高中数学竞赛集训训练题
高中数学竞赛模拟题(十六套)
模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一 试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。
2．如图，在错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。
３．错误！未找到引用源。
4．单位正方体错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。
6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。
7．若错误！未找到引用源。
8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。
条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。
的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
， 求证：错误！未找到引用源。
． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。
有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。
成立．二 试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
求证：错误！未找到引用源。
N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。
．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。
四．（50分）设错误！未找到引用源。
为正整数错误！未找到引用源。
的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。
为数列错误！未找到引用源。
的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。
全国高中数学联赛集训试题及参考答案.docx
全国高中数学联赛集训试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)函数f(x)=logi/2(x2-2x-3)的单调递增区间是(若实数x, y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x?+y2的最小值为(直线x/4+y/3=l 与椭圆x 2/16+y 2/9=l 相交于A, B 两点，该椭圆上点P,使得APAB 面积等于3, 这样的点P 共有(6、由曲线x 2=4y,x 2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为VI ；满足 x 2+y 2<16,x 2+(y-2)2>4,x 2+(y+2)2>4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V?，则(A) Vi= (1/2) V 2 (B)Vi= (2/3) V 2二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7、已知复数Zi,Z2满足I Z[ | =2, | Z 2 | =3,若它们所对应向量的夹角为60。
,则I (Z 1+Z 2)/(Z 1+Z 2) 8、将二项式(Wx+1/ (2^x)) 11的展开式按x 的降'最排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式 1、 (A) ( —co, —1)(B) (—8,1)(C) (1, + co) (D) (3, +s) 2、 (A) 2 (B) 1 (C)山 (D)也 3、 函数 f(x)=x/l-2%x/2 ( (A)是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数乂是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个5、已知两个实数集合 A= {ai,a2,...,aioo )与 B= {bib,...bo}, 若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f(ai )<f(a 2)<.. <f(a 1O o)MS 样的映射共有( )。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ...................................................................................................
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。
A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。
A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。
A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。
A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。
A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。
A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。
答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。
答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题1 集合(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题1 集合 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·天津·高三竞赛）如果集合{}1,2,3,,10A =，{}1,2,3,4B =，C 是A 的子集，且C B ≠∅，则这样的子集C 有（ ）个.A ．256B ．959C ．960D ．961【答案】C 【解析】 【详解】满足C B ⋂=∅的子集C 有62个，所以满足C B ⋂≠∅的子集C 有10622960-=个. 故答案为C2．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合{}{}2|2,230A x x B x x x =>=--<∣，则A B =( ).A ．{23}xx <<∣ B ．{12}xx -<<∣ C ．{21xx -<<-∣或2}x > D ．{2∣<-xx 或3}x > 【答案】A 【解析】 【详解】(,2)(2,)A =-∞-+∞，又223(3)(1)0(1,3)x x x x B --=-+<⇒=-， 所以(2,3)A B =. 故选：A.3．（2018·黑龙江·高三竞赛）已知集合(){}2,60A x y x a y =++=，集合()(){},2320B x y a x ay a =-++=.若AB =∅，则a 的值是（ ）.A ．3或-1B ．0C ．-1D ．0或-1【答案】D 【解析】 【详解】A B ⋂=∅，即直线21:60l x a y ++=与()2:2320l a x ay a -++=平行.令()2132a a a ⨯=-，解得0a =或-14．（2019·全国·高三竞赛）已知{}1,2,,216,S A S =⋅⋅⋅⊆.若集合A 中任两个元素的和都不能被6整除，则集合A 中元素的个数最多为（ ）. A ．36 B ．52 C ．74 D ．90【答案】C 【解析】 【详解】记{}()6,0,1,,5k S x S x n k n N k =∈=+∈=⋅⋅⋅，且50k k S S ==⋃.易知()36k card S =.则集合A 中既不能同时有1S 与5S 或2S 与4S 中元素，也不能有6S 中两个元素、3S 中两个元素.要使A 中元素最多，可选1S 与2S 中全部元素，0S 与3S 中各一个元素.故最多共有36361174+++=个元素. 故答案为C5．（2019·吉林·高三竞赛）集合A ={2,0,1,3}，集合B ={x |-x ∈A ,2-x 2∉A }，则集合B 中所有元素的和为 A ．4- B ．5- C ．6- D ．7-【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得B ={-2，-3}，则集合B 中所有元素的和为-5. 故选：B. 二、填空题6．（2018·四川·高三竞赛）设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，若I 的非空子集AB 、满足A B =∅，就称有序集合对(),A B 为I 的“隔离集合对”，则集合I 的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答） 【答案】6050 【解析】 【详解】设A 为I 的()17k k ≤≤元子集，则B 为I 的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为()()()()7778880880808898888888111212122223216050k kk kk k k k CC C C C C C --===-=-=+-+---=-+=∑∑∑. 故答案为6050.7．（2018·湖南·高三竞赛）设集合2{|},{31021|}01A x x x B x m x m =-≤=+≤≤--，若A B B =，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】3m ≤ 【解析】 【详解】由A B B ⋂=知，B A ⊆，而2{|3100}{|25}A x x x x x =--≤=-≤≤.当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆成立. 当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥，由B A ⊆，得21,21 5.m m -≤+⎧⎨-≤⎩ 解得33m -≤≤.又2m ≥，故得23m ≤≤. 综上，有3m ≤. 故答案为3m ≤8．（2021·全国·高三竞赛）已知,a b ∈R ，集合{}2{1,,},,M a b N a ab ==，若N M ⊆，则a b+的值为_________． 【答案】1- 【解析】 【分析】 【详解】依题意，1,0,1,a a b b a ≠≠≠≠．