高中数学竞赛训练题—填空题
高中数学竞赛模拟题(十六套)
模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一 试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。
2．如图，在错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。
３．错误！未找到引用源。
4．单位正方体错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。
6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。
7．若错误！未找到引用源。
8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。
条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。
的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
， 求证：错误！未找到引用源。
． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。
有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。
成立．二 试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
求证：错误！未找到引用源。
N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。
．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。
四．（50分）设错误！未找到引用源。
为正整数错误！未找到引用源。
的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。
为数列错误！未找到引用源。
的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。
高中数学竞赛模拟试题及参考答案(可编辑)
数学奥林匹克高中训练题第一试一、填空题（每小题8份，共64分）1.函数3()2731xx f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,113a =,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____. 5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,,则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.7.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.8.某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每个参赛者每次投篮的命中率均为34,规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则一直投满4次.设ξ表示录取人数,则E ξ=_____.二、解答题（共56分）9.(16分)设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上点F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.(20分)是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.(20分)设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像Γ上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上时,求曲线Γ的切线斜率的最大值.加试一、(40分)设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、(40分)已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c .设2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、(50分)是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、(50分)对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.参 考 答 案 第一试一、1.53-.令3xt =,[0,3]x ∈,则有3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而2'()3273(3)(3)g t t t t =-=-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.2.2009. 由已知可得113a =,223a =,343a =.下面用数学归纳法证明:21n n a a +-=,1n n a a n ++=.显然,当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即是有21k k a a +-=,1k k a a k ++=.则当1n k =+时,3122222[](2[])2()([][])2[1][])1k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++-=---=---=-+-=（. 121(1)1k k k k a a a a k ++++=++=+. 即,当1n k =+时,结论也成立.综上所述,21n n a a +-=,1n n a a n ++=总成立.故200920102009a a +=.3.84.由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x A B ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.4.4. 由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4. 5.[0,3).由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2cx a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.6.32π. 如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=. 7.122n --.设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k k a c =,2k k k kce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n nn a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.8.1894. 由于每位参赛者被录取的概率均为331331133189444444444256p =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=,故录取人数ξ服从二项分布,即189(64,)256B ξ~,所以189189642564E ξ=⨯=.二、9.由已知得(,0)2p F ,设点(,0)A a ,则12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=.令1122(,),(,)M x y N x y ,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实数根,将该方程化简得:22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-.