2用表达式表示变量之间的关系
初中数学鲁教版六年级下册《第九章 变量之间的关系 2 用表达式表示变量之间的关系》教材教案
《用表达式表示变量之间的关系》教学设计一、教学目标：1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展学生的符号感。
2、能发现实际情境中的变量及其相互关系，并理解什么是变量、自变量、因变量，并能反映变量之间关系的例子。
3、体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
4、在探究、学习变量之间关系的过程中，进一步发展学习情趣和增强学好数学的自信心二、教学重难点：教学重点：变量的概念的形成过程。
教学难点：正确理解变量、自变量、因变量的概念。
三、教学过程：环节一：创设情境，引入新课1、多媒体展示图片：富士山2、2、通过观察图片，请同学们回答:“这幅图片展现了一片什么样的景象？3、通过学生的回答总结：山顶上白雪皑皑，而山脚下则绿树成荫。
然后进一步提出问题：是什么原因导致了这种景象的差异？4、通过学生的回答总结：气温随海拔的升高而降低。
在这一个变化过程中就涉及到我们今天所要学习的变量。
从而引出本节课的课题——变量。
环节二：提出问题，探索新知1、问题一：行程问题：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时。
请根据题意填表：当行驶时间为t时，路程S______.提出问题：请同学们观察这一个变化过程中，有没有始终不变的量？有没有发生变化的量？几个呢？问题二：票房收入问题：已知，每张电影票的售价为30元。
（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是____________________元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是______________________元；（3）若一场售出x张电影票，该场的票房收入y元,试用含x的式子表示y._________.提出问题：请同学们观察这一个变化过程中，有没有始终不变的量？有没有发生变化的量？几个呢？问题三：在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧的长度因重物质量的变化而变化。
9.2用表达式表示变量之间的关系
当堂达标
1.铅笔的价格为每支0、3元，购买x支铅笔应付的 款数为y元，则y与x的关系式是 其中自变量是 ，因变量是 2.一种手机缴费卡，每月必须缴纳月租费30元， 另外毎通话1分钟要缴纳0、4元。 如果每月通话时间为x（分钟），每月应缴 费用为y（元），写出y与x之间的关系式。
当一个月的通话时间为100分钟时应交费用多少元？ 某人每月缴纳话费82元，此人该月通话时间为多少分
用表达式表示变量之间的关 系
学习目标：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探索具体问题中变量间的关系，
能用表达式表示出来， 并会求因变量的值
自学指导：
自学课本P129-P131内容 1.总结表达式的写法，需要注意哪些问 题 2. 怎样由表达式求因变量的值 6分钟后，比谁能快速完成与例题类似的 题目
自学检测
如图所示，梯形上底的长是 x， 下底的长是 15，高是 8.
（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什 么？ （2）用表格表示当 x 从 10 变到 20 时（每次增加 1），y 的相应值； （3）当 x 每增加 1 时，y如何变化？说说你的理 由。 （4）当 x ＝0时，y 等于什么？此时它表示的什么？
注意：
（1）表达式是用来表示自变量与因变量之间关系的 数学等式。 （2）表达式的写法必须将因变量单独写在等号左边， 右边是含自变量的代数式。 （3）利用表达式求因变量的值实质就是求代数式的 值。对每一个确定的自变量的值，因变量都有一个唯 一确定的值与之对应。
北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系说课稿2
北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系说课稿2一. 教材分析北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系是学生在学习了函数概念和一次函数的基础上，进一步探究变量之间关系的课程。
通过本节课的学习，学生能够理解常量、变量、函数的概念，能够用关系式表示变量之间的关系，并会解决一些简单的实际问题。
本节课的内容主要包括两个部分，一是关系式的概念和表示方法，二是用关系式表示实际问题中的变量关系。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生理解和掌握关系式的表示方法，并能够运用关系式解决实际问题。
二. 学情分析学生在进入七年级下学期之前，已经学习了代数基础知识，对常量、变量、函数等概念有了一定的理解。
但是，对于关系式的概念和表示方法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
同时，学生在解决实际问题时，往往只注重结果，而忽视了解题过程中的思路和方法。
因此，在教学过程中，需要引导学生关注解题思路和方法，培养学生的逻辑思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解关系式的概念和表示方法，能够用关系式表示变量之间的关系。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：理解关系式的概念和表示方法，能够用关系式表示变量之间的关系。
2.教学难点：从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题和关系式，帮助学生直观地理解关系式的概念和表示方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生关注变量之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.探究：引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
初一数学变量之间的关系
二、快乐合作，收获新知。
如图，三角形ABC的底边BC上的高是6厘米，当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。
（1）指出这个变化过程中的变量，其中哪个量是自变量？哪个量是因变量？（2）如果三角形的底边长x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为。
（3）你发现了吗：变量之间的关系，除了用表格表示外，还可以用表示，如图y=3x 表示高一定时，和之间的关系，它是变量y随x变化的关系式。
（4）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从厘米2变化到厘米2让我们利用数值转换机直观地来感受一下：表格法和关系式法吧。
小试牛刀：如果三角形ABC的底边BC是8厘米，当三角形的顶点A沿DA所在的直线运动时，三角形的面积发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量因变量各是什么？（2）如果三角形的高为x（厘米），而三角形的面积y （厘米2）可以表示为：。
（3）当高从3厘米变化到12厘米时，三角形的面积从厘米2变化到 厘米2。
（4）你发现两道题的异同了吗？三、深入探究，巩固新知1、如图，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（1）指出这个过程中的变量，其中哪个量是自变量？哪个量是因变量？（2）如果圆锥的底面半径为r （厘米），那么圆锥的体积V （厘米3）与r （厘米）的关系为（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由 立方厘米变化到 立方厘米。
我能行：如图，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果圆锥底面高为 h （厘米），那么圆锥的体积v （厘米3）与高D B CA DBC AD A1 A 2h之间的关系式：____________（3）（3）当高由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由____cm3变化到____cm3四、走进生活应用数学议一议：你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式。
(五四制) 鲁教版数学 6年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_37
