东北三省三校2016届高三第一次高考模拟考试-理科数学试卷-Word版含答案

哈尔滨师大附中 2016年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若集合[2,3]A =，2{|56}B x x x =-+，则A B = ( )A ．{2,3}B ．∅C ．2D ．[2,3] 2．若复数z 满足zi = 1 + i ，则z 的共轭复数是( )A ．-1 - iB ．1 + iC ．-1 + iD ．1 - i3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是( )A ．1100B ．100C ．10D ．1 4．已知向量a ，b 满足(1,3)+=-a b ，(3,7)-=a b ，⋅=a b ( )A ．-12B ．-20C ．12D ．205．若函数22,0()24,0x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则((1))f f 的值为( )A ．-10B ．10C ．-2D ．26．设,a b R ∈，若:p a b <，11:0q b a<<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于()A ．45-B ．45 C ．35-D ．358．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为( )A ．33341296433C C C A A B ．333412963C C CC ．33331296444C C C A D ．333312964C C C9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表根据上表可得回归直线方程为0.92yx a =+，则a =( ) A ．-96.8B ．96.8C ．-104.4D ．104.410．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．73B ．172C ．13D 11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||FQ QN =，则双曲线C 的离心率为( ) A B ．2 C D 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线，(1)(1)f x f x +=-，(1)f a =，且当0 < x < 1时，()f x 的导函数()f x '满足：()()f x f x '<，则()f x 在[2015,2016]上的最大值为( )A ．aB ．0C ．-aD ．2016第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2zx y =+的最大值是__________。

14．已知三棱锥P -ABC ，若P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P -ABC 的内切球半径为__________。

15．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B 两点，且||AB =m 的值为__________。

16．已知ΔABC 满足3A π=，()0AB AC BC +⋅=，点M 在ΔABC 外，且MB = 2MC = 2，则MA 的取值范围是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足132a =，且131n n a a +=-，12n n b a =-。

（1）求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若不等式111n n b m b ++≤-对*n N ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下。

根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品。

（1）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；（2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X 的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB = AE = 2。

（1）求证：BD ⊥平面ACFE ；（2）当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°时，求CF 的长度。

20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且点在C 上。

（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点A 、B ，是否存在直线l 0：x = x 0（其中x 0 > 2），使得A 、B 到l 0的距离d A 、d B 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求x 0的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+。

（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥ 23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y = 8，圆C 的参数方程是2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）。

以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θ = α（其中02a π<<）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：2πθα=+与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲已知函数()|3|f x>的解集为(2,4)。

=--，不等式()2f x m x（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式||()-≥恒成立，求实数a的取值范围。