故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.10.当(0,)2πθ∈时,函数sin y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数tan y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有sin cos sin cos θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.11.因为32()f x ax bx cx d =+++,所以'2()32f x ax bx c =++.因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点,所以'(0)0f =,且(0)0f =.故0c d ==.(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,由'(1)0f =与(1)2f =可得:320a b +=,且2a b +=.解之,得:4,6a b =-=.此时,32()46f x x x =-+.(2)∵'2()32f x ax bx =+,且由题意点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上知0a <,∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为'()f x 的最大值2max3b k a=-.设点Q 的坐标为(,)m n ,则有'()0f m =,且()f m n =,∴2320am bm +=,且32am bm n +=.∴32b m a =-,23nb m=. ∴2max 332b n k a m =-=⋅. ∵n m表示过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线的斜率,而过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线斜率的最大值为2∴2max33(23322b n k a m =-=⋅≤=+∴曲线Γ的切线斜率的最大值为3加 试一、由西姆松定理知,,P Q R 三点共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有D A C D P R D P ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理,可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PR DB DA DP PR BA BC QR DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅. 从而PR QR =的充要条件是DA BADC BC=.又由三角形的角平分线的性质定理可得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. 二、由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,于是不难得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=. 2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. 三、由640p q r s +++=,且,,,p q r s 是互不相同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由于23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故3(1)3226402qs p q r s p q s q s -+++=++=++=,即是有(32)(34)385771929q s ++==⨯⨯,于是得3419,32729s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====.四、所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,第二步说明26n =是可以的.首先说明当25n ≤时是不行的.我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.其次说明当26n =时是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
高三数学竞赛试题 推荐
高中数学竞赛训练题三姓名：________________ （训练时间80分钟） 得分：___________________ 一． 填空题（每小题8分，共64分）1..a ,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a +b 的值等于____________________________；2. 若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+则()f x 的解析式是____________________;3. 如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为_____________________________;4.已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= ______;5.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 __; 6.设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin 5α=则(4cos 2)f α的值 ________________;7.若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 ;8.设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y s y x y x =>>则S 的最大值为 _____________.二．解答题（共三题,第9题16分，第10题、第11题每题20分，满分共计56分） 9.(16分)设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.10.(20分)已知x 、y 、z 均为正数 (1)求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ (2)若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值11.(20分)已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = (1)求()f x 的表达式; (2)定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
全国高中数学联赛选择填空训练题六套.doc
