计算方法公式总结

计算方法公式总结绪论绝对误差e x x *=-，x *为准确值，x 为近似值。

绝对误差限||||e x x ε*=-≤，ε为正数，称为绝对误差限相对误差*rx x e e x x**-== 通常用rx x ee x x*-==表示相对误差 相对误差限||r r e ε≤或||rr e ε≤ 有效数字一元函数y=f （x ）绝对误差'()()()e y f x e x = 相对误差''()()()()()()()r r e y f x e x xf x e y e x y y f x =≈=二元函数y=f （x 1,x 2）绝对误差12121212(,)(,)()f x x f x xe y dx dxx x∂∂=+∂∂相对误差1211221212(,)(,)()()()r r rf x x x f x x xe y e x e xx y x y∂∂=+∂∂机器数系注：1. β≥2，且通常取2、4、6、82. n为计算机字长3. 指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U4. 尾数部 120.n s a a a =±L ，定位部pβ 5. 机器数个数112(1)(1)n U L ββ-+--+ 机器数误差限舍入绝对 1|()|2n px fl x ββ--≤截断绝对|()|n p x fl x ββ--≤ 舍入相对1|()|1||2n x fl x x β--≤ 截断相对1|()|||nx fl x x β--≤秦九韶算法方程求根()()()m f x x x g x *=-，()0g x ≠，*x 为f （x ）=0的m 重根。

二分法迭代法1()0()k k f x x x ϕ+=⇒= k=0、1、2……{}k x 为迭代序列，()x ϕ为迭代函数，**lim{}()kk x x x ϕ→∞==局部收敛注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛牛顿迭代法'()()()()0k k k f x f x f x x x =+-= 1'()(0,1,2,)()k k k k f x x x k f x +=-=L 注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中'()()()f M f εεεε=-,在这个区间内验证这四个条件。

如果知道根的位置，构造[ε，M （ε）]时应该包括根，即ε+常数线性方程组求解有两种方法：消去法和迭代法高斯消去法利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。

注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。

对角占优矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L1||||(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑L 则称A 为按行严格对角占优矩阵1||||(1,2,,)njj ij i i ja a j n =≠>=∑L 则称A 为按列严格对角占优矩阵(1,)ij ji a a i j n =≥≤,0,(,)0nx R x x Ax ∀∈≠>则称A 是对称正定的。

当A 是上面三种情况时，用高斯消去法消元时0kk a ≠，不用换行。

追赶法是高斯消元法的一种特例列主元高斯消元法当()()||max ||k k sk ik k i na a ≤≤=，即第k 次消元把k~n 行第k 列绝对值最大的行（s 行）调到第k 行，再进行高斯消元。

迭代序列构造(1)()k k +=⇒=+⇒=+Ax b x Bx f xBxf第三个等式为迭代序列，B 为迭代矩阵。

迭代收敛判别1. 充分条件：迭代矩阵范数小于1，1<B P P结论：Ax=b 有唯一解x *2. 充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,()1ρ<BJacobi 迭代法=++A L D U ::其中L :（low ）为下三角，U :为上三角，D 为对角线元素迭代格式：(1)1()1()k k +--=-++xD L U x D b ::迭代矩阵1()-=-+JD L U ::收敛性判据：1||0||||0||0λλλ--=⇒•++=⇒++=I J D L D U L D U ::::求出λ最大值小于1（J 的谱半径小于1）即迭代格式收敛.Gauss-Seidel 迭代法迭代格式(1)1(1)()()k k k +-+=--+xD LxU x b ::(1)1()1()()k k +--=-+++xD L U xD L b :::迭代矩阵：1()-=-+G D L U ::常数矩阵：1()-=+gD L b :收敛性判据：1||0|()||()|0|()|0λλλ--=⇒+•++=⇒++=I G D L D L U D L U :::::求出λ最大值小于1（G 的谱半径小于1）即迭代格式收敛.结论：当A 是严格对角占优的，则Jacobi 和Gauss-Seidal 迭代法均是收敛的插值法用插值多项式p （x ）代替被插函数f(x)插值多项式：01()nnP x a a x a x =+++L ， n+1个点()(0)i i P x y i n ==:插值区间：[,]a b ，插值点满足01n a x x x b ≤<<≤L求插值多项式P （x ），即求多项式系数的过程为插值法带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。

即n+1插值条件对应的不超过n 次的插值函数P （x ）只有一个。

一次线性插值0110100110110()()()x x x x P x y y y l x y l x x x x x --=+=+--000()()()()()ni i ni k i k ni ki i k k i i i kx x x x l x x x x x =≠=≠=≠∏--==∏-∏- Lagrange 插值多项式00()()()n nni n k k k i k k ki i k x x L x y l x y x x ===≠-==∏-∑∑插值余项非插值节点上Lagrange 插值多项式为被插函数f(x)的近似值(1)()()()()()(1)!n nn n i i f R x f x L x x x n ξ+==-=∏-+(,)a b ξ∈带导数插值条件的余项估计注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数1()()()()n n t R t K x W t ϕ+=-第二条性质用于可以证明阶数不大于n 的f(x)的插值余项为0.差商和Newton 插值法记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式通常记作N n（x）分段样条插值分段二次样条插值讨论n为奇偶情况时的三个点余项估计式三次样条插值函数第一类边界条件（端点一阶导数已知）D0等于第一个式子，dn等于第二个式子自然边界条件（端点二阶导数已知二阶导数和M0，Mn=0）曲线拟合最小二乘原理函数关于n个点线性无关注：线性无关的函数为231,,,,,nx x x xL才是最小二乘多项式注：记住公式即可。

数值积分和数值微分k x 为求积节点，k A 为求积系数。

插值求积公式梯形公式Simpson公式Cotes公式截断误差代数精度当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。

则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5截断误差梯形公式Simpson公式Cotes公式Gauss求积公式求积公式代数精度为2n+1[-1,1]上的两点Gauss公式（3次代数精度）1111()(33f x dx f f-≈-+⎰[-1,1]上的三点Gauss公式（5次代数精度）1153853()()(0)()95995f x dx f f f -≈-++⎰记住k k x t ，k k A A :的关系，k t kA :查表即可复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可给定精度ε，21|()()|21n npI f I fε-≤-时221|()()||()()|21n n npI f I f I f I fε-≈-≤-因而可以取2()nI f为()I f的近似值。

梯形Simpson数值微分数值微分截断误差中点公式：00()() ()2f x h f x hD hh+--=常微分方程数值解法Euler方法欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解局部截断误差Euler公式的局部截断误差（一阶精度）后退Euler公式梯形公式(二阶精度)改进Euler公式（二阶精度）截断误差（推导要求掌握，利用梯形和Euler公式的截断误差）.Word 资料。