若21a =，则1,{1,1,},{1,}a M b N b =-=-=-，所以,0b b b -==． 若2a a =，则0a =或1，矛盾．若2a b =，则{}{}2231,,,,M a a N a a ==，于是31a =或a ，得0a =或±1，舍去．综上所述，1a b +=-． 故答案为：1-.9．（2018·山东·高三竞赛）集合A 、B 满足{}1,2,3,,10A B =，A B =∅，若A 中的元素个数不是A 中的元素，B 中的元素个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为______． 【答案】186 【解析】 【详解】设A 中元素个数为()1,2,,9k k =，则B 中元素个数为10k -，依题意k A ∉，441122m k m ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10k B -∉，10k A -∈，此时满足题设要求的A 的个数为1102k C --．其中，当5k =时，不满足题意，故5k ≠．所以A 的个数为018484888882186C C C C C +++-=-=．10．（2018·福建·高三竞赛）将正偶数集合{}2,4,6,从小到大按第n 组有32n -个数进行分组：{}2，{}4,6,8,10，{}12,14,16,18,20,22,24，…，则2018位于第______组． 【答案】27 【解析】 【详解】设2018在第n 组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得()()11132100932n ni i i i -==-<≤-∑∑，即()()223113100922n n n n ----<≤．解得正整数27n =．所以2018位于第27组．11．（2021·全国·高三竞赛）在{1,2,,12}的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为___________. 【答案】1364 【解析】 【详解】考虑1,12;2,11;3,10;4,9;5,8;6,7这5组数，每一组可作为集合的最大元素和最小元素，故所求集合的个数为()10864221222211364-+++++=，故答案为：136412．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{1,2,3,,1995}M =，A 是M 的子集，当x A ∈时，19x A ∉，则集合A 元素个数的最大值为_______． 【答案】1895 【解析】 【详解】解析：先构造抽屉：{6,114},{7,133},,{105,1995},{1,2,3,4,5,106,107,,1994}．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A ，可从集合M 中去掉前100个抽屉中的数，剩下199510021795-⨯=个数，作为第101个抽屉．现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A ，于是{1,2,3,4,5,106,107,,1995}A =，满足A 包含于M ，且当x A ∈时，19x A ∉． 所以card()A 的最大值为199********-=． 故答案为：1895.13．（2021·全国·高三竞赛）设111,,,23100X ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，子集G X ⊆之积数定义为G 中所有元素之乘积（空集的积数为零），求X 中所有偶数个元素之子集的积数的总和是_________． 【答案】4851200##5124200【解析】 【详解】解：设X 中所有偶数个元素之子集的积数的总和是A ，X 中所有奇数个元素之子集的积数之和是B ，则111991*********A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11199111123100100A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得4851200A =． 故答案为：485120014．（2020·江苏·高三竞赛）设*n N ∈，欧拉函数()n ϕ表示在正整数1，2，3，…，n 中与n 互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以()42ϕ=，则()2020ϕ=__________．【答案】800 【解析】 【详解】解析：法一：因为2202025101=⨯⨯，故能被2整除的数有1010个，能被5整除的数有404个， 能被101整除的数有20个，既能被2整除又能被5整除的数有202个， 既能被2整除又能被101整除的数有10个， 既能被5整除又能被101整除的数有4个， 既能被2整除又能被5和101整除的数有2个．故与2020不互质的有10104042020210421220++---+=，则()2020800ϕ=． 故答案为：800.法二：()()()()2202025101=800ϕϕϕϕ=⨯⨯.故答案为：800.15．（2021·浙江·高二竞赛）给定实数集合A ，B ，定义运算{},,A B x x ab a b a A b B ⊗==++∈∈.设{}0,2,4,,18A =⋅⋅⋅，{}98,99,100B =，则A B ⊗中的所有元素之和为______. 【答案】29970 【解析】 【分析】【详解】由(1)(1)1x a b =++-， 则可知所有元素之和为(1319)30031029970+++⨯-⨯=.故答案为：29970.16．（2021·全国·高三竞赛）从自然数中删去所有的完全平方数与立方数，剩下的数从小到大排成一个数列{}n a ，则2020a =_________． 【答案】2074 【解析】 【分析】 【详解】注意到23366452025,121728,132197,3729,44096=====，我们考虑1到2025中n a 出现的次数．这里有45个平方数，12个立方数，3个6次方数， 所以n a 出现的次数为2025451231971--+=， 接下来直至2197前都没有平方数和立方数， 所以20202020197120252074a =-+=．17．（2021·全国·高三竞赛）设正整数m 、n ，集合{1,2,,}A n =，{1,2,,}B m =,{(,),}S u v u A v B ⊆∈∈，满足对任意的(,),(,)a b S x y S ∈∈，均有：()()0a x b y --≤，则max ||S =________．【答案】1n m +- 【解析】 【分析】 【详解】首先对S 中任意两个不同元素(,),(,)a b x y ，必有b a y x -≠-．事实上，若b a y x -=-，则b y ≠（否则a x =，这与(,)(,)a b x y ≠矛盾）． 若b y <，则a x <，则()()0a x b y -->，这与题意矛盾， 同理，b y >亦与题意矛盾．这样S 中任意元素(,),a b b a -各不相同， 而{1,2,,0,1,,1}b a m m n -∈----共1n m +-种情形，则||1S n m ≤+-．再令{(,)S x y y m ==且1x n ≤≤，或x n =且1}y m ≤≤，此时||1S n m =+-． 故答案为：1n m +-.18．（2021·全国·高三竞赛）已知A 与B 是集合1,2,3,{},100的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B 为空集.若当n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B 的元素个数最多为_______. 【答案】66 【解析】 【分析】 【详解】先证||66A B ≤，只须证33A ≤， 为此只须证若A 是{}1,2,,49的任一个34元子集，则必存在n A ∈，使得22n A +∈.证明如下： 将{}1,2,,49分成如下33个集合：{}{}{}{}1,4,3,8,5,12,,23,48共12个；{}{}{}{}2,6,10,22,14,30,18,38共4个；{}{}{}{}25,27,29,,49共13个；{}{}{}{}26,34,42,46共4个.由于A 是{}1,2,,49的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ， 即存在n A ∈，使得22n A +∈. 如取{}1,3,5,,23,2,10,14,18,25,27,29,,49,26,34,42,46A =，22{|}B n n A =+∈，则A ､B 满足题设且||66A B =. 故答案为：66.19．（2021·全国·高三竞赛）设集合{1,2,3,,10},{(,,),,S A x y z x y z S ==∈∣，且()}3339x y z ++∣，则A 有_______个元素．【答案】243 【解析】 【分析】 【详解】将S 中元素按3x 模9余数分类得：123{1,4,7,10},{2,5,8},{3,6,9}S S S ===． 对每个(),,x y z A ∈，有,,x y z 分别属于123,,S S S ，或,,x y z 均属于3S ．因此A 中共有()33!4333243⨯⨯⨯+=个元素．故答案为：243.20．（2021·全国·高三竞赛）设S 为集合{}0,1,2,,9的子集，若存在正整数N ，使得对任意整数n N >，总能找到正实数a b 、，满足a b n +=，且a b 、在十进制表示下的所有数字（不包括开头的0）都属于集合S ，则||S 的最小值为___（||S 表示集合S 的元素个数）. 【答案】5 【解析】 【分析】 【详解】第一步，证明4S ≥，若4S =，则其中两数（可相同）相加共10个值（4个2i x 加上24C 6=个i j x x +），而n 的个位数由这10个值的个位数产生，因此，这10个值的个位数不能重复； 在0、1、2、…、9中有五个奇数，五个偶数， 若四个元中0或4个奇数，不能加出奇数； 若四个元中有1个奇数，只能产生3个奇数； 若四个元中有2个奇数，只能产生4个奇数； 若四个元中有3个奇数，只能产生3个奇数； 因此||4S >.第二步，构造一个五元组满足条件，稍加实验可得下表上表表明，0、1、2、…、9中的每个数字，都可以由{}0,1,2,3,6中的两个相加得到，则对任意正整数n ，从个位数开始依次向高位遍历，将每位数都按表格中表示分解为两个数，赋值给a b 、对应的位置，遍历完毕后自然得到a b 、. 综上min ||5S =. 故答案为：5.21．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 【答案】16815 【解析】 【详解】所求的和为()22221(1219)12192⎡⎤+++-+++⎣⎦1(361002470)2=-16815=.故答案为：16815．22．（2019·河南·高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ . 