抽屉原则一
第6讲 抽屉原理一-完整版
第6讲抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时需要利用最不利原则进行分析典型例题兴趣篇1．学校周末要组织4个班的同学去春游，有3个地点可供选择：游乐园、植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有2个班要去同一个地点．答案：见解析解析：设这4个班分别为一班、二班、三班和四班．先考虑一班、二班、三班，如果他们中有2个班去了相同的地点，那么已经满足题目的要求了．如果这3个班都去了不同的地点，也就是3个地点都有一个班去，那么剩下的四班只能去这3个地点中的一个，必然与前3个班中某一个班去的地点相同．由此可见，一定有2个班要去同一个地点．2．卡莉娅、墨莫和萱萱到小高家玩，小高拿出一些巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力．如果把这些巧克力分给他们3人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块．答案：见解析解析：如果每人分6块，那就只分了18块，还剩1块，这块巧克力无论给谁，都会使得这个人的巧克力变为7块，这就说明，一定有人至少拿到7块巧克力.如果让卡莉娅拿7块，墨莫和萱萱各拿6块，那么一共拿了19块．这样一来，每人拿到的巧克力就不到8块，这就说明，不一定有人拿到8块巧克力．3． -次聚会上，大家发现，有40人都是在同一年的10月出生的，试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的，但不一定有3个人在同一天出生．答案：见解析解析：先从40个人里抽出31个人，如果其中有2个人是在同一天出生，那么已经满足题目要求了．如果这31个人分别在10月的1日至31日出生，那么剩下的9个人里再抽出1个人，这个人必定会和之前的31个人中的某一个人在同一天出生，由此可见，他们甲一定有2个人是在同一天出生的．但是，可以是3 1个人分别在1日至31日出生．剩下的9个人分别在1日至9习出生，所以不一定有3个人在同一天出生。
4．任意1830人中，至少有多少人的生日在同一天？答案：5人解析：1830÷366 = 5．所以至少有5人的生日在同一天．5．有红、黄、蓝、绿4种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多．一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有2颗颜色相同？答案：5颗解析：方法一：如果取2颗珠子，它们可以是红色、黄色的珠子各一颗；如果取3颗，它们可以是红色、黄色和蓝色的珠子各1颗；如果取4颗，它们可以是红色、黄色、蓝色、绿色各1颗，而此时再取第5颗的时候就会发现，不管怎么取都会和前4颗珠子中的1颖颜色相同，由此可见，至少要取5颗，才能保证其中一定有2颗颜色相同，’方法二：从最不利的情况考虑——尽量取不同颜色的珠子，看能取几颗，因为只有4种颜色，所以可以取出4颗不同颜色的珠子．这时，再取1颗珠子就会出现2颗同色的珠子．由此可见，至少要取5颗，才能保证其中一定有2颗颜色相同．6．某校的小学生中，年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少选几个学生，才能保证其中一定有3个学生的年龄相同？答案：17个解析：从6岁到13岁，可能情况有：6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁、13岁共8种不同年龄．如果从最不利的情况考虑，就是尽量不出现3个年龄相同的学生，那么每种年龄的人数最多有2个，这样一来最多能选出2×8 =16个，使得其中没有3个学生的年龄相同，如果再多选1人，那么这个学生必然会与某2个学生的年龄相同．因此，至少要选出16十1=17个学生，才能保证其中有3个学生的年龄相同．7．有红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔各10支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？答案：l3支解析：要拿到4支同一颜色的铅笔，最不利的情形应该是红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔都拿，而且每种都已拿3支，一共拿了4×3—12支．如果再多拿1支，那么这支铅笔必然会与之前拿出的某种颜色的3支铅笔同色．因此，至少要拿12+1= 13支铅笔，才能保证一定会拿到4支同色的铅笔．8．口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球，且每种颜色的球都有4个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？答案：13个解析：最不利的情猊应该是只剩1种颜色的球没有摸出．而其他3种颜色的球都被摸出来了．如果小华摸出的球中还差1种颜色，不妨假设缺红色，那么小华最多摸出了黄、蓝、绿各4个，一共有3×4=12个．如果再多摸1个球，这1个球必然是第4种颜色，那么小华就有了4种颜色的球。
抽屉原理四色球练习题
抽屉原理四色球练习题规律：用苹果数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1；若除数为零，则“答案”为商抽屉原则一：把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。
抽屉原则二：把多于m x n 个苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有个苹果。
一、基础训练。
1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少有______个苹果。
98÷10=9??82、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少有_______只鸽子。
1000÷50=203、从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出______个苹果。
17÷8=2??14、从______个抽屉中拿出25个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它当中至少拿出7个苹果。
25÷=6??二、拓展训练。
1、六班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。
王老师说的对吗？为什么÷15=3??186，，87，88，89，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100十五个数2、从1、2、3??，100这100个数中任意挑出51个数来，证明这51个数中，一定有2个数互质任一个奇数都可以和偶数成互质数50个偶数，任意挑出51个数来必会有奇数与偶数有两个数的差是50??50组若取51个每组可取1个共50个，另一个任意取一个，就能组成差是5051÷50=1??13、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0、1、2??、1999，求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个数和这点上所标的三个数之和不小于2999.*2000÷2=19990001999000÷2000*3=4、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号中至少有四个信号完全相同。
抽屉原理-答案
抽屉原则加强篇抽屉原则知识点总结抽屉原则有几种最常见的形式原则1 如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉至少有两个物体：原则2把多于mn个物体放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉中至少有m个物体。