全国高中数学联赛选择填空训练题(1)一、选择题：(每小题6分，共36分)1.若a>0,a2+c2-2ab=0,bc>a2,JHiJ实数a,b,c 的大小顺序是()A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a2.若psin3 a +qsin a =m,psin3 B +qsin B =m,psin3 Y +qsin Y =m(mHO),且sin a Hsin B #sin Y ,则sin a+sin B+sin Y 的值为()A.p2 B.号，C.昂D.O3.已知实数x,y 满足(3x+y)5+x5+4x+y=0,KlJ 4x+y 的值为()A.12 B.3 C.O D.不能确定- , »4.已知0<y<x<2, tanx=3tany,则x-y 的最大值为()A.y B.才C.g D.p2 y2X5.经过点M(0,2),N(0, -2)作x轴的平行线，顺次交双曲线-石+牙=1的渐近线于A,B 和C,D四点，它们构成一矩形,又直线y=x交此双曲线于P,Q两点，以CD为底面圆周长,把矩形ABCD卷成圆柱面，则空间两点P,Q之间的距离为()A.-^\/4+7i2B. \[4+T?C.尊^+丘D. ^^\j4+n26.平面上有四点，连结其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合，不平行，也不垂直,从每一点出发，向其他三点作成的一切直线作垂线,则这些垂线的交点数的最大值为( )A.52个 B.60个 C.44个D.40个二、填空题：(每小题9分，共54分)7.设锐角a , ]3 满足sin' a +sin' B =sin( a + B ),则a + ]3 = .&从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数，但是其中是5的倍数均保留，划完后剩.卜的数依次构成一个新的序列:A1=1,A S=2,A3=5,A4=7,• • •,则A2OO3的值为9. ________________________________________ 设f(x)=x2-4x-5,G(x)=]；(Tx)^f(x)l〕；二:二;，若-次函数y=x+b 与G(x)的图像有三个不同的交点，则b的取值范围为_____________________________________ .10•已知ai=2^+0A -2^, a2=2^+0A -2^, a3=4| - 詰冇,a4^ - 刁吉了，记A»k=A/(ai+aj)2+(ak)2,其中下标ijk为1,2,3,4的任一不重复排列，则A»k的两两乘积及A#中最小的一个是 _____________ .11.若Zi=x^/5+yi,z2=x^/5+yi(x,yER),J!L|zi|+|z2|=6,KiJ f(x,y)=|2x-3y-12|的最值为 ____ .12. _____________________________________________________________ 正项数列简｝的前n项的和为Sn,且Sn=|(an€),则该数列的通项公式为______________ .答案:1 .A.2.D.3.C.4.C.5.D.6.C.7.90°.8.3338.9.-5<b<-l. IO.A43/ 或A34I2或A431A341.ll.最大12+6迈.最小12-6yf2.12.a n=y/n -yjn-l.全国高中数学联赛选择填空训练题（2）一、选择题：（每小题6分，共36分）1.设集合A={ai,a2,a3,a4,a5},B={ai2,a22,a32,a42,a52},ai（i=l,2,3,4,5）为正整数，且ai<a2<a3<a4<a5,若A A B={a b a4}, ai+a4=10,A U B 的元素之和为224,贝U a5的值为（）A.8 B.9 C.10 D.ll2.—直线平分三角形的周长和面积，则该直线必通过三角形的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心3.设四面体三组对棱分别相等，下面命题中止确的是（）A.四个面都是钝角三角形B.四个面都是锐角三角形C.三个面是钝角三角形，另一面是锐角三角形D.三个面是锐角三角形，另一面是钝角三角形4.已知实数x,y 满足4x2-5xy+4y2=5,w=x2+y2,IUlJ—~ 的值为（）Wmax Wmin48 160 于士*A.gB.gC.厉D.不存在5•某民航站有1到6个入口处，每个入口处每次只能进一个人,一小组9个人进站的方案数共有（）A.C[A；B.A I4A^C.C J X D.C；4A；6•连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段（包括边在内），现将其中的几条线段着上着颜色，为了使得心该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题：（每小题9分，共54分）7.已知a<b<c<d<e是连续的正整数,b+c+d是完全平方数,a+b+c+d+e是完全立方数, 则c 的值是_______________ .&已知x o=2OO3,x n=x n.i^- （n>l,n£N）,则x2003 的整数部分为 ___________Xn-19.已知x+2y+3z+4u+5v=30,则w=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为__________10.在棱长为a的正方体内容纳9个等球，八个角各放…个，则这些等球最大半径是sinx=asin(y ・z)11. _______________________________________________________ 已知a,b,c都不为0,并且有＜ siny=bsin(z・x),贝I」有ab+bc+ca= ___________________ ・、sinz=csin(x ・y)12.已知a&0, k=l, 2,…，2003,且ai+a2+•••+a2oo3=l,则S=max {ai+a2+a3, a2+a3+a4,…, 3,2001+3,2002+8,2003 }的最小值为___________ ・(9 提示:用柯西不等5^:(a2+b2+c2+d2+e2) (f2+g2+h2+i2+j2)(aRbg+ch+di+ej)2.答案:l.C.2.B.3.B.4.B.5.C.6.B.7.675.8.2003.9.60.10.0.5(2V3-3)a. 11.-1.12.3/2007.全国高中数学联赛选择填空训练题(3)一、选择题：(每小题6分，共36分)1.与函数y=f(x-a)+b的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数是()A. y-f1 (x-a) +bB. y-f1 (x+a) _bC. y-f 1 (x_b) +aD. y=f1 (x_b) _a2.半径为1的圆的内接十边形的最短边的最大值是()A.*(诉-1) C*(逅+1) D.l3.小于50000且含有奇数个数字"5"的五位数共有()A.2952 个B.11808 个C.16160 个D.26568 个4.三角形的三条边长均为止整数，其中有一条边长为4,但它不是最短的边，这样不同的三角形共有()A.6个B.7个C.8个D.9个5.已知aW(0,l)的常数,|x|+|y|Wl,函数f(x,y)=ax+y的最大值为()A.aB.lC.a+1D.*(a+1)6.对于每一对实数x,y,函数f 满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-l,若f(l)=l,那么使f(n)=n(n Hl)的整数n共有( )A.O个B.l个C.2个D.3个二、填空题：(每小题9分，共54分)7.对于已知的x,y,把2_x, 2x_y, 2y_1的最小值记作F(x,y),当0<x,y<l时,F(x,y)的最大值等于___________ .&用E(n)表示可使5k是乘积的约数为最大的整数k,则E(150)=9•设函数f(x)=E(x)-2E(|),其中E(x)表示实数x的整数部分，则f(x)为周期函数,其最小正周期T为___________10.函数f(x)在R上有定义,且满足(l)f(x)是偶函数，且f(0)=2005,⑵g(x)=f(x-l)是奇函数，则f(2005)的值为 _____ .11.在平面上有一定点P,考虑所有可能的止三角形ABC,其中AP=3,BP=2,则CP的最大长度为_________ .12. _________________________ 已知a,b,cdN,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1 )=379(bcd+b+d),设M=aX 103+bX 102+cX10+d,则M的值为・答案:l.C.2.A.3.B.4.C.5.B.6.B.7.2_1/3.8.2975.9.2.10.0.11.5.12.1949.全国高中数学联赛选择填空训练题(4)一、选择题：(每小题6分，共36分)1.复数z=l・cos 0 -isin 0 (2 n < 0 <3 n )的辐角主值是( )A.|oB. |( 9 - Jr)C. *( 0 + 兀)D. |( 9 +3 ")2•多项^(X2+2X+2)2003+(X2-3X-3)2003中x的奇次项系数和为()A.-4B.-3C.-2D.