W,华中师大一附中届高三课外基础训练题十七答案

最 新 课 外 训 练 题 (十七)
1．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若∠C 的平分线的长为
.b
a ab
+ （1）求∠C 的大小； （2）求
c b
a +的取值范围. 解：1）由BCD ACD ACB S S S ∆∆∆+=，则,2
sin 212sin 21sin 21C
b a ab a C b a ab b C ab +++=
即2sin sin C C =，又02sin ≠C ，则212cos =C ，又),0(π∈C ，∴π3
2
=C 。

（2）由π=++C B A ，则ππ
3
2
sin )
3
sin(
sin sin sin sin A A C
B
A c b a -+=+=+
2
3)
3sin(23cos 23
sin 212
3sin 3
cos cos 3
sin sin ππ
π
+=
+=-+=
A A A A
A A ， ∵3
0π
<
<A ，则
323
3
ππ
π
<
+
<A ，∴1)3sin(23≤+<πA ，∴上式]332,1(∈，即c
b a +的取值范围是].3
3
2,
1(∈ 2．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PD⊥平面ABCD ，若侧面PAB 与侧面PCD 所成的角为45°.
（1）求点C 到平面PAB 的距离；
（2）侧棱PB 上是否存在一点E ，使PB⊥平面ACE.若存在，确定点 E 的位置；若不存在，说明理由.
解：（1）设PG=平面ABP∩平面PCD ，∵AB ⊂作DH⊥PA 于H ，可证DH 为点D 到平面PAB 的距离，
,22=
DH ∴点C 到平面PAB 的距离为2
2。

（2）存在点E 使PB⊥平面AEC ，连结BD 、PD⊥平面AC ，又BD⊥AC，∴PB⊥AC，若PB⊥平面ACE ，只需PB⊥AE，,332,36,3,1,2==
===
PE AE PB AB PA ∴当3
2
=PB PE 时，PB⊥平面AEC 。

3. 对于三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠。

定义（1）：()f x 的导数()f x '（也叫()f x 一阶导数）的导数()f x ''为()f x 的二阶导数，若方
程
()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”；
定义（2）：设0x 为常数，若定义在R 上的函数()y f x =对于定义域内的一切实数x ，都有
000()()2()f x x f x x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =的图象关于点00(,())x f x 对称。

（1）己知32
()322f x x x x =-++， 求函数()f x 的“拐点”A 的坐标；
（2）检验（1）中的函数()f x 的图象是否关于“拐点”
A 对称;
（3）对于任意的三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。

解:（1）依题意，得：2
()362f x x x '=-+ ，()66f x x ''∴=-.由()0f x ''= ，即660x -=。

∴1x =，又 (1)2f =,∴32
()322f x x x x =-++的“拐点”坐标是(1,2).
（2）由(1)知“拐点”坐标是(1,2).而
(1)(1)f x f x ++-=32(1)3(1)2(1)2x x x +-++++32(1)3(1)2(1)2x x x +---+-+
=222666444x x +--++==2(1)f ，由定义(2)知：()32322f x x x x =-++关于点(1,2)对称。

（3）一般地，三次函数()32f x ax bx cx d =+++(0)a ≠的“拐点”是,()33b b f a
a ⎛⎫
-
-
⎪⎝⎭
，它
就是()f x 的对称中心。

或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.
4. 政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价，用a n 表示某企业第n 年投入的治理污染费用，用
b n 表示该企业第n 年的产值。

设a 1 = a （万元），且以后治理污染费用每年都比上一年增加3a （万元）；
又设b 1 = b （万元），且企业的产值每年均比上一年增长10%，用ab
b a P n
n n 100=表示企业第n 年“对社会贡献率”.
（I ）求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”；
（II ）试问：从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于30%？ 解：（I ）∵b b b b a a a a 1.1,,4,2121====，%11001==ab
ab
P ，%4.41004.42==
ab ab P ，即该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”分别为1%和%．
（II ）∵()b b a n a n n n 1
1
.1,23-=-=，()
*N n ∈，∴()1
32 1.1100
n n n P --?=，∵
11.123131>⨯-+=+n n P P n n ，即{}n P 为递增数列，又%30%66.33100
1.1196
7>≈⨯=P ，%30%77.25100
1.11656<≈⨯=P ，∴从第7年起该企业“对社会贡献率”不低于%30．
5．已知椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 的离心率33=e ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆
与直线2+=x y 相切。

（I ）求a 与b ；
（II ）设椭圆的左，右焦点分别是F 1和F 2，直线21F l 过且与x 轴垂直，动直线y l 与2轴垂直，1
2l l 交于
点P ，求线段PF 1的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型。

解：（I ）由椭圆33
)0(12222的离心率为>>=+b a b
y a x ,22223233b a a b a =⇒=-. （1） 又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切。

即原点到直线2+=x y 的距离为b ，所以,2=
b 代入到（1）中得3=a ,2,3==b a .
（II ）由2,3==
b a 得F 1，F 2点的坐标分别为（-1，0），（1，0），设M 点的坐标为（x ，y ），
由题意：P 点坐标为（1，y ），因为线段PF 1的垂直平分线与2l 的交点为M ， 所以x y x y x MP MF 4|1|)1(||||2221
-=⇒-=++⇒=,故线段PF 1的垂直平分线与2l 的交点M 的
轨迹
方程是x y 42
-=，该轨迹是以F 1为焦点，1l 为准线的抛物线。

方法二：因为点M 是线段PF 1的垂直平分线与2l 的交点，故M 到点F 1的距离与到P 点距离即到1l 的
距
离相等，故M 点轨迹是以F 1（-1，0）为焦点，11=：x l 为准线的抛物线，故其方程为x y 42
-=.∴线
段
PF 1的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程是x y 42
-=，该轨迹是以F 1为焦点，1l 为准线的抛物线。

6．数列}{n a 的前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1-n S （2n ≥），11=a ．
（1）证明：数列}{
n S 是等差数列． 并求数列}{n a 的通项公式；
（2）若11+=
n n n a a b ，n n b b b T +++=Λ21，求证： 2
1
<n T ．
解：（1）Θ
(
)(
)
111
1----+=+-=
-n n n n n n n n S S S S S S S S ()2n ≥
又0n b >
0>
, 1=，又111==a S
，所以数列
是一个首项为1公差
为1的等差数列
()111n n +-⨯=,2n S n =
当2n ≥，12)1(2
2
1-=--=-=-n n n S S a n n n ；11=a 适合上式，12-=∴n a n （*
n N ∈）．
（2）11+=
n n n a a b =
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-1211212112121
n n n n ， n n b b b T +++=Λ21
1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
K =
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-+-1211217151513131121n n Λ=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-121121n .
Θ*n N ∈，∴
0121>+n ，11211<+-n ，21121121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n ，即2
1
<n T ．。