题型：1 构造抽屉2 最不利原则加强篇1．幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.答：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.2．正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.答：正方体6个面作为苹果，两个颜色作为抽屉，根据抽屉原理则正方体一定有三个面颜色相同.3．证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。
证明：37人作为苹果，12个属相作为抽屉，根据抽屉原理，至少有四人的属相相同。
4．一个袋中放有100个小球，其中28个红球，20个绿球，12个黄球，20个蓝球，10个白球，10个黑球，问应从袋中摸出最少多少只小球，才能确保有15个同色的球。
答：最不利的情况是摸到12个黄球，10个白球，10个黑球，其他颜色各摸14个，14×3+10+10+12+1=75个5．黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根筷子才能保证达要求？答：最不利的情况是8+2+1=11根6．用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色.证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。
答：5列看作5个抽屉，4种涂色方式看作4个抽屉，根据原理即得7．3A奥数五年级某班有学员13人，请说明在这13名同学中一定有两个同学是同一星座。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原则一:把n个以上的苹果放到n个抽屉里面，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2个苹果。
抽屉原则二：把多于m n个苹果放到n个抽屉里面，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（m+1)个苹果。
1.把27个苹果放进4个抽屉里，能否使每个抽屉里的苹果均小于等于6？那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几？2.把25个苹果放进5个抽屉里，能否使抽屉里苹果的数均小于等于4？那么至少有一个抽屉里的苹果数大于等于几？3.把98个苹果放到10抽屉里，无论怎么放我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含多少个苹果？4.1000只鸽子飞进50个巢里，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含多少只鸽子？5.从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。
我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？6..某校六年级有3个班，在一次数学竞赛中至少有（）人获奖才能保证在获奖的同学中一定有4名同学同班。
7.某市场上有128箱苹果，每箱至少有120个，至多有144个，装苹果个数相同的箱子称为一组，其中数量最多一组的箱子个数为n那么n的最小值是（）8.有61只乒乓球将它们放在20个盒子里，不允许有空盒子，每个盒子里最多放5只乒乓球，那么最少有（）个盒子里的乒乓球数量相同。
9.一副扑克牌有54张，最少要抽几张牌方能使其中至少2张牌有相同的点数。
10.一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问：最少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一颜色。
11.有一叠包含20张红色，20张黄色，20张绿色的纸牌及20张蓝色，请问至少要抽多少张纸牌才能保证其中有12张纸牌的颜色相同?12. 有一叠包含20张红色，20张黄色，20张绿色的纸牌及10张蓝色，请问至少要抽多少张纸牌才能保证其中有12张纸牌的颜色相同?13.袋子里有18个大小相同的彩色球，其中红球有3个，绿色球有10个，黄色球有5个，现在要一次性从袋中取出若干个球，使得这若干个球至少有5个球是同颜色的，那么从袋中一次性取出的球的个数至少是多少个？14.口袋里有70只球，其中20只是红球，20只是绿球，20只是黄球，其余的是白球和黑球，任意从中取出多少只球，可保证取出的球中至少有10只同色的球？15.一个不透明的袋子里放有黑、黄、红、绿颜色的手套各8只，不许眼看，则至少要从袋中取出多少只手套才能保证配成5双（一双是指相同颜色的两只手套，不分左右）。
抽屉原理
抽屉原理知识点1. 最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最少值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
最不利原则就是从“极端糟糕”的情况开始考虑问题，也就是说：找出最坏的情况是应用最不利原则解题的关键。
2. 抽屉原理抽屉原理I：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
假定n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是l 件，或者没有。
这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。
这与有多于n件物品的假设相矛盾。
说明抽屉原理I成立。
抽屉原理Ⅱ：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1件。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到(m十1)件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
说明原来的假设不成立。
所以抽屉原理Ⅱ成立。
运用抽屉原理解题的步骤(1)确定什么作为“抽屉”；(2)把什么当作“物品”；(3)如果满足“物品”的数量多于“抽屉”的个数，则可以根据抽屉原理得出结论。
说明：对于有些问题，同样可以运用最不利原则解答。
典型例题例1 橱柜里有木筷子6根，竹筷子8根，从中最少摸出多少根筷子，才能保证有两双不同的筷子?提示“有两双不同的筷子”，实际上就是指木筷子、竹筷子各一双，即起码要有2+2＝4(根)。
题目要求“保证有两双不同的筷子”，只摸出4根筷子是保证不了的。
从最坏的情况来考虑，一个人先摸出8根筷子，可能都是竹筷子，实际只满足了有一双筷子的要求，那么再摸2根，必然出现一双木筷子，合起来就是10根筷子。
这就是所说的“最不利情况”。
解由于先摸出8根筷子，都是竹筷子，只满足两双不同筷子要求的一部分，是最坏的情况，再摸出2根，必有一双木筷子出现。
8+2＝10(根)，所以，从中最少摸出l0根筷子，才能保证有两双不同的筷子。
六年级抽屉原理
分析：题中给出三个 问题，根据不同的问 题利用最不利原则解 决即可，是例题2对应 的练习题。
解:(1)20+1=21(根)； (2)10+2+1=13(根)； (3)3×3+1=10(根)； 答：至少取21根才能保证 三种颜色的筷子都取到， 至少取13根才能保证有两 双不同颜色的筷子，至少 取10根才能保证有两双颜 色相同的筷子。
D
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巩固练习
1、1001只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一 定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有多少 只鸽子。
分析：与例题1 相呼应，是最基本的抽屉原理， 独立完成。
解:1001÷50=20（只）……1（只） 20+1=21（只） 答：它里面至少含有21只鸽子。
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巩固练习
2、口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
解: 98÷10=9（个）…8（个） 9+1=10（个） 答：放苹果最多的抽屉里面至少放有10个苹果。
ห้องสมุดไป่ตู้
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例题讲解