-l3.A,B,C,D四个城市恰为一个正方形的四个顶点，其边长为a,要建立一个公路系统，使每两个城市Z间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个最小值为()A.4aB.(4p)aC.(4+2 迈)aD.(5^)a4.平面a上给定不共线的三点A, B, C,作直线1 u a ,使A, B, C三点到直线1的距离之比为1:1:2或1:2:1或2:1:1,则这样的直线1共有( )a 2.12.16024.A.12 条B.9 条C.6 条D.3 条5. 已知直角坐标平面上的点>:M= {(x,y)|^--^<x-y},N= {(x,y)|x 2+y 2<2},则 MAN 的 面积为()A.0.25TI B. 0.5TI C.TI D. TI6. 直线上分布着2003个点，以这些点为端点的一切可能的线段的中点,至少可以得出 多少个互不重合的中点( )A.2OO1 B.2003 C.4002 D.4003二、填空题：(每小题9分，共54分)7. 在凸1900边形内取103个点，以这2003个点为顶点，可将原凸1900边形分割成小 三角形的个数为 ____________ .&化简co 迈筈+cos 畫pH“+cos 守青(nGN*)得 _________________9. ______________ 设有 n 个实数，满足|x ；|<l(I=l,2,3,"-,n), |xi|+|x 2|+-"+|x n |=19+|xi+x 2+•••+x n |，贝ll n 的最 小值为10. 三角形的一个顶点引出的角平分线，高线及中线恰将这个顶点的角四等分，则这 个顶角的度数为 _______11. 已知P,Q,R,S 是空间四面体ABCD 内任意四点，且Q,R,S,P 分别是PA,QB,RC,SD 的 中点，若以Vp.BCD 表不四面体P-BCD 的体积，余类推，则Vp_BCD ：Vp-CDA ：Vp-DAB ：Vp-ABC12. ________________________________ 某旅馆有2003个空房间，房间钥匙互不相同，来了 2010们旅客，要分发钥匙，使得其 中任何2003个人都能住进这2003个房间，而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每 人分到的钥匙数都不限)，最少得发出 ______________________________________ 把钥匙.答案:l.C.2.D.3.D.4.A.5.C.6.D.7.2104.8.-0.5.9.20.10.90°.ll. 全国高中数学联赛选择填空训练题(5)一、 选择题：(每小题6分，共36分)1.13-23+33-43+-+20013-20023+20033 被 3 除所得的余数为()A.-lB.OC.lD.2 2. 函数 f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|(其中 a>b>c>d, J=L a,b,c,d 丘 R,x 丘 R)的最小值为( )A.a+b+c+d B.a+b+c-d C.a+b-c-d D.a-b-c-d3. 已矢口 0< Q v B v y <2 n ，且 cos a +cos B +cos Y =0, sin a +sin B +sin Y =0,贝I 」B — a 的值为(B.知C.扌兀D. ^7i 或亍兀 4. 二次方程ax2+x+l=0的两根的模都小于2,则实数a 的取值范围为()A.(-8,-RB. (-8,R c. D. (-8,弓)U(£+8) 5•函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x), (x+y)Hx,y)=yHx,x+y),则耳14,52)的值为()A.91 B.182C.364D.无法计算6. 分正方形的每边为4等分，取分点为顶点共可作三角形()A.54 个B.108 个C.216 个D.324 个二、 填空题：(每小题9分，共54分)7.设z=tan 6 -1(号< 6 <兀),且|z|<2,则argz的取值范围是 ________ .&若实数x满足x4+36<13x［贝I」f(x)=x3-3x的最大值为___________9. _____________________ 将锐角A为60。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
高中全国数学竞赛试题
高中全国数学竞赛试题高中全国数学竞赛是一项旨在选拔和培养数学优秀人才的竞赛活动，它不仅考察学生的数学知识掌握程度，更注重学生的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。
以下是一份模拟的高中全国数学竞赛试题：一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 4D. 无法确定2. 已知\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \)，\( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \)，且\( \alpha \)在第二象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{3}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{4}{5} \)3. 一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆上任意一点到点(4,3)的距离的最大值和最小值。
A. 最大值8，最小值2B. 最大值9，最小值1C. 最大值10，最小值0D. 最大值11，最小值-14. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n + 1 \)，求\( a_5 \)的值。
A. 33B. 65C. 129D. 257二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知\( \tan(\theta) = 2 \)，求\( \sin(\theta) \)的值。
2. 若\( x \)和\( y \)满足方程组\( 2x - 3y = 5 \)和\( 4x + y = -3 \)，求\( x \)和\( y \)的值。
3. 一个等差数列的前三项和为15，第四项为10，求该等差数列的首项和公差。
4. 已知函数\( g(x) = 2^x - 1 \)，求\( g^{-1}(1) \)的值。
全国高中生数学竞赛试题
全国高中生数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的方程为\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \)，求圆心到直线\( x + 2y - 5 = 0 \)的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 53. 若\( a, b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 2023 \)，求\( a + b \)的可能值。
A. 44B. 45C. 46D. 474. 已知\( \sin A = \frac{3}{5} \)，\( \cos A = -\frac{4}{5} \)，求\( \tan A \)的值。
A. 3/4B. -3/4C. 4/3D. -4/35. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共30分）6. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，且\( a,b > 0 \)，求\( a + b \)的最小值。
7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)。
8. 若\( \log_{2}3 = m \)，求\( \log_{3}2 \)的值。
9. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。
10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求其第4项。
