高三第一次模拟考试(数学)
2025届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．1632．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 3．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e4．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A B ．23C ．2D ．15．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1006．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心7．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100， D ．()0+∞，8．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<9．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 10．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P11．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --12．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024长春高三一模试卷数学
长春市2024年高三第一次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U =R ，集合20,{2}3x A x B x x x +⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭，则()UA B = ð（）A.{2x x ≤-或3}x >B.{23}x x <≤C.{23}x x -<≤ D.{23}x x <<2.已知复数z 满足()34i 7i z +=+，则z =（）A.1B.C.D.3.在ABC 中，若4AB AC AP += ，则PB =（）A.3144AB AC -B.3144AB AC-+C.1344AB AC-+D.1344AB AC -4.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A .14种B.15种C.16种D.17种5.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点关于y 轴的对称点在直线2x =-上，则AB =（）A.3B.4C.5D.66.已知π2sin 128α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.116B.23C.12D.15167.2023120222023112023log ,20222,202a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b a c>> C.c b a>> D.a b c>>8.半径为R 的球面上有,,,A B C D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若ABC ，ACD △，ADB △的面积之和为72，则此球体积的最小值为（）A.64πB.2563π C.144πD.288π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差10.已知函数()sin (010)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则（）A.06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.若()()()12120f x f x x x ==≠，则12x x -是25π的整数倍D.()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调11.已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++ ，若()01f '=，则（）A.{}lg n a 为单调递增的等差数列B.01q <<C.11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D.使得1n T >成立的n 的最大值为612.已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,),(1,3)a m b ==- ，若a b ⊥，则m =___________．14.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，l 为双曲线的一条渐近线，F 到直线l，过F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 长为10，则C 的离心率为________．15.若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上无零点的偶函数，若()0f π=，且()()()()f x g x f x g x ''>在(,0)-∞上恒成立，则()0()f xg x <的解集是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的公差不为0，且满足21421234,4a a a a a a a =++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：1223111114n n a a a a a a ++++< .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，且:2a b =2sin B A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，求△ABC 的面积．19.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若1PA AD ==，2AB =，求二面角E AC B --的余弦值．20.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000~3000（分）3001~4000（分）4001~5000（分）5001~6000（分）＞6000（分）男性8060302010女性206010020（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63521.已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．22.已知函数2()ln(1)()f x x a x a =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在2x =处取得极值，对x (1,+)∀∈∞，1()ln 1x f x bx x-≤++恒成立，求实数b 的取值范围．数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】(,1)(0,1)-∞- 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）2n a n =；（2）证明略.【18题答案】【答案】（1）4B π=；（2）212ABC S =+ 或212-.【19题答案】【答案】（1）证明略（2）23-【20题答案】【答案】（1）列联表略，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关（2）分布列略，数学期望为218【21题答案】【答案】（1）22163x y +=，离心率为22；（2）证明略.【22题答案】【答案】（1）当0a =时，()f x 在(1,+)∞上单调递增；当0a ≠时，()f x 在21(1,1a +上单调递增，在21(1+,+)a ∞上单调递减.（2）211,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
河北省唐山市2024届高三下学期第一次模拟演练数学答案
唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学参考答案一．选择题：1～4．DBAC5～8．ADBC 二．选择题：9．AC10．BCD11．ABC三．填空题：12．－8 13．4 314．x 29＋y 26＝1四．解答题：（若有其他解法．．．．．．，请参照给分．．．．．） 15．解：（1）设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＞0⇒q ＞0．依题意可得⎩⎨⎧a 3＝4，a 4＋a 5＝24，…2分整理得q 2＋q －6＝0， …4分 解得q ＝2，或q ＝－3（舍去），所以a n ＝2n －1． …6分（2）a n ＋log 2a n ＝2n －1＋n －1， …7分T n ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)＋(0＋1＋2＋…＋n －1) …9分＝2n －1＋n (n －1)2， …10分显然T n 随着n 的增大而增大， T 10＝210－1＋45＝1068＜2024， …11分T 11＝211－1＋55＝2102＞2024， …12分 所以满足T n ＜2024的最大整数n ＝10． …13分 16．解：（1）某人答对每道题的概率都是 14，则答对题目的个数X 服从二项分布，即X ～B (8， 14)， …2分E (X )＝8× 14＝2， …4分由于每道题答对得5分，所以此人答题得分为5X ，因此在此项测试中，此人答题得分的期望为E (5X )＝5E (X )＝10． …6分（2）设此人答对k 道题的可能性为P (X ＝k )＝C k 8( 1 4)k×( 3 4)8－k ，k ＝0,1, (8)记p k ＝P (X ＝k )， …8分则 p kp k －1＝ P (X ＝k ) P (X ＝k －1)＝C k 8( 1 4)k( 3 4)8－kC k －18( 14)k －1( 3 4)9－k ，k ＝1,2，…,8． …10分＝8! k ! (8－k )!