例2、在一个盒子里装着 形状相同的三种口味的 果冻，分别是苹果口味、 巧克力口味和香芋口味 的，每种果冻都有20个， 现在闭着眼睛从盒子里 拿果冻。请问： ⑴至少要从中拿出多少 个，才能保证拿出的果 冻中有香芋口味的？ ⑵至少要从中拿出多少 个，才能保证拿出的果 冻中至少有两种口味？
解:(2)20+1=21(个) 答：至少要从中拿出21个，才能保证拿出的果冻中至少有 两种口味
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例题讲解
例3、一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中 红色的有10个，白色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3 个，绿色的有1个。那么一次最少取出多少个球，才能保 证有4个颜色相同的球？
抽 屉 原 理
抽屉原理“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。
例：有高六层的鸽笼，每一层有四个间隔，所以总共有6×4＝24个鸽笼。
现在我放进25只鸽进去，你一定看到有一个鸽笼会有2只鸽要挤在一起。
原则1：如果把n+k(k大于等于1)件东西放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。
例1 六年级有31名学生是在9月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是同一天。
为什么？解9月份有30天，可以看做30个抽屉，把31名学生看做31个苹果。
根据抽屉原理，至少有一个抽屉里放有2个苹果，即说明至少有2名学生的生日是在同一天。
例2 在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。
为什么？例3 任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。
这是为什么？想一想：如果把例3中的4改为7,3改为6，结论成立吗？例4 （1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102；（2）从1到100的所有奇数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于102。
请说明理由。
例5 下面画出了3行9列共27个小方格，将每一个小方格图上红色或蓝色。
不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。
这是为什么？原则2：如果把m×n+k(k大于等于1)件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有m+1件东西。
例1：今年入学的一年级新生中，有181人是同一年出生的。
这些新生中，至少有多少人是同一年的同一月出生的？例2：有红、黄、蓝三种不同的玩具若干个，每名同学从中任意拿2个。
至少多少名同学中一定有两名所拿的玩具种类相同？例3：布袋里有4种不同颜色的小球，每种颜色的球至少2个，每次任意摸出2个，然后再放回去。
要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？例4：某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。
抽屉原理知识点总结 抽屉原理复习知识点
抽屉原理知识点总结抽屉原理复习知识点抽屉原理是组合数学中一个重要的原理，也是小学数学的一个重点知识。
以下是本人为你整理的抽屉原理知识点总结，希望你喜欢。
抽屉原理知识点总结抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理知识点总结：抽屉原则一如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原理知识点总结：抽屉原则二如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;关键问题：构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
抽屉原理知识点总结：抽屉原理练习1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球?解：把3种颜色看作3个抽屉，要符合题意，则小球的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。
2.一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。
苏教版六年级小升初奥数专项训练 第十二周 数学广角
第十二周数学广角1、抽屉原理（一）【题型概述】如果把n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么，至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。
这个道理我们都能够想得通，它称为抽屉原理原则一。
今天，我们就来学习原则一的运用。
【典型试题】六年级有32名学生是在1月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是同一天，为什么？思路点拨：因为1月份有31天，可以看做31个抽屉，把32名学生看做32个苹果。
根据抽屉原理原则一，至少有一个抽屉里放2个苹果，也就是说至少有2名学生的生日是同一天。
【举一反三】1、育才小学六（1）班54名学生是同一年（该年有365天）出生的，能否说明至少有2人是在同一个星期过生日的？2、有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，混合后放在一个布袋内，一次至少摸出几个才能保证有2个同色的？3、任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。
这是为什么？【拓展提高】在长度为2米的线段上任意画11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。
为什么？思路点拨：我们不妨把2米长的绳子平均分成10段，每段长20厘米。
把每一段看做一个抽屉，共10个抽屉；将11个点放入10个抽屉中，至少有1个抽屉中放了2个点。
那么，根据抽屉原理，在同一个抽屉（同一段）中，这两个点之间的距离一定不大于这段的长度20厘米。
【奥赛训练】4、在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米。
5、一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？2、抽屉原理（二）【题型概述】如果把m×n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么一定有一个抽屉里至少有m+1件东西。
这就是我们今天学习的抽屉原理原则二。
【典型例题】某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具共122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或是4件以上的玩具？思路点拨：将40名小朋友看成40个抽屉，122=3×40+2，由抽屉原理原则二知，至少会有一个小朋友得到3+1=4件，或4件以上的玩具。
【小高数学知识点】抽屉原理
抽屉原理一、知识结构图抽屉原理二、方法讲解抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。
它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
1、抽屉原理将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
例如：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果；将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
例如：如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