2用表达式表示变量之间的关系用表达式表示变量之间的关系如图 9-1，三角形一底边上的高是 6 cm . 当三角形该底边的长短发生变化时，三角形的面积发生了变化.老花镜的度数 D/ 度100120200250300镜片与光斑的距离 f / m10.80.50.40.3（1）观察表中的数据，你发现了什么？（2）如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的距离为 0.7 m ，那么你估计这副老花镜的度数是多少.5. 在高海拔（1 500 ~ 3 500 m 为高海拔，3 500 ~ 5 500 m 为超高海拔，5 500 m 以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔与空气含氧量之间的一组数据：海拔/ m 01 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 000空气含氧量 /（g / m 3）299.3265.5234.8209.63182.08159.71141.69123.16105.97（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）在海拔 0 m 的地方空气含氧量是多少？在海拔 4 000 m 的地方空气含氧量是多少？（3）你估计一下在海拔 5 500 m 的地方空气含氧量是多少.c 图 9-1（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果三角形的底边长为 x （cm ），那么三角形的面积 y （cm 2）可以表示为.用表2第九章变量之间的关系议一议做一做（3）当底边长从 12 cm 变化到 3 cm 时，三角形的面积从cm 2 变化到cm 2.y = 3x 表示了图 9-1 中三角形底边长 x 和面积 y 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的表达式.表达式是我们表示变量之间关系的另一种方法. 利用表达式，如 y = 3x ，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.如图 9-3，圆锥的高是 4 cm ，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式.图 9-2自变量 x因变量 y 表达式y = 3x图 9-3r cm O4 c m（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果圆锥的底面半径为 r （cm ），那么圆锥的体积 V （cm 3）与 r 的表达式为.（3）当底面半径由 1 cm 变化到 10 cm 时，圆锥的体积由cm3 变化到cm 3.2用表达式表示变量之间的关系随堂练习（2）在上述表达式中，耗电量每增加 1 kW ·h ，二氧化碳排放量增加kg . 当耗电量从 1 kW ·h 增加到 100 kW ·h ，二氧化碳排放量从 kg增加到kg .（3）小明家本月用电大约 110 kW ·h 、天然气 20 m 3、自来水 5 t 、油 75 L ，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.1. 如图，一个长方形推拉窗，窗高 1.2 m ，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度 b （m ）的变化，窗户的通风面积 A （m 2）也发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）写出通风面积 A 与拉开长度 b 之间的表达式；（3）当拉开长度 b 从 0.2 m 变化到 0.4 m 时，通风面积 A 从m 2 变化到m 2.（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用表达式表示为，其中的字母表示.（第 1 题）（第 2 题）自变量 d因变量 TT = 10 -d1502. 在地球某地，温度 T （℃）与高度 d （m ）的关系可以近似地用表达式 T = 10 -d150来 表示. 根据这个表达式，当 d 的值分别是 0，200，400，600，800，1 000 时，计算相应的 T 值，并用表格表示所得结果.3. 仿照“议一议”中的（2），你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？。
9.2用表达式表示变量之间的关系(教师版)
用表达式表示变量之间的关系在用表格表示变量之间的关系中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量。
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化，支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量。
这节课我们尝试用另一种方法表示变量之间的关系。
【答案】由题意可知，函数为一次函数，直接列式即可．【解析】解：（1）根据题意，找到函数关系：即现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，x年后增加2x万元，所以年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式y＝2x+15（x≥0）；（2）将x＝5代入解析式得：y＝2x+15＝2×5+15＝25（x≥0）．【总结】主要考查了函数的解析式的求法，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围．考点二：几何图形类型【例2】一个正方形的边长为5cm，它的各边边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，y与x的函数关系式为（）A．y＝20﹣4x B．y＝4x﹣20C．y＝20﹣x D．以上都不对【答案】一个正方形的边长为5cm，它的边长减少xcm后得到的新正方形的边长为5﹣x，即可得到周长为y＝4（5﹣x）．【解析】解：由题意得：原正方形边长为5，减少xcm后边长为5﹣x，则周长y与边长x的函数关系式为：y＝20﹣4x．故选：A．【总结】此题主要考查了由实际问题列函数关系式，函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．【变式训练】将长为25cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x 张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为y＝23x+2．【答案】等量关系为：纸条总长度＝25×纸条的张数﹣（纸条张数﹣1）×2，把相关数值代入即可求解．【解析】解：每张纸条的长度是25cm，x张应是25xcm，由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去．∴y与x的函数关系式为：y＝25x﹣（x﹣1）×2＝23x+2．故答案为：y＝23x+2．【总结】此题主要考查了函数关系式，找到纸条总长度和纸条张数的等量关系是解决本题的关键．【变式训练】已知矩形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个矩形的面积y与边长x之间的关系可表示为（）A．y＝x2B．y＝（8﹣x）2C．y＝x（8﹣x）D．y＝2（8﹣x）【答案】直接利用长方形面积求法得出答案．【解析】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，∴另一边长为：（8﹣x）cm，∴矩形的面积y与边长x之间的关系可表示为y＝（8﹣x）x．故选：C．【总结】此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形的另一边长是解题关键．考点三：表格类型【例3】已知变量x，y满足下面的关系x……﹣3﹣2﹣1123……y……1 1.53﹣3﹣1.5﹣1则x，y之间用关系式表示为（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝【答案】由x、y的关系可求得其满足反比例关系，再由待定系数法即可得出解析式．【解析】解：设此函数的解析式为y＝（k≠0），把x＝﹣3，y＝1，代入得k＝﹣3，故x，y之间用关系式表示为y＝﹣．故选：C．【总结】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，即图象上点的横纵坐标积为一定值．【变式训练】1～6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重y（g）和月龄x（月）的关系见如表．月龄x/月123456（4）设函数解析式为y＝kx+10将任一组x、y的值代入，即可求出k＝0.001，即可写出解析式．（5）将x＝﹣20℃或100℃代入解析式即可求出：y＝9.98或y＝10.1．【总结】主要考查了函数的解析式的求法，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围．1．某商场存放处每周的存车量为5000辆次，其中自行车存车费是毎辆一次1元，电动车存车费为每辆一次2元，若自行车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是（）A．y＝﹣x+10000B．y＝﹣2x+5000C．