【答案】256 【解析】 【详解】全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能. 所以，奇子集共有：()()()101401450144444435454445C C C C C C C C C C C C +++++++++++()()135014555444C C C C C C =+++++()451012256=++⨯=个.故答案为：256．23．（2019·广西·高三竞赛）已知yz ≠0，且集合{2x ，3z ，xy }也可以表示为{y ，2x 2，3xz }，则x =____________.【答案】1 【解析】 【详解】易知xyz ≠0，由两集合各元素之积得2366,1x yz x yz x ==. 经验证，x =1符合题意. 故答案为：1．24．（2019·山东·高三竞赛）已知(){}23|log 21,(,](,)A x x x B a b =-=-∞⋃+∞其中a <b ，如果A ∪B =R ，那么a －b 的最小值是_______ . 【答案】1- 【解析】 【详解】由已知得[1,0)(2,3]A =-⋃，故b －a ≤1，于是1a b --. 故答案为：1-．25．（2019·重庆·高三竞赛）设A 为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B ={x +y |x ，y ∈A ，x ≠y }，若{}222log 6,log 10,log 15B =，则集合A =_______ . 【答案】{}221,log 3,log 5 【解析】 【详解】设{}222log ,log ,log A a b c =，其中0<a <b <c .则ab =6，ac =10，bc =15. 解得a =2，b =3，c =5，从而{}221,log 3,log 5A =. 故答案为：{}221,log 3,log 5．26．（2018·河北·高二竞赛）已知集合{},,A x xy x y =+，{}0,,B x y =且A=B ，那么20182018x y +=_______.【答案】2 【解析】 【详解】由B 中有三个元素知，0x ≠且0y ≠，故A 中0x y +=，即有x y =-，又{}{},,x xy x y =若x x xy y ⎧=⎨=⎩，则11x y =⎧⎨=-⎩.此时{}{}1,1,0,0,1,1A B =-=-. 若x t x xy =⎧⎨=⎩，则00x y =⎧⎨=⎩，或11x y =-⎧⎨=-⎩，或11x y =⎧⎨=⎩，不满足互异性，舍去.故1x =，1y =-，所以201820182x y +=. 27．（2019·全国·高三竞赛）集合{}1,2,,100S =，对于正整数m ，集合S 的任一m 元子集中必有一个数为另外m-1个数乘积的约数.则m 的最小可能值为__________． 【答案】26 【解析】 【详解】所有不大于100的素数共有25个，记其构成的组合为T=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97｝.注意到，集合T 中每一个元素均不能被T 中其余24个元素之积整除. 故2526m T m >=⇒≥.另一方面，用反证法证明：对于集合S 的任一26元子集，其中必有一个数为另外25个数乘积的约数.为叙述方便，对于素数p 和正整数x ，记()p x α表示x 中缩含p 的幂指数.若存在集合S 的某个26元子集A ，对每个x A ∈，x 均不整除集合A 中其余25个数乘积，则对每个x A ∈，存在x 的素因子p ，使得(){}\p p x A x x z αα∈⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭∏，称这样的素数p 为x 的特异素因子，这种特异素因子不是唯一的.由于26A =，且所有特异素因子均属于集合S ，而集合S 中只有25个素数，故必有集合A 的两个不同元素x 、y 具有同一个特异素因子p. 由特异性及{}\y A x ∈，知(){}{}\p p p z A x x z y ααα∈⎛⎫>≥ ⎪⎪⎝⎭∏.类似地，(){}()\p p p z A y y z x ααα∈⎛⎫>≥⎪ ⎪⎝⎭∏，矛盾. 综上，m 的最小可能值为26.28．（2018·全国·高三竞赛）若实数集合{}2,3A x y =与{}6,B xy =恰有一个公共元素，则A B 中的所有元素之积为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】将集合A 、B 的唯一公共元素记为a . 若0a ≠，则集合A 、B 的另一个元素均为6xya，矛盾. 进而，A B ⋃中的所有元素之积为0.29．（2021·全国·高三竞赛）已知非空集合{1,2,,2019,2020}X M ⊆=，用()f X 表示集合X中最大数和最小数的和，则所有这样的()f X 的和为_____. 【答案】()2020202121⋅-【解析】 【分析】 【详解】将M 中的非空子集两两进行配对，对每个非空子集X M ⊆，令{2021}X xx X '=-∈∣， 对M 的任意两个子集1X 和2X ，若12X X ≠时，12X X ''≠.则所有非空集合X 可以分成X X '≠和X X '=两类. 当X X '=时，必有()2021f X =，当X X '≠时，必有()()202124042f X f X +'=⨯=.又M 的非空子集共有202021-个，故所有这样的()f X 的和为()2020202121⋅-.故答案为：()2020202121⋅-.30．（2019·浙江·高三竞赛）在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.【答案】39200 【解析】 【详解】易知10010z -=的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100π，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：1001,,49x y z x y z ++=⎧⎨⎩970,,48x y z x y z ++=⎧⇒⎨⎩ ① 计算方程组①的整数解个数，记1{|97,49}P x x y z x =++=，2{|97,49}P y x y z y =++=，3{|97,49}P z x y z z =++=，{(,,)|97,,,0}S x y z x y z x y z =++=，则123123||P P P S P P P ⋂⋂=-⋃⋃2991231C |i j i j P P P P P P <⎛=-++-∑⋂+ ⎝)23|P P ⋂⋂229950C 3C 1176=-=. 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为1001176392003⨯=. 故答案为：39200．31．（2019·浙江·高三竞赛）已知集合A ={k +1，k +2，…，k +n }，k 、n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A =________. 【答案】{334，335，336，337，338，339} 【解析】 【详解】由已知2136732k n n ++⨯=⨯. 当n =2m 时，得到(221)36733,6,333k m m m n k ++=⨯⇒===； 当n =2m +1时，得到(1)(21)36731,3k m m m n +++=⨯⇒==. 所以n 的最大值为6，此时集合{334,335,336,337,338,339}A =. 故答案为：{334,335,336,337,338,339} ．32．（2021·全国·高三竞赛）设集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A 的子集中有___________个“翔集合”. 【答案】49 【解析】 【分析】 设出集合{1,2,3,,}n 中满足题设性质的子集个数为n a ，写出2340,1a a a ===，在4n >时，要分情况把n a 的递推公式写出来，进而得到10a ，即答案. 【详解】 设集合{1,2,3,,}n 中满足题设性质的子集个数为n a ，则2340,1a a a ===.当4n >时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：一类是含有n 的子集，去掉n 后剩下小于2n -的单元子集或者是{1,2,3,,3}n -满足题设性质的子集，前者有3n -个，后者有3n a -个；另一类是不含有n 的子集，此时恰好是{1,2,3,,1}n -满足题设性质的子集，有1n a -个.于是，31(3)n n n a n a a --=-++.又2340,1a a a ===，所以56789103,6,11,19,31,49a a a a a a ======.故答案为：49 【点睛】本题的难点是用数列的思想来考虑，设集合{1,2,3,,}n 中满足题设性质的子集个数为n a ，写出n a 的递推公式，再代入求值即可. 三、解答题33．（2021·全国·高三竞赛）已知非空正实数有限集合A ，定义集合{},,,x B x y A C xy x y A y ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭，证明：2A B C ⋅≤．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】以集合B 作为突破口，取b B ∈，并设有()n b 个数对(),(1,2,,())i i x y i n b =满足：,,ii i ix b x y A y =∈． 由条件知,()i i ax ay C a A ∈∈，考虑集合(){}(),,1,2,,()i i X b ax ay a A i n b =∈=⋅⋅⋅，有()()(),(),X b A X b X b b B b b ''=∅∈'≥≠．于是，2||C ≥U ()b BX b ∈=b B∈∑|()|X b ≥||||B A ⋅得证． 34．（2021·浙江·高二竞赛）设数集{}12,,,m P a a a =，它的平均数12mp a a a C m+++=.现将{1,2,,}S n =分成两个非空且不相交子集A ，B ，求A B C C -的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对(),A B 的数目. 【答案】最大值2n，数目为22n -.【解析】 【分析】不妨设A B C C >，记{}12,,,p A a a a =，12p T a a a =+++，可以得到A B C C -=12n T n n p p ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，考虑T 最大的情况是取最大的p 个数，此时可以发现A B C C -的结果正好是与p 无关的定值，从而也就得到了A B C C -的最大值，然后考察p 的可能的值，得到A B C C >时(),A B 的组数，并利用对称性得到A B C C <时(),A B 具有与之相等的组数，从而得到所有可能的(),A B 的组数. 