dtdy dxdt dtdy dxdy 即)()(t t dxdy 或dtdx dt dydxdy若x (t)和y (t)都可导则)()(t t dxdy例7求椭圆tb yt a x sin cos 在相应于4t点处的切线方程解t a bt a t b t a t b dxdy cot sin cos )cos ()sin (所求切线的斜率为a b dx dy t 4切点的坐标为224cos 0aa x 224sin0bb y 切线方程为)22(22ax ab b y 即bx ay2ab例8．抛射体运动轨迹的参数方程为22121gt tv yt v x求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向y v 2t g t2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x (t)v 1y (t)v 2gt所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)]([)]([t y t x v2221)(gt v v 再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为12)()(tanv gtv t x t y dxdy 已知x (t), y(t)如何求二阶导数y ?由x(t))()(t t dxdy dx dt t t dtd dx dy dx d dx y d ))()(()(22)(1)()()()()(2t t t t t t )()()()()(3t t t t t例9．计算由摆线的参数方程)cos 1()sin (t a yt t a x 所确定的函数y f (x)的二阶导数解)()(t x t y dxdy )cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a 2cot cos 1sin t t t (t 2nn 为整数)dxdtt dt d dxdy dx d dx y d )2(cot )(2222)cos 1(1)cos 1(12sin21t a t a t (t 2n n 为整数)三、相关变化率设x x(t)及y y(t)都是可导函数而变量x 与y 间存在某种关系从而变化率dtdx 与dtdy 间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升其速度为140m/min(分)当气球高度为500m 时观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t (秒)后其高度为h 观察员视线的仰角为则500tanh 其中及h 都是时间t 的函数上式两边对t 求导得dtdh dtd 5001sec 2已知140dtdh (米/秒)又当h 500(米)时 tan1 sec 22代入上式得14050012dtd 所以14.050070dtd (弧度/秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x 0变到x 0x 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x 面积为A 则A 是x 的函数A x2金属薄片的面积改变量为A (x 0x)2(x 0)22x 0x (x)2几何意义2x 0x 表示两个长为x 0宽为x 的长方形面积 (x)2表示边长为x 的正方形的面积数学意义当x 0时(x)2是比x 高阶的无穷小即(x)2o(x)2x 0x 是x 的线性函数是A 的主要部分可以近似地代替A定义设函数y f(x)在某区间内有定义x 0及x 0x 在这区间内如果函数的增量y f (x 0x)f (x 0)可表示为y A x o(x)其中A 是不依赖于x 的常数那么称函数y f (x)在点x 0是可微的而A x 叫做函数y f(x)在点x 0相应于自变量增量x 的微分记作dy 即dy Ax函数可微的条件函数f (x)在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x)在点x 0可导且当函数f (x)在点x 0可微时其微分一定是dy f (x 0)x证明设函数f (x)在点x 0可微则按定义有y A x o(x)上式两边除以x 得xx o Axy )(于是当x0时由上式就得到)(lim00x f xy Ax因此如果函数f (x)在点x 0可微则f (x)在点x 0也一定可导且A f (x 0)反之如果f (x)在点x 0可导即)(lim00x f xyx存在根据极限与无穷小的关系上式可写成)(0x f xy 其中0(当x 0)且A f (x 0)是常数x o(x)由此又有y f (x 0)xx因且f (x 0)不依赖于x 故上式相当于y A x o(x)所以f(x)在点x 0也是可导的简要证明一方面Ax f xy xx o Axy x o xA yx)(lim)()(00别一方面xx x f y x f xy x f xy x)()()(lim0000以微分dy 近似代替函数增量y 的合理性当f (x 0)0时有1lim )(1)(limlim0000dxy x f xx f ydyyx xxy dy o(d y)结论在f (x 0)0的条件下以微分dy f (x 0)x 近似代替增量y f (x 0x)f (x 0)时其误差为o(dy)因此在|x|很小时有近似等式y dy函数y f (x)在任意点x 的微分称为函数的微分记作dy 或d f(x)即dy f (x)x例如d cos x (cos x)x sin xxde x(e x)x e xx例1 求函数y x 2在x 1和x 3处的微分解函数y x 2在x 1处的微分为dy (x 2)|x 1x 2x 函数y x 2在x 3处的微分为dy (x 2)|x3x 6x 例2．求函数y x 3当x 2x 0. 02时的微分解先求函数在任意点x 的微分dy (x 3)x 3x2x再求函数当x 2x 0. 