× 148! (k －1)! (9－k )!×3 4＝ 9－k 3k ＝1＋ 9－4k3k， …12分当k ＜ 94时，p k ＞p k －1，p k 随k 的增加而增加，即p 2＞p 1＞p 0； …13分当k ＞ 94时，p k ＜p k －1，p k 随k 的增加而减小，即p 8＜p 7＜…＜p 2； …14分所以当k ＝2时，p 2最大，因此此人答对2道题的可能性最大． …15分 17．解：（1）取BC 中点为O ．连结AO ，A 1O ． …1分 因为侧面BB 1C 1C 为矩形，所以BB 1⊥BC ，又AA 1//BB 1，则AA 1⊥BC ．…3分 由底面ABC 为等边三角形，所以AO ⊥BC ． …4分 故BC ⊥平面AA 1O ，由于A 1O ⊂平面AA 1O ，故A 1O ⊥BC ． …5分 又BO ＝CO ，故A 1B ＝A 1C ． …6分（2）①由A 1C ⊥A 1B ，O 为BC 的中点及（1），所以A 1O ＝BO ＝1． …7分又AO ＝3，AA 1＝2，得AA 21＝A 1O 2＋AO 2，则A 1O ⊥OA ， …8分 又A 1O ⊥BC ，得A 1O ⊥平面ABC ，A 1O ⊂平面A 1BC ，故平面A 1BC ⊥平面ABC ； …9分 ②以O 为坐标原点，OA ，OB ，OA 1所在直线的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．A 1(0，0，1)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (0，－1，0)．OA 1→＝(0，0，1)，A 1C 1→＝AC →＝(－3，－1，0)，A 1B →＝(0，1，－1)．…11分设平面A 1BC 1的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0．即⎩⎨⎧y －z ＝0，－3x －y ＝0．可取n ＝(－1，3，3)．…13分 由①知OA 1→是平面ABC 的一个法向量，…14分1则cos 〈n ，OA 1→〉＝n ·OA 1→|n ||OA 1→|＝217．故平面ABC 与平面A 1BC 1的夹角的余弦值是217．…15分18．解：（1）由题意得，4a 2－9b 2＝1， …1分AB ：y －3＝3－02－12(x －2)⇔y ＝2x －1， …2分与x 2a 2－y2b2＝1联立得(b 2－4a 2)x 2＋4a 2x －a 2－a 2b 2＝0． …3分 当b 2－4a 2＝0时，又4a 2－9b 2＝1，解得b 2＝7，a 2＝ 74； …5分当b 2－4a 2≠0时，得－4a 2b 2－4a 2＝4⇔3a 2＝b 2，又4a 2－9b 2＝1，解得b 2＝3a 2＝3， 经检验Δ＝0满足题意；所以双曲线方程为x 274－y 27＝1或x 2－y 23＝1． …7分（2）当b 2＝7，a 2＝ 7 4时，e ＝√_____b 2a2＋1＝5＞2（舍）； …8分当b 2＝3a 2＝3时，e ＝√_____b 2a2＋1＝2≤2．满足题意．…9分设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线l ：y ＝k (x － 1 2)，与x 2－y 23＝1联立得(3－k 2)x 2＋k 2x －k 24－3＝0． …10分所以，x 1＋x 2＝－k23－k 2，x 1x 2＝－k 24＋33－k 2． …12分则k 1＋k 2＝y 1－3x 1－2＋y 2－3x 2－2…13分＝k (x 1－ 1 2)－3x 1－2＋k (x 2－ 12)－3x 2－2＝2k ＋(3k2－3)×x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4 …15分＝2k ＋(3k2－3)(3k 2－12)－94(k 2－4)＝2k － 4 3(3k2－3)＝4 …16分所以，直线AM 与直线AN 的斜率之和为4． …17分19．解：（1）f '(x )＝(sin x cos x )'＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x， …2分 f '( π4)＝2， …4分 故所求切线方程为y －1＝2(x － π 4)，即y ＝2x ＋1－ π2．…5分 （2）由0＜x ＜ π2得1＜2x ＋1＜π＋1，g '(x )＝2cos (2x ＋1)＋2tan x ，…7分设2x 0＋1－ π 2＝0，得2x 0＋1＝ π 2，x 0＝ π4－ 1 2．①当0＜x ≤x 0时，1＜2x ＋1≤ π2，cos (2x ＋1)≥0，tan x ＞0，故g '(x )＞0．…9分②当x 0＜x ＜ π 2时， π2＜2x ＋1＜π＋1．先证明tan x ≥2x ＋1－ π2．构造函数h (x )＝tan x －2x －1＋ π2，…10分则h '(x )＝1cos 2x －2，又h '( π4)＝0， 当x 0＜x ＜ π4时，h '(x )＜0，h (x )单调递减，当 π 4＜x ＜ π2时，h '(x )＞0，h (x )单调递增， h (x )有最小值h ( π 4)＝0，则h (x )≥0，即tan x ≥2x ＋1－ π2．…13分则g '(x )≥2[cos (2x ＋1)＋2x ＋1－ π2]．令s (x )＝cos (2x ＋1)＋2x ＋1－ π2．s '(x )＝－2sin (2x ＋1)＋2＞0，g (x )单调递增，则s (x )＞s (x 0)＝0， 故g '(x )＞0．…15分综①②所述，当0＜x ＜ π2时，g '(x )＞0，g (x )单调递增．由于g (0)＝sin 1，又∀M ＞0，∃θ∈(x 0， π2)，使得cos θ＝√_____1e M ＋1＜ 1 e ， 当x ∈(θ，π2)时，g (x )＞g (θ)＝sin (2θ＋1)－2ln (cos θ) ＝sin (2θ＋1)＋M ＋1＞M ，则g (x )的值域为(sin 1，＋∞)． …17分。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
吉林地区普通高中2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题
一、单选题1.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（ ）A．B．C．D．2.已知数列的前项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（ ）A．B．C．D．3. 若抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ）（参考数据：）A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次4. 已知集合，，则A．B．C．D．5.在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（ ）A．B．C ．92D ．1846. 已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（ ）A ．3B．C．D ．57. 函数的部分图像可能是（ ）A．B．C．D．8.设，则的大小关系是A．B．C．D．9. 若，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．10. 已知复数，则（ ）A．B．C．D ．211. 设，则使得的的取值范围是（ ）A ．B．C．D．12. 在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且，则等于（ ）吉林地区普通高中2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题A．B．C．D．13. 已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314. 已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（）A ．，B ．在上是奇函数C ．在上是单调递增函数D ．当时，15. 随机变量且，随机变量，若，则（ ）A．B．C．D．16. “存在正整数，使不等式都成立”的一个充分条件是A．B．C．D．17. 已知函数为上的奇函数；且，当时，，则______．18. 已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．19. 已知复数，则=__________.20. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：，则的蒙日圆的方程为________；在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是________.21. 复数满足，则的虚部为______，______．22.设，化简：．23. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线的距离的最大值.24. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在图的坐标系中画出的图象；（2）若的最小值为，当正数，满足时，求的最小值.25.已知函数.(1)求过点且与曲线相切的直线方程；(2)设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.26. 在四棱锥中，侧面底面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.27. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.(1)当时，求(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.28. 2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.参考数据：当X服从正态分布时，，，.。
辽宁省大连市2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