【详解】 不妨设A B C C >， 记{}12,,,p A a a a =，12p T a a a =+++，所以(1)2A B A Bn n TT C C C C p n p+--=-=-- 11(1)12()2n n n T n T p n p n p n p p ⎛⎫⎛⎫++=+-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，又有(21)(1)(2)2p n p T n p n p n -+≤-++-+++=，所以211222A B n n p n nC C n p -++⎛⎫-≤-= ⎪-⎝⎭当且仅当(21)2p n p T -+=时，取到等号，所以A B C C -的最大值2n.此时{1,,}A n p n =-+，由,A B 非空，可知1p =，2，…，1n -，有1n -种情况， 利用对称性得到A B C C <时(),A B 具有与之相等的组数， 由于A B C C -的最大值2n不可能有A B C C =的情况，所以有序数对(),A B 的数目为22n -. 35．（2020·全国·高三竞赛）设集合{1,2,,19}A =．是否存在集合A 的非空子集12,S S ，满足（1）1212,S S S S A ⋂=∅⋃=； （2）12,S S 都至少有4个元素；（3）1S 的所有元素的和等于2S 的所有元素的乘积？证明你的结论． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】不妨设21,2,,,219S x y x y =<<≤，由条件可得2187xy x y ++=，即(21)(21)3751525x y ++==⨯，根据219x y <<≤,,x y N ∈，可得出其一组解，可证明.【详解】解：答案是肯定的．不妨设21,2,,,219S x y x y =<<≤，,x y N ∈ 则1219122x y xy +++----=，所以2187xy x y ++=，故(21)(21)3751525x y ++==⨯， 所以7,12x y ==是一组解故取13,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19S =，21,2,7,12S =，则这样的12,S S 满足条件 36．（2021·全国·高三竞赛）设n 是正整数，我们说集合{1,2,,2}n 的一个排列()122,,,n x x x 具有性质P ，是指在{1,2,,21}n -当中至少有一个i ，使得1i i x x n +-=.求证：对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设A 为不具有性质P 的排列的集合，B 为具有性质P 的排列的集合，显然||||(2)!A B n +=.为了证明||||A B <，只要得到1||(2)!2B n >就够了.设()122,,,n x x x 中，k 与k n +相邻的排列的集合为,1,2,,k A k n =.则22(21)!,2(22)!,1k k j A n A A n k j n =⋅-=⋅-≤<≤，由容斥原理得121||||2(21)!4(22)||!k k kj n n k j nB A A A n nC n =≤<≤≥-=⋅⋅--⋅⋅-∑∑(2)!2(1)(22)!n n n n =--⋅- 2(22)!n n n =⋅⋅-212(22)!2n n n ->⋅⋅- 1(2)!2n = 37．（2021·全国·高三竞赛）平面上有一个(3)n n ≥阶完全图，对其边进行三染色，且每种颜色至少染一条边.现假设在完全图中至多选出k 条边，且把这k 条边的颜色全部变为给定三色中的某种颜色后，此图同时也可以被该种颜色的边连通.若无论初始如何染色，都可以达到目的，求k 的最小值. 【答案】3n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】先证明：3n k ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.（这里3n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过3n 的最大的整数）.假设三种颜色为1、2、3，n 阶完全图的n 个点分成三个点集A ､B ､C ， 且||||3n A B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.做如下染色：集合A 中的点之间连的边染1，集合B 中的点之间连的边染2，集合C 中的点之间连的边染3，集合A 与B 间的点连的边染2，集合B 与C 间的点连的边染3，集合C 与A 间的点连的边染1.从而，若变色后最终得到染1的颜色的边形成的连通图，由于集合B 中的点出发的边均染的是2或3，于是，变色边数不小于||3n B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.类似地，若变色后最终得到染2或3的颜色的边形成的连通图，则变色边数不小于||A （或C )3n ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.故3n k ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.再证明：3n k ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦.对n 用数学归纳法. 当3n =时，结论成立.假设1(4)n n -≥时，结论成立.则n 个点时： （1）若完全图中由某点出发的边有三种不同颜色，由归纳假设，可通过改变其中13n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦条边的颜色得到同色连通图.（2）若完全图中由所有点出发的边均最多两种不同颜色， 记A 为所有出发的边均染1或2的点组成的集合， 记B 为所有出发的边均染2或3的点组成的集合， 记C 为所有出发的边均染3或1的点组成的集合. 如果某些点连出的边都染颜色1，则把它归入集合A ； 如果某些点连出的边都染颜色2，则把它归入集合B ； 如果某些点连出的边都染颜色3，则把它归入集合C .不失一般性，不妨设||||A B C≤≤∣.则||3n A ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦.若B ≠∅，则C ≠∅，集合B 中的点连向集合C 中的点的边均染3.故B C ⋃由颜色3可以连通. 此时，任选集合B 中一点，集合A 中每个点与该点的连线的边颜色均变成3， 由||3n A ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦知成立.若B =∅，则A =∅，于是，完全图的边均染的是1或3. 这与条件“每种颜色至少染一条边”不符. 所以由归纳法知原结论成立.38．（2022·全国·高三专题练习）班级里共有()3n n ≥名学生，其中有A ，B ，C ．已知A ，B ，C 中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”． （1）求班级里朋友圈个数的最大值()F n ． （2）求班级里朋友圈个数的最小值()G n ．【答案】（1）()()126n n n --；（2）()4,41,6,,21,2n nn n G n n n =⎧⎪⎪+≥=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【解析】 【分析】（1）利用组合数可求()F n ； （2）利用容斥原理可求()G n . 【详解】（1）当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班级里朋友圈个数的最大，此时()()()3126n n n n F n C --==.（2）当3n =时，()31G =，当4n =时，A ，B ，C 中的每个人都至少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故()44G =，当5n ≥时，记a P 为班级中除去,,A B C 且与A 是朋友的同学的集合，b P 为班级中除去,,A B C 且与B 是朋友的同学的集合，Pc 为班级中除去,,A B C 且与C 是朋友的同学的集合，若2(3)n k k =≥，由题设可知，a P 、b P 、Pc 中的元素的个数不小于1k -，余下同学记为：452,,,k Y Y Y ，集合M 中元素的个数记为M ，因为余下人数为23k -，由容斥原理可得23a b c k P P P -≥a b c ab ac bc abc P P P P P P P P P P P P =++---+， 所以2333a b a c b c abc k k P P P P P P P P P -≥----+，即ab ac b c abc P P P P P P P P P k ++-≥，故此时()1G n k ≥+， 考虑一种特殊情况：{}{}4+2+22,,,,,a k c b k k P Y Y P P Y Y ===， 此时朋友圈个数为1111k k -++=+，故()112nG n k =+=+. 若21(2)n k k =+≥，由题设可知，a P 、b P 、Pc 中的元素的个数不小于1k -，余下同学记为：4521,,,k Y Y Y +，集合M 中元素的个数记为M ，因为余下人数为22k -，由容斥原理可得22a b c k P P P -≥a b c ab ac bc abc P P P P P P P P P P P P =++---+， 所以2233a b a c b c abc k k P P P P P P P P P -≥----+，即1ab ac b c abc P P P P P P P P P k ++-≥-，故此时()G n k ≥，考虑一种特殊情况：{}{}{}4+2+22+321,,,,,,,,a k b k k c k k P Y Y P Y Y P Y Y +===， 此时朋友圈个数为112k k ++-=，故()12n G n k -==. 综上，()4,41,6,,21,2n nn n G n n n =⎧⎪⎪+≥=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.39．（2021·浙江·高三竞赛）某班有10名同学计划在暑假举行若干次聚会，要求每名同学至多参加三次聚会，并且任意两名同学至少在一次聚会中相遇.求最大的正整数m ，使得无论如何安排符合上述要求的聚会，都一定存在某次聚会有至少m 名同学参加. 【答案】最大正整数m 是5 【解析】 【分析】 【详解】解：设有n 次聚会，聚会人数分别为1x ，2x ，…，n x （均为正整数）.