2、最不利原则这是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。
例如：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？解析：（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。
（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和 个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。
这样摸出的 个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出 个球。
数学奥赛辅导 第七讲 抽屉原则、容斥原理
数学奥赛辅导 第七讲 抽屉原则、容斥原理知识、方法、技能 I ．抽屉原则10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则.将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式：原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ）（1）当n |m 时，至少有一类中含有至少n m个元素； （2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[nm]+1个元素.其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[nm ]表示不超过nm的最大整数.原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至少有k m 个元素.原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素.以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略.一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果.对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题：（1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？（3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确.用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的“抽屉”. Ⅱ. 容斥原则当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X 表示成它的一组两两互异的非空真子集A 1，A 2，…A n 的并集，即},,,{.2121n n A A A A A A X ==ϕ集合叫做集合X 的一个覆盖.一个特殊情况是，集族ϕ中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族ϕ为集合X 的一个（完全）划分.如ϕ为集合X 的划分，则对集合X 的计数可通过熟知的加法公式||||||||||321n A A A A X ++++= ①进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算|X|，当集族ϕ中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X 的不完全划分. 对于集合X 的不完全划分，显然有有||||||||21n A A A X +++< ②因为在计算|A i |时出现了对某些元素的重复计数，为了计算|X|，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理. 是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的. 容斥原理有两个公式.1．容斥公式定理1 设则为有限集,),,2,1(n i A i = ∑∑=≤<≤=-=-++-=ni nj i i ni n j i i i ni A A A A A 11111||)1(|||||| ③证明：当,/,/,,1221121B A A B A A B A A n ='='== 设时由加法公式有|||||||||)||(||)||(|||||||||||,||||||,|||||2121212121212211A A A A B B A B A B A A B A A A A A B A A B A -+=+-+-=++'+'=''==+'=+'结论成立.若n =k 时结论成立，则由∑∑∑=≤<≤=+=-+=+=+=+=+=-+-++-=-+=-+=ki kj i ki i k i ki k j i i i i ki k i ki k i ki k i ki i k i A A A A A A A A A A A A A A A 1111111111111111||||)1(|||||)(||||||)(|||||||∑≤<≤+=+++-+-+ki i k i ki kk j k i k A A A A A A A 111111|)(|)1(|)()(||∑∑+=+≤<≤+=-++-=111111||)1(||||k i k j i i k i kj i i A A A A 知，1+=k n 时结论成立.由归纳原理知，对任意自然数n ，公式③成立. 公式③称为容斥公式，显然它是公式①的推广.如果将i A 看成具有性质i P 的元素的集合，那么n A A A X 21=就是至少具有n 个性质n P P P ,,,21 之一的元素的集合. 因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目. 2．筛法公式与容斥公式讨论的计数问题相反，有时需要计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数，即||21n A A A . 为此，我们先引入下面的引理.引理1 设A 关于全集I 的补集为A ，则.||||||I A A =+引理2 ,11i n i i n i A A === ,11i ni i n i A A ===引理简单证略. 利用二引理改写公式③便是 定理 2 设),,2,1(n i A i =为有限集I 的子集，则||||||||111i ni i ni i ni A I A A ===-==∑∑=≤<≤=-+++-=ni nj i i ni nj i i A A A A I 111||)1(|||||| ④赛题精讲例1设ABC 为一等边三角形，E 是三边上点的全体. 对于每一个把E分成两个不相交子集的划分，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点？（第24届IMO 第4题） 【证明】如图I —3—2—1，在边BC 、CA 、AB 上分别取三点P 、Q 、R ，使.3,3,3ABRB CA QA BC PC ===显然 △ARQ ，△BPR ，△CQP 都是直角三角形. 它们的锐 角是30°及60°.设E 1，E 2是E 的两个非空子集，且==2121,E E E E E 由抽屉原则P 、Q 、R 中至少有两点属于同一子集，不妨设P 、Q ∈E 1. 如果BC 边上除P 之外还有属于E 1的点，那么结论已明.设BC 的点除P 之外全属于E 2，那么只要AB 上有异于B 的点S属于E 2，设S 在BC 上的投影点为Ｓ′，则△SS ′B 为直角三角形.再设AB 内的每一点均不属于E 2，即除B 之外全属于E 1，特别，R 、A ∈E 1，于是A 、Q 、R ∈E 1，且AQR 为一直角三角形. 从而命题得证.【评述】此例通过分割图形构造抽屉. 在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行讨论，使问题得到解决.例2：在1，4，7，10，13，…，100中任选出20个数，其中至少有不同的两组数，其和都等于104，试证明之. （第39届美国普特南数学竞赛题）【证明】给定的数共有34个，其相邻两数的差均为3，我们把这些数分成如下18个不相交的集合.{1}，{52}，{4，100}，{7，97}，…{49，55}.