三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。
12. 已知函数\( g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \)，求其极值点，并判断其单调性。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。
A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。
A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。
A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。
A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。
A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。
A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。
答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。
答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。
全国高中生数学竞赛试题
全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且有a>0，b>0，c>0，那么a+b+c的值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm，圆心位于坐标系的原点，那么圆上一点（3，4）到圆心的距离是：A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列，且abc=8，a+b+c=6，那么b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26，首项为2，公差为3，求该等差数列的第四项。
7. 已知一个圆的周长为4πcm，求该圆的面积（π取3.14）。
8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点，求该零点的值。
9. 一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
10. 一个等比数列的前三项分别是2，6和18，求该数列的公比。
三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35，且第五项是首项的三倍。
求该等差数列的首项和公差。
12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A，且圆心到直线的距离为2√2cm。
若圆的半径为5cm，求圆心的坐标。
13. 证明：若n是正整数，且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数，则n 也是正整数。
14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为x，且周长为30cm。
求x的值。
15. 一个等比数列的前五项之和为31，首项为2，求该等比数列的公比和最后一项的值。
请注意，以上题目仅供参考，实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。
在解答时，考生需要仔细审题，合理运用数学知识和解题技巧，力求准确、高效地完成题目。
数学竞赛高中试题入门及答案
数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，那么\( f(-1) \)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3，圆心在原点，那么圆上任意一点到圆心的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C，且A + B + C = 180°，如果角A = 60°，角B = 50°，那么角C是多少度？A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是________。
6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
7. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是________厘米。
8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \)，第5项的值是________。
三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果\( a \)，\( b \)，\( c \)是正实数，且\( a + b +c = 1 \)，那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。
10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
（使用勾股定理）四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台，通过这些题目，学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。
高中数学奥林匹克竞赛试题
高中数学奥林匹克竞赛试题高中数学奥林匹克竞赛试题一、选择题（共20小题，每小题2分，共40分。
从每题四个选项中选择一个正确答案，将其标号填入题前括号内）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15，则b + c的值是：A. 4B. 6C. 8D. 122. 设等差数列{an}的公差为d，已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d，a₂ + a₄ + a₆= 15d，则a₇的值为：A. 8dB. 9dC. 10dD. 11d3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|，则a的值为：A. -1B. 0C. 1D. 24. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P，请问此时P点的横坐标x的取值范围是：A. [0, -4/3]B. [0, -2]C. (-∞, -2]D. (-∞, 0]5. 已知正整数a、b满足a + b = 10，ab = 15，则a/b的值是：A. 1/2B. 2/3C. 3/2D. 3/5二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17)，则x的最小正整数解为_______。
7. 在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + c经过点(1, 2)，且该直线与x轴交于点(3, 0)，则k的值为_______。
8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点，若A、B两点间的距离为10，且判别式Δ = b² - 4ac > 0，则a/b的值为_______。
9. 设U为自然数集合，函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x，则f(2019)的值为_______。
10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P，请问k的取值范围是_______。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。
答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。
答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。