2024年大连市高三第一次模拟考试数学（答案在最后）命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4， B.{16}，C.{3}5，D.{1}2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m > B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D .若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种6.若π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.17.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D .复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f= D.1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．2024年大连市高三第一次模拟考试数学命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4，B.{16}，C.{3}5，D.{1}【答案】C 【解析】【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值 D.x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m >B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠【答案】D 【解析】【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D.若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B 【解析】【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6.若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.1【答案】A 【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得()225cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞【答案】C 【解析】【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x x f x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe exxg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sin πe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a =====+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ===，所以==ce a.故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D.复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D .【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππcos isin i 1i 4422z ⎫⎫=-=-=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD .10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得062x -≤≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f = D.1x =是()f x 的极小值点【答案】ACD【解析】【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f =∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．【答案】0【解析】【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．【答案】①.24π②.[]π,6π【解析】【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r ====（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________【答案】【解析】【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫==⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出AP AD 的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）14AP AD =，作图见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【小问1详解】在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；【小问2详解】FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,,1,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-===- ⎝ ，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m = ，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,,5542cos ,22n m n m n m ⎛⋅- ⋅==-⋅ ，所以平面与BCEF 与平面FGH成角的余弦值为22；【小问3详解】如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．【答案】（1）1a ≥-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x x x x x ->，1x >，再构造函数得到e e x x >，得到()()e 1e 1x x x x ->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【小问1详解】由已知得，1ln a x x -≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x -=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；【小问2详解】法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x x x x x->，设()()e e ,e e x x h x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e 1x x x x ->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x ->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1x x x >-成立．即证11ln e x x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e 2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．【答案】（1）335（2）分布列见解析，()275E X =（3）()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【小问1详解】设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；【小问2详解】X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X 3456P 1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r ，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．【答案】（1）24y x =-（2）（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【解析】【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【小问1详解】设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+=uuu r uuu r，()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++∴-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；【小问2详解】（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛-⎝（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，02,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()22200001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+-点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()001200208401x a y k k y y y-+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．【答案】（1）0，1，1（2）不会，理由见解析（3）507【解析】【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【小问1详解】由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.【小问2详解】数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；【小问3详解】数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。