且把它们分作是18个抽屉，从已知的34个数中任取20个数，即把前面两个抽屉中的数1和52都取出，则剩下的18个数在后面的16个抽屉中至少有不同的两个抽屉中的数全被取出，这两个抽屉中的数互不相同，每个抽屉中的两个数的和都是104.【评述】此例是根据某两个数的和为104来构造抽屉. 一般地，与整数集有关的存在性问题也可根据不同的需要利用整数间的倍数关系、同余关系来适当分组而构成抽屉.例3 设 ,,,321a a a 是严格上升的自然数列：<<<321a a a ，求证：在这个数列中有无穷多个m a 可以表示为q p m ya xa a +=，这里q p ≠是两个正整数，而y x ,是两个适当的整数. （第17届IMO 第2题）【证明】对严格上升的自然数列 <<<321a a a ，取以1a 为模的剩余类，则可分为1a 类 {0}，{1}，{2}，…，{11-a }.考虑无穷数列,,,32 a a 由抽屉原则，其中有无穷多项属于同一类，不妨设这一剩余类是{r}，且记其中数值最小的那一项为q a ，显然1>q ，于是,1r ua a q +=其中的u 是某个正整数，其他的属于这一剩余类的任一项m a 可表示为 .1r a a q +=ν由于,,u a a q m >>ν故所以有.)(111q q m a a u ua a a a +-=-+=νν令u x -=ν，这是一个正整数，再令1=y ，则上式成为.1q m ya xa a -=显然，这里的q p <=1.例4：设n x x x ,,,21 为实数，满足12232221=++++n x x x x ，求证：对于每一整数2≥k ，存在不全为零的整数),,2,1(1||,,,,21n i k a a a a i n =-≤使得并且.1)1(||2211--≤+++nn n k n k x a x a x a 【证明】由柯西不等式得))(111(|)||||(|2232221222221n n x x x x x x x +++++++≤+++即n x x x n ≤+++||||||21 . 所以，当有时,10-≤≤k a i ||||||2211n n x a x a x a +++.)1(|)||||)(|1(21n k x x x k n -≤+++-≤把区间))1(,0[n k -等分成12-k 个小区间，每个小区间的长度为1)1(--n k nk ，由于 每个i a 能取k 个整数，因此n n n k x a x a x a 共有||||||2211+++ 个正数，由抽屉原则知必有二数会落在同一个小区间之内，设它们分别是 ||||11i ni i ini i x a xa ∑∑=='''与，因此有∑=--≤''-'ni n i i i k nk x a a 11)1(|||)(| ① 很明显，我们有.,,2,1,1||n i k a a i i =-≤''-'现在取⎩⎨⎧<'-''≥''-'=)0(,)0(,i i i i ii i x a a x a a a 如果如果这里i =1,2,…,n ，于是①可表示为∑=--≤ni ni i k nk x a 1.1)1(||这里i a 为整数，适合.,,2,1,1||n i k a i =-≤【评述】如上例所示，在证明存在某些有界量使相关的不等式成立时，可类似地把某区间划分为若干小区间作为抽屉，借用抽屉原则来证明.例5：一个国际社团的成员来自六个国家共有1978人，用1，2，…，1977，1978来编号，试证明：该社团至少有一个成员的编号或者与他的两个同胞的编号之和相等，或者是其中一个同胞的编号的两倍. （第20届IMO 第6题）【证明】可用反证法来证明与本题完全相当的下列问题：把整列1，2，…，1978按任一方式分成六组，则至少有一组具有这样的性质：其中有一个数或等于四组中其他两数之和，或等于其中某一个数的两倍.假设这六组中的每一组数都不具备上述性质，也就是说每一组数都具备下列性质，记作性质（P ）： 同组中任何两数之差必不在此组中.因为如果有b a ,连同b a -都在同一组中，那么由)(b a b a -+=可知，这组已具备题目所要求的性质.因1978÷6>329，所以由抽屉原则可以肯定有一个组A ，其中至少有380个正整数，现在从A 中任意取出330个数业，记其中最大的那个数为1a ，把1a 分别减去其余329个数而得到329个差，它们互不相等且均小于1978. 由性质（P ），它们不会再在组A 中，即应属于其余五组. 又因329÷5÷>65.再由抽屉原则可以肯定有一组B ，其中至少含有上述329个数中的66个数，从B 中任取66个数且记其中最大的那个数为b 1，再把b 1减去其余65个数，得出的差显然不再属于B ，当然也不会属于A.假如其中的某一个数b b -1属于A ，由于1b 与b 分别可以写为 a a b a a b -='-=111,其中a a '与都属于A ，于是 a a a a a a b b '-=--'-=-)()(111这就同A 具备性质（P ）的假设相违背，这就是说上述65个数必属其余四个数组.由于65÷4>16，所以至少有一组，称为C ，至少会有上述65个整数中的17个，反复进行上述推理，最后可得一数组F ，其中至少会有两个数，大数与小数之差是一个小于1978的正整数，可是它不在A 、B 、C 、D 、E 、F 的任一组中，这显然是一个矛盾，这矛盾说明至少有一组数不具备性质（P ）.即题目的结论是正确的.【评述】我们容易发现，如果把此题中1978改为任何一个不小于1957的正整数后其结论仍是成立的. 上例的解答过程说明了对有些数学问题需要我们连续运用抽屉原则，而且每构造一次抽屉都把范围缩小一些.例6：已知1与90之间的19个（不同的）正整数，两两的差中是否一定有三个相等？（匈牙利数学竞赛题，1990年）【证明】设这19个数为.9011921≤<<<≤a a a由于)()()(1217181819119a a a a a a a a -++-+-=- ，若右边的18个差中无三个相等，而只有两个相等，且取最小的，则,90)921(2119=+++⨯>- a a这与89190119=-≤-a a 矛盾. 所以两两的差中定有三个相等. 抽屉原则实际上都是重叠原则，这里再介绍抽屉原则的几种变形：平均量重叠原则：把一个量S 任意分成n 份，则其中至少有一份不大于n S ，也至少有一份不少于nS .面积的重叠原则：在平面上有n 个面积分别是A 1，A 2，…，A n 的图形，把这n 个图形按任何方式一一搬到某一个面积为A 的固定图形上去，（1）如果A 1+A 2+…+A n >A ，则至少有两个图形有公共点；（2）如果A 1+A 2+…+A n <A ，则固定图形中至少有一个点未被盖住. 例7：在一个面积为20×25的长方形内任意放进120个面积为1×1的正方形，证明：在这个长方形内一定还可以放下一个直径为1的圆，它和这120个正方形的任何一个都不相重叠. （第1届全俄数学奥林匹克试题）【证明】要使直径为1的圆完全放在一个矩形里，它的圆心应与矩形任何一条边的距离不小于21，这可从20×25的长方形ABCD 的每一边剪去一个宽为21的长条，则余下的长方形A ′B ′C ′D ′的面积为19×24=456[如图I —3—2—2（a ）].这样，任意放进长方形ABCD 内的直径为1的圆心都在长方形A ′B ′C ′D ′中，此外，圆心应与任何一个正方形的边界的距离也大于21，即在任何一个小正方形以外加上21的框[如图I —3—2—2（b ）所得图形的面积是4342141ππ+=+⨯+.用这样的120个图形互不相交地去覆盖长方形A ′B ′C ′D ′，它们的总面积等于).43(120π+⨯ 但是 ).43(120π+⨯.4562.153042.312120=⨯=+⨯< 这说明用这样的120图形不能覆盖一个面积为456的长方形，从而可以在长方形ABCD内放置一个直径为1的圆，它不与所有的小正方形中的任何一个重叠. 例8：设n 与k 是正整数，n k n n <<>2,3平面上有n 个点，其中任意三点不共线，如果其中每个点都至少和其他k 个点用线段连接，则连接的线段中至少有三条围成一个三角形.（波兰数学竞赛题，1968年）【证明】因为nk n 2,3>>所以2≥k .这表明：n 个点中必有两个点a 与b ，它们之间连一段线段，余下的点构成的集合记作X.X 中用线段与a 连接的所有点的集合记作A ，而与b 连接的所有点的集合记作B. 显然A ∪B 是X 的子集，因此，|A ∪B|≤|X|=n －2. 另一方面，由已知条件，1||,1||-≥-≥k B k A ，则由容斥公式，||22||||||||2B A k B A B A B A n --≥-+=≥-即 02||>-≥n k B A .这就证明了φ≠B A ，也就是说B A 中必有一点c ，它与a ，b 构成一个△abc .。