y＝x+1000D．y＝x+5000【答案】根据题意可以写出题目中的函数解关系式，从而可以解析本题．【解析】解：由题意可得，y＝x+（5000﹣x）×2＝﹣x+10000，故选：A．2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用2h到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t的函数关系是（）A．v＝B．v＝C．v＝D．v＝【答案】求出两地的距离80×2＝160km，根据速度、时间、路程的关系可求解．【解析】解：∵以80km/h的平均速度用2h，∴甲乙两地距离为80×2＝160km，∴返回的速度v＝，故选：A．3．长方形的周长是36cm，其中一边长为x（x＞0）cm，面积为ycm2，则y与x的关系可以写为（）A．y＝x2B．y＝（18﹣x）2C．y＝（18﹣x）•x D．y＝2（18﹣x）【答案】由长方形的周长，可知一组邻边和，由一边长为xcm，可知另一边为（18﹣x）cm，则可表示面积．【解析】解：由长方形的周长是36cm，可知长方形的一组邻边和是18cm，∵其中一边长为x（x＞0）cm，∴另一边为（18﹣x）cm．∴y＝（18﹣x）•x故选：C．4．一个正方形边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm，写出y与x的函数关系式y ＝4（3﹣x）．【答案】首先表示出新正方形的边长，然后利用周长公式即可求解．【解析】解：各边长减少xcm后，得到的新正方形的边长是3﹣xcm，则周长y＝4（3﹣x）．故答案是：y＝4（3﹣x）．5．将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为y＝17x+3．【答案】白纸粘合后的总长度＝x张白纸的长﹣（x﹣1）个粘合部分的宽，把相关数值代入即可求解．【解析】解：由题意得：y＝20x﹣（x﹣1）×3＝17x+3，故答案为：y＝17x+3．6．一个弹簧不挂重物时长8cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm．则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式为（）A．y＝2x B．y＝0.5x C．y＝2x+8D．y＝0.5x+8【答案】弹簧总长＝弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．【解析】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，∴弹簧总长y＝2x+8．故选：C．7．已知汽车油箱内有油50L，每行驶100km耗油10L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程S（km）之间的关系式是（）A．Q＝50﹣B．Q＝50+C．Q＝50﹣D．Q＝50+【答案】根据每行驶100km耗油10L，可得单位耗油量，根据单位耗油量乘以路程，可得行驶s千米的耗油量，根据总油量减去耗油量，可得剩余油量．【解析】解：单位耗油量10÷100＝0.1L，∴行驶S千米的耗油量0.1SL，∴Q＝50﹣0.1S＝50﹣，故选：C．8．汽车在匀速行驶过程中，路程s、速度v、时间t之间的关系为s＝vt，下列说法正确的是（）A．s、v、t都是变量B．s、t是变量，v是常量C．v、t是变量，s是常量D．s、v是变量，t是常量【答案】利用变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量进行答案．【解析】解：汽车在匀速行驶过程中，速度v不变，是常量，t、s是变量；故选：B．9．嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的x支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用y（元）表示琪琪花的总钱数，那么y与x之间的关系式应该是（）A．y＝1.5x+10B．y＝5x+10C．y＝1.5x+5D．y＝5x+5【答案】先求得每支笔的价格，然后依据总售价＝单价×支数列出关于即可．【解析】解：∵每支笔的价格＝9÷6＝1.5元/支，∴y与x之间的关系式为：y＝1.5x+10，故选：A．10．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t＝﹣0.006h+20．【答案】根据题意得到每升高1m气温下降0.006℃，写出关系式．【解析】解：∵每升高1000m气温下降6℃，∴每升高1m气温下降0.006℃，∴气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t＝﹣0.006h+20，故答案为：t＝﹣0.006h+20．11．图书馆现有4000本图书供学生借阅，如果每个学生一次借5本，则剩下的数y（本）和借书学生人数x（人）之间的函数关系式是y＝4000﹣5x．【答案】由题意可知，每个学生一次借5本，x个人借出5x本，则剩余图书y＝4000﹣5x．【解析】解：由题意可得：y＝4000﹣5x，故答案为y＝4000﹣5x．12．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8．点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y．（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20？【答案】（1）根据梯形的面积公式得出y与x的函数关系式即可；（2）利用（1）中所求得出y＝20，求出x即可得出答案．【解析】解：（1）设PB＝x，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为：y＝（4﹣x+4）×8＝32﹣4x（0≤x≤4）．（2）当y＝20时，20＝32﹣4x，解得x＝3，即PB＝3．13．某村为实现十七大提出的勤劳致富奔小康的目标，充分利用本村地理优势，大力发展果木种植．现栽有果树24 000棵，计划今后每年栽果树4000棵．（1）果树总数y（棵）与年数x（年）的函数关系式是y＝24 000+4000x，x为正整数．（2）预计第5年该村有44 000棵果树．【答案】（1）根据题意，找到函数关系；现栽有果树24 000棵，计划今后每年栽果树4000棵，x年栽种4000x 颗；即有关系式y＝24000+4000x，x为正整数；（2）将x＝5代入上式即可求得y的值．【解析】解：（1）由题意可知：y＝24 000+4000x，x为正整数；（2）当x＝5时，y＝24 000+4000×5＝44 000．一、本节课我们学习的全等三角形的判定和全等三角形的性质是哪些？二、本节课我需要努力的地方是：三、还记得我们讲义导入部分的题目吗？现在你知道为什么那样做了吗？。
用关系式表示变量之间的关系
用关系式表示变量之间的关系
关系式是用符号和运算符来表示变量之间的关系的数学表达式。
它可以描述数量之间的等式、不等式、相对关系等。
一些常见的关系式包括：
1. 等式：使用等号（=）表示相等关系，如：a = b。
2. 不等式：使用不等号（<、>、≤、≥）表示大小关系，如：a < b。
3. 复合关系：使用逻辑运算符（与、或、非）结合多个条件表达关系，如：a >
b 并且a < c。
4. 函数关系：使用函数符号和自变量来表示依赖关系，如：y = f(x)。
需要注意的是，关系式通常使用数学符号来表示，而不是具体的数值。
它们可以用于建立数学模型、解决问题、分析数据等。
初中数学七年级下册《变量之间的关系》大单元教学设计
初中数学七年级下册《变量之间的关系》大单元教学设计一．教材分析变量之间的关系是继学习代数式求值、探索规律后运用各变量之间的关系解决具体实际问题。
在本章的学习中学生已经分别利用表格、图像、表达式等多种方法表示变量之间的关系上，进一步依据学生实际创新的情景，解决实际问题。
此外从本章开始，学生的数学学习从常量进入了变量的世界，由于是刚刚接触一种新的思维方式，学生对于变量之间的关系的理解停留在表象上，事实上我们期望通过本章对变量和变量之间的关系的丰富经历，为学生以后顺利的过度到函数学习打下基础，而为了发展学生对函数的理解，必须使他们对函数的多种表示有相当丰富的经历，结合本章的学习，学生的抽象思维将不断加强，对数学知识的认识将上升到新的境界。
二．整体结构函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，在六年级上学期中，教科书已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想，而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系,主要是让学生联系实际背景了解变量以及量与量之间变化的规律，为以后顺利过渡到函数学习打下基础。
从木章开始学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。
本单元主要内容是两个变量之间的关系及表示方法,能确是其中的自变量或因变量，能够正确写出变量之间的关系，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测，通过表格、图像、表达式获取信息解决实际问题。
