理论力学10—动量定理

d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
mi ri mi ri rC mi M
利用质心坐标公式，定义质点系质量中心(质心) C 的矢径 10—2
G
h
t
2h g
N*
mv2 y mv 1y I y
0 0 G(t ) N
N 3000 9.8( 1 2 1.5 1) 1656kN 0.01 9.8
t 1 2h N G( 1) G( 1) g
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重 量G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
C
C
l vc1 , vc l 2 由速度投影定理可得 vA cost vc cos(90 2t )
vA 2l sin t
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
得 p
1 (5m1 4m2 )l 2 方向为C点速度的方向。
p2
p1
C
C
O
ห้องสมุดไป่ตู้
t
A
C1
x
10.1
动量与冲量
例3、两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置 时，OA杆的角速度为 ， AB 杆相对 OA杆的角速度亦为 。求 此瞬时系统的动量。 解：由刚体系统的动量公式 p m1vC1 m2vC 2
F
10.2
动量定理
ma m dv d (mv ) F （t） dt dt
1 质点的动量定理
d(mv ) F （t） dt d I
微分形式
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 F （t） dt I
0
t
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此 段时间内的冲量。
将式10—2代入前式，得
d ri d d p mi vi mi mi ri ( M rc ) M vc dt dt dt
10—3
质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。
10.1
动量与冲量
刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某一 确定点。 对于质量均匀分布的规则刚体，质心就是几何中心。 用式10—3可非常方便的计算出刚体的动量。 例如： 长为l、质量为m的均质细杆，在平面内 绕O点转动，角速度为ω，细杆质心的 速度为 l vC 2 则均质细杆的动量为
l v 其中： C1 2 vC 2 vA vC 2 A AB作平面运动
l 3 vC 2 l l 2 2 l 3 p m m l 2ml 2 2 方向水平向右。
O C1 mvC1 A mvC2

C2
r=
B
10.1
2 冲量
动量与冲量
10.1
1 动量
动量与冲量
物体之间在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的 速度变化有关，而且与它们的质量有关。 例如： 子弹质量很小，但速度很大，击中目标时，会产生很大的冲 击力。 轮船速度虽小，但由于轮船质量太大，靠岸时会产生很大的冲 击力，为减小冲击力，一般在轮船的外沿或码头上会固定许多 橡胶轮胎。 所以，可以用质点的质量与速度的乘积，来表征质点的这种运 动量。
10.1
动量与冲量
m2 vB 2 m v B 1 C C m1vC1 C
O
建立如图直角坐标系，则动量的投影为 px p 2 m sin t tt m sinsin t tt m v 1v C1v 1v C1 1v 2m A m sin m vA pxx 2 2 m v sin m v sin m C C 1 2 1 C 1 C1 2 vA l ll 2 m l sin t m sinsin t tt m 2 l sin t tt 1m 1m 2m 2 l sin 2 2 m11ll sin sintt m sin m 2 l sin 1 2 1 2 2 2 2 l ll 4 m ) sin t tt 1m 2m ( 4 ) sin 2 (5m (5 5 m 4 m ) sin 1 2 1 2
10.1
动量与冲量
y B
解2： p1 pAB pA pB 2(m1 m2 )vC p2 pOC m1vC1 p p p p p AB p p p p p pOC 1p 2 Ap B p p p p p1 p 1 p p 2 AB A B B 2 AB A OC OC vC v v C C (m 2( (m m m m )v v m m1 1m 2) Cm 2 2 ) v 1 2 C 1 1 2 C 1 2 22 1 1 1 )v ( 5 m 4 m 14 2 )vC C (5 m1 m 42m (2 5m )v 2 1 C 22 因为 vC l
动量与冲量
例2、椭圆规机构的规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1， 滑块A和B的的质量均为m2。已知OC＝AC＝CB＝l。曲柄和规 尺均为均质细直杆。曲柄以角速度转动。求机构的动量。
y
解1：由质点系动量公式有
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2vB
B
m2 vB 2m1vC
10.1
动量与冲量
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s，与动量 的量纲相同。
•常力的冲量
I Ft
•变力的冲量－元冲量
dI F （t） dt 而力 F 在作用时间t内的冲量是矢量积分
I F （t） dt
0 t
10.1
动量与冲量
说明：动量及冲量都是矢量，是有大小有方向的量。 例如：用一无重细绳系住一质量为m的物块，使之做匀速圆周 运动。 尽管物块的速度v大小不变，但其方 向在不断变化，因此动量不守恒。 细绳对物块的力F=mv2/R大小不变， 但其方向在不断变化，因此不是常力， 而是变力。 v
10.2
动量定理
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾 o o 角为 30 的导杆 AB 运动。已知力 P 与导杆 AB 之间的夹角为 45 ， 滑块与导杆的动摩擦系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的 速度增大到v＝2 m/s 所需的时间。 解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。 y B 对滑块C进行受力分析。 由动量定理得
10.1
动量与冲量
对于质点系，可逐个列出各质点的动力学基本方程，但连立求 解复杂。
所以用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇 到很大困难。
在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只 需知道质点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。 这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和 表现力作用效果的量（冲量、冲量矩、功）之间的关系。 在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量 都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。
NC
mg
x
45
P
C
F
30
mv 0 (P cos 45 mg sin30 F )t (1)
A
0 0 (P sin 45 NC mg cos30 )t
由(2)式得
(2)
NC P sin 45 mgcos30
10.2
动量定理
F fNC f ( P sin 45 mgcos30 )
物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小、方向有 关，还与力作用时间的长短有关。 例如，人力推动车厢沿铁轨运动，可使车厢得到一定的速度， 如改用机车牵引车厢，只需很短的时间便能达到同样的速度。 如果作用力是常量，用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时 间内的累计作用。 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
0 0 t t 0 t t
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
t t
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
1 p mvC ml 2
O C vc
10.1
动量与冲量
vC C
又如： 图示均质圆轮，质量为m，轮心速度 为vC，则其动量为
p mvC
再如： 图示绕圆心转动的均质轮，无论有多大的 角速度和质量，由于其质心不动，其动量 恒等于零。
vC=0 C
10.1
动量与冲量
O
例1 OA杆绕O轴逆时针转动，均质圆 盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质量m ＝20 kg，半径 R ＝100 mm。在图示 o 位置时， OA 杆的倾角为 30 ， 其角速 度 1 ＝ 1rad/s ， 圆盘相对 OA 杆转动的 角速度2＝4 rad/s，OB 100 3 mm , 求圆 盘的动量。 解:取C为动点，动系与OA固连 ve OC 1 0.2 1 0.2 m/s