x a f x2016年东北三省三校第一次高考模拟考试理科数学参考答案一、选择题（注：11题∵e > 4，∴D选项也不正确，此题无答案。

建议：任意选项均可给分）二、填空题13．2 1415．8 16．3 三、解答题17．解：（1）证明：∵113133()222n n n a a a +-=-=- ……3分 12111=-=a b 31=∴+nn b b ， 所以数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分 （Ⅱ）解：由（1）知，13-=n n b ，由111nn b m b ++≤-得13131n n m -+≤-，即()143331nm +≤-，…9分 设()143331=+-n nc ，所以数列{}n c 为减数列，()1max 1==n c c ， 1∴≥m …….12分18解：（Ⅰ）平均数为500.051500.12500.153500.34500.155500.26500.05370⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………….4分 （Ⅱ）X 的所有取值为0,1,2,3,4． ……….5分由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为0.200.050.25+=，且1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭4413()(0,1,2,3,4)44-⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭kkk P X k C k所以044181(0)C (1)4256P X ==⨯-=， 1341110827(1)C (1)4425664P X ==⨯⨯-==， 2224115427(2)C ()(1)44256128P X ==⨯-==， 331411123(3)C ()(1)4425664P X ==⨯-==， 4404111(4)C ()(1)44256P X ==⨯-=． 以随机变量X 的分布列为：……………………….10分所以X 的数学期望1()414E X =⨯=．…….12分 19.（Ⅰ）证明： 四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥.⊥Q AE 平面ABCD ,BD ⊂平面ABCDBD AE ∴⊥. ⋂=Q AC AE A ,BD ∴⊥平面ACFE .………….4分（Ⅱ）解：如图以O 为原点，,OA OB 为,x y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系.则(0,(1,0,2),(1,0,)(0)B D E F a a ->，(1,0,)=-u u ur OF a .…………6分设平面EDB 的法向量为(,,)=rn x y z ， 则有00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r n OB n OE，即20x z =+=⎪⎩令1z =，(2,0,1)=-rn .…………8分由题意o||sin 45|cos ,|||||⋅=<>===uu u r ruu u r r uu u r r OF n OF n OF n 解得3a =或13-.由0>a ，得3=a . …….12分20. 解：（Ⅰ）由题意得22222,122 1.a b c ca a b⎧⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩解得 2.1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为2214x y +=. …….4分（Ⅱ）存在0x .当04x =时符合题意. 当直线l 斜率不存在时，0x 可以为任意值.设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足：22(1),1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以A x ,B x 满足2224(1)4x k x +-=,即2222(41)8440k x k x k +-+-=.所以22222222(8)4(41)(44)0,8,4144.41A B A B k k k k x x k k x x k ⎧⎪∆=-++>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩………8分 不妨设1A x >>B x ，因为||||A B d PB d PA ⋅-⋅=00||1||||1|]A B B A x x x x x x -⋅---⋅-00(1)()2]0A B A B x x x x x x =-+++=从而2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++.整理得0280x -=，即04x =. 综上，04=x 时符合题意.…….12分21.解：（Ⅰ）'()2x f x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-． …….4分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知，[]2(),'()21210,0,1xxf x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈，故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．法2：由（Ⅰ）知，2(),'()2,''()2xxxf x e x f x e x f x e =-∴=-=-，'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以，'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->，所以，()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-． …….7分（Ⅲ）因为(0)1f =，又由（Ⅱ）知，()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方．下证：当0x >时，()(2)1f x e x ≥-+．设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则'()2(2),''()2x xg x e x e g x e =---=-，由（Ⅱ）知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<， 所以，存在()00,1x ∈，使得'()0g x =，所以，当()()00,1,x x ∈+∞ 时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <， 故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 又2(0)(1)0,()(2)10xg g g x e x e x ==∴=----≥，当且仅当1x =时取等号．故(2)1,0x e e x x x x+--≥>． 由（Ⅱ）知，1xe x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 10x e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立． …….12分22. 解：（Ⅰ）作'AA EF ⊥交EF 于点'A ，作'BB EF ⊥交EF 于点'B .因为''A M OA OM =-，''B M OB OM =+，所以2222''2'2A M B M OA OM +=+.从而222222''''AM BM AA A M BB B M +=+++2222('')AA OA OM =++. 故22222()AM BM r m +=+ ……5分（Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，所以22AM CM BM DM EM FM r m ⋅=⋅=⋅=-.因为2222AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM++=+=⋅⋅⋅所以22222()AM BM r m CM DM r m ++=-. 又因为3=r m ，所以52+=AM BM CM DM ． …………….10分 23.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ. 圆C 的普通方程分别是22(2)4x y +-=，所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. …….5分（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,sin 4αθαρ和⎩⎨⎧==.,8sin αθαρ所以αsin 4||=OP ，αsin 8||=OM ， 从而2||4sin sin 8||2sin OP OM ααα==.同理，2sin ()||2||2OQ ON πα+=. 所以||||||||OP OQ OM ON ⋅222sin ()sin sin (2)22216πααα+=⋅=， 故当4πα=时，||||||||OP OQ OM ON ⋅的值最大，该最大值是161. …10分24.解 ：（Ⅰ）由已知得32x m -<-，得51m x m -<<+，即3m = …… 5分（Ⅱ）()x a f x -≥得33x x a -+-≥恒成立33()3x x a x x a a -+-≥---=- （当且仅当(3)()0--≤x x a 时取到等号）33∴-≥a 解得6a ≥或0a ≤故a 的取值范围为 0a ≤或6a ≥ …… 10分。