本章的重点是用表格、表达式和图像表示变量之间的关系，难点是从表格、表达式和图像中分析变量之间的关系，并进行变化规律的预测。
三．对应课标①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。
②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析(例68)。
③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。
④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系, 理解函数值的意义。
⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
3.2 用关系式表示的变量间关系课件 2021-2022学年北师大版七年级数学下册
C．36 cm3
D．48 cm3
6. 已知三角形ABC的底边BC上的高为8 cm，当底
边BC从16 cm变化到5 cm时，三角形ABC的面 积( )
B A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从64 cm2变化到20 cm2 C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从40 cm2变化到128 cm2
有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1 m， 称得它的质量是0.06 kg. (1)写出这种电线长度与质量之间的关系式； (2)如果一捆电线剪下1 m后的质量为b kg，请写出这捆电线的总
长度．
易错点：混淆自变量与因变量导致关系式错误
知识点1：用关系式表示的变量间的关系并和表格互化
【例1】长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm(x＞0)，面积
为y cm2，则该长方形中y与x的关系可以写为( C )
A．y＝x2
B．y＝(12－x)2
C．y＝(12－x)·x
D．y＝2(12－x)
【导引】因为长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm， 所以另一边长为(12－x) cm，因为面积为y cm2， 所以该长方形中y与x的关系可以写为y＝(12－x)·x.
知识点1：用关系式表示的变量间的关系并和表格互化
3.百货大楼进了一批花布，出售时要在进价(进货价格)的基础上加 一定的利润，其长度x与售价y如下表：
长度x/m
1
2
3
4
…
售价y/元 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 …
下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是( B )
A．y＝8x＋0.3
______cm2变化到
______cm2.
《用关系式表示的变量间关系》教案
《用关系式表示的变量间关系》教案第一章：引言1.1 教学目标：让学生理解变量间关系的概念。
让学生掌握用关系式表示变量间关系的方法。
1.2 教学内容：介绍变量间关系的概念，例如正比例关系、反比例关系和函数关系。
解释关系式是如何表示变量间关系的，例如y = 2x表示y和x之间的正比例关系。
1.3 教学方法：使用实例和图形来展示变量间关系，帮助学生直观地理解。
引导学生通过观察和分析实例，发现关系式中的规律。
1.4 教学活动：通过实际例子，让学生观察和描述变量间的关系。
引导学生用关系式表示观察到的变量间关系。
第二章：正比例关系2.1 教学目标：让学生理解正比例关系的概念。
让学生掌握用关系式表示正比例关系的方法。
2.2 教学内容：介绍正比例关系的概念，即两个变量之间的比值保持不变。
解释如何用关系式表示正比例关系，例如y = kx（k为常数）。
2.3 教学方法：使用具体的实例和图形来说明正比例关系。
引导学生通过观察和分析实例，发现正比例关系中的规律。
2.4 教学活动：通过实际例子，让学生观察和描述变量间的正比例关系。
引导学生用关系式表示观察到的正比例关系。
第三章：反比例关系3.1 教学目标：让学生理解反比例关系的概念。
让学生掌握用关系式表示反比例关系的方法。
3.2 教学内容：介绍反比例关系的概念，即两个变量之间的乘积保持不变。
解释如何用关系式表示反比例关系，例如y = k/x（k为常数）。
3.3 教学方法：使用具体的实例和图形来说明反比例关系。
引导学生通过观察和分析实例，发现反比例关系中的规律。
3.4 教学活动：通过实际例子，让学生观察和描述变量间的反比例关系。
引导学生用关系式表示观察到的反比例关系。
第四章：函数关系4.1 教学目标：让学生理解函数关系的概念。
让学生掌握用关系式表示函数关系的方法。
4.2 教学内容：介绍函数关系的概念，即一个变量是另一个变量的函数。
解释如何用关系式表示函数关系，例如y = f(x)。
北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系教案
北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系教案一. 教材分析本节课的主题是“用关系式表示的变量间关系”，属于北师大版七下数学的第三章“多变量的关系”的第二节。
通过本节课的学习，学生能够理解变量间的关系，并能够用关系式进行表示。
教材通过丰富的实例，引导学生探究变量之间的关系，从而达到理解并掌握关系式的目的。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了变量和函数的概念，能够理解一个变量随另一个变量的变化而变化。
但是，对于用关系式表示变量间的关系，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过实例引导学生，让学生能够逐步理解和掌握关系式的表示方法。
三. 教学目标1.理解变量间的关系，并能够用关系式进行表示。
2.能够分析实际问题中的变量关系，并用关系式进行表达。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：理解变量间的关系，并能够用关系式进行表示。
2.教学难点：对于复杂的关系式，能够理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过丰富的实例，引导学生探究变量之间的关系，从而达到理解并掌握关系式的目的。
在教学过程中，注重学生的参与和思考，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究变量之间的关系。
2.准备关系式的模板，方便学生进行填写和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出变量间的关系，例如“两个人共同完成一项任务，他们的工作效率与工作时间之间的关系是什么？”让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）呈现一些实例，让学生观察并分析变量间的关系。
例如，一个人跑步的速度与时间的关系，一个人的工资与工作时间的关系等。
引导学生发现，变量间的关系可以用关系式进行表示。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出一个实例，分析变量间的关系，并用关系式进行表示。
教师巡回指导，给予学生帮助和指导。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固所学的关系式的表示方法。
用关系式表示变量之间的关系-七年级数学下册课件(北师大版)
车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,
2）支撑物的高度h是自变量，
3）小车下滑的时间t是因变量。
情景导入
【情景一】一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时
①根据题意填写下表： 路程=速度*时间（s=vt）
t/时
1
2
3
s/千米
60
120
180
②试用含t的式子表示s：
______________________.
问题二 在上述关系式中，耗电量每增加 1 kW·h，二氧化碳排放
0.785 kg
量增加_________。当耗电量从 1 kW·h 增加到100 kW·h 时，二
0.785 kg
78.5 kg
氧化碳排放量从________增加到____________。
____。
③在以上这个过程中，不变化的量是
10 ____，变化的量是
x与y
_______。
情景导入
【情景三】如图，三角形ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边所在的直
线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
问题一 尝试写出三角形面积（S）？
1
2
S= BC•AC=3BC
问题二 在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
cm3 .