广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题
广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题一、单选题1．33log 18log 2-=（）A ．4B ．32log 2C ．3log 2D ．22．已知集合()(){}140A x x x =∈--≤N ，{}03B x x =<<，则A B = （）A ．{}1,2B ．()1,3C ．{}2,3D ．[)1,33．曲线()21y x x =-在1x =处的切线方程为（）A ．1x =B ．1y =C ．21y x =+D ．22y x =-4．已知函数()1ln ,1e ,1x x xf x x +≥⎧=⎨<⎩，则不等式()1f x >的解集为（）A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．()()1,1e,-+∞ 5．已知复数1z ，2z ，则“12z z =”是“12i i z z +=+”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知定义在R 上的函数()()e e x xg x f x -=-+，其中()g x 是奇函数且在R 上单调递减，()12log 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()4,+∞7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5π7π124x <<，则sin cos cos sin x x x x +=-（）A ．43-B ．43-或43C ．34-D ．34-或348．在ABC V 中，()cos cos cos sin 0C B A A +-=且2BC =，若BM BC xBA =+（x ∈R ），则BM 的最小值为（）A ．2B ．1C D ．2二、多选题9．设正实数m ，n 满足m n >，且24m n +=，则下列说法正确的是（）A ．4248m n -+-=B ．22n nm m+<+C ．mn 的最大值为2D ．22m n +的最小值是410．将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（）A ．37B ．58C ．67D ．7911．已知()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ）在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，对于任意的x ∈R满足ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()5π12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．π3ϕ=B ．若函数()y f x λ=（0λ>）在[]0,π上单调递减，则50,12λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()()124f x f x -=，则12x x -的最小值为π2D ．若函数()f x 在π,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上存在两个极值点，则17π23π1212a <≤三、填空题12．若复数z 满足()12i 1i z ⋅-=+，则z =．13．已知单位向量a ，b 满足a b a b +=- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量的模为.14．已知函数()()211e 12xf x b x x ax ab =+-++-（0b >）在R为.四、解答题15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且312a a a =，1232a a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若123123n nnb a a a a =++++ ，求数列{}n b 的通项公式.16．已知向量),sin m x x ωω= ，()cos ,sin n x x ωω= ，0ω>，函数()f x m n =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π.(1)若5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的值域；(2)将()f x 的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m （0m >）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数cos y x =的图象重合，求实数m 的最小值.17．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1b C =-，cos 3c B =.(1)若sin b C =ABC V 的面积；(2)求A 的最大值.18．已知函数()ln 1x ax x xf x =++.(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 存在极大值，求a 的取值范围.19．对于一个给定的数列{}n a ，令1n n n b a a +=+，则数列{}n b 称为数列{}n a 的一阶和数列，再令1n n n c b b +=+，则数列{}n c 是数列{}n a 的二阶和数列，以此类推，可得数列{}n a 的p 阶和数列.(1)若{}n a 的二阶和数列是等比数列，且10a =，21a =，30a =，43a =，求7a ；(2)若n a n =，求{}n a 的二阶和数列的前n 项和；(3)若{}n a 是首项为1的等差数列，{}n b 是{}n a 的一阶和数列，且1132k k a b --≤，121000k a a a +++= ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时{}n a 的公差.。
福建省普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
福建省普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π2．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A 6B ．34C ．12D 33．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．325．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-6．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．37．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．68．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥9．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()e ln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．2012．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年河北省秦皇岛市山海关一中高三(上)第一次模拟数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省秦皇岛市山海关一中高三（上）第一次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2=4}，B ={(x,y)|y =2cosx}，则A ∩B 的真子集个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2.若干人站成一排，其中为互斥事件的是( )A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾”C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头”3.抛物线y =2x 2的准线方程为( )A. y =−18B. y =−12C. x =−18D. x =−124.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若a//α，b//α，则a//b B. 若a//b ，a//α，则b//αC. 若a ⊂α，b ⊂α，且a//β，b//β，则α//βD. α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分5.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为( )A. 24B. 32C. 96D. 1286.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2=1(a >0)，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，若|MA|⋅|MB|=34，则双曲线C 的离心率为( )A.62B. 233C. 263D.37.直线y =2x−2与曲线y =sinπx +xx−1−1的交点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数f(x)=lnx−mx 2+x ，若不等式f(x)>0的解集中佮有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围是( )A. [2+ln28,3+ln39) B. (3+ln39,2+ln24)C. [3+ln39,2+ln24) D. (2+ln28,3+ln39)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024届上海市崇明区高三一模数学试题及答案
