01第一章背景与异常划分的一元方法(精)

第一章背景与异常划分的一元方法

地球化学背景与异常划分是化探数据统计分析的基本问题，以后就简称为背景与异常划分。这方面的具体方法很多，而且正在发展，有的还不完全成熟。本书只介绍一些常用的或理论上具有一定系统性的方法。本章内容不仅是解决背景与异常划分的方法基础，也是以后各章有关其它统计方法的基础，因而虽然简单，却很重要。这里只涉及单个因素，因而是一元方法，且一般不考虑样本的采样位置。第二章主要讨论与地理位置有关的背景与异常划分问题，也属于一元方法。背景与异常划分的多元方法将在以后的有关章节中顺便介绍，因为那时我们有了解多元问题的数学基础。希望在有了这些基础知识后能广阅参考文献，甚至提出更成熟的方法。

§1 背景与异常划分的基本原理

常用的背景与异常划分方法是以一元正态分布为前提的。只要熟知一元正态分布的有关性质，背景与异常划分的原理就十分明确。正态分布是最简单的情形。但一切的复杂情形都可视为简单情况的综合。对简单问题的讨论是解决复杂问题的基础，因而十分重要。

一、一元正态分布的有关性质

设x为一元正态随机变量，其概率密度函数为11(x−μ)2

exp(−)，－∞

F(x)=∫x

−∞f(t)dt (1.2)

其图形如图1-2所示。

若用P(A)表示随机事件A发生的概率，则正态分布具有如下重要特性：

图1-1 一元正态总体的概率密度分布图1-2 一元正态总体的概率分布

1、f(μ)=max[f(x)];

2、P(x≤μ)=F(μ)=50%;

3、P(x≤μ-σ)=F(μ-σ)=15.9%;

4、P(x≤μ+2σ)=F(μ+2σ)=97.7%;

5、P(μ-tασ

6、 P(-∞

其中性质5更为重要，它表示，若以μ为起点，在x轴向左右两边各延伸tα个单位长度σ，形成一个区间(μ-tασ

当tα=1时，1-α=68.3%，α=31.7%；

当tα=2时，1-α=95.4%，α=4.6%；

当tα=3时，1-α=99.7%，α=0.3%；

这些性质与背景、异常的概念关系十分密切。

二、背景与异常划分的基本原理

根据以上性质并参考图1-1，1-2，我们不难得出如下推理：

1、由性质1、2知，x在点μ处的概率密度最大，即x在μ处的取值机会最多，于是μ作为常见值被用做背景值是当然的，在x=μ点，F(x)=50%，因而f(x)达极大值或F(x)= 50%=0.5时自变量x的取值μ即为背景值。

2、由性质2、3不难看出，F(x)取50%与F(x)取15.9%分别对应的x值之差的绝对值正好是正态总体的标准离差或均方差σ。

3、由性质4易见，x落在区间(-∞，μ+2σ)内的概率为97.7%，而落在该区间右侧的概率仅为2.3%，是正态前提下不容易发生的小概率事件，则被视为异常事件，故μ+2σ可被看作划分背景与异常的一个界限。

4、由性质5可以得到划分背景与异常的更严格的叙述。当tα取值足够大或α取值足够小时，随机变量x在区间(μ-tασ

再看α值的意义。由性质5知，当α越小时tα就越大置信区间就越大，所划出的异常值与背景值的差异就越显著，即这种差异值属于真正异常的可信度就越大；而反过来也可以说明置信区间的值属于背景值的可信度就越小。所以α的大小决定了背景与异常的可靠性，或者广义的说，α的大小决定了识别任一样品是否属

于某正态总体的可信程度。在数理统计中，α称为置信度。一般α由人为指定，可分别取0.1，0.05，0.001等。这一概念在以后经常遇到。值得指出的是，当我们用统计方法把某个样品划归背景或异常时，严格的应称这种划分是在置信度α下所做的推断。

在随后的讨论中我们将看到tα的意义。它实际上是标准化变量的异常下限。

§2 背景与异常划分的基本方法

由上述讨论知，若x～N(μ,σ),且μ,σ已知，则背景与异常划分的方法是显然的。问题是，我们一般难以得到总体的分布参数μ和σ，也不知道x是否是满足正态分布条件。本节主要讨论这两个问题，并引入很有实用价值的标准化变量的概念。

一、总体分布参数的估计

在一般实际问题中，我们不是从整体出发而是从样本出发，通常用样本均值来估计总体的均值μ，用样本方差S来估计总体方差σ,于是立刻得到异常界限的估计值为

Xα=+tαS (1.3) 当tα为正值时，上式定义了正异常下限；当tα为负值时上式定义了负异常上限，其中tα由可信度α而定。但由上节知，tα一般取2左右即可，这时α约为0.046。应用中不必再做严格推算。为简便起见，今后一般不讨论负异常上限。所剩的问题是如何用样本来估计总体均值与方差，以后简称均值、方差，分别用x、S222来表示。现介绍几种最常用的估计方法。

1、直接计算方法

在有计算机的条件下，这是最简便的方法。设某正态样本容量为n，数据为xi，i=1，2，…,n,则样本均值和均方差分别为

1n=∑xi (1.4) ni=1

1n(xi−)2 (1.5) S=∑ni=1

当n很大时,(1.5)式与常用无偏估计无多大差异。

2、直方图法

直方图是日常社会活动常见的图形，这里简明介绍其制作方法及有关参数的估计。设正态样本数据为xi，i=1，2,…,n,则作图步骤为：

①将n个数据的取值范围[max(xi)-min(xi)]分为K个子区间(一般为组)，方括号表示区间。K一般取奇数5、7、9…等,大小视n的大小而定。各区间的长度即组距为 d=1[max(xi)-min(xi)] K

其中第j个子区间(组)为

[max(xi)+(j-1)d,min(xi)+jd),j=1，2,…,k

其中圆括号表示开区间，方括号表示闭区间，但第K区间左右都为闭区间。各区间的中点值称为组中值。