情景导入
【情景五】你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，
从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式。
问题一 用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为
y = 0.785x
_____________，其中的字母表示________________
鲁教版五四制六年级数学下册教案设计：9.2用表达式表示变量之间关系
课题9.2用表达式表示变量之间的授课课型新授课关系教1、知识与技术学经历探究某些图形中变量之间的关系的过程，进一步领会一个变量对另一个变量目的影响，发展符号感。
标2、过程与方法能依据关系式求值，初步领会自变量和因变量的数值对应关系。
3、感情态度价值观合作沟通，倾尽全力，阳光展现，享受成功。
学在上节课学习了变量（自变量和因变量）和常量后，对实质问题也能情从中找到变量和常量。
本节主假如运用的从前的公式比许多，所以，分在运用上比较顺利析教这一节比较简单，主假如从前所学公式的运用，利用公式将表达式书材写出来，学生依据表达式求出题中的问题，本节为此后的一次函数打分基础析教以小组为单位，达成下边的问题：学方1、学生回想三角形的面积公式、圆的面积公式、梯形的面积公式、法圆柱的体积公式、圆锥的体积公式2、利用公式填空（用x、y表示）3、逐渐代入求值教课要点：用表达式表示变量教课难点：正确划分表达式中的自变量和因变量教具、学具：直尺教课内容一、知识回首1.（1）假如△ABC的底边长为a，高为h，那么面积S△ABC=___________（2）假如梯形的上底、下底长分别为a、b,高为h,那么面积S梯形=___（3）圆柱的底面半径为r,高为h,则底面面积S底面=_____；教学圆柱的体积V圆柱=_______.过（4）圆锥的底面半径为r,高为h,则底面面积S底面=_____；程2.3.圆锥的体积V圆锥=_______.4.5.下边的表格列出了一次实验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，弹跳高度b与着落高度d的关系d(cm) 50 80 100 150b(cm) 25 40 50 75（1）上表反应的是哪两个变量之间的关系？（2）表中哪个是自变量，哪个是因变量？（3）下边能表示这类关系的式子是（）(A)b=2d(B)b=d2(C) b=d+25(D)b=1d2二、探究：1、如下图,△ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的极点C沿底边所在直线向点B运动时,三角形的面积发生了变化.这个变化过程中的变量是______此中自变量是_____,因变量是___.假如三角形的底边长为x(厘米),那么三角形的面积y(厘米2)能够表示为__________当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从________厘米2变化到_______厘米2.2、如下图，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
变量之间的相互关系
变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。
这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。
本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。
二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。
这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。
2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。
相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。
3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。
这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。
三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。
接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。
2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。
它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。
3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。
四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。
例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。
在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。
五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。
通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。
随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。
七年级数学下册 第3章 变量之间的关系 3.2 用关系式表示的变量的关系课件
பைடு நூலகம்
x(人次)
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
…
y(元)
…
(2)根据(1)中表格的数据,请写出y与x之间的关系式,并直接回答:当每月 的乘客量达到多少人次以上时,该公交车才不会亏损?
(3)如果公交车每月的收入与支出的差额(chā é)要达到8 000元,则乘坐该公交
2
2
∴y=- 1 -1=- 3 .
2
2
2.(2017广东河源正德(zhènɡ dé)中学段考,16,★☆☆)某电器进价为250元,按标价的9
折出售,则此电器的利润y(元)与标价x(元)之间的关系式是
.
答案 y=0.9x-250
解析 根据“利润=售价-进价”得y=0.9x-250.
2021/12/11
值,也可以根据已知的因变量的值通过解方程求自变量的值.
3.两个变量之间关系式的特征. (1)关系式是等量,其中等式左边是因变量,右边是含自变量的代数式.
(2)关系式中只含有(hán yǒu)自变量和因变量这两个变量,其他的量都是常量.
(3)自变量可以在允许的范围内任意取值.
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第二页，共三十七页。
岁.
答案(dáàn) 72
解析 设所求的年龄为x岁,因为“老人系数”为0.6,所以60<x<80,则有
x =600.6,解得x=72,所以“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁. 20
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第十四页，共三十七页。
3.某移动通信公司开设了两种通信业务,“全球通”:使用时首先缴50元
月租费,然后每通话1分钟,付话费0.4元;“动感地带”:不缴月租费,每通 话1分钟,付话费0.6元,若一个月通话x分钟,两种方式的费用分别为y1元
七年级数学北师大版下册教学课件 3.2用关系式表示的变量间关系
三、情境导入
活动1 旧知回顾
1.什么是常量？什么是变量？ 答：在一个变化过程中,数值始终不变的量叫常量.数值发生变化的量叫变 量.
2.汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶里程为s km,行驶时间为t h.先填写
下表：
t/h
1
2
3
4
5
…
s/km 60
120
180
240
300
…
(4)当圆柱的高每增加1 cm时,它的体积增加____cm3.
（家1用）自梯做来形水一面的积做二S氧与化上碳底：长a之间的关系式是什么？
5（出__x2租＋_）_车5_用_0的1小_0表_、起0_格到_步_表如价_大示_为_图当变_1.2a，从元化1(圆5时0公变锥里，到D以1的圆.5内时高均锥（为度每的1次2是元体增)4加,积超厘1过）也米5，公随S，里的之的当相路应发圆程值生每锥；公了的里变另的收化底2元。面,则半路程径为由x公里(x＞4米5厘)时收费y元,y与x的关系式是
练习
9.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积 V(cm3)随之发生变化. (1)在这个变化中，自变量和因变量各
是什么？
自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积. (2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式.
V= （ 2 ）2 h =πh.