上海市崇明区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.15一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集是．2.双曲线221y x 的焦距是．3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ，a bt R ，都有2b ta 成立，则b 的最小值等于．12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ，221c d ，则当 22a cb d 取得最小值时，ab．第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合23A x x ，0B x x ，则A B （）.A 2,3 ；.B 0,3；.C 0, ；.D 2, ．14.若0x y ，则下列不等式正确的是（）.A x y ；.B 22x y ；.C 11x y；.D 2x y．15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A ．三、17.1，90ADC ，E 、F （1（2）求点B 到平面PCF 的距离．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，5a ，6b ．（1）若4cos 5B，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若ABC 的面积4S，求c 的值．19.台计算TPI 4个等级：某市（1）年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．已知抛物线21:4y x ，22:2y x ，直线l 交抛物线1 于点A 、D ，交抛物线2 于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1 焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为 4,4，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD，求AOD 与BOC 的面积之比．已知 sin f x mx x （m R 且0m ）．（1）若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列 n a 是等差数列（公差0d ）， n n b f a ．是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 n a ，并证明此时的数列 n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m ，是否存在直线y kx b 满足：①对任意的x R 都有 f x kx b 成立，②存在0x R使得 00f x kx b ？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. （1，3）；2. 3. 2； 4. 31； 5. 10；6.7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11.12.12+. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. A ； 16. A. 三、解答题17. 解 （1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分 由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分 （2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分 由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =，即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解 （1）因为4cos 5B =−，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分 由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分 所以1sin 2A =，5R =， 因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分 （2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =分（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解 （1）抛物线24y x =的准线为1x =−，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2， 所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分 （2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意，402y +=，故04y =−，所以(8,4)C −.....................2分 所以直线l 的方程为：2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分 （3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =，得31242()y y y y −=−①，.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b −+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k+=，342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =−，代入③得142y y =−，代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解 （1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分 因为函数cos y m x =+的最小值为1m −，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立， 即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+， 将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=， 即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =， 故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分 注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分 当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++，所以12n n b b m k π+−=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分 同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列. （3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时，(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−， 即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b =−当1b >−时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分 当1b =时，存在02x π=−，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上，存在直线1y x =−满足题意..................................8分。
2024学年吉林省吉林市高三上学期一模数学试题