抽屉原则(一)同步练习
六年级奥数通用版抽屉原则（一）同步练习（答题时间：30分钟）1. 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。
2. 证明从1、3、5、……29这前15个奇自然数中，任取9个数，其中必有两个数之和是32。
3. 某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问：小书库中至少要有多少本书，才能保证有一个同学一次至少能借到两本书？4. 布袋中有60个形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，问：一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块的号码相同？5. 对于任意11个整数，证明其中一定有6个数，它们之和能被6整除。
6. 要保证在边长为1的正六边形中必有两点，使这两点间的距离小于12，那么至少要放置多少个点？【试题答案】1. 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。
11岁～13岁一共12336⨯=（个月）根据抽屉原理（一）知：36个月相当于“抽屉”，40个同学相当于“元素”，其中必有两个同学是同年同月出生的。
2. 证明从1、3、5、……29这前15个奇自然数中，任取9个数，其中必有两个数之和是32。
把这15个奇自然数分类（八组） （3，29）、（5，27）、（7，25）、（9，23）、（11，21）、（13，19）、（15，17）、（1） 从中取出9个数，必会从同一组中取出2个数，那么一定会有2个数之和是32。
3. 某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问：小书库中至少要有多少本书，才能保证有一个同学一次至少能借到两本书？将41名学生看作41个抽屉，而将书看作元素，根据抽屉原理，元素的数目要比抽屉的数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的元素，所以小书库中至少要有42本书。
4. 布袋中有60个形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，问：一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块的号码相同？布袋中有60块木块，每6块编上相同的号码，所以共有10种编号的方法，我们将编号相同的木块看作一类，又将这十类看作10个抽屉，要保证其中一个抽屉至少有三个元素，即至少需()3110121-⨯+=个元素。
抽屉原则
抽屉原则知识点拨抽屉原则,又称鸽巢原理,最早由德国数学家狄利克雷提出,并在有关数论问题中得到成功应用.抽屉原则,主要有下面几种表述形式：抽屉原则1：把n ＋1个元素分为n 个集合,那么必有一个集合含有两个以上的元素.抽屉原则2：把mn ＋1个元素分为n 个集合,那么必有一个集合中含有m ＋1个或m ＋1个以上的元素.抽屉原则3：把n 个元素分为k 个集合,那么必有一个集合中的元素个数≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡k n ,也必有一个集合中的元素个数≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡k n . 抽屉原则4：把无穷多个元素分为有限个集合,那么必有一个集合含有无穷多个元素.在运用抽屉原则时,所给定的元素具有任意性,也就是说,对元素的处理是任意的；所论证的问题,也只要求存在即可,不必一定是确定的.运用抽屉原则进行论证的命题,往往含有“至少含有”、“一定有”、“不少于”、“存在”、“必然有”等词语.利用抽屉原则的关键在于构造抽屉,从而把论证的命题的范围缩小,使问题变得简单明确,易于把握.一般说来,总是从问题自身的特点出发,先弄清所需要进行分类的元素特征.并指出规律,从而构造“抽屉”.利用抽屉原则解题的一般步骤是：第一步,根据元素的特征,构造抽屉(是运用抽屉原则解决问题的关键)；第二步,把元素放入所构造的抽屉；第三步,运用抽屉原则,对所论证的问题作出问题. 赛题精讲(一)抽屉原则的一般运用例1 证明：从1,2,3,…,11,12这12个数中任意取出7个数,其中至少有两个数之差为6.【解析】现将这12个数按下面的方式分成6组(1,7)；(2,8)；(3,9)；(4,10)；(5,11)；(6,12).任取7个数,根据抽屉原则1,至少有两个数来自同一个抽屉,这也就是说,至少有两个数之差是6.例2 某校初中二年级共有210名学生,则至少有18名同学是在同一个月里出生的.【解析】由于一年有12个月,则可以将其试作12个抽屉,又因为210＝12×17＋6.因此根据抽屉原则2可知,至少有19名同学是在同一个月里出生的.例3 从1,2,3,…,n 中任取10个数,使得其中两个数比值大于32,小于23,那么n 的最大值是91. 【解析】由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里,显然最多构造9个抽屉.这9个抽屉中的每一个抽屉都含有1,2,3,…,n 中的一些数,而且这些数必须满足每两个数的比值都在32和23之间,这9个抽屉,是：｛1｝；｛2,3｝；｛4,5,6｝；｛7,8,9,10｝；｛11,12,…,16｝；｛17,18,…,24,25｝；｛26,27,…,38,39｝；｛40,41,…,59,60｝；｛61,62,…,90,91｝.因此,n 的最大值是91. 例4 从1到100这100个自然数中,任意取出51个数,其中一定存在两个数,这两个数中的一个是另一个的整数倍.【解析】由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n 和乘积的形式,而且这种表示方法是惟一的.因此,我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：｛1,1×2,1×22,…,1×23,1×26｝；｛3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25｝；｛5,5×2,5×22,5×23,5×24｝；……；｛49,49×2｝；｛51｝；｛53｝；……；｛99｝.于是从这50个抽屉中任取51个数,根据抽屉原则,其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉,即命题得证.(二)同余与抽屉原则当任何一个正整数m 被另一个正整数n 相除时,总可以写成m ＝nq ＋r 的形式(其中,q 称为商,r 称为余数.当n 整除m 时,r ＝0；当n 不能整除m 时,r 为小于n 的正整数,也就是说,这里的0≤rn .)于是,我们可以根据m被n所除的余数的不同情况来构造抽屉,进而运用抽屉原则来解决一些与之相关的命题.这时,我们根据整数被某一整数n相除所得的余数相同与否进行分类,从而构造抽屉.如果将所有整数被n所除余数相同(习惯上我们称之为同余)的数归为一类,这样便可以构造出n个不同的抽屉,而且任一整数,它必然在这n类数(或n个抽屉)中的某一个之内.同时,如果所讨论的对象超出了n个,那么至秒有两个数被n所除的余数相同；此外,这样的两个数的差也一定能被n整除.下面,我们给出一些运用同余来构造抽屉并解决实际问题的例子.例5 对于任意给定的n个自然数,其中一定存在若干个数,它们的和是n的倍数.【解析】我们假设n个自然数是a1,a2,a3,…,a n,而且考虑如下形式的和：S1＝a1,S2＝a1＋a2,…,S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n.如果在这n个和S1,S2,…,S n中,存在一个数是n的倍数,则原命题成立.如果在n个和S1,S2,…,S n中,没有n的倍数的数,那么它们被n除所得的余数只可能是1,2,…,n－1共n－1种情况.但由于S,S2,…,S n共有n个数,从而根据抽屉原则,必然存在两个数它们1被n除的余数相同.不妨设在这两个数是S k与S j(k>j),那么这两个数的差S k－S j一定是n的倍数.