2
练习
9.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积 V(cm3)随之发生变化. (3)当h由10 cm变化到5 cm时，V是怎样变化的？
a
50 n
D.以上书写均不规范
2.张老师带领 x 名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票 每张5元，设门票的总费用为y元，则 y = 5x+10 .
北师版数学七年级下册2 用关系式表示的变量间关系教案与反思
2用关系式表示的变量间关系教学目标一、基本目标1．能根据具体情境用关系式表示某些变量之间的关系．2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．二、重难点目标【教学重点】找出题中的自变量和因变量．【教学难点】根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(教材P66引入问题)如图，三角形ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是底边BC长，因变量是△ABC的面积；(2)如果三角形的底边长为x( cm)，那么三角形的面积y( cm2)可以表示为y ＝3x；(3)当底边长从12 cm变化到3 cm时，三角形的面积从36 cm2变化到9 cm2.2．(教材P67“议一议”)“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．如下表：排碳计算公式家居用电的二氧化碳排放量(kg)＝耗电量(kW·h)×0.785开私家车的二氧化碳排放量(kg)＝耗油量(L)×2.7家用天然气二氧化碳排放量(kg)＝天然气使用量(m3)×0.19家用自来水二氧化碳排放量(kg)＝自来水使用量(t)×0.91(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y＝0.785x，其中的字母表示y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量；(2)在上述关系式中，耗电量每增加1 kW·h，二氧化碳排放量增加0.875 kg.当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时，二氧化碳排放量从0.875 kg增加到87.5 kg；(3)小明家本月用电大约110 kW·h、天然气20 m3、自来水5 t、耗油75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．解：110×0.785＋75×2.7＋20×0.19＋5×0.91＝297.2(kg)．即小明家这几项的二氧化碳排放量是297.2 kg.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】一个小球由静止开始一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：写出用t表示【互动探索】(引发学生思考)观察表中给出的t与s的对应值→分析数据→归纳得出关系式．【分析】t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42，…所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0.【答案】s＝2t2(t≥0)【互动总结】(生总结，老师点评)(1)关系式一般是用含有自变量的代数式表示因变量的等式；(2)关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边；(3)利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值，但已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，不要代错了．【例2】一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关如下表所示：(1)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6 h后，油箱中的剩余油量；(2)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？【互动探索】(引发学生思考)(1)分析表中数据可知，每行驶1 h耗油为7.5 L，由此可出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的关系式；(2)由(1)知，汽车每小时耗油7.5 L，油箱原有汽油54 L，用后者除以前者即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．【解答】(1)Q＝54－7.5t.把t＝6代入，得Q＝54－7.5×6＝9.即这辆汽车在连续行驶6 h后，油箱中剩余油量为9 L.(2)54÷7.5＝7.2(h)．即这车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶7.2 h.【互动总结】(学生总结，老师点评)观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．活动2巩固练习(学生独学)1．变量x与y之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝2时，因变量y的值是(C)A．－2B．－1C．1D．22．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是(B)A．y＝4n－4B．y＝4nC．y＝4n＋4D．y＝n23．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为2.输入x―→×－1―→＋3―→输出4．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式；(2)6小时后池中还有多少水？(3)几小时后，池中还有200立方米的水？解：(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)．(2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500.即6小时后池中还剩500立方米水．(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.即12小时后，池中还有200立方米的水．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)求变量之间关系式的“三途径”：(1)根据表格中所列的数据，归纳、总结两个变量的关系式；(2)利用公式写出两个变量之间的关系式；(3)结合实际问题写出两个变量之间的关系式．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
初中变量之间的关系
中考变量之间的关系第一节用表格表示变量之间的关系知识点一变量、自变量、因变量、常量的定义一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量成为变量. 如果有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，两一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫自变量，后一个变量叫做因变量. 在变化过程中数值始终不变的的那个量叫做常量.注意：（1）常亮与变量往往是相对的，相当于某个变化过程.（2）在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量.知识点二自变量与因变量的区别与联系自变量与因变量共同存在于一个变化过程中，它们既有区别又有联系.因变量随自变量的变化情况：知识点三从表格中获取信息对变化趋势进行初步预测借助表格可以表示两个变量之间的关系.表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中发现因变量随自变量变化存在一定的规律——或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测.用列表法表示两个变量之间的关系时，表格只能提供自变量与因变量对应的部分数据，不能全面反映两个变量之间的关系，想要知道表格中没有出现的自变量与因变量的对应数据，需要对表格中的数据进行分析，从已知部分数据中观察变量的变化规律并依此估计未在表格中出现的数据.例题1. 某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A.y，t和100都是变量 B.100和y都是常量C.y和t是变量D.100和t都是常量练习1. 下表是某报纸公布的世界人口数情况：上表中的变量是（）A.仅有一个，是年份B.仅有一个，是人口数C.有两个变量，一个是人口数，另一个是年份D.一个变量也没有在这三个量中，__________是常量，__________是自变量，__________是因变量.练习4. 在利用太阳能热水器给水加热的过程中，热水器里水的温度随所晒太阳光时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A.太阳光的强弱B.热水器里水的温度C.所晒太阳光的时间D.热水器练习5. 一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（）A．r是因变量，V是自变量B．r是自变量，V是因变量C．r是自变量，h是因变量D．h是自变量，V是因变量练习6. 明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）。
初中数学知识点精讲精析 用表达式表示变量之间的关系
第二节用表达式表示变量之间的关系要点精讲一、解析式两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析法．用解析法表示一个函数关系时，因变量y放在等式的左边，自变量y的代数式放在右边，其实质是用x的代数式表示y；注意：解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不一定能用解析法表示出来．二、函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．下面给出一些简单函数解析式中自变量范围的确定方法．1．当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）；2．当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数；3．当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量取值是使被开方的式子为非负的实数；4．当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数．说明:当函数表达式表示实际问题或几何问题时，自变量取值范围除应使函数表达式有意义外，还必须符合实际意义或几何意义．在一个函数关系式中，如果同时有几种代数式时，函数自变量取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．相关链接在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b（k为一次项系数，b为常数），那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量．典型分析1．