试题吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第一次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知全集}54321{,,,,U =，{1,3,4}=A ，4}{2,B =，则=)(B C A U A ．{1,3}B ．}4{2,C ．}5{1,3,D ．}54{2,,2．若复数iiz 212+=，则z 的虚部是A ．54B ．i54C ．52D ．i 523．“n m ≥”是“lnn lnm ≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知102010320310310....c ,.b ,.a ===，则A ．cb a >>B ．ca b >>C ．ab c >>D ．ba c >>5．在等比数列}{n a 中，41154321-=++++a a a a a ，413-=a ，则=++++5432111111a a a a a A ．44-B ．1164-C ．1116D ．11★保密·启用前★试题6．已知函数)()(x g ,x f 的定义域均为R ，4)01()(=-+x f x f ，2)1(=g 且2)2()(=++x g x g ，则[]=+∑=91)()(i i g i f A ．24B ．26C ．28D ．307．在直角三角形ABC 中，︒=90A ，ABC ∆的重心、外心、垂心、内心分别为4321,,,G G G G ，若AC AB AG i i i μλ+=（其中4,3,2,1=i ），当i i μλ+取最大值时，=i A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数4(2)(πω+=x sin x f 在区间) , (0π上有且仅有4个极大值点，则正实数ω的取值范围为A ．]417413(,B ．417413[,C ．]433425(,D ．)433425[,二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数=)(x f x log a 0(>a ，且)1≠a 的反函数为)(x g ，则A ．xa x g =)(0(>a ，且)1≠a 且定义域是)0(∞+，B ．若2)9(=f ，则72)3(=g C ．函数)(x f 与)(x g 的图象关于直线x y =对称D ．函数)(x f 与)(x g 的图象的交点个数可能为3210,,,10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件=A “取出的两球同色”，事件=B “第一次取出的是白球”，事件=C “第二次取出的是白球”，事件=D “取出的两球不同色”，则A ．1()2P B =B ．B 与C 互斥C ．A 与B 相互独立D ．A 与D 互为对立试题11．等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别是n S 与n T ，且52254--=n n T S n n )(*∈N n ，则A ．1333-=b a B ．9543-=b a C ．nnT S 的最大值是17D ．nnT S 最小值是712．中华人民共和国国旗是五星红旗．国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为︒36的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比215-；一种是顶角为︒108的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比215-．如图，正五角星ABCDE 中，2=AG ，记θ>=<AF AG ,，则A ．FI AG =B ．15+=⋅AF AG C ．AG 在AF 上的投影向量为AF215+D ．212024642-=++++θθθθcos cos cos cos 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．已知1>x ，则14-+x x 的最小值为.14．已知2=θtan ，则=θθcos sin .15．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15.结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为分钟，方差为．A BCD EG HIJF16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≠<--≠>-=,x x ,x f ,x x ,x e x f x10)(101)(且且若函数42)()()(e x mf x f x g --=有4个零点，则实数m 的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量)()3(cosx cosx,b ,cosx sinx,a ==．（Ⅰ）若b //a 且)0(π,x ∈，求x ；（Ⅱ）若函数21)(-⋅=b a x f ，求)(x f 的单调递增区间．18．（本小题满分12分）已知函数x ln x x f +-=2)(．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在))1(1(f ,处的切线方程；（Ⅱ）若对)0(+∞∈∀,x ，x ax x f 2)(2-≤恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，21=a ，1+=n n a S .（Ⅰ）请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列}{n a 的通项公式；②求n S ；（Ⅱ）令)1)(1(21--=++n n nn a a S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ，并证明1n <T ．20．（本小题满分12分）近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的Q 型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示：Ⅰ级品Ⅱ级品若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的产品应用于A 型手机，小于或等于c 的产品应用于B 型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（Ⅰ）求Q 型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；（Ⅱ）当临界值65=c 时，求Q 型芯片Ⅱ级品应用于A 型手机的概率；（Ⅲ）已知[50,60]∈c ，现有足够多的Q 型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产：方案一：直接将Q 型芯片Ⅰ级品应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值c 的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将Q 型芯片Ⅱ级品应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元；方案二：重新检测Q 型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．21．（本小题满分12分）已知ABC Δ的三个角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，a b sinA cosA c 2)3(-=-，2=c ．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若BC AB =，在ABC Δ的边AC 和BC 上分别取点E D ,，将CDE Δ沿线段DE折叠到平面ABE 后，顶点C 恰好落在边AB 上（设为点P ），设x CE =，当CE 取最小值时，求PBE Δ的面积．22．（本小题满分12分）已知函数x sin m e x f x +=)(．（Ⅰ）若函数)(x f 在)(0,π上单调递增，求正实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：当1=m 时，)(x f 在)(∞+-，π上存在唯一极小值点0x ，且0)(10<<-x f ．ABCEDP。
广东省韶关市2024届高三上学期第一次模拟考试 数学试题(含解析)
A ．π3
2f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
B ．将()y f x =的图象向右平移
C ．12,R x x ∀∈，都有(f ()2f x m =⎡
⊥；
(1)证明：A B B C
【详解】
P 在第一象限，由题意将x c =（其中222a b c =+）代入椭圆方程
12．AB
【分析】利用周期函数的定义判断A ；求出导数，利用轴对称的意义判断点判断C ；利用导数探讨单调性并确定极值点判断【详解】依题意，cos(2π)sin((2π)e e x f x ++=-确；
π
由M 在以12F F 为直径的圆上可得：故2
2
2
1212MF MF F F +=，且四边形由双曲线2
2:13
x C y -=可知：2a 即2216m n +=，
则()()()(110,0,3,0,3,0,0,3,3,3,0,0A B B C 所以()()110,3,3,3,3,3A B B C =-=-- ，
所以110A B B C ⋅=
，
所以11A B B C ⊥.
（2）因为点P 在棱1CC 上，1:C P PC 又()()()(110,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,3A A B C
2
⎝
【点睛】方法点睛：求最值或范围问题的基本解法
（1）几何法:根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等
（2）代数法:建立求解目标关于某个
基本不等式方法、导数方法等。
高三第一次模拟考试卷数学
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 - 2x + 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(-1) = 0，且f(x)的图像开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 03. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值是（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 3/44. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则数列{an}的第5项是（）A. 31B. 32C. 33D. 345. 下列不等式中，正确的是（）A. log2(3) > log2(2)B. log2(4) < log2(3)C. log2(9) > log2(8)D. log2(16) < log2(15)6. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2 + |z|^3的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 在极坐标系中，点P(2, π/6)对应的直角坐标是（）A. (√3, 1)B. (1, √3)C. (-√3, 1)D. (1, -√3)8. 已知函数f(x) = e^x + e^(-x)，则f(x)的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称9. 下列各式中，表示二项式展开式的通项公式的是（）A. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ... + C(n, n)b^nB. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b + ... - C(n, n)b^nC. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... + C(n, n)b^nD. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... - C(n, n)b^n10. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = e^x二、填空题（每小题5分，共50分）11. 函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)的对称轴方程是______。