02时的微分dy|x2x 0.023x 2| x2, x 0.023220.020.24自变量的微分因为当y x 时dy dx (x)xx 所以通常把自变量x 的增量x 称为自变量的微分记作dx即dxx 于是函数y f (x)的微分又可记作dy f (x)dx从而有)(x f dxdy 这就是说函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数因此导数也叫做“微商”二、微分的几何意义当y 是曲线y f(x)上的点的纵坐标的增量时dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x|很小时 |y dy|比|x|小得多因此在点M 的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy f (x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式微分公式(x )x 1d (x )x1d x(sin x)cos xd (sin x)cos x d x(cos x)sin xd (cos x)sin x d x(tan x)sec 2xd (tan x)sec 2x d x(cot x)csc 2x d (cot x)csc 2x d x (sec x)sec x tan x d (sec x)sec x tan x d x (csc x)csc x cot xd (csc x)csc x cot x d x(a x)a xln a d (a x)a x ln a d x (e x)exd (e x)e xd xax x aln 1)(logdxa x x d aln 1)(logxx 1)(ln dxxx d 1)(ln 211)(arcsin xx dxx x d 211)(arcsin 211)(arccos xx dxx x d 211)(arccos 211)(arctan xx dxxx d 211)(arctan 211)cot arc (xx dxxx d 211)cot arc (2函数和、差、积、商的微分法则求导法则微分法则(u v)u vd(u v)du dv (Cu)Cud(Cu)Cdu (u v)uv uvd(u v)vdu udv)0()(2vvv u v u vu )0()(2v dx vudvvduvu d 证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx 再根据乘积的求导法则有(uv)u v uv 于是d(uv)(u v uv )dx u vdx uv dx由于u dx du v dx dv 所以d(uv)vdu udv3复合函数的微分法则设y f(u)及u (x)都可导则复合函数y f [(x)]的微分为dy y x dx f (u)(x)dx 于由(x)dx du所以复合函数y f[(x)]的微分公式也可以写成dy f (u)du 或dy y u du 由此可见无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dy f (u)du 保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dy f (u)du 并不改变例3．y sin(2x 1)求dy 解把2x 1看成中间变量u 则dy d(sin u)cos udu cos(2x 1)d (2x 1) cos(2x 1)2dx 2cos(2x 1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4)1ln(2x e y 求dy解)1(11)1ln(222x x x e d ee d dyxdxe ex d e exx x x 211)(1122222dxexe x x 2212例5．y e 13xcos x 求dy解应用积的微分法则得dy d(e13xcos x)cos xd(e 13x)e13xd(cos x)(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx)e13x(3cos x sin x)dx例6．在括号中填入适当的函数使等式成立(1) d( )xdx (2) d()cost dt解 (1)因为d(x 2)2xdx 所以)21()(2122x d x d xdx即xdxx d )21(2一般地有xdx C x d )21(2(C 为任意常数)(2)因为d(sint)cos tdt 所以)sin1()(sin1cos t d t d tdt因此tdt C t d cos)sin 1((C 为任意常数)四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中经常会遇到一些复杂的计算公式如果直接用这些公式进行计算那是很费力的利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替如果函数y f (x)在点x 0处的导数f (x)0且x|很小时我们有y dy f (x 0)x y f(x 0x)f(x 0)dy f (x 0)x f(x 0x)f (x 0)f (x 0)x若令x x 0x 即x x x 0那么又有f(x) f(x 0)f (x 0)(x x 0)特别当x 00时有f(x)f(0)f (0)x这些都是近似计算公式例1．有一批半径为1cm 的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为0 01cm 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)?解已知球体体积为334R V R 01cmR 0. 01cm镀层的体积为V V(R 0R)V(R 0)V (R 0)R 4R 02R 43. 14120. 010. 13(cm 3)于是镀每只球需用的铜约为0. 13 8. 9 1. 16(g)例2．利用微分计算sin 3030的近似值解已知303036066x 360xsin 3030sin(x 0x)sin x 0x cos x 03606c o s6s i n5076.03602321即sin 30300. 5076常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）(1)xnx n111(2)sin x x ( x 用弧度作单位来表达)(3)tan x x ( x 用弧度作单位来表达)(4)ex1x(5)ln(1x)x 证明(1)取nxx f 1)(那么f (0)1nx nf x n1)1(1)0(011代入f(x)f(0)f (0) x 便得xnx n111证明(2)取f(x)sin x 那么f(0)0f (0)cos x|x1代入f (x)f(0)f (0) x 便得sin x x例3．