我们有： 1210330n x x x +++≤⨯=1210452222n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11n S x x =+⋅⋅⋅+，2221n S x x =+⋅⋅⋅+，则2190S S -≥可知214S S ≥，即{}22111max ,,4nn nx x x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥≥+⋅⋅⋅+若上式等号成立，则必须14n x x =⋅⋅⋅==，并且1130n S x x =+⋅⋅⋅+=，这样可得7.5n =导致矛盾.所以我们有{}1max ,,5n x x ⋅⋅⋅≥，即一定存在某次聚会有至少5名同学参加，即5m =满足题意.另一方面，我们给出10名同学参加聚会的一种安排方式：共A ，B ，C ，D ，E ，F 六次聚会，每次聚会恰好有5名同学参加，下面的10个三元子集分别表示10名同学各参加哪三次聚会：{}ABC ，{}CDE ，{}AEF ，{}BDF ，{}ABD ，{}ADE ，{}BCE ，{}BEF ，{}CDF ，{}ACF .易知在所有6203⎛⎫= ⎪⎝⎭个三元子集中，互补的两个三元子集在上式中恰好出现一个.这保证了上面的10个三元子集中每两个都相交，即任意两名同学至少在一次聚会中相遇.此外，A ，B ，C ，D ，E ，F 中的每一个在上式的10个三元子集中恰好出现五次，即每次聚会都恰好有5名同学参加，这意味着6m ≥不符合题意. 因此所求的最大正整数m 是5.另一种构造：{}ABC ，{}ABC ，{}BEF ，{}BEF ，{}CDF ，{}CDF ，{}ABD ，{}AEF ，{}ADE ，{}CDE .40．（2021·全国·高三竞赛）设2n ≥为正数，122,,,n A A A 为1,2,{},n 的所有子集的任一个排列．求2111nii ii i A A A A ++=⋅∑的最大值，其中121n A A +=．【答案】()2222n n n -+-【解析】 【分析】 【详解】 先证两个引理． 引理1 设122,,,n A A A 是集合1,2,{},n 的所有子集，则存在122,,,n A A A 的一个排列122,,,n B B B ，使得对任意的1,2,,2n i =均满足i B 、1i B +中的一个是另一个的子集，且元素个数差1，其中约定121n B B +=． 引理1的证明：对n 用归纳法．当2n =时，集合{1,2}的4个子集排列为∅、{1}、{1,2}、{2}便满足要求． 假设当n k =时存在排列122,,,k B B B 满足要求，则当1n k =+时，考虑下面的排列：12211222,,,,{1},{1},,{1},{1}k kk B B B B k B k B k B k -⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，这显然是集合{1,2,,1}k ⋅⋅⋅+的所有子集满足要求的一个排列．引理1证毕． 引理2 设A 、B 是任意两个不同的有限集，则2221A B A B A B ⋅≤+-，（1） 当A 、B 中一个为另一个的子集，且元素个数差1时等号成立． 引理2的证明：设\,\,A B x B A y A B z ===．因为A B ≠，故x 、y 不能同时为0，于是x 、y 中至少有一个大于等于1． （1）22222()()()11x y z z x z y z x y ⇔++≤+++-⇔+≥，（2） 显然成立．又当A 、B 中一个为另一个的子集且元素个数差1时，x 、y 中有一个为0，一个为1．（2）中取等号，从而（1）也取等号．引理2证毕．回到原题．由引理2可得()22222211111111122nnnn ii i i i i i i i i AA A A A AB -+++===≤+-=-∑∑∑ ()212211C 222n k n n n n k k n n ---==-=+-∑ ()2222n n n -=+-．又如果将{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有子集按照引理1中的排法便知上式等号成立．故所求的最大值为()2222n n n -+-．41．（2021·全国·高三竞赛）设{}()1,2,3,,2,m M n m n +=⋅∈N 是连续2m n ⋅个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在1m +个数121,,,m a a a +满足1(1,2,,)i i a a i m +=．【答案】21m n n ⋅-+． 【解析】 【分析】 【详解】 记{1,2,3,,}A n =，任何一个以i 为首项，2为公比的等比数列与A 的交集设为i A ．一方面，由于M 中2m n n ⋅-个元的子集{}1,2,,2m n n n ++⋅中不存在题设的1m +个数，否则12112mm n a a a n ++≤<<<≤⋅，而1212m m nn a n ⋅+≤≤=，矛盾．故21m k n n ≥⋅-+．另一方面，21m k n n =⋅-+时，题设满足.若非如此，考虑以1212n i i -⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为首项，以2为公比的等比数列．其与M 的交集的元素个数为21i A m ++个．设M 任何k 元子集为T ，则上述等比数列与M 的交集中至少有21i A +个元素不在T 中，而i j ≠时，2121i j A A ++=∅．注意到21112||,i n iA A +-=所以21112|\|||ii n M T A A n +-≥==，可得2m T M n n n ≤⋅=⋅-与21mT k n n ==⋅-+矛盾．综上，所求k 为21m n n ⋅-+．42．（2021·全国·高三竞赛）对两个不全等的矩形A 、B ，称A B >，若A 的长不小于B 的长，且A 的宽也不小于B 的宽.现在若对任意的n 个两两不全等的，长和宽均为不超过2020的正整数的矩形，都必存在其中3个矩形A 、B 、C ，使得A B C >>，求n 的最小值. 【答案】2021 【解析】 【分析】 【详解】一方面，当2021n =时，若不存在满足要求的3个矩形，我们把所有的矩形如下分类： 对一个矩形A ，若在剩下2020个矩形中，存在一个矩形B ，使得A B >，则称A 为“父矩形”，否则称A 为“子矩形”.由抽屉原理，其中必有一类至少含有1011个矩形，设它们的宽为121011x x x ≤≤⋯≤. 但易知所有的“父矩形”之间两两不能比较大小，所有的“子矩形”之间也两两不能比较大小，于是必有121011x x x <<<且相应的它们的长121011y y y >>>，合在一起即121011*********x x x y y y <<<≤<<<，与它们均为不超过2020的正整数矛盾.另一方面，当2020n ≤时，考虑所有长宽满足要求的，周长为4040的矩形，共1010个，及周长为4042的矩形，也共1010个.由于周长相等的两个矩形无法比大小，因此这2020个矩形中不存在满足要求的3个矩形. 综上，n 的最小值为2021.43．（2021·全国·高三竞赛）已知X 是一个有限集.110110,X A A X B B =⋃⋃=⋃⋃是满足如下性质的两个分划：若,110i j A B i j ⋂=∅≤≤≤，则10i j A B ⋃≥.求X 的最小值. 【答案】50 【解析】 【分析】 【详解】X 的最小值为50.我们先证明||50X ≥. 考虑集合110110,,,,,A A B B 中元素个数最少的集合，不妨设为1A .记1A a =，则1A 至多与110,,B B 中a 个集合相交.不妨设1,1,,i A B i k ⋂≠∅=且1,1,,10i A B i k ⋂=∅=+，其中k a ≤.故110,1,,10i A B i k ⋃≥=+.从而对1i k ∀≥+有11010Bi A a ≥-=-. 由1A 的最小性知1,,k B B 的元素个数均不小于a .从而1101110||k k X B B B B B B +=⋃⋃=++++(10)(10)502(5)(5)k a k a k a ≥⋅+--=+--.（1）若5a ≤，则5k ≤，此时由上式知||50X ≥； （2）若5a >，由1A 是110,,A A 中元素个数最少的集合知||1050X a ≥>.故||50X ≥.另一方面，||X 能取到50，例如， 取11221010{1,2,3,4,5},{6,7,8,9,10},,{46,47,48,49,50}A B A B A B ======.显然它们满足条件，这时{}1,2,,50X =⋯.44．（2021·全国·高三竞赛）设集合S 是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域，若一组直线对于点集S 满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”： （1）这些直线不经过该点集S 中的任何一个点； （2）每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.求k 的最小值，使得对于任意的点集S ，均存在由k 条直线构成的“好直线组”. 【答案】2019. 【解析】 【分析】 【详解】 先证明2019k ≥：在一个圆周上顺次交替标记2019个红点和2019个蓝点，在平面上另外任取一点染为蓝色，这个圆周就被分成了4038段弧，则每一段的两个端点均染了不同的颜色； 若要满足题目的要求，则每一段弧均与某条画出的直线相交； 因为每条直线和圆周至多有两个交点，所以，至少要有403820192=条直线. 再证明：用2019条直线可以满足要求.对于任意两个同色点AB 、，均可用两条直线将它们与其他的点分离. 作法：在直线AB 的两侧作两条与AB 平行的直线，只要它们足够接近AB ，它们之间的带状区域里就会只有A 和B 这两个染色点. 设P 是所有染色点的凸包，有以下两种情形：（1）假设P 有一个红色顶点，不妨记为A .则可作一条直线，将点A 和所有其他的染色点分离，这样，余下的2018个红点可以组成1009对，每对可以用两条平行直线将它们与所有其他的染色点分离.所以，总共用2019条直线可以达到要求.（2）假设P 的所有顶点均为蓝色.考虑P 上的两个相邻顶点，不妨记为AB 、.则用一条直线就可以将这两个点与所有其他染色点分离.这样，余下的2018个蓝点可以组成1009对，每对可以用两条直线将它们与所有其他染色点分离. 所以，总共也用了2019条直线可以达到要求. 综上：k 的最小值为2019.45．（2021·全国·高三竞赛）设函数:f ++→Z Z 满足对于每个n +∈Z ，均存在一个k +∈Z ，使得2()k f n n k =+，其中，m f 是f 复合m 次．设n k 是满足上述条件的k 中的最小值，证明：数列12,,k k 无界．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】设{}21,(1),(1),S f f =，对于每个正整数n S ∈，存在正整数k ，使得2()kfn n k S =+∈．因此，集合S 是无界的，且函数f 将S 映射到S ．此外，函数f 在集合S 上是单射． 事实上，若(1)(1)()i j f f i j =≠，则m f （1）从某个值开始周期性地进行重复．于是，集合S 是有界的，矛盾．