高三数学模拟考试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[1, 2]上的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z在复平面内的几何意义是：A. 实部为0B. 虚部为0C. 到原点的距离为2D. 到x轴的距离为23. 下列各式中，正确的是：A. sin^2x + cos^2x = 1B. tan^2x + 1 = sec^2xC. cot^2x + 1 = csc^2xD. sin^2x + cot^2x = 14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S5 = 21，则首项a1为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为(-1, 0)和(3, 0)，则a、b、c的关系是：A. a + b + c = 0B. a - b + c = 0C. -a + b + c = 0D. -a - b + c = 06. 若平面α上的直线l与平面β所成的角为θ，平面α与平面β所成的角为β，则下列关系式中正确的是：A. θ = βB. θ + β = 90°C. θ = 90° - βD. θ = 90° + β7. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列关系式中正确的是：A. a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosAB. b^2 = a^2 + c^2 - 2accosBC. c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCD. a^2 = b^2 + c^2 + 2bccosA8. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是：A. y = 2^xB. y = log2xC. y = x^2D. y = x^39. 已知向量a = (2, -1)，向量b = (-3, 2)，则向量a·b的值为：A. 5B. -5C. 0D. 710. 下列不等式中，正确的是：A. log2(3) > log2(2)B. log3(3) < log3(2)C. log2(2) < log2(3)D. log3(2) < log2(3)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导数f'(x) = 0的解为x1、x2，则f(x)的极值点为______。
湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷
湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷一、单选题 1．设集合21{|0}{|3710}x A x B x x x x-=≤=-≤，，则A B =I （ ） A ．()11-， B ．1003⎛⎫⎪⎝⎭，C ．[]01，D ．(]01，2．已知复数z 满足z z ⋅=4且0z z z ++=，则2019z 的值为 A ．﹣1B ．﹣2 2019C ．1D ．2 20193．在ABC V 中，2AC =，D 为AB 的中点，12CD BC =P 为CD 上一点，且13AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，则AP =u u u r （ ）A B C D 4．已知甲植物生长了一天，长度为(0)a a >，乙植物生长了一天，长度为16a .从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg20.3,lg30.48==） A ．第6天B ．第7天C ．第8天D ．第9天5．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =4BC =，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P ABCD -内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为（ ）A 2B 1C ．2D ．16．已知()f x 是定义在[)0,+∞上单调递增且图像连续不断的函数，且有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+，设121x x >>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB △的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A ．1B ．34C ．12D ．388．已知函数()3e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．ln 21- B ．ln 2 C ．1ln 2-- D ．1ln 2+二、多选题9．记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A ．()01f =B ．ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线32y x =是曲线()y f x =的切线10．已知数列{}n a 各项均为负数，其前n 项和n S 满足()*16N n n a S n ⋅=∈，则（ ）A ．数列{}n a 的第2项小于3-B ．数列{}n a 不可能是等比数列C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列{}n a 中存在大于1100-的项 11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，若a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -.设BOC α∠=，AOC β∠=，AOB γ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．若平面ABC V 2的等边三角形，则a b c R === B ．若222a b c +=，则222αβγ+=C ．若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积3V > D ．若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +>三、填空题12．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.13．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项是120，则实数a =．14．正四面体ABCD 的棱长为6，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅u u u r u u u r取得最小值时，PAD △的面积为.四、解答题15．若锐角ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ()cos cos sin cos a B C a A B A -+=．(1)求角A 的大小； (2)求22b a b+的取值范围16．已知数列 a n 是等差数列，13a =，0d ≠，且1a ，7a ，25a 构成等比数列， (1)求n a ；(2)设()n f n a =，若存在数列 b n 满足11b =，27b =，325b =，且数列(){}n f b 为等比数列，求{}n n a b 的前n 项和n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面ACM ；(2)若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当2 3.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联. 19．已知函数()()ln ,1f x x g x x ==-. (1)证明：()()f x g x ≤；(2)设()()()h x f x g x =-，求证：对任意的0b a <<，都有()()11h a h b a b a b->--+成立.。