也就是说,有：S k－S j＝(a1＋a2＋a3＋…＋a j＋a j＋a j＋2＋…＋a)－k(a1＋a2＋a3＋…＋a j)＝a j＋1＋a j＋2＋…＋a k,这表明：这时从第j＋1个数起,一直到第k个数.它们的和正好是n的倍数.例6 如果三个完全平方数之和能被9整除,那么可以从这三个数中选出两个来,使得这两个完全平立数之差也能被9整除.【解析】下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数.根据同余理论,我们知道,任何一个整数总可以表示成：9k,9k±1,9k±2,9k±3及9k±4这九种情况中的一种.现在将这九种情况分别平方,于是可得：(9k)2＝9×9k2＋0；(9k±1)2＝9(9k2±2k)＋1；(9k±2)2＝9(9k2±4)＋4；(9k±3)2＝9(9k2±6k＋1)＋0及(9k±4)2＝9(9k2±8k＋1)＋7.可见,任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0,1,4,7这四种情况之一.另一方面,由于所选的三个完全平方数之和能被9整除,因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个,其和要能被9整除,只可能是｛0,0,0｝、｛1,1,7｝、｛1,4,4｝或｛4,7,7｝这四种情况中的一种.而在上面这四种可能的余数组合中,每一组都至多有两种余数,因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同,从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除.(三)图形分割与抽屉原则一些与几何图形有关的数学命题,有时可以先根据图形的特点“适应”地将其分割,然后再利用分割而成的图形来构造“抽屉”,最后在此基础上再利用抽屉原则来解决这些问题.例7 如果在长度为1的线段上有n ＋1个点,那么其中必有两点,它们之间的距离不超过n1. 【解析】这里,我们可以将这条线段n 等分,并把等分后的每一份看成一个“抽屉”,那么这里的n ＋1个点至少有两个点一定在等分后的“抽屉”中,也就是说,至少有两个点在一个长度为n1的小线段内,当然这两个点之间的距离就一定不会超过n1.命题得证. 例8 在边长为1的正方形内任给五点,则必有两点,它们之间的距离不大于22. 【解析】由抽屉原则,显然我们应将这五点放入四个合适的抽屉中,且每个抽屉中任两个点的距离都不超过22.于是我们可以通过连接正方形两组对边的中点,从而将其分割成长度为21的四个小正方形来构造“抽屉”.这样,任意的五个点中必有两个点一定在同一个小正方形内,如图1所示,而每一个小正方形内两点间的最大距离就是22.因此,在同一个小正方形内的两个点的距离一定不大于22.于是命题得证.这里,特别值得一提的是,并不是任意与几何图形有关的命图1题在构造抽屉时都一定得将图形等分(见下面的例9).事实上,就本例来讲,如果将原正方形的两条对角线连接起来,也将原正方形四等分了,但是对于原命题的证明是没有任何原助的.因为这时如果两点恰好位于正方形的相邻的两个顶点处,这样的两个点也可以在一个抽屉内,但是这两个点的距离却不大于22,显然与原命题的要求不符.例9 证明：如果在边长分别为3和4的矩形中有任意6个点,那么一定可以选出两个点,它们之间的距离不大于5.【解析】根据抽屉原则,显然需要将3×4的矩形分割成五个“抽屉”,每个抽屉中任意两个点的最大距离不超过5.而且大家都容易将5与边长为1×2的矩形联系起来,因为这里矩形的对角线长度是5.但是这样却把3×4的矩形分割成了六个“抽屉”,显然这是不符合题目要求的.可见,构造的抽屉是要满足一定 “尺寸”的.我们可以在此基础上适当改造“抽屉” 的形状,如图2,可以将图中的点A 、B 、K 、J 、 I 这五点,B 、C 、D 、L 、K 这五点,D 、E 、F 、L 这四点,F 、G 、J 、K 、L 这五点以及G 、H 、 I 、J 这四点所组成的五边形或四边形为“抽 屉” 而构造出五个抽屉,而且这五个“抽屉” 中的任何两个点之间的最大距离都不超过5.根据抽 屉原则,该命题得证.这是“非平均分割”而构造“抽屉”的一个非常有说明力的例子.可见,对于通过分割图形来构造“抽屉”并运用抽屉原则来解决问题时,恰当的构造抽屉是多么重要；同时也说明在构造抽屉时,并不一定是将所给出的图形等分.针对训练A 组1.一个口袋内有100个球,其中有红球28个,绿球20个,黄球12个,蓝球20个,白球10个,黑球10个.从袋中任意取球,如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同,那么至少要从袋中取出多少个球？2.从1到100这100个自然数中至少要取出多少个数,才能保证一定存在两个数是互质的.3.有100人聚会,其中每一个人都认识这100人中的50人.现请I 图2你证明：可以从中选出4人,当这4人坐成一个圆圈时,每个人都与他所认识的人邻坐.4.一定存在这样的正整数,它的各位数字由0或1构成,并且是201的倍数.5.证明：在任意给定的100个整数中,一定存在两个数,它们的和或差是100的倍数.B组1.证明：在21－1,22－1,23－1,…,2n－1－1这n－1个数中,至少有一个数能被n整除(其中n为大于1的奇数).2.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形.证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.3.对于平面上给定的25个点,如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1,那么在这些给定的点中,一定可以找到13个点,这13个点都位于一个半径为1的圆内.4.我们把在直解坐标平面内横坐标都是整数的点称为整点.证明：对于平面内任意给定的五个整点,其中一定存在两个整点,这两个点的连线的中点仍为整点.5.在直角坐标系中,我们考虑上面所定义的整点(x,y),其中1≤x ≤16,1≤y≤9,显然共有114个整点.如果将114个点任意地染成红、黄、蓝三色,那么一定存在一个长方形,它的边平形于坐标轴,且它的顶点颜色相同.。
抽屉原则
抽屉原则基础知识：（1）抽屉原则：把n＋1个苹果（或多于n＋1个苹果）放入n个抽屉中，至少有一个抽屉至少放入了2个苹果。
（2）抽屉原则2∶把kn＋1个苹果（或多于kn＋1个苹果）放入n个抽屉中，至少有一个抽屉至少放入了k＋1个苹果。
（3）反向抽屉原则：把kn－1个苹果（或多于kn－1个苹果）放入n 个抽屉中，至少有一个抽屉至多放入了k－1个苹果。
例1.从1~2016中最多可以选取多少个数，使得这些数中任意两个数的差不等于6。
[答疑编号505721590101]【答案】1008【解答】如果选取1~6，13~18，25~30，……，2005~2010这1008个数，则其中任意两个数的差不等于6，符合要求。
如果选取的数超过1008个，即至少选出了1009个数。
将1~2016分为1008对：（1，7），（2，8），（3，9），（4，10），（5，11），（6，12），（13，19），（14，20），（15，21），（16，22），（17，23），（18，24），1…………（2005，2011），（2006，2012），（2007，2013），（2008，2014），（2009，2015），（2010，2016）。
上述1008对数就是1008个抽屉，那么只要选出的数至少有1009个，其中就必有两个数在同一个抽屉中，那么这两个数的差等于6，不符合要求。
综上所述，最多可以选取1008个数。
进一步思考：在1~2013中最多可以选取多少个数，使得这些数中任意两个数的差不等于6？（1，7），（2，8），（3，9），（4，10），（5，11），（6，12），（13，19），（14，20），（15，21），（16，22），（17，23），（18，24），…………（2005，2011），（2006，2012），（2007，2013），（2008），（2009），（2010）。
[答疑编号505721590102]2例2.求证：在2013个数1、11、111、1111、……、11……1中，必有一个是2013的倍数。
小学奥数模块教程2016抽屉原则(一)
广州市小学数学奥林匹克培训学校辅导资料抽屉原则（一）（2012.12.16五）抽屉原则是一种推理方法，它揭示了事物数量关系的某种规律，是解决某一类数学问题的有力工具。
“抽屉原则”是人们从一件件普通而生动的日常生活趣事中发现的。