定义:g S S →为2()()n kn g n f n n k ==+．首先证明：g 也是单射．假设()()()g a g b a b =<，则22()()a b k ka b a k f a f b b k +===+，于是，>a b k k ．因为函数f 在集合S 上是单射，所以()()2()a b k k a b fa b a k k -==+-．又0a b a k k k <-<，与a k 的最小性矛盾．设T 是集合S 中非形如()()g n n S ∈的元素构成的集合．由于对每个n S ∈，均有()g n n >，则1T ∈．于是，T 是非空集合．对每个t T ∈，记{}2,(),(),t C t g t g t =，且称tC 为从t 开始的“链”．因为g 是单射，所以，不同的链不交．对每个n S T ∈，均有()n g n ='，其中，n n '<，n S '∈．重复上述过程，知存在t T ∈，使得t n C ∈，从而，集合S 是链t C 的并．若(1)n f 是从(1)i nt f =开始的链t C 中的元素，则122t j n n a a =+++，其中，()()()()112221(1)(1)(1)(1)jj i t ta a a n n n n j j f g f ff f f fa a -===+++．故(1)(1)22t n nt tn n n n f f t --=+=+． ① 其次证明：集合T 是无限的．假设集合T 中只有有限个元素则只有有限个链()1212,,,t t t t t C C C t t t <<<．固定N ．若(1)(1)n f n N ≤≤是链t C 中的元素，则由式①知：(1)22nt r n n Nf t t -=+≤+． 由于1N +个不同的正整数1，(1),,(1)N f f 均不超过2r N t +，则12r NN t +≤+． 当N 足够大时，这是不可能的.因此，集合，T 是无限的．选取任意正整数k ，考虑从集合T 中前1k +个数开始的1k +个链．设t 是这1k +个数中最大的一个．则每个链中均包含一个元素不超过t ，且至少有一个链中不含1,2,,t t t k +++中的任何一个数．于是，在这个链中存在一个元素n ，使得()g n n k ->，即n k k >．。
高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案
高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案一、选择题（本题满分30分，每小题5分）已知关于x 的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，则实数a 的取值范围（A ）（A ）（B ）（C ）（D ） 解．利用数形结合，容易得出实数a 的取值范围a 1故选A 2．当直线所围成的图形的面积是(D)(A) (B)4 (C)9 (D)16解：直线方程可变为（x-1）cos +（y-1）sin =4于是求出点A （1，1）到直线的距离d=,所以当直线=+所围成的图形是以点A 为圆心，以4为半径的圆，从而所围成的图形的面积是16.故选D 3.数列{a n }中，相邻两项a n ,a n+1是方程x 2+3nx+b n =0的两根，已知a 10=－17.则b 51的值等于(B) （A ）5800（B ）5840（C ）5860（D ）6000解:∵a n +a n+1=－3n ，∴a n+2－a n =(a n+2+a n+1)－(a n+1+a n )=－3(n+1)－(－3n)=－3∴a 1,a 3,…,a 2n+1和a 2,a 4,…,a n 都是公差为－3的等差数列，∴{}1≥a a {}11-≤≥a a a 或{}11>-<a a a 或{}10<<a a ≥,取遍全体实数时ϑ)4sin(24sin cos πϑϑϑ++=+y x ππππϑϑ4sin cos 422=+ϑϑ,时R ∈ϑϑϑsin cos y x +4)4sin(2πϑ+πa 52=a 10+21(－3)=－80a 51=a 11+20(－3)∵a 10+a 11=－30∴a 11=－13∴a 51=－73，b 51=a 51·a 52=5840故选B4.已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且，，则的值等于(D)（A ）2（B ）1（C ）0（D ）解：由题意：， ∴a 、b 是方程的两根，∴，∴∴=.故选D5.设函数f(x)=,如果f()=，那么的值等于(C)（A ）3（B ）7（C ）（D ）解：取x=,有f()= 而当=时有x=所以故选C6、已知p,p+14,p+q 都是质数，并且p 有唯一的值和它对应，则q 只能取(A) A40B44C74D86解：q 只能取40。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
4.5_高中数学竞赛训练题
高中数学竞赛训练题深圳中学 余祖良第一试一、选择题1、方程cos x = x + sin x 的实根个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、设函数f （x ）=（βαsin cos ）x +（αβsin cos ）x ，α，β为锐角；如果对任何x ＞ 0 ，都有f （x ）＜2，则 （ ） A 、0＜α+β＜4π B 、0＜α+β＜2πC 、4π＜α+β＜2πD 、α+β＞2π3、复数z 满足条件 | z | =1，则 | z 2 + i z 2 +1 | 的范围是 （ ） A 、[1—22，1+22] B 、[2—1，2+1]C 、[22—1，22+1]D 、[2—2，2+1]4、过球的中心的10个平面，其中任何三个平面都不交于同一直线，它们将球面分成m 个部分，则m 的值为 （ ） A 、92 B 、1024 C 、516 D 、1005、一直角三角形的两直角边与坐标轴平行，两直角边上的中线为y = 3 x + 1和y = m x + 2，则满足条件的m 的个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、若a n =[（2173+）n ]，n = 1，2，…；则数列｛a n ｝ （ ）A 、各项均为奇数B 、奇数项为奇数，偶数项为偶数C 、各项均为偶数D 、奇数项为偶数，偶数项为奇数 二、填空题7、三棱台ABC—A 1B 1C 1的任意两个侧面所成的二面角都是直二面角，高为17344 ，且底面ABC 中，AB=AC=5，BC=42，则此棱台的体积为 ； 8、双曲线 xy = 1的内接三角形的垂心的轨迹方程是 ； 9、若0＜a ＜3sin θ ，θ∈[4π，65π]；则f （a ， θ）= sin 3θ +32sin 34a a -θ 的最小值是 ；10、设实数x ，y 满足x 3—3x 2 + 5x = 1 ， y 3—3y 2 + 5y = 5 ，则x + y= ；11、用红、黄、蓝三种颜色的纸各做一套卡片，每套中有A 、B 、C 、D 、E 字母卡片各一张；若从这15张卡片中每次取出5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法共有 种；12、正整数m 和n 互质，2000n+m 与2000m+n 的最大公约数为d ，则d 的最大值是 ； 三、解答题 13、关于 x 的函数12222)(+-+⋅=x x a a x f （a 为常数）；∈ 若f ( x ) 没有反函数，求出a 的值；∈ 若f ( x ) 存在反函数 ()x f 1-，a ＜0，且对任意 x∈R ，都有f (－ x ) =－f ( x ) 成立 . 解不等式()()0,log 221≠∈>--k R k x fkx且 . 14、抛物线 y 2= 5p ( x + 5 ) ( p ＞0 ) 与椭圆1801622=+y x 在x 轴上方交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰好过椭圆的中心O ，椭圆左顶点为F ； 求 ∈ 实数 p 的值； ∈ | AF | + | BF | 的值 ； 15、设a 是实数且方程x 4+3ax 3+a （1－5a 2）x －3a 4+a 2+1=0 有实根且不同的实根至多有两个，求a ；第二试一、⊙O 为△ABC 的外接圆，⊙O 1在△ABC 的外面，在⊙O 的里面且与⊙O 相切，切点为D ，且D 在»BC 上；过A 、B 、C 分别作⊙O 1的切线，切线长分别为p , q , r ；设三边长分别为a , b , c ，求证：a p = b q + c r ；二、一个正整数为项的等差数列中，如果有一项是完全平方数，又有一项是完全立方数；证明：这数列中必有项是正整数的六次方．三、n 个队进行足球单循环赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分；已知有一队得分最多，比其余任一队都多；但它胜的场次最少，比任何一队都少；试求n 的最小值；答案：第一试一、A D B A C B二、7、20827 8、x y = 1 9、3 10、2 11、150 12、3999999三、13、解：12222)(+-+⋅=x x a a x f()()0,log 221≠∈>--k R k x fkx且 ①,当 a 2－a －2 ≠ 0 时，f ( x ) 单调必有反函数，故 a 2－a －2 = 0 ，a = 2 或 a =－1 . ② 由f (－ x ) =－f ( x ) ，a ＜0，则a =－2 .())22(,log 2221<<-=+--x x fx x22,0222<<->>-+-x kx xx故不等式的解集为： ⑴ k ＜0 , 空集 ⑵ 0＜k ＜4 , (－2 , k －2 ) ⑶ k≥4 , (－2 , 2 )14、解：⑴ 5 x 2 + y 2 = 8 0 , y 2 = 5 p ( x + 5 ) ; x 2 + p x + 5 p －16 = 0 , x 1 + x 2 =－p , x 1 x 2 = 5 p －16 ,ax f x a a +=+--1222)(22122221259)5)(5(25p x x p y y ⨯=++= ,y 1 y 2 = 1 5 p ,12121-=x x y y ,54=p ;⑵ 抛物线y 2 = 4 ( x + 5 ) 的焦点 (－4 , 0 ) 为椭圆左顶点F ， 准线为 x =－6 ;由抛物线的定义，| AF | + | BF | = ( x 1 + 6 ) + ( x 2 + 6 ) = 556 ;15、解：令x = y －a ，代入原方程，有： y 4－ay 3－3a 2y 2＋ay ＋1=0，又y≠0，故 y 2＋21y －a （y －y 1）－3a 2=0，（y －y1）2－a （y －y1）－3a 2＋2=0，对任t ∈R ，y －y1= t ，y 2－ty －1=0，△＞0，如果方程t 2－at －3a 2＋2=0无实根，则原方程无实根，而这方程一实根对应原方程两不同实根，故有： a 2－4（－3a 2＋2）=0，即a = ±13262；第二试一、证：分别连AD 、BD 、CD 与⊙O 1分别交于点A 1、B 1、C 1，过D 作两圆的公切线DE ，则∠EDC=∠D A 1C 1=∠DAC ，A 1C 1∥AC ，同理：B 1C 1∥BC ，A 1B 1∥AB ，则1112AA BB CC ADBDCDk===,p 2 =AA 1·AD = k 2·AD 2 , p = k AD, 同理：q = k AD , r = k CD ;由托勒密定理：a AD = b BD + c CD , 两边除以k, 则a p = b q + c r ； 二、证明：设等差数列首项为a ，公差为d ，且 ( a , d ) = b ． 