解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0，可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。
高中数学竞赛模拟试题 1
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O A B C 中,若点O 处的三条棱两两垂直,且长度均为,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由A B C ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将A B C ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以F A 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:F M F N F A +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a b b b b b b ++=++,且123m in{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123m ax{,,}a a a 123m ax{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形A B C D 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且A B C ∠与A D C ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在A C 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。
答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。
答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。
答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案：证明略。
11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。
答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。
答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为0。
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高中数学竞赛训练题—填空题1. 若不等式1-log a )10(xa -＜0有解，则实数a 的范围是 .2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则方程21)(-=x f 的解集为 。
3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且21212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ⋅⋅⋅Λ的最小值为____________________.4. ,x R ∈ 函数()2sin3cos 23x xf x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。
当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1w z z=+，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设442)1()1()(x x x x k x f --+-=。
如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 .8．＝ 。
9．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。
10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足：123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ．11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .12．已知坐标平面上三点()())0,3,,A B C，P 是坐标平面上的点，且PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是______________.14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式92)211(422+<+-x x x 的解集为_______________________.16． 从m 个男生，n 个女生（104m n ≥>≥）中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则（m ，n ）的可能值为 ．17．,,O A B 是平面上不共线三点，向量a ρ=，OB b =u u ur r ，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，向量p ρ=．若||5a =r ，||3b =r ，则)(b a p ρρρ-⋅的值是____ ．18. 若14483=++z y x ，则222z y x ++ 的最小值为 。
19．已知定点A （3，0）和B （－2，1），又M 是椭圆1162522=+y x 上的一动点，则MB MA +的最大值与最小值之和等于 。
20．过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则m inm axS S 的值为 。
21．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。
22. 整数x y z >>，且222 4.625xyz++=，则整数组(,,)x y z 为 。
23.关于x 的三次函数)(x f y =的两个极值点为P 、Q ，其中P 为原点，Q 在曲线221x x y -+=上，则曲线)(x f y =的切线斜率的最大值的最小值为__________.24. 满足方程2所有实数解为 。
25.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为__________ .26．在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，则AD 长度的最小值为 。
27. 已知函数f(x)= ⎩⎨⎧〉-≤--)0)(1()0(12x x f x x ,若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是28．6个不同大小的数如图形式随机排列， ▲ -------------第1行 设第一行的数为1M ，第二、三行中的最大 ▲ ▲ ---------第2行 数分别为32,M M ，则满足321M M M <<的 ▲ ▲ ▲--------第3行 概率是 .29．方程116sin cos 16x x x xππ=+的解的集合为 。
30．整数x y z >>，且222 4.625xyz++=，则,,x y z 分别为 。
31． 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合 },1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M I 所表示的图形面积为32. 40162=N 设，则不超过1Nn =的最大整数为 。
33． 在三棱锥ABC S -中，4=SA ，7≥SB ，9≥SC ，5=AB ，6≤BC ，8≤AC ．则三棱锥ABC S -体积的最大值为 ．34．200720072007N的末二位数字是 。