2025届贵州师范大学附属中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届贵州师范大学附属中学高三第一次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16002．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．33．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．124．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．65．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．196．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( )A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>9．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅10．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．1811．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-12．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京海淀人大附2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
北京海淀人大附2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．12- D ．122．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B．3 C ．12 D．23．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若AB R =，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-4．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤ C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤ 5．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<6．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2αα-=+（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上最大值是110．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．111．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 12．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题
2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12802．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e3．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -5．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．26．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<7．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．128．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．15210．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1311．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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南京市高三第一次模拟考试（数学）.01
参考公式：1.样本数据12,,
,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。
2.柱体、椎体的体积公式：1,3
V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。
一、填空题：（5分×14=70分）
1.函数22y x x =-的定义域是 .
2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位）
，则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,
0,
1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .
5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元
素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .
6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3
π，以,a b 为邻边
作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .
8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b
+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .
10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .
11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。
下列命题：
①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 .
13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 .
14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看
作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2,0,x x x x f x x e
⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个.
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.
15.（本题满分14分）
已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且()24f π=.
（1）求,ωϕ的值；（2）若6()(0)25
f α
απ=-<<，求cos2α的值。
16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是
BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥1B ABC -的体积。
17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最
大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的
圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才
能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
18. （本题满分16分）
在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43.
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =.求过O 、A 、B 三点的圆的方程.
19. （本题满分16分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789a a a a a a a a a
已知表中的第一列数125,,,
a a a 构成一个等差数列，记为{}n
b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n
c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．
中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
20. （本题满分16分）
已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值；
（2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11|()()|4|
|f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
南京市高三第一次模拟考试 数学附加题 .01
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、
B ），过
C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线A
D ，垂足为
D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
B. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:40m x y --=，求实数,a b 的值.
C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式|24|4||x x -<-.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,30,1,6O O ACB BAC BC A A ∠=∠===，M 是1CC 的中点.
（1）求证：11A B AM ⊥;
（2）求二面角B AM C --的平面角的大小.
23.已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n
++≤.。