例如，有一个人要把四个大苹果放到三个抽屉里去，会有几种不同的放法呢？这个问题既简单又有趣，同学们细心地想一下，就知道有下面各种不同的放法：从以上四种不同放法中，我们可以看出它们的一个共同点就是：至少有一个抽屉里放有不止一个大苹果。
其实这个道理也很简单，我们反过来想，钥匙每个抽屉里不放或只放一个苹果，那根本不需要或最多只需要3个苹果。
而现在有4个苹果，自然就至少有一个抽屉放有不止一个苹果了。
同样道理，三只白鸽飞入两个鸽笼里至少有一个鸽笼里有两只白鸽。
在前面的例题里，尽管讨论的对象不同，但不难发现，它们有着一个相同的要求：把若干个物品放在一些位置上后，判断至少有一个位置上的物品不少于多少个。
把这类问题中蕴含着的数学规律，用数学语言抽象地概括出来，就是“抽屉原则”（或称鸽笼原则）。
抽屉原则一：将n+1件或者更多件的物体随意地放到n个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中的物体不少于2个。
例1 有12盒蛋糕，每盒装有5个，要分给49个小朋友，问是否有一个小朋友至少分到两个蛋糕？答案：至少有一个小朋友分到两个或者更多个蛋糕。
“抽屉原则一”是用来判断两者之间的关系，而如果要判断更多事物间必然是有某种联系，就得学习和掌握“抽屉原则二”了。
让我们先看例2。
例2 把16个书包放到5个抽屉里，则至少有一个抽屉放有______个或更多个书包？答案：4个或更多个书包。
抽屉原则二：如果有n个抽屉，物品的数目是Kn+P（0<P<n，K是自然数），那么至少有一个抽屉里放有（K+1）个或更多个的物。
通俗地说，如果物品的个数是抽屉的个数的K倍还多一些，那么至少有一个抽屉要放有（K+1）个或更多个的物品。
四年级秋季班第五讲简单抽屉原理、最不利原则
第五讲简单抽屉原理、最不利原则知识框架一、对抽屉原理两个版本的认识抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。
只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。
（2）物品是“任意放”到抽屉中。
（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。
（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。
原理讲解：只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。
当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。
n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。
最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。
此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。
例子：4只鸽子飞回三个鸟笼，有几种方法？1号鸟笼2号鸟笼3号鸟笼方法一400方法二310每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。
在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。
抽屉原理2（加强版的抽屉原理）将m件物品任意放入n个抽屉（m>n），（1）当m是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于m÷n 件；（2）当m不是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于[m÷n]+1件。
注：若m÷n =a…b，那么就说[m÷n]=a，也就是只要商，余数不要了。
称这个过程为取整。
原理要点：（1）物品数比抽屉数多，抽屉原理1的情形包含于这个原理中；（2）解决的是抽屉的存在性；（3）在解题时，遇到“有一个抽屉中的物品数不少于A件”，其中A>2时，应使用抽屉原理2。
（4）原理的结论也可以理解为：“总有不少于m÷n件（或[m÷n]+1件）物品在同一个抽屉中。
抽屉原理
抽屉原理内容提要：第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。
第二抽屉原理：把（mn －1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m —1）个物体。
（1）如果用{}n m 表示不小于n m 的最小整数，例如{37＝3，{}236= 。
那么抽屉原则可定义为：m 个元素分成n 个集合（m 、n 为正整数m>n ）,则至少有一个集合里元素不少于{}n m 个。
（2）根据{}n m 的定义，己知m 、n 可求{}nm ； 己知{}n m ，则可求n m 的范围，例如己知{}n m ＝3，那么2＜nm ≤3；己知{}3x ＝2，则 1＜3x ≤2，即3＜x ≤6，x 有最小整数值4。
例题：例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{n m个 解：∵=3662000536617 ∴{}3662000＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天例2.从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。
解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。
∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
（本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。
例3．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。
我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m ∈N+,K ∈N+，n ∈N,则m=(2k-1)·2n ，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…… 证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；（4）{7，7×2，7×22，7×23}；（5）{9，9×2，9×22，9×23}；（6）{11，11×2，11×22，11×23}；……（25）{49，49×2}；（26）{51}；…… （50）{99}。
抽屉原理
常见形式第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能应用应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/366=1…34,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
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抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n 能被m整除时。
第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多
有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
1.抽屉原理:
又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。
2.两种抽屉原理:
第一抽屉原理:
原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理：
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。
3.抽屉原理形式:
形式一：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
形式二：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。