35．设,,,a b c d 为非负实数，满足a b c db c d a c d a b d a b c===++++++++，则 a b b c c d d ac d a d a b b c+++++++++++＝ 。
36. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形，则 △ABC 的最小内角的取值范围为高中数学竞赛训练题答案---填空题部分1、当a ＞1时，不等式化为10-a x＞a,要使不等式有解，必须10-a ＞0 ∴1＜a ＜10当0＜a ＜1时，不等式化为0＜10-a x ＜a ⇒10-a ＜a x＜10不等式恒有解 故满足条件a 的范围是（0，1）∪（1，10）2解：依题意，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以４为周期的周期函数。
可求得 1112()11132x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩由图象有 1(41)2f k -=-，（k ∈Z ）。
3.20024002. 提示：令i ix a =+22，则i i i x x a -⋅=12，且121=+++i x x x Λ，其中.2002,,2,1Λ=i)(122002322002212002200221x x x x x x a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅∴ΛΛΛ)()(200121200231x x x x x x +++⋅⋅+++⋅ΛΛΛ200120012120012002312001200232200221200220012001200112x x x x x x x x x x x x ΛΛΛΛΛ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥200220022002400220012=⨯=4. ,x R ∈ 函数()2sin3cos 23x xf x =+的最小正周期为12π. 4.解答 2sin 43cos ()1223x xf x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。
5.设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22x yx y +==00220,2x x y y ⇒=-=，因为P 点在圆上，所以22(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨迹为22(10)9x y -+=。
6.. 设z 是虚数，1w z z =+，且12w -<<，则z 的实部取值范围为112a -<<.6.设2222120a bi bz a bi a bi b a b a b-=+⇒-<++<⇒-=++2201b a b ⇒=+=或 当0b =，无解；当221112a b a +=⇒-<<。
7.1)1(224+--≥x x x x k 222133131(),124424x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为448111,(1)222x x x ≤=-时，取最大值（），所以k 的最小值为1192。
8．＝ 。
8.根据题意要求，2605x x +≥+，20571x x +≤+≤。
于是有2715x x +=+。
因此cos01==。
因此答案为 1。
9．设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++，则1()()_________f x f x +=。
解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x---+=+++++=++++++。
10、371．解：当229a ≤≤时，()12,a a 有29C 种选择方法， 3a 有6种选择方法，所以()123,,a a a 共有296216C ⨯=种选择方法；当21014a ≤≤时，一旦2a 取定，1a 有21a -种选择方法，3a 有215a -种选择方法，所以选择()123,,a a a 的方法有()()214221011595104113122131155a aa =--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑种．综上，满足条件的子集共有371个．11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .11.12-=n a n ．解：由已知得21)11(11211++=++++=++n n n n a a a a ，且01>+n a ．所以1111++=++n n a a ，即{1+n a }是首项、公差均为1的等差数列，所以1+n a =n ，即有12-=n a n . 12.()()04122≤=-+y y x .解：如图，作正三角形PCD ，由于ABC ∆也是正三角形，所以可证得 ACP ∆≌BCD ∆， 所以BD AP =．又因为BD PB PC PB PD =+=+，所以点D P B ,,共线．CBP PAC ∠=∠，所以P 点在ABC ∆的外接圆上，又因为,PA PB PA PC >>，所以所求的轨迹方程为()()04122≤=-+y y x ．13.已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________.13、【答案】23-.提示：弦切变换,构造齐次式解题. )]1()1sin[(]1()1sin[(50000αααα-++=-++ )1sin()1cos(6)1cos()1sin(40000-+-=-+⇒αααα.14【答案】85. 提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8521121233512=-⋅）（）（C C . （方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于83])21()211()21([55544512=+-⋅C C C ，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于85831=-. 15.不等式92)211(422+<+-x x x 的解集为_______________________.15.)845,0()021[⋃-，.提示：原不等式等价于)21222()92(42x x x x +-+⋅+< 设t x =+21，则10≠≥t t 且，122-=t x ，从而原不等式可化为271108)1(1)8()1()1(10222222<<<≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧+<+≠≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-<-≠≥t t t t t t t t t t t 或 16.答案:（10，6）.解：()()221122,m n m nm n m n C C C C P A P B C C +++==，由于()()P A P B =，所以2211m n m n C C C C +=，整理得()2m n m n -=+．即m n +是完全平方数，且919m n ≤+≤，93m n m n +=⎧⎨-=⎩，164m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩（不合条件），106m n =⎧⎨=⎩.故()(),10,6m n =．17答案:8．解：如图,QP 是线段AB 的垂直平分线，OP OQ QP =+u u u r u u u r u u u r，()12OQ a b =+u u u r rr ，QP BA ⊥u u u r u u u r ，()()p a b OQ QP BA OQ BA QP BA ⋅-=+⋅=⋅+⋅u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r()11()()822a b a b a b 22=+⋅-=||-||=r r r r r r ． 18. 若14483=++z y x ，则222z y x ++ 的最小值为20091。