01第一章背景与异常划分的一元方法(精)

第一章背景与异常划分的一元方法地球化学背景与异常划分是化探数据统计分析的基本问题，以后就简称为背景与异常划分。

这方面的具体方法很多，而且正在发展，有的还不完全成熟。

本书只介绍一些常用的或理论上具有一定系统性的方法。

本章内容不仅是解决背景与异常划分的方法基础，也是以后各章有关其它统计方法的基础，因而虽然简单，却很重要。

这里只涉及单个因素，因而是一元方法，且一般不考虑样本的采样位置。

第二章主要讨论与地理位置有关的背景与异常划分问题，也属于一元方法。

背景与异常划分的多元方法将在以后的有关章节中顺便介绍，因为那时我们有了解多元问题的数学基础。

希望在有了这些基础知识后能广阅参考文献，甚至提出更成熟的方法。

§1 背景与异常划分的基本原理常用的背景与异常划分方法是以一元正态分布为前提的。

只要熟知一元正态分布的有关性质，背景与异常划分的原理就十分明确。

正态分布是最简单的情形。

但一切的复杂情形都可视为简单情况的综合。

对简单问题的讨论是解决复杂问题的基础，因而十分重要。

一、一元正态分布的有关性质设x为一元正态随机变量，其概率密度函数为11(x−μ)2exp(−)，－∞<x<+∞ (1.1) f(x)=2σ2则称x服从参数为μ，σ的一元正态分布，记为x～N(μ,σ2),其中μ,σ2分别为一元正态总体x的均值与方差，分布图形如图1-1所示。

X的概率密度函数为F(x)=∫x−∞f(t)dt (1.2)其图形如图1-2所示。

若用P(A)表示随机事件A发生的概率，则正态分布具有如下重要特性：图1-1 一元正态总体的概率密度分布图1-2 一元正态总体的概率分布1、f(μ)=max[f(x)];2、P(x≤μ)=F(μ)=50%;3、P(x≤μ-σ)=F(μ-σ)=15.9%;4、P(x≤μ+2σ)=F(μ+2σ)=97.7%;5、P(μ-tασ<x<μ+tασ)=1-α;6、 P(-∞<x<+∞)=1;其中性质5更为重要，它表示，若以μ为起点，在x轴向左右两边各延伸tα个单位长度σ，形成一个区间(μ-tασ<x<μ+tασ)，则x在该区间内取值的概率为1-α，例如：当tα=1时，1-α=68.3%，α=31.7%；当tα=2时，1-α=95.4%，α=4.6%；当tα=3时，1-α=99.7%，α=0.3%；这些性质与背景、异常的概念关系十分密切。

二、背景与异常划分的基本原理根据以上性质并参考图1-1，1-2，我们不难得出如下推理：1、由性质1、2知，x在点μ处的概率密度最大，即x在μ处的取值机会最多，于是μ作为常见值被用做背景值是当然的，在x=μ点，F(x)=50%，因而f(x)达极大值或F(x)= 50%=0.5时自变量x的取值μ即为背景值。

2、由性质2、3不难看出，F(x)取50%与F(x)取15.9%分别对应的x值之差的绝对值正好是正态总体的标准离差或均方差σ。

3、由性质4易见，x落在区间(-∞，μ+2σ)内的概率为97.7%，而落在该区间右侧的概率仅为2.3%，是正态前提下不容易发生的小概率事件，则被视为异常事件，故μ+2σ可被看作划分背景与异常的一个界限。

4、由性质5可以得到划分背景与异常的更严格的叙述。

当tα取值足够大或α取值足够小时，随机变量x在区间(μ-tασ<x<μ+tασ)取值的概率为1-α，是一个很大的概率事件，发生这样的事是不足为奇的，因而该区间的一切取值都认为是属于正态总体的正常值或背景值；反之，随机变量在该区间两侧取值的机会只有α，是一个很小的值，一旦某值落入该区间两侧，则属于异常现象，将此值视为异常值，可认为它不属于上述正态总体，而可能来自异常总体。

当tα或α取定时，上述区间亦被确定，称为置信区间，其左右的两个端点称为置信下限和置信上限。

化探中常称左端点为负异常上限，右端点为正异常上限。

例如当tα=2时，异常下限为μ+2σ，这时α=0.046。

再看α值的意义。

由性质5知，当α越小时tα就越大置信区间就越大，所划出的异常值与背景值的差异就越显著，即这种差异值属于真正异常的可信度就越大；而反过来也可以说明置信区间的值属于背景值的可信度就越小。

所以α的大小决定了背景与异常的可靠性，或者广义的说，α的大小决定了识别任一样品是否属于某正态总体的可信程度。

在数理统计中，α称为置信度。

一般α由人为指定，可分别取0.1，0.05，0.001等。

这一概念在以后经常遇到。

值得指出的是，当我们用统计方法把某个样品划归背景或异常时，严格的应称这种划分是在置信度α下所做的推断。

在随后的讨论中我们将看到tα的意义。

它实际上是标准化变量的异常下限。

§2 背景与异常划分的基本方法由上述讨论知，若x～N(μ,σ),且μ,σ已知，则背景与异常划分的方法是显然的。

问题是，我们一般难以得到总体的分布参数μ和σ，也不知道x是否是满足正态分布条件。

本节主要讨论这两个问题，并引入很有实用价值的标准化变量的概念。

一、总体分布参数的估计在一般实际问题中，我们不是从整体出发而是从样本出发，通常用样本均值来估计总体的均值μ，用样本方差S来估计总体方差σ,于是立刻得到异常界限的估计值为Xα=+tαS (1.3) 当tα为正值时，上式定义了正异常下限；当tα为负值时上式定义了负异常上限，其中tα由可信度α而定。