南京市在某一天的地表气温是38℃，据测量每升高1km，气温下降6℃，那么在hkm的高空，温度t是多少?并计算当h的值是6km、10km、12km时的气温．讨论一下民用飞机在一万米高空飞行时，机舱为什么要与机外空气隔绝?【答案】t=38-6h．当h=6时，t=2℃；当h=10时，t=-22℃；当h=12时，t=-34℃．原因有很多，其中一点是机舱外温度非常低．【解析】用含h的代数式来表示气温．针对训练1．一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0．1元的价格按上网所用时间计算；方式B 除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时问为分．计费为元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：① 图象甲描述的是方式A ：② 图象乙描述的是方式B ；③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱．其中，正确结论的个数是（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 02．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0．05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是A ．=0．05B ．=5C ．=100D ．=0．05+1003．一个矩形被直线分成面积为，的两部分，则与之间的函数关系只可能是4．某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费元，以后每分钟收费元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为A ．元B ．元C ．元D ．元xy x y y x y x y x y x y x x y yx 2.01.05.04.06.07.08.09.05．如果一个定值电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I 随它的两端电压U 变化的图像是6．如图，把Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿轴向右平移，当点C 落在直线=2﹣6上时，线段BC 扫过的面积为A ．4B ．8C ．16D ．7．目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4．5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295．4元，求轿车的高速公路里程费．8． 某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s 与时间t 之间的图象．请回答下列问题：（1）求师生何时回到学校？（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；（3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10km 、8km ．现有A 、B 、C 、D 四个植树点与学校的路程分别是13km 、15km 、17km 、19km ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求．x y x y 5++=b ax y ax b a参考答案1．【答案】A【解析】① 方式A 以每分0．1元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为=0．1，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确；②方式B 除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为=0．05+20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确；③从图象观察可知，当>400时，乙<甲，所以当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱，故结论正确．综上，选A ．2．【答案】B【解析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0．05毫升，则一分钟滴水100×0．05毫升，则分钟可滴100×0．05x 毫升，据此得=100×0．05=5．故选B ．3．【答案】A【解析】因为矩形的面积是一定值，即+=，整理得=－+．由此可知是的一次函数，图象经过二、一、四象限；又、都不能为0，即＞0，y ＞0，图象位于第一象限．所以只有A 符合要求．故选A ．4．【答案】B【解析】由已知通过分析可得：根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少，即先打3分钟，挂断后再打3分钟，再挂断打（10－3－3）分钟，则费用为：0．2＋0．2＋0．2＋0．1=0．7．故选B ．5．【答案】C【解析】根据电流电压电阻三者关系：，其中R 为定值，电流I 随它的两端电压U 变化是正比例函数的关系，所以它的图象为过原点的直线．故选C ．6．【答案】C【解析】如图所示，根据已知和勾股定理，求得点C 的坐标（1，4），当△ABC 向右平移时，根据平移的性质，点C 的纵坐标不变，代入直线=2﹣6求得平移后点C （即C1）的横坐标，从而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可：y x y x x y y x y x x x y k y x k y x x y x V I R y x∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5．∵∠CAB=90°，∴AC=4．∴点C 的坐标为（1，4）．当点C 落在直线=2﹣6上时，令=4，得到4=2﹣6，解得=5．∴平移的距离为5﹣1=4．∴线段BC 扫过的面积为平行四边形的面积（如图CC1B1B ）：4×4=16．故选C ．7．【答案】（1）根据往返的时间、速度和路程可得到一个一元一次方程，解此方程可得舟山与嘉兴两地间的高速公路路程．（2）根据表格和林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费可以将解析式转换成一个含有未知数的一元一次方程，解此方程可得轿车的高速公路里程费．【解析】（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s 千米，由题意得，，解得，s=360．所以舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为：360千米；（2）轿车的高速公路通行费 y （元）的计算方法为：，根据表格和林老师的通行费可知，高速公路通行费295．4元，高速公路里程=360﹣48﹣36=276，跨海大桥过桥费=100+80=180，将它们代入中得．所以轿车的高速公路里程费为：0．4元/千米．8．【答案】（1）设师生返校时的函数解析式为，如图所示，把（12，8）、（13，3）代入上式中得，，解得，．∴．当s=0时，t=13．6=13时36分．∴师生在13时36分回到学校．（2）该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间y x y x x =5y ax b ++a =105 4.5s s -=5y ax b ++=y x b =5y ax b ++295.4=2761805=0.4a a ++，解得，s t k b =+128133k b k b +=⎧⎨+=⎩568k b =-⎧⎨=⎩s 5t 68=-+t 之间的图象如图所示：由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km ；（3）设符合学校要求的植树点与学校的路程为（km ），由题意得：＜14，解得，． 答：A 、B 、C 植树点符合学校的要求．【解析】（1）先根据师生返校时的路程与时间之间的关系列出函数解析式，然后看图将两组对应s 与t 的值代入可得到一个二元一次方程组，解此方程组可得函数解析式．当返回学校时就是s 为0时，t 的值．（2）根据题意直接画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，看图可得三轮车追上师生时，离学校的路程．（3）先设符合学校要求的植树点与学校的路程为（km ），然后根据往返的平均速度、路程和时间得到一个不等式，解此不等式可得到的取值范围，再确定植树点是否符合要求． 扩展知识y 关于自变量x 的一次函数有如下关系：y=kx+b （k,b 为常数，且k ≠0）当x 取一个值时，y 有且只有一个值和x 对应．如果有2个及以上个值和x 对应时，就不是一次函数．x 为自变量，y 为因变量，k 为常数，y 是x 的一次函数．特别的，当b=0时，y 是x 的正比例函数．即：y=kx （k 为常量，但k ≠0）正比例函数图像经过原点．定义域：自变量x 的取值范围．自变量的取值一要使函数有意义;二要与实际相符合．函数常用的表示方法：解析法、图像法、列表法．x 2814108x x <+++7179x<x x。
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9.2用关系式表示的变量间关系教材内容解析
教学目标设置
1、经历探索某些图形中变量之间的关系，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号意识。
2、能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想。
3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
学生学情分析
学生有好奇心和较强的求知欲，喜欢丰富的现实情境，喜欢创新，但是抽象思维能力较弱，对于知识的学习往往是浅尝辄止，不能深入理解其内涵。
同时虽然学生已经经历过代数式求值和探索规律等过程，但本节课希望学生在理解呈现的变量之间关系的实例的基础上，进一步在探索活动中让学生充分感受周围世界中的变量，并将其抽象为数学模型，同时能够用字母表示变量，把语言表示转化为关系式来理解变量的相依关系，为后续顺利过渡到函数学习打下基础，这对于学生而言是有困难的。
教学重难点：
重点：探索图形中变量之间的关系。
难点：将变量之间的关系用含有字母的关系式进行表示。
•教学策略分析
本节课的教学方法是引导学生积极探索，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点，因而，教学方法采用引导探索、研究发现法。
教学活动设计
（一）创设情境，导入新课
老师有一个神奇的表格，每输入一个值就会自动跳出一个值，你们想看一看这个神奇的表格吗？（展示表格）你们知道为什么会这么神奇吗？今天就让我们一同来学习3.2用关系式表示的变量间关系。
设计意图：通过EXCEL表格中调用函数的功能演示激发学生的学习兴趣，让学生初步感受用关系式表示变量间关系，培养学生学习数学、应用数学的意识．
（二）合作交流，解读新知
活动一：比一比（变化中的三角形）
1.提出问题：老师手中有两个高相等的三角形，我想知道哪个三角形的面积大？应该如何比较呢？你们能帮帮我吗？
师生明晰：当高一定时，三角形的面积随着底长度的变化而变化。
你们同意他这种说法吗？下面我们借助几何画板再来看一下。
3、几何画板演示：不同形状三角形当高不变时，面积随底的变化而变化的过程。
三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，仔细观察三角形面积的变化.