先证明引理：必存在正整数p ＞1，使a p ≡ a ( mod d ) ． 设d = k b , 则 ( a , k ) = 1 ；在数列 a , a 2 , … , a k ，a k + 1中，必有两项关于k 同余，设a i ≡a j ( mod k ) ( i ＞j ) , 则a j ( a i － j －1) ≡ 0 ( mod k )由于( a , k ) = 1 ，所以a i－j ≡ 1( mod k )∴a i－j + 1≡ a ( mod d ) ．即引理成立．故存在非负整数s , t ，使 3 s + 2 t = p ．又依题意，存在正整数m , n ，使m 2 ≡ a ( mod d ) ，n 3 ≡ a ( mod d ) ．所以( m 2 ) 3 s · ( n 3 ) 2 t ≡ a 3 s + 2 t ≡ a p ≡ a ( mod d ) ．即( m s · n t ) 6 ≡ a ( mod d ) ．故此数列中存在一项为正整数的六次方．三、解：设得分最多的是A队；（1）A队比其它队至少多得1分，至少少胜一场，故A队比其它队至少多平4场；而其它队至少平一场，A队至少平5场，即至少有6队；（2）若只有6队，则6队至少得2C26=30分，但A恰好平5场得5分，不可能比其它队都多，即n＞6；（3）若n=7，A最多得8分，这7队最多得8+7×6=50分，故至少有3×C27—50=13场比赛打平；A至多平6场，其余各队至少有一队平了[]66213-⨯+1= 4场；则A至少平8场，矛盾；（4）可举例说明，n=8成立；。
数学竞赛高中试题入门及答案
数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，那么\( f(-1) \)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3，圆心在原点，那么圆上任意一点到圆心的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C，且A + B + C = 180°，如果角A = 60°，角B = 50°，那么角C是多少度？A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是________。
6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
7. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是________厘米。
8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \)，第5项的值是________。
三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果\( a \)，\( b \)，\( c \)是正实数，且\( a + b +c = 1 \)，那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。
10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
（使用勾股定理）四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台，通过这些题目，学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。
答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。
答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。
解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0，可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。
答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。
答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。
答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案：证明略。
11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。
答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。
答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为0。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。
AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。
求BMN ∆外心O 的轨迹。
(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。
(12分)三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。
(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。
(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。
试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。
(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。
试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。
(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。
求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。
(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。
(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。
(5分)试题（一）解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。
因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。
因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。
高中数学竞赛集训试卷一
高中数学竞赛集训试卷一一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
则满足不等式 |S n －n －6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．设O 是正三棱锥P —ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与 PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++ （ ） A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面QPS 无关的常数3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （ ）A ．1B ．－1C ．2+3D ．－2+34．已知=(cos32π, sin 32π), -=, +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．21 C ．2D ．23 5．过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长 PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率 的取值范围为 （ ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，ABsin sin 都是方程 logbx =log b (4x －4)的根，则△ABC（ ）A ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若log 4(x +2y)+log 4(x －2y)=1，则|x |－|y|的最小值是_________. 8．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}（2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a3）a 是a, b, c, d 中的最小数那么， 可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.9．设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个 k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10．若对|x |≤1的一切x ，t+1>(t 2－4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n －3)个连续自然三数之积的最大正整数n 为__________.12．对每一实数对(x , y)，函数f (t)满足f (x +y)=f (x )+f (y)+f (x y)+1。
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高中数学竞赛集训训练题1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.2．已知不等式24131...312111an n n n >++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。
3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a }的通项公式。