计算05.1的近似值解已知x n xn111故025.105.021105.0105.1直接开方的结果是02470.105.12．误差估计在生产实践中经常要测量各种数据但是有的数据不易直接测量这时我们就通过测量其它有关数据后根据某种公式算出所要的数据由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响测得的数据往往带有误差而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差我们把它叫做间接测量误差下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差绝对误差与相对误差如果某个量的精确值为A 它的近似值为a 那么|A a|叫做a 的绝对误差而绝对误差|A a|与|a|的比值||||a a A 叫做a 的相对误差在实际工作中某个量的精确值往往是无法知道的于是绝对误差和相对误差也就无法求得但是根据测量仪器的精度等因素有时能够确定误差在某一个范围内如果某个量的精确值是A 测得它的近似值是a 又知道它的误差不超过A :|A a|A则A 叫做测量A 的绝对误差限||a A叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差)例4．设测得圆钢截面的直径D 60. 03mm 测量D 的绝对误差限D005利用公式24D A计算圆钢的截面积时试估计面积的误差解DDDAdAA2A||dA|DDD D 2||2已知D 60.03D0. 05所以715.405.003.6022DAD(mm 2)%17.003.6005.022422DD D ADDA若已知A 由函数y=f(x)确定A=y 测量x 的绝对误差是x那么测量y 的y =?由y dy y x 有y||dy||y ||x||y |x 所以测量y 的绝对误差y =|y |x测量y 的相对误差为xyyy y ||。
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第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
吐1导数概念一、引例1 .直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为s s是t的函数s f(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值s S o f(t) f(t o) t t o t t o这个比值可认为是动点在时间间隔t t o内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t o的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t t o o取比值f(t) f(t o )的极限如果这个极限存在 设为v 即t t o..f(t) f(t o ) v lim — t t o t t o这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻t 0的速度2.切线问题设有曲线C 及C 上的一点M 在点M 外另取C 上一点N 作割线MN 当点N 沿曲线C 趋 于点M 时 如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置 MT 直线MT 就称为曲线C 有点M 处的切 线设曲线C 就是函数y f(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x o , y o )(y o f(x o ))处的切线 只要定出切线的斜率就行了为此在点M 外另取C 上一点N(x, y)于是割线MN 的斜率为tan y y o f(x) f(x o )为割线MN 的倾角 当点N 沿曲线C 趋于点M 时x x o 如果当x o 时上式的极限存在 k 即f (x) f (x o ) k lim —— x x o x x o则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率 这里k tan 其中 是切线MT的倾角通过点M(x o , f(x o ))且以k 为斜率的直线 MT 便是曲线C 在点M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限f (x) f (x o ) lim ---------- ~°Lx x ox x o令 x x x o 则 y f(x o x) f(x o ) f(x) f(x o ) x x o 相当于 x O 于是 lim―"')成为.. y f (x o x) f (x o ) lim d 或 lim --------------- - -- x O x x O x定义 设函数y f(x)在点x o 的某个邻域内有定义当自变量x 在x o 处取得增量 x(点x o x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x o x) f(x o )如果y 与x 之比当x O 时的极限 存在 则称函数y f(x)在点x o 处可导 并称这个极限为函数 y f(x)在点x o 处的导数 记为y |x x oy .. f (x o x) f (x o ) f (x 0)lim — lim 0 —x 0 x x 0其中 设为 存在于是函数f(x)在点x 0处可导有时也说成f(x)在点x 0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x °)lim f(x 0 hh f(x)f(x) f(x )) f (x 0) lim --- - -x ~ x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限1皿0—； f(x0)不存在 就说函数y f(x)在点x 。