怎么样？
（1）那么你们能说说看在刚才三角形ABC变化的过程中，谁是自变量，谁是因变量呢？那高是什么呢？
（2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm 2）可以表示为 ________。
揭示内涵：像上面的表示自变量x和因变量y之间的关系，那我们就把这样的式子称之为变量y随x变化的关系式。
关系式是表示变量之间关系的另一种方法。
通常我们用关系式表示变量之间关系时习惯将因变量y写在等
号的左边，将含有自变量x的代数式写在等号的右边。
1.如果底边长从12 cm变化到3 cm时，三角形的面积从_____ cm 2变化到_____ cm
2.
设计意图：借由学生熟悉的三角形入手，通过思考当高一定时，底边长的变化引起了三角形面积的变化，再借助几何画板的动态演示，获得对变量关系的直观体验，从而让学生进一步体会变量之间的关系，初步从代数式表示的角度理解用关系式表示变量之间关系的方法，进一步积累研究变量之间关系的经验。
活动二：做一做（变化中的圆锥）
刚才我们已经在三角形中研究了变量间的关系，并认识了关系式，那么其他图形中是否也存在着变量间的关系呢？
如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
圆锥的体积发生了怎样的变化呢？同学们的猜测对吗？不妨借助几何画板再来验证一下。
提出问题：
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)你能用表达式将圆锥底面半径和圆锥的体积表示出来吗？
（3）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由变化到
．
设计意图：通过探索圆锥底面半径和体积的关系，使学生进一步体会用关系式表示的变量之间的对应关系。
活动3：议一议（排碳公式）
可以用关系式来研究图形中变量之间的关系，那么生活中也存在大量的变量，能否借助关系式来描述他们之间的关系呢？我们一起来看下面的问题：
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式.
请同学们根据图片中的信息，自己先想一想，然后以四人为一小组合作完成以下问题：
（1）请你说说看四个排碳计算公式中的自变量和因变量分别是什么？
（2）你能用字母将每个公式中自变量和因变量的关系表示出来吗？
（3）李老师家本月用电大约100 KW·h、天然气20、自来水5t、耗油50L，请你计算一下李老师家二氧化碳总排放量.
设计意图：“低碳生活”对于七年级的学生来说还很陌生，通过对“低碳生活”的知识学习，不仅拓展了学生的知识视野，也发展了学生数学表达的能力，如用字母表示变量，把语言表示转化为关系式等，同时也发展了学生的社会责任感.跟踪练习的设置，不仅是对关系式表示变量间的练习，也丰富了学生的知识，更为学生对比表格法和关系式法表示变量间的关系提供了例子. （三）当堂训练，巩固提高
1．地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)
的变化而变化（如图），在某个地点y与x之间的关系可以近似地用
关系式来表示，当x的值分别是2，10时，计算相应的y值．设计意图：进一步感受现实世界中用关系式表示变量间关系的便利，感受
用机器图直观刻画的自变量和因变量之间数值的对应关系，隐含了函数的思想。
并借此加强实际应用，巩固本节课所学.
（四）课堂小结，反思升华
1.我们一共学习了哪些方法来表示变量间的关系？
2．对比一下这两种方法，它们各自在表示变量关系时有哪些优点和缺点？
3.通过这节课的学习，你还有什么收获想与同学们分享吗？？
（1）涉及到图形的面积或体积时，写关系式是利用面积或体积公式写出等式；
（2）关系式一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等式的右边；
（3）已知一个变量的值求另一个变量的值时，就是代入关系式求值，一定要分清自变量还是因变量．
（4）要有低碳意识。
4.同学们，你们现在知道神奇表格为什么神奇了吗？
设计意图：通过对比两种方法表示变量间的关系，总结归纳每种方法的优
点和缺点，加深了学生对这两种方法表示变量间的关系的理解，对所学内容及
时地回顾，有利于知识系统化，发展学生的辩证唯物主义．
（五）布置作业，课外延伸
必做题：课本P68 习题3.2 第2、3题．
选做题：课本P68 习题3.2 第4题．
设计意图：分为必做题与选做题，让不同的学生得到不同的发展，体会到不一样的成功．课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈．
教学设计反思
1.从教学设计上来看，本节课先借学生熟悉的图形中底边长和底面半径的变化情况引起面积和体积的变化，引出运用关系式表示变量之间的关系，渗透自变量和因变量值的对应思想，为以后理解函数的概念做了充分的铺垫，同时又借助“排碳计算公式”将生活中变量之间关系的表达，转化为数学上关系式的表达。
这样的层层递进的设计不仅符合知识的发展规律，同时也符合学生心理特点以及认知规律。
2.从媒体应用上来看，本节课一开始的神奇表格贯穿教学始终，先借助EXCEL表格函数调用的优势调动学生的积极性和求知欲，再积极应用几何画板的动态演示，直观有效的帮助学生理解变量间变化的依存关系，以及数据的变化情况，同时又利用FLASH动化效果，紧抓学生眼球，确实有效的让学生理解“机器图”反映变量间数值的对应关系，最后又回归神奇表格揭示实质和内涵，这样的信息技术手段都能极大地辅助教学，帮助学生深化概念理解的空间，内容也比较丰富。