但由上节知，tα一般取2左右即可，这时α约为0.046。

应用中不必再做严格推算。

为简便起见，今后一般不讨论负异常上限。

所剩的问题是如何用样本来估计总体均值与方差，以后简称均值、方差，分别用x、S222来表示。

现介绍几种最常用的估计方法。

1、直接计算方法在有计算机的条件下，这是最简便的方法。

设某正态样本容量为n，数据为xi，i=1，2，…,n,则样本均值和均方差分别为1n=∑xi (1.4) ni=11n(xi−)2 (1.5) S=∑ni=1当n很大时,(1.5)式与常用无偏估计无多大差异。

2、直方图法直方图是日常社会活动常见的图形，这里简明介绍其制作方法及有关参数的估计。

设正态样本数据为xi，i=1，2,…,n,则作图步骤为：①将n个数据的取值范围[max(xi)-min(xi)]分为K个子区间(一般为组)，方括号表示区间。

K一般取奇数5、7、9…等,大小视n的大小而定。

各区间的长度即组距为 d=1[max(xi)-min(xi)] K其中第j个子区间(组)为[max(xi)+(j-1)d,min(xi)+jd),j=1，2,…,k其中圆括号表示开区间，方括号表示闭区间，但第K区间左右都为闭区间。

各区间的中点值称为组中值。

②求出落在第j区间的样品数fj，j=1，2,…,k,称为组频数，进而求出各组频率fj=fj/n, j=1，2,…,k。

③求出各组的累积频率Fj=**∑fi=1ji，j=1，2,…,k④在方格纸上，以x为横坐标，以fj为纵坐标可作出频率分布直方图或频率分布曲线；以x为横坐标，以Fj为纵坐标，可作出频率累积直方图。

上述步骤对程序设计也是有用的。

图1-3是某元素含量分布的频率直方图或频率分布曲线，图1-4是相应的累积频率直方图与累积频率曲线如图所示两条曲线分别与图1-1、图1-2相似，即接近正态分布。

于是可由正态分布的有关性质，从直方图上估计、S或xα。

这里有两个常用的名词。

图1-3中的Mo点称为众值，图1-4中的Me点称为中位数。

在严格正态分布下不难知道有：x=Mo=Me。

从图1-4中还可看出：S=Me-x1，也可看出异常下限值xα。

图1-3 频率直方图图1-4 累积频率直方图直方图的优点是直观，实际工作中往往将直方图与计算法结合起来，即用计算法求出x、S、xα，用直方图给予直观表示。

有了直方图制作步骤中给出的各种表达式，编制一个打印直方图的子程序也是容易的。

但编制一个实用的直方图子程序，适用于严重偏离正态分布的数据，还需要考虑本章后面的有关内容。

3、概率格纸法在制作直方图的第④步，若以各子区间的中点，即组中值为横坐标，以各区间累积频率为纵坐标在概率格纸上作出一组散点，则当正态分布时，这组点大致成一条直线分布；反之，若这组点呈近似直线分布，则可以认为数据近似正态分布。

这种图形有两种作用，一是用于检验一组数据是否服从正态分布，二是只要把上述直线当作图1-4中的累积频率曲线，则完全可用图1-4中示意的方法求出x、S、xα，故不多述。

二、正态检验正态检验是用统计的方法检验一组数据是否服从正态分布。

分布检验的方法有多种，例如上面的概率格纸法就是其中一种。

现介绍另一种方法——偏度、峰度检验法。

首先定义两个统计变量，即偏度r1，和峰度r2，其中1n1n3(xi−x)2]3 (1.6) r1=∑(xi−/[∑ni=1ni=11n1n4(xi−x)2]4-3 (1.7) r2=∑(xi−)/[∑ni=1ni=1其中各记号为熟知的。

检验的原理方法如下：若假设：x～N(μ,σ2)则有：r1～N(0，6/n)，r2～N(0，24/n)于是在信度α=0.046下，由正态分布的性质显然有|r1|<2(6/n)1/2，|r2|<2(24/n)1/2 (1.8) 对于一个容量为n的样本xi，i=1,2,…,n，若(1.8)成立，则称在信度α=0.046下x为正态分布，即接受正态假设；否则拒绝假设，称在信度α=0.046下x非正态分布。

顺便说明，这种检验实质是看样本分布与理论分布是否有显著差异，如果样品分布没有太大偏斜、分布陡缓适当，就认为是正态的。

在实际工作中，还常常从直方图上直接观察分布形式、判断正态与否，不做过分严格的检验。

三、标准化变量设单变量x的一个样本为xi,i=1,2,…,n,其均值为x,均方差为S,则称t=(x−)/s (1.9) 为标准化变量,对每个样品xi有ti=(xi-x) /s (1.10)称为xi的标准化数值.容易验证,标准化变量由以下重要性质：(1)标准化变量的均值为0；(2)标准化变量的方差为1。

当x～N(μ,σ2)，t～N(0,1),即我们熟知的标准化正态分布,这时t的异常下限正好是前面定义的tα。

例如，假设y为标准化正态变量，即y~N(0,1)，则由异常下限公式(1.3)及标准化变量的性质有：yα=y+tαS=0+tα=tα由此可见，任何量级的元素，只要将其含量进行标准化，则在信度α下，它们的异常下限为tα，这是标准化变量t的方便之一。

标准化变量的另一意义在于，t值的大小与正负号直观表示了它所对应的原始数值x属于异常的程度及正负性质。

例如当t=1时表示x+S；t=2时表示+2S；t=-3时表示-3S；t=0表示背景值等，它们明确指示了x值落在何种区间，而这些区间又明确对应着一定的概率意义。