处不可导也往往说函数y f(x)在点x 0处的导数为无穷大如果函数y f(x)在开区间I 内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I 内可导 这时 对于 任一 x I 都对应着f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f(x)的导函数记作y f (x)釜或譬导函数的定义式.. f (x x) f (x) f(x h) f(x) y lim ------------- L ----- iim — ---------- ： ---x 0 x h 0 h f (x 0)与f (x)之间的关系函数f(x)在点x 0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点x x 0处的函数值 即f(x 0)f (x)x x 0导函数f (x)简称导数 而f (x 0)是f(x)在x 0处的导数或导数f (x)在x 0处的值 左右导数所列极限存在则定义 f (x h) f(x°) f (x 0)h"m (x0hf(x)在x °的右导数 f (x °) lim f(x 0 hh f(x)如果极限叩0套则称此极限值为函数在 x 0的左导数也可记为y |x 为也 或df(x) dx x 冲 dx x x如果不可导的原因是由于1im f(x 0x) f(x 0)f(x)在x °的左导数如果极限pm。
f(x0 h) f(x0)存在则称此极限值为函数在X0的右导数导数与左右导数的关系 f (0 A f (x0) f (x°) A2. 例求导数举例1 .求函数f(x) C (C为常数)的导数f(x) hW h) f(x)即(C )求f(x)-的导数f(x)既鱼…1 lim* h 0h1x lim —L h 0 h(xh)x求f(x) 7x的导数f(x)耽心h) f(x)lim、x h、x h 0lim 1lim —-------- -h 0 h(、x h x)例2.求函数f(x) x n (n为正整数)在解f (a) lim f(x) f(a) x n lim —_a£lim (x n 1 ax1x a x a x a x a x a把以上结果中的 a 换成x得 f (x) nx n 1 即(x n) nx n(C)0 (1) x 1(x)1 2-x(x ) x 1x a处的导数n 211a n1) na nxsin x更一般地有(x )例3.求函数f(x) 解 f (x)既f (x h)其中为常数的导数f(x) sin(x现——h) sin xh1 C ， lim— 2 cos(x h 0 h h ..—)sin— 2 2.h sinh\ 2lim cos(x ) J h 0 2 即(sin x) cos x cosxh用类似的方法可求得 （cos x ） sin x例 4.求函数 f(x) a x(a>0 a f (x h)f(x) 解 f (x) limh 0 hax?m* 勺="^log a tl t)特别地有(e x ) e x例5.求函数f(x) log a x (a>0 a 1)的导数f (x h) f(x) loga(x h) log ax解 f (x) lim --------------- -- --- lim ——-——h 0 h h 0 hlim]log a (Q) Limxlog a (1 -) 1lim log a (1 质 h 0 h x x h 0h x x h 0 x1.1X^a e 赤解 f(x) lim loga(xh)logaxlim1log a (1 5 h 0hh 0h x1lim log a (1 h )h 【log ae — x h 0 x x xln aa x1 log a ea x ina(log a x)1xln a........ 1 特殊地 (ln x) x(^a x) (lnx)3 .单侧导数f(xh) 极限limh 0f(x)h存在的充分必要条件是 f (x h) f(x) f(x h) f(x) lim ------------ 1 及 lim — ----------- 1——h 0 h h 0 h都存在且相等1)的导数 a x h a x lim --- h 0 hf(x)在X。
处的左导数 f (X o) h lim f(x h) f(x)f(x h) f (x) f (x o) limf(x)在X o处的右导数h o h导数与左右导数的关系函数f(x)在点x。
处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x o)和右导数f (x o)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数f (a)和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间［a, b］上可导例6 .求函数f(x) x|在x o处的导数f(o h) f(o) r |h| .解 f (o) lim --------------- - --- --- lim 1h o h h o hf(o h) f(o) 「|h| df (o) lim lim 1h o h h o h因为f (o) f (o)所以函数f(x) |x|在x o处不可导四、导数的几何意义函数y f(x)在点x o处的导数f (x o)在几何上表示曲线y f(x)在点M(x o, f(x o))处的切线的斜率即如果y f(x)在点x o处的导数为无穷大这时曲线y f(x)的割线以垂直于x轴的直线x x o为极限位置即曲线y f(x)在点M(x o, f(x o))处具有垂直于x轴的切线x x o由直线的点斜式方程可知曲线y f(x)在点M(x o, y o)处的切线方程为f (x o) o法线的斜率为1从而法线方程为f (x o)y yo击(、xo)例8求等边双曲线y 1在点(1,2)处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方x 2程解y %所求切线及法线的斜率分别为x2ki ( »2 4 k2 ,所求切线方程为y 2 4(x 1)即4x y 4 0所求法线方程为y 2 jx 1)即2x 8y 15 0例9求曲线y x衣的通过点(0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x o则切线的斜率为一 3 3 1 3 —f (x o) (x2) ~x2 ^J x02 x x0 2于是所求切线的方程可设为一 3y x°\ x°2, A(x A)根据题目要求点(0 4)在切线上因此——34 x0A 2 . x0(0 x0)解之得x0 4于是所求切线的方程为y 4<4 |V4(x 4)即3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数y f(x)在点x0处可导即Im。