4．（1）设,0,0>>y x 求证：;432yx y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x求证：.2333zxyz xy x z z z y y y x x ++≥+++++5. 设数列ΛΛΛ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。
现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。
问共有多少种放法。
7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n aS a a=--，记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．8. 在ABC ∆中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u rg ，又ABC ∆的面积等于6.（Ⅰ）求ABC ∆的三边之长；（Ⅱ）设P 是ABC ∆（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求123d d d ++的取值范围.9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ；（2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．10. 已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，Rt ABC ∆以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆交于两点B 、C 。
若△ABC 面积的最大值为278，求a 的值。
11. 如图，椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点．（Ⅰ）设点)0,(0x M ，若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时， ||PM 取得最大值与最小值，求0x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3，最小值为1，且与直线:l y kx m =+相交于A ，B 两点（A B ，不是椭圆的左右顶点），并满足22BA AA ⊥．试研究：直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．12．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面SAD 为正三角形，且垂直于底面ABCD ．（1）求四棱锥ABCD S -的体积；（2）在边CD 上是否存在一点E ，使得AE SB ⊥？请说明理由．13．（本小题满分15分） 关于y x 、的方程C ：04222=+--+m y x y x ．（1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线l ：042=-+y x 相交于N M 、两点，且554||=MN ，求实数m 的值； （3）在（2）的条件下，若定点A 的坐标为（1，0），点P 是线段MN 上的动点，求直线AP 的斜率的取值范围．S A B CDBACEA 1B 1C 1P nP n+114．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >≥），其离心率为45，两准线之间的距离为252。
（1）求,a b 之值；（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ，B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。
15. 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 中点. （Ⅰ）求证：1AB //平面1BEC ； （Ⅱ）若12,2AB AA =A 到平面1BEC 的距离； （Ⅲ）当ABA A 1为何值时，二面角E —BC 1—C 的正弦值为510？16．（本小题满分15分）在xoy 平面上有一系列点),,(),,(222111y x P y x P …，Λ),,(n n n y x P ．对每个正整数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 （*N n ∈）．（1）求证：数列}1{nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21,求证：对任意*N n ∈，均有23π<n T ．17． （本小题满分18分）二次函数r qx px x f ++=2)(中，实数r q p 、、满足mrm q m p ++++12=0,其中0>m ． 求证： (1)0)1(<+m mpf ；(2)方程0)(=x f 在(0，1)内恒有解．18．如图，斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为a ， 侧面⊥CB C B 11底面ABC ，且BC AC ⊥1. （1） 求异面直线1AA 与11C B 间的距离；（2） 求侧面BA B A 11与底面ABC 所成二面角的度数．19．设向量,为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单位向量．若向量y x ++=2(，j y i x b +-=）2(，且a b ||-||=2r r ．（1）求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程； （2）设(1,0),(2,0)A F -，问是否存在常数)0(>λλ，使得PAF PFA ∠=∠λ恒成立？证明你的结论．ABC1A1B 1C20．已知抛物线2128y x x =-+-和111(,)48A 。
过11(,)48F -任作直线，交抛物线于B 、C 两点。
⑴求△ＡＢＣ重心的轨迹方程，并表示成()y f x =形式；⑵数列{}k x 中，1102x <<，且满足1()k k x f x +=。
试证：1135nkk k x +=<∑21．椭圆C ：2222by a x += 1 ( a ＞b ＞0 )的两个焦点为F 1 ( – c , 0 )，M 是椭圆上一点，且满足F F 21⋅= 0。
（Ⅰ）求离心率e 的取值范围；（Ⅱ）设斜率为k ( k ≠ 0 )的直线l 与椭圆C 相于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0、Q 的直线对称？若能，求出k 的范围，若不能，请说明理由。
22．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；（2）(0)()14f f π==； （3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2． 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式； （Ⅱ）常数a 的取值范围．23．把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1 3 5 7 9 11— — — —— — — — —设*)(N j i a ij ∈，是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数。
（I ） 若a mn =2005，求m n ，的值； （II ）已知函数f x ()的反函数为fx x n -=138() ()x >0，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，求数列{()}f b n 的前n 项和S n 。
24.若a 、b 、+∈R c ，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
25． 设定义在[0，2]上的函数()f x 满足下列条件：①对于[0,2]x ∈，总有(2)()f x f x -=，且()1f x ≥，(1)3f =； ②对于,[1,2]x y ∈，若3x y +≥，则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+． 证明：（1）12()133n nf ≤+（*n N ∈）；（2）[1,2]x ∈时，1()136f x x ≤≤-．2611x --。
27．设非负等差数列{}n a 的公差0d ≠，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明： (1)若*,,m n p N ∈，且2m n p +=，则112m n pS S S +≥； (2)若5031,1005a ≤则2007112008n nS =>∑。
28.已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n nn n∈≥--=--．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21nna b=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2)12(sin π-=n a c nn ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．高中数学竞赛训练题答案1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=. 1.解：由2233b a b a -=-得b a b ab a +=++22,所以0)()(2>+-+=b a b a ab ,由此得到1>+b a .又因为)()()(4122b a b a ab b a +-+=>+,故341<+<b a .………………………4分 又因为)()(2b a b a ab +-+=, 令 )34,1(∈+=b a t 则t t ab -=2.……………6分当1t ≥时，2t t -关于t 单调递增，所以409ab <<，094ab <<.因此 c 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分2：先证f(n)= 131...312111++++++++n n n n 单调递增，则f(1)=1213最小 故1213>25,26,24=<a a a 所以即.3解：22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++2111()8()164n n n n n n a a a a a a +++⇔+-++=211(4)4n n n n a a a a ++⇔+-=14n n a a +⇔+